Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 1, стр. 39-61

Оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы приема и обработки BOC-сигналов в перспективных глобальных навигационных спутниковых системах

М. С. Ярлыков *

Редакция журнала “Радиотехника и электроника”
125009 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация

* E-mail: red@cplire.ru

Поступила в редакцию 26.05.2020
После доработки 26.05.2020
Принята к публикации 15.06.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

На базе марковской теории оценивания случайных процессов методом поэтапного решения уравнения Стратоновича решена задача синтеза оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов, предназначенных для применения в глобальных навигационных спутниковых системах (ГНСС), таких как GPS (США), Galileo (Европейский союз), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай). Задача оптимальной нелинейной фильтрации решена применительно к векторному дискретно-непрерывному марковскому случайному процессу для случая, когда его непрерывная часть представляет собой векторный диффузионный марковский процесс, а дискретная часть характеризуется простой цепью Маркова на несколько положений. Принято, что полезные BOC-сигналы наблюдаются на фоне аддитивного белого гауссовского шума. Представлены основные аналитические соотношения оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов, а также соответствующая структурная схема квазиоптимальной системы приема и обработки BOC-сигналов ГНСС. Результаты работы также применимы в случаях шумоподобных сигналов современных ГНСС, у которых BOC-сигналы пока не используются.

ВВЕДЕНИЕ

Меандровые шумоподобные сигналы (ШПС), называемые в англоязычной литературе BOC-сигналами (binary offset carrier modulated signals), и их разновидности весьма привлекательны для применения в глобальных навигационных спутниковых системах (ГНСС), таких как GPS (США), Galileo (Европейский союз), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай) [14].

Первыми BOC-сигналами, примененными на практике, были сигналы M-кода в системе GPS. В 2005 г. навигационный космический аппарат (НКА) Block–IIR–14M (SVN-49) ГНСС GPS впервые начал передавать из космического пространства на Землю BOC-сигналы M-кода с меандровой модуляцией типа BOC(10, 5) [57].

К настоящему времени BOC-сигналы и их разновидности (AltBOC-сигналы и CBOC-сигналы) (composite BOC-сигналы) все более широко применяются в ГНСС GPS и ГНСС Galileo [4, 810]. В связи с этим важны исследования по созданию оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов в ГНСС.

При формировании алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов в ГНСС исходят из того, что принимаемый навигационной аппаратурой пользователей (НАП) полезный радиосигнал от j‑го НКА ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $) является нелинейной функцией от векторного дискретно-непрерывного процесса (ДНП) [14]. Векторный ДНП [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T (здесь и далее $Т$ – символ транспонирования) имеет непрерывную часть, образующую векторный диффузионный марковский случайный процесс X(t) (или его выборку), и дискретную часть в виде дискретного параметра ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, который содержит навигационную служебную информацию (СИ) от j-го НКА , $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $ и представляет собой простую цепь Маркова на $M$ положений. В принимаемом от j-го НКА BOC-сигнале параметр ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ является манипулируемой фазой. В дальнейшем там, где это не вызывает сомнения, в обозначении дискретного параметра ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ и в соответствующих выкладках индекс j во избежание громоздкости не приводим.

Компоненты марковского случайного процесса X(t), как правило, представляют собой запаздывание радиосигнала (содержащее информацию о пространственном положении НАП и ее динамике), его фазу, доплеровский сдвиг частоты и т.д.

Навигационные BOC-сигналы в зависимости от относительного фазирования псевдослучайной последовательности (ПСП) дальномерного кода и меандрового поднесущего колебания (МПК) разделяют на синусные BOC-сигналы (sinBOC) и косинусные BOC-сигналы (cosBOC) [4]. В работе ограничиваемся рассмотрением только sinBOC-сигналов, поэтому далее для краткости, как обычно, приставку “sin” опускаем.

Для определенности рассуждений далее всюду при конкретизации положений полагаем, что НАП установлена на высокодинамичном подвижном объекте, в частности летательном аппарате (ЛА), таком как самолет, вертолет, беспилотный ЛА и т.д. Определение местоположения пользователя в НАП ГНСС основывается на псевдодальномерном беззапросном методе, при котором требуется одновременная видимость минимум четырех НКА [11, 12].

Для вычисления на основе измеренных псевдодальностей прямоугольных координат пользователя (в системе ПЗ-90 или WGS-84) в НАП необходимо, кроме того, иметь полученные с помощью СИ сведения об эфемеридах, альманахе, поправках к бортовой шкале времени (ШВ) и т.д. для каждого НКА [11, 12].

Ставить и корректно решать задачи синтеза оптимальных (или близких к ним – квазиоптимальных) алгоритмов приема и обработки, векторных ДНП, как известно, дает возможность марковская теория оценивания (МТО) случайных процессов, созданная на базе математического аппарата условных марковских процессов [1317].

Для конструктивного решения методами МТО задачи синтеза оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки радиосигналов (в частности, с целью возможности применения метода поэтапного решения уравнения Стратоновича) используется тот факт, что у навигационных ШПС (в том числе и BOC-сигналов) время корреляции компонент вектора непрерывных параметров X(t) много больше длительности такта цепи Маркова дискретных параметров ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $) [4, 15]. По этой причине в пределах каждого тактового интервала принимаемого радиосигнала случайный процесс X(t) аппроксимируем соответствующим квазислучайным процессом [4, 15].

Решение задач синтеза алгоритмов приема и обработки векторных ДНП методами МТО, как известно, опирается на разложение совместной апостериорной плотности вероятности (АПВ) дискретно-непрерывного вектора состояния (ВС) по одному из двух вариантов [1417].

Первый вариант разложения совместной АПВ основан на представлении ее в виде произведения безусловной апостериорной вероятности (АВ) состояния дискретного процесса (ДП) ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ и условной АПВ непрерывного процесса (НП) X(t). При втором варианте разложения совместной АПВ рассматривается условная АВ состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, тогда как вектор НП X(t) характеризуется безусловной АПВ.

Синтезированные алгоритмы приема и обработки, которые основаны на первом варианте разложения совместной АПВ, носят название алгоритмов с переприсвоением значений параметров условных АПВ вектора НП X(t), а те алгоритмы, в которых используется второе представление совместной АПВ, – алгоритмов с обратными связями по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $) [1416].

Оба варианта разложения АПВ дискретно-непрерывного ВС в соответствии с теоремой Байеса эквивалентны. В то же время квазиоптимальные алгоритмы и соответствующие структурные схемы устройств для обработки радиосигналов, синтезированные указанными методами, естественно, отличаются заметными особенностями.

Отметим, что алгоритмы с обратной связью по ДП требуют, чтобы время корреляции компонент вектора НП X(t) было много больше длительности такта цепи Маркова, характеризующей ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $). Тогда как алгоритмы с переприсвоением свободны от ограничения, накладываемого на скорость изменения компонент вектора НП X(t). В то же время следует заметить, что в общем случае (при зависимых значениях ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ на соседних тактах) алгоритмы с переприсвоением отличаются несколько большей громоздкостью (многоканальностью) структурной схемы приема и обработки радиосигналов [1417].

Поскольку у навигационных ШПС (в том числе и BOC-сигналов) время корреляции компонент вектора НП X(t) много больше длительности такта цепи Маркова ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, то далее в работе, решая задачу синтеза, используем при разложении совместной АПВ дискретно-непрерывного ВС [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T алгоритм с обратной связью по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$.

Цель работы – получить аналитические соотношения для оптимальных и квазиоптимальных оценок дискретно-непрерывного ВС [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T и ковариационной матрицы квазиоптимальных ошибок оценивания вектора НП X(t), а также на этой основе разработать соответствующую структурную схему квазиоптимальной системы приема и обработки BOC-сигналов перспективных ГНСС.

В иллюстрирующих примерах опираемся на sinBOC-сигналы с меандровой модуляцией типа BOC(1,1) на несущей частоте ${{f}_{{\text{Н}}}}$ = 1575.42 МГц при базовой (опорной) частоте ${{f}_{{{\text{О}}{\kern 1pt} {\text{П}}}}}$ = 1.023 МГц, которые характерны для E1OS сигналов ГНСС Galileo и для L1C сигналов ГНСС GPS применительно к спутникам нового поколения GPS III [4, 7, 8, 12]. Напомним, что первый спутник в серии GPS-III (GPS III SV01) был запущен 23 декабря 2018 г.

В данной работе везде каждый вектор понимается в виде вектора-столбца, а производная от скалярной функции по вектору-столбцу всюду понимается как вектор-строка.

1. ПРИНИМАЕМЫЙ BOC-СИГНАЛ

Излучаемый бортовым передатчиком от j-го НКА ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $) из состава спутниковой группировки BOC-сигнал ${{s}_{{j{\text{и}}}}}(t)$ характеризуется выражением [1, 4]

(1)
$\begin{gathered} {{s}_{{j{\text{и}}}}}(t - {{t}_{0}}) = {{A}_{{j{\text{и}}}}}{{d}_{j}}(t - {{t}_{0}}) \times \\ \times \,\,\cos [{{\omega }_{{j{\text{Н}}}}}(t - {{t}_{0}}) + {{\Theta }_{j}}({{t}_{k}} - {{t}_{0}})\pi + {{\varphi }_{{j{\text{и}}}}}(t)], \\ \end{gathered} $
где ${{A}_{{j\,{\text{и}}}}} = \sqrt {2{{P}_{{j\,{\text{с}}{\kern 1pt} {\text{р}}}}}} $ – амплитуда BOC-сигнала от j-го НКА на выходе передатчика; ${{P}_{{j\,{\text{ср}}{\kern 1pt} }}}$– средняя мощность BOC-сигнала на выходе передатчика; ${{d}_{j}}(t)$ – модулирующая функция (МФ) BOC-сигнала ${{s}_{{j\,{\text{и}}}}}(t)$, отражающая специфику навигационных ШПС и собственно BOC-сигналов; ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ – информационный ДП, предназначенный для передачи СИ от j-го НКА; ${{\omega }_{{j\,{\text{Н}}}}} = 2\pi {{f}_{{j\,{\text{Н}}}}}$ – круговая несущая частота радиосигнала; ${{f}_{{j\,{\text{Н}}}}}$ – несущая частота BOC-сигнала; ${{\varphi }_{{j\,{\text{и}}}}}(t)$ – фаза радиосигнала; ${{t}_{0}}$ – начало отсчета.

Информационный ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ в (1) характеризует двоичную фазовую манипуляцию (ФМ) (BPSK – binary phase-shift keying) излучаемых радиосигналов ${{s}_{{j\,{\text{и}}}}}(t)$. При двоичной ФМ в сигнале ${{s}_{{j\,{\text{и}}}}}(t)$ используются два значения фазы несущего колебания, 0° и 180°. В таком случае ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ = = $\left\{ {\vartheta {{{\kern 1pt} }_{{j\,i}}}} \right\}$ ($i$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,{\kern 1pt} 2} $) принимает значения $\vartheta {{{\kern 1pt} }_{{j\,1}}}$ = 0 или $\vartheta {{{\kern 1pt} }_{{j\,2}}}$ = 1. Смена значений ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ может происходить в моменты ${{t}_{k}}$ = ${{t}_{0}}$ + $k{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ (k = 0, 1, 2, …), где ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ – длительность информационной посылки СИ от j-го НКА.

ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ содержит сведения об эфемеридах, альманахе, поправках к бортовой ШВ и т.д. для j-го НКА ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $) группировки ГНСС [11, 12].

Далее при рассмотрении сигналов ${{s}_{{j\,{\text{и}}}}}(t)$ от j-го НКА, в формулах типа (1), индекс “j” там, где это не вызывает сомнения, и для уменьшения громоздкости не приводим.

В случае BOC-сигналов ${{s}_{{\text{и}}}}(t)$ (1) МФ $d(t)$ является результатом перемножения двух двоичных последовательностей: собственно ПСП дальномерного кода и МПК (специфика BOC-сигналов) [2, 4].

Таким образом, МФ BOC-сигнала $d(t)$ записывается в виде [2, 3, 5, 6]

(2)
$d(t - {{t}_{0}}) = g(t - {{t}_{0}})r(t - {{t}_{0}}),$
где $g(t)$ – ПСП дальномерного кода, характеризующая специфику навигационных ШПС, и $r(t)$ – МПК, отражающее специфику BOC-сигналов ${{s}_{{\text{и}}}}(t)$.

Как видно из (2), МФ $d(t)$ образуется путем перемножения взаимно синхронизированных двоичных последовательностей $g(t)$ и $r(t)$, каждая из которых состоит из чередующихся единичных видеоимпульсов соответствующей длительности, меняющих свою полярность по определенным законам согласно кодовым коэффициентам, значения которых на каждом такте равны +1 или –1.

Формула для ПСП дальномерного кода $g(t)$, описывающая один ее период, имеет традиционный вид [4, 11, 12]

(3)
$g(t - {{t}_{0}}) = \sum\limits_{k = 0}^{L - 1} {\nu {{{\kern 1pt} }_{k}}{\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{c}}}}}}}} [t - k{{\tau }_{{\text{c}}}} - {{t}_{0}}],$
где ${{\tau }_{{\text{c}}}}$ – длительность элемента (символа) ПСП $g(t)$; L – коэффициент расширения спектра, т.е. число элементов на периоде ПСП $g(t)$;

$k = 0,\,\,1,\,\,2,\,\, \ldots ,\,\,(L--1).$

Видно, что частота следования элементов ПСП $g(t)$ равна ${{f}_{{\text{с}}}}$ = ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{\tau }_{{\text{c}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\tau }_{{\text{c}}}}}}$. Функция ${\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{C}}}}}}}[ \cdot ]$ в (3) представляет собой импульс единичной амплитуды длительностью ${{\tau }_{{\text{c}}}}$:

(4)
$\begin{gathered} {\text{rec}}{{{\text{t}}}_{{{{\tau }_{{\text{c}}}}}}}[t - k{{\tau }_{{\text{c}}}}] = \left\{ \begin{gathered} 1\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,k{{\tau }_{{\text{c}}}} \leqslant t < (k + 1){{\tau }_{{\text{c}}}}; \hfill \\ 0\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,k{{\tau }_{{\text{c}}}} > t \geqslant (k + 1){{\tau }_{{\text{c}}}}, \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ {\text{где}}\,\,k = 0,1,2, \cdots ,(L - 1). \\ \end{gathered} $

Кодовые коэффициенты ${{\nu }_{k}}$, образующие ПСП дальномерного кода $g(t)$ (3), принимают на каждом ее элементе длительностью ${{\tau }_{{\text{c}}}}$ значения +1 или –1 согласно закону чередования элементов на ее периоде.

Длительность периода ПСП $g(t)$ (3) равна

(5)
${{T}_{L}} = L{{\tau }_{{\text{c}}}}.$

Так, например, дальномерный код стандартной точности в ГНСС типа ГЛОНАСС представляет собой периодическую последовательность максимальной длины (М – последовательность, или последовательность Хаффмена) с периодом $T{}_{L}$ = 1 мс и частотой следования элементов ПСП ${{f}_{{\text{c}}}}$ = 511 кГц; в ГНСС типа GPS дальномерный C/A код является периодической последовательностью Голда с периодом ${{T}_{L}}$ = 1 мс и частотой следования элементов ПСП ${{f}_{{\text{c}}}}$ = 1.023 МГц [1112, 18].

У ГНСС Galileo для E1OS сигналов и ГНСС GPS для L1C сигналов длительность элемента ПСП $g(t)$ ${{\tau }_{{\text{c}}}}$ ≈ 1 мкс и длительность информационной посылки дискретного параметра $\Theta ({{t}_{k}})$ ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = 20 мс [4, 12, 18].

У ГНСС ГЛОНАСС длительность элемента ПСП $g(t)$ ${{\tau }_{{\text{c}}}}$ ≈ 2 мкс и длительность информационной посылки дискретного параметра $\Theta ({{t}_{k}})$ ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = = 20 мс [4, 11, 12].

В формуле (2) МПК $r(t)$ определяется следующим выражением [2, 4]:

(6)
$r(t) = {\text{sign}}{\kern 1pt} [\sin {{\omega }_{{\text{м}}}}t],$
где функция “сигнум” z равна
${\text{sign}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} z = \left\{ \begin{gathered} 1,\,\,\,\,z > 0; \hfill \\ 0,\,\,\,\,z = 0; \hfill \\ 1,\,\,\,\,z < 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\omega {{{\kern 1pt} }_{{\text{м}}}}\,\, = 2\pi {{f}_{{\text{м}}}}$ – круговая частота МПК $r(t)$, ${{f}_{{\text{м}}}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{T}_{{\text{м}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{{\text{м}}}}}}$ – частота МПК $r(t)$, ${{T}_{{\text{м}}}}$ = 2${{\tau }_{{\text{м}}}}$– период МПК, ${{\tau }_{{\text{м}}}}$ – длительность импульса МПК (меандрового импульса). Видно, что выполняется соотношение

(7)
${{f}_{{\text{м}}}} = \frac{1}{{2{{\tau }_{{\text{м}}}}}}.$

Для количественной характеристики различных типов BOC-сигналов используется коэффициент кратности меандровых импульсов ${{N}_{{\text{м}}}}$, который равен количеству импульсов МПК $r(t)$, укладывающихся на длительности элемента ПСП $g(t)$ [2, 4]:

(8)
${{N}_{{\text{м}}}} = \frac{{{{\tau }_{{\text{c}}}}}}{{{{\tau }_{{\text{м}}}}}} = \frac{{2{{f}_{{\text{м}}}}}}{{{{f}_{{\text{c}}}}}} = \frac{{2\alpha }}{\beta },$
где $\alpha = \frac{{{{f}_{{\text{м}}}}}}{{{{f}_{{{\text{О}}{\kern 1pt} {\text{П}}}}}}}$ и $\beta = \frac{{{{f}_{{\text{c}}}}}}{{{{f}_{{{\text{О}}{\kern 1pt} {\text{П}}}}}}}$ – параметры меандровой модуляции BOC-сигналов.

На рис. 1 представлены графики ПСП дальномерного кода $g(t)$ (при произвольно заданной в примере реализации), МПК $r(t)$ и МФ $d(t)$ BOC-сигналов при коэффициенте кратности меандровых импульсов ${{N}_{{\text{м}}}}$ = 2, что соответствует, например, типу меандровой модуляции BOC(1, 1).

Рис. 1.

Формирование модулирующей функции BOC-сигнала.

Векторное наблюдение $\Xi {\kern 1pt} (t)$ на входе приемника НАП от всех одновременно видимых в данный момент времени НКА спутниковой группировки имеет вид

(9)
$\begin{gathered} \Xi {\kern 1pt} (t) = {{[{{\xi }_{1}}(t),{{\xi }_{{\text{2}}}}(t),...,{{\xi }_{j}}(t),...,{{\xi }_{J}}(t)]}^{T}}, \\ t \in \left[ {{{t}_{0}},t} \right),\,\,\,\,j = \overline {1,J} , \\ \end{gathered} $
где ${{\xi }_{{\text{j}}}}(t)$ – наблюдение на входе приемника НАП от j-го НКА, j – номер НКА, J – общее число всех одновременно видимых в данный момент времени НКА.

Наблюдение от j-го НКА ${{\xi }_{j}}(t)$ представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала и шума:

(10)
${{\xi }_{j}}(t) = {{s}_{j}}(t) + {{n}_{j}}(t),\,\,\,\,t \in [{{t}_{0}},t),\,\,\,j = \overline {1,J} ,$
где ${{s}_{j}}(t)$ – принимаемый полезный BOC-сигнал от j-го НКА на входе приемника НАП, соответствующий радиосигналу ${{s}_{{\text{и}}}}(t)$ (1); ${{n}_{j}}(t)$ – аддитивная флуктуационная помеха в наблюдении ${{\xi }_{j}}(t)$ от j-го НКА.

Флуктуационная помеха ${{n}_{j}}(t)$, аппроксимируемая стационарным белым гауссовским шумом (БГШ), имеет статистические характеристики:

(11)
$M[{{n}_{j}}(t)] = 0;\,\,\,\,M[{{n}_{j}}(t){{n}_{j}}(t + \tau )] = \frac{1}{2}{{N}_{{0j}}}\delta \left| \tau \right|,$
где ${{N}_{{0j}}}$ – интенсивность БГШ, $M[\, \cdot \,]$ – символ усреднения по множеству реализаций.

На входе приемника НАП принимаемый от j-го НКА полезный BOC-сигнал ${{s}_{j}}(t)$ с использованием двоичной ФМ для передачи СИ согласно (1) имеет вид

(12)
$\begin{gathered} {{s}_{j}}(t) = {{A}_{j}}{\kern 1pt} {{d}_{j}}(t - {{\tau }_{З}}_{j})\cos [({{\omega }_{{\text{Н}}}}_{j} + \Delta {{\omega }_{{Dj}}} + \Delta {{\omega }_{j}}) \times \\ \times \,\,(t - {{\tau }_{З}}_{j}) + {\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}({{t}_{k}} - {{\tau }_{{Зj}}})\pi + {{\varphi }_{j}}(t)],\,\,\,\,j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} , \\ \end{gathered} $
где ${{\tau }_{{Зj}}}$ – запаздывание принимаемого радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ на трассе от j-го НКА до НАП; ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ – ДП, содержащий СИ от j-го НКА; $\Delta {{\omega }_{{D{\kern 1pt} j}}}$ – доплеровский сдвиг несущей частоты принимаемого радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ на трассе от j-го НКА до НАП; $\Delta {{\omega }_{j}}$ – медленный сдвиг несущей частоты ${{\omega }_{{j\,{\text{Н}}}}}$, возникающий в канале распространения радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ и в измерительном устройстве приемника. Начало отсчета в (12) принято равным ${{t}_{0}}$ = 0.

Рассматривая принимаемые сигналы от j-го НКА, в ф-лах типа (12) (аналогично ф-ле (1)) там, где это не вызывает сомнения, индекс “j” для уменьшения громоздкости опускаем.

Тогда выражение (12) записывается в виде

(13)
$\begin{gathered} s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t) = Ad(t - {{\tau }_{З}})\cos [({{\omega }_{{\text{Н}}}} + \Delta {{\omega }_{D}} + \Delta \omega ) \times \\ \times \,\,(t - {{\tau }_{З}}) + \Theta ({{t}_{k}} - {{\tau }_{З}})\pi + \varphi (t)]. \\ \end{gathered} $

В ряде случаев принимаемый от j-го НКА BOC-сигнал $s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ (13) с использованием двоичной ФМ для передачи СИ от j-го НКА представляется в другой эквивалентной (13) форме записи

(14)
$s{\kern 1pt} (t) = \left\{ \begin{gathered} Ad{\kern 1pt} (t - {{\tau }_{З}})\cos [({{\omega }_{{\text{Н}}}} + \Delta {{\omega }_{D}} + \Delta {{\omega }_{Р}}) \times \hfill \\ \times \,\,(t - {{\tau }_{З}}) + \varphi (t)]\,\,\,{\text{при}}\,\,{{\vartheta }_{1}} = 0, \hfill \\ --A{\kern 1pt} d(t - {{\tau }_{З}})\cos [({{\omega }_{{\text{Н}}}} + \Delta {{\omega }_{D}} + \Delta {{\omega }_{Р}}) \times \hfill \\ \times \,\,(t - {{\tau }_{З}}) + \varphi (t)]\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,{{\vartheta }_{2}} = 1. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

В современных ГНСС для передачи СИ применяются полезные сигналы $s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ с двоичной ФМ (13). Наряду с этим в ряде технических приложений навигации и связи (например, в спутниковой системе связи Globalstar) используется также четверичная (квадратурная) ФМ (QPSK Quadrature Phase Shift Keying), что позволяет более эффективно использовать предоставленную полосу частот. Поэтому ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ для передачи СИ характеризуем в данной работе более общей моделью с использованием многопозиционной ФМ [19].

Тогда в соответствии с (13) на входе приемника НАП принимаемый от j-го НКА полезный BOC-сигнал $s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ с использованием многопозиционной ФМ для передачи СИ (без учета каких-либо технических особенностей) описывается следующим выражением:

(15)
$\begin{gathered} s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t) = Ad(t - {{\tau }_{З}})\cos [({{\omega }_{{\text{Н}}}} + \Delta {{\omega }_{D}} + \Delta \omega ) \times \\ \times \,\,(t - {{\tau }_{З}}) + \Theta ({{t}_{k}} - {{\tau }_{З}}){\kern 1pt} \frac{{2\pi }}{M} + \varphi (t)], \\ \end{gathered} $
где характеризующий многопозиционную ФМ ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ = $\left\{ {\vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}} \right\}$ применительно к j-му НКА определяется соотношением:

(16)
$\begin{gathered} \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}\,\, = i - 1,\,\,\,\,\Theta ({{t}_{k}}) = \left\{ {i--1} \right\},\,\,\,\,i = \overline {1,M} , \hfill \\ i - {\text{номер состояния ДП}}\,\,\Theta \,({{t}_{k}}). \hfill \\ \end{gathered} $

В формулах (15) и (16) $M = {{2}^{n}}$ – показатель многопозиционности ФМ, n – целое положительное число.

Так, например, при $M = 2$ ($i$ = $\overline {1,2} $) имеем двоичную ФМ, и сигнал (15) принимает вид (13); при $M = 4$ ($i$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,4} $) – квадратурную ФМ.

Запаздывание ${{\tau }_{{\text{з}}}}$ принимаемого радиосигнала $s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ (15) на трассе от j-го НКА до НАП имеет вид [11]

(17)
${{\tau }_{{\text{з}}}} = {{\tau }_{D}} + \Delta {{\tau }_{1}} + \Delta {{\tau }_{2}} + \Delta {{\tau }_{{\text{э}}}} + \Delta {{\tau }_{{\text{и}}}} + \Delta {{\tau }_{{\text{т}}}} + \Delta {{\tau }_{{\text{п}}}},$
где ${{\tau }_{D}}(t)$ – задержка принимаемого радиосигнала $s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$, обусловленная дальностью трассы между j-м НКА и НАП; $\Delta {{\tau }_{1}}$ и $\Delta {{\tau }_{2}}$ – сдвиги ШВ j-го НКА и НАП относительно системного времени; $\Delta {{\tau }_{{\text{э}}}}$ – задержка сигнала за счет неточного прогноза эфемерид; $\Delta {{\tau }_{{\text{и}}}}$ и $\Delta {{\tau }_{{\text{т}}}}$ – ионосферная и тропосферная задержки сигнала; $\Delta {{\tau }_{{\text{п}}}}$ – случайная задержка сигнала, вызванная уходом частоты передатчика j-го НКА.

Задержка ${{\tau }_{D}}(t)$ принимаемого радиосигнала $s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$, обусловленная дальностью трассы между j-м НКА и НАП, характеризуется выражением

(18)
${{\tau }_{D}}(t) = {{D(t)} \mathord{\left/ {\vphantom {{D(t)} c}} \right. \kern-0em} c},$
где $D(t)$ – дальность трассы между j-м НКА и НАП; $с$ – скорость распространения радиоволн.

Доплеровский сдвиг несущей частоты ${{\omega }_{{\text{Н}}}}$ принимаемого от j-го НКА радиосигнала $s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$(15) имеет вид [11]

(19)
$\Delta {{\omega }_{D}}(t) = {{\omega }_{{\text{Н}}}}\frac{{V(t)}}{c},$

где $V(t)$ = $\frac{{d{\kern 1pt} D(t)}}{{dt}}$ – радиальная скорость перемещения НАП относительно j-го НКА.

Случайная фаза $\varphi (t)$ принимаемого от j-го НКА радиосигнала $s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ (15) достаточно полно описываются следующей системой стохастических дифференциальных уравнений [15, 20]:

(20)
$\begin{gathered} \frac{{d{\kern 1pt} \varphi (t)}}{{dt}} = \Delta \omega (t)--\frac{{{{\omega }_{{\text{Н}}}}}}{c}\frac{{dD(t)}}{{dt}} + \sqrt {\frac{{{{N}_{\varphi }}}}{2}} {{n}_{\varphi }}(t),\,\,\,\,\varphi ({{t}_{0}}) = {{\varphi }_{0}}, \\ \frac{{d{\kern 1pt} \Delta \omega (t)}}{{dt}} = - {{\gamma }_{\omega }}\Delta \omega (t) + \sqrt {2{{\gamma }_{\omega }}\sigma _{\omega }^{2}} {{n}_{{\delta \omega }}}(t), \\ \Delta \omega ({{t}_{0}}) = \Delta {{\omega }_{0}}, \\ \end{gathered} $
где ${{n}_{\varphi }}(t)$ и ${{n}_{{\delta \omega }}}(t)$ – взаимонезависимые стандартные БГШ (с нулевыми математическими ожиданиями (МО) и единичными интенсивностями); $\Delta \omega (t)$ – медленный сдвиг несущей частоты ${{\omega }_{{\text{Н}}}}$ сигнала $s{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ из-за нестабильности задающих генераторов j-го НКА и НАП, а также в связи с изменением внешних условий функционирования; $\sigma _{\omega }^{2}$ – дисперсия нестабильности частоты; ${{\gamma }_{\omega }}$ – коэффициент, характеризующий ширину спектра уходов частоты $\Delta \omega (t)$; ${{N}_{\varphi }}$ – интенсивность собственных фазовых флуктуаций приемника НАП.

Связь между дальностью $D(t)$ и прямоугольными координатами в геодезической системе координат j-го НКА и НАП имеет вид [15]

(21)
$\begin{gathered} {{D}_{{{\text{изм}}}}}(t) = D(t) + \delta D = \\ = \sqrt {{{{\left( {{{x}_{j}}--x} \right)}}^{2}} + {{{\left( {{{y}_{j}}--y} \right)}}^{2}} + {{{\left( {{{z}_{j}}--z} \right)}}^{2}}} + \delta D, \\ \end{gathered} $
где ${{x}_{j}}$, ${{y}_{j}}$, ${{z}_{j}}$ – прямоугольные координаты j-го НКА; $x$, $y$, $z$ – прямоугольные координаты объекта (например, самолета), на котором размещена НАП; ${{D}_{{{\text{изм}}}}}(t)$ – измеренное значение дальности $D(t)$ (псевдодальность); $\delta D$ – неизвестная постоянная на время измерения ошибка (например, за счет расхождения ШВ j-го НКА и НАП).

В соответствии с (19) и (21) радиальная псевдоскорость характеризуется следующим выражением:

(22)
$\begin{gathered} {{V}_{{{\text{изм}}}}}(t) = \frac{d}{{dt}}{{D}_{{{\text{изм}}}}}(t) = \\ = {{K}_{x}}({{V}_{x}}--{{W}_{{jx}}}) + {{K}_{y}}({{V}_{y}}--{{W}_{{jy}}}) + {{K}_{z}}({{V}_{z}}--{{W}_{{jz}}}), \\ \end{gathered} $
где
${{V}_{x}}(t) = \frac{d}{{dt}}x(t),\,\,\,\,{{V}_{y}}(t) = \frac{d}{{dt}}y(t),\,\,\,\,{{V}_{z}}(t) = \frac{d}{{dt}}z(t)$
– проекции скорости объекта (например, самолета), на котором размещена НАП;
$\begin{gathered} {{W}_{{jx}}}(t) = \frac{d}{{dt}}{{x}_{j}}(t),\,\,\,\,{{W}_{{jy}}}(t) = \frac{d}{{dt}}{{y}_{j}}(t), \\ {{W}_{{jz}}}(t) = \frac{d}{{dt}}{{z}_{j}}(t) \\ \end{gathered} $
– проекции скорости j-го НКА;
(23)
${{K}_{x}} = \frac{{{{x}_{j}}--x}}{{{{D}_{{{\text{и}}{\kern 1pt} {\text{зм}}}}}(t)}},\,\,\,\,{{K}_{y}} = \frac{{{{y}_{j}}--y}}{{{{D}_{{{\text{и}}{\kern 1pt} {\text{зм}}}}}(t)}},\,\,\,\,{{K}_{z}} = \frac{{{{z}_{j}}--z}}{{{{D}_{{{\text{изм}}}}}(t)}}$
– направляющие косинусы.

Обычно значения направляющих косинусов ${{K}_{x}}$, ${{K}_{y}}$ и ${{K}_{z}}$ (23) на тактовых интервалах времени принимают постоянными.

Значения координат ${{x}_{j}}$, ${{y}_{j}}$, ${{z}_{j}}$ каждого j-го НКА и их производные ${{W}_{{jx}}}$, ${{W}_{{jy}}}$, ${{W}_{{jz}}}$ в НАП являются известными в результате обработки СИ, и они при решении задач синтеза относятся к вектору управления ${{{\mathbf{U}}}_{{{\text{упр}}}}}(t)$.

Таким образом, принимаемый от j-го НКА ($j$ = = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $) полезный BOC-сигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t)$ (15) согласно (18)–(23) (без учета каких-либо технических особенностей) является функцией ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ и вектора непрерывных параметров радиосигнала (ПРС) ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$,

(24)
$s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t) = s{\kern 1pt} \left[ {t,{\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} ,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}{\kern 1pt} (t)} \right]$,
где
(25)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t) = {{\left[ {{{D}_{{j{\text{изм}}}}}(t)\,\,\frac{d}{{dt}}{{D}_{{j{\text{изм}}}}}(t)\,{{\varphi }_{j}}(t)\,\Delta {{\omega }_{j}}(t)} \right]}^{Т}}, \\ j = \overline {1,J} , \\ \end{gathered} $
j-й вектор ПРС, т.е. тех параметров, от которых принимаемый от j-го НКА сигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t)$ непосредственно зависит.

Из рассмотрения (25) видно, что совокупность векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $, содержит необходимую информацию о положении и динамике движения объекта (например, самолета), на котором установлена НАП, а также об условиях распространения радиоволн и стабильности несущей частоты.

Векторы ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $ (и в конечном итоге зависящий от них вектор НП ${\mathbf{X}}{\kern 1pt} (t)$) подлежат оцениванию при решении задачи синтеза.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

При постановке задачи синтеза алгоритмов приема и обработки информации методами МТО следует в пространстве состояний выбрать и обосновать вектор наблюдения (ВН) и вектор состояния (ВС), а также описать динамику этих векторов, разработав соответствующие математические модели (ММ). При этом необходимо задать критерий оптимальности в соответствии с физическим смыслом и целью решаемой задачи синтеза [1315, 17].

В решаемой задаче синтеза ВН ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} (t)$ (9) представляет собой совокупность $J$ принимаемых приемником НАП (для определенности установленном, например, на самолете) BOC-сигналов, искаженных помехами, от всех одновременно видимых НКА группировки ГНСС.

В соответствии с (9)–(11) ВН ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ может быть представлен в следующем виде:

(26)
${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} (t) = {\mathbf{S(}}t{\mathbf{)}} + {{{\mathbf{G}}}_{\Xi }}(t){\mathbf{N}}(t),\,\,\,\,t \in [{{t}_{0}},t),$
где
${\mathbf{S}}(t) = [{{s}_{1}}(t),{{s}_{2}}(t),...,{{s}_{j}}(t),...{{s}_{J}}(t)]{{{\kern 1pt} }^{T}}$
– вектор принимаемых полезных BOC-сигналов от всей совокупности $J$ одновременно видимых в данный момент НКА;
${\mathbf{N}}(t) = [{{n}_{1}}(t),{{n}_{2}}(t),...,{{n}_{j}}(t),...{{n}_{J}}(t)]{{{\kern 1pt} }^{T}}$
– вектор аддитивных независимых стандартных БГШ с известными характеристиками в соответствии с (11); $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Входящая в формулу (26) невырожденная матрица ${{{\mathbf{B}}}_{{\Xi \Xi }}}(t)$ интенсивностей помех ${\mathbf{N}}(t)$ имеет вид

(27)
${{{\mathbf{B}}}_{{\Xi \Xi }}}(t) = {{{\mathbf{G}}}_{\Xi }}(t){\mathbf{G}}_{\Xi }^{T}(t).$

Полезный BOC-сигнал ${{s}_{j}}(t)$, принимаемый от j-го НКА, определяется выражением (15).

При выборе и обосновании ВС исходим из того, что решается главная задача навигации: определение пространственных координат объекта (самолета), на котором установлена НАП, и их производных (компоненты скорости полета и ускорения). Сопутствующими компонентами ВС при этом являются параметры, характеризующие флуктуации фазы принимаемого сигнала, нестабильность частоты задающего генератора и т.п. [20].

Применительно к решаемой задаче синтеза ВС представляет собой ДНП

${{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}(y),{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})} \right]}^{T}},$
где ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $– ДП, характеризующий предназначенную для передачи СИ от j-го НКА ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $) многопозиционную ФМ (15) BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (12); ${\mathbf{X}}(t)$ – вектор НП, содержащий информацию о положении в пространстве и динамике движения объекта (например, самолета), на котором установлена НАП, а также сведения об условиях распространения радиоволн и стабильности несущей частоты.

Далее рассмотрим вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ и его взаимосвязь с векторами ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ (25) , где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Для характеристики вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ используем ММ динамики объектов навигации на основе прямоугольной гринвичской системы координат (СК), описывающую положение объекта (например, самолета), на котором установлена НАП, в пространстве и его движение применительно к небольшим отрезкам времени. При этом вектор НП ${\mathbf{X}}{\kern 1pt} (t)$ может быть представлен в следующем виде [20, 21]:

(28)
${\mathbf{X}}{\kern 1pt} (t) = {\text{[}}{\mathbf{X}}_{с}^{T}(t),{{{\mathbf{V}}}^{T}}({\kern 1pt} t),{{{\mathbf{A}}}^{T}}({\kern 1pt} t),{{{\mathbf{\Phi }}}^{T}}(t),{\mathbf{\Delta }}{\kern 1pt} {{{\mathbf{\Omega }}}^{T}}{\text{(}}t),{\mathbf{\Delta }}{{{\mathbf{D}}}^{T}}{\kern 1pt} {\text{(}}t){\text{]}}{{{\kern 1pt} }^{T}},$
где ${{{\mathbf{X}}}_{с}}{\kern 1pt} (t)$ = $\left[ {x,y,{\kern 1pt} z} \right]{{{\kern 1pt} }^{T}}$ – вектор прямоугольных координат объекта (например, самолета), на котором размещена НАП;
${\mathbf{V}}(t) = {{[{{V}_{x}},{{V}_{y}},{{V}_{z}}]}^{T}}\,\,\,\,{\text{и}}\,\,\,\,{\mathbf{A}}(t) = {{[{{A}_{x}},{{A}_{y}},A{{{\kern 1pt} }_{z}}]}^{T}}$
– векторы земной скорости и ускорения объекта (например, самолета) на оси прямоугольной гринвичской СК;
${\mathbf{\Phi }}(t) = [{{\varphi }_{1}}(t),{{\varphi }_{2}}(t),...,{{\varphi }_{j}}(t),...,{{\varphi }_{J}}(t)]{{{\kern 1pt} }^{T}}$
– вектор случайных фаз принимаемых полезных BOC-сигналов ${{s}_{j}}(t)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $, от всей совокупности одновременно видимых в данный момент НКА;
${\mathbf{\Delta }}{\kern 1pt} {\mathbf{\Omega }}{\text{(}}t) = [\Delta {{\omega }_{1}}(t),\Delta {{\omega }_{2}}(t),...,\Delta {{\omega }_{j}}(t),...,\Delta {{\omega }_{J}}(t)]{{{\kern 1pt} }^{T}}$
– вектор медленных уходов несущих частот принимаемых полезных BOC-сигналов ${{s}_{j}}(t)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $, от всей совокупности одновременно видимых в данный момент НКА;
${\mathbf{\Delta }}{\kern 1pt} {\mathbf{D}}{\text{(}}t) = [\delta {{d}_{1}}(t),\delta {{d}_{2}}(t),...,\delta {{d}_{j}}(t),...,\delta {\kern 1pt} {{d}_{J}}(t)]{{{\kern 1pt} }^{T}}$
– вектор сдвигов ШВ НАП относительно ШВ каждого видимого НКА, выраженный в единицах дальности.

Отметим, что при решении задач синтеза алгоритмов приема и обработки сигналов в комплексных системах навигации (например, в случае наблюдений сигналов не только ГНСС, но и сигналов доплеровского измерителя скорости или инерциальной навигационной системы) используется несколько более сложная ММ динамики объектов навигации. В таком случае земную скорость объекта ${\mathbf{V}}(t)$ в (28) представляют в виде

${\mathbf{V}}(t) = {{{\mathbf{V}}}_{0}} + {\mathbf{\Delta }}{\kern 1pt} {\mathbf{V}}{\text{(}}t),$
где ${{{\mathbf{V}}}_{0}}$ – средняя земная скорость объекта, ${\mathbf{\Delta }}{\kern 1pt} {\mathbf{V}}{\text{(}}t)$ – флуктуационная составляющая земной скорости объекта, и обе компоненты земной скорости оцениваются раздельно [21].

Динамика компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ (28) применительно к высокодинамичным объектам (например, самолетам) достаточно полно описывается системой стохастических дифференциальных уравнений следующего вида [20, 21]:

(29)
$\begin{gathered} \frac{d}{{dt}}{{{\mathbf{X}}}_{с}}(t) = {\mathbf{V}}(t),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{{\mathbf{X}}}_{с}}({{t}_{0}}) = {{{\mathbf{X}}}_{с}}_{0}; \hfill \\ \frac{d}{{dt}}{\mathbf{V}}(t) = {\mathbf{A}}(t),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mathbf{V}}({{t}_{0}}) = {{{\mathbf{V}}}_{0}}; \hfill \\ \frac{d}{{dt}}{\mathbf{A}}(t) = - [\alpha + \beta ]{\kern 1pt} {\mathbf{A}}(t) - \alpha \beta {\mathbf{V}}(t) + \sqrt {2(\alpha + \beta )\sigma _{A}^{2}} {{{\mathbf{N}}}_{A}}(t),\,\,\,\,{\mathbf{A}}({{t}_{0}}) = {{{\mathbf{A}}}_{0}}; \hfill \\ \frac{d}{{dt}}{\mathbf{\Phi }}(t) = \Delta {\mathbf{\Omega }}(t) - \frac{{{{\omega }_{{\text{Н}}}}}}{c}\frac{d}{{dt}}{\mathbf{D}}(t) + {{{\mathbf{N}}}_{\Phi }}(t),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mathbf{\Phi }}({{t}_{0}}) = {{{\mathbf{\Phi }}}_{0}}; \hfill \\ \frac{d}{{dt}}\Delta {\mathbf{\Omega }}(t) = --{{{\mathbf{\Gamma }}}_{\omega }}\Delta {\mathbf{\Omega }}{\kern 1pt} (t) + {{{\mathbf{N}}}_{{{\mathbf{\Delta \Omega }}}}}(t),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mathbf{\Delta \Omega }}({{t}_{0}}) = {\mathbf{\Delta }}{{{\mathbf{\Omega }}}_{0}}; \hfill \\ \frac{d}{{dt}}{\text{ }}{\mathbf{\Delta D}}{\text{ }} = {\text{0}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mathbf{\Delta D}}({{t}_{0}}) = {\mathbf{\Delta }}{{{\mathbf{D}}}_{0}}; \hfill \\ \end{gathered} $
где $\sigma _{A}^{2}$ – дисперсия флуктуаций ускорения; ${{{\mathbf{N}}}_{A}}(t)$ – вектор формирующих стандартных БГШ; $\alpha $ и $\beta $ – размерные коэффициенты, определяющие спектр флуктуаций ускорения;
$\begin{gathered} {{{\mathbf{N}}}_{\varphi }}(t) = {{[{{n}_{{\varphi 1}}}(t),...,{{n}_{{\varphi i}}}(t),...,{{n}_{{\varphi J}}}(t)]}^{T}}\,\,\,\,{\text{и}} \\ {{{\mathbf{N}}}_{{{\mathbf{\Delta \Omega }}}}}(t) = {{[{{n}_{{{\mathbf{\Delta \Omega }}1}}}(t),...,{{n}_{{{\mathbf{\Delta \Omega }}i}}}(t),...,{{n}_{{{\mathbf{\Delta \Omega }}J}}}(t)]}^{T}} \\ \end{gathered} $
– векторы независимых формирующих БГШ соответствующих интенсивностей;
${\mathbf{D}}(t) = [{{D}_{1}}(t),{{D}_{2}}(t),...,\,\,...,{{D}_{J}}(t)]{\kern 1pt} {{{\kern 1pt} }^{T}}$
– вектор дальностей применительно ко всей совокупности одновременно видимых в данный момент НКА; ${{D}_{j}}(t)$ – дальность между j-м НКА и НАП; ${{{\mathbf{\Gamma }}}_{\omega }}$ – диагональная матрица, у которой на главной диагонали находятся элементы ${{\gamma }_{{\omega j}}}$ ($j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $).

Из рассмотрения (28) и (29) следует, что вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ представляет собой многокомпонентный диффузионный гауссовский марковский процесс, который в общем виде может быть описан линейным векторно-матричным стохастическим дифференциальным уравнением

(30)
$\begin{gathered} \frac{d}{{dt}}{\mathbf{X}}(t) = {{{\mathbf{A}}}_{X}}(t){\mathbf{X}}(t) + {{{\mathbf{С}}}_{X}}(t){\kern 1pt} {{{\mathbf{U}}}_{{{\text{упр}}}}}(t) + {{{\mathbf{G}}}_{X}}(t){{{\mathbf{N}}}_{X}}(t), \\ {\mathbf{X}}({{t}_{0}}) = {{{\mathbf{X}}}_{0}}, \\ \end{gathered} $
где ${\mathbf{X}}(t) = {{[{{x}_{1}}(t),{{x}_{{\text{2}}}}(t),..,{{x}_{n}}(t)]}^{T}}$ – вектор-столбец НП размером ($n{\kern 1pt} \,\, \times 1$); $n$ – число компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$; ${{{\mathbf{A}}}_{{\mathbf{X}}}}(t)$ – матрица состояния размером ($n \times n$); ${{{\mathbf{U}}}_{{{\text{упр}}}}}(t)$ – детерминированный вектор управления; ${{{\mathbf{С}}}_{X}}(t)$ – матрица управления; ${{{\mathbf{N}}}_{X}}(t)$ – вектор стандартных БГШ; ${{{\mathbf{G}}}_{X}}(t)$ – матрица интенсивностей шумов; ${{{\mathbf{B}}}_{{XX}}}(t) = {{{\mathbf{G}}}_{X}}(t){\mathbf{G}}_{X}^{T}(t)$ – матрица коэффициентов диффузии вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$.

Взаимосвязь вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ (29) и векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $, определяется (24) и согласно (20), (21) и (22) может быть представлена в виде

(31)
${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t) = {{{\mathbf{L}}}_{j}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{l}_{{j1}}}}&{{{l}_{{j2}}}}&{{{l}_{{j3}}}}&{{{l}_{{j4}}}} \end{array}} \right]}^{T}},$
где ${{{\mathbf{L}}}_{j}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\}$ – нелинейная векторная функция, компоненты которой равны:

$\begin{gathered} {{l}_{{j1}}} = {{D}_{{j{\text{изм}}}}}(t) = \\ = \sqrt {{{{\left( {{{x}_{j}}--x} \right)}}^{2}} + {{{\left( {{{y}_{j}}--y} \right)}}^{2}} + {{{\left( {{{z}_{j}}--z} \right)}}^{2}}} + \delta D, \\ {{l}_{{j2}}} = \frac{d}{{dt}}{{D}_{{j{\text{изм}}}}} = {{K}_{x}}({{V}_{x}}--{{W}_{{jx}}}) + \\ + \,\,{{K}_{y}}({{V}_{y}}--{{W}_{{jy}}}) + {{K}_{z}}({{V}_{z}}--{{W}_{{jz}}}), \\ {{l}_{{j3}}} = {{\varphi }_{j}}(t),\,\,\,\,{{l}_{{j4}}} = \Delta {{\omega }_{j}}(t). \\ \end{gathered} $

Таким образом, из рассмотрения (16), (28), (29) и (31) видно, что принимаемый от j-го НКА полезный BOC-сигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t)$ (24) является функцией ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ и вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$:

(32)
$s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t) = s\left[ {t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{\mathbf{X}}(t)} \right].$

Принимаемый сигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t)$ содержит информацию, определяющую пространственное положение и движение объекта (например, самолета), на котором установлена НАП, а также СИ (сведения об эфемеридах, альманахе, поправках к бортовой ШВ и т.д.) от j-го НКА. Дискретный процесс ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ согласно (16) применительно к j-му НКА записывается в виде ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}) = {{\left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\}}_{j}} = {{\left\{ {i--1} \right\}}_{j}}$. Он описывается простой цепью Маркова на $M$ положений и принимает одно из значений $\vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}\,\, = i - 1$, где $i$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,M} $. Далее для простоты индекс j в обозначениях применительно к ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ опущен.

Возможные моменты перехода ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ из одного состояния в другое являются дискретными и определяются выражением

${{t}_{k}} = {{t}_{0}} + kT,\,\,\,\,{\text{где}}\,\,\,T = {\text{const}},\,\,\,\,k = 0,1,2,...\,.$

Для ГНСС типов GPS, Galileo и ГЛОНАСС длительность такта $T$ =${{t}_{{k + 1}}}--{{t}_{k}}$ ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ равна длительности информационной посылки СИ:  T = = ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = 20 мс [11, 12].

В общем случае у принимаемого сигнала $s{\kern 1pt} (t)$ (15) моменты времени ${{t}_{k}}$ перехода ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ из одного состояния в другое являются случайными, поскольку они зависят от случайного запаздывания принимаемого сигнала ${{\tau }_{{\text{з}}}}(t)$ (17).

На всех тактовых полуинтервалах времени $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2, \ldots ,$ ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ остается постоянным, и он может быть описан соответствующим априорным уравнением вида

(33)
$\frac{{d\Theta (t)}}{{dt}} = 0,\,\,\,\,{\text{где}}\,\,\,\,t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),\,\,\,\,k = 0,1,2,....$

Применительно к ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ матрица одношаговых вероятностей перехода и вектор вероятностей начального состояния соответственно имеют вид [15, 17]:

(34)
$\begin{gathered} \pi ({{t}_{k}}) = [{{\pi }_{{il}}}({{t}_{k}})],\,\,\,\,{\text{где}} \\ {{\pi }_{{il}}}({{t}_{k}}) = P\left\{ {\left. {\Theta ({{t}_{k}} + 0) = {{\vartheta }_{l}}} \right|\Theta ({{t}_{k}} - 0) = {{\vartheta }_{i}}} \right\}, \\ i,l = \overline {1,M} ; \\ \end{gathered} $
${{{\mathbf{P}}}_{{\theta }}}({{t}_{0}}) = \left\{ {{{P}_{{\vartheta i}}}({{t}_{0}})} \right\},\,\,\,\,{\text{где}}\,\,\,\,i = \overline {1,M} .$

Вероятности состояний ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ ${{P}_{{\vartheta i}}}({{t}_{k}} + 0) \triangleq P({{t}_{k}} + 0,\,\,{\kern 1pt} \Theta ({{t}_{k}} + 0) = {{\vartheta }_{i}})$ в начале k-го такта $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ определяются формулой

(35)
${{P}_{{\vartheta i}}}({{t}_{k}} + 0) = \sum\limits_{m = 1}^M {{{\pi }_{{m{\kern 1pt} {\kern 1pt} i}}}({{t}_{k}})} {{P}_{{\vartheta m}}}({{t}_{k}}--0),\,\,\,i = \overline {1,M} ,$
где ${{P}_{{\vartheta m}}}({{t}_{k}}--0)$ – вероятность состояния ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ в конце (k – 1)-го такта $[{{t}_{{k--1}}},{{t}_{k}})$.

В задачах по синтезу оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки ДНП с использованием методов МТО применяется поэтапное решение уравнения Стратоновича [15, 22]. Возможность решения уравнения Стратоновича для АПВ оцениваемых ДНП поэтапно обусловлена спецификой непрерывных (28) и дискретных (33) компонент ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

При использовании метода поэтапного решения уравнения Стратоновича удается обоснованно упростить ММ оцениваемого ВС и тем самым повысить конструктивность решения задачи синтеза. Суть такого упрощения ММ заключается в возможности описания динамики непрерывных компонент ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$ на характерных полуинтервалах времени (применительно к ГНСС на длительности полуинтервала для передачи СИ ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = 20 мс) квазислучайными процессами [15, 21].

В таких случаях используется двухэтапная обработка ВН $\Xi {\kern 1pt} (t)$ (26). На первом этапе применительно к каждому k-му такту $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2,..$, обрабатывается только вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ оцениваемого ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$, поскольку ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ при этом остается постоянным. В таком случае для первого этапа обработки удается найти точное решение уравнения Стратоновича как решение нелинейной задачи оценки параметров в силу аппроксимации ММ вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ (29) векторным квазислучайным процессом.

На втором этапе обработка осуществляется в дискретном времени в точках ${{t}_{k}} + 0$ ($k = 0,1,2,..$), т.е. в точках возможной смены состояния ДП ${\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}(t)$. При этом оценки компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$, полученные на первом этапе обработки, используются в качестве начальных значений для второго этапа обработки ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

В дискретные моменты времени ${{t}_{k}}$ ($k = 0,1,2,..$) вектор НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}} = {\mathbf{X}}({{t}_{k}})$, характеризуемый соотношениями (28) и (29), описывается эквивалентным применительно к (30) линейным векторно-матричным стохастическим разностным уравнением

(36)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{X}}}_{k}} = {{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}({{t}_{k}},{{t}_{{k - 1}}}){{{\mathbf{X}}}_{{k - 1}}} + \\ + \,\,{{{\mathbf{\Psi }}}_{{XU}}}({{t}_{k}},{{t}_{{k - 1}}}){{U}_{{{\text{упр}}{\kern 1pt} k}}} + {{{\mathbf{\Gamma }}}_{X}}({{t}_{k}},{{t}_{{k - 1}}}){{{\mathbf{N}}}_{{Xk}}}, \\ \end{gathered} $
где ${{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}$, ${{{\mathbf{\Psi }}}_{{XU}}}$ и ${{{\mathbf{\Gamma }}}_{X}}$ – известные матрицы, ${{{\mathbf{N}}}_{{X{\kern 1pt} k}}} = {{{\mathbf{N}}}_{X}}({{t}_{k}})$ – вектор формирующих стандартных дискретных БГШ, ${{{\mathbf{U}}}_{{{\text{упр}}\,k}}}$ – дискретный вектор управления.

Полагаем, что длительность тактового интервала (информационной посылки СИ) $T$ = ${{t}_{{k + 1}}}--{{t}_{k}}$ ДП $\Theta ({{t}_{k}})$ ($T$ = ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = 20 мс) достаточно мала, чтобы в (32) вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ на каждом полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, $k = 0,\,1,\,2,...$, можно было с требуемой для оценивания степенью точности аппроксимировать векторным квазислучайным процессом [1521, 22]:

(37)
$\begin{gathered} {\mathbf{X}}(t) = {\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}),\,\,\,t \in \,\,[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),\,\,\,\,k = 0,1,2,..., \\ {{{\mathbf{X}}}_{0}} = {\mathbf{X}}({{t}_{0}}), \\ \end{gathered} $

где ${{{\mathbf{X}}}_{k}} = {\mathbf{X}}({{t}_{k}})$; ${{{\mathbf{X}}}_{k}} = {\mathbf{f}}({{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ – начальное значение на $k$-м такте, ${\mathbf{f}}( \cdot )$ – детерминированная векторная функция.

Входящая в линейное векторно-матричное стохастическое разностное уравнение (36) функция ${\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ имеет вид [15, 21, 22]

(38)
${\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) = {{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}(t,{{t}_{k}}){{{\mathbf{X}}}_{k}},\,\,\,\,t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),$
где ${{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}(t,{{t}_{k}})$ – переходная матрица состояния, характеризуемая (36).

В соответствии с (37) принимаемый от j-го НКА полезный BOC-сигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t)$ (32) в пределах одного тактового полуинтервала принимает вид

(39)
$\begin{gathered} s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t) = s{\kern 1pt} \left[ {t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{\mathbf{f}}({{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right],\,\,\,\,t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}), \\ k = 0,1,2,...,j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} . \\ \end{gathered} $

Решение задачи синтеза применительно к j-му НКА состоит в том, чтобы на $k$-м такте, где $k = 0,1,2,...$, имея наблюдения (26) и располагая априорными сведениями (16), (28), (29) и (30) об оцениваемом ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$, получить оптимальную оценку ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$ выборки вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ и оптимальные оценки ${{\hat {\Theta }}_{j}}$$\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right)$ ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Оптимальная оценка ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$ выборки вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ должна удовлетворять критерию минимума апостериорного риска при квадратичной функции потерь.

Как известно [14, 15], оптимальной оценкой ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$, удовлетворяющей этому критерию, является апостериорное математическое ожидание (МО) ${{M}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right]$ выборки вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$:

(40)
${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + {\kern 1pt} 1}}} = {{M}_{{ps}}}\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right] = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}{{p}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} ,$
где ${\mathbf{\hat {X}}}(t)$ – оптимальная оценка НП ${\mathbf{X}}(t)$;
${{p}_{{ps}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right) \triangleq p(t,\left. {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right|{{{\mathbf{\Xi }}}^{{{{t}_{{k + 1}}}}}})$
– АПВ выборки ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$;
${{{\mathbf{\Xi }}}^{{t{{{\kern 1pt} }_{{k + 1}}}}}} = \left\{ {{\mathbf{\Xi }}(\tau ):\tau \in [{{t}_{0}},{{t}_{{k + 1}}}]} \right\}$
– реализация ВН ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} (t)$ на отрезке $[{{t}_{0}},{{t}_{{k + 1}}}]$. Отметим, что в случае, когда АПВ является унимодальной и гауссовской, то оптимальная оценка ${\mathbf{\hat {X}}}(t)$ согласно критерию (40) и согласно критерию максимума АПВ совпадают [14, 15], чем и воспользуемся в дальнейшем.

Оптимальная оценка ${{\hat {\Theta }}_{j}}$$\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right)$ ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$, $j$ = = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, применительно к j-му НКА должна удовлетворять критерию минимума апостериорного риска при простой функции потерь, что эквивалентно критерию максимума АВ ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$ [14, 15]:

(41)
${{\hat {\Theta }}_{j}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right) = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}:\mathop {\max }\limits_{{{\vartheta }_{1}} \leqslant \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}} \leqslant {{\vartheta }_{M}}} \left\{ {{{P}_{{i\,ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right\},$
где ${{P}_{{i\,ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)$ – АВ состояния ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$ в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$.

3. АПОСТЕРИОРНЫЕ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ И АПОСТЕРИОРНЫЕ СМЕШАННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ${\kern 1pt} {{[{{X}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)]}^{T}}$

При решении задач синтеза методами МТО основной характеристикой для получения оптимальных оценок ${{\hat {\Theta }}_{{jk}}}$ и ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{k}}$ применительно к j-му НКА является АПВ оцениваемого ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}\left( t \right),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$:

${{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{k}},{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) \triangleq p\left( {{{t}_{k}},{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}\left| {{{{\mathbf{\Xi }}}^{{{{t}_{k}}}}}} \right.} \right),$
где ${{{\mathbf{\Xi }}}^{{t{{{\kern 1pt} }_{k}}}}} = \left\{ {{\mathbf{\Xi }}(\tau ):\tau \in [{{t}_{0}},{{t}_{k}}]} \right\}$ – реализация ВН ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} (t)$ на отрезке $[{{t}_{0}},{{t}_{k}}]$ ($k = 0,{\kern 1pt} 1,{\kern 1pt} 2,...$) [1315]. Далее для простоты индекс j в выкладках применительно к ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ опущен.

В случаях оптимального оценивания ДНП характеристикой, эквивалентной АПВ, на каждом $k$-м тактовом полуинтервале $\left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right)$ является совокупность апостериорных смешанных распределений (АСР) ${{w}_{{ips}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ [15, 16]:

$\begin{gathered} {{w}_{{i\,ps}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) \triangleq w\left( {t,{{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{i}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}\left| {{{{\mathbf{\Xi }}}^{{t{{{\kern 1pt} }_{k}}}}}} \right.} \right), \\ {\text{где}}\,\,\,\,t \in \left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right),\,\,\,\,i = \overline {1,M} ,\,\,\,\,k = 0,\,\,1,\,\,2,\,\, \ldots \,\,. \\ \end{gathered} $

В точках возможной смены состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, т.е. в моменты времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, $k = 0,1,2,..,$ соотношения для АСР имеют вид [15]

(42)
$\begin{gathered} {{w}_{{ips}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right) = \\ = \sum\limits_{m = 1}^M {{{\pi }_{{mi}}}({{t}_{{k + 1}}}){{w}_{{mps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}--0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)} , \\ \end{gathered} $
где $i = \overline {1,M} $; ${{\pi }_{{mi}}}({{t}_{{k + 1}}})$ – одношаговые вероятности перехода (34).

Формула связи между АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{k}},{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ и соответствующими АСР ${{w}_{{i\,ps}}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ определяется следующим соотношением [15, 21]:

(43)
${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{k}},{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \sum\limits_{i{\kern 1pt} = 1}^M {{{w}_{{i\,ps}}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)} \delta \left( {{{\Theta }_{k}} - {{\vartheta }_{i}}} \right),$
где $\delta \left( {{{\Theta }_{k}} - {{\vartheta }_{i}}} \right)$ – дельта-функция Дирака.

При формировании алгоритмов потактовой обработки в два этапа требуется получить аналитические соотношения, связывающие АПВ (или соответствующие АСР) оцениваемого ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}\left( t \right),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$ в соседние дискретные моменты времени ${{t}_{k}} + 0$ и ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,...$). При этом АПВ (или АСР), полученная на первом этапе обработки, рассматривается как начальная для вычисления АПВ (или АСР) на втором этапе. Повторяя такую процедуру вычислений последовательно для каждого такта, получим искомую эволюцию АПВ (или АСР) ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}\left( t \right),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$ во времени.

3.1. Алгоритмы на первом этапе обработки

Первый этап обработки характерен тем, что на каждом $k$-м тактовом полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ согласно (33) и (37) выполняется соотношение ${{\Theta }_{k}} = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}\, = {\text{const}}$ и производится аппроксимация вектора ${\mathbf{X}}(t)$ квазислучайным процессом

(44)
${\mathbf{X}}(t) = {\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$
при $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2,\,\,...\,.$

Применительно к $k$-му такту АПВ ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}\left( t \right),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$ на первом этапе обработки имеет вид

(45)
${{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) \triangleq {{p}_{1}}{\kern 1pt} \left( {{\kern 1pt} t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}\left| {{{{\mathbf{\Xi }}}^{{t{{{\kern 1pt} }_{{k + 1}}}--0}}}} \right.} \right),$
где $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, $k = 0,1,2,...$; индекс “1” означает первый этап обработки.

В соответствии с (44) и (45) на $k$-м такте уравнение Стратоновича для АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ при симметризованной форме записи стохастических интегралов имеет вид [1315]

(46)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)}}{{\partial t}} = [F\left( {t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) - \\ - \,\,{{M}_{{ps}}}\{ F\left( {t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)\} ]{{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right), \\ \end{gathered} $
где $t \in \left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right),$ $k = 0,1,2,...$

В уравнении Стратоновича (46) производная по времени от логарифма функционала правдоподобия (ЛФП) $F\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ и ее апостериорное среднее согласно (26), (30), (32), (37)–(39) применительно к совокупности J принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (26) от всех одновременно видимых НКА определяются соотношениями [1315, 21]

(47)
$\begin{gathered} F\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = F\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right] = \\ = {{{\mathbf{S}}}^{T}}\left( {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){\mathbf{B}}_{{\Xi \Xi }}^{{--1}}\left[ {{\mathbf{\Xi }}(t) - \frac{1}{2}{\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right], \\ {{M}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left\{ {F\left( {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)} \right\} = \\ = \iint\limits_{{{\Theta }_{k}}{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {\left\{ {F\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)} \right\}}{{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{\kern 1pt} {{\Theta }_{k}}d{{{\mathbf{X}}}_{k}}, \\ \end{gathered} $
где ${{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = [{{\Theta }_{{1k}}},{{\Theta }_{{2k}}},...,{{\Theta }_{{jk}}},...,{{\Theta }_{{Jk}}}]{{{\kern 1pt} }^{T}}$ – вектор ДП применительно ко всей совокупности J одновременно видимых НКА.

Уравнение Стратоновича (46) для АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ на $k$-м такте имеет аналитическое решение [15]:

(48)
$\begin{gathered} {{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \\ = {{С}_{1}}{{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{k}},{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)\exp \left\{ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^t {F\left( {{\kern 1pt} \tau ,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d\tau } } \right\}, \\ \end{gathered} $
где
$\begin{gathered} {{С}_{1}} = \left[ {\iint\limits_{{{\Theta }_{k}}{{X}_{k}}} {{{p}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left( {{{t}_{k}},{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)}} \right. \times \\ \times \,\,{{\left. {\exp \left\{ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^t {F\left( {\tau ,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d\tau } } \right\}d{{\Theta }_{k}}d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]}^{{ - 1}}} \\ \end{gathered} $
– нормировочный коэффициент; $t \in \left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right),$ $k = 0,1,2,...$

Видно, что согласно (48) искомая АПВ оцениваемого ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)]}^{T}}$ применительно к j-му НКА в конце первого этапа обработки на $k$-м такте $\left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right)$, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, равна

(49)
$\begin{gathered} {{p}_{{ps1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \\ = {{С}_{1}}{{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{k}},{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)\exp \left\{ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^{{{t}_{{k + 1}}} - 0} {F\left( {{\kern 1pt} \tau ,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d\tau } } \right\}, \\ \end{gathered} $
где $k = 0,1,2,...$.

На основании уравнения Стратоновича для АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ (46) в соответствии с формулой связи между АПВ и АСР (43) находим, что уравнение Стратоновича для соответствующего АСР ${{w}_{{i\,ps1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ на первом этапе потактовой обработки имеет вид

(50)
$\frac{{\partial {{w}_{{i\,ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)}}{{\partial t}} = \left[ {{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) - {{F}_{{\Theta X}}}(t)} \right]{{w}_{{i\,p{\kern 1pt} s1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right),$
где $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, $k = 0,1,2,...$, $i = \overline {1,M} $.

В уравнении Стратоновича для АСР ${{w}_{{i\,ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ (50) производная по времени от парциального (i-го) ЛФП (т.е. ЛФП, соответствующего значению компонент вектора ДП ${{{\mathbf{\Theta }}}_{k}}$ = $\left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\}$) ${{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ и ее апостериорное среднее в соответствии с (37), (43) и (47) применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (9) и (26) от всех одновременно видимых $J$ НКА равны [13–15, 21]:

(51)
$\begin{gathered} {{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) \triangleq F\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{\kern 1pt} {{\vartheta }_{i}}} \right\},{\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right] = \\ = {{{\mathbf{S}}}^{T}}\left( {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{\kern 1pt} {{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) \times \\ \times \,\,{\mathbf{B}}_{{\Xi \Xi }}^{{--1}}{\kern 1pt} \left[ {{\mathbf{\Xi }}(t) - \frac{1}{2}{\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right], \\ \end{gathered} $
(52)
$\begin{gathered} {{F}_{{\Theta X}}}(t) \triangleq {{M}_{{ps{{{\mathbf{X}}}_{k}},{{\Theta }_{k}}}}}\left\{ {{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right\} = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {\sum\limits_{i = 1}^M {{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}){{w}_{{ips{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} } , \\ \end{gathered} $
где $i = \overline {1,M} $, $j$= $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Уравнение (50) справедливо там, где ${{d{\mathbf{\Theta }}(t)} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{\mathbf{\Theta }}(t)} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}} = 0$ (33), т.е. для $t \in \left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right)$, где $k = 0,1,2,..$.

Соотношение для $i$-го АСР ${{w}_{{i\,ps}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ в точках разрыва между соседними тактами, т.е. в моменты времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,..,$) возможной смены состояний ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$ определяется (42).

Отметим, что в (42) не учитываются (как малые) разрывы 1-го рода выборки ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$, обусловленные аппроксимацией НП X(t) на каждом такте квазислучайным процессом (37).

Решение уравнения Стратоновича для $i$-го АСР (50) на первом этапе обработки имеет вид

(53)
${{w}_{{i\,ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = {{С}_{2}}{\kern 1pt} {{w}_{{i{\kern 1pt} ps}}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){\kern 1pt} \exp \left\{ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{F}_{i}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } } \right\},$
где $t \in \left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right),$ $k = 0,1,2,..,$ $i = \overline {1,M} $;
${{С}_{2}} = {{\left[ {\int\limits_{{{X}_{k}}} {\sum\limits_{i{\kern 1pt} = 1}^M {{{w}_{{i{\kern 1pt} ps{\kern 1pt} }}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)} \exp \left\{ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{F}_{i}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } } \right\}d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} } \right]}^{{ - 1}}}$
– нормировочный коэффициент.

Начальным значением для (53) является АСР ${{w}_{{i{\kern 1pt} ps}}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$, полученное в конце второго этапа обработки на предыдущем такте (т.е. на ($k$ – 1)-м такте).

Таким образом, согласно (53) АСР выборки ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}\left( t \right),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, равно

(54)
$\begin{gathered} {{w}_{{ips1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \\ = {{С}_{2}}{\kern 1pt} {{w}_{{ips}}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)\exp \left\{ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^{{{t}_{{k + 1}}} - 0} {{{F}_{i}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } } \right\}, \\ \end{gathered} $
где $t \in \left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right),$ $k = 0,1,2,..,$ $i = \overline {1,M} $.

3.2. Алгоритмы на втором этапе обработки

На втором этапе потактовой обработки вычисления производятся в дискретном времени в точках перехода от одного такта к другому, т.е. в моменты времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,...$), когда происходит возможная смена состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}} \right)$. Задача вычислений при этом состоит в том, чтобы на втором этапе обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, получить соотношения, характеризующие совместную АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ оцениваемого ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)]}^{T}}$ и соответствующее АСР ${{w}_{{ips}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ выборки ВС ${\kern 1pt} {{[{\mathbf{X}}_{k}^{T}(t),{{\Theta }_{{jk}}}]}^{T}}$.

Для вывода искомых соотношений на втором этапе обработки введем в рассмотрение вспомогательную совместную АПВ

${{p}_{2}} \triangleq p\left( {{{t}_{{k + 1}}},{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}},{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}\left| {{{{\mathbf{\Xi }}}^{{{{t}_{{k + 1}}} + 0}}}} \right.} \right)$
применительно к значениям компонент ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)]}^{T}}$ в два соседних момента времени, ${{t}_{k}}$ и ${{t}_{{k + 1}}}$ [21].

Согласно теореме умножения вспомогательная АПВ ${{p}_{2}}$ с учетом (45) может быть представлена в виде

(55)
$\begin{gathered} {{p}_{2}} = p\left( {{{t}_{{k + 1}}},{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}\left| {{{{\mathbf{\Xi }}}^{{t{{{\kern 1pt} }_{{k + 1}}} + 0}}},{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.} \right) \times \\ \times \,\,p\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}\left| {{{{\mathbf{\Xi }}}^{{t{{{\kern 1pt} }_{{k + 1}}} + 0}}}} \right.} \right) = \\ = {{\nu }_{\Theta }}{\kern 1pt} {{\nu }_{{\mathbf{X}}}}{{p}_{{p1}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}} - 0,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right), \\ \end{gathered} $
где
(56)
$\begin{gathered} {{\nu }_{\Theta }} = \nu {\kern 1pt} \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{\Theta }_{k}}} \right.} \right) \triangleq p\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.,{{\Theta }_{k}}} \right), \\ {{\nu }_{{\mathbf{X}}}} = \nu {\kern 1pt} \left( {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.} \right) \triangleq p\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) \\ \end{gathered} $
– плотности вероятностей переходов (ПВП) соответствующих случайных процессов ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$ и ${\mathbf{X}}(t)$. При получении (55) учтено, что процессы ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ и ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$ априорно независимы.

Проинтегрировав обе части равенства (55) по всем областям существования параметров ${{\Theta }_{k}}$ и ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$, получим

(57)
$\begin{gathered} {{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}},{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right) = \\ = \int\limits_{{{\Theta }_{k}}} {\int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{\nu }_{\Theta }}{{\nu }_{{\mathbf{X}}}}{{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}} - 0,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{{\Theta }_{k}}d{\kern 1pt} {{{\mathbf{X}}}_{k}},} } \\ \end{gathered} $
где ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}},{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ $ \triangleq p\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}},{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}\left| {{{{\mathbf{\Xi }}}^{{{{t}_{{k + 1}}} + 0}}}} \right.} \right)$.

Соотношение (57) представляет собой рекуррентное уравнение Стратоновича для совместной АПВ ${\kern 1pt} {{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}},{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$. Оно позволяет при заданном начальном распределении последовательно для $k = 0,1,2,...$ вычислять совместную АПВ ${\kern 1pt} {{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}},{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ на втором этапе обработки $k$-го такта, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$.

Входящие в (57) ПВП ${{\nu }_{\Theta }}$ и ${{\nu }_{{\mathbf{X}}}}$ определяются моделями компонент ВС ${\kern 1pt} {{\left[ {{{{\mathbf{X}}}^{T}}\left( t \right),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)} \right]}^{T}}$ (34) и (36), а совместная АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}} - 0,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ вычисляется согласно (49) в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$ при обработке принимаемых BOC-сигналов на первом этапе.

Для ДП ${{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ связь между ПВП $\nu {\kern 1pt} \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{\Theta }_{k}}} \right.} \right)$ и соответствующими вероятностями перехода (34) устанавливается соотношением [15, 21]:

(58)
$\nu {\kern 1pt} \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{\Theta }_{k}}} \right.} \right) = \left\{ \begin{gathered} {{\nu }_{1}}\left( {{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{1}}} \right.} \right) = \sum\limits_{j = 1}^M {{{\pi }_{{1j}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}} \right)\delta \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}} - {{\vartheta }_{j}}} \right)} \,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,{{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{1}}, \hfill \\ {{\nu }_{2}}\left( {{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{2}}} \right.} \right){\kern 1pt} = \sum\limits_{j = 1}^M {{{\pi }_{{2j}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}} \right)\delta \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}} - {{\vartheta }_{j}}} \right)} \,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,{{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{2}}, \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \hfill \\ {{\nu }_{i}}\left( {{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{i}}} \right.} \right) = \sum\limits_{j = 1}^M {{{\pi }_{{ij}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}} \right)\delta \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}} - {{\vartheta }_{j}}} \right)} \,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,{{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{i}}, \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vdots \hfill \\ {{\nu }_{M}}\left( {{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{M}}} \right.} \right){\kern 1pt} = \sum\limits_{j = 1}^M {{{\pi }_{{Mj}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}} \right)\delta \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}} - {{\vartheta }_{j}}} \right)} \,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,{{\Theta }_{k}} = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{M}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где $i = \overline {1,M} $.

Получим основное соотношение для вычисления АСР выборки ВС [${\mathbf{X}}_{k}^{Т}$, ${{\Theta }_{{jk}}}$]T в конце второго этапа обработки сигналов на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$.

Выражение (57), характеризующее совместную АПВ ${\kern 1pt} {{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$, с учетом формулы связи между АПВ и АСР (43) для момента времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ принимает вид

(59)
$\begin{gathered} {\kern 1pt} {{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right) = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{\nu }_{{\mathbf{X}}}}} \times \\ \times \,\,\left[ {\int\limits_{{{\Theta }_{k}}} {{{\nu }_{\Theta }}} \sum\limits_{m{\kern 1pt} = 1}^M {{{w}_{{mps1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)} \,\delta \left( {{{\Theta }_{k}} - {{\vartheta }_{m}}} \right)d{{\Theta }_{k}}} \right]d{{{\mathbf{X}}}_{k}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

Согласно (58) формула связи между ПВП ${{\nu }_{\Theta }} = \nu {\kern 1pt} \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{\Theta }_{k}}} \right.} \right)$ и вероятностями перехода (34) при ${{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{m}}$ характеризуется следующим выражением:

(60)
$\begin{gathered} {{\nu }_{{\Theta {\kern 1pt} m}}} = \nu \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}}\left| {{{\Theta }_{k}} = {{\vartheta }_{m}}} \right.} \right) = \\ = \sum\limits_{j = 1}^M {{{\pi }_{{mj}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}} \right)\delta \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}} - {{\vartheta }_{j}}} \right).} \\ \end{gathered} $

Внеся в (59) ПВП ${{\nu }_{\Theta }}$ под знак суммы и учитывая (60), находим

(61)
$\begin{gathered} {\kern 1pt} {{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right) = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{\nu }_{{\mathbf{X}}}}} \left\{ {\int\limits_{{{\Theta }_{k}}} {\sum\limits_{m = 1}^M {\left[ {\left. {\sum\limits_{i = 1}^M {{{\pi }_{{m{\kern 1pt} i}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}} \right)\delta \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}} - \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}} \right)} } \right]} \right.} } } \right. \\ \left. {\frac{{^{{}}}}{{_{{}}}} \times \,\,{{w}_{{mps{\kern 1pt} 1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)\delta \left( {{{\Theta }_{k}} - {{\vartheta }_{m}}} \right)d{{\Theta }_{k}}} \right\}d{\kern 1pt} {{{\mathbf{X}}}_{k}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

Согласно (42) в точках возможной смены состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, т.е. в моменты времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, $k = 0,1,2,..,$ для АСР ${{w}_{{i\,ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ выполняется соотношение

(62)
$\begin{gathered} {{w}_{{ip{\kern 1pt} s}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \\ = \sum\limits_{m = {\kern 1pt} 1}^M {{{\pi }_{{mi}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}} \right){{w}_{{mp{\kern 1pt} s1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)} . \\ \end{gathered} $

С учетом (62) после преобразований формула (61), определяющая совместную АПВ pps ${\kern 1pt} \left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ оцениваемого ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}\left( t \right)]}^{T}}$ в конце второго этапа обработки $k$‑го такта, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, окончательно принимает вид

(63)
$\begin{gathered} {\kern 1pt} {{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{\Theta }_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right) = \\ \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{\nu }_{{\mathbf{X}}}}} \sum\limits_{i = 1}^M {{\kern 1pt} {{w}_{{ip{\kern 1pt} s}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)\delta \left( {{{\Theta }_{{k + 1}}} - {{\vartheta }_{i}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{k}}{\text{.}}} \\ \end{gathered} $

Далее, выразив левую часть (63) по формуле связи между АПВ и АСР (43) и проинтегрировав обе части этого равенства по всей области существования ДП ${{\Theta }_{{k + 1}}}$, находим

$\begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^M {{{w}_{{ips}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)} = \\ = \sum\limits_{i = 1}^M {\left[ {\int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{\nu }_{{\mathbf{X}}}}{{w}_{{ips}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{\kern 1pt} {{{\mathbf{X}}}_{k}}} } \right]} . \\ \end{gathered} $

Полученное равенство выполняется для любого члена суммы.

Тогда имеем, что окончательное соотношение, определяющее АСР ${{w}_{{ips{\kern 1pt} }}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ выборки ВС ${\kern 1pt} {{[{\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{T},{{\Theta }_{{j(k + 1)}}}]}^{T}}$ применительно к j-му НКА в конце второго этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, определяется следующим соотношением:

(64)
${{w}_{{ips}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right) = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{\nu }_{{\mathbf{X}}}}{{w}_{{ips}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} ,$
где $k = 0,{\kern 1pt} 1,2{\kern 1pt} ,..,$ $i = \overline {1,M} $.

Входящее в (64) АСР ${{w}_{{ips}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ характеризуется согласно (62).

Формула (64) позволяет при известном начальном распределении последовательно при $k = 0,1,2,...$ вычислить АСР ${{w}_{{i{\kern 1pt} ps{\kern 1pt} }}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ выборки ВС [${\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{Т}$, ${{\Theta }_{{j(k + 1)}}}$]$^{Т}$ в конце второго этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в дискретный момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, и, следовательно, на этой основе получить оптимальные оценки ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$(40) и ${{\hat {\Theta }}_{{j(k + 1)}}}$ (41).

4. ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ ПО ДИСКРЕТНОМУ ПРОЦЕССУ

Как отмечено во введении, с учетом специфики навигационных ШПС (в том числе и BOC-сигналов), заключающейся в том, что время корреляции компонент вектора НП X(t) много больше длительности тактового интервала ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, при решении задачи синтеза применительно к оцениваемому дискретно-непрерывному ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{{jk}}}]}^{T}}$, характеризуемому (16) и (28)–(30), используем метод обратных связей по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ [1417].

Тогда совместная АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,\Theta {\kern 1pt} ,{\mathbf{X}}} \right) \triangleq p\left( {t,\Theta {\kern 1pt} ,{\mathbf{X}}\left| {{{{\mathbf{\Xi }}}^{t}}} \right.} \right)$ оцениваемого ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{{jk}}}]}^{T}}$ согласно методу обратных связей по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ по теореме умножения представляется в следующем виде [15, 21]:

(65)
${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,\Theta {\kern 1pt} ,{\mathbf{X}}} \right) = {{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,{\mathbf{X}}} \right){{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,{\kern 1pt} \Theta ,\left| {\mathbf{X}} \right.} \right),$
где ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,{\mathbf{X}}} \right) \triangleq p\left( {t,{\mathbf{X}}\left| {{{{\mathbf{\Xi }}}^{t}}} \right.} \right)$ – АПВ вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$; ${{p}_{{ps}}}\left( {t,\Theta \left| {\mathbf{X}} \right.} \right) \triangleq p(t,\Theta \left| {\mathbf{X}} \right.,{{{\mathbf{\Xi }}}^{t}})$ – условная по Х АПВ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$.

Выразим условную АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,{\kern 1pt} \Theta \left| {\mathbf{X}} \right.} \right)$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ через условные апостериорные вероятности (АВ) ${{P}_{{i\,ps}}}(t\left| {\mathbf{X}} \right.)$:

(66)
${{p}_{{ps}}}\left( {t,\Theta \left| {\mathbf{X}} \right.} \right) = \sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{ips}}}(t\left| {\mathbf{X}} \right.)} \delta \left( {\Theta - {{\vartheta }_{i}}} \right),$
где ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}(t\left| {\mathbf{X}} \right.) \triangleq P(t,\Theta = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}\left| {\mathbf{X}} \right.,{{{\mathbf{\Xi }}}^{t}})$ – условная по Х АВ состояния ДП при $\Theta = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}$.

С учетом (66) совместная АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,\Theta {\kern 1pt} ,{\mathbf{X}}} \right)$ (65) оцениваемого ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{{jk}}}]}^{T}}$ определяется следующим соотношением:

(67)
${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,\Theta {\kern 1pt} ,{\mathbf{X}}} \right) = \sum\limits_{i{\kern 1pt} = 1}^M {{{P}_{{ips}}}(t\left| {\mathbf{X}} \right.){{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,{\mathbf{X}}} \right)} \delta \left( {\Theta - \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}} \right).$

На основании (67) с учетом формулы связи (43) между совместной АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,\Theta {\kern 1pt} ,{\mathbf{X}}} \right)$ и АСР ${{w}_{{ips}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ при $\Theta {\kern 1pt} (t) = {{\vartheta }_{i}}$ для всех $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ разложение АСР применительно к методу обратных связей по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ имеет вид [15, 21]

(68)
$\begin{gathered} {{w}_{{i\,ps}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right) = {{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,{\mathbf{X}}} \right){{P}_{{i\,ps}}}(t\left| {\mathbf{X}} \right.), \\ {\text{где}}\,\,\,k = 0,1,2,...,\,\,\,\,i = \overline {1{\kern 1pt} ,M} . \\ \end{gathered} $

Для формирования оптимальных оценок ${{\hat {\Theta }}_{{jk}}}$ и ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{k}}$ необходимо знать АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,{\mathbf{X}}} \right)$ и условные АВ ${{P}_{{i\,ps}}}(t\left| {\mathbf{X}} \right.)$, где $i = \overline {1{\kern 1pt} ,M} $, на каждом такте на первом и втором этапах обработки принимаемых BOC-сигналов.

4.1. Алгоритмы на первом этапе обработки

Получим алгоритм для вычисления АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ на первом этапе обработки.

На основании уравнения Стратоновича для АСР ${{w}_{{i\,ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ (50) на первом этапе потактовой обработки найдем соответствующее уравнение Стратоновича для АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$.

Подставив формулу (68), характеризующую разложение АСР ${{w}_{{ips}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ применительно к методу обратных связей по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, в выражение (50), находим

(69)
$\begin{gathered} \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {{{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)} \right] = \\ = [{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) - {{F}_{{\Theta X}}}(t)]{{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.), \\ \end{gathered} $
где функции ${{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ и ${{F}_{{\Theta {\kern 1pt} {\mathbf{X}}}}}(t)$ определяются согласно (51) и (52) соответственно.

Просуммировав обе части равенства (69) по всем значениям i с учетом условия нормировки $\sum\nolimits_{i = 1}^M {{{P}_{{ips}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.) = 1} $, имеем, что уравнение Стратоновича для АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ выборки оцениваемого вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ на первом этапе обработки для $k$-го такта имеет вид

(70)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = [{{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) - {{F}_{{\Theta X}}}(t)]{{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right),$
где функции ${{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ и ${{F}_{{\Theta X}}}(t)$ с учетом (51), (52) и (68) вычисляются по формулам:

(71)
${{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) \triangleq \sum\limits_{i = 1}^M {{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}){{P}_{{i\,ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)} ,$
(72)
$\begin{gathered} {{F}_{{\Theta X}}}(t) \triangleq \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {\sum\limits_{i = 1}^M {{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}){{w}_{{ips{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{\kern 1pt} {{{\mathbf{X}}}_{k}}} } = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {\sum\limits_{i = 1}^M {{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}){{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)d{\kern 1pt} {{{\mathbf{X}}}_{k}}} } = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}){{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{\kern 1pt} {{{\mathbf{X}}}_{k}}} = {{M}_{{{{{\mathbf{X}}}_{k}}}}}\left\{ {{{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right\}. \\ \end{gathered} $

Как известно, при синтезе оптимальных алгоритмов приема и обработки сигналов на основе метода обратных связей по ДП используется один из двух способов вычисления АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ [1521].

Первый способ вычисления АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ (более сложный и более точный) основан на использовании разложения АСР ${{w}_{{i\,ps}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ в виде (68) в уравнении Стратоновича (50). Второй способ вычисления АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ (более простой и несколько менее точный) опирается на использование разложения (68) уже в решении уравнения Стратоновича (54) в конце первого этапа обработки, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$ [15, 21].

Особенностью (недостатком) первого способа вычисления АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ является то, что в алгоритме на каждом такте необходимо выполнять текущее усреднение по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}$, т.е. вычислять функцию ${{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$, которая определяется соотношением (71).

При втором способе вычисления АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ на каждом такте достаточно знать не ее текущее значение, а только значение в конце первого этапа обработки, т.е. АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}({{t}_{{k + 1}}}--0,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$. Вследствие этого на интервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ не требуется текущего вычисления функции ${{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (69). Отмеченное достоинство второго способа особенно значимо в случае применения навигационных ШПС (в том числе и BOC-сигналов), для которых характерно малое отношение сигнал/шум на входе приемника и при обработке необходимо накопление определенного числа элементарных посылок.

По этой причине в работе использован второй способ вычисления АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$.

Подставив выражение (68) в формулу (54), представляющую собой решение уравнения Стратоновича для i-го АСР ${{w}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, находим

(73)
$\begin{gathered} {{p}_{{ps1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{\kern 1pt} {{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.) = \\ = {{С}_{2}}{\kern 1pt} {{p}_{{ps{\kern 1pt} }}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{k}}\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.) \times \\ \times \,\,\exp \left\{ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^{{{t}_{{k + 1}}} - 0} {{{F}_{i}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } } \right\}, \\ \end{gathered} $
где производная по времени от парциального (i‑го) ЛФП ${{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ определяется согласно (51); $t \in \left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right);$ $k = 0,1,2,...;$ $i = \overline {1,M} $.

Просуммировав обе части равенства (73) по всем значениям i, с учетом условия нормировки, получим, что при втором способе вычисления АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ выборки оцениваемого вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце первого этапа обработки на $k$‑м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, имеет вид

(74)
$\begin{gathered} {{p}_{{ps1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = {{С}_{2}}{{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{k}}\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)} \times \\ \times \,\,\exp \left\{ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^{{{t}_{{k + 1}}} - 0} {{{F}_{i}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } } \right\},\,\,\,\,k = 0,{\kern 1pt} 1,2,..., \\ \end{gathered} $
где нормировочный коэффициент ${{С}_{2}}$ согласно (53) и (68) определяется выражением
$\begin{gathered} {{С}_{2}} = \left[ {\int\limits_{{{X}_{k}}} {{{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)} \sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{k}}\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)} } \right. \times \\ {{\left. { \times \,\,\exp \left\{ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^{{{t}_{{k + 1}}} - 0} {{{F}_{i}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } } \right\}d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]}^{{ - 1}}}; \\ \end{gathered} $
производная по времени от парциального ЛФП ${{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ характеризуется (51).

Начальным значением для (74) является АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} }}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$, полученная в конце второго этапа обработки на предыдущем такте, т.е. в момент ${{t}_{k}} + 0$.

Как видно из (74), достоинство второго способа вычисления АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ (по сравнению с первым способом [21]) состоит в том, что АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} }}}\left( {{{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ и условные АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{k}}\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ в данном случае необходимо знать лишь в дискретные моменты времени ${{t}_{k}}$ ($k = 0,1,2,..$) и нет необходимости выполнять текущее усреднение по ДП${\kern 1pt} \Theta $, т.е. вычислять функцию ${{F}_{\Theta }}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (71) при $\tau \in \left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right).$ Как отмечено выше, этот факт является весьма значимым при применении навигационных ШПС (в том числе и BOC-сигналов).

Получим основные расчетные соотношения для условных АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}(t\left| {\mathbf{X}} \right.)$ (66) ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ на первом этапе обработки сигналов.

Подставив в уравнение Стратоновича для i-го АСР ${{w}_{{ips{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ на первом этапе обработки (50) его разложение применительно к методу обратных связей по ДП (68), запишем

(75)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{P}_{{ips}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)}}{{\partial t}}{{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) + {{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)\frac{{\partial {{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)}}{{\partial t}} = \\ = [{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) - {{F}_{{\Theta X}}}(t)]{{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.), \\ \end{gathered} $
где функции ${{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ и ${{F}_{{\Theta X}}}(t)$ определяются выражениями (51) и (52), $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, $k = 0,1,2,...$, $i = \overline {1,M} $.

С учетом (70) соотношение (75) принимает вид

(76)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{P}_{{i\,ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)}}{{\partial t}}{{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) + {{P}_{{i\,ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)[{{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) - \\ - \,\,{{F}_{{\Theta {\kern 1pt} X}}}(t)]{{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \\ = [{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) - {{F}_{{\Theta X}}}(t)]{{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.). \\ \end{gathered} $

Выполнив в (76) преобразования, находим, что уравнение для условной АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)$ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$ на первом этапе обработки характеризуется следующим соотношением:

(77)
$\frac{{\partial {{P}_{{ips}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)}}{{\partial t}} = [{{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) - {{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})]{{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.),$
где функции ${{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ и ${{F}_{\Theta }}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ определяются согласно (51) и (71) соответственно, $t \in \left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right);$ $k = 0,1,2,...;$ $i = \overline {1,M} $.

Начальное условие для уравнения (77) формируется на втором этапе обработки ($k$ – 1)-го такта, т.е. в момент времени ${{t}_{k}} + 0$, и в соответствии с (35) имеет вид [15, 23]

(78)
$\begin{gathered} {{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{k}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.) = \\ = \sum\limits_{m = 1}^M {{{\pi }_{{m{\kern 1pt} {\kern 1pt} i}}}({{t}_{k}})} {{P}_{{m{\kern 1pt} {\kern 1pt} ps}}}({{t}_{k}} - 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.),\,\,\,\,i = \overline {1,M} . \\ \end{gathered} $

Решение уравнения (77) для условной АВ ${{P}_{{i\,ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ на первом этапе обработки $k$‑го такта с учетом (37) характеризуется формулой [15, 23]

(79)
${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.) = \frac{{{{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{k}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.){\text{exp}}\left[ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{F}_{i}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } } \right]}}{{\sum\limits_{l = 1}^M {{{P}_{{l\,ps}}}({{t}_{k}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)\exp \left[ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{F}_{l}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } } \right]} }},$
где функция ${{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ определяется согласно (51), $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, $k = 0,1,2,...$, $i = \overline {1,M} $. Начальное условие ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{k}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)$ для (79) определяется (78).

При формировании оптимальной оценки ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$ на $k$-м такте все условные АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)$, где $i = \overline {1,{\kern 1pt} M} $, вычисляются в конце первого этапа обработки, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$ ($k = 0,1,2,...$). Поскольку в течение всего полуинтервала $[\,{{t}_{k}},{\kern 1pt} \,{{t}_{{k + 1}}})$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ не меняет своего значения, то к окончанию полуинтервала точность оценивания условных АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ максимальна.

Таким образом, на основе (79) в соответствии с (41) на $k$-м такте в конце первого этапа обработки, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$ ($k = 0,1,2,...$) формируются оптимальные оценки ДП ${{\hat {\Theta }}_{j}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}})$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

4.2. Алгоритмы на втором этапе обработки

Получим на втором этапе обработки сигналов в дискретном времени в точках перехода от одного такта к другому, т.е. в моменты ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,...$), когда происходит возможная смена состояния ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{{k + 1}}})$, формулы для АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$ (а также для соответствующих АСР) и для условных АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0,\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.)$ ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{{k + 1}}})$.

Подставив в выражение для АСР ${{w}_{{i{\kern 1pt} ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ (64) ее разложение применительно к методу обратных связей (68), получим следующее соотношение:

(80)
$\begin{gathered} {{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}},{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right){{P}_{{i\,ps}}}({{t}_{{k + 1}}}\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.) = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{\nu }_{{\mathbf{X}}}}{{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}--0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){{P}_{{i\,ps}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)d{\kern 1pt} {{{\mathbf{X}}}_{k}}} . \\ \end{gathered} $

Отметим, что при получении (80) погрешностью (разрывами 1-го рода) за счет аппроксимации вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ квазислучайным процессом (37) пренебрегаем, и по этой причине АПВ ${{p}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left( {{\kern 1pt} t,{\mathbf{X}}} \right)$ полагаем непрерывной по времени, т.е. ${{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{\mathbf{X}}} \right)$ = ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}}--0,{\mathbf{X}}} \right)$ [15, 21].

Просуммировав обе части равенства (80) по всем значениям $i$, с учетом условия нормировки окончательно получим, что АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ выборки оцениваемого вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$ на втором этапе обработки на $k$-м такте, т.е. в моменты ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,...$) имеет вид

(81)
$\begin{gathered} {{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right) = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{\nu }_{{\mathbf{X}}}}{{p}_{{p{\kern 1pt} s1}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}}--0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} . \\ \end{gathered} $

Начальное условие ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}}--0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ для (81) вычисляется в соответствии с выражением (74), полученным в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}}--0$.

Таким образом, на основе (81) в соответствии с (40) на каждом такте на втором этапе обработки, т.е. в моменты времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,...$), формируется оптимальная оценка выборки вектора НП ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + {\kern 1pt} 1}}}$.

Далее получим условные АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.)$, где $i = \overline {1,M} $, на втором этапе обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$. Условные АВ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.)$ служат начальными условиями при вычислении на основе (79) условных АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.)$, где $t \in [{{t}_{{k + 1}}},{{t}_{{k + 2}}})$, уже для следующего ($k$ + 1)-го такта.

Согласно (80) условные АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.)$ на втором этапе обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, определяются выражением

(82)
$\begin{gathered} {{P}_{{i\,ps}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.) = \frac{1}{{{{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{\nu }_{{\mathbf{X}}}}{{p}_{{p{\kern 1pt} s{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}}--0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} , \\ \end{gathered} $
где $k = 0,1,2,...$, $i = \overline {1,M} $.

Входящие в (82) условные АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.)$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ на втором этапе обработки в соответствии с (78) имеют вид

(83)
$\begin{gathered} {{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.) = \sum\limits_{m = 1}^M {{{\pi }_{{mi}}}({{t}_{{k + 1}}})} {{P}_{{m{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.), \\ i = \overline {1,M} . \\ \end{gathered} $

Полученные согласно (82) и (83) условные АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.)$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ на втором этапе обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, представляют собой начальные условия для вычисления на основе (79) условных АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}(t\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.)$, где $t \in [{{t}_{{k + 1}}},{{t}_{{k + 2}}})$, уже для ($k$ + 1)-го такта.

Таким образом, задача синтеза оптимальных алгоритмов приема и обработки дискретно-непрерывного ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})]}^{T}}$ применительно к j-му НКА методами МТО решена.

Далее рассмотрим формирование квазиоптимальных оценок дискретно-непрерывного ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})]}^{T}}$.

5. КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРИЕМА И ОБРАБОТКИ BOC-СИГНАЛОВ В ПЕРСПЕКТИВНЫХ ГЛОБАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СПУТНИКОВЫХ СИСТЕМАХ

Чтобы упростить синтезированные оптимальные алгоритмы приема и обработки BOC-сигналов, используем метод гауссовской аппроксимации и получим квазиоптимальные оценки выборки дискретно-непрерывного ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})]}^{T}}$ [1315, 17].

В соответствии с методом гауссовской аппроксимации при формировании квазиоптимальных оценок выборки дискретно-непрерывного ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})]}^{T}}$ применительно к j-му НКА полагаем, что приняты следующие допущения [15]:

– АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ выборки оцениваемого вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ является гауссовской;

– для условных АВ ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ при достаточно высокой апостериорной точности оценивания выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ выполняются приближенные равенства:

(84)
${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{k}}) \approx {{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{k}}\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.) \approx {{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}\left( {{{t}_{k}}\left| {{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right.} \right),$
где $i = \overline {1,M} $, ${\mathbf{X}}_{k}^{ * }$– квазиоптимальная оценка вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$.

5.1. Алгоритмы на первом этапе обработки

Как было отмечено выше, с учетом специфики навигационных ШПС (в частности, BOC-сигналов) при разработке алгоритмов используем АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$, полученную на основе второго способа ее вычисления (74).

Тогда согласно методу гауссовской аппроксимации полагаем, что АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ (74) выборки оцениваемого вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, является гауссовской и имеет следующий вид:

(85)
$\begin{gathered} p_{{ps{\kern 1pt} 1}}^{*}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \mathcal{N}{\kern 1pt} \left\{ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{*},{{{\mathbf{K}}}_{k}}} \right\} = \\ = {{\left[ {{{{\left( {2\pi } \right)}}^{n}}{\kern 1pt} \det {{{\mathbf{K}}}_{k}}} \right]}^{{ - \frac{1}{2}}}} \times \\ \times \,\,\exp \left\{ {--\frac{1}{2}{{{\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{*}} \right]}}^{T}}{\mathbf{K}}_{k}^{{--1}}\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{*}} \right]{\kern 1pt} } \right\}, \\ \end{gathered} $
где $\mathcal{N}$ – символ гауссовского закона распределения; звездочка $ * $ означает, что АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ аппроксимирована гауссовской кривой (85);
(86)
$\begin{gathered} {\mathbf{X}}_{k}^{ * } \triangleq {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) = \\ = M_{{ps1}}^{ * }\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right] \triangleq \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{{\mathbf{X}}}_{k}}p_{{p{\kern 1pt} s{\kern 1pt} 1}}^{ * }{\kern 1pt} \left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \\ \end{gathered} $
– квазиоптимальная оценка выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$;
(87)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{K}}}_{k}}{\kern 1pt} \triangleq {\mathbf{K}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) = \\ = M_{{p{\kern 1pt} s{\kern 1pt} 1}}^{ * }\left\{ {\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right]{{{\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right]}}^{T}}} \right\} = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right]{\kern 1pt} {{{\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right]}}^{T}} \times } \\ \times \,\,p_{{p{\kern 1pt} s1}}^{ * }\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{k}} \\ \end{gathered} $
– матрица апостериорных одномерных центральных моментов второго порядка (матрица ковариаций) квазиоптимальных ошибок оценивания выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$. Видно, что матрица ковариаций квазиоптимальных ошибок ${{{\mathbf{K}}}_{k}}{\kern 1pt} $ в соответствии с (30) имеет размер ($n \times n$), где n – число компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$.

Отметим, что принятое обозначение типа ${\kern 1pt} {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ соответствует тому, что оценка формируется на момент времени ${{t}_{k}}$ по наблюдению ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} (t)$ до момента времени ${\kern 1pt} t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$.

Далее согласно методу гауссовской аппроксимации в соответствии с критерием максимума АПВ, следуя, по существу, работам [15, 24], получим соотношения, определяющие первый и второй моменты АПВ $p_{{ps1}}^{ * }\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ (85), характеризуемой (74), в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$.

Квазиоптимальная оценка (по критерию максимума АПВ) выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, определяется следующим соотношением:

(88)
$\begin{gathered} {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) = {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}) + {\mathbf{K}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})} \right.)} \Phi _{i}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})), \\ \end{gathered} $
где
(89)
$\begin{gathered} \Phi _{i}^{'}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})) \triangleq {{\left[ {\frac{{\partial {\kern 1pt} {{\Phi }_{i}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{\partial {{{\mathbf{X}}}^{ * }}({{t}_{k}})}}} \right]}^{T}} = \\ = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{{\left[ {\frac{{\partial {{F}_{i}}(\tau ,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{\partial {\kern 1pt} {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}} \right]}}^{T}}d\tau } \\ \end{gathered} $
– первая производная по вектору ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})$ парциального ($i$-го) ЛФП ${{\Phi }_{i}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$, представляющая собой вектор-столбец размером ($n{\kern 1pt} \,\, \times 1$);
(90)
${{\Phi }_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{F}_{i}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } $
– парциальный ЛФП (т.е. ЛФП, соответствующий значению ДП ${{\theta }_{k}} = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}$); ${{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ – производная по времени парциального ЛФП применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{\Theta }_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых НКА, определяемая согласно (51); $k = 0,1,2,...$, $i = \overline {1,M} $.

Матрица ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\kern 1pt} {\mathbf{K}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.$ выборки вектора НП Xk в конце первого этапа обработки на k-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, характеризуется следующим выражением:

(91)
$\begin{gathered} {\mathbf{K}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right. = \left[ {{{{\mathbf{K}}}^{{--1}}}({{t}_{k}})--\sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left. 0 \right|{\mathbf{X}}_{k}^{ * })} } \right. \times \\ \times \,\,\left\{ {\Phi _{i}^{{{\text{''}}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })--\left[ {\Phi _{i}^{{\text{'}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })--\frac{{^{{}}}}{{}}} \right.} \right.{\kern 1pt} \\ --\,\,\left. {\sum\limits_{g{\kern 1pt} = 1}^M {{{P}_{{gps}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left. 0 \right|{\mathbf{X}}_{k}^{ * })} \Phi _{g}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })} \right] \times \\ {{\left. {\left. { \times \,\,{{{\left[ {\Phi _{i}^{{\text{'}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })} \right]}}^{T}}} \right\}} \right]}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $
где
(92)
$\begin{gathered} \Phi _{i}^{{{\text{''}}}}(t,{\mathbf{X}}*({{t}_{k}})) \triangleq \frac{{{{\partial }^{2}}{{\Phi }_{i}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{{{{(\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}^{2}}}} = \\ = {{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}} \right]}^{T}}\frac{{\partial {{\Phi }_{i}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}} = \\ = \int\limits_{{{t}_{k}}}^{{\kern 1pt} t} {{{{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}} \right]}}^{T}}} {{\left[ {\frac{{\partial {{F}_{i}}(\tau ,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}} \right]}^{T}}d\tau \\ \end{gathered} $
– вторая производная по вектору ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})$ парциального (i-го) ЛФП ${{\Phi }_{i}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$, представляющая собой матрицу размером ($n \times n$).

Отметим, что в формулах (88)(92) и далее производная от скалярной функции по вектору-столбцу, как обычно, представляет собой вектор-строку, а выражение ${{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}} \right]}^{T}}$ является дифференциальным оператором, воздействующим на функцию, расположенную от него справа.

Преимуществом полученных квазиоптимальных алгоритмов (86)–(92) (т.е. алгоритмов в случае второго способа вычисления АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$) при сравнении, например, с [21] является то, что все операции в НАП над выходными сигналами корреляционных приемников

${{\Phi }_{i}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})) = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{F}_{i}}(\tau ,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))d\tau } $
и дискриминаторов
$\,\frac{{\partial {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\Phi }_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}^{ * }}({{t}_{k}}))}}{{\partial {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{\mathbf{X}}}^{ * }}({{t}_{k}})}}$
производятся после завершения накопления на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$. Это позволяет учесть специфику обработки ШПС (в частности BOC-сигналов). Кроме того, квазиоптимальные алгоритмы (86)(92) требуют гауссовской аппроксимации АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ выборки вектора НП Xk только в точках tk и tk+1, т.е. после выполнения накопления применительно к достаточно большому числу элементов ШПС.

Видно, что для формирования квазиоптимальной оценки выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ согласно (88) и (91) необходимо знать применительно к каждому j-му НКА условные АВ ${{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})} \right.)$, где $i = \overline {1,M} $. По этой причине представленный алгоритм фильтрации (88) и (91) называют алгоритмом с обратными связями по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$.

Далее займемся условными АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left. 0 \right|{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$, где $i = \overline {1,M} $, входящими в (88) и (91). Условные АВ ${{P}_{{i\,ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left. 0 \right|{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ вычисляются согласно (79), и на этой основе формируется квазиоптимальная оценка ДП $\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * }$.

Для формирования квазиоптимальной оценки ДП $\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * }$ применительно к полуинтервалу $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ используем приближение первого порядка (84).

Решение о квазиоптимальной оценке ДП $\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * }$ на k-м такте, где $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),$ принимается на основе (41) с учетом (84) в конце первого этапа обработки, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$, согласно следующему правилу:

(93)
$\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * } = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}:\mathop {\max }\limits_{{{\vartheta }_{1}} \leqslant {{\vartheta }_{i}} \leqslant {{\vartheta }_{M}}} \left\{ {{{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right\},$
где ${{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)$ – АВ состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}(t)$ применительно к j-му НКА в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$.

5.2. Алгоритмы на втором этапе обработки

На втором этапе обработка информации, полученной на первом этапе k-го такта, производится в дискретном времени в точке перехода от одного такта к следующему, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} + 0$, где $k = 0,1,2,...$. При этом учитываются два фактора.

Один фактор, характеризуемый формулами (64) для АСР ${{w}_{{i\,ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ или (81) для АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$, учитывает априорное изменение вектора НП от ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ до ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$ на k-м такте согласно (37) и (38) как квазислучайного процесса. Другой фактор в соответствии с формулами (82) и (83) для условных АВ ${{P}_{{i\,ps}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0\left| {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right.)$ учитывает возможную смену состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} + 0$, $k = 0,1,2,...$.

Приведем соотношения для квазиоптимальной оценки выборки вектора НП ${\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{ * }$ и для матрицы ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\kern 1pt} ({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$ на втором этапе обработки на k-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, где $k = 0,1,2,...$, при условии, что $p_{{ps1}}^{ * }\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ аппроксимирована гауссовской кривой. В этом случае с учетом (56) имеем, что АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} + 0,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ (81) также носит гауссовский характер.

Тогда с учетом того, что вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ на каждом полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ аппроксимирован векторным квазислучайным процессом (36)–(38), соотношение для квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ на втором этапе обработки на k-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, на основании (81) имеет вид [15, 21, 24]:

(94)
${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} + 0) = {{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}({{t}_{{k + 1}}},{{t}_{k}}{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.),$
где переходная матрица состояния ${{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}({{t}_{{k + 1}}},{{t}_{k}})$ имеет размер ($n \times n{\kern 1pt} $) и определяется согласно (36); квазиоптимальная оценка ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ вычисляется в конце первого этапа обработки согласно (88).

Выражение, определяющее матрицу ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\kern 1pt} ({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$ на втором этапе обработки на k-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,...$), в соответствии с (81) при учете (36)–(38) записывается в следующем виде [15, 21, 24]:

(95)
$\begin{gathered} {\mathbf{K}}({{t}_{{k + 1}}} + 0) = \\ = {{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}({{t}_{{k + 1}}},{{t}_{k}}){\mathbf{K}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.{\mathbf{\Phi }}_{{XX}}^{T}({{t}_{{k + 1}}},{{t}_{k}}), \\ \end{gathered} $
где матрица ${\mathbf{K}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.$ вычисляется в конце первого этапа обработки согласно (91).

Кроме того, на втором этапе обработки на k-м такте с учетом квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{ * }$ (94) производится формирование начальных значений условных АВ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ для первого этапа обработки применительно к следующему ((k + 1)-му) такту, т.е. согласно (82) и (94) вычисляются значения ${{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} + \left. 0 \right|{\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{ * })$.

6. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА КВАЗИОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПРИЕМА И ОБРАБОТКИ BOC-СИГНАЛОВ

Построение структурной схемы квазиоптимальной системы приема и обработки BOC-сигналов, характеризуемых применительно к j-му НКА ($j{\text{ }}$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $) дискретно-непрерывным ВС ${\kern 1pt} {{[{{{\mathbf{X}}}^{T}}(t),{{\Theta }_{j}}(t)]}^{T}}$ (28) и (33), выполняется на основе соотношений (51), (78), (79), (90) и (93) для формирования квазиоптимальных оценок ДП ${\kern 1pt} \Theta _{j}^{ * }\left( t \right)$ ($j{\text{ }}$= $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $), а также (51), (88)–(91) и (94) для формирования квазиоптимальной оценки выборки вектора НП ${\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{ * }$.

Отметим, что в соответствии с разработанными алгоритмами, как обычно, может быть предложен целый ряд вариантов структурных схем систем приема и обработки с учетом особенностей вида полезных сигналов ${\mathbf{S}}(t)$ (26), условий функционирования системы, предъявляемых требований, элементной базы, особенностей конструкторских решений и т.д. Тем не менее в составе структурной схемы основные модули (узлы) по своему существу и функциональному назначению являются одними и теми же для различных вариантов ее построения.

Структурная схема квазиоптимальной системы приема и обработки BOC-сигналов, выполненная в соответствии с указанными алгоритмами, представлена на рис. 2.

Рис. 2.

Структурная схема квазиоптимальной системы приема и обработки BOC-сигналов.

В составе синтезированной системы можно выделить три основные составные части:

1) устройство обработки НП применительно к принимаемому полезному BOC-сигналу ${{s}_{j}}(t)$ от j-го НКА (УОНПj);

2) модуль формирования квазиоптимальной оценки ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ применительно к j-му НКА (МФОДПj);

3) модуль формирования квазиоптимальной оценки НП (${\text{МФОНП}}$).

На схеме отдельно выделен модуль формирования опорного BOC-сигнала применительно к j‑му НКА (МФОСj). Векторные связи на рис. 2 показаны двойными линиями.

Заметим, что на структурной схеме рис. 2 во избежание излишней громоздкости у составных частей ${\text{УОН}}{{{\text{П}}}_{j}}$ и ${\text{МФОД}}{{{\text{П}}}_{j}}$ показаны связи, относящиеся только к какому-либо одному j-му НКА, а не ко всей совокупности J одновременно видимых НКА.

Видно, что составные части синтезированной системы охвачены соответствующими перекрестными связями, которые характеризуют факт использования при совместной обработке ДП ${{\Theta }_{j}}$ и вектора НП X(t) метода с обратными связями по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}$ для разложения совместной АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {t,{{\Theta }_{j}},{\mathbf{X}}} \right).$

На вход синтезированной системы поступают радиосигналы от всех одновременно видимых НКА, определяемые ВН ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} (t)$ в соответствии с (9)–(12) и (26); выходные сигналы системы представляют собой квазиоптимальные оценки ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ и $\Theta _{j}^{ * }({{t}_{{k + 1}}} - 0)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Устройство ${\text{МФОД}}{{{\text{П}}}_{j}}$ (применительно к j-му НКА, где j = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $) является M канальным, что соответствует каждому возможному значению ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ = ${{\left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\}}_{j}}$, где $i$ =$\overline {1{\kern 1pt} ,M} $, $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Основой каждого канала по существу является корреляционный приемник КПi ($i$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,M} $), на выходе которого формируется сигнал парциального (i-го) ЛФП ${{\Phi }_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$, характеризуемого согласно (51) и (90). Синхронизация работы интеграторов каждого КП${}_{{i\,}}{\kern 1pt} $производится тактовыми импульсами (ТИ) в моменты времени ${{t}_{k}}$ ($k = 0,1,2,..$). В состав КП${}_{{i\,}}{\kern 1pt} $ входит модуль формирования на основе наблюдений ${\mathbf{\Xi }}\left( t \right)$ и опорного BOC-сигнала ${{S}_{i}}{\kern 1pt} (t,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$ производной по времени парциального ЛФП ${{F}_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ согласно алгоритму (51), а также интегратор.

Выходные сигналы КПi${{\Phi }_{i}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (где $i = \overline {1,M} $) поступают на модуль вычисления АВ (МВАВ), функционирующий согласно алгоритмам (79) и (84) при начальных условиях (НУ) (78). МВАВ имеет $M$ входов и две группы выходов. Каждая группа содержит $M$ выходов. Выходные сигналы одной группы условных АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left. 0 \right|{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$, где $i = \overline {1,M} $, поступают на умножители ${\text{УОН}}{{{\text{П}}}_{j}}$, где реализуется алгоритм на основе метода с обратными связями по ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$. Выходные сигналы другой группы условных АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)$, где $i = \overline {1,M} $, подаются на модуль принятия решения МПР, функционирующий согласно алгоритму (93). На выходе МПР в конце первого этапа обработки, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, на каждом такте $\left[ {{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}} \right),$ ($k = 0,1,2,...,$) формируется квазиоптимальная оценка ДП $\Theta _{j}^{ * }({{t}_{{k + 1}}} - 0)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Синтезированное ${\text{УОН}}{{{\text{П}}}_{{\text{j}}}}$ (применительно к j‑му НКА, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $) в своей основе содержит M каналов. Каждый из каналов по существу является оптимальным многомерным дискриминатором ${\text{М}}{{{\text{Д}}}_{i}}$ (где $i = \overline {1,M} $). Мерность каждого дискриминатора ${\text{М}}{{{\text{Д}}}_{i}}$ определяется размером вектора НП ${\mathbf{X}}\left( t \right)$ и равна ($n \times 1$).

Каждый дискриминатор ${\text{М}}{{{\text{Д}}}_{i}}$ содержит блоки формирования парциального ($i$-го) ЛФП ${{\Phi }_{i}}(t,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$, определяемого в соответствии с (51) и (90), и МВ согласно (89) первой производной по вектору ${\mathbf{X}}_{k}^{ * }$ парциального (i-го) ЛФП $\Phi _{i}^{'}(t,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$. Далее согласно (88) каждый сигнал $\Phi _{i}^{'}(t,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$ подается на соответствующий умножитель. На другие входы умножителей поступают вычисленные в ${\text{МФОД}}{{{\text{П}}}_{{\text{j}}}}$ условные АВ ${{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left. 0 \right|{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$, которые реализуют в алгоритме обработки обратные связи по ДП ${{\Theta }_{j}}$. Выходные сигналы умножителей, являющиеся парциальными сигналами ошибки, подаются на сумматор, на выходе которого в соответствии с (88) регистрируется векторный сигнал ${{А}_{j}}$ (рис. 2):

${{А}_{j}} = \sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0\left| {{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})} \right.)} \Phi _{i}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}).$

Векторный сигнал Aj подается на МФОНП для формирования квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$.

В состав ${\text{МФОНП}}$входят модуль вычисления матрицы ковариаций (МВМК) квазиоптимальных ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$, реализующий алгоритмы (91) и (92), и модуль ковариаций квазиоптимальных ошибок (МККО), характеризуемый соотношением (95). Сигнал на выходе МККО определяет матрицу ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\kern 1pt} ({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$ на втором этапе обработки на k-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,...$). Как известно, матрица ${\mathbf{K}}{\kern 1pt} ({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ в общем случае зависит от векторного наблюдения ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} (t)$ (26) и от квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}_{k}^{*}$, что и отражено на рис. 2.

Кроме того, сигнал с выхода МВМК ${\mathbf{K}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ подается на вход умножителя, на другой вход которого от ${\text{УОН}}{{{\text{П}}}_{{\text{j}}}}$ поступает сигнал ${{А}_{{\text{j}}}}$.

На выходе умножителя регистрируется сигнал коррекции, необходимый для реализации алгоритма (88) при формировании квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$. Следуя (88) и суммируя квазиоптимальную оценку предыдущего такта ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})$ с сигналом коррекции, формируем оценку ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$.

В соответствии с (94), учитывая переходную матрицу состояния ${{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}({{t}_{{k + 1}}},{{t}_{k}})$, на выходе ${\text{МФОНП}}$ получим квазиоптимальную оценку ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ на втором этапе обработки на k-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,...$).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрены навигационные ШПС и, в частности, быстро развивающиеся BOC-сигналы, которые предназначены для применения в современных и перспективных ГНСС, таких как GPS (США), Galileo (Европейский союз), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай).

Основной научный результат работы состоит в том, что методами МТО путем решения задачи синтеза получены аналитические выражения для квазиоптимальной оценки выборки вектора НП ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ и матрицы ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\kern 1pt} ({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$, а также для квазиоптимальных оценок ДП $\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * }$, где$j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

На этой основе разработана соответствующая структурная схема квазиоптимальной системы приема и обработки BOC-сигналов перспективных ГНСС.

При решении задачи синтеза особенностями, учитывающими специфику навигационных ШПС (в том числе и BOC-сигналов), являлись следующие два фактора.

1. В алгоритмах при разложении совместной АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} ,{\mathbf{X}}} \right)$ дискретно-непрерывного ВС [XT(t), ${{\Theta }_{j}}$]T был применен метод с обратными связями по ДП ${{\Theta }_{j}}$.

2. Для вычисления АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ было использовано не уравнение Стратоновича для совместной АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {{\kern 1pt} t,{{\Theta }_{{jk}}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ (или для соответствующего АСР ${{w}_{{ip{\kern 1pt} s1}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$), а его решение. Это особенно значимо в случае применения навигационных ШПС (в частности, BOC-сигналов), для которых характерно малое отношение сигнал/шум на входе приемника НАП, и при обработке необходимо накопление определенного числа элементарных посылок ПСП дальномерного кода $g(t)$.

Полученные аналитические соотношения, разработанные алгоритмы и представленная структурная схема системы приема и обработки BOC-сигналов при дальнейшей практической реализации применительно к различным ГНСС подвергаются конкретизации и дальнейшему упрощению в зависимости от категорий пользователей, типов приемников НАП и круга решаемых задач.

Результаты работы также применимы в случаях ШПС современных ГНСС, у которых BOC-сигналы пока не используются.

Список литературы

  1. Betz J.W. // Proc. National Technical Meeting of the Institute of Navigation (ION – NTM’99), Jan. 1999. P. 639.

  2. Betz J.W. // Navigation. J. ION. 2001. V. 48. № 4. P. 227.

  3. Hein G.W., Godet J., Issler J.-L. et al. // Proc. Institute of Navigation Global Positioning System Meeting (ION GPS 2002). Portland. 24–27 Sep. 2002. Fairfax: ION, 2002. P. 266.

  4. Ярлыков М.С. Меандровые шумоподобные сигналы (ВОС-сигналы) и их разновидности в спутниковых радионавигационных системах. М.: Радиотехника, 2017.

  5. Betz J.W. // Proc. ION GPS 2000. Institute of Navigation, September 2000. P. 2140.

  6. Lachapelle G., Petovello M. // Inside GNSS, May/June 2006. V. 1. № 4. P. 22.

  7. Betz J.W., Blanco M.A., Cahn Ch.R. et al. // Proc. 19th Intern. Technical Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation (ION GNSS 2006). September 2006. P. 2080.

  8. Wallner S., Hein G.W., Avila-Rodriguez J.-A. // Proc. European Space Agency, Navitec 2006, Noordwijk, the Netherlands, Dec. 2006. CD ROM.

  9. Julien O., Macabiau Ch., Issler J.-L., Ries L. // Inside GNSS. Spring 2007. V. 2. № 3. P. 50.

  10. Gao G.X. // CD ROM Stanford University PNT Symp. 2010.11.09.

  11. Шебшаевич В.С., Дмитриев П.П., Иванцевич Н.В. и др. Сетевые спутниковые радионавигационные системы. 2-е изд. М.: Радио и связь, 1993.

  12. Соловьев Ю.А. Системы спутниковой навигации. М.: Эко-Трендз, 2000.

  13. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966.

  14. Ярлыков М.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1980.

  15. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. М.: Радио и связь, 1993.

  16. Чердынцев В.А. Статистическая теория совмещенных радиотехнических систем. Минск: Высшая школа, 1980.

  17. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1991.

  18. Global Positioning Systems Directorate. Systems Engineering and Integration. Interface Specification IS – GPS – 200. – Navstar GPS Space Segment/Navigation User Interfaces, IS – GPS –200G, 05 September 2012.

  19. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Радио и связь, 1985.

  20. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. М.: Радио и связь, 1985.

  21. Ярлыков М.С., Ярлыкова С.М. // РЭ. 2006. Т. 51. № 8. С. 933.

  22. Ярлыков М.С., Шишкин В.Ю. // РЭ. 1992. Т. 37. № 2. С. 260.

  23. Яpлыкoвa C.M. // PЭ. 2003. T. 48. № 11. C. 1356.

  24. Ярлыков М.С., Ярлыкова С.М. // Радиотехника. 2004. № 7. С. 18.

Дополнительные материалы отсутствуют.