Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 3, стр. 294-302

К вопросу о классификации точных решений уравнений плотного электронного пучка

В. А. Сыровой *

ВЭИ – филиал ФГУП РФЯЦ-ВНИИТФ
111250 Москва, ул. Красноказарменная, 12, Российская Федерация

* E-mail: red@cplire.ru

Поступила в редакцию 06.06.2018
После доработки 06.06.2018
Принята к публикации 15.08.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Проведен анализ точных решений уравнений пучка, описывающих вырожденные потоки, обобщенные бриллюэновские состояния и плоские соленоидальные течения, не относящиеся к классу инвариантных решений. Указаны ранее неизвестные факты теории соленоидальных потоков во внешнем неоднородном магнитном поле и новые интерпретации вырожденных решений.

ВВЕДЕНИЕ

Построение наиболее полных наборов точных решений уравнений плотного электронного пучка связано с изучением групповых свойств этих уравнений и понятием инвариантного решения, введенного Л.В. Овсянниковым [1]. Результаты исследований наиболее полно представлены в монографии [2] и работах [37]. Важной функцией точных решений при современном уровне использования вычислительной техники является их роль в качестве имеющих физический смысл эталонов при тестировании численных моделей и приближенных построений. В последние десятилетия много внимания уделяется расчету пучков с экстремально высокой компрессией без достаточного внимания со стороны разработчиков прикладных пакетов к вопросам адекватности физической модели и точности вычислений. Отсутствие понимания известных положений теории интенсивных пучков приводит к некритическому восприятию результатов счета и абсурдным утверждениям в ряде публикаций последних лет. Эти проблемы обсуждаются в работе [8].

В то время как приближенные геометризованные модели плотных пучков прошли тестирование на полном наборе точных решений с мультипликативным и аддитивным разделением переменных [9], аналогичные исследования численных моделей автору неизвестны. Пакеты предыдущего поколения тестировались с использованием отдельных точных решений в работах [10, 11]. Заложенные в программы алгоритмы обеспечили ошибку на уровне 7 и 3% соответственно, которая удовлетворила их создателей. Для современных расчетов пучков с линейной компрессией порядка 30 ошибка не должна превышать десятых долей процента. Разработчики математических методов приближаются к этой цифре в одномерной области с исключенным влиянием особенности на катоде в ${\rho }$-режиме эмиссии [12].

Тестирование пакета PIC (Particle-in-Cell) [13] ориентировано на решение кинетического уравнения и имеет дело с гладкими функциями (MMS – method of manufactured solutions11). По этой причине оно не обеспечивает требуемой точности в электронно-оптических расчетах с тепловым зазором [8] и с сингулярностью на катоде в ${\rho }$- и Т‑режимах эмиссии. Эта программа, используемая и в задачах электронной оптики, как и прочие коммерческие пакеты, нуждается в тестировании на имеющих физический смысл точных решениях. Если в кинетике такие эталоны отсутствуют, то теория интенсивных пучков обеспечивает наборы решений, в совокупности соответствующие постановкам наиболее общих практических проблем.

Инвариантные решения связаны со свойствами симметрии исходных уравнений в частных производных, поэтому многим из них свойственна однородная структура параметров потока. Анализируемые в данной работе точные решения уравнений пучка не являются инвариантными, упомянутая симметрия для них не имеет места, что выражается в более сложных законах зависимости от координат. Поэтому эти решения представляют ценный материал для проблемы тестирования приближенных и численных моделей.

Последующие соотношения приведены в нормировках, исключающих из уравнений пучка все физические постоянные используемой системы единиц.

1. ВЫРОЖДЕННЫЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОТОКИ

Понятие вырожденного решения введено в работе [15]. В криволинейной ортогональной системе $\xi $, $\eta $, $\zeta $ с циклической координатой $\zeta $ (${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial \zeta }}} \right. \kern-0em} {\partial \zeta }} = 0$) и коэффициентами Ляме ${{h}_{{{\kern 1pt} 1}}}$, ${{h}_{2}}$, ${{h}_{3}}$ параметры пучка описываются выражениями

(1)
$\begin{gathered} {{v}_{\xi }} = \frac{{U\left( \xi \right)}}{{{{h}_{1}}}},\,\,\,\,{{v}_{\eta }} = 0,\,\,\,\,{{v}_{\zeta }} = \frac{{W\left( \eta \right)}}{{{{h}_{3}}}},\,\,\,{{A}_{\zeta }} = \frac{{A\left( \eta \right)}}{{{{h}_{3}}}}, \\ {{A}_{\xi }} = {{A}_{\eta }} = 0,\,\,\,\,{{H}_{\xi }} = \frac{1}{{{{h}_{2}}{{h}_{3}}}}A{\kern 1pt} '\left( \eta \right),\,\,\,\,{{H}_{\eta }} = {{H}_{\zeta }} = 0, \\ \end{gathered} $

где $\vec {v},$ $\vec {A}$, $\vec {H}$ – векторы скорости, векторного потенциала и напряженности магнитного поля. Компоненты обобщенного импульса $\vec {P} = \vec {v} + \vec {A}$ определены формулами

(2)
${{P}_{\xi }} = \frac{{U\left( \xi \right)}}{{{{h}_{1}}}},\,\,\,\,{{P}_{\eta }} = 0,\,\,\,\,{{P}_{\zeta }} = \frac{1}{{{{h}_{3}}}}\left[ {W\left( \eta \right) + A\left( \eta \right)} \right].$

Уравнения немоноэнергетического пучка с полной энергией $\mathcal{H}$

(3)
$\begin{gathered} \nabla \mathcal{H} = \vec {v} \times {\text{rot}}\vec {P},\,\,\,\,{\text{div}}\left( {{\rho }\vec {v}} \right) = 0, \\ \Delta \varphi = {\rho },\,\,\,\,\mathcal{H} = \frac{1}{2}{{{\vec {v}}}^{2}} - \varphi \\ \end{gathered} $

в развернутом виде с учетом структуры решения (1) описываются соотношениями

(4)
$\begin{gathered} {{\mathcal{H}}_{{,1}}} = 0,\,\,\,\,{{\mathcal{H}}_{{,2}}} = \frac{{W\left( \eta \right)}}{{h_{3}^{2}}}\left[ {W{\kern 1pt} '\left( \eta \right) + A{\kern 1pt} '\left( \eta \right)} \right],\,\,\,\,{{\mathcal{H}}_{{,3}}} = 0, \\ \frac{{{{h}_{2}}{{h}_{3}}}}{{{{h}_{1}}}}{\rho }U\left( \xi \right) = J\left( \eta \right), \\ {{\left( {\frac{{{{h}_{2}}{{h}_{3}}}}{{{{h}_{1}}}}{{\varphi }_{{,1}}}} \right)}_{{,1}}} + {{\left( {\frac{{{{h}_{1}}{{h}_{3}}}}{{{{h}_{2}}}}{{\varphi }_{{,2}}}} \right)}_{{,2}}} = {{h}_{1}}{{h}_{2}}{{h}_{3}}{\rho }. \\ \end{gathered} $

Здесь $\varphi $, ${\rho }$, J – потенциал электрического поля, плотность пространственного заряда и плотность тока; нижний численный индекс после запятой означает частную производную по координате с соответствующим номером; штрих имеет тот же смысл в случае одной переменной.

Спиральные цилиндрические координаты. В спиральных цилиндрических координатах p, q, z имеем

(5)
$\begin{gathered} p + iq = \frac{{{{b}_{1}} + i{{b}_{2}}}}{{{{b}^{2}}}}\ln \left( {x + iy} \right);\,\,\,\,{{b}_{1}},{{b}_{2}} = {\text{const}}, \\ {{b}^{2}} = b_{1}^{2} + b_{2}^{2};\,\,\,\,p = \frac{1}{{{{b}^{2}}}}\left( {{{b}_{1}}\ln R - {{b}_{2}}\psi } \right), \\ q = \frac{1}{{{{b}^{2}}}}\left( {{{b}_{2}}\ln R + {{b}_{1}}\psi } \right), \\ R = \exp \left( {{{b}_{1}}p + {{b}_{2}}q} \right),\,\,\,\,\psi = {{b}_{1}}q - {{b}_{2}}p, \\ {{h}_{1}} = {{h}_{2}} = b\exp \left( {{{b}_{1}}p + {{b}_{2}}q} \right),\,\,\,\,{{h}_{3}} = 1. \\ \end{gathered} $

Здесь x, y, z и R, $\psi $ – декартовы и полярные координаты; компоненты скорости в первой системе обозначим символами u, v, w; в криволинейных системах будем использовать буквенный нижний индекс у символа v.

Решение уравнений (4) в этом случае описывается формулами

(6)

Символы с нулями здесь и далее означают произвольные постоянные.

Решение (6) отличается от инвариантного решения в спиральных координатах при $\alpha = - 1$ [16]

(7)
$\begin{gathered} \vec {v} = \exp \left( {\alpha {{b}_{2}}q} \right)\vec {V}\left( p \right),\,\,\,\,\varphi = \exp \left( {2\alpha {{b}_{2}}q} \right)\Phi \left( p \right), \\ {\rho } = \exp \left[ {2\left( {\alpha - 1} \right){{b}_{2}}q} \right]S\left( p \right), \\ J = {{J}_{0}}\exp \left[ {\left( {3\alpha - 2} \right){{b}_{2}}q} \right], \\ \vec {H} = \exp \left[ {\left( {\alpha - 1} \right){{b}_{2}}q} \right]\vec {\Omega }\left( p \right) \\ \end{gathered} $

неоднородной структурой компонент скорости, наличием слагаемого с ${{E}_{0}}$ в выражении для $\varphi $ и видом зависимости от координаты q у компоненты магнитного поля ${{H}_{p}}$ и плотности тока J.

Полярные координаты. В полярной системе R, $\psi $ при ${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}} = 0$ возможны два решения. В первом случае

(8)
$\begin{gathered} \xi = R,\,\,\,\,\eta = \psi ,\,\,\,\,\zeta = z;\,\,\,\,{{h}_{1}} = 1,\,\,\,\,{{h}_{2}} = R, \\ {{h}_{3}} = 1; \\ {{v}_{R}} = U\left( R \right),\,\,\,\,{{v}_{\psi }} = 0,\,\,\,\,w = W\left( \psi \right), \\ {{A}_{R}} = {{A}_{\psi }} = 0,\,\,\,\,{{A}_{z}} = A\left( \psi \right). \\ \end{gathered} $

Решение уравнений (4) определено формулами

(9)
$\begin{gathered} \left( {R\Phi {\kern 1pt} '} \right){\kern 1pt} '\,\, - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{R} = \frac{{{{J}_{0}}}}{{\sqrt {2\Phi } }},\,\,\,\,\Phi \left( R \right) = \frac{1}{2}{{U}^{2}}\left( R \right), \\ {{v}_{R}} = U\left( R \right),\,\,\,\,{{v}_{\psi }} = 0,\,\,\,\,w = W\left( \psi \right) = \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{{{H}_{0}}}}\psi + {{W}_{0}}, \\ J = {\rho }RU\left( R \right) = {{J}_{0}}, \\ \varphi = \Phi \left( R \right) - \frac{1}{2}{{{\rho }}_{0}}{{\psi }^{2}} - {{H}_{0}}{{W}_{0}}\psi , \\ \mathcal{H} = \frac{1}{2}{{{\rho }}_{0}}\left( {1 + \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{H_{0}^{2}}}} \right){{\psi }^{2}} + \left( {\frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{{{{H}_{0}}}} + {{H}_{0}}{{W}_{0}}} \right)\psi + \frac{1}{2}W_{0}^{2}, \\ {{A}_{R}} = {{A}_{\psi }} = 0,\,\,\,\,{{A}_{z}} = {{H}_{0}}\psi ;\,\,\,\,{{H}_{R}} = \frac{{{{H}_{0}}}}{R}, \\ {{H}_{\psi }} = {{H}_{z}} = 0. \\ \end{gathered} $

Структура решения (9) не имеет близких выражений среди инвариантных решений уравнений пучка.

Второе решение в координатах R, $\psi $ имеет вид

(10)
$\begin{gathered} \xi = \psi ,\,\,\,\,\eta = R,\,\,\,\,\zeta = z;\,\,\,\,{{h}_{1}} = R,\,\,\,\,{{h}_{2}} = 1,\,\,\,\,{{h}_{3}} = 1; \\ {{v}_{\psi }} = \frac{{U\left( \psi \right)}}{R},\,\,\,\,{{v}_{R}} = 0,\,\,\,\,w = W\left( R \right), \\ {{A}_{R}} = {{A}_{\psi }} = 0,\,\,\,\,{{A}_{z}} = A\left( R \right). \\ \end{gathered} $

Уравнения (4) допускают следующее решение, причем выражение функции Ф можно свести к квадратуре:

(11)

Инвариантное решение в координатах R, $\psi $ имеет следующую структуру:

(12)
$\begin{gathered} \vec {v} = {{R}^{\alpha }}\vec {V}\left( \psi \right),\,\,\,\varphi = {{R}^{{2\alpha }}}\Phi \left( \psi \right),\,\,\,\,{\rho } = {{R}^{{2\left( {\alpha - 1} \right)}}}S\left( \psi \right), \\ J = {{J}_{0}}{{R}^{{3\alpha - 2}}},\,\,\,\,\vec {H} = {{R}^{{\alpha - 1}}}\vec {\Omega }\left( \psi \right). \\ \end{gathered} $

Решение (11) имеет те же зависимости, что и решение (12) при $\alpha = - 1$ у функций ${{v}_{R}}$, ${\rho }$ и $\varphi $ за вычетом логарифмического члена, но отличную структуру z-компоненты скорости и магнитного поля.

Цилиндрические координаты. Решение в системе R, $\psi $, z с осевой симметрией ${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial \psi }}} \right. \kern-0em} {\partial \psi }} = 0$ определено выражениями

(13)
$\begin{gathered} \xi = z,\,\,\,\,\eta = R,\,\,\,\zeta = \psi ;\,\,\,{{h}_{1}} = 1,\,\,\,{{h}_{2}} = 1,\,\,\,{{h}_{3}} = R; \\ w = W\left( z \right),\,\,\,\,{{v}_{R}} = 0,\,\,\,{{v}_{\psi }} = {{V\left( R \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{V\left( R \right)} R}} \right. \kern-0em} R}, \\ {{A}_{R}} = A\left( R \right),\,\,\,\,{{A}_{z}} = {{A}_{\psi }} = 0. \\ \end{gathered} $

Решение уравнений (4) приводит к следующему результату:

(14)

Для решения (14) необходимо специально рассмотреть варианты, касающиеся функций V и W. Из уравнения для V имеем

(15)
$V = - \frac{{{{H}_{0}}}}{2}{{R}^{2}} \pm R\sqrt D ,\,\,\,\,D = \left( {\frac{{H_{0}^{2}}}{4} - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{2}} \right){{R}^{2}} - {{b}_{0}}.$

При ${{b}_{0}} = 0$ азимутальная скорость линейна по R, пучок вращается как твердое тело в однородном магнитном поле ${{H}_{z}} = {{H}_{0}}$. Этот случай описывается инвариантным решением с линейной зависимостью от координат у компонент u, v скорости в декартовой системе при зависимости $w = w\left( z \right)$.

При ${{b}_{0}} \ne 0$ распределение азимутальной скорости по радиусу становится более сложным. Существование действительных корней в (15) требует выполнения неравенства

(16)
${{R}^{2}} \geqslant {{{{b}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{b}_{0}}} {\left( {\frac{{H_{0}^{2}}}{4} - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{2}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {\frac{{H_{0}^{2}}}{4} - \frac{{{{{\rho }}_{0}}}}{2}} \right)}} > 0.$

При ${{b}_{0}} > 0$ условие (16) выполняется всегда, если ${{{\rho }}_{0}} < 0,$ и при ${{H_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{H_{0}^{2}} 4}} \right. \kern-0em} 4} > {{{{{\rho }}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\rho }}_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ если ${{{\rho }}_{0}} > 0.$

При ${{b}_{0}} < 0$ допустимы только положительные значения ${{{\rho }}_{0}}$: ${{{\rho }_{0}^{{}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rho }_{0}^{{}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} > {{H_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{H_{0}^{2}} 4}} \right. \kern-0em} 4}.$ Равенство в (16) определяет радиус полости $R = R{\text{*}}$, которая не может быть заполнена пучком. Азимутальная скорость на ее границе ${{v}_{\psi }} = - \left( {{{{{H}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{H}_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)R{\text{*}}.$

В зависимости от знака ${{{\rho }}_{0}}$ функция $W\left( z \right)$ имеет разный характер. Вводя вместо z новую переменную t, имеем

(17)
$\begin{gathered} W = \frac{{dz}}{{dt}} \equiv \dot {z},\,\,\,\,W\left( {WW{\kern 1pt} '} \right){\kern 1pt} '\,\, - {{{\rho }}_{0}}W = {{J}_{0}}, \\ \ddot {W} - {{{\rho }}_{0}}W = {{J}_{0}}. \\ \end{gathered} $

При ${{{\rho }}_{0}} = {{a}^{2}}$ и выполнении условий: $t = 0,$ $z = 0,$ $W = 0$ получаем

(18)
$\begin{gathered} \bar {z} = \frac{{{{a}^{3}}z}}{{{{J}_{0}}}} = {\text{sh}}\tau - \tau ,\,\,\,\,\bar {W} = \frac{{{{a}^{2}}W}}{{{{J}_{0}}}} = {\text{ch}}\tau - 1, \\ \tau = at. \\ \end{gathered} $

Для отрицательных значений ${{{\rho }}_{0}} = - {{a}^{2}}$ вариация продольной скорости подчиняется закону укороченной циклоиды:

(19)
$\begin{gathered} \bar {z} = \frac{{{{a}^{3}}z}}{{{{J}_{0}}}} = \tau - \gamma \,{\text{sin}}\tau ,\,\,\,\,\bar {W} = \frac{{{{a}^{2}}W}}{{{{J}_{0}}}} = 1 - \gamma \cos \tau , \\ \gamma = \frac{{{{A}_{0}}{{a}^{2}}}}{{{{J}_{0}}}} < 1, \\ \end{gathered} $

где ${{A}_{{{\kern 1pt} 0}}}$ – произвольная постоянная.

Зависимости от продольной координаты в решении (19) те же, что и в осесимметричном варианте решения [17], являющегося инвариантным.

2. ОБОБЩЕННЫЕ БРИЛЛЮЭНОВСКИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОТОКИ

Уравнения бриллюэновских пучков. В работе [18] рассмотрены двумерные релятивистские течения с равным нулю обобщенным импульсом $\vec {P}$, которые описываются следующей системой уравнений:

(20)
$\begin{gathered} \vec {H} = {\text{rot}}\vec {A},\,\,\,\,{\text{rot}}\vec {H} = {\rho }\vec {v},\,\,\,\,\Delta \varphi = {\rho }, \\ {\text{div}}\left( {{\rho }\vec {v}} \right) = 0,\,\,\,\,{\text{div}}\vec {H} = 0; \\ \vec {P} = \vec {p} + \vec {A} \equiv 0,\,\,\,\,\vec {p} = \left( {1 + \varphi } \right)\vec {v},\,\,\,\,{{\left( {1 + \varphi } \right)}^{2}} = 1 + {{{\vec {p}}}^{2}}. \\ \end{gathered} $

Последнее уравнение в системе (20), которая является переопределенной, представляет интеграл энергии. Уравнение сохранения тока автоматически удовлетворяется в релятивистском случае.

В ортогональной системе $\xi $, $\eta $, $\zeta $ (${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial \zeta }}} \right. \kern-0em} {\partial \zeta }} = 0$, $\zeta $ – циклическая координата), в качестве которой будем рассматривать декартовы x, y, z и цилиндрические R, $\psi $, z координаты с коэффициентами Ляме ${{h}_{1}} = 1,$ ${{h}_{2}} = 1,$ ${{h}_{{{\kern 1pt} 3}}} = 1$ и ${{h}_{1}} = 1,$ ${{h}_{2}} = R,$ ${{h}_{3}} = 1$ соответственно, согласно [18] будем считать

(21)
${{v}_{\xi }} = {{A}_{\xi }} = 0.$

Уравнения (20) в этом случае принимают вид

(22)
$\begin{gathered} {{\left[ {\frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{{\left( {{{h}_{2}}{{A}_{\eta }}} \right)}}_{{,1}}}} \right]}_{{,2}}} = 0,\,\,\,\,{{\left[ {\frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{{\left( {{{h}_{2}}{{A}_{\eta }}} \right)}}_{{,1}}}} \right]}_{{,1}}} = \sigma {{A}_{\eta }}, \\ {{\left( {{{h}_{2}}{{A}_{{\zeta ,1}}}} \right)}_{{,1}}} + {{\left( {\frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{A}_{{\zeta ,2}}}} \right)}_{{,2}}} = {{h}_{2}}\sigma {{A}_{\zeta }}, \\ {{\left( {{{h}_{2}}{{\varphi }_{{,1}}}} \right)}_{{,1}}} + {{\left( {\frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{\varphi }_{{,2}}}} \right)}_{{,2}}} = {{h}_{{{\kern 1pt} 2}}}\sigma \left( {1 + \varphi } \right), \\ {{\left( {1 + \varphi } \right)}^{2}} = 1 + A_{\eta }^{2} + A_{\zeta }^{2}, \\ {{H}_{\xi }} = \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{A}_{{\zeta ,2}}},\,\,\,\,{{H}_{\eta }} = - {{A}_{{\zeta ,1}}},\,\,\,{{H}_{\zeta }} = \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{\left( {{{h}_{2}}{{A}_{\eta }}} \right)}_{{,1}}}, \\ {{\left( {{{h}_{2}}{{H}_{\xi }}} \right)}_{{,1}}} + {{H}_{{\eta ,2}}} = 0,\,\,\,\sigma = \frac{{\rho }}{{1 + \varphi }}. \\ \end{gathered} $

Декартовы координаты. В декартовых координатах вместо (22) имеем

(23)
$\begin{gathered} {{A}_{{y,12}}} = 0,\,\,\,\,{{A}_{{y,11}}} = \sigma {{A}_{y}},\,\,\,\,{{A}_{{z,11}}} + {{A}_{{z,22}}} = \sigma {{A}_{z}}, \\ {{\varphi }_{{,11}}} + {{\varphi }_{{,22}}} = \sigma \left( {1 + \varphi } \right), \\ {{\left( {1 + \varphi } \right)}^{2}} = 1 + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}. \\ \end{gathered} $

Определив функции ${{A}_{y}}$, ${{A}_{z}}$ соотношениями

(24)
${{A}_{y}} = A\left( x \right),\,\,\,\,{{A}_{z}} = a\left( x \right){\text{sh}}\left[ {{{b}_{0}}y + c\left( x \right)} \right],$

приходим к следующему решению:

(25)

где функции $c\left( x \right),$ $A\left( x \right)$ удовлетворяют уравнениям

(26)

В окончательном виде параметры потока определены формулами

(27)

Цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах R, $\psi $, z решение имеет следующий вид:

(28)
$\begin{gathered} {{p}_{R}} = 0,\,\,\,\,{{p}_{\psi }} = - A\left( R \right),\,\,\,{{p}_{z}} = - a\left( R \right){\text{sh}}\left[ {{{b}_{0}}\psi + c\left( R \right)} \right], \\ 1 + {{A}^{2}} = {{a}^{2}},\,\,\,1 + \varphi = a\left( R \right){\text{ch}}\left[ {{{b}_{0}}\psi + c\left( R \right)} \right], \\ {\rho } = \left( {1 + \varphi } \right)\frac{1}{{{{R}^{2}}}}\left( {\frac{{\ddot {A}}}{A} - 1} \right), \\ {{H}_{R}} = \frac{{{{b}_{0}}}}{R}a\left( R \right){\text{ch}}\left[ {{{b}_{0}}\psi + c\left( R \right)} \right], \\ {{H}_{z}} = A{\kern 1pt} '\left( R \right) + \frac{{A\left( R \right)}}{R}, \\ {{H}_{\psi }} = - a{\kern 1pt} '\left( R \right){\text{sh}}\left[ {{{b}_{0}}\psi + c\left( R \right)} \right] - \\ - \,\,a\left( R \right)c{\kern 1pt} {\text{'}}\left( R \right){\text{ch}}\left[ {{{b}_{0}}\psi + c\left( R \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

В формуле для ${\rho }$ в (28) точками обозначены производные по $\ln R$. Функции $c\left( R \right)$, $A\left( R \right)$ удовлетворяют уравнениям

(29)
$\dot {c} = \frac{{{{c}_{0}}}}{{1 + {{A}^{2}}}},\,\,\,\,\frac{{\ddot {A}}}{A} = \frac{{{{{\dot {A}}}^{2}} + c_{0}^{2} + 1}}{{1 + {{A}^{2}}}} + b_{0}^{2}\left( {1 + {{A}^{2}}} \right).$

Течения с одной компонентой скорости. Для декартовых и цилиндрических координат расположим оси так, чтобы третьей была циклическая координата. Соответственно этому ${{h}_{{{\kern 1pt} 1}}} = {{h}_{{{\kern 1pt} 2}}} = 1;$ ${{h}_{3}} = 1,$ $\zeta = z;$ ${{h}_{3}} = R,$ $\zeta = \psi .$ В работах [18, 19] рассмотрены пучки с единственной отличной от нуля компонентой обобщенного импульса

(30)
$\begin{gathered} {{P}_{\zeta }} = {{p}_{\zeta }}\left( {\xi ,\eta } \right) + {{A}_{\zeta }}\left( {\xi ,\eta } \right) = P\left( {\xi ,\eta } \right), \\ {{A}_{\zeta }} = \frac{1}{{{{h}_{{{\kern 1pt} 3}}}}}A\left( {\xi ,\eta } \right),\,\,\,{{p}_{\xi }} = {{p}_{\eta }} = {{A}_{\xi }} = {{A}_{\eta }} = 0. \\ \end{gathered} $

Вихревые немоноэнергетические потоки описываются уравнениями поля из (22) и уравнениями движения из (3) с релятивистскими выражениями для полной энергии и импульса:

(31)
$\mathcal{H} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{{\vec {v}}}^{2}}} }} - \varphi ,\,\,\,\,\vec {p} = \frac{{\vec {v}}}{{\sqrt {1 - {{{\vec {v}}}^{2}}} }},\,\,\,\,\vec {P} = \vec {p} + \vec {A}.$

Для течений (30) получаем

(32)
$\begin{gathered} {{\mathcal{H}}_{{,1}}} = \frac{{{{v}_{\zeta }}}}{{{{h}_{3}}}}{{P}_{{\zeta ,1}}},\,\,\,\,{{\mathcal{H}}_{{,2}}} = \frac{{{{v}_{\zeta }}}}{{{{h}_{3}}}}{{P}_{{\zeta ,2}}}, \\ {{\left( {\frac{1}{{{{h}_{3}}}}{{A}_{{,1}}}} \right)}_{{,1}}} + {{\left( {\frac{1}{{{{h}_{3}}}}{{A}_{{,2}}}} \right)}_{{,2}}} = - \sigma {{p}_{\zeta }}, \\ {{\left( {{{h}_{3}}{{\varphi }_{{,1}}}} \right)}_{{,1}}} + {{\left( {{{h}_{3}}{{\varphi }_{{,2}}}} \right)}_{{,2}}} = {{h}_{3}}\sigma u, \\ {{u}^{2}} = \frac{1}{{1 - v_{\zeta }^{2}}} = 1 + p_{\zeta }^{2},\,\,\,\,{\rho } = \sigma u. \\ \end{gathered} $

Нерелятивистский предел. В нерелятивистском пределе при $P = 0$ уравнение для A в (32) имеет нулевую правую часть. Для бриллюэновского потока с одной отличной от нуля компонентой скорости w в неоднородном магнитном поле векторный потенциал А удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа на плоскости x, y:

(33)
$\begin{gathered} w = - A,\,\,\,\,2\varphi = {{A}^{2}},\,\,\,\,{\rho } = {{\left( {\nabla A} \right)}^{2}}, \\ {{H}_{x}} = {{A}_{{,y}}},\,\,\,\,{{H}_{y}} = - {{A}_{{,x}}},\,\,\,\,{{H}_{z}} = 0. \\ \end{gathered} $

Решением является любая гармоническая функция $A\left( {x,y} \right),$ вид которой можно усложнять, пользуясь следующим ее свойством. Если аргументы x, y заменить на функции $u\left( {x,y} \right),$ $v\left( {x,y} \right),$ также гармонические, которые связаны условиями Коши–Римана, то функция $A\left( {u,v} \right)$ останется гармонической [20]. В работе [20] приведены примеры подобных действий, которые можно перенести на описываемые ниже релятивистские течения в z-направлении.

В цилиндрических координатах, если известно решение уравнения

(34)
$\frac{\partial }{{\partial R}}\left( {\frac{1}{R}\frac{{\partial A}}{{\partial R}}} \right) + \frac{1}{R}\frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{z}^{2}}}} = 0,$

то существует течение с одной азимутальной компонентой скорости ${{v}_{\psi }}$ [18, 19] и следующими параметрами:

(35)
$\begin{gathered} v{{J}_{\psi }} = - \frac{A}{R},\,\,\,\,2\varphi = \frac{{{{A}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}}, \\ {\rho } = \frac{1}{R}\left[ {{{{\left( {R{{\varphi }_{{,R}}}} \right)}}_{{,R}}} + {{{\left( {R{{\varphi }_{{,z}}}} \right)}}_{{,z}}}} \right], \\ {{H}_{R}} = - \frac{1}{R}{{A}_{{,z}}},\,\,\,\,{{H}_{z}} = \frac{1}{R}{{A}_{{,R}}}. \\ \end{gathered} $

Решения в элементарных и специальных функциях для этого случая в различных криволинейных системах координат получены в работе [20].

Релятивистские скорости. В случае релятивистских скоростей система уравнений (32) в декартовых координатах имеет решение вида [15]

(36)
$\begin{gathered} {{p}_{z}} = {\text{sh}}\Psi ,\,\,\,\,u = {\text{ch}}\Psi ,\,\,\,\,\varphi = u - \mathcal{H},\,\,\,\mathcal{H} = \mathcal{H}\left( \Psi \right), \\ P = P\left( \Psi \right),\,\,\,\,A = A\left( \Psi \right),\,\,\,\,\Psi = \Psi \left( f \right), \\ {{f}_{{,xx}}} + {{f}_{{,yy}}} = 0. \\ \end{gathered} $

Здесь $\Psi $ – произвольная функция с аргументом f, где $f\left( {x,y} \right)$ – гармоническая функция.

Подстановка формул (36) в (32) позволяет конкретизировать входящие в (36) выражения

(37)
$\begin{gathered} {{v}_{z}} = {\text{th}}\Psi ,\,\,\,P = {\text{sh}}\Psi - a\int {{\text{ch}}\Psi df} ,\,\,\,\,A = - a\int {{\text{ch}}\Psi df} , \\ \varphi = a\int {{\text{sh}}\Psi df} ,\,\,\,\,{\rho } = a{\text{ch}}\Psi \Psi {\kern 1pt} '{{\left( {\nabla f} \right)}^{2}}, \\ \mathcal{H} = {\text{ch}}\Psi - \varphi ,\,\,\,\,{{H}_{x}} = - {{A}_{{,y}}}, \\ {{H}_{y}} = {{A}_{{,x}}},\,\,\,\,{{H}_{z}} = 0,\,\,\,\,a = {\text{const}}. \\ \end{gathered} $

При $\Psi = f$ формулы (37) упрощаются

(38)
$\begin{gathered} {{v}_{z}} = {\text{th}}f,\,\,\,\,P = \left( {1 - a} \right){\text{sh}}f,\,\,\,\,A = - a{\text{sh}}f, \\ \varphi = a{\text{ch}}f,\,\,\,\,{\rho } = a{\text{ch}}f{{\left( {\nabla f} \right)}^{2}},\,\,\,\,\mathcal{H} = \left( {1 - a} \right){\text{ch}}f, \\ {{H}_{x}} = - a{\text{ch}}f{{f}_{{,y}}},\,\,\,\,{{H}_{y}} = a{\text{ch}}f{{f}_{{,x}}},\,\,\,\,{{H}_{z}} = 0. \\ \end{gathered} $

При $a = 1$ выражения (38) описывают моноэнергетическое течение [21]:

(39)
$\begin{gathered} {{v}_{z}} = {\text{th}}f,\,\,\,\,P = \mathcal{H} = 0,\,\,\,\,A = - {\text{sh}}f, \\ \varphi = {\text{ch}}f,\,\,\,\,{\rho } = {\text{ch}}f{{\left( {\nabla f} \right)}^{2}}, \\ {{H}_{x}} = - {\text{ch}}f{{f}_{{,y}}},\,\,\,\,{{H}_{y}} = {\text{ch}}f{{f}_{{,x}}},\,\,\,\,{{H}_{z}} = 0. \\ \end{gathered} $

3. СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТЕЧЕНИЯ

Теория соленоидальных потоков. Теория соленоидальных потоков дополняет перечень точных решений, не связанных с групповыми свойствами уравнений пучка. На основе комплексного формализма при наличии однородного магнитного поля ${{H}_{z}}$ она построена в работе [22] и обобщена на случай неоднородных магнитных полей ${{H}_{x}}$, ${{H}_{y}}$, связанных с появлением z-компоненты скорости, в работе [23].

Перейдем от переменных x, y к комплексным переменным

(40)
$s = x + iy,\,\,\,\,s* = x - iy.$

Условие потенциальности обобщенного импульса ${\text{rot}}\vec {P} = 0$ и соленоидальности вектора скорости ${\text{div}}\vec {v} = 0$ приводит к тому, что действие W, $\vec {P} = \nabla W,$ становится гармонической функцией

(41)
$\begin{gathered} W = \frac{1}{2}\left( {f + f{\text{*}}} \right), \\ \nabla W = \frac{{\partial W}}{{\partial x}} + i\frac{{\partial W}}{{\partial y}} = \frac{{df{\text{*}}}}{{ds{\text{*}}}} \equiv Q\left( {s{\text{*}}} \right). \\ \end{gathered} $

Однородное магнитное поле может быть описано компонентами векторного потенциала ${{A}_{x}}$, ${{A}_{y}}$. В результате для скорости в плоскости x, y имеем

(42)
$\begin{gathered} {{A}_{x}} + i{{A}_{y}} = \frac{1}{2}i{{H}_{z}}s,\,\,\,\,{{P}_{x}} + i{{P}_{y}} = \nabla W, \\ u + iv = Q{\text{*}} - \frac{1}{2}i{{H}_{z}}s. \\ \end{gathered} $

По предположению зависимость от третьей декартовой координаты отсутствует, векторный потенциал $\vec {A}$ – гармоническая функция, поэтому

(43)
$\begin{gathered} {{P}_{z}} = w + {{A}_{z}} = \frac{{\partial W}}{{\partial z}} = 0, \\ w = - {{A}_{z}} = \chi + \chi *, \\ {{H}_{x}} = \frac{{\partial {{A}_{z}}}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial w}}{{\partial y}}, \\ {{H}_{y}} = - \frac{{\partial {{A}_{z}}}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial w}}{{\partial x}}. \\ \end{gathered} $

Интеграл энергии позволяет выразить потенциал $\varphi $ через функции Q, $\chi $

(44)
$\begin{gathered} {{u}^{2}} + {{v}^{2}} = \left( {u + iv} \right)\left( {u - iv} \right) = \\ = QQ{\text{*}} + i\frac{{{{H}_{z}}}}{2}\left( {s{\text{*}}Q{\text{*}} - sQ} \right) + \frac{1}{4}H_{z}^{2}ss{\text{*}}, \\ 2\varphi = QQ{\text{*}} + i\frac{{{{H}_{z}}}}{2}\left( {s{\text{*}}Q{\text{*}} - sQ} \right) + \\ + \,\,\frac{1}{4}H_{z}^{2}ss{\text{*}} + {{\left( {\chi + \chi {\text{*}}} \right)}^{2}}. \\ \end{gathered} $

Уравнение Пуассона служит для определения плотности ${\rho }$

(45)
${\rho } = \Delta \varphi = 4\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial s\partial s{\text{*}}}} = 2\left( {Q{\kern 1pt} 'Q*{\kern 1pt} '\,\, + 2\chi {\kern 1pt} '\chi *{\kern 1pt} '\,\, + \frac{1}{4}H_{z}^{2}} \right).$

Штрихами в (45) обозначены производные по соответствующему аргументу.

Уравнение сохранения тока при условии соленоидальности течения

(46)
$\begin{gathered} u\frac{{\partial {\rho }}}{{\partial x}} + v\frac{{\partial {\rho }}}{{\partial y}} = \operatorname{Re} \left[ {\left( {u + iv} \right)\left( {\frac{{\partial {\rho }}}{{\partial x}} - i\frac{{\partial {\rho }}}{{\partial y}}} \right)} \right] = \\ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {u + iv} \right)\left( {\nabla {\rho }} \right){\text{*}} + \left( {u - iv} \right)\nabla {\rho }} \right] = 0 \\ \end{gathered} $

приводит к основному соотношению теории соленоидальных потоков

(47)

Решения с однородным магнитным полем ${{H}_{z}}$. Условие соленоидальности переопределяет систему уравнений пучка, однако могут найтись функции $Q\left( s \right),$ $\chi \left( s \right)$, для которых соотношение (47) удовлетворяется. В работе [22] при ${{H}_{z}} \ne 0$ и $Q = ias$ (а – действительная постоянная) построены решения с линейной зависимостью от x, y у компонент скорости, описывающие потоки с эллиптическими или гиперболическими траекториями. Эти решения являются инвариантными относительно преобразований с произвольными функциями времени при их специализации в виде экспонент. При отсутствии магнитного поля получено решение, соответствующее периодическому течению со следующими параметрами потока и траекториями:

(48)
$\begin{gathered} Q = - i{\kern 1pt} {\text{tg}}s,\,\,\,\,{{H}_{z}} = 0,\,\,\,\chi = 0; \\ u = \frac{{{\text{sh}}2y}}{{\cos 2x + {\text{ch}}2y}},\,\,\,v = \frac{{{\text{sin}}2x}}{{\cos 2x + {\text{ch}}2y}}, \\ 2\varphi = \frac{{{\text{ch}}2y - \cos 2x}}{{\cos 2x + {\text{ch}}2y}},\,\,\,\,{\rho } = \frac{2}{{{{{\left( {\cos 2x + {\text{ch}}2y} \right)}}^{2}}}}, \\ \cos 2x + {\text{ch}}2y = {\text{const}}. \\ \end{gathered} $

Уравнение (47) в этом случае допускает преобразование растяжений

(49)
$\bar {s} = bs,\,\,\,\bar {s}* = bs*,\,\,\,\bar {Q} = aQ,\,\,\,\,\bar {Q}* = aQ{\text{*}}$

с действительными константами a, b. По этой причине в формулах (48) могут быть проведены замены

(50)
$\begin{gathered} x \to bx,\,\,\,\,y \to by,\,\,\,\,u \to au, \\ v \to av,\,\,\,\,\varphi \to {{a}^{2}}\varphi ,\,\,\,{\rho } \to {{a}^{2}}{\rho }. \\ \end{gathered} $

Решение (48) не является инвариантным и обладает тем особенно ценным при тестировании свойством, что переменные в нем не подчиняются закону мультипликативного или аддитивного разделения. Отсутствие ограничения по координате x позволяет контролировать накопление ошибки на длинных траекториях.

Отметим некоторые общие свойства уравнения (47).

Линейное преобразование $\chi $. Для любой пары функций Q, $\chi $, удовлетворяющей соотношению (47), преобразование

(51)
$\bar {\chi } = \chi + \left( {a + ib} \right)s$

сохраняет его, приводя к появлению решения с модифицированными значениями продольной скорости w и компонент ${{H}_{x}}$, ${{H}_{y}}$:

(52)
$\begin{gathered} \bar {w} = w + 2\left( {ax - by} \right),\,\,\,\,{{{\bar {H}}}_{x}} = {{H}_{x}} + 2b, \\ {{{\bar {H}}}_{y}} = {{H}_{y}} + 2a. \\ \end{gathered} $

Преобразование (51) может воздействовать и на электростатические решения, вводя развертку течения в плоскости x, y в z-направлении по закону $2\left( {ax - by} \right)$ при наличии однородного магнитного поля ${{H}_{x}} = 2b$, ${{H}_{y}} = 2a$. Например, наряду с решением для плоского бриллюэновского потока

(53)
$u = {{H}_{z}}y,\,\,\,\,2\varphi = H_{z}^{2}{{y}^{2}},\,\,\,\,{\rho } = H_{z}^{2}$

существует решение следующей структуры:

(54)
$\begin{gathered} \vec {v} = \left\{ {{{H}_{z}}y,0,\alpha x - \beta y} \right\}, \\ 2\varphi = \left( {H_{z}^{2} + {{\beta }^{2}}} \right){{y}^{2}} + {{\alpha }^{2}}{{x}^{2}} - 2\alpha \beta xy, \\ {\rho } = H_{z}^{2} + {{\alpha }^{2}} + {{\beta }^{2}},\,\,\,\,\vec {H} = \left\{ {\beta ,\alpha ,{{H}_{z}}} \right\}. \\ \end{gathered} $

Из электростатического решения с гиперболическими траекториями получаем

(55)
$\begin{gathered} u = ax,\,\,\,\,v = - ay,\,\,\,2\varphi = {{a}^{2}}{{R}^{2}},\,\,\,\,{\rho } = 2{{a}^{2}}; \\ \vec {v} = \left\{ {ax, - ay,\alpha x - \beta y} \right\}, \\ 2\varphi = {{a}^{2}}{{R}^{2}} + {{\alpha }^{2}}{{x}^{2}} + {{\beta }^{2}}{{y}^{2}} - 2\alpha \beta xy, \\ {\rho } = 2{{a}^{2}} + {{\alpha }^{2}} + {{\beta }^{2}},\,\,\,\,\vec {H} = \left\{ {\beta ,\alpha ,0} \right\}. \\ \end{gathered} $

Преобразование продольной скорости. Поскольку возможны варианты $Q \ne 0,$ $\chi \ne 0$, ${{H}_{z}} = 0$ и $Q = 0,$ $\chi \ne 0,$ ${{H}_{z}} \ne 0,$ то члены в двух последних скобках в (47) должны уравновешиваться независимо. Продольная скорость w является гармонической функцией, поэтому если функция $\chi $ удовлетворяет соотношению (47), то вместо действительной части $\chi $ можно взять линейную комбинацию действительной и мнимой частей

(56)
$w = {{\gamma }_{1}}\left( {\chi + \chi {\text{*}}} \right) - i{{\gamma }_{2}}\left( {\chi - \chi {\text{*}}} \right).$

В выражениях для $2\varphi $, ${\rho }$ и $\nabla {\rho }$ при этом добавятся члены

(57)

а перед упоминавшимися комплексами в (47) возникнут постоянные множители, не препятствующие обращению соответствующих выражений в нуль.

Частное решение. Заметим, что соотношению (47) удовлетворяет функция

(58)
$\chi = {Q \mathord{\left/ {\vphantom {Q {\sqrt 2 }}} \right. \kern-0em} {\sqrt 2 }}.$

Соответственно этому решение (48) может быть дополнено z-компонентой скорости w и составляющими ${{H}_{x}}$, ${{H}_{y}}$ неоднородного магнитного поля

(59)
$\begin{gathered} Q = - i{\kern 1pt} {\text{tg}}s,\,\,\,\,\chi = - \frac{i}{{\sqrt 2 }}{\text{tg}}s,\,\,\,w = \frac{{\sqrt 2 \,{\text{sh}}2y}}{{\cos 2x + {\text{ch}}2y}}, \\ {{H}_{x}} = - 2\sqrt 2 \frac{{\cos 2x\,{\text{ch}}2y - 1}}{{{{{\left( {\cos 2x + {\text{ch}}2y} \right)}}^{2}}}}, \\ {{H}_{y}} = 2\sqrt 2 \frac{{{\text{sin}}2x\,{\text{sh}}2y}}{{{{{\left( {\cos 2x + {\text{ch}}2y} \right)}}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Случай ${{H}_{z}} \ne 0$ при использовании свойства (58) не представляет интереса, так как преобразование (51) приводит к более общему результату.

Обобщения на случай неоднородного магнитного поля. С учетом сказанного выше результаты работ [23, 24] сводятся к перечисленным ниже решениям22 1)–5).

$1)\,\,Q = \frac{{ia}}{s},\,\,\,\,\chi = {{s}^{\beta }};$

(60)
$\begin{gathered} {{v}_{R}} = 0,\,\,\,\,{{v}_{\psi }} = - \left( {\frac{1}{2}{{H}_{z}} + \frac{a}{{{{R}^{2}}}}} \right)R,\,\,\,w = 2{{R}^{\beta }}\cos \beta \psi , \\ 2\varphi = {{R}^{2}}{{\left( {\frac{1}{2}{{H}_{z}} + \frac{a}{{{{R}^{2}}}}} \right)}^{2}} + 4{{R}^{{2\beta }}}{{\cos }^{2}}\beta \psi , \\ {\rho } = 2\left( {\frac{1}{4}H_{z}^{2} + \frac{{{{a}^{2}}}}{{{{R}^{4}}}}} \right) + 4{{\beta }^{2}}{{R}^{{2\beta - 2}}}, \\ {{H}_{R}} = - \frac{1}{R}\frac{{\partial w}}{{\partial \psi }} = 2\beta {{R}^{{\beta - 1}}}{\text{sin}}\beta \psi , \\ {{H}_{\psi }} = \frac{{\partial w}}{{\partial R}} = 2\beta {{R}^{{\beta - 1}}}\cos \beta \psi . \\ \end{gathered} $

Наиболее интересен случай, когда решение справедливо на полной плоскости R, $\psi $ без разрезов при натуральных значениях параметра $\beta = k \geqslant 1$. В этой плоскости решение (60) объединяет все три классические бриллюэновские режима (сплошной и полый пучки, электростатический поток).

$2)\,\,\,\,Q = as,\,\,\,\,\chi {\kern 1pt} ' = \exp ({{s}^{2}}),\,\,\,{{H}_{z}} = 0;$

(61)
$\begin{gathered} u = ax,\,\,\,\,v = - ay,\,\,\,\,w = 2\operatorname{Re} \int\limits_{}^s {\exp ({{\tau }^{2}})d\tau ,} \\ 2\varphi = {{a}^{2}}{{R}^{2}} + {{w}^{2}}, \\ {\rho } = 2{{a}^{2}} + 2\exp \left[ {2\left( {{{x}^{2}} - {{y}^{2}}} \right)} \right], \\ {{H}_{x}} = 4\exp \left( {{{x}^{2}} - {{y}^{2}}} \right){\text{sin}}\left( {2xy} \right), \\ {{H}_{y}} = 4\exp \left( {{{x}^{2}} - {{y}^{2}}} \right)\cos \left( {2xy} \right). \\ \end{gathered} $

Решение (61) основывается на решении (55) с гиперболическими траекториями.

$3)\,\,\,Q = - i\frac{{{{H}_{z}}}}{2}s,\,\,\,\,\chi = \exp \left( {\beta s} \right);$

(62)
$\begin{gathered} u = {{H}_{z}}y,\,\,\,\,v = 0,\,\,\,\,w = 2\exp \left( {\beta x} \right)\cos \beta y, \\ 2\varphi = H_{z}^{2}{{y}^{2}} + 4\exp \left( {2\beta x} \right){{\cos }^{2}}\beta y, \\ {\rho } = H_{z}^{2} + 4{{\beta }^{2}}\exp \left( {2\beta x} \right), \\ {{H}_{x}} = 2\beta \exp \left( {\beta x} \right){\text{sin}}\beta y, \\ {{H}_{y}} = 2\beta \exp \left( {\beta x} \right)\cos \beta y. \\ \end{gathered} $

Возмущению за счет неоднородного магнитного поля здесь подвергся плоский бриллюэновский поток (53).

$4)\,\,\,Q = - i{\text{tg}}s,\,\,\,\,\chi {\kern 1pt} ' = {{\cos }^{\beta }}s,\,\,\,\,{{H}_{z}} = 0;$

(63)
$\begin{gathered} w = 2\operatorname{Re} \int\limits_{}^s {{{{\cos }}^{\beta }}\tau d\tau } , \\ {{H}_{x}} = 2{{m}^{\beta }}{\text{sin}}\beta \vartheta ,\,\,\,\,{{H}_{y}} = 2{{m}^{\beta }}\cos \beta \vartheta , \\ 2\bar {\varphi } = 2\varphi + {{w}^{2}},\,\,\,\,{\bar {\rho }} = {\rho } + 2{{m}^{{2\beta }}}, \\ {{m}^{2}} = \frac{1}{2}\left( {\cos 2x + {\text{ch}}2y} \right),\,\,\,\,\vartheta = - {\text{arctg}}\left( {{\text{tg}}x\,{\text{th}}y} \right). \\ \end{gathered} $

К компонентам скорости из (48) добавляются формулы для z-компоненты скорости, неоднородного магнитного поля ${{H}_{x}},$ ${{H}_{y}}$ и новые выражения для $\varphi $, ${\rho }$.

При натуральном значении $\beta $ продольная скорость выражается через элементарные функции:

(64)
$\begin{gathered} \beta = 2,\,\,\,\,w = x + {\text{sin}}2x\,{\text{sh}}2y; \\ \beta = 3,\,\,\,\,w = \frac{1}{6}{\text{sin}}3x\,{\text{ch}}3y + \frac{3}{2}{\text{sin}}x\,{\text{ch}}y. \\ \end{gathered} $

5) Столь же интересными и напоминающими по структуре решения (48), (59), (63) могли бы быть имеющие место только при ${{H}_{x}},{{H}_{y}} \ne 0$ решения [24, 26] в эллиптических функциях Якоби [27]. Первое из них записывается следующим образом:

(65)
$\begin{gathered} Q = cn\left( {s,k} \right),\,\,\,\,k = \frac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,\,\,\chi {\kern 1pt} ' = \frac{1}{2}c{{n}^{2}}\left( {s,k} \right); \\ u = \frac{{cn\left( {x,k} \right)cn\left( {y,k} \right)}}{{1 - d{{n}^{2}}\left( {x,k} \right)s{{n}^{2}}\left( {y,k} \right)}}, \\ v = \frac{{sn\left( {x,k} \right)dn\left( {x,k} \right)sn\left( {y,k} \right)dn\left( {y,k} \right)}}{{1 - d{{n}^{2}}\left( {x,k} \right)s{{n}^{2}}\left( {y,k} \right)}}. \\ \end{gathered} $

Второе решение с теми же компонентами скорости u, v, но со спектром значений k определено формулами

(66)
$\begin{gathered} Q = cn\left( {s,k} \right),\,\,\,\,\chi {\kern 1pt} ' = \frac{1}{2} \times \\ \times \,\,\left[ {i\alpha sn\left( {s,k} \right)dn\left( {s,k} \right) + d{{n}^{2}}\left( {s,k} \right) - {{k}^{2}}s{{n}^{2}}\left( {s,k} \right)} \right], \\ {{\alpha }^{2}} = 2\left( {2{{k}^{2}} - 1} \right),\,\,\,\,k \leqslant 1. \\ \end{gathered} $

В плоскости x, y траектории частиц описываются уравнением

(67)
$\begin{gathered} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{sn\left( {x,k} \right)dn\left( {x,k} \right)sn\left( {y,k} \right)dn\left( {y,k} \right)}}{{cn\left( {x,k} \right)cn\left( {y,k} \right)}}, \\ \frac{{cn{\kern 1pt} '\left( {x,k} \right)}}{{cn\left( {x,k} \right)}}dx = - \frac{{cn\left( {y,k} \right)}}{{sn\left( {y,k} \right)dn\left( {y,k} \right)}}dy. \\ \end{gathered} $

Здесь использованы свойства эллиптических функций [27]

(68)
$\begin{gathered} c{{n}^{2}}\left( {s,k} \right) = 1 - s{{n}^{2}}\left( {s,k} \right), \\ d{{n}^{2}}\left( {s,k} \right) = 1 - {{k}^{2}}s{{n}^{2}}\left( {s,k} \right), \\ cn{\kern 1pt} '\left( {s,k} \right) = - sn\left( {s,k} \right)dn\left( {s,k} \right), \\ dn{\kern 1pt} '\left( {s,k} \right) = - {{k}^{2}}sn\left( {s,k} \right)cn\left( {s,k} \right), \\ sn{\kern 1pt} '\left( {s,k} \right) = cn\left( {s,k} \right)dn\left( {s,k} \right). \\ \end{gathered} $

Принимая во внимание соотношение

(69)
$\left[ {\ln \frac{{sn\left( {y,k} \right)}}{{dn\left( {y,k} \right)}}} \right]{\kern 1pt} ' = \frac{{cn\left( {y,k} \right)}}{{sn\left( {y,k} \right)dn\left( {y,k} \right)}},$

приходим к следующему выражению для траекторий:

(70)
$cn\left( {x,k} \right) = {\text{const}}\frac{{dn\left( {y,k} \right)}}{{sn\left( {y,k} \right)}}.$

К сожалению, из-за свойств эллиптических функций уравнение (70) имеет смысл в очень ограниченной части плоскости x, y, что сводит на нет возможность использования этих решений при тестировании.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Точные решения уравнений плотного электронного пучка, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями или выражениями в элементарных и специальных функциях, не связаны с групповыми свойствами этих уравнений, если они получены в результате рассмотрения переопределенных систем. Все описанные выше модели относятся к этому случаю. Вырожденные решения и обобщенные бриллюэновские потоки требуют обращения в нуль одной, двух или трех компонент обобщенного импульса, уравнения соленоидальных течений переопределяет требование соленоидальности скорости.

Возникающие в результате решения не имеют симметрии, свойственной инвариантным решениям, и порождают новые структуры параметров потока, которые представляют ценность при тестировании приближенных и численных моделей. Устранение произвольных несимметричных элементов может трансформировать решение в инвариантное. Среди приведенных примеров отсутствие мультипликативного или аддитивного разделения переменных является не исключением, а правилом: структуры решения могут содержать линейные комбинации мультипликативных фрагментов, образованных произведением действительной и мнимой частей аналитической функции, или предоставлять неограниченные возможности усложнения структуры в двумерных релятивистских потоках с одной z-компонентой скорости.

Список литературы

  1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

  2. Syrovoy V.A. Theory of Intense Beams of Charged Particles. N.-Y.: Elsevier, 2011.

  3. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2003. T. 48. № 4. C. 467.

  4. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2008. T. 53. № 6. C. 752.

  5. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2009. T. 54. № 9. C. 1110.

  6. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2019. T. 54. № 6. C. 593.

  7. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2019. T. 54. № 12. C. 1244.

  8. Акимов П.И., Никитин А.П., Сыровой В.А. // Электрон. техника. Сер. 1. СВЧ-техника. 2018. № 1. С. 32.

  9. Сапронова Т.М., Сыровой В.А. // РЭ. 2010. Т. 55. № 6. С. 726.

  10. Birtles A.B., Dirmikis D. // Int. J. Electr. 1975. V. 38. № 1. P. 49.

  11. Мануилов В.Н., Райский Б.В., Цимринг Ш.Е., Солуянова Е.А. // Изв. вузов. Радиофизика. 1992. Т. 35. № 9–10. С. 846.

  12. Козырев А.Н., Свешников В.М. // Прикл. физика. 2018. № 1. С. 30.

  13. Riva F., Beadle C.F., Ricci P. // Phys. Plasmas. 2017. V. 24. P. 055703-1.

  14. Данилов В.Н., Сыровой В.А. // Задачи физической электроники. М.: Наука, 1982. С. 19.

  15. Данилов В.Н. // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1968. № 1. С. 3.

  16. Сыровой В.А. Теория интенсивных пучков заряженных частиц. М.: Энергоатомиздат, 2004.

  17. Kent G. // Communic. Electr. 1960. V. 79. № 48. P. 144.

  18. Дaнилoв B.H. // PЭ. 1966. T. 11. № 11. C. 1994.

  19. Дaнилoв B.H. // PЭ. 1963. T. 8. № 11. C. 1892.

  20. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2014. T. 59. № 4. C. 375.

  21. Lomax R.J. // J. Electr. Contr. 1958. V. 5. № 6. P. 563.

  22. Kirstein P.T. // J. Electr. Contr. 1958. V. 4. № 5. P. 425.

  23. Огородников С.Н. // Изв. вузов. Радиофизика. 1969. Т. 12. № 10. С. 1577.

  24. Огородников С.Н. // ЖТФ. 1972. Т. 42. № 7. С. 1348.

  25. Сыровой В.А. // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27. № 5. С. 635.

  26. Огородников С.Н. // ЖТФ. 1973. Т. 43. № 6. С. 1311.

  27. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958.

Дополнительные материалы отсутствуют.