Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 7, стр. 714-716
Траектории зарядов в цилиндрическом пучке с учетом переменной магнитной индукции и вихревых электрических полей
В. Б. Байбурин a, А. С. Розов a, *, В. П. Мещанов b, С. Л. Чернышев c
a Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.
410054 Саратов, ул. Политехническая, 77, Российская Федерация
b Научно-производственное предприятие “НИКА–СВЧ”
410012 Саратов, ул. Московская, 66, Российская Федерация
c Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
105005 Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, Российская Федерация
* E-mail: fog545@mail.ru
Поступила в редакцию 20.03.2019
После доработки 20.03.2019
Принята к публикации 19.04.2019
Аннотация
Проведен анализ траекторий в цилиндрическом пучке с учетом переменной магнитной индукции и вихревых электрических полей. Показано что учет вихревых полей при моделировании стабилизирует траекторию.
Заряженные электронные пучки присутствуют во многих устройствах со скрещенными электрическими магнитными полями [1–4]. В работе [1] рассмотрены траектории зарядов с учетом неоднородного и переменного во времени магнитного поля в условиях наличия и отсутствия пространственного заряда. Показано, что траектория в этом случае хаотична как в случае наличия пространственного заряда, так и в его отсутствие. Однако, при этом не учитывалось влияние вихревых электрических полей, которые возникают под воздействием переменной магнитной индукции. В данной работе проведено моделирование траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке с учетом вихревых полей.
Моделирование проводилось применительно к схеме, показанной на рис. 1, где ${{B}_{z}}$ – переменная во времени магнитная индукция, ${{E}_{z}}$ – постоянное электрическое поле вдоль оси пучка, $\rho $ – плотность зарядов в пучке.
Уравнения движения заряда применительно к схеме рис. 1, имеют вид
(1)
$\begin{gathered} \ddot {x} = \eta {{E}_{x}} + \eta {{B}_{z}}\dot {y},\,\,\,\,\ddot {y} = - \eta {{E}_{y}} + \eta {{B}_{z}}\dot {x}, \\ \ddot {z} = \eta {{E}_{z}}, \\ \end{gathered} $Переменную во времени магнитную индукцию представим в виде
где ${{B}_{{0z}}}$ – статическая магнитная индукция, $\Delta {{B}_{z}} - $ амплитуда изменения переменной компоненты магнитной индукции, $\omega $ – частота изменения переменной компоненты магнитной индукции.Электрические поля Ex и Ey представляют собой сумму полей пространственного заряда (индексы xs, ys) и вихревых полей (индексы xφ, yφ):
(3)
${{E}_{x}} = {{E}_{{xs}}} + {{E}_{{x\varphi }}},\,\,\,\,{{E}_{y}} = {{E}_{{ys}}} + {{E}_{{y\varphi }}}.$Для составляющих поля пространственного заряда можно записать [1]:
(4)
$\begin{gathered} {{E}_{{xs}}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{\rho {{r}_{s}}^{2}x}}{{2{{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}},\,\,\,\,r > {{r}_{s}} \hfill \\ \frac{{\rho x}}{{2{{\varepsilon }_{0}}}},\,\,\,\,r < {{r}_{s}} \hfill \\ \end{gathered} \right.,\,\,\,\,{{E}_{{ys}}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{\rho r_{s}^{2}y}}{{2{{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}},\,\,\,\,r > {{r}_{s}} \hfill \\ \frac{{\rho y}}{{2{{\varepsilon }_{0}}}},\,\,\,\,r < {{r}_{s}} \hfill \\ \end{gathered} \right., \\ r = \sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}}} , \\ \end{gathered} $Вихревые поля определяются как [2]:
(5)
$\begin{gathered} {{E}_{{x\varphi }}}(x,y,t) = \left\{ \begin{gathered} y\Delta {{B}_{z}}\omega \cos (\omega t),\,\,\,\,r < 2{{r}_{s}} \hfill \\ 0,\,\,\,\,\,r > 2{{r}_{s}} \hfill \\ \end{gathered} \right., \\ {{E}_{{y\varphi }}}(x,y,t) = \left\{ \begin{gathered} - x\Delta {{B}_{z}}\omega \cos (\omega t),\,\,\,\,r < 2{{r}_{s}} \hfill \\ 0,\,\,\,\,\,r > 2{{r}_{s}} \hfill \\ \end{gathered} \right.. \\ \end{gathered} $Рассмотрим траектории с учетом плотности зарядов в пучке и при различных частотах изменения магнитного поля: $\omega = 0.5{\text{*}}\eta {{B}_{0}}$ и $\omega = \eta {{B}_{0}}.$
Система уравнений (1) решалась численно методом Рунге–Кутты IV порядка точности [3] в безразмерных единицах, нормировка величин описана в работе [1].
В расчетах примем следующие значения параметров:
Рассмотрим траектории для случая $\omega = 0.5{\text{*}}\eta {{B}_{0}}$ (рис. 2). Как видно из траектории на рис. 2а, без учета вихревой составляющей траектория нерегулярна, носит хаотический характер, что подтверждается, как и в работе [1], соответствующим видом спектра мощности, и положительным значением показателя Ляпунова [4] ($\Lambda = 2.031$), а под действием вихревых полей (рис. 2б) траектория регулярна.
Рис. 2.
Траектория заряда при $\omega = 0.5{\text{*}}\eta {{B}_{0}}$ без учета (а) и с учетом (б) вихревой составляющей.
Рассмотрим траектории для случая $\omega = \eta {{B}_{0}}$ (рис. 3). Как видно из рис. 3а, начальная часть траектории носит хаотический характер, а затем характер траектории регуляризируется. Траектория заряда с учетом вихревой составляющей поля рис. 3б регулярна.
Рис. 3.
Траектория заряда при $\omega = \eta {{B}_{0}}$ без учета (а) с учетом (б) вихревой составляющей.
Таким образом, влияние вихревых электрических полей способствует регуляризации траекторий.
Список литературы
Розов А.С., Байбурин В.Б. // РЭ. 2014. Т. 59. № 9. С. 872.
Байбурин В.Б., Куцько П.П., Мещанов В.П., Розов А.С., Терентьев А.А. // Электромагнитные волны и электрон. системы. 2015. Т. 20. № 2. С. 77.
Турчак Л.И. Основы численных методов М.: Физматлит, 2003.
Анищенко B.C. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. Саратов: Изд-во СГУ, 1999.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника
Пн.-пт.: 10.00-19.00