1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Радиотехника и электроника
  4. T. 65, № 11, 2020

Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 11, стр. 1079-1082

Зависимость входных сопротивлений вибраторных и микрополосковых антенн от первичного поля

С. И. Эминов *

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого
173003 Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41, Российская Федерация

* E-mail: eminovsi@mail.ru

Поступила в редакцию 13.03.2020
После доработки 13.03.2020
Принята к публикации 07.05.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследована зависимость входных сопротивлений вибраторных и микрополосковых антенн от профиля первичного поля с использованием аналитического обращения главного гиперсингулярного оператора и явного вида обратного интегрального оператора. Найдены общие закономерности в поведении входных сопротивлений для произвольных первичных полей. Проведены численные расчеты и получено согласие с теоретическими результатами.

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Электродинамический анализ вибраторных антенн основан на решении гиперсингулярного уравнения вида [1, 2]

(1)
$\begin{gathered} \frac{1}{\pi }\frac{\partial }{{\partial \tau }}\int\limits_{ - 1}^1 {u\left( t \right)\frac{\partial }{{\partial t}}\ln \frac{1}{{\left| {\tau - t} \right|}}dt} + \\ + \,\,\int\limits_{ - 1}^1 {K\left( {\tau ,t} \right)u\left( t \right)dt} = f\left( \tau \right),\,\,\,\, - 1 \leqslant \tau \leqslant 1. \\ \end{gathered} $

Уравнение (1) также описывает микрополосковые [3, 4] и щелевые антенны [5]. К числу неисследованных задач относится изучение зависимости решения (1) от профиля первичного поля, т.е. от $f\left( \tau \right).$ Для активных антенн первичное поле локализовано в небольшой области, по сравнению с длиной антенны и с длиной волны. Поэтому при разработке приближенных методов расчета первичное поле представлялось в виде [6–8]

(2)
$f(\tau ) = \delta \left( \tau \right),$
где $\delta \left( \tau \right)$ – дельта функция Дирака. Однако еще в работе [9] было выяснено, что точное решение уравнения (1) в нуле обращается в бесконечность. Поэтому модель (2) не применима.

В связи с этим в теории активных антенн часто полагают, что функция $f\left( \tau \right)$ отлична от нуля на малом участке $\left[ { - \varepsilon ,\varepsilon } \right]$ ($\varepsilon $ много меньше единицы), а на этом промежутке постоянна и равна ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {2\varepsilon }}} \right. \kern-0em} {2\varepsilon }}.$ Нас интересует вопрос: как изменится решение уравнения (1) и характеристики антенн, если взять другую функцию, также локализованную на промежутке $\left[ { - \varepsilon ,\varepsilon } \right]?$

Предположим, что функция $f\left( \tau \right)$ равна нулю вне промежутка $\left[ { - 1,1} \right],$ непрерывна на $\left[ { - 1,1} \right],$ неотрицательна и

(3)
$\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} = 1.$

На основе $f\left( \tau \right)$ сконструируем функцию

(4)
${{f}_{\varepsilon }}\left( \tau \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{\varepsilon }f\left( {\frac{\tau }{\varepsilon }} \right),\,\,\left| \tau \right| \leqslant \varepsilon , \hfill \\ 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| \tau \right| > \varepsilon . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Функция ${{f}_{\varepsilon }}\left( \tau \right)$ локализована на малом промежутке $\left[ { - \varepsilon ,\varepsilon } \right]$ и удовлетворяет соотношению (3), т.е. интеграл от нее равен 1. Далее ${{f}_{\varepsilon }}\left( 0 \right) = \frac{1}{\varepsilon }f\left( 0 \right)$ и по мере уменьшения $\varepsilon $ растет значение функции в нуле ${{f}_{\varepsilon }}\left( 0 \right).$

Как показано в [10, стр. 97], такая функция ${{f}_{\varepsilon }}\left( \tau \right)$ аппроксимирует $\delta \left( \tau \right)$ в интегральном смысле, т.е. для произвольной гладкой функции $\varphi \left( \tau \right)$

$\begin{gathered} \int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)\varphi \left( t \right)dt} \to \int\limits_{ - 1}^1 {\delta \left( t \right)\varphi \left( t \right)dt} = \varphi \left( 0 \right) \\ {\text{при}}\,\,\,\,\varepsilon \to 0. \\ \end{gathered} $

Таким образом, модель $\delta \left( \tau \right)$ – дельта функции заменяем на аппроксимирующую функцию ${{f}_{\varepsilon }}\left( \tau \right),$ которая непрерывна и как следствие принадлежит пространству квадратично-суммируемых функций ${{L}_{2}}[ - 1,1].$

Целью данной работы является изучение влияния аппроксимирующей функции ${{f}_{\varepsilon }}\left( \tau \right)$ на характеристики антенн при малых значениях $\varepsilon ,$ выявление общих закономерностей для произвольных аппроксимирующих функций.

1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ

Рассмотрим характеристическое уравнение

(5)
$\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{{\partial \tau }}\int\limits_{ - 1}^1 {u\left( t \right)\frac{\partial }{{\partial t}}\ln \frac{1}{{\left| {\tau - t} \right|}}dt} = {{f}_{\varepsilon }}\left( \tau \right),\,\,\,\, - 1 \leqslant \tau \leqslant 1.$

Решение этого уравнения находится аналитически [1]

(6)
$\begin{gathered} u\left( \tau \right) = \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)} \times \\ \times \,\,\left( {\frac{{\ln 2}}{2} + \ln \sin \frac{{\arccos t + \arccos \tau }}{2} - \frac{1}{2}\ln \left| {\tau - t} \right|} \right)dt = \\ = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)\ln \left| {\frac{{1 - \tau t + \sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} \sqrt {1 - {{t}^{2}}} }}{{\tau - t}}} \right|dt} . \\ \end{gathered} $

Входные сопротивления и входные проводимости определяются через значение решения в нуле $u\left( 0 \right).$ Поэтому далее изучим поведение $u\left( 0 \right).$ Из (6) получим

(7)
$\begin{gathered} u\left( 0 \right) = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt {1 - {{t}^{2}}} }}{t}} \right|dt} = \\ = - \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)\ln \left| t \right|dt + \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)\ln \left| {1 + \sqrt {1 - {{t}^{2}}} } \right|dt} } . \\ \end{gathered} $

Преобразуем первый интеграл с учетом свойств функции ${{f}_{\varepsilon }}\left( \tau \right)$

(8)
$\begin{gathered} \int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)\ln \left| t \right|dt} = \int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)\left( {\ln \left| t \right| - \ln \left| \varepsilon \right|} \right)dt} + \\ + \,\,\ln \left| \varepsilon \right|\int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {\frac{1}{\varepsilon }f\left( {\frac{t}{\varepsilon }} \right)\ln \left| {\frac{t}{\varepsilon }} \right|dt} + \\ + \,\,\ln \left| \varepsilon \right|\int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)\ln \left| x \right|dx + } \ln \left| \varepsilon \right|. \\ \end{gathered} $

Второй интеграл в (7) найдем приближенно

(9)
$\begin{gathered} \int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {{{f}_{\varepsilon }}\left( t \right)\ln \left| {1 + \sqrt {1 - {{t}^{2}}} } \right|dt} = \int\limits_{ - \varepsilon }^\varepsilon {\frac{1}{\varepsilon }f\left( {\frac{t}{\varepsilon }} \right)\ln \left| {1 + \sqrt {1 - {{t}^{2}}} } \right|dt = } \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)\ln \left| {1 + \sqrt {1 - {{\varepsilon }^{2}}{{x}^{2}}} } \right|dx} \approx \ln 2,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,\varepsilon \to + 0. \\ \end{gathered} $

Окончательно получим формулу

(10)
$\begin{gathered} u\left( 0 \right) = \frac{1}{\pi }\left( {\ln \left| {\frac{2}{\varepsilon }} \right| - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)\left( {\ln \left| x \right|} \right)dx} } \right) = \\ = \frac{1}{\pi }\ln \left| {\frac{2}{\varepsilon }} \right|\left( {1 - \frac{{\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)\left( {\ln \left| x \right|} \right)dx} }}{{\ln \left| {\frac{2}{\varepsilon }} \right|}}} \right). \\ \end{gathered} $

Из полученной формулы (10) следует замечательное свойство решения характеристического уравнения: $u\left( 0 \right)$ асимптотически, при малых $\varepsilon ,$ не зависит от функции ${{f}_{\varepsilon }}\left( \tau \right),$ аппроксимирующей дельта функцию Дирака.

В работе [1] развит численно-аналитический метод решения гиперсингулярных уравнений. Решение ищется в виде суммы двух функций, одна из которых находится из решения характеристического уравнения, а второе численно. Можно показать, что второе решение от $\varepsilon $ не зависит. Поэтому формула (10) на самом деле определяет зависимость решения для всего уравнения (1).

2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

В предыдущем пункте проведено теоретическое исследование и выявлена закономерность в поведении входного сопротивления: при малых $\varepsilon $ входное сопротивлении асимптотически не зависит от функции ${{f}_{\varepsilon }}\left( \tau \right),$ аппроксимирующей дельта функцию Дирака.

В этом пункте проведем точные расчеты на основе численно-аналитического метода работы [1] и сравним результаты расчета для двух моделей. В первой модели, как и в работе [1], функция $f\left( \tau \right)$ постоянна, соответственно этому

(11)
$f_{\varepsilon }^{1}\left( \tau \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{2\varepsilon }},\,\,\left| \tau \right| \leqslant \varepsilon , \hfill \\ 0,\,\,\,\,\,\left| \tau \right| > \varepsilon . \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Для второй модели $f\left( \tau \right)$ на концах интервала обращается в нуль по корневому закону

(12)
$f_{\varepsilon }^{2}\left( \tau \right) = \frac{2}{{\pi \varepsilon }}\left\{ \begin{gathered} \sqrt {1 - \frac{{{{\tau }^{2}}}}{{{{\varepsilon }^{2}}}}} ,\,\,\left| \tau \right| \leqslant \varepsilon , \hfill \\ 0,\,\,\left| \tau \right| > \varepsilon . \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Вторая модель применялась в монографии [11, стр. 164] с целью построения эффективного численного алгоритма.

Для первой модели, входное сопротивление обозначим как ${{Z}_{1}},$ а для второй модели – через ${{Z}_{2}}.$ Для сравнения входных сопротивлений, введем относительное отклонение по формуле

(13)
$\delta = \frac{{\left| {{{Z}_{1}} - {{Z}_{2}}} \right|}}{{\left| {{{Z}_{1}}} \right|}} \times 100{\text{\% }}{\text{.}}$

Ниже в таблицах приведены значения относительного отклонения для различных значений ${l \mathord{\left/ {\vphantom {l a}} \right. \kern-0em} a},$ ${l \mathord{\left/ {\vphantom {l \lambda }} \right. \kern-0em} \lambda }$ и $\varepsilon $ ($a$ – радиус, $l$ – длина плеча вибраторной антенны, $2l$ – длина антенны, $2\Delta $ – длина участка антенны, где первичное поле отлично от нуля, $\varepsilon = {\Delta \mathord{\left/ {\vphantom {\Delta l}} \right. \kern-0em} l},$ $\lambda $ – длина волны).

Проанализируем результаты, представленные в табл. 1–5. Из табл. 1 и 3 следует сильная зависимость относительного отклонения от радиуса вибратора, чем меньше радиус вибраторной антенны или отношение радиуса к длине, тем отклонение меньше.

Таблица 1.

Относительные отклонения $\delta $ при $\varepsilon = 0.01,$ $l = 0.25\lambda $

l/a ${{Z}_{1}}$, Ом ${{Z}_{2}}$, Ом $\delta $, %
20 116.43 + i19.97 117.14 + i 17.84 1.9
50 100.40 + i 44.13 100.96 + i 43.60 0.7
100 92.34 + i 48.05 92.63 + i 47.84 0.34
200 87.51 + i 48.59 87.65 + i 48.50 0.17
400 84.47 + i 48.12 84.53 + i 48.08 0.074
500 83.73 + i 47.90 83.78 +i 47.87 0.06
1000 81.92 + i 47.18 81.95 + i 47.16 0.04
Таблица 2.

Относительные отклонения $\delta $ при $l = 200a,$ $l = 0.25\lambda $

$\varepsilon $ ${{Z}_{1}}$, Ом ${{Z}_{2}}$, Ом $\delta $, %
0.2 84.78 + i 51.60 84.93 + i 51.18 0.45
0.1 85.38 + i 50.21 85.59 + i 50.00 0.3
0.01 87.51 + i 48.59 87.65 + i 48.50 0.17
0.001 89.15 + i 47.53 89.28 + i 47.43 0.16
Таблица 3.

Относительные отклонения $\delta $ при $\varepsilon = 0.01,$ $l = 0.5\lambda $

l/a ${{Z}_{1}}$, Ом ${{Z}_{2}}$, Ом $\delta $, %
20 43.48 – i 140.14 39.81– i 134.63 4.7
50 136.03 – i 311.36 125.72 – i 301.48 4.4
100 280.35 – i 505.37 262.77 – i 493.96 3.8
200 505.63 – i 744.14 481.51– i 734.11 3.0
400 815.95 – i 1014.84 788.04 – i 1008.28 2.2
500 933.55 – i 1107.09 905.09 – i 1101.81 2
1000 1350.69 – i 1406.26 1322.15 – i 1404.77 1.5
Таблица 4.

Относительные отклонения $\delta $ при $l = 200a,$ $l = 0.5\lambda $

$\varepsilon $ ${{Z}_{1}}$, Ом ${{Z}_{2}}$, Ом $\delta $, %
0.2 1620.39 + i 192.64 1623.92 – i 118.05 19.1
0.1 1263.25 – i 663.03 1137.75 – i 731.91 10.6
0.01 505.63 – i 744.14 481.51 – i 734.11 3.0
0.001 297.84 – i 622.92 286.22 – i 613.36 2.2
Таблица 5.

Относительные отклонения $\delta $ при $l = 200a,$ $l = 0.75\lambda $

$\varepsilon $ ${{Z}_{1}}$, Ом ${{Z}_{2}}$, Ом $\delta $, %
0.2 127.10 + i 74.48 125.45 + i 70.19 3.2
0.1 122.90 + i 61.50 123.39 + i 59.79 1.3
0.01 130.51 + i 48.54 131.13 + i 47.81 0.69
0.001 137.31 + i 39.23 137.82 + i 38.39 0.69

Для полуволнового вибратора (табл. 1, 2) при малых значениях $a$ и $\varepsilon $ относительное отклонение значительно меньше 1%, т.е. входное сопротивление тонкого полуволнового вибратора практически не зависит от модели. Это положение подтвердилось и для других моделей, в частности была рассмотрена модель бесконечно дифференцируемой функции, приведенной в [10, стр. 86] (в указанной работе функция называется “шапочкой”).

Для волнового вибратора относительное отклонение больше, чем для полуволнового и даже полутора волнового вибратора.

Из табл. 2, 4, 5 следует, что для всех антенн уменьшение $\varepsilon $ приводит к уменьшению относительного отклонения и численные результаты подтверждают теоретические выводы, полученные на основе формулы (10).

ВЫВОДЫ

1. Дана математическая постановка задачи исследования зависимости входных сопротивлений антенн от профиля первичного поля: как зависят входные сопротивления от функции, аппроксимирующей дельта-функцию Дирака.

2. Доказано, что если область локализации первичного поля мала по сравнению с длиной антенны, то входное сопротивление асимптотически не зависит от аппроксимирующей функции. Доказательство основано на явной формуле обращения гиперсингулярного оператора.

3. Проведены численные расчеты и получено согласие с теоретическими результатами.

Список литературы

  1. Сочилин А.В., Эминов С.И. // РЭ. 2008. Т. 53. № 5. С. 553.

  2. Лифанов И.К., Ненашев А.С. // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 1. С. 121.

  3. Клюев Д.С., Соколова Ю.В. // РЭ. 2015. Т. 60. № 1. С. 52.

  4. Клюев Д.С., Коршунов С.А., Осипов О.В. и др. // РЭ. 2018. Т. 63. № 5. С. 429.

  5. Плотников В.Н., Радциг Ю.Ю., Эминов С.И. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1994. Т. 34. № 1. С. 68.

  6. Hallen E. // Nova Acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis. Ser. 4. 1938. V. 11. № 4. P. 1.

  7. Леонтович М.А., Левин М.Л. // ЖТФ. 1944. Т. 14. № 9. С. 481.

  8. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митры. М.: Мир, 1977.

  9. Вайнштейн Л.А., Фок В.А. // ЖТФ. 1967. Т. 37. № 7. С. 1189.

  10. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

  11. Неганов В.А., Табаков Д.П., Яровой Г.П. Современная теория и практические применения антенн. М.: Радиотехника, 2009.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Радиотехника и электроника

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал