Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 7, стр. 725-728

1. ТЕОРЕМА РАМО

Работа приборов в электронике определяется, как правило, движением зарядов в их активных частях. Поэтому формулы, описывающие связь между зарядами и токами в вакууме или в твердом теле (в полупроводниках и диэлектриках), с одной стороны, и токами, возникающими при этом во внешней цепи, – с другой, представляют особый интерес. Такие формулы, известные под названием теоремы Рамо (или Шокли–Рамо) [1, 2], рассматривалась в ряде работ для различных применений [1–10]. Впервые вклад в ток от двигающегося в вакууме одиночного заряда изучался в самом общем виде в работах [1, 2] в связи с дробовыми шумами в вакуумных электронных приборах. Эти результаты были обобщены и использованы для анализа работы вакуумных СВЧ-приборов во многих статьях и монографиях (см., например, [3–6] и цитированную там литературу). Применения к структурам с диэлектриками предложены в работах [7–9] для описания датчиков жесткого излучения [7–10]. Вопросы диагностики структур металл–диэлектрик–полупроводник (МДП), интегральных схем и анизотропных образцов рассматривались в работах [11–15].

Отметим, что при классическом рассмотрении движения отдельных электронов в рамках теоремы Рамо на электродах согласно теории индуцируются дробные заряды. Необходимы обобщения на одноэлектронный и вообще на квантовый случаи.

В наиболее общем виде для некоторой твердотельной структуры с N металлическими электродами и протекающими в ней токами теорема Рамо выражается следующим равенством [3, 4] (см. также [15]):

где ${{\vec {j}}_{{\text{п}}}}(t,\vec {r})$ – плотность полного тока, определяемая известной формулой: $\vec {j}(t,\vec {r})$ – плотность конвективного тока, $\vec {D}(t,\vec {r})$ – электрическая индукция, которая в отсутствие спонтанной поляризации равна ${{\varepsilon }_{{ij}}}(t,\vec {r})$ – тензор диэлектрической проницаемости (по одинаковым тензорным индексам здесь и далее предполагается суммирование), ${{E}_{j}}(t,\vec {r})$ – электрическое поле, ${{\vec {E}}^{{(1)}}} = - {\text{grad}}{{\varphi }^{{(1)}}}$, ${{\varphi }^{{(1)}}}(t,\vec {r})$ – соответственно электрическое поле и его потенциал, $\Phi _{k}^{{(1)}}(t)$ – потенциал k-го электрода (k = 1, 2, …, N) из некоторой вспомогательной задачи (которую мы уточним ниже), I_k – ток, втекающий в k‑й электрод из внешней цепи, определяемый равенством где i_k – ток, втекающий из рассматриваемой области в k-й электрод: Q_k – заряд k-го электрода, равный S_k – поверхность k-го электрода, $\vec {n}$ – внешняя нормаль к ней.

Полезную формулу для тока на отдельный (α-й) электрод можно получить, выбирая вспомогательную задачу с $\Phi _{k}^{{(1)}} = 0$ при k ≠ α и $\Phi _{\alpha }^{{(1)}} = {{\Phi }_{0}} = 1\,\,{\text{В}}$ [9, 10]. Тогда из (1) следует :

где ${{\vec {E}}^{{(1\alpha )}}}$ – поле во вспомогательной задаче в рассматриваемом случае.

Обычно теорему Рамо понимают в более узком смысле, удерживая в правых частях формул (1) и (7) только конвективные токи:

($I_{\alpha }^{{({\text{к}})}}$ – вклад во внешний ток на α-й электрод от конвективных токов в образце), или даже, как это делалось в первых работах, рассматривая движение только одного точечного заряда [1, 2].

Для вывода обсуждаемых формул можно использовать интеграл

где интегрирование проводится по всему пространству, за исключением металлических электродов. Искомые формулы получаются отсюда с помощью формул векторного анализа и равенства ${\text{div}}{{\vec {j}}_{{\text{п}}}} = 0$ (предполагается также, что поверхностный интеграл по бесконечности равен нулю). Вспомогательная задача должна содержать те же электроды, что и в основной задаче, а поле в ней должно быть потенциальным (чтобы обеспечить постоянство потенциала на поверхностях электродов). Обычно в качестве вспомогательной рассматривается та же задача (в той же среде), но без зарядов и токов в образце. Временные изменения параметров вспомогательной задачи должны быть достаточно медленными, чтобы не нарушать потенциальность. В задачах диагностики, например, используются квазистационарные режимы. Поле же в исследуемой (основной) задаче может и не быть потенциальным.

Однако токи во внешней цепи индуцируются не только конвективными токами, но и (см. формулы (1) и (2)) изменениями индукции, включая изменения спонтанной поляризации, тензора диэлектрической проницаемости, включая и изменения ориентаций осей тензора (см. формулы в [11, 13, 15]). Изменения поляризации имеют ту же природу, что и конвективные токи, а токи, связанные с изменениями второй части индукции (см. (3)), относят обычно к токам емкостной природы. В книгах по электронике можно найти много конкретных примеров на этот счет (см., например, [16–18]). Однако возникает вопрос, верно ли это в общем случае. Это рассматривается в следующих разделах.

2. ЕМКОСТНЫЕ ТОКИ

Рассмотрим сначала вопрос о точности. Вернемся к равенствам (4)–(6), описывающим сохранение заряда в k-м электроде. Сохранение заряда здесь обеспечивается равенством нулю потока полного тока ${{\vec {j}}_{{\text{п}}}}$ через поверхность электрода (что в свою очередь, связано с равенством ${\text{div}}{{\vec {j}}_{{\text{п}}}} = 0$ и, следовательно, с обращением в нуль объемного интеграла, в который преобразуется с помощью теоремы Остроградского–Гаусса поверхностный интеграл). Следовательно, соотношение (4) выполняется строго, если поверхность интегрирования охватывает весь электрод, кроме его контактов с подводящими заряд проводами (поверхность S_k), через которые и проходит в электрод ток I_k. Но тогда не выполняется уравнение (6) (хотя неточность, конечно, мала). Это можно подправить с помощью формального приема, проводя дополнительно в интегралах с ${{\partial{ \vec {D}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {D}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$ в области контактов две совпадающие геометрически поверхности (но с противоположными внешними нормалями), дополняющие поверхности S_k до полных. Тогда в левой части уравнения (1) появятся дополнительные слагаемые, но другого вида, так как поверхности проводов неэквипотенциальны. В пренебрежении неэквипотенциальностью электроды со сквозными токами (и непроницаемыми для зарядов поверхностями) дают, очевидно, нулевой вклад в левую часть (1).

Однако уравнение (7) для тока на отдельный электрод можно получить только для уединенного электрода. В первых работах [1, 2] и была предложена модель с разъединенными электродами, в рамках которой индуцированные заряды на электродах определялись при различных положениях неподвижного точечного заряда. Токи получались путем дифференцирования координаты заряда по времени. Вопрос же о влиянии подвода заряда не обсуждался.

В связи с этим отметим, что модель с изолированными электродами можно использовать только во вспомогательной задаче (не трогая основную). Левая часть уравнения (8) и в этом случае будет не точной (из-за проводов). Но влияние проводов обычно мало. В пренебрежении эффектами такого рода можно выделить емкостные токи, определив с этой целью и сами емкости отдельных электродов. Необходимо также, чтобы поле в основной задаче было потенциальным. Тогда

где Ф_k – потенциалы электродов в основной задаче, $E_{i}^{{(\alpha )}}$ – вспомогательное нормированное поле, $Q_{k}^{{(1\alpha )}}$ – заряд k-го электрода в вспомогательной задаче в рассматриваемом случае, $C_{k}^{\alpha }$ – коэффициенты емкости (при α = k) и коэффициенты электростатической индукции (при α ≠ k) (см., например, [19]). Мы предполагаем здесь также, что заряды и поляризация в образце во вспомогательной задаче отсутствуют, а тензор диэлектрической проницаемости симметричен (ε_ij = ε_ji). Более общее рассмотрение этого вопроса представлено в [15].

Отметим, что в уравнении (10) кроме емкостного слагаемого (последнее слагаемое в правой части (10)) и индуцированных движением зарядов в образце токов (первое слагаемое под интегралом) присутствует еще одно слагаемое с производной ${{\partial {{\varepsilon }_{{ij}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\varepsilon }_{{ij}}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$ (второе под интегралом). Это и не удивительно: ведь изменения емкости тоже индуцируют токи, а емкость конденсатора, например, зависит от диэлектрической проницаемости. Поэтому возникает вопрос – не связано ли обсуждаемое слагаемое с изменениями емкостей. Интересующая нас здесь формула (при тех же предположениях и с теми же замечаниями, что и выше) имеет вид

(подробнее см. в [20]). Здесь слагаемое описывает вклад от конвективных токов в образце. Слагаемое

обычно тоже относят к емкостным токам (см., например, [17]), хотя токи здесь связаны не только с изменениями потенциалов электродов (традиционный вклад), но и с изменениями емкостных коэффициентов, которые зависят в том числе и от диэлектрической проницаемости (явная зависимость токов от изменений тензора диэлектрической проницаемости представлена в [15]). Если емкостные коэффициенты зависят только от потенциалов электродов, то можно ввести более привычные понятия дифференциальных емкостей $С_{{k,{\text{д}}}}^{\alpha }$, определяемых следующим равенством:

Тогда (14б) принимает вид

Однако, как видно из (13), дополнительное слагаемое к емкостным и индуцированным движением зарядов токам (второе слагаемое в правой части под интегралом), хотя и другого вида, все равно остается:

В следующем разделе рассматривается пример, в котором возникают такие токи (т.е. токи неемкостного характера).

3. НЕЕМКОСТНЫЕ ТОКИ

Рассмотрим одномерную структуру с двумя смежными диэлектриками с относительными диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂ и с двумя полубесконечными металлами, контактирующими с этими диэлектриками. Толщина диэлектриков d/2. Ось Ox направим от первого диэлектрика ко второму, начало координат поместим на контакте первого диэлектрика с металлом. Если теперь поверхностная плотность заряда на границе второго электрода σ₀ > 0 при x = d, то

где ε₀ – диэлектрическая постоянная вакуума, а E₁ > 0 и E₂ > 0 – амплитуды электрических полей в первом и втором диэлектрике соответственно (поверхностная плотность заряда на границе с первым электродом равна –σ₀). Тогда (как видно из (16)) потенциал второго электрода φ(d) = φ₀ > 0 относительно первого электрода равен где

– емкость структуры на единицу площади (потенциал первого электрода равен φ(0) = 0). Добавим далее на границу между диэлектриками (x = d/2) отрицательный заряд с поверхностной плотностью –σ₁ < 0. Если потенциалы электродов при этом неизменны, то добавленный заряд индуцирует на первом и втором электродах дополнительные положительные заряды σ₁₁ и σ₁₂ соответственно:

При этом сохраняется электронейтральность:

Изменения диэлектрических проницаемостей приводят к изменению емкости построенной структуры, которое описывается следующей формулой:

Отсюда следует, что емкость остается неизменной, когда

Если это условие выполняется, то изменение плотности заряда σ₁₂ описывается выражением

Напомним, что при постоянных емкости С и потенциале φ₀ не меняется также и плотность заряда σ₀. Тогда изменение полной плотности заряда ${{\Sigma }_{2}} = {{\sigma }_{0}} + {{\sigma }_{{12}}}$ на втором электроде сводится к $\delta {{\Sigma }_{2}} = \delta {{\sigma }_{{12}}}$ и может быть отлично от нуля, если выполняется условие (21) (при этом обсуждаемое изменение заряда на электроде обеспечивается токами из внешней цепи). Но если емкость и потенциал постоянны, то емкостных токов нет. Отсутствуют здесь и токи, обусловленные движением зарядов в образце (так как нет движения).

Таким образом, поясняющий пример с неемкостными токами построен: а именно описана структура с изменяющимися параметрами, в которой емкостные токи и токи, индуцированные движением зарядов в образце, отсутствуют, а ток во внешней цепи все же есть. Результаты этого раздела можно получить и более формальным образом с помощью формул общей теории из предыдущего раздела (см. формулы (13)–(15)).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализированы условия применимости теоремы Рамо и ее обобщений. Рассмотрена природа токов, возникающих при изменении параметров образца. Показано, что кроме емкостных токов и индуцированных движением зарядов токов возможны токи иной природы. Приведен поясняющий пример с токами неемкостного характера. Дополнительные токи могут сопутствовать, например, физическим процессам в образце, которые сопровождаются изменениями диэлектрической проницаемости (структурные изменения, фазовые переходы, химические реакции и т.д.). Их изучение полезно при диагностике процессов в электронных приборах.