Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 8, стр. 764-768

ВВЕДЕНИЕ

Для определения электромагнитных параметров материалов широко используются резонаторные, волноводные методы и метод свободного пространства [1–9]. Резонаторные методы определяют параметры материалов на отдельных частотах. Основное преимущество волноводного метода заключается в том, что он позволяет определять электромагнитные параметры материалов в широкой полосе частот. Но существует ряд причин, которые ограничивают применение классического волноводного метода, главные из которых – это наличие воздушного зазора между образцом и стенками волновода (особенно между образцом и широкой стенкой волновода) и погрешность, связанная с неточностью определения фазы коэффициентов отражения и прохождения. Последняя обусловлена главным образом ошибкой в определении расстояний от границ образца до границ измерительной секции. Для уменьшения влияния на результаты измерений зазора между образцом и широкой стенкой волновода предложено заполнять его непроводящей пастой, составленной из мелкодисперсного медного порошка, перемешанного с вазелином [7, 9]. Другую погрешность, связанную с неточностью определения расстояний от границ образца до границ измерительной секции, можно уменьшить, используя секции-фланцы, длина которых равнялась бы длине исследуемого образца [9]. Однако существует методическая возможность уменьшения этой погрешности. Эта возможность базируется на том, что современные анализаторы цепей позволяют измерять все четыре S-параметра измерительной секции с образцом за один цикл (два коэффициента отражения и два коэффициента прохождения). Получаемое при этом число уравнений превышает число неизвестных. Это позволяет при определении комплексных диэлектрической и магнитной проницаемостей составить комбинацию уравнений, при решении которых отпадает необходимость определения указанных выше расстояний. Такая комбинация, определяющая улучшенный волноводный метод, рассмотрена в [10].

Цель данной работы – повышение точности измерений диэлектрической и магнитной проницаемостей в СВЧ-диапазоне с помощью волноводного методом.

1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПАРАМЕТРОВ МАТЕРИАЛОВ В КЛАССИЧЕСКОМ И УЛУЧШЕННОМ ВОЛНОВОДНЫХ МЕТОДАХ

В волноводном методе, который строится на базе использования в эксперименте векторного анализатора цепей, измеряются комплексные коэффициенты отражения и прохождения измерительной секции с образцом исследуемого материала (см. рис. 1). В этом случае при отсутствии воздушного зазора аналитическое решение задачи позволяет определить комплексные диэлектрическую и магнитную проницаемости этого материала [5, 6].

Классический волноводный метод основан на приведенных ниже формулах для комплексных коэффициентов отражения S₁₁ и прохождения S₂₁ на границах 1-го и 2-го образцов (см. рис. 1), т.е. он фактически использует только два S-параметра:

где Γ – коэффициент отражения в волноводе на границе воздух–образец (в случае образца бесконечной длины, т.е. при отсутствии интерференции в образце); P – коэффициент распространения через материал образца в волноводе. Он определяется следующим соотношением: Здесь $\gamma = \alpha + j\beta $ постоянная распространения волны в волноводе, заполненном исследуемым материалом, которая складывается из постоянной затухания α [Нп/м] и фазовой постоянной β [м^–1], L – толщина образца.

В реальной измерительной секции комплексные коэффициенты отражения $S_{{11}}^{*}$ и прохождения $S_{{21}}^{*}$ измеряются на границах измерительной волноводной секции (см. рис. 1) и связаны с коэффициентами S₁₁ и S₂₁ формулами

Здесь ${{R}_{1}} = \exp ( - {{\gamma }_{0}}{{L}_{1}})$ и ${{R}_{2}} = \exp ( - {{\gamma }_{0}}{{L}_{2}}),$ где

постоянная распространения в волноводе с воздушным заполнением, λ₀ – длина волны в свободном пространстве, λ_c – критическая длина волны в волноводе. В выражения для R₁ и R₂ входят величины L₁ и L₂, которые надо измерять с достаточной точностью.

Соотношения для определения комплексных диэлектрической ε и магнитной μ проницаемостей в классическом волноводном методе находятся в такой последовательности. На первом этапе из системы уравнений (1) и (2) выражаем P и Γ через известные величины S₁₁ и S₂₁ [6]:

Далее, используя дисперсионное уравнение для волновода с заполнением (ε и μ – параметры материала заполнения) [11] и выражение для коэффициента отражения Γ на границе воздух–исследуемый образец, находим искомые соотношения для определения комплексных диэлектрической ε и магнитной μ проницаемостей исследуемого материала:

где φ = argP, k = 0, 1, 2, …. Значение k определяется путем анализа группового времени задержки сигнала в образце [6].

Теперь обратимся к улучшенному волноводному методу, который позволяет исключить погрешность, связанную с неточностью определения размеров L₁ и L₂. В реальной измерительной установке, измеряя комплексные коэффициенты отражения $S_{{11}}^{*}$, $S_{{22}}^{*}$ и прохождения $S_{{21}}^{*}$, $S_{{12}}^{*}$ на границах измерительной волноводной секции, получаем систему из трех уравнений (при двух неизвестных P и Γ) [10]:

Используя эту систему, можно составить комбинацию уравнений, которая не зависит от размеров L₁ и L₂ [10]:

где ${{L}_{{{\text{возд}}}}} = {{L}_{1}} + {{L}_{2}} + L$ – длина измерительной секции, которая может быть измерена с хорошей точностью (см. рис. 1).

Теперь выражения для P и Γ находим из вновь полученной системы:

где и

Заметим, что в этом случае P и Γ уже не зависят от L₁ и L₂. Из (15) выбираются те решения, при которых выполняется условие $\left| P \right| \leqslant 1$.

Для правильного выбора знака в (16) получим коэффициент отражения Γ другим путем. Обозначим его Γ₁ и выразим из (10):

где $\alpha = \exp \left( { - 2{{\gamma }_{0}}{{L}_{1}}} \right)$.

Знак плюс или минус в выражении (17) выбирают исходя из условия $\left| {{{\Gamma }_{1}}} \right| \leqslant 1$, а знак в выражении (16) – из условия $\Gamma \approx {{\Gamma }_{1}}$.

Далее, по методике, описанной выше, получаем выражения (8) и (9) для определения ε и μ, в которых P и Γ задаются соотношениями (15) и (16). Ниже приведены экспериментальные результаты по определению комплексных диэлектрических и магнитных проницаемостей высокоомного кремния, полученные по обеим методикам, и проведено их сравнение.

2. ИЗМЕРЕНИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ВЫСОКООМНОГО КРЕМНИЯ

Экспериментальная проверка описанных выше волноводных методик проводилась на высокоомном кремнии. Из заготовки кремния с удельным сопротивлением около ρ = 1.1 кОм см изготавливали образец с поперечными размерами 22.72 × 10.09 мм² и длиной 15.98 мм, который вставляли в волноводную секцию с поперечными размерами волновода a × b = 22.86 × 10.16 мм². Для волны типа H₁₀ в прямоугольном волноводе критическая длина ${{\lambda }_{c}} = 2a$. Длина волноводной секции была равна 50.07 мм. Воздушный зазор между образцом и широкой стенкой волновода, который не превышал 0.07 мм, заполняли непроводящей пастой, составленной из мелкодисперсного медного порошка, перемешанного с вазелином. Измерения проводили в полосе частот 8.2…12.4 ГГц, а обработку результатов измерений – двумя приведенными выше способами. Полученные зависимости действительной составляющей ε₁ и тангенса угла диэлектрических потерь tgδ_ε кремния от частоты представлены на рис. 2а, 2б.

Проведем анализ полученных результатов. Как известно, в рассматриваемом частотном диапазоне действительная составляющая ε₁ диэлектрической проницаемости кремния не обнаруживает дисперсии и равняется 11.6. Вычисленные значения ε₁ в нашем случае находятся в пределах от 11.5 до 11.56, т.е. погрешность не превышает 1%. Что касается тангенса угла диэлектрических потерь, то их частотные зависимости заметно отличаются (см. рис. 2б). При обработке классическим методом полученная зависимость отображается волнообразной кривой. В улучшенном волноводном методе экспериментальная зависимость тангенса угла диэлектрических потерь от частоты достаточно хорошо описывается уравнением (18). Этому есть объяснение. В высокоомном кремнии решеточные потери существенно ниже потерь на свободных носителях, а тангенс угла потерь на свободных носителях уменьшается с ростом частоты по закону [12]:

где ω – круговая частота электромагнитной волны, ρ – удельное сопротивление материала, ε – относительная диэлектрическая проницаемость, ${{\varepsilon }_{0}} = 8.85 \times {{10}^{{ - 12}}}\,\,{{\text{Ф}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{Ф}} {\text{м}}}} \right. \kern-0em} {\text{м}}}$ – диэлектрическая постоянная (на рис. 2б эта зависимость показана сплошной кривой). Заметим, что формула (18) позволяет уточнить значение удельного сопротивления кремния, которое составило ρ = 1.13 кОм см. Мы видим, что с учетом поправки на удельное сопротивление отклонение экспериментальной зависимости от расчетной минимально, т.е. не превышает 7 × 10^–4 (см. рис. 2б). При обработке классическим методом отклонение на порядок больше и достигает величины 5 × 10^–3.

Кремний – немагнитный материал, поэтому при обработке результатов измерений мы полагали μ₁ = 1, μ₂ = 0. Изложенные выше волноводные методы позволяют определять комплексную магнитную проницаемость материала. Найденные зависимости для μ₁ и tg δ_μ показаны на рис. 3а, 3б. Значения μ₁, полученные разными методами, примерно совпадают. Наблюдаемые на графиках выбросы в значении μ₁ и tg δ_μ объясняются приборной погрешностью измерений значений коэффициента отражения в точках его минимумов на частотах, определяемых условием $l = k{{{{\lambda }_{{\text{в}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\lambda }_{{\text{в}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ (k = 1, 2, 3…, λ_в – длина волны в волноводе на заданной частоте минимума коэффициента отражения). В нашем эксперименте в полосе частот 8.2…12.4 ГГц располагаются два минимума – на частотах 8.5 и 11.2 ГГц – и выбросы при обработке по улучшенному волноводному методу меньше. В окрестностях максимума коэффициента отражения в районе частоты 10 ГГц результаты, полученные обоими способами, примерно одинаковы.

Что касается тангенса угла магнитных потерь, то здесь преимущество улучшенного волноводного метода очевидно: значение tgδ_μ в окрестностях максимума коэффициента отражения, определенное по улучшенному методу, равняется 1 × 10^–3 а в классическом методе оно принимает отрицательную величину с порядком 10^–2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлены два способа определения комплексных диэлектрической и магнитной проницаемостей материалов волноводным методом. Экспериментальная проверка на примере образца из высокоомного кремния показала, что при обработке улучшенным волноводным методом уменьшается ошибка в определении тангенсов углов диэлектрических tg δ_ε и магнитных tg δ_μ потерь, а также действительной составляющей μ₁ комплексной магнитной проницаемости.