Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 7, стр. 627-635

Математическая модель разделения эллиптически поляризованной волны в анизотропных фотонных кристаллах на ТЕ- и ТМ-волны

К. А. Вытовтов ab*, Е. А. Барабанова ab, В. М. Вишневский b, Ю. А. Максименко a

a Астраханский государственный технический университет
414056 Астрахань, ул. Татищева, 16, Российская Федерация

b Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН
117342 Москва, ул. Профсоюзная, 65, Российская Федерация

* E-mail: vytovtov_konstan@mail.ru

Поступила в редакцию 09.09.2019
После доработки 26.09.2019
Принята к публикации 21.10.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрен одномерный анизотропный фотонный кристалл. Построена математическая модель, разделяющая волну эллиплической поляризации на волны ТЕ- и ТМ-типа. Найдена матрица преобразования для периодической структуры с произвольным числом слоев в периоде в виде блочной диагональной матрицы. Найдена матрица преобразования для произвольного числа периодов структуры с анизотропными слоями. Найдены дисперсионные отношения, определяющие границы разрешенных зон.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задача изучения фотонных кристаллов является актуальной в течение многих десятилетий [110]. В этом направлении решаются как линейные, так и нелинейные задачи. И наибольшее внимание привлекают именно нелинейные задачи [45], а последнее время и такие задачи, как исследование графеновых пленок [6] и т.д.

Однако на сегодняшний день не все линейные задачи решены, несмотря на их практическую значимость. Более того, решение линейных задач зачастую является нулевым приближением и для задач нелинейных.

Одной из таких нерешенных задач является разделение эллиптически-поляризованных волн в одномерных анизотропных фотонных кристаллах на линейно-поляризованные волны и нахождение аналитических выражений, описывающих их поведение, хотя с физической точки зрения такое разделение очевидно. Действительно, в анизотропной среде в общем случае распространяется эллиптически поляризованная волна, которая может быть представлена как суперпозиция волн правой и левой круговой поляризации. Эти волны в свою очередь могут быть представлены как суперпозиция двух волн линейной поляризации. Для однородных сред такое разделение не вызывает проблем, но в случае неоднородных, в частности слоистых сред, решение этой задачи в аналитическом виде затруднительно, поскольку на границах раздела слоев наблюдается взаимодействие волн правой и левой поляризаций. Решение этой задачи возможно либо путем разделения исходных волновых уравнений [3, 7, 9] на два, каждое из которых описывает соответствующий тип волны, либо путем преобразования матрицы фундаментальных решений (матрицы преобразования) [3, 9] этих уравнений к блочному диагональному виду.

В работе [7] было показано, что матрица преобразования однородного анизотропного слоя для определенных частных случаев может быть представлена в виде 4 × 4 блочной матрицы с 2 × 2 диагональными блоками

(1)
${\mathbf{L}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{M}}\left( z \right)}&0 \\ 0&{{\mathbf{N}}\left( z \right)} \end{array}} \right|$

(см. Приложение). Это случаи произвольного направления распространения волны в анизотропной среде и нормальной ориентации оси анизотропии, а также нормального распространения волны в среде и произвольной ориентации оси анизотропии. Представление матрицы преобразования в виде (1) уже равносильно разделению результирующей волны на ТЕ- и ТМ-волны в однородной среде, поскольку эта матрица связывает тангенциальные компоненты полей ${{E}_{y}}$, ${{H}_{x}}$, ${{E}_{x}}$, ${{H}_{y}}$ вначале и в конце однородного слоя [3, 7, 9, 11]:

${\mathbf{U}}\left( z \right) = {\mathbf{L}}\left( z \right)~{\mathbf{U}}\left( 0 \right),$

где

${\mathbf{U}}\left( 0 \right) = {{\left\{ {{{E}_{y}}\left( 0 \right),{\text{\;}}{{H}_{x}}\left( 0 \right),{\text{\;}}{{E}_{x}}\left( 0 \right),{\text{\;}}{{H}_{y}}\left( 0 \right)} \right\}}^{T}},$
${\mathbf{U}}\left( z \right) = {{\left\{ {{{E}_{y}}\left( z \right),{{H}_{x}}\left( z \right),{{E}_{x}}\left( z \right),{{H}_{y}}\left( z \right)} \right\}}^{T}},$

Т – операция транспонирования.

Для слоистой среды результирующая матрица находится как произведение матриц слоев

${{{\mathbf{L}}}_{{\Sigma }}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)}&0 \\ 0&{{\mathbf{N}}\left( {\Lambda } \right)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\prod\limits_{i = 1}^P {{{{\mathbf{M}}}_{i}}\left( {{{z}_{i}}} \right)} }&0 \\ 0&{\prod\limits_{i = 1}^P {{{{\mathbf{N}}}_{i}}} \left( {{{z}_{i}}} \right)} \end{array}} \right|~,$

где P – количество слоев, ${\Lambda } = \sum\nolimits_{i = 1}^P {{{z}_{i}}} $ – общая толщина структуры, i – номер слоя, z – перпендикуляр к границе раздела слоев.

Такая матрица также является блочной диагональной матрицей с 2 × 2-блоками по главной диагонали. Однако в [7] не было представлено конечного аналитического выражения для этого случая, а выражение в виде произведения матриц не дает возможности дальнейшего аналитического исследования структуры.

Цель данной работы – нахождение общего аналитического вида матрицы преобразования в блочной диагональной форме для анизотропной слоистой среды с произвольным числом слоев, а также для периодической слоистой анизотропной среды (одномерного анизотропного фотонного кристалла) с произвольным числом слоев в периоде. Отметим, что аналогичные результаты были получены для случая изотропной среды [8] и анизотропной среды [9, 10] без разделения волны эллиптической поляризации на волны линейной поляризации.

На рис. 1 представлена исследуемая среда. Здесь наслоение ориентировано вдоль оси z. Разделение эллиптически поляризованной волны на линейно поляризованные волны возможно в двух случаях: 1) волна распространяется под произвольным углом к нормали z, а ось анизотропии совпадает с осью z; 2) волна распространяется нормально к границам раздела слоев, а ось анизотропии ориентирована произвольно.

Рис. 1.

Исследуемая структура.

Нахождение матрицы в блочной диагональной форме позволит использовать весь математический аппарат, разработанный для изотропных структур в анализе анизотропных сред.

2. МАТРИЦА СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Найдем общее аналитическое выражение матриц ${\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)$ и ${\mathbf{L}}\left( {\Lambda } \right)$ в (2) для произвольного числа однородных анизотропных слоев, если матрица единичного однородного слоя имеет вид (1) с блоками П1 и П5, представленными далее в Приложении (см. [7]). Для этого использован метод математической индукции.

Прежде всего найдем элементы матрицы преобразования ${\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)$ для случая двух слоев. В результате перемножения матриц слоев и алгебраических преобразований запишем элемент $M_{{11}}^{{\left( 2 \right)}}$:

(3)
$\begin{gathered} M_{{11}}^{{\left( 2 \right)}} = \frac{1}{{\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 1 \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)}}\left[ {\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{1}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{1}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}}} \right)~} \right. - \\ - \,\,\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{1}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{2}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}}} \right)~ - \sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{2}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{1}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}}} \right)~\,\, \times \\ \left. { \times \,\,\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{2}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{2}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Здесь $M_{{11}}^{{\left( 2 \right)}}~$ обозначает элемент первой строки первого столбца для двух слоев. Верхние индексы в скобках в правой части выражения (3) означают номер слоя, нижние индексы – номер волны в каждом слое.

Теперь найдем элементы матрицы преобразования M(Λ) для случая трех слоев. В результате перемножения матриц и алгебраических преобразований получим элемент $M_{{11}}^{{\left( 3 \right)}}$:

(4)
$\begin{gathered} M_{{11}}^{{\left( 3 \right)}} = \frac{1}{{\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 1 \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 3 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 3 \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 3 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 3 \right)}}} } \right)}} \times \\ \times \,\,\left[ {\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 3 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 3 \right)}}} - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( 3 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)} \right.\exp \left( {{\Omega }_{1}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + {\Omega }_{1}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}} + {\Omega }_{1}^{{\left( 3 \right)}}{{z}_{3}}} \right) - \\ - \,\,\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 3 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 3 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 3 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{1}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{1}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}} + jk_{2}^{{\left( 3 \right)}}{{z}_{3}}} \right) - ~ \\ - \,\,\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 3 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 3 \right)}}} - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( 3 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{1}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{2}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}} + jk_{1}^{{\left( 3 \right)}}{{z}_{3}}} \right) + \\ + \,\,\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 3 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 3 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 3 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{1}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{2}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}} + jk_{2}^{{\left( 3 \right)}}{{z}_{3}}} \right) - \\ - \,\,\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 3 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 3 \right)}}} - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( 3 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{2}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{1}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}} + jk_{1}^{{\left( 3 \right)}}{{z}_{3}}} \right) + \\ + \,\,\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 3 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 3 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 3 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{2}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{1}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}} + jk{\Omega }_{2}^{{\left( 3 \right)}}{{z}_{3}}} \right) + \\ + \,\,\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{2}^{{\left( 3 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 3 \right)}}} - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( 3 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)\exp \left( {jk_{2}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{2}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}} + jk_{1}^{{\left( 3 \right)}}{{z}_{3}}} \right) - \\ - \,\,\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{1}^{{\left( 3 \right)}}} \left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 2 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 1 \right)}}} } \right)\left( {\sqrt {\chi _{1}^{{\left( 2 \right)}}\gamma _{2}^{{\left( 3 \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( 3 \right)}}\gamma _{1}^{{\left( 2 \right)}}} } \right)\left. {\exp \left( {jk_{2}^{{\left( 1 \right)}}{{z}_{1}} + jk_{2}^{{\left( 2 \right)}}{{z}_{2}} + jk_{2}^{{\left( 3 \right)}}{{z}_{3}}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Аналогично находятся элементы $M_{{12}}^{{\left( 3 \right)}}$, $M_{{21}}^{{\left( 3 \right)}}$, $M_{{22}}^{{\left( 3 \right)}}$. Несмотря на то, что представленные элементы являются достаточно громоздкими, в них наблюдается определенная закономерность. Прежде всего, эта закономерность представляет собой сумму ${{2}^{P}}$-слагаемых. При этом волновые числа слоев в показателях экспонент этих слагаемых подчинены бинарному закону (соответствующие индексы). Учет закона изменения индексов в (4) осуществляется функцией ${{F}_{{q,i}}}$ (введенной автором работы [9]), где q – номер слагаемого в сумме (4), i – номер слоя. Тогда для трех интервалов получим следующее компактное аналитическое выражение:

(5)
$M_{{11}}^{{\left( 3 \right)}} = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{3}}} {\left[ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^3 {{F}_{{q,i}}}}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,3}}}}}^{{\left( 3 \right)}}} } \right.} \,\frac{{\prod\limits_{i = 1}^{3 - 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} - \sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^3 {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}\left. {\exp \left( {\mathop \sum \limits_{i = 1}^3 jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} \right)~} \right].$

Элементы $M_{{12}}^{{\left( 3 \right)}}$, $M_{{21}}^{{\left( 3 \right)}}$, $M_{{22}}^{{\left( 3 \right)}}$ матрицы находятся аналогично.

Теперь на основании (5) предположим, что элементы матрицы преобразования P-слойной анизотропной структуры известны и описываются выражениями

$M_{{11}}^{P} = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {\left[ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}}}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} } \right.} \,\frac{{\prod\limits_{i = 1}^{P - 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} - \sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}\left. {\exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~} \right],$
$M_{{22}}^{P} = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {\left[ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P \left( {{{F}_{{q,i}}} + 1} \right)}}}\sqrt {\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( P \right)}}} } \right.} \frac{{\prod\limits_{i = 1}^{P - 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} - \sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}\,\left. {\exp \left( {\mathop \sum \limits_{i = 1}^P jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} \right)~} \right],$
(6)
$M_{{12}}^{P} = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {\left[ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N \left( {{{F}_{{q,i}}} + 1} \right)}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( P \right)}}} } \right.} \,\frac{{\prod\limits_{i = 1}^{P - 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} - \sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}\,\left. {\exp \left( {\mathop \sum \limits_{i = 1}^P jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} \right)~} \right],$
$M_{{21}}^{P} = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {\left[ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}}}}}\sqrt {\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( P \right)}}} } \right.} \,\frac{{\prod\limits_{i = 1}^{P - 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} - \sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}\left. {\exp \left( {\mathop \sum \limits_{i = 1}^P jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} \right)~} \right].$

Найдем элемент $M_{{11}}^{{\left( {P + 1} \right)}}$ матрицы для P + 1-слоев

(7)
$\begin{gathered} M_{{11}}^{{\left( {P + 1} \right)}} = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {\left[ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P {{F}_{{q,i}}}}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( P \right)}}} \frac{{\prod\limits_{i = 1}^{P - 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} \, - \,\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} \, - \,\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}\exp \left( {\mathop \sum \limits_{i = 1}^P jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} \right)} \right]} \times \\ \times \,\,\left[ { - \frac{{\sqrt {\chi _{2}^{{\left( P \right)}}\gamma _{1}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {jk_{1}^{{\left( P \right)}}{{z}_{P}}} \right) - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( P \right)}}\gamma _{2}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {jk_{2}^{{\left( P \right)}}{{z}_{P}}} \right)}}{{\sqrt {\chi _{1}^{{\left( P \right)}}\gamma _{2}^{{\left( P \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( P \right)}}\gamma _{1}^{{\left( P \right)}}} }}} \right] + \\ + \,\,\sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {\left[ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P \left( {{{F}_{{q,i}}} + 1} \right)}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( P \right)}}} \frac{{\prod\limits_{i = 1}^{P - 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} \, - \,\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} \, - \,\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}\exp \left( {\mathop \sum \limits_{i = 1}^P jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} \right)} \right] \times } \\ \times \,\,\left[ { - \sqrt {\chi _{1}^{{\left( P \right)}}\chi _{2}^{{\left( P \right)}}} \frac{{\exp \left( {jk_{1}^{{\left( P \right)}}{{z}_{P}}} \right) - \exp \left( {jk_{2}^{{\left( P \right)}}{{z}_{P}}} \right)}}{{\sqrt {\chi _{1}^{{\left( P \right)}}\gamma _{2}^{{\left( P \right)}}} - \sqrt {\chi _{2}^{{\left( P \right)}}\gamma _{1}^{{\left( P \right)}}} }}} \right]. \\ \end{gathered} $

После алгебраических преобразований получим

(8)
$M_{{11}}^{{P + 1}} = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{{P + 1}}}} {\left[ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^{P + 1} {{F}_{{q,i}}}}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,P + 1}}}}}^{{\left( {P + 1} \right)}}} } \right.} \,\frac{{\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} - \sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^{P + 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}\,\left. {\exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^{P + 1} {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~} \right].$

Вводя новую переменную G = P + 1, приходим к первому выражению (6). Аналогично находим остальные элементы матрицы ${{{\mathbf{M}}}^{{\left( {P + 1} \right)}}}$.

Тогда окончательно получим матрицу ${\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)$ для P-слойной анизотропной структуры в виде конечной суммы матриц

(9)
$\begin{gathered} {\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right) = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {\left[ {\frac{{\prod\limits_{i = 1}^{P - 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} - \sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }} \times } \right.} \\ \left. { \times \,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\sum\limits_{i = 1}^P {{{F}_{{q,i}}}} }}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~}&{{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P \left( {{{F}_{{q,i}}} + 1} \right)}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~} \\ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P {{F}_{{q,i}}}}}}\sqrt {\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~}&{{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P \left( {{{F}_{{q,i}}} + 1} \right)}}}\sqrt {\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~} \end{array}} \right|} \right]. \\ \end{gathered} $

Аналогично, используя метод математической индукции, найдем выражение матрицы ${\mathbf{L}}\left( {\Lambda } \right)$ для P-слойной структуры

(10)

Итак, в данном разделе найдена матрица преобразования для рассматриваемых случаев анизотропной среды в виде блочной матрицы с $2 \times 2$-блоками.

Таким образом, после несложных математических преобразований можно утверждать, что матрица преобразования многослойной анизотропной среды может быть представлена в виде суммы ${{2}^{P}}$ унимодулярных $4 \times 4$-блочных диагональных матриц с $2 \times 2$-блоками и определенными коэффициентами вклада

(11)
${\mathbf{L}}\left( {\Lambda } \right) = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {{{{\mathbf{L}}}_{q}}} = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\vartheta }_{q}}{{{\mathbf{M}}}_{q}}}&0 \\ 0&{{{v}_{q}}{{{\mathbf{L}}}_{q}}} \end{array}} \right|} ,$

где матрицы ${{{\mathbf{M}}}_{q}}$, ${{{\mathbf{L}}}_{q}}$ имеют вид

(12)
${{{\mathbf{M}}}_{q}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P {{F}_{{q,i}}}}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~} \\ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P {{F}_{{q,i}}}}}}\sqrt {\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~} \end{array}} \right.\left. {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P \left( {{{F}_{{q,i}}} + 1} \right)}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~} \\ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^P \left( {{{F}_{{q,i}}} + 1} \right)}}}\sqrt {\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~} \end{array}} \right|~,$
(13)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{L}}}_{q}} = \left| \begin{gathered} {{\left( { - 1} \right)}^{{\sum\limits_{i = 1}^P {{{F}_{{q,i}}}} }}}\xi _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\zeta _{{2 - {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( P \right)}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~ \hfill \\ {{\left( { - 1} \right)}^{{\sum\limits_{i = 1}^P {{{F}_{{q,i}}}} }}}\zeta _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\zeta _{{2 - {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( P \right)}}\sqrt {\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~ \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \left. \begin{gathered} {{\left( { - 1} \right)}^{{\sum\limits_{i = 1}^P {\left( {{{F}_{{q,i}}} + 1} \right)} }}}\xi _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\xi _{{2 - {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( P \right)}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^P {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~ \hfill \\ {{\left( { - 1} \right)}^{{\sum\limits_{i = 1}^P {\left( {{{F}_{{q,i}}} + 1} \right)} }}}\zeta _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\xi _{{2 - {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( P \right)}}\sqrt {\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,P}}}}}^{{\left( P \right)}}} \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~ \hfill \\ \end{gathered} \right|, \\ \end{gathered} $

а коэффициенты вклада ${{\vartheta }_{q}}$ и ${{v}_{q}}$

(14)
${{\vartheta }_{q}} = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^{P - 1} {\left( {\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} - \sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }},$
(15)
$\begin{gathered} {{v}_{q}} = \prod\limits_{i = 1}^{P - 1} {\left( {\xi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\zeta _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\sqrt {\gamma _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} } \right.} - \xi _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\zeta _{{2 - {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( i \right)}} \times \\ \times \,\,{{\left. {\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left. {\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}} } \right)} {\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\xi _{2}^{{\left( i \right)}}\zeta _{1}^{{\left( i \right)}}\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \xi _{1}^{{\left( i \right)}}\zeta _{2}^{{\left( i \right)}}\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}} \right. \kern-0em} {\prod\limits_{i = 1}^P {\left( {\xi _{2}^{{\left( i \right)}}\zeta _{1}^{{\left( i \right)}}\sqrt {\gamma _{2}^{{\left( i \right)}}\chi _{1}^{{\left( i \right)}}} - \xi _{1}^{{\left( i \right)}}\zeta _{2}^{{\left( i \right)}}\sqrt {\gamma _{1}^{{\left( i \right)}}\chi _{2}^{{\left( i \right)}}} } \right)} }}. \\ \end{gathered} $

Унимодулярность матриц (12) и (13) будет доказана в следующем разделе. Тогда из (11) также следует, что результирующая волна может быть разложена в конечный спектр гармонических волн с номерами q от 1 до ${{2}^{P}}$. Назовем волну с номером q – эквивалентной волной, а коэффициенты ${{\vartheta }_{q}}$ и ${{v}_{q}}$ – коэффициентами вклада этих эквивалентных волн.

3. УНИМОДУЛЯРНОСТЬ МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ЕЕ БЛОКОВ

Анализ результатов [7] показывает, что определители матриц (12) и (13) имеют вид

(16)
$\begin{gathered} \det {\mathbf{M}}\left( z \right) = \exp \left[ {\left( {j{{k}_{1}} + j{{k}_{2}}} \right)z} \right], \\ \det {\mathbf{N}}\left( z \right) = \exp \left[ { - \left( {j{{k}_{1}} + j{{k}_{2}}} \right)z} \right]. \\ \end{gathered} $

Другими словами, данные матрицы являются унимодулярными. Следовательно, матрицы в (11) также являются унимодулярными, поскольку представляют собой произведение унимодулярных матриц (12) и (13), а определители этих матриц соответственно равны

(17)
$\begin{gathered} {\text{det}}~\left[ {{\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)} \right] = \exp \left[ {\mathop \sum \limits_{i = 1}^P \left( {jk_{1}^{{\left( i \right)}} + jk_{2}^{{\left( i \right)}}} \right){{z}_{i}}} \right], \\ {\text{det}}~\left[ {{\mathbf{L}}\left( {\Lambda } \right)} \right] = \exp \left[ {\mathop \sum \limits_{i = 1}^P \left( { - jk_{1}^{{\left( i \right)}} - jk_{2}^{{\left( i \right)}}} \right){{z}_{i}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Поскольку в соответствии с (17) определители матриц являются комплексной единицей, то на основании результатов работы [7] можно сделать вывод, что в структуре в общем случае существуют неоднородные ТЕ- и ТМ-волны.

4. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СЛОИСТАЯ СТРУКТУРА

Очевидно, что матрица фундаментальных решений для K периодов находится, как K-я степень матрицы (11):

(18)
$\begin{gathered} {\mathbf{L}}\left( {K{\Lambda }} \right) = {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)}&0 \\ 0&{{\mathbf{N}}\left( {\Lambda } \right)} \end{array}} \right|}^{K}} = \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\left( {\sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {{{\vartheta }_{q}}{{{\mathbf{M}}}_{q}}} } \right)}}^{K}}}&0 \\ 0&{{{{\left( {\sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{P}}} {{{v}_{q}}{{{\mathbf{L}}}_{q}}} } \right)}}^{K}}} \end{array}} \right|~. \\ \end{gathered} $

Поскольку матрицы ${\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)$ и ${\mathbf{N}}\left( {\Lambda } \right)$ унимодулярны, то с учетом результатов, полученных еще Абеле [12, 13], их K-ю степень можно найти как

(19)
${{\left[ {{\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)} \right]}^{K}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{m}_{{11}}}{{\mathcal{U}}_{{K - 1}}}\left( a \right) - {{\mathcal{U}}_{{K - 2}}}\left( a \right)}&{{{m}_{{12}}}{{\mathcal{U}}_{{K - 1}}}\left( a \right)} \\ {{{m}_{{21}}}{{\mathcal{U}}_{{K - 1}}}\left( a \right)}&{{{m}_{{22}}}{{\mathcal{U}}_{{K - 1}}}\left( a \right) - {{\mathcal{U}}_{{K - 2}}}\left( a \right)} \end{array}} \right|,~$
(20)
${{\left[ {{\mathbf{N}}\left( {\Lambda } \right)} \right]}^{K}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{n}_{{11}}}{{\mathcal{U}}_{{K - 1}}}\left( b \right) - {{\mathcal{U}}_{{K - 2}}}\left( b \right)}&{{{n}_{{12}}}{{\mathcal{U}}_{{K - 1}}}\left( b \right)} \\ {{{n}_{{21}}}{{\mathcal{U}}_{{K - 1}}}\left( b \right)}&{{{n}_{{22}}}{{\mathcal{U}}_{{K - 1}}}\left( b \right) - {{\mathcal{U}}_{{K - 2}}}\left( b \right)} \end{array}} \right|~.$

Здесь $a = {{\left( {{{m}_{{11}}} + {{m}_{{22}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{m}_{{11}}} + {{m}_{{22}}}} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ $b = {{\left( {{{n}_{{11}}} + {{n}_{{22}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{n}_{{11}}} + {{n}_{{22}}}} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2}$, ${{\mathcal{U}}_{K}}\left( x \right)$ − полиномы Чебышева второго рода:

(21)
${{\mathcal{U}}_{K}}\left( x \right) = \frac{{\sin \left[ {\left( {K + 1} \right)\arccos x} \right]}}{{\sqrt {1 - {{x}^{2}}} }}~.$

Данный результат является очень важным с практической точки зрения, поскольку выражения (18)–(21) позволяют получить матрицу преобразований за K периодов по P слоев в каждом периоде.

Для периодических слоистых сред одной из основных является задача определения границ разрешенных и запрещенных зон. Данные границы соответствуют периодическим решениям и в соответствии с теорией Ляпунова [11] определяются значениями собственных чисел матрицы преобразования, которые находятся из дисперсионного отношения

(22)
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right) - \lambda {\mathbf{I}}}&0 \\ 0&{{\mathbf{N}}\left( {\Lambda } \right) - \lambda {\mathbf{I}}} \end{array}} \right| = 0.~$

Если все собственные числа по модулю меньше либо равны единице, то решения системы уравнений Максвелла с периодическими коэффициентами, описывающей структуру, являются устойчивыми [11], а параметры структуры соответствуют разрешенным зонам. Для блочной матрицы (11) четыре собственных числа определяются как решения ее характеристического уравнения четвертого порядка (22), которое в данном случае дает дисперсионные отношения в виде

(23)
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left| { - \frac{{{\text{Sp}}~{\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)}}{2} \pm \sqrt {\frac{{{{{\left( {{\text{Sp}}~{\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)} \right)}}^{2}}}}{4} - \det {\mathbf{M}}\left( {\Lambda } \right)} } \right| \leqslant 1,} \\ {\left| { - \frac{{{\text{Sp}}~{\mathbf{N}}\left( {\Lambda } \right)}}{2} \pm \sqrt {\frac{{{{{\left( {{\text{Sp}}~{\mathbf{N}}\left( {\Lambda } \right)} \right)}}^{2}}}}{4} - \det {\mathbf{N}}\left( {\Lambda } \right)} } \right| \leqslant 1.} \end{array}} \right.$

Причем в разрешенных зонах должны выполняться все четыре условия (23) одновременно.

Таким образом, представляемый подход существенно упрощает решение задачи находения границ разрешенных и запрещенных зон, поскольку теперь речь идет об анализе $2 \times 2$-матриц вместо $4 \times 4$-матриц.

5. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР

В качестве примера рассмотрим одномерную бесконечную периодическую ферритовую среду с двумя слоями в периоде. Здесь частота волны 4 ГГц, угол падения 50°, материальные параметры для первого слоя ${{\mu }_{{xx}}} = 2.2$, ${{\mu }_{{xy}}} = 0.5$, ${{\mu }_{{zz}}} = 0.999$, для второго слоя ${{\mu }_{{xx}}} = 3.5$, ${{\mu }_{{xy}}} = 1.7$, ${{\mu }_{{zz}}} = 0.999$, ${{d}_{2}} = 0.01~$ м. На рис. 2 представлена зависимость модулей собственнных чисел матриц, описывающих ТЕ- и ТМ-волны от толщины первого слоя d1. Из рис. 2 видно, что собственные числа являются взаимнообратными. Области, в которых собственные числа по модулю не равны единице, соответствуют запрещенным зонам, т.е. областям непрохождения волны, области, в которых собственные числа равны единице, соответствуют разрешенным областям. На рис. 2 сплошными линиями представлены собственные числа матрицы, описывающей ТЕ-волны, штриховыми линиями – собственные числа матрицы, описывающие ТМ-волну. Области прохождения и непрохождения волны являются периодическими функциями толщины первого слоя периода. Так, в области II ТЕ-волна затухает в пределах одного периода, в области III ТМ-волна затухает в пределах периода. Областью прохождения является область I, где незатухающими являются обе волны. При этом в областях, где затухает только одна волна (область IV), результирующая волна вырождается в ТЕ- или ТМ-волну.

Рис. 2.

Зависимость модулей собственных чисел бесконечной периодической среды от толщины первого слоя при угле падения 50°.

Аналогичная зависимость для угла падения 10° представлена на рис. 3. Таким образом, положение областей прохождения и непрохождения волны зависит и от угла падения волны. Из рис. 3 видно, что для данной структуры при данном угле падения волны в ней существуют достаточно узкие области параметров, при которых распространяется только волна ТМ-типа, а волна ТЕ-типа затухает в одном периоде. Очевидно, что данная структура может использоваться для выделения линейно-поляризованной волны из волны круговой поляризации.

Рис. 3.

Зависимость модулей собственных чисел бесконечной периодической среды от толщины первого слоя при угле падения 10°.

ВЫВОДЫ

Рассмотрен одномерный анизотропный фотонный кристалл в рамках линейной задачи, в котором слои могут иметь и электрическую, и магнитную анизотропию. Рассмотрены случаи распространения плоской гармонической волны: 1) под произвольным углом к границам слоев при нормальной ориентации оси анизотропии; 2) перпендикулярно слоям при произвольной ориентации оси анизотропии.

В работе впервые аналитически приведено разделение эллиптически поляризованной волны в слоистой анизотропной среде на две волны линейной поляризации – ТЕ и ТМ.

Впервые разработана математическая модель и найдены выражения матрицы преобразования в виде 4 × 4-блочной диагональной матрицы с 2 × 2-блоками для произвольного конечного числа P-слоев.

Впервые получены выражения матрицы преобразования для произвольного числа периодов анизотропной многослойной среды.

Впервые результирующая волна представлена в виде суперпозиции конечного числа гармонических волн с определенными коэффициентами вклада этих волн в результирующую.

Ограничением данной модели являются предельные случаи, когда при z = 0 волна содержит только компоненты Ey, Hx (ТЕ-волна) или только компоненты Ex, Hy (ТМ-волна).

Список литературы

  1. Yablonovitch E. // Phys. Rev. Lett. 1987. № 58. P. 2059.

  2. Vardeny Z.V., Nahata A., Agrawal A. // Nat. Photonics. 2013. V. 7. P. 177.

  3. Berreman D.W. // JOSA. 1972. V. 62. № 4. P. 502.

  4. Mingaleev S., Kivshar Y. // Optics Photonics News. 2002. V. 13. № 7. P. 48.

  5. Jedrkiewicz O., Gatti A., Brambilla E. et al. // Eur. Conf. on Lasers and Electro-Optics (CLEO Europe). Munich 25–29 Jun. 2017, N.Y. IEEE, 2017. P. 8086474.

  6. Zhan T., Shi X., Dai Yu. et al. // J. Phys. Condens. Matter. 2013. V. 25. № 21. P. 215301.

  7. Vytovtov K.A., Tarasenko Yu.S. // JOSA A. 2007. V. 24. № 11. P. 3564.

  8. Vytovtov K. // JOSA A. 2005. V. 22. № 4. P. 689.

  9. Bытoвтoв K.A. // PЭ. 2001. T. 46. № 2. C. 159.

  10. Passler N.C., Paarmann A. // JOSA B. 2017. V. 34. № 10. P. 2128.

  11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2010.

  12. Abeles F. // Ann. Physique. 1950. V. 5. P. 596.

  13. М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики. М.: Наука, 1973.

Дополнительные материалы отсутствуют.