Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 2, стр. 128-134

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, дифракция электромагнитных волн на наноструктурах из благородных металлов (серебра, золота) в световом диапазоне длин волн сопровождается как образованием поверхностных волн (плазмон-поляритонов), так существованием их резонансов. При этом интерес к исследованию свойств плазмон-поляритонов связан главным образом с высокой локализацией электромагнитного поля вблизи поверхности наноструктур, которая позволяет использовать их в субволновом и ближнепольном зондировании. Так, нанопровода из серебра и золота широко применяются в качестве сенсоров [1]. Отметим, что плазмонные резонансы в цилиндрических наноструктурах (нитях) с круглым сечением реализуются в ультрафиолетовой части спектра. Используя нанотрубки, можно сместить частоты плазмонных резонансов в видимую область светового диапазона [2, 3]. В работе [4] исследованы плазмонные резонансы в кварцевой нанонити, покрытой слоем золота переменной толщины в предположении, что границами оболочки являются круговые цилиндры со смещенными центрами. Различные геометрии оболочек из серебра и кварца, контуры поперечного сечения которых образованы круговыми или круговыми и эллиптическими цилиндрами рассматривались в работах [5–7].

Цель данной работы состоит в исследовании особенностей плазмонных резонансов в 2D-наноструктурах из серебра (золота) в случае, когда контур поперечного сечения структуры представляют собой квадрат (прямоугольник) с разными соотношениями сторон. Из близких по тематике работ отметим [8–11].

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим двумерную задачу дифракции плоской электромагнитной линейно-поляризованной волны на двумерной цилиндрической диэлектрической структуре (пластине), поперечное сечение которой представляет собой квадрат (рис. 1а) или прямоугольник (рис. 1б). Плоская волна распространяется в направлении единичного вектора ($\cos {{\varphi }_{0}},\,\,\sin {{\varphi }_{0}},\,0$) и характеризуется следующими компонентами электромагнитного поля:

Зависимость от времени выбрана в виде $\exp (i\omega t),$ где $\omega = kc$ – круговая частота, $k = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \lambda }} \right. \kern-0em} \lambda }$ – волновое число свободного пространства, $c$ – скорость света в вакууме, $\lambda $ − длина волны, $\eta = 120\pi \,\,Ом$ − волновое сопротивление вакуума.

Для структуры, изображенной на рис. 1б, контур поперечного сечения описывается формулой

где $N \gg 1$ (например, при $N = 18$) и $a \ne b.$ Если в (2) принять $a = b,$ то формула (2) будет описывать границу структуры (диэлектрической пластины) с контуром поперечного сечения в виде квадрата (см. рис. 1а). Считается, что среда структуры представляет собой серебро (либо золото). При этом частотная зависимость относительной диэлектрической проницаемости ≡ $\operatorname{Re} ({{\varepsilon }_{c}}) - i\operatorname{Im} ({{\varepsilon }_{c}})$ серебра (или золота ${{\varepsilon }_{з}}(\lambda )$) рассчитывалась на основе интерполяции экспериментальных данных работы [12] кубическими сплайнами. На рис. 2а представлена зависимость действительной и мнимой частей относительной диэлектрической проницаемости серебра. Аналогичные зависимости для случая золота изображены на рис. 2б.

Пространственное распределение диэлектрической проницаемости для структур, изображенных на рис. 1, имеет вид

Исследование сформулированной задачи дифракции удобнее проводить, используя $z$-компоненту $U(x,y) = {{H}_{z}}(x,y)$ магнитного поля, так как краевая задача для функции $U(x,y)$ является скалярной. Полное поле $U(x,y),$ т.е. суперпозиция падающего и рассеянного полей, в кусочно-постоянной среде (3) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Компоненты электрического поля могут быть выражены через функцию $U(x,y)$

На границах структуры должны быть непрерывны величины $U$ и $\frac{1}{{\bar {\varepsilon }}}\frac{{\partial U}}{{\partial N}},$ где $\frac{{\partial U}}{{\partial N}}$ – производная по направлению нормали к границе раздела сред.

Как уже отмечалось, полное поле вне пластины состоит из падающего (${{U}^{0}}$) и рассеянного (${{U}^{s}}$) полей. Падающее поле задано функцией

Рассеянное поле в цилиндрической системе координат ($r,\varphi $), где $x = r\cos \varphi $ и $y = r\sin \varphi ,$ в дальней зоне ($kr \to \infty $) должно удовлетворять условию излучения

где $\Phi (\varphi )$ − диаграмма рассеяния.

Полное сечение рассеяния ${{\sigma }_{S}}$ определяется формулой

2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Численное решение сформулированной задачи проводилось модифицированным методом дискретных источников [13, 14]. При этом точность решения задачи контролировалась путем вычисления невязки $\delta $ граничных условий в линейной норме в точках, расположенных в середине между точками, где граничные условия выполняются точно (в таких точках граничные условия выполняются наихудшим образом [13]). Во всех приведенных ниже расчетах максимальная невязка граничных условий не превышает величину $\delta < {{10}^{{ - 3}}}.$ Пример типичного распределения невязки $\delta (n)$ вдоль контура (2) пластины из серебра ($n$ – номер точки на контуре) представлен на рис. 3 (параметры контура (2) полагали следующими: $N = 18,\,\,a = 50\,\,{\text{нм}},$ $b = 5\,\,{\text{нм}}$).

Рассмотрим сначала поведение нормированного поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ в зависимости от длины волны $\lambda $ (во всех представленных ниже результатах $\lambda $ изменяется в пределах $300\,\,{\text{нм}} < \lambda < 600\,\,{\text{нм}}$ для серебра и $300\,\,{\text{нм}} < \lambda < 900\,\,{\text{нм}}$ для золота) для случая серебряной пластины при различных углах падения ${{\varphi }_{0}}$ плоской волны.

На рис. 4 представлены результаты расчета нормированного поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ для угла падения ${{\varphi }_{0}} = 0,$ т.е. когда плоская волна падает (“освещает”) на узкую часть пластины и распространяется вдоль ее широкой части. При этом кривая 1 соответствует случаю квадратной пластины, а кривые 2–5 – прямоугольной пластины с $a = 50\,\,{\text{нм}}$ и b = 25, 125, 6.25 и 5 нм. Из рисунка следует, что во всех случаях кривые 1–5 содержат два максимума, соотношение амплитуд которых изменяются при уменьшении толщины пластины. При этом максимумы лежат в диапазоне длин волн $320\,\,{\text{нм}} < \lambda < 360\,\,{\text{нм}}$ и практически мало изменяют свое положение.

Для понимания происхождения этих максимумов на рис. 5 приведены результаты расчета нормированного поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ при $a = b = 50\,\,{\text{нм,}}$ ${{\varphi }_{0}} = 0$ и различных значениях мнимой части относительной диэлектрической проницаемости серебра, которые определяют потери среды. Из этого рисунка следует, что при малых значениях потерь среды ($\operatorname{Im} (\varepsilon ) \leqslant \operatorname{Im} ({{\varepsilon }_{c}})$) можно наблюдать как дипольный, так и мультипольные резонансы. Кроме того, видно, что для реальных значений $\operatorname{Im} ({{\varepsilon }_{с}})$ у такой серебряной пластины первый (правый) максимум поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ соответствует дипольному резонансу, а второй (левый) максимум – результат слияния нескольких мультипольных резонансов.

Следует обратить внимание, что применение методики и результаты работы [14] вызывают серьезные сомнения для случая тонких нанопластин из благородных металлов. С одной стороны, это связано с тем, что толщина пластины $2b$ не должна быть меньше $2b \leqslant 10\,\,{\text{нм,}}$ так как при толщине пластины $2b < 10\,\,{\text{нм}}$ необходимо учитывать эффекты, связанные с пространственной дисперсией, а при $2b \leqslant 5\,\,{\text{нм}}$ – привлекать квантовую механику для описания взаимодействия электромагнитной волны с пластиной [1]. С другой стороны, при $2b > 10\,\,{\text{нм}}$ имеет место достаточно сильное изменение поля поперек пластины, что принципиально не учитывается в методике работы [14]. Кроме того, заметим, что ссылка на работу [13] в качестве теста является некорректной, поскольку в ней отсутствуют соответствующие расчеты поперечника рассеяния на основе применения метода поверхностных интегральных уравнений, подтверждающие результат работы [14].

На рис. 6а и 6б представлены результаты расчета нормированного поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ для углов падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4}$ и ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2},$ т.е. когда “освещены” обе грани пластины. Размеры серебряной пластины и нумерация кривых полагались аналогичными предыдущему случаю. Как следует из рисунков, поперечник рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ имеет один максимум (правый и главный), связанный с дипольным резонансом, и второй максимум (левый с существенно меньшим уровнем), который является результатом слияния мультипольных резонансов. Отметим, что положение главного максимума $k{{\sigma }_{S}}$ зависит от толщины пластины – с уменьшением толщины пластины он перемещается в сторону увеличенных значений λ. При этом максимумы поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ лежат в диапазоне длин волн $320\,\,{\text{нм}} < \lambda < 550\,\,{\text{нм,}}$ что значительно превышает случай падения плоской волны с углом ${{\varphi }_{0}} = 0.$ Кроме того, сравнение результатов, представленных на рис. 6а и 6б, показывает, что положения резонансов поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ для углов падения ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4},$ ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$ при одинаковых толщинах пластин практически совпадают.

Результаты расчета нормированного поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ для золотой пластины и углов падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4}$ и ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$ представлены на рис. 7а и 7б. Размеры золотых пластин такие же, как и серебряных. Как видим, частотная зависимость поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ имеет только один максимум, определяемый дипольным резонансом. Уменьшение толщины пластины здесь, как и в случае серебряной пластины, приводит к аналогичному изменению положения поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$-смещению в область больших длин волн. Однако диапазон длин волн, в котором располагаются максимумы $k{{\sigma }_{S}}$ – $510\,\,{\text{нм}} < \lambda < 640\,\,{\text{нм,}}$ меньше, чем в случае серебряной пластины.

Влияния материала пластины на частотную зависимость поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ представлено на рис. 8. На нем изображены результаты расчетов поперечника рассеяния $k{{\sigma }_{S}}$ для серебряной и золотой пластин с одинаковыми размерами $a = 100\,\,{\text{нм}},\,\,b = 5\,\,{\text{нм}}$ и угле падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 3}} \right. \kern-0em} 3}.$ Из рисунка следует, что для серебряной пластины имеет место ярко выраженные дипольный и один мультипольный резонансы. При этом у золотой пластины присутствует только дипольный резонанс. Различия в поведении частотной зависимости потерь серебра и золота (см. кривые 2 рис. 2а и рис. 2б) объясняют такое поведение кривых.

На рис. 9 представлены результаты расчета пространственного распределения поля U = $ = {{H}_{z}}(x = 0,y)$ вдоль оси $y$ для четырех длин волн $\lambda $ = 367.27, 400, 539 и 600 нм. Геометрические размеры серебряной пластины $a = 50\,\,{\text{нм,}}$ $b = 5\,\,{\text{нм;}}$ угол падения плоской волны на пластину ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4}.$ Отметим, что при $\lambda \approx 400\,\,{\text{нм}}$ и $\lambda = 539\,\,{\text{нм}}$ имеют место локальные максимумы поперечника рассеяния. Из этого рисунка следует, что даже в случае относительно тонкой пластины (толщина $2a = 10\,\,{\text{нм}}$) в поперечном направлении наблюдается достаточно сильное изменение поля, которое никак не может быть признано приблизительно постоянным. Это также ставит под сомнение использование интегрального уравнения, полученного на основе метода двусторонних граничных условий [14] для описания взаимодействия электромагнитных волн с “тонкими пластинами” из благородных металлов.

Наконец, обсудим результаты расчета диаграмм рассеяния. На рис. 10 представлены результаты расчетов, иллюстрирующие влияние потерь серебра на диаграмму рассеяния серебряной пластины с параметрами $a = 50\,\,{\text{нм,}}$ угле падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4}$ на двух длинах волн – 396 и 539 нм. Как видим, потери сильнее сказываются на диаграмме рассеяния при мультипольном резонансе ($\lambda \approx 396\,\,{\text{нм}}$), чем при дипольном резонансе ($\lambda \approx 539\,\,{\text{нм}}$).

Рисунок 11 иллюстрирует влияние длины воны $\lambda $ на диаграмму рассеяния серебряной пластины с параметрами $a = 100\,\,{\text{нм,}}$ $b = 5\,\,{\text{нм}}$ при угле падения плоской волны ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 3}} \right. \kern-0em} 3}$ на длинах волн λ = 490, 750, 450 и 800 нм. Видно, что изменение длины волны λ приводит формированию диаграмм рассеяния с различным числом ее максимумов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена дифракция плоской волны на цилиндрической 2D-структуре, представляющей собой квадратную или прямоугольную серебряную (золотую) пластину. Строгими численными методами рассчитаны спектральные и пространственные характеристики рассеянного поля. Показано, что в малых по сравнению с длиной волн реальных структурах из золота присутствуют только дипольные резонансы плазмонов. Для серебряных пластин дипольный и “совокупный” квадрупольный резонанс наблюдается лишь при достаточно большой ее длине. Продемонстрировано влияние геометрических размеров пластины, угла падения плоской волны и ее длины волны на положения максимума поперечника рассеяния и диаграммы рассеяния.