Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 11, стр. 1109-1115

ВВЕДЕНИЕ

В теории цифровой обработки сигналов широко применяются весовые функции – с их использованием решается ряд проблем, связанных с разрешением сигналов, со снижением эффективности межканальных помех, с повышением помехоустойчивости передачи информации по каналам с сосредоточенными по спектру помехами [1].

Поиск конструктивных решений для последней из перечисленных проблем составляет самостоятельное научное направление в статистической теории связи, в рамках которой создаются процедуры обработки сигналов при их приеме [2, 3]. Методы снижения искажающего влияния класса рассматриваемых помех основаны на увеличении базы сигналов и на компенсации помех с использованием весовых функций [2]. В работах [4–6] приведены описания сигнальных конструкций на основе OFDM-сигналов (orthogonal frequency division multiplexing), разработанные алгоритмы их приема реализуют данное направление. Снижение эффективности действия рассматриваемых помех зависит от используемых весовых функций [5].

Актуальными являются проблемы определения критериев оптимальности весовых функций и их практический выбор, определяющих максимальную помехоустойчивость передачи информации с использованием исследуемых сигнальных конструкций, а также анализ помехоустойчивости при их приеме при наличии рассматриваемых помех.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

OFDM-сигналы $\dot {s}(t)$ представляют сумму $N$ парциальных гармонических сигналов на интервале определения $T$ и задаются соотношением [3, 7]

Здесь ${{f}_{m}} = {m \mathord{\left/ {\vphantom {m T}} \right. \kern-0em} T}$ – частоты, определяющие ортогональность в усиленном смысле парциальных сигналов; символы ${{\dot {\alpha }}_{m}}$ в блоке (${{\dot {\alpha }}_{0}},{{\dot {\alpha }}_{1}},...,{{\dot {\alpha }}_{{N - 1}}}$) задаются информационными последовательностями длительностью $L = N{{\log }_{2}}J$ с учетом сигнальных “созвездий” объемом $J$ используемых сигналов. Для “созвездия” с двухфазовой манипуляцией (ФМ2-сигналы) $J = 2$ и $L = N.$

Теории OFDM-сигналов посвящен ряд работ [7–9]. Перспективность их использования в приложениях определяется спектральной эффективностью, а также возможностью организации надежной передачи информации по каналам с многолучевостью, обусловливающей наличие мультипликативных помех и нестационарность каналов передачи [2, 3]. При формировании и приеме OFDM-сигналов используется аппарат быстрых спектральных преобразований в базисе Фурье (БПФ) [1].

Сосредоточенные по спектру помехи (ССП) определяются соотношением

Здесь $Q$ – количество помех; ${{\dot {p}}_{k}}(t),{{f}_{k}}(t),{{\varphi }_{k}}(t)$ – амплитуда, частота и фаза помех, полагаемых случайными величинами и постоянными ${{\dot {p}}_{k}}(t) = {{\dot {p}}_{{k0}}},$ ${{f}_{k}}(t) = {{f}_{{k0}}},$ ${{\varphi }_{k}}(t) = {{\varphi }_{{k0}}}$ на длительности $T$ OFDM-сигналов.

Сосредоточенные по спектру помехи (2) подобны по структуре парциальным сигналам в (1), что обусловливает их эффективность по снижению помехоустойчивости OFDM-сигналов (1) по сравнению с базовой моделью помехи в виде аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ) [3, 8, 9]. Количественной мерой помехоустойчивости является вероятность ошибки на один информационный бит ${{P}_{{\text{б}}}}$ при приеме сигналов [2].

Помехи ${{\dot {N}}_{m}},$ соответствующие ССП, на выходе согласованного фильтра для $m$-го парциального сигнала определяются соотношением [6]

Вероятность ошибки ${{P}_{{\text{б}}}}(m)$ для $m$-го парциального сигнала при наличии рассматриваемых помех определяется отношением сигнал/помеха [2]

где ${{E}_{б}}$ – энергия на один информационный бит; ${{N}_{{m0}}}$ – эффективная спектральная плотность ССП (2) в полосе $m$-го парциального сигнала; $\overline {{{{\left| {{{{\dot {N}}}_{m}}} \right|}}^{2}}} $ – средняя мощность помех (3).

Известные методы снижения эффективности ССП основаны на использовании методов их компенсации и на увеличении базы $B$ сигналов [2, 3, 9, 10]. При использовании сигналов с базой $B$ вероятность ${{P}_{{\text{б}}}}$ зависит от отношения мощности сигналов ${{P}_{{\text{с}}}}$ к мощности ССП ${{P}_{{\text{п}}}}$ и зависит от отношения $\sqrt {{{B{{P}_{{\text{с}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{B{{P}_{{\text{с}}}}} {{{P}_{{\text{п}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{{\text{п}}}}}}} $ – происходит снижение эффективности ССП в $B$ раз [10].

При условии P_п/P_c > B существенно снижается помехоустойчивость передачи информации. В этом случае повышение надежности передачи возможно обеспечить, используя сигнальные конструкции на основе OFDM-сигналов с увеличением базы $B$ в сочетании с компенсацией ССП [6, 10]. Разработанные алгоритмы приема этих сигнальных конструкций основаны на использовании весовой обработки входных реализаций [4]. Снижение действия рассматриваемых помех зависит от используемых весовых функций. В работах [4–11] показано, что функции Хэмминга, Кайзера, Дольфа–Чебышева, Кайзера–Кравченко являются эффективными для весовой обработки рассматриваемых сигнальных конструкций.

Цель данной работы – детально исследовать весовые функции Кравченко на основе атомарных функций [11, 12] для повышения помехоустойчивости рассматриваемых сигнальных конструкций при наличии ССП. Приведены результаты моделирования разработанных алгоритмов приема.

2. ОПИСАНИЕ СИГНАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ OFDM-СИГНАЛОВ

На рис. 1 представлена схема алгоритма формирования сигнальных конструкций на основе OFDM-сигналов [4, 6]. Информационные символы $(\vec {\dot {\alpha }})$ объемом $K$ битов поступают на вход кодера помехоустойчивого кода. Выходная последовательность двоичных кодовых символов $(\vec {\dot {\alpha }}{\kern 1pt} ')$ с объемом ${K \mathord{\left/ {\vphantom {K R}} \right. \kern-0em} R}$ (R – кодовая скорость кода [2]) поступает на вход перемежителя, каждый символ ${{\vec {\dot {\alpha }}}_{{{\text{п,}}i}}}$ с его выхода отображается в последовательность (${{\dot {\alpha }}_{{{\text{п,}}i}}}{{\dot {p}}_{0}}(i),...,{{\dot {\alpha }}_{{{\text{п,}}i}}}{{\dot {p}}_{{l - 1}}}(i)$) длительностью $l$ действием генератора удлиняющей последовательности. Здесь ${{\dot {p}}_{j}}(i),$ $j = 0,1,...,l - 1$ – символы удлиняющей последовательности с компонентами $ \pm 1.$ Последовательность символов с выхода умножителя длительностью ${{Kl} \mathord{\left/ {\vphantom {{Kl} R}} \right. \kern-0em} R}$ поступает на вход модулятора OFDM-сигналов размерностью $N,$ формирующего последовательность $L = {{Kl} \mathord{\left/ {\vphantom {{Kl} {RN}}} \right. \kern-0em} {RN}}$ OFDM-сигналов (1). Для фиксированной частотной полосы удлиняющая последовательность увеличивает базу сигналов по отношению к базе исходных OFDM-сигналов в $l$ раз [9].

Рис. 1.

Схема формирования сигнальных конструкций на основе OFDM-сигналов.

Отсчеты входной реализации $\vec {\dot {z}}$ при приеме задаются соотношением

Здесь ${{\dot {s}}_{i}},{{\dot {n}}_{i}},{{\dot {N}}_{i}}$ – комплексные отсчеты, соответствующие сигнальной составляющей, АБГШ и ССП.

Обработка реализации $\vec {\dot {z}}$ при приеме включает следующие этапы [4–6, 11]:

умножение отсчетов $\vec {\dot {z}}$ на весовую функцию с коэффициентами $w(k),$ $k = 0,1,2,...,N - 1;$

вычисление спектральных составляющих ${{\dot {S}}_{j}}(k),$ $j = 1,2,...,l$ с использованием БПФ с размерностью $N$ для взвешенной реализации;

компенсацию помех ССП путем нелинейного преобразования спектральных составляющих, в частности, их ограничение с амплитудой, превышающей порог $P;$

демодуляцию OFDM-сигналов; деперемежение отсчетов с выхода демодулятора и декодирование с их использованием.

На вход модуля компенсации ССП поступают нормированные спектральные отсчеты

где осуществляется их ограничение

Здесь $sign(x)$ – знак аргумента $x.$ Операция (5) осуществляется над мнимой частью $\operatorname{Im} ({{\dot {S}}_{i}}(k))$ при формировании $\operatorname{Im} (\dot {S}_{j}^{'}(k)).$

Частным случаем нелинейного преобразования (5) отсчетов $\operatorname{Re} ({{\dot {S}}_{i}}(k))$ и $\operatorname{Im} ({{\dot {S}}_{i}}(k))$ является жесткое ограничение, учитывающее лишь их знак.

Демодуляция OFDM-сигналов заключается в вычислении решений $\vec {\dot {y}}$ с отсчетами

Использование весовых функций обусловливает уменьшение значений боковых лепестков рассматриваемых помех относительно основного лепестка в частотной области [1] по отношению к прямоугольной весовой функции, что снижает искажающее влияние ССП при приеме парциальных сигналов. Вместе с тем при весовой обработке уменьшаются значения сигнал/помеха на выходе демодулятора по отношению к согласованной фильтрации с использованием прямоугольной функции, а также нарушается ортогональность парциальных сигналов, что обусловливает возникновение помех межканальной интерференции (МКИ) [1, 11].

Существуют оптимальные значения порогов ${{P}_{{опт}}},$ определяющие минимальные значения вероятности ошибки ${{P}_{{\text{б}}}}$ для алгоритма приема сигнальных конструкций на основе OFDM-сигналов при наличии ССП. Действительно, вероятность ошибки ${{P}_{{\text{б}}}}$ при реализации правила нелинейной обработки (5) определяется совместным действием двух взаимных факторов.

Во-первых, нелинейная операция ограничения приводит к известному эффекту энергетических потерь – снижению отношения сигнал/помеха при уменьшении значений порога $P$ и, соответственно, к увеличению вероятности ошибки ${{P}_{{\text{б}}}}$ по отношению к линейной обработке [2]. Результаты исследований этого эффекта приведены в [12, 13] – для предельного случая жесткого ограничения энергетические потери достигают максимального значения и для АБГШ составляют 2 дБ.

Во-вторых, при увеличении значений порога $P$ с целью уменьшения влияния ограничения на вероятностные характеристики приема увеличивается эффективность искажающего действия ССП. В этом случае рассматриваемые помехи в частотной области с использованием весовых функций подобны импульсным помехам во временной области. Результаты по разработке алгоритмов оптимальных либо близких к оптимальным алгоритмам приема при наличии помех импульсного типа приведены в [14, 15]. Эти алгоритмы приема основаны на безынерционной нелинейной обработке отсчетов входных реализаций, практически эквивалентной ограничению, которое реализуется путем включения регулировки усиления на основе взвешивания отсчетов с учетом плотности их распределения (в общем случае негауссовой).

Таким образом, должен существовать оптимальный порог ограничения ${{P}_{{опт}}},$ определяющий минимизацию совместного влияния ограничения и ССП и, соответственно, минимальную вероятность ${{P}_{{\text{б}}}}.$

Оптимальность весовых функций при решении рассматриваемой задачи основывается на следующих критериях [11]:

– обеспечение минимальных значений боковых лепестков функций в частотной области;

– достижение минимума энергии спектра частотной характеристики функций за пределами задаваемой полосы;

– минимизация энергетических потерь по отношению к согласованной фильтрации;

– обеспечение максимальной ортогональности для парциальных сигналов (1) с весовой обработкой.

Известен ограниченный ряд весовых функций со свойствами, близкими к сформулированным свойствам оптимальности, например, функция Кайзера с коэффициентами [1]

Здесь $0 \leqslant k < N;$ ${{I}_{0}}(x)$ – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Основные характеристики функции (ширина главного лепестка, значения амплитуд боковых лепестков в частотной области) задаются через параметр $\beta ,$ оптимальным является значение $\beta = 6$ [4].

Альтернативу этим весовым функциям относительно эффективности для решения рассматриваемой задачи составляет класс функций Кравченко на основе атомарных функций [16].

3. ВЕСОВЫЕ ОКНА КРАВЧЕНКО НА ОСНОВЕ АТОМАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Атомарные функции $c{{h}_{{a,n}}}(t)$ с параметрами $a,n$ определяются как финитные решения дифференциального уравнения [16–18]

Решение $y(t) = c{{h}_{{a,n}}}(t)$ имеет носитель [${{ - n} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - n} {(a - 1)}}} \right. \kern-0em} {(a - 1)}};$ ${n \mathord{\left/ {\vphantom {n {(a - 1)}}} \right. \kern-0em} {(a - 1)}}$] и представляется в виде

Здесь $sinc(x)$ = ${{sin(x)} \mathord{\left/ {\vphantom {{sin(x)} x}} \right. \kern-0em} x}.$

Коэффициенты w(k) функций Кравченко задаются соотношением

В табл. 1 приведены характеристики для ряда функций Кравченко и функции Кайзера с параметром $\beta = 6.$

При оценивании характеристики ${{W}_{{{\text{МКИ}}}}} = $ $ = {{{{P}_{c}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{P}_{c}}} {{{P}_{{МКИ}}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{{МКИ}}}}}$ мощность парциального сигнала ${{P}_{c}}$ вычислялась на основе корреляции сигнала и его копии с взвешенными отсчетами. Оценивание мощности ${{P}_{{МКИ}}}$ производилось на основе корреляции парциального сигнала и OFDM-сигналов без данного парциального сигнала с учетом весовой функции.

Анализ табл. 1 показывает, что существует ряд весовых функций Кравченко со свойствами, практически удовлетворяющими сформулированным критериям оптимальности и сравнимых по этим свойствам с функцией Кайзера с оптимальным параметром $\beta = 6.$ В этот ряд входят функции с параметрами $n = 1$ и $n = 2.$ Ниже приведены результаты их исследований.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ КРАВЧЕНКО

Исследование вероятностных характеристик при приеме выполнено для сигнальных конструкций с использованием помехоустойчивого сверточного кода с кодовой скоростью $R$ = 1/2, задаваемого порождающими многочленами ${{g}_{1}}$ и ${{g}_{2}}$ в восьмеричном представлении ${{g}_{1}} = 133,$ ${{g}_{2}} = 171$ [2]. Этот код включен в состав помехоустойчивых кодов, рекомендованных для спутниковых систем связи [19]. Кодер сверточного кода представляется решетчатой диаграммой [2]. Оптимальный прием сигналов, соответствующих сверточным кодам, выполняется на основе алгоритма Витерби – осуществляется динамический перебор возможных путей по кодовой решетке с выбором наиболее правдоподобного пути [2].

Возможность существенного снижения эффективности сосредоточенных по спектру помех при использовании рассматриваемых сигнальных конструкций показана путем моделирования алгоритма приема при наличии АБГШ и до пяти помеховых сигналов с вариацией их количества и произвольного размещения в полосе OFDM-сигналов, размерность БПФ $N = 1024,$ сигнальное “созвездие” ФМ2. Отношение мощности OFDM-сигналов ${{P}_{{\text{с}}}}$ к общей мощности ССП ${{P}_{{\text{п}}}}$ при моделировании равно $\chi = {{{{P}_{{\text{с}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{P}_{{\text{с}}}}} {{{P}_{{\text{п}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{{\text{п}}}}}} = - 20$ дБ. Результаты экспериментальных исследований показывают, что эта модель ССП является адекватной для ряда спутниковых информационных систем, например, для канала P-диапазона: наблюдается в среднем до пяти помех рассматриваемого типа, отношение мощности информационных сигналов к мощности помех может достигать –20…–25 дБ [6].

При моделировании производилась интервальная оценка вероятности ${{P}_{{\text{б}}}}$ путем вычисления частости $p = {x \mathord{\left/ {\vphantom {x u}} \right. \kern-0em} u}{\text{,}}$ где $x$ – число ошибочных битов при приеме из переданных информационных битов объемом $u.$ Требуемый объем $u$ определяется вероятностью ${{P}_{{\text{б}}}},$ доверительной вероятностью ${{P}_{{{\text{дов}}}}} = 0.95$ и размером доверительного интервала $[0.5{{P}_{{\text{б}}}},1.5{{P}_{{\text{б}}}}].$

На рис. 2а, 2б приведены зависимости вероятности ${{P}_{{\text{б}}}}$ для ${{P}_{{опт}}}$ от параметра $a$ для изложенного выше алгоритма приема сигнальных конструкций на основе OFDM-сигналов (для значений $l = 2$ и $l = 4$ соответственно) с использованием весовых функций Кравченко с параметром $n = 1,$ 2 и 3 при наличии АБГШ (${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}} = 5.5$ дБ) и ССП. Видно, что минимальное значение ${{P}_{{\text{б}}}}$ достигается для параметра $n = 1$ и значения $a = 3.$ Для параметров $n = 2$ и $n = 3$ наблюдается выравнивание вероятностных характеристик при увеличении значений $a{\text{:}}$ для $l = 2$ минимальные значения ${{P}_{{\text{б}}}}$ для $n = 3$ и $n = 2$ по отношению к минимальным значениям ${{P}_{{\text{б}}}}$ для $n = 1$ превышают в 100 и в 10 раз соответственно.

Рис. 2.

Зависимости вероятностей ошибки ${{P}_{{\text{б}}}}$ от параметра $a$ при приеме сигнальной конструкции на основе OFDM-сигналов с использованием весовых функций Кравченко при $l = 2$ (а) и 4 (б), параметр окна: $n = 1$ (1), 2 (2) и 3 (3).

Оптимальные пороги ${{P}_{{опт}}}$ определялись путем изменения значений порога $P$ и анализа вероятности ${{P}_{{\text{б}}}}.$ На рис. 3а, 3б приведены вероятностные кривые, соответствующие рассматриваемым сигнальным конструкциям для $l = 2$ и $l = 4$ соответственно, даны зависимости вероятности ошибки ${{P}_{{\text{б}}}}$ от порога ограничения $P$ при компенсации помех с использованием функций Кравченко с параметрами $n = 1$ и 2 и функции Кайзера. Видно, что в соответствии со сделанным выше утверждением существуют оптимальные значения порогов ограничения ${{P}_{{{\text{опт}}}}},$ определяющие минимальные вероятности ошибки ${{P}_{{\text{б}}}}.$ В табл. 2 приведены полученные значения порогов ${{P}_{{{\text{опт}}}}}.$

Рис. 3.

Зависимости вероятностей ошибки ${{P}_{{\text{б}}}}$ от порога $P$ при приеме сигнальной конструкции на основе OFDM-сигналов с использованием весовых функций при $l = 2$ (а) и 4 (б): кривая 1 – функция Кравченко ($n = 1,$ $a = 3$); кривая 2 – функция Кравченко ($n = 2,$ $a = 9.5$); кривая 3 – функция Кайзера ($\beta = 6$).

На рис. 4 приведены результирующие вероятностные кривые для сигнальных конструкций при наличии рассматриваемого комплекса помех, варьируемым параметром является сигнал/помеха ${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}}$ для АБГШ.

Рис. 4.

Вероятностные кривые для сигнальных конструкций на основе OFDM-сигналов и помехоустойчивого сверточного кода с кодовой скоростью 1/2 при наличии АБГШ (кривая 1) и ССП: функция Кайзера ($\beta = 6$) при $l = 2$ (2) и 4 (6); функция Кравченко ($n = 2,$ $a = 9.5$) при $l = 2$ (3) и 4 (5); функция Кравченко ($n = 1,$ $a = 3.0$) при $l = 2$(4) и 4 (7).

Для АБГШ задаваемая вероятность ошибки ${{P}_{б}} = 1{{0}^{{ - 4}}}$ обеспечивается при ${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}} = 3.5$ дБ. Представлены также кривые для функции Кайзера ($\beta = 6$), функции Кравченко с параметрами $n = 2,$ $a = 9.5$ и $n = 1,$ $a = 3.0$ для $l = 2.$ Видно, что наиболее эффективной является функция Кравченко с параметрами $n = 1,$ $a = 3.0$ – задаваемая вероятность ошибки достигается при ${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}} = 5.75$ дБ и энергетические потери кривых 2–4 по отношению к кривой 1 не превышают 2.25 дБ. Для функции Кайзера задаваемая вероятность ошибки достигается при ${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}} = 6.75$ дБ и энергетические потери по отношению к кривой 1 достигают 3.25 дБ. Функция Кравченко с параметрами $n = 2,$ $a = 9.5$ характеризуется меньшей эффективностью – задаваемая вероятность ошибки обеспечивается при ${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}} = 8.0$ дБ и энергетические потери по отношению к кривой 1 достигают 4.5 дБ.

При увеличении значения $l = 4$ подавление СCП увеличивается. В этом случае вероятностные кривые для функций Кравченко с параметрами $n = 1,$ $a = 3.0$ и $n = 2,$ $a = 9.5$ практически совпадают – задаваемая вероятность ошибки обеспечивается при ${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}} = 4.75$ дБ и энергетические потери по отношению к кривой 1 достигают 1.25 дБ. Функция Кайзера характеризуется меньшей эффективностью – задаваемая вероятность ошибки при его применении обеспечивается при ${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}} = 5.25$ дБ и энергетические потери по отношению к кривой 1 достигают 2.25 дБ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, приведены описания сигнальных конструкций на основе OFDM-сигналов и помехоустойчивых кодов, устойчивых к влиянию сосредоточенных по спектру помех. Разработанные алгоритмы приема основаны на увеличении базы этих сигналов по отношению к базе исходных OFDM-сигналов и на компенсации помех в частотной области. Алгоритмы приема включают БПФ с весовой функцией, пороговое ограничение спектральных составляющих и вычисление решений на их основе, используемых при приеме помехоустойчивых кодов. Даны критерии оптимальности весовых функций и показано, что ряд функций Кравченко на основе атомарных функций практически удовлетворяют сформулированным критериям оптимальности.

Путем моделирования разработанного алгоритма приема с использованием весовых функций Кравченко с вариацией их параметров $n,$ $a,$ а также для весовой функции Кайзера произведен анализ помехоустойчивости для сигнальных конструкций ($l = 2,4$), формируемых с использованием сверточного кода с кодовой скоростью 1/2. Моделирование произведено при наличии в канале АБГШ и до пяти ССП с отношением $\chi = - 20$ дБ, эта модель адекватно описывает ряд спутниковых каналов передачи. Для исследуемого ряда весовых функций определены оптимальные значения порогов ограничения, определяющие минимальные вероятности ошибки ${{Р}_{б}}.$

Результаты моделирования показывают, что для рассматриваемой модели помех весовая обработка с использованием функций Кравченко с оптимальными параметрами $n = 1,$ $a = 3.0$ является наиболее эффективной по отношению к рассмотренным весовым функциям, включая функцию Кайзера.

Для вероятности ${{P}_{б}} = 1{{0}^{{ - 4}}}$ и параметра $l = 2$ энергетические потери при использовании весовой функции Кайзера по отношению к функции Кравченко с оптимальными параметрами достигают 1 дБ, при использовании функции Кравченко с параметрами $n = 2$ и $a = 9.5,$ рассмотренной в [11], потери достигают 2.25 дБ. Для $l = 4$ вероятностные кривые, соответствующие весовым функциям Кравченко с параметрами $n = 1,$ $a = 3.0$ и $n = 2,$ $a = 9.5$, практически совпадают, по отношению к этим кривым использование функции Кайзера обусловливает энергетические потери до 0.5 дБ. При уменьшении ${{P}_{б}}$ значения энергетических потерь увеличиваются.