1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Радиотехника и электроника
  4. T. 66, № 1, 2021

Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 1, стр. 62-68

Алгоритмы формирования и приема OFDM-сигналов на основе манипуляции с минимальным сдвигом частоты

Л. Е. Назаров a, *, А. С. Зудилин a, В. И. Каевицер a, И. В. Смольянинов a

a Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
141190 Фрязино, Московской обл., пл. Введенского, 1, Российская Федерация

* E-mail: levnaz2018@mail.ru

Поступила в редакцию 18.11.2019
После доработки 11.02.2020
Принята к публикации 17.05.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрены и исследованы разработанные алгоритмы формирования и приема OFDM-сигналов с использованием манипуляции с минимальным сдвигом частоты (OFDM-MSK-сигналы). OFDM-MSK-сигналы характеризуются низким уровнем мощности внеполосного излучения по сравнению с OFDM-сигналами с использованием фазовой манипуляции. Показано, что разработанные алгоритмы формирования и приема используют решетчатую структуру сигналов с непрерывной фазой с минимальным сдвигом частоты в сочетании с производительным алгоритмом быстрого спектрального преобразования в базисе Фурье.

ВВЕДЕНИЕ

С использованием OFDM-сигналов возможна организация передачи информации по каналам с многолучевостью, которая обусловливает наличие мультипликативных помех (частотно-селективные замирания сигналов) и помех межсимвольной интерференции [1–4]. Это свойство OFDM-сигналов явилось определяющим для их использования в ряде современных цифровых систем связи (IEEE 802.11 (WiFi), IEEE 802.16 (WiMax), DVB-SH (цифровое спутниковое телевещания), 3GPP LTE (мобильная связь 4G)) [4, 5], в системах оптической связи [6], в радиолокационных системах [7].

Недостатком OFDM-сигналов является большое значение пик-фактора, что приводит к возникновению интермодуляционных помех на выходе передатчика как нелинейного устройства [8–10], а также подверженность искажающему влиянию сосредоточенных по спектру помех [11].

Другая проблема при использовании OFDM-сигналов обусловлена высоким уровнем внеполосного излучения [1, 3]. Актуальной является задача разработки теории OFDM-сигналов с пониженным внеполосным излучением [12–17].

Известные подходы к решению данной задачи условно можно разделить на три общих класса [18]: конструктивные методы, амплитудные методы, фазовые методы. Один из конструктивных методов формирования основан на использовании дополнительной совокупности парциальных сигналов [12]. Амплитудные методы снижения мощности внеполосного излучения основаны на формировании огибающих сигналов с использованием весовых функций, отличных от прямоугольной весовой функции [14, 15, 18].

Основу алгоритмов формирования и приема OFDM-сигналов с пониженной мощностью внеполосного излучения, анализируемых в статье, составляет фазовый метод [16, 19, 20 ].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сигналы OFDM представляют сумму $N$ парциальных гармонических сигналов, определенных на тактовом интервале длительностью $T$ [1–3]

(1)
$\dot {s}(t) = \frac{1}{{\sqrt N }}\sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {{{{\dot {\alpha }}}_{m}}\exp (j2\pi {{f}_{m}}t).} $

Здесь ${{f}_{m}} = {m \mathord{\left/ {\vphantom {m T}} \right. \kern-0em} T}$ – частоты (линейные) парциальных сигналов, определяющие их ортогональность на тактовом интервале. Значения ${{\dot {\alpha }}_{m}}$ задаются информационной последовательностью и используемыми сигнальными “созвездиями” [1]. При формировании и приеме OFDM-сигналов используется аппарат быстрого спектрального преобразования в базисе Фурье (БПФ) [21].

Спектральная плотность мощности OFDM-сигналов определяется суммой спектров парциальных сигналов, вне рабочей частотной полосы спектральная плотность мощности убывает достаточно медленно [3]. Перспективным направлением снижения мощности внеполосного излучения является использование парциальных сигналов в (1) на основе манипуляции с непрерывной фазой с минимальным сдвигом частоты (minimum shift keying, MSK-сигналы), которые не требуют формирующих весовых функций или фильтров [16, 19, 20, 22].

MSK-сигналы характеризуются большей скоростью спадания спектральной плотности мощности при увеличении частоты $f$ по отношению к фазоманипулированным (ФМ) сигналам, что определяет их широкое использование в приложениях [17, 19, 20, 22].

Спектральная плотность мощности MSK-сигналов с нулевой несущей частотой с единичной амплитудой задается выражением [19, 20]

${{S}_{{{\text{MSK}}}}}(f) = \frac{{4T}}{{{{\pi }^{2}}}}\frac{{1 + \cos (4\pi fT)}}{{{{{(16{{f}^{2}}{{T}^{2}} - 1)}}^{2}}}},$
где $f$ – линейная частота; $T$ – длительность тактового интервала. На рис. 1 приведен вид ${{S}_{{MSK}}}(f)$ (кривая 1), по оси абсцисс отложены значения $fT$. При $fT = 0$ ($f = 0$) имеем ${{S}_{{MSK}}}(f) = {{8T} \mathord{\left/ {\vphantom {{8T} {{{\pi }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\pi }^{2}}}}$, первое нулевое значение спектральной плотности мощности достигается при $fT = 0.75$, максимальное значение первого бокового лепестка по отношению к значению главного лепестка равно –23 дБ, асимптотическая зависимость от частоты $f$ имеет вид ${{S}_{{MSK}}}(f) \approx {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{{(fT)}}^{4}}}}} \right. \kern-0em} {{{{(fT)}}^{4}}}}$.

Рис. 1.

Кривые спектральных мощностей для MSK-сигналов (1) и фазоманипулированных сигналов (2).

На рис. 1 также представлена спектральная плотность мощности ${{S}_{{ФМ}}}(f)$ для фазоманипулированных сигналов с длительностью тактового интервала $T$ и с мощностью, эквивалентной мощности MSK-сигналов (кривая 2). В этом случае используем выражение [1]

${{S}_{{{\text{ФМ}}}}}(f) = \frac{T}{2}{{\left( {\frac{{\sin (\pi fT)}}{{\pi fT}}} \right)}^{2}}.$

При $f = 0$ имеем ${{S}_{{ФМ}}}(0) = {T \mathord{\left/ {\vphantom {T 2}} \right. \kern-0em} 2}$, первое нулевое значение ${{S}_{{{\text{ФМ}}}}}(f) = 0$ достигается при $fT = 1$, максимальное значение бокового лепестка по отношению к значению главного лепестка равно –13 дБ, асимптотическая зависимость от частоты $f$ имеет вид ${{S}_{{ФМ}}}(f) \approx {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{{(fT)}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{(fT)}}^{2}}}}$, что значительно превышает ${{S}_{{MSK}}}(f)$ при эквивалентных значениях $T$.

Следует отметить, что информационная скорость $r$ (бит/с) при использовании MSK-сигналов равна $r = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 T}} \right. \kern-0em} T}$, при использовании фазоманипулированных сигналов $r = {{\log }_{2}}{M \mathord{\left/ {\vphantom {M T}} \right. \kern-0em} T}$, где $M$ – объем “созвездия” [1].

Известны два метода формирования MSK-сигналов: с использованием квадратурных сигналов со сдвигом и с использованием решетчатой структуры [19, 20].

Суть решаемой проблемы – разработка производительных алгоритма формирования и алгоритма приема OFDM-MSK-сигналов с использованием решетчатой структуры в сочетании с БПФ.

2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ MSK-СИГНАЛОВ

На рис. 2 приведен вид решетчатой структуры MSK-сигналов [19]. Решетка содержит два состояния ${{s}_{0}} = - 1$ и ${{s}_{1}} = 1$, переходы между которыми определяют выбор составляющих сигналов ${{c}_{1}}(t), - {{c}_{1}}(t),{{c}_{2}}(t), - {{c}_{2}}(t)$ длительностью $T$

(2)
${{c}_{1}}(t) = A\sin (2\pi ({{f}_{0}} + {{\Delta f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta f} 2}} \right. \kern-0em} 2})t),$
(3)
${{c}_{2}}(t) = A\sin (2\pi ({{f}_{0}} - {{\Delta f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta f} 2}} \right. \kern-0em} 2})t),$
где $A$ – амплитуда сигналов, ${{f}_{0}}$ – центральная частота, $\Delta f = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {2T}}} \right. \kern-0em} {2T}}$. Сигналы ${{c}_{1}}(t),{{c}_{2}}(t)$ ортогональны на интервале длительностью $T$ и ортогональны в усиленном смысле на интервале длительностью $2T$.

Рис. 2.

Вид решетчатой структуры MSK-сигналов.

Путь по решетчатой структуре и выбор составляющих сигналов задается информационными символами $\vec {d} = ( \ldots {{d}_{{ - 1}}},{{d}_{0}},{{d}_{1}},...)$, ${{d}_{m}} = \pm 1$: для ${{d}_{{m - 1}}} = 1$ выбирается нижнее ребро, для ${{d}_{{m - 1}}} = - 1$ выбирается верхнее ребро перехода между состояниями.

При наличии в канале аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ) $n(t)$ алгоритм приема символа ${{d}_{m}}$, реализующий правило максимального правдоподобия, заключается в вычислении и сравнении величин ${{X}_{m}}$, ${{Y}_{m}}$ [19]

(4)
${{X}_{m}} = \int\limits_{mT}^{mT + 2T} {r(t){{c}_{1}}(t)dt} ,$
(5)
${{Y}_{m}} = \int\limits_{mT}^{mT + 2T} {r(t){{c}_{2}}(t)dt} .$

Здесь $r(t) = c(t) + n(t)$ – реализация с выхода канала передачи. Для четных значений $m$ при условии ${{X}_{m}} > {{Y}_{m}}$ принимается решение ${{d}_{m}} = 1$, в противном случае ${{d}_{m}} = - 1$. Для нечетных значений $m$ при условии ${{X}_{m}} > - {{Y}_{m}}$ принимается решение ${{d}_{m}} = 1$, в противном случае ${{d}_{m}} = - 1$.

3. АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ OFDM-MSK-СИГНАЛОВ

Пусть на интервале длительностью $T$ параллельно передается блок из $k$ информационных битов $d_{i}^{{(m)}}$, $i = 0,1,...,k - 1$, $m = 0,1,...$ – номер передаваемого блока. Соответствующий OFDM-MSK-сигнал длительностью $T$ можно сформировать, используя алгоритм БПФ размерностью ${{2}^{{n + 1}}}$ над дискретной функцией ${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p)$, $p = 0,1,2,...,{{2}^{{n + 1}}} - 1$. Размерность БПФ определяется соотношением ${{2}^{n}} < 2k \leqslant {{2}^{{n + 1}}}$. Ниже приведено описание ${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p)$.

В соответствии с (2), (3) определим центральные частоты ${{f}_{{0l}}} = {{(3 + 4l)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(3 + 4l)} {4T}}} \right. \kern-0em} {4T}}$ парциальных сигналов $c_{{1l}}^{{(m)}}(t),c_{{2l}}^{{(m)}}(t)$. В этом случае парциальные сигналы, соответствующие передаче бита $d_{l}^{{(m)}}$ на интервале $mT < t \leqslant (m + 1)T$, имеют вид [16]

(6)
$c_{{1l}}^{{(m)}}(t) = Asin\left( {2\pi \frac{{2 + 2l}}{{2T}}(t - mT) + \varphi _{{1l}}^{{(m)}}} \right),$
(7)
$c_{{2l}}^{{(m)}}(t) = A\sin \left( {2\pi \frac{{1 + 2l}}{{2T}}(t - mT) + \varphi _{{2l}}^{{(m)}}} \right),$
где $\varphi _{{1l}}^{{(m)}},\varphi _{{2l}}^{{(m)}}$ – начальные фазы парциальных сигналов.

Относительно начальных фаз $\varphi _{{1l}}^{{(m)}},\varphi _{{2l}}^{{(m)}}$ выполняются условия [19]

(8)
$\begin{gathered} \varphi _{{1l}}^{{(m)}} = \varphi _{{1l}}^{{(m - 1)}} + 2\pi m = 0(\bmod 2\pi ) \\ {\text{и}}\,\,\varphi _{{2l}}^{{(m)}} = \varphi _{{2l}}^{{(m - 1)}} + \pi (1 + 2m) = \pi (\bmod 2\pi ), \\ \varphi _{{1l}}^{{(0)}} = 0,\,\,\,\,\varphi _{{2l}}^{{(0)}} = 0. \\ \end{gathered} $

Если базисные функции Фурье определены на интервале $2T$, то рассматриваемые сигналы $c_{{1l}}^{{(m)}}(t),c_{{2l}}^{{(m)}}(t)$ могут быть определены путем задания значений дискретной функции ${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p)$:

1) для $p = {\text{2}} + {\text{2}}l$ (задание $c_{{1l}}^{{(m)}}(t)$) в соответствии с решетчатой структурой на рис. 2 и фазами $\varphi _{{1l}}^{{(m)}}$ [16]

(9)
${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p) = \left\{ \begin{gathered} - 1,\,\,\,\,если\,\,\,\,d_{l}^{{(m)}} + d_{l}^{{(m - 1)}} = 2{\text{, }} \hfill \\ 1,\,\,\,\,если\,\,\,d_{l}^{{(m)}} + d_{l}^{{(m - 1)}} = - 2{\text{.}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

2) для $p = {\text{1}} + {\text{2}}l$ (задание $c_{{2l}}^{{(m)}}(t)$) в соответствии с фазами $\varphi _{{2l}}^{{(m)}}$ имеем

(10)
${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p) = \left\{ \begin{gathered} - 1,\,\,если\,\,{{( - 1)}^{m}}(d_{l}^{{(m)}} - d_{l}^{{(m - 1)}}) = 2{\text{, }} \hfill \\ 1,\,\,если\,\,{{( - 1)}^{m}}(d_{l}^{{(m)}} - d_{l}^{{(m - 1)}}) = - 2{\text{. }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Значения $d_{l}^{{(m)}} - d_{l}^{{(m - 1)}}$ и $d_{l}^{{(m)}} + d_{l}^{{(m - 1)}}$ в (9), (10) не равны одновременно 0. Для $p = 1 + 2l$ при условии $d_{l}^{{(m)}} - d_{l}^{{(m - 1)}} = 0$ задается значение ${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p) = 0$, для $p = 2 + 2l$ при условии $d_{l}^{{(m)}} + d_{l}^{{(m - 1)}} = 0$ задается значение ${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p) = 0$. Для $p \geqslant {{2}^{n}}$ задаются нулевые значения ${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p) = 0$.

Первые ${{2}^{n}}$ комплексных отсчетов (их мнимые части) спектрального преобразования Фурье размерностью ${{2}^{{n + 1}}}$ дискретной функции ${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p)$ определяют значения формируемых OFDM-MSK-сигналов, содержащих ${{2}^{n}}$ отсчетов на временном интервале $mT < t \leqslant (m + 1)T$.

При применении приведенной процедуры формирования OFDM-MSK-сигналов в цифровом виде с использованием БПФ размерностью ${{2}^{{n + 1}}}$ требуется выполнение $(n + 1){{2}^{{n + 1}}}$ комплексных умножений [16]. Оценка выигрыша по отношению к требуемому объему комплексных умножений при реализации прямого метода формирования OFDM-MSK сигналов может быть определена соотношением $\gamma \approx {{{{2}^{{n - 1}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{2}^{{n - 1}}}} {(n + 1)}}} \right. \kern-0em} {(n + 1)}}$ [21].

При выполнении процедуры формирования OFDM-MSK-сигналов можно модифицировать алгоритм БПФ с целью сокращения требуемого числа арифметических операций вследствие вычисления лишь мнимых компонент первой половины спектрального множества для $(n + 1)$-го рекуррентного соотношения преобразования Фурье над ${{\dot {U}}^{{(m)}}}(p)$. В этом случае оценка имеет вид $\gamma \approx {{{{2}^{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{2}^{n}}} {(2n + 1)}}} \right. \kern-0em} {(2n + 1)}}$.

4. АЛГОРИТМ ПРИЕМА OFDM-MSK-СИГНАЛОВ

Алгоритм приема OFDM-MSK-сигналов, реализующий критерий максимального правдоподобия, требует вычисления соотношений (4), (5). При реализации этого алгоритма приема можно использовать алгоритм БПФ, при этом длительность базисных функций Фурье равна $2T$. Ниже приведено описание алгоритма приема.

Входную реализацию $r(t)$ представляем в виде составляющих реализаций ${{r}^{{(m)}}}(t)$ длительностью $2T$ ($mT < t \leqslant mT + 2T$) с пересечением на интервале $mT < t \leqslant (m + 1)T$. Для принятия решения относительно переданного символа $d_{l}^{{(m)}}$ осуществляется спектральное преобразование Фурье (с использованием алгоритма БПФ) размерностью ${{2}^{{n + 1}}}$ дискретной функции $\dot {R}(t)$, формируемой на основе реализаций ${{r}^{{(m)}}}(t)$ с использованием правила [16]

$Re(\dot {R}(t)) = 0,\,\,\,\,Im(\dot {R}(t)) = {{r}^{{(m)}}}(t).$

Размерности базисов Фурье ${{2}^{{n + 1}}}$ при формировании и приеме OFDM-MSK-сигналов в цифровом виде совпадают.

Для дискретной функции $\dot {R}(t)$ вычисляется множество спектральных составляющих ${{\dot {C}}^{{(m)}}}(p)$, $p = 0,1,{{...2}^{{n + 1}}} - 1$. Принимается решение $d_{l}^{{(m)}} = 1$, если $\operatorname{Re} ({{\dot {C}}^{{(m)}}}(1 + 2l)) > \operatorname{Re} ({{\dot {C}}^{{(m)}}}(2 + 2l))$, в противном случае $d_{l}^{{(m)}} = - 1$, $l = 0,1,...,k - 1$.

Следует отметить, что данное правило приема справедливо для четных и нечетных значений $m$, это является отличием от приведенной процедуры приема MSK-сигналов на основе вычисления соотношений (4), (5).

5. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

На рис. 3 приведены усредненные спектральные плотности мощности $S(f)$ (односторонние) для OFDM-сигналов с парциальными сигналами ФМ4 (кривая 1) и для OFDM-MSK-сигналов (кривая 2). OFDM-сигналы с использованием манипуляции ФМ4 содержат 16 (рис. 3а), 32 (рис. 3б) и 64 парциальных сигнала (рис. 3в) с частотным разнесением ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 T}} \right. \kern-0em} T}$ для выполнения условия их ортогональности в усиленном смысле. Видно, что в этом случае максимальное значение первого бокового лепестка вне частотной полосы по отношению к среднему значению спектральной мощности в рабочей частотной полосе уменьшается с увеличением количества парциальных сигналов и достигает –9.6, –10.7 и –12.4 дБ для 16-и, 32-х и 64-х парциальных сигналов соответственно. Для таких количеств парциальных сигналов падение спектральной плотности мощности вне полосы достигает –14.6, –17.7 и –20.5 дБ/октава соответственно.

Рис. 3.

Спектральные плотности мощности $S(f)$ (односторонние) для OFDM-сигналов с ФМ4 (кривые 1 для 16 (а), 32 (б) и 64 (в) парциальных сигналов) и с MSK-сигналами (кривые 2 для 64 (а), 128 (б) и 256 (в) парциальных сигналов).

OFDM-MSK-сигналы содержат 64 (рис. 3а), 128 (рис. 3б) и 256 парциальных сигналов (рис. 3в) с частотным разнесением ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {4T}}} \right. \kern-0em} {4T}}$. При этом в соответствии с (6), (7) амплитуды парциальных сигналов с четными номерами задаются нулевыми, что дает возможность выполнить условие ортогональности парциальных MSK-сигналов на тактовом интервале длительностью $T$. Из рис. 3 (кривая 2) видно, что структура спектральных плотностей гребенчатая с вариацией амплитуд до $ \pm 3.5$ дБ относительно среднего значения. Для этих сигналов максимальное значение первого бокового лепестка по отношению к максимальному значению спектральной плотности в рабочей частоте равно –22.0 дБ, что не менее чем на 9.6 дБ меньше для OFDM-сигналов с использованием ФМ4. Скорость уменьшения спектральной плотности мощности вне полосы практически не зависит от количества парциальных сигналов и составляет около –20 дБ/октава, что сравнимо с соответствующим значением для OFDM-сигналов с использованием ФМ4, которые содержат 64 парциальных сигнала, и меньше на 7.4 дБ/октава для OFDM-сигналов с использованием манипуляции ФМ4, которые содержат 16 парциальных сигналов.

На рис. 4 приведена зависимость вероятности ошибки на бит ${{P}_{{\text{б}}}}$ от отношения сигнал/помеха ${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}}$, полученная путем моделирования разработанного алгоритма приема OFDM-MSK-сигналов для АБГШ-канала. Здесь ${{E}_{б}}$ – энергия на информационный бит, ${{N}_{0}}$ – спектральная плотность (односторонняя) АБГШ. Моделируемая вероятностная кривая тождественна вероятностной кривой для сигналов с двоичной фазовой манипуляцией, для которых известно соотношение [1, 2 ]

(11)
${{P}_{{\text{б}}}} = \int\limits_{\sqrt {{{{{E}_{{\text{б}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{{\text{б}}}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}}} }^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}} \exp ({{ - {{x}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{x}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})dx.$
Рис. 4.

Вероятности ошибки на бит ${{P}_{{\text{б}}}}$ в зависимости от отношения сигнал/помеха при приеме OFDM-MSK-сигналов для АБГШ канала.

Из рис. 4 видно, что при ${{{{E}_{б}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{б}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}} = 10$ дБ вероятность ошибки равна ${{P}_{{\text{б}}}} = 3 \times {{10}^{{ - 6}}}$, что совпадает с теоретическим значением, вычисленным с использованием соотношения (11).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

OFDM-MSK-сигналы на основе манипуляции с непрерывной фазой с минимальным сдвигом частоты характеризуются пониженной внеполосной мощностью излучения по сравнению с OFDM-сигналами с использованием фазовой манипуляции. Приведены разработанные производительные алгоритмы формирования и приема OFDM-MSK сигналов на основе алгоритма БПФ, размерность которого определяется размером передаваемого информационного блока.

Исследования свойств рассматриваемых OFDM-MSK-сигналов, в частности их устойчивость к влиянию класса сосредоточенных помех [10], а также развитие теории MSK-сигналов с увеличением спектральной эффективности, представляют направления перспективных исследований.

Список литературы

  1. Волков Л.Н., Немировский М.С., Шинаков Ю.С. Системы цифровой радиосвязи. Базовые методы и характеристики. М.: Эко-Трендз, 2005.

  2. Вишневский В.М., Ляхов А.И., Портной С.Л., Шахнович И.В. Широкополосные сети передачи. М.: Техносфера, 2005.

  3. Liu H., Li G. OFDM-Based Broadband Wireless Networks. Hoboken: John Wiley & Sons, 2005.

  4. Бакулин М.Г., Крейнделин В.Б., Шлома А.М., Шумов А.П. Технология OFDM. М.: Горячая линия-Телеком, 2016.

  5. Schulze H., Luders C. Theory and Application of OFDM and CDMA. Wideband Wireless Communications. Chichester: John Wiley & Sons Ltd., 2005.

  6. Shieh W., Djordjevic I. OFDM for Optical Communication. Burlington: Academic Press/Elsiever, 2010.

  7. Kumari P., Choi J., González-Prelcic N., Heath R.W. // IEEE Trans. 2018. VT-67. № 4. P. 3012.

  8. Шинaкoв Ю.C. // PЭ. 2013. T. 58. № 10. C. 1053.

  9. Шинаков Ю.С. // Радиотехника. 2016. № 2. С. 66.

  10. Назаров Л.Е., Зудилин А.С. // РЭ. 2015. Т. 60. № 5. С. 522.

  11. Кравченко В.Ф., Назаров Л.Е., Пустовойт В.И. // РЭ. 2019. Т. 64. № 10. С. 976.

  12. Brandes S., Cosovic I., Schnell M. // IEEE Commun. Lett. 2006. V. 10. № 6. P. 420.

  13. Mahmoodi S., Saeedi H., Omidi M.J. // 20th Iranian Conf. on Electrical Engineering (ICEE) Tehran. 2012. 15–17 May. N.Y.: IEEE, 2012. P. 1474.

  14. Muller-Weinfurtner S.H. // IEEE Trans. 2001. V. COM-49. № 3. P. 417.

  15. Tan P., Beaulieu N.C. // European Trans. Telecommun. 2009. № 20. P. 9.

  16. Назаров Л.Е., Зудилин А.С. // Журн. радиоэлектроники. 2016. № 8. http://jre.cplire.ru/jre/aug16/1/text.pdf.

  17. Yang R.H.-H., Chern S.-J., Tseng C.-C., Zhan Z.-H. // Proc. Int. Symp. on Intelligent Signal Processing and Communication Systems. 2005. Dec. 13–16. Hong-Kong. N.Y.: IEEE, 2005. P. 269.

  18. Макаров С.Б., Цикин И.А. Передача дискретных сообщений по каналам с ограниченной полосой пропускания. М.: Радио и связь, 1988.

  19. Massey J.L. // The Deep Space Network DSN Progress Report 42–52. Pasadena: Jet Propulsion Laboratory, 1979. P. 26.

  20. Pasupathy S. // IEEE Commun. Magazine. 1979. V. 17. № 4. P. 14.

  21. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при цифровой обработке сигналов. М.: Связь, 1980.

  22. Куликов Г.В., Тамбовский С.С., Савватеев Ю.И., Стариковский А.И. // РЭ. 2019. Т. 64. № 2. С. 168.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Радиотехника и электроника

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал