Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 2, стр. 197-202

Свободные и вынужденные колебания заряженных частиц в инерционно-нестационарных быстроосциллирующих квадрупольных электрических полях

Е. В. Мамонтов a, М. Ю. Судаков a, Р. Н. Дятлов a*

a Рязанский государственный радиотехнический университет,
ул. Гагарина, 59/1, Рязань, 390005 Российская Федерация

* E-mail: kaitp@list.ru

Поступила в редакцию 27.11.2018
После доработки 28.12.2018
Принята к публикации 11.01.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследованы свободные и вынужденные колебания заряженных частиц в инерционно-нестационарных квадрупольных электрических ВЧ-полях. Используя линейные соотношения между коэффициентами ряда, являющиеся решением дифференциального уравнения Матье, полигармонические колебания заряженных частиц в быстроосциллирующих полях с медленно изменяющимися параметрами представляются моделью нестационарного гармонического осциллятора. С помощью функции Грина получены выражения для резонансных колебаний заряженных частиц в нестационарных ВЧ-полях с наложенными на них возбуждающими однородными полями. Рассмотрен частный случай полигармонического осциллятора с линейно изменяющейся собственной частотой колебаний, получены выражения для параметров его функции возбуждения. Аналитические соотношения подтверждаются результатами компьютерного моделирования.

ВВЕДЕНИЕ

Свойства колебаний заряженных частиц в квадрупольных ВЧ-полях и их композициях с однородными полями, описываемые дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, широко используются в аналитических приборах и системах для удержания, транспортировки и сепарации ионов по удельному заряду. При исследовании колебаний частиц в быстроосциллирующих полях с линейной возвращающей силой полезной моделью является гармонический осциллятор с квадратичным распределением статического потенциала [1]. Полигармонические колебания заряженных частиц в квадрупольных ВЧ полях также можно рассматривать как усредненные гармонические колебания с секулярной частотой [2]. Масс-анализаторы ионов, как правило, работают в режимах с разверткой масс, предполагающей изменение в процессе анализа одного или нескольких параметров квадрупольного поля [3]. По сравнению с секулярными колебаниями заряженных частиц эти изменения носят медленный характер и могут быть описаны моделью инерционно-нестационарного гармонического осциллятора. Линейная связь коэффициентов полигармонического решения дифференциальных уравнений Матье [4] позволяет использовать собственные и вынужденные колебания нестационарного гармонического осциллятора для решения задач резонансного воздействия однородных возбуждающих полей на колебания заряженных частиц в квадрупольных ВЧ-полях с медленно изменяющимися параметрами.

1. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ИНЕРЦИОННО-НЕСТАЦИОНАРНОМ ВЧ-ПОЛЕ

Электрическое поле двумерного квадрупольного анализатора описывается распределением потенциала [3]

(1)
$\varphi (x,y) = \frac{u}{{r_{0}^{2}}}({{x}^{2}} - {{y}^{2}}),$
где u = U + V cos ωt – питающее напряжение, r0 – геометрический параметр анализатора. В поле с постоянными параметрами движение заряженных частиц по координате x (или y) описывается дифференциальным уравнением Матье [3, 4]

(2)
$\frac{{{{d}^{2}}x}}{{d{{t}^{2}}}} + \frac{{{{\omega }^{2}}}}{4}(a - 2q\cos \omega t)x = 0,$

где $a = {{8eU} \mathord{\left/ {\vphantom {{8eU} {r_{0}^{2}{{\omega }^{2}}m}}} \right. \kern-0em} {r_{0}^{2}{{\omega }^{2}}m}},$ $q = {{4eV} \mathord{\left/ {\vphantom {{4eV} {r_{0}^{2}{{\omega }^{2}}m}}} \right. \kern-0em} {r_{0}^{2}{{\omega }^{2}}m}},$ e и m – заряд и масса частицы. Устойчивое решение уравнения (2) имеет вид гармонического ряда [4]

$x(t) = A\sum\limits_{r = - \infty }^\infty {{{C}_{{2r}}}\cos \left[ {\left( {r + \frac{\beta }{2}} \right)\omega t + \theta } \right],} $

где A и θ – постоянные интегрирования, зависящие от начальных координат x0 и скоростей v0x частиц, C2r и β – коэффициенты ряда и параметр стабильности, зависящие от a и q. Наибольший интерес представляют колебания заряженных частиц в первой зоне стабильности, заключенной между границами [4]

(4)
$\begin{gathered} {{a}_{0}}(q) = - \frac{1}{2}{{q}^{2}} + \frac{7}{{128}}{{q}^{4}} - \frac{{29}}{{2304}}{{q}^{6}} + Q({{q}^{8}}), \\ {{b}_{1}}(q) = 1 - q - \frac{1}{8}{{q}^{2}} + \frac{1}{{64}}{{q}^{3}} + Q({{q}^{4}}). \\ \end{gathered} $

В стабильной зоне 0 ≤ β ≤ 1. Коэффициенты C2r ряда (3) зависят от параметров a, q и β и связаны между собой рекуррентным соотношением [4]

(5)
$\begin{gathered} \frac{{{{C}_{{2r}}}}}{{{{C}_{{2r - 2}}}}} = \frac{{ - {{{(2r - 2 + \beta )}}^{2}} + a}}{q} + \\ + \,\,\frac{{{q \mathord{\left/ {\vphantom {q {(2r}}} \right. \kern-0em} {(2r}} - 4 + \beta {{)}^{2}}}}{{1 - {a \mathord{\left/ {\vphantom {a {(2r}}} \right. \kern-0em} {(2r}} - 4 + \beta {{)}^{2}} - \ldots }}. \\ \end{gathered} $

Выражение (5) указывает на пропорциональность коэффициентов C2r ~ C0, которая определяет линейную связь амплитуд Xmr высших гармоник колебаний с амплитудой Xm0 секулярной составляющей. Это свойство решений уравнений Матье позволяет задачи полигармонических колебаний заряженных частиц в квадрупольных ВЧ-полях, а также в их суперпозициях с однородными полями, сводить к задачам свободных и вынужденных колебаний гармонического осциллятора. Такой же подход, изложенный в [1], рассматривает движение частиц в быстроосциллирующих полях как усредненные колебания в поле постоянной “эффективной потенциальной энергии” с квадратичной зависимостью от амплитуды колебаний. Модель гармонического осциллятора используется также для описания колебаний с секулярной частотой в поле “псевдопотенциала” квадрупольных анализаторов с параметрами a = 0, q < 0.3 [3]. Основываясь на отмеченных свойствах дифференциальных уравнений Матье, рассмотрим свободные и вынужденные колебания заряженных частиц в квадрупольных ВЧ-полях с медленно изменяющимися параметрами.

Нестационарность гармонических осцилляторов, как правило, выражается в изменении во времени собственной частоты колебаний Ω(ξ), где ξ = t/T (T – интервал нестационарности). Под собственной частотой будем понимать частоту секулярных колебаний ${{\Omega }_{s}}\left( \xi \right)$ = β(ξ)ω/2 заряженных частиц в квадрупольном ВЧ-поле, изменение которой происходит при изменении (сканировании) одного или нескольких параметров питающего напряжения u(ξ). Сканирование считаем инерционным при выполнении условия

(6)
$T{{\Omega }_{{\min }}} \gg 2\pi ,$

где Ωmin – минимальное на интервале [0, T] значение секулярной частоты.

Колебания гармонического осциллятора без потерь с изменяющейся собственной частотой Ω(ξ) при внешнем воздействии f(ξ) описываются дифференциальным уравнением

(7)
$\frac{{{{d}^{2}}x}}{{d{{\xi }^{2}}}} + {{\Omega }^{2}}(\xi )x = f(\xi ).$

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (7) используем метод Грина [5]

(8)
$x{\text{(}}\xi {\text{)}} = \int\limits_0^\xi {G(\eta )f(\xi - \eta )d\eta + \sum\limits_{k = 1}^2 {{{A}_{k}}{{x}_{k}}(\xi ),} } $

где G(ξ) – функция Грина, xk(ξ) – частные решения однородного дифференциального уравнения, Ak – постоянные интегрирования. Согласно теории линейных дифференциальных уравнений функцией Грина колебаний материальной точки с массой m является частное решение x1(ξ) однородного уравнения (7) при начальных условиях x(0) = 0, x'(0) = 1/m [5]. Представим функцию x1(ξ) гармоническим колебанием с медленно изменяющейся амплитудой X(ξ) и фазой φ(ξ) [6]

(9)
${{x}_{1}}(\xi ) = X(\xi )\sin \varphi (\xi ),$

где $\varphi {\text{(}}\xi {\text{)}} = \int_0^\xi {\Omega (\eta )} d\eta $. После подстановки x1(ξ) в (7) получаем уравнение огибающей

(10)

При выполнении условия (6) величина X "(ξ) имеет второй порядок малости и уравнение (10) упрощается

(11)
${\text{2}}X{\kern 1pt} '(\xi )\Omega (\xi ) + X(\xi )\Omega {\kern 1pt} '(\xi ) \simeq 0.$

Его решением является функция

(12)
$X(\xi ) \simeq {C \mathord{\left/ {\vphantom {C {\sqrt {\Omega (\xi )} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\Omega (\xi )} }},$

где C – постоянная, определяемая начальными условиями. Тогда частное решение однородного дифференциального уравнения (7) примет вид

(13)
${{x}_{1}}(\xi ) \simeq \frac{C}{{\sqrt {\Omega (\xi )} }}\sin \varphi (\xi ).$

После подстановки в (13) начальных условий x(0) = = 0, x'(0) = 1/m, Ω(0) = Ω0 получаем функцию Грина инерционно-нестационарного гармонического осциллятора

(14)
$G(\xi ) = \left\{ \begin{gathered} 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\xi < 0, \hfill \\ \frac{1}{{m\sqrt {{{\Omega }_{0}}\Omega (\xi )} }}\sin \varphi (\xi ),\,\,\,\,0 \leqslant \xi \leqslant 1. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Далее, учитывая пропорциональность коэффициентов C2r ~ C0, получаем выражение для функции Грина полигармонических колебаний заряженных частиц в квадрупольном ВЧ-поле с медленно изменяющимися параметрами

(15)
$G(\xi ) = \left\{ \begin{gathered} 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\xi < 0, \hfill \\ \frac{1}{{m\sqrt {{{\Omega }_{0}}\Omega (\xi )} }}\sum\limits_{F = - \infty }^\infty {{{C}_{{2r}}}(\xi )[{{v}_{r}}\xi + \varphi (\xi ) + {{\theta }_{r}}]} ,\,\,\,\,0 \leqslant \xi \leqslant 1, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

где vr = rωT – нормированные частоты высших гармоник колебаний.

Рассмотрим частный случай свободных колебаний в гармоническом осцилляторе с линейно изменяющейся собственной частотой

(16)
$\Omega {\text{(}}\xi {\text{)}} = {{\Omega }_{0}} + \Delta \Omega \xi .$

Дифференциальное уравнение для этого случая имеет вид

(17)
$\frac{{{{d}^{2}}x}}{{d{{\xi }^{2}}}} + {{[{{\Omega }_{0}} + \Delta \Omega \xi ]}^{2}}x = 0.$

Уравнение (17) приводится к дифференциальному уравнению параболического цилиндра

(18)
$\frac{{{{d}^{2}}y}}{{d{{x}^{2}}}} + \left( {\frac{{{{x}^{2}}}}{4} - a} \right)y = 0,$

решением которого при x $ \gg $ a являются функции Вебера [7]

(19)
$W(0,x) \cong \frac{1}{{\sqrt x }}\left[ {{{B}_{1}}\cos \frac{{{{x}^{2}}}}{2} + {{B}_{2}}\sin \frac{{{{x}^{2}}}}{2}} \right].$

Функцию Грина гармонического осциллятора с линейно изменяющейся собственной частотой колебаний получаем подстановкой (16) в (14):

(20)
$\begin{gathered} G(\xi ) = \\ = \left\{ \begin{gathered} 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\xi < 0, \hfill \\ \frac{1}{{m\sqrt {{{\Omega }_{0}}({{\Omega }_{0}} + \Omega \xi )} }}\sin [{{v}_{0}}\xi + \Delta v{{\xi }^{2}}],\,\,\,\,0 \leqslant \xi \leqslant 1, \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

где v0 = Ω0T, Δv = ΔΩT/2. При соответствующей замене переменных решения уравнений (17) и (18) совпадают, что подтверждает справедливость выражения (12) для огибающей функции Грина инерционно-нестационарного гармонического осциллятора.

Функции Грина, полученные численным моделированием свободных колебаний заряженных частиц в квадрупольном ВЧ-поле с линейно нарастающей и убывающей амплитудой (соответствуют прямому и обратному линейному сканированию секулярной частоты), приведены на рис. 1.

Рис. 1.

Свободные колебания заряженных частиц в квадрупольном ВЧ-поле с линейно нарастающей (а) и линейно убывающей амплитудой (б); на вставках – увеличенный масштаб отмеченных участков.

Огибающие секулярной составляющей функции Грина, рассчитанной по формуле (20) и полученной в результате компьютерного моделирования, при ΩT > 23 отличаются не более чем на 1%. Высокочастотные составляющие свободных колебаний, показанные на рис. 1 в увеличенном масштабе, при сканировании изменяются в соответствии с зависимостями коэффициентов C2r от параметра ВЧ-поля q.

С помощью выражения (12) для огибающей функции Грина устанавливается связь полной энергии колебаний нестационарного гармонического осциллятора с инерционным параметрическим воздействием на его собственную частоту. После подстановки в формулу для энергии гармонических колебаний материальной точки

$W = \frac{{{{x}^{2}}{{\Omega }^{2}}}}{2}m$

зависимости (12) амплитуды от частоты получаем

(21)
$W(\xi ) = \frac{{{{C}^{2}}m}}{2}\Omega (\xi ).$

Согласно (21) полная энергии колебаний инерционного параметрического осциллятора изменяется пропорционально частоте его собственных колебаний. В радиоэлектронике для усиления слабых сигналов используются быстрые, синхронные с частотой принимаемых колебаний, параметрические воздействия на колебательные системы [8]. В аналитических системах изменение полной энергии колебаний инерционным параметрическим воздействием на частоту собственных колебаний может использоваться для управления движением заряженных частиц при их транспортировке, удержании и сепарации в квадрупольных ВЧ-полях.

2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ИНЕРЦИОННО-НЕСТАЦИОНАРНЫХ КВАДРУПОЛЬНЫХ ВЧ-ПОЛЯХ

Современные масс-спектрометрические методы микроанализа вещества используют свойства колебаний заряженных частиц в композициях полей с различающимися пространственно-временными распределениями потенциала. Эффективным является метод резонансного вывода ионов из квадрупольных анализаторов путем наложения на линейное ВЧ-поле возбуждающего поля [9, 10], в качестве которого используют близкое к однородному переменное поле

(22)
${{E}_{{{\text{ex}}}}}(\xi ) \approx \frac{{{{V}_{{{\text{ex}}}}}}}{{2{{r}_{0}}}}\cos {{v}_{{{\text{ex}}}}}\xi {\kern 1pt} ,$

где Vex и vex = TΩex – амплитуда и нормированная частота возбуждающего напряжения, приложенного к паре противоположных электродов квадрупольного анализатора с геометрическим параметром r0.

Для базовых колебаний с секулярной частотой Ωs(ξ) квадрупольный анализатор с резонансным выводом ионов и амплитудной разверткой масс можно рассматривать как нестационарный гармонический осциллятор с внешней силой

$f(\xi ) = {{F}_{m}}{\text{cos}}{{v}_{{\text{в}}}}\xi {\kern 1pt} ,$

(Fm= evв/2r0), описываемый неоднородным дифференциальным уравнением (7). Его решением в форме (8) при нулевых начальных условиях x(0) = 0, x/(0) = 0 является функция возбуждения

(23)
${{x}_{s}}(\xi ) = {{F}_{m}}\int\limits_0^\xi {G(\eta )\sin [{{v}_{{{\text{ex}}}}}(\xi - \eta )]d\eta {\kern 1pt} .} $

После подстановки в (23) функции Грина (14) получаем

(24)
${{x}_{s}}(\xi ) = \frac{{{{F}_{m}}}}{{m\sqrt {{{\Omega }_{0}}} }}\int\limits_0^\xi {\frac{{\sin \varphi (\eta )\sin [{{v}_{{{\text{ex}}}}}(\xi - \eta )]}}{{\sqrt {\Omega (\eta )} }}} d\eta .$

При выполнении условия (6) инерционной нестационарности функция $\sqrt {\Omega (\eta )} $ в (24) по сравнению с гармоническими функциями является медленно изменяющейся, и с некоторым приближением можно записать

(25)
${{x}_{s}}(\xi ) \simeq F(\xi )\int\limits_0^\xi {\sin [\varphi (\eta )]\sin [{{v}_{{{\text{ex}}}}}(\xi - \eta )]d\eta } ,$

где $F(\xi ) = {{{{F}_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{F}_{m}}} {m\sqrt {{{\Omega }_{0}}\Omega (\xi )} }}} \right. \kern-0em} {m\sqrt {{{\Omega }_{0}}\Omega (\xi )} }}.$ Для вычисления интеграла в (25) применим метод стационарной фазы [11].

Используя (25), найдем функцию возбуждения гармонического осциллятора с линейно изменяющейся частотой собственных колебаний Ω(ξ) = Ω0 + ΔΩξ.

Текущая фаза φ(ξ) колебаний при линейном сканировании частоты описывается функцией

(26)
$\varphi (\xi ) = {{\Omega }_{0}}T\xi + \frac{{\Delta v}}{2}{{\xi }^{2}}.$

После подстановки φ(ξ) в (25), тригонометрических преобразований и пренебрежения малыми составляющими получаем

(27)
$\begin{gathered} {{x}_{{se}}}(\xi ) = \frac{{{{F}_{m}}}}{{m\sqrt {{{\Omega }_{0}}({{\Omega }_{0}} + \Delta \Omega \xi )} }} \times \\ \times \,\,\left\{ { - \sin \left[ {\frac{{\Delta v}}{2}\left( {{{\xi }^{2}} + \xi _{{{\text{ex}}}}^{2}} \right)} \right]\int\limits_0^\xi {\sin \left[ {\frac{{\Delta v}}{2}{{{\left( {\eta - {{\xi }_{{{\text{ex}}}}}} \right)}}^{2}}} \right]} } \right.d\xi + \\ \left. { + \,\,\cos \left[ {\frac{{\Delta v}}{2}\left( {{{\xi }^{2}} + \xi _{{{\text{ex}}}}^{2}} \right)} \right]\int\limits_0^\xi {\cos \left[ {\frac{{\Delta v}}{2}{{{\left( {\eta - {{\xi }_{{{\text{ex}}}}}} \right)}}^{2}}} \right]} d\eta } \right\}, \\ \end{gathered} $

где ξex = (Ωex – Ω0)/ΔΩ – нормированное время возбуждения. Введя обозначение H(ξ) = $ = {{{{F}_{m}}\sqrt T } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{F}_{m}}\sqrt T } m}} \right. \kern-0em} m}\sqrt {2\Delta \Omega {{\Omega }_{0}}({{\Omega }_{0}} + \Delta \Omega \xi )} $ и используя стандартные формы интегралов Френеля $S(y) = \sqrt {\frac{2}{\pi }} \int_0^y {\sin {{y}^{2}}dy} $ и $C(y) = \sqrt {\frac{2}{\pi }} \int_0^y {\cos {{y}^{2}}dy} $ запишем функцию возбуждения в следующем виде:

(28)
$\begin{gathered} {{x}_{{se}}}(\xi ) = H(\xi )\left\{ { - \left[ {\frac{1}{2}S\left( {\frac{{\Delta v}}{2}\left( {\xi + {{\xi }_{{{\text{ex}}}}}} \right)} \right)} \right]} \right. \times \\ \times \,\,\sin \left[ {\frac{{\Delta v}}{2}\left( {{{\xi }^{2}} + \xi _{{{\text{ex}}}}^{2}} \right)} \right] + \\ \left. { + \,\,\left[ {\frac{1}{2} + C\left( {\frac{{\Delta v}}{2}\left( {\xi + {{\xi }_{{{\text{ex}}}}}} \right)} \right)} \right]\cos \left[ {\frac{{\Delta v}}{2}\left( {{{\xi }^{2}} + \xi _{{{\text{ex}}}}^{2}} \right)} \right]} \right\}. \\ \end{gathered} $

В полигармоническом осцилляторе с суперпозицией квадрупольных ВЧ- и однородных возбуждающих полей функции (25) и (28) описывают колебания заряженных частиц с секулярной частотой. Функция возбуждения, учитывающая высшие гармоники колебаний, может быть получена с помощью функции Грина (15) или на основе рекуррентного соотношения (5) между коэффициентами C2r:

(29)
${{x}_{p}}(\xi ) = H(\xi )\sum\limits_{r = - \infty }^\infty {{{C}_{{2r}}}(\xi )} \sin \left[ {{{\omega }_{r}}T\xi + \varphi (\xi ) + {{\theta }_{r}}} \right].$

Функции возбуждения полигармонического осциллятора с прямым и обратным линейным сканированием секулярной частоты, полученные компьютерным моделированием колебаний ионов с массой M = 3900 а. е. м. в квадрупольном ВЧ-поле с параметрами r0 = 5 мм, f = 1 МГц, V = (100 + 900ξ) В, V = (1000 – 900ξ) В, и наложенным на него возбуждающим полем с fex = 20 кГц, Vex = 50 В, показаны на рис. 2. Амплитуда секулярных колебаний ионов с приближением частоты Ωs(ξ) к частоте Ωex возбуждающего поля резонансно возрастает и достигает наибольшего значения

(30)
${{X}_{{\max }}} = \frac{{{{F}_{m}}\sqrt {\pi T} }}{{m{{\Omega }_{{{\text{ex}}}}}\sqrt 2 \sqrt {\Delta \Omega } }}.$
Рис. 2.

Вынужденные колебания заряженных частиц в квадрупольном ВЧ-поле с прямым (а) и обратным (б) линейным сканированием амплитуды; на вставках – увеличенный масштаб отмеченных участков.

После прохождения резонанса амплитуда возбужденных колебаний изменяется в соответствии с функцией ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {\Omega (\xi )} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\Omega (\xi )} }}.$

Для оценки разрешающей способности масс-анализатора важным параметром является время возбуждения, которое при линейном сканировании секулярной частотой рассчитывается по формуле

(31)
${{t}_{{{\text{ex}}}}} = 2\sqrt {{{\pi T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi T} {\Delta \Omega }}} \right. \kern-0em} {\Delta \Omega }}} {\kern 1pt} .$

Оценивать разрешающую способность квадрупольных масс-анализаторов с резонансным выводом ионов только по скорости изменения секулярного колебания, как в [10], не совсем корректно. Высшие гармоники колебаний придают огибающей функции возбуждения немонотонный характер и искажают шкалу масс M, соответственно, снижают разрешающую способность и точность определения масс-анализатора. При оптимизации частоты Ωex возбуждающего поля следует учитывать все факторы, влияющие на время tex достижения ионами границ x = r0 электродной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе линейной зависимости коэффициентов C2r высших гармоник решения дифференциального уравнения Матье от коэффициента C0 секулярной составляющей обоснованно использование модели гармонического осциллятора для исследования колебаний заряженных частиц в квадрупольных ВЧ-полях и в их суперпозиции с однородными полями. При решении неоднородного дифференциального уравнения инерционно-нестационарного осциллятора используется функция Грина, определенная как гармоническое колебание с переменной частотой Ω(ξ) и огибающей $X(\xi ) \sim {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {\Omega (\xi )} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\Omega (\xi )} }}.$ На ее основе получена функция Грина полигармонического осциллятора, описывающая свободные колебания заряженных частиц в квадрупольных ВЧ-полях с изменяющейся амплитудой. Для инерционно-нестационарного осциллятора с внешним воздействием найдена функция возбуждения. Рассмотрены свободные и вынужденные колебания заряженных частиц в квадрупольном ВЧ-поле с линейным сканированием секулярной частоты. Аналитические соотношения, подтвержденные результатами компьютерного моделирования, свидетельствуют об эффективности использования модели нестационарного гармонического осциллятора для исследования колебаний заряженных частиц в быстроосциллирующих полях с медленно изменяющимися параметрами.

Список литературы

  1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Физматлит, 2001. С. 124.

  2. Миллер М.А. // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. Т. 1. С. 110.

  3. Dawson P.H. Quadrupole Mass Spectrometry and its Applications. N.Y.: Amer. Inst. Phys., 1995.

  4. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

  5. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики: М.: Наука, 1967. С. 255.

  6. Митропольский Ю.А. Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах. Киев: Изд‑во АН УССР, 1955.

  7. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица М., И. Стиган. М.: Наука, 1979. С. 494.

  8. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2000.

  9. Xu W., Chappell W.J., Ouyang Z. // Int. J. Mass Spectrometry. 2011. V. 308. № 1. P. 49.

  10. Douglas D.J., Konenkov N.V. // Rapid Commun. Mass Spectrometry. 2014. V. 28. P. 430.

  11. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. М.: Атомиздат, 1972.

Дополнительные материалы отсутствуют.