Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 2, стр. 162-173

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время успехи нанотехнологии позволяют создавать полупроводниковые наноструктуры, в которых линейные размеры 1D- или 2D-проводящего канала в направлении распространения электронной волны меньше длины свободного пробега электрона. В таком канале частицы движутся в баллистическом режиме, что позволяет экспериментально исследовать в данных структурах эффекты баллистического переноса, в частности, различные электронные интерференционные эффекты. Теоретические основы этих эффектов, а также анализ основных экспериментальных результатов в этой области, приведены в ряде монографий [1–3]. Существует большое число теоретических работ, посвященных исследованию баллистического переноса электронов в 1D- и 2D-наноструктурах, общей особенностью которых является наличие в квантовых каналах участков резкого (неадиабатического) изменения либо геометрии канала, либо потенциального рельефа в нем. Например, квантовый транспорт был теоретически исследован в 1D-каналах прямоугольного [4] и параболического [5] профилей, соединяющих два 2D-электронных резервуара, а также в квантовых точечных контактах различного типа, соединяющих такие резервуары [6], Т-образных каналах [7, 8], каналах с резкими изломами и каналах изогнутой формы [9–11], каналах с δ-образным рассеивающим центром внутри [12], скрещенных каналах [13], одиночных геометрически неоднородных каналах с участками разной ширины [14–17], геометрически однородных 1D- и 2D-наноструктурах с участками резкого изменения потенциального рельефа, управляемого поперечным постоянным электрическим полем [18]. Роль затухающих мод в квантовых точечных контактах была рассмотрена в [12, 19, 20]. Во всех этих работах принципиальным моментом является рассеяние электронных волн на какой-либо неоднородности наноструктуры, что, в свою очередь, приводит к рассеянию электронной волны по всем квантоворазмерным подзонам структуры и, как следствие, к возникновению электронных интерференционных эффектов. Во всех этих работах (а также в ряде других аналогичных по тематике) конечной целью являлось вычисление либо квантовомеханического коэффициента прохождения структуры, либо ее кондактанса. Так как при нахождении этих величин необходимо вычислить полный ток частиц в квантовом канале, что достигается интегрированием зависящей от координат плотности квантовомеханического тока по поперечному сечению канала, то пространственно-неоднородные эффекты для плотности квантовомеханического тока в таких работах не рассматривались. Возможность существования пространственно-неоднородных эффектов для плотности потока вероятности j_х(x, z) в полупроводниковой 2D-наноструктуре кратко обсуждалась ранее [21]. В дальнейшем мы более детально исследовали теоретически такие пространственно-неоднородные эффекты в полупроводниковых 1D- и 2D-наноструктурах различного типа. Мы показали, что в 1D- [22] и 2D-наноструктурах [23, 24], представляющих собой последовательно расположенные в направлении распространения электронной волны узкую и широкую по оси z квантовые ямы (КЯ), возможны эффекты пространственного повторения и мультипликации для j_х(x, z) (или квантовомеханической плотности тока ej_х(x, z)). Было показано, что для КЯ прямоугольного сечения (ось z – ось размерного квантования) поперечное распределение j_х(0, z), существующее на входе широкой КЯ, с определенной точностью воспроизводится на расстоянии Х₁ от входа (повторяемость) и расщепляется внутри каждого повторяющегося отрезка длины Х₁ в симметричной по оси z наноструктуре на q идентичных пиков в q раз меньшей интенсивности на расстоянии Х₁/q (мультипликация). При этом исходное распределение j_х(0, z) периодически воспроизводится в сечениях Х_p = pХ₁ (q и р – целые числа). Эти эффекты в широкой КЯ возникают из-за интерференции электронных волн, распространяющихся в ней одновременно по разным квантоворазмерным подзонам. В наноструктурах, состоящих из последовательно расположенных узкой прямоугольной КЯ и широкой КЯ параболического профиля в 1D- [25] и 2D-наноструктурах [26] эффекты повторяемости также присутствуют, но эффекты мультипликации выражены гораздо слабее по сравнению с широкой прямоугольной КЯ. Мы также исследовали влияние постоянного поперечного электрического поля в области широкой КЯ на эффекты повторяемости и мультипликации в таких наноструктурах и показали, что электрическое поле позволяет кардинально менять пространственное распределение j_х(x, z) [27‒31].

Основная цель данной работы – всестороннее теоретическое исследование влияния интерференции электронных волн на их отражение от прямоугольного полубесконечного потенциального барьера в полупроводниковой 2D-наноструктуре в случае, когда энергия падающей волны меньше высоты барьера. Полученные в этой работе результаты были частично и очень кратко изложены ранее в [32].

1. МОДЕЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ-НЕОДНОРОДНОЙ 2D-НАНОСТРУКТУРЫ

Структура состоит из последовательно расположенных в направлении распространения электронной волны прямоугольных узкой (x < 0, КЯ₁) и широкой (x > 0, КЯ₂) квантовых ям. Потенциальный барьер высоты V₀ находится в широкой КЯ₂ при x > 0 (рис. 1). Как известно [32], в обычной ситуации, когда в трехмерном случае электронная волна с энергией Е < V₀ падает на барьер по оси х, а движение по осям y и z свободно, квантовомеханические плотности тока $ej_{х}^{{\left( 1 \right)}}(x,y,z)$ при x < 0 и $ej_{х}^{{\left( 2 \right)}}(x,y,z)~$ под барьером при x > 0 равны нулю. Плотность вероятности нахождения частицы под барьером при этом отлична от нуля и экспоненциально спадает при х → ∞, а равенство нулю тока следует из действительности волновой функции частицы под барьером. Мы покажем, что в геометрически–неоднородных наноструктурах, в которых существуют квантово-размерные подзоны (КРП), ситуация кардинально меняется. Интерференция электронных волн, распространяющихся по этим подзонам, при определенных условиях может приводить к возникновению в таких наноструктурах пространственно-неоднородного распределения квантовомеханического тока.

В данной работе дано полное теоретическое описание эффекта отражения электронной волны от прямоугольного полубесконечного потенциального барьера в 2D-наноструктуре. Представлены результаты аналитического расчета для двух ситуаций. В первой ситуации предполагалось, что в КЯ₁ падение и отражение волны с действительным квазиимпульсом происходит только по одной (нижней) КРП. Во всех вышележащих КРП в КЯ₁, а также во всех подзонах в КЯ₂ квазиимпульсы мнимые. Вторая ситуация отличалась от первой только возможностью незатухающего отражения волны в КЯ₁ от барьера по второй подзоне с действительными квазиимпульсами. Мы показали, что в ситуации 1, когда электронная волна падает по первой (нижней) КРП в КЯ₁ и ее продольная энергия Е_x меньше энергетического положения дна второй подзоны в КЯ₁ (т.е. незатухающее распространение отраженной от барьера волны возможно только по этой же нижней подзоне в КЯ₁) квантовомеханические плотности тока $ej_{х}^{{\left( 1 \right)}}(x,z)$ при x < 0 в КЯ₁ и $ej_{х}^{{\left( 2 \right)}}(x,z)$ под барьером в КЯ₂ при x > 0 равны нулю. Однако в ситуации 2, когда энергия частицы, распространяющейся по нижней подзоне в КЯ₁, больше энергетического положения дна второй подзоны, из-за интерференции отраженных волн картина кардинально меняется. Возможность отражения волны при х → –∞ по второй подзоне приводит к возникновению в КЯ₁ осциллирующего сложным образом пространственно-неоднородного распределения $ej_{х}^{{\left( 1 \right)}}(x,z)$, а под барьером в КЯ₂ экспоненциально затухающего при х → ∞ и имеющего координатную зависимость $ej_{х}^{{\left( 2 \right)}}(x,z)$. Далее, мы приводим результаты численного расчета $ej_{х}^{{\left( 1 \right)}}(x,z)$ и $ej_{х}^{{\left( 2 \right)}}(x,z)$ для симметричной по оси z структуры (рис. 1) конкретными параметрами, полностью подтверждающие результаты аналитического рассмотрения.

2. ОБЩАЯ СХЕМА РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА ВЕРОЯТНОСТИ j_x(x, z)

Рассмотрим 2D-наноструктуру, состоящую из двух последовательно расположенных вдоль оси x квантовых ям: КЯ₁ с потенциалом U₁(z) (х < 0) и КЯ₂ c потенциалом U₂(z) (x > 0), локализующими частицу по оси z (нормаль к плоскостям ям). Будем также считать, что движение по оси y отделяется и является свободным, а потенциальная энергия частицы в пределах каждой из областей не зависит от x, меняясь скачком в точке сочленения ям (x = 0). Эффективные массы частиц m* будем считать изотропными и одинаковыми в обеих областях. Тогда уравнения Шредингера, описывающие движения частицы по оси z в каждой из областей, имеют вид

Здесь Е_j и Е_n – собственные значения, а χ_j(z) и φ_n(z) – собственные функции уравнений (1) и (2) соответственно в КЯ₁ и КЯ₂. Полная энергия частицы E = E_x,z + E_y, где E_y = ${{{{\hbar }^{2}}k_{y}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\hbar }^{2}}k_{y}^{2}} {2m{\text{*}}~}}} \right. \kern-0em} {2m{\text{*}}~}}$ – энергия, соответствующая свободному движению по оси y. Рассмотрим ситуацию, когда слева направо, из КЯ₁ по квантовой подзоне m в КЯ₂ распространяется монохроматическая электронная волна единичной амплитуды с действительным квазиимпульсом k_m. Будем считать, что квантовые ямы, локализующие частицу по оси z, имеют бесконечно высокие потенциальные барьеры, т.е. спектры энергий в обеих ямах в этом направлении полностью дискретны. В такой 2D-наноструктуре с произвольными U₁(z) и U₂(z) нас будет интересовать ситуация, когда энергия падающего электрона в КЯ₁ удовлетворяет условию Е_х < ΔU = U₂(z) – U₁(z), причем U₂(z) включает и дополнительный встроенный потенциал V₀. В этом случае в КЯ₁ существует конечное число М нижних подзон с действительными k, а все лежащие выше подзоны имеют мнимые волновые векторы. Тогда волновые функции частицы μ⁽¹⁾(x, z) и μ⁽²⁾(x, z) в каждой из областей по отдельности имеют вид

Здесь В_j и С_n – постоянные коэффициенты, определяющие соответственно амплитуды волн, отраженных в КЯ₁ по подзонам Е_j и прошедших в КЯ₂ по подзонам Е_n; k_j,m и $k_{n}^{'}$ – волновые числа, соответствующие движению частицы по оси х в этих областях:

Отражение и трансформация электронных волн в такой структуре происходят из-за скачкообразного изменения потенциала ΔU = U₂(z) – U₁(z) в точке х = 0. Отметим, что если Е – E_y > Е_j, Е_n, то k_j и $k_{n}^{'}$ действительны и соответствующие им волны являются распространяющимися; при обратном неравенстве – k_j и $k_{n}^{'}$ мнимые и волны являются затухающими, с характерными длинами затухания l_j = |k_j|^–1 и l_n = |$k_{n}^{'}$|^–1. Для рассматриваемых нами структур со ступенчатым переходом между КЯ₁ и КЯ₂ коэффициенты В_j и C_n определяются из системы уравнений, которая вытекает из граничных условий для волновых функций и их производных в точке x = 0:

Умножая слева уравнение (5) на $\varphi _{p}^{*}(z)$, а (6) на $\chi _{p}^{*}(z)$ (звездочка (*) – знак комплексного сопряжения) и интегрируя полученные выражения по z, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов В_j и C_n:

Здесь t_p,m = $\int {\varphi _{p}^{*}(} z){{\chi }_{m}}(z)dz$ и f_p,n = $\int {\chi _{p}^{*}} (z){{\varphi }_{n}}(z)dz$ – коэффициенты неортогональности собственных функций в КЯ₁ и КЯ₂. Отметим, что f_pm = $t_{{mp}}^{*},~$ а если собственные функции, как в нашем случае, вещественны, то f_pm = t_mp . Перепишем (7а) и (7б) с учетом этого обстоятельства:

Отметим, что в симметричных по оси z структурах, когда локализующие частицу потенциалы U₁(z) и U₂(z) в КЯ₁ и КЯ₂ удовлетворяют условиям U₁(z) = U₁(–z) и U₂(z) = U₂(–z) (точка z = 0 находится на оси симметрии структуры), собственные функции χ_i(z) и φ_n(z) в КЯ₁ и КЯ₂ можно классифицировать по четности. В этом случае коэффициенты неортогональности равны нулю для функций разной четности.

Расширенная матрица системы (8а), (8б) при учете N уровней, имеющая порядок 2 N (j, p = 1, ..., N; m принимает одно из значений от 1 до N), имеет вид

Решение системы (8а), (8б) для N учтенных уровней, как известно, имеет вид

Здесь D – определитель матрицы (9), а ${{D}_{j}}$ – определители, получающиеся из D после замены в нем j-столбца столбцом из свободных членов системы (8а), (8б).

В дальнейшем нас будут интересовать координатные зависимости $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ и $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ – плотности потока вероятности вдоль оси х соответственно в КЯ₁ и КЯ₂ (или $еj_{x}^{{(1)}}(x,z)$ и $еj_{x}^{{(2)}}(x,z)$ – компоненты плотности квантовомеханического тока вдоль оси х). Плотность потока вероятности [33] имеет вид

Подставляя волновые функции частицы (3)–(4) в (11), получим

В (12) мы оставили только члены, отличные от нуля и выделили в отдельную сумму члены с i = j, где эти индексы пробегают значения от 1 до М по всем подзонам с действительными квазиимпульсами. При этом очевидно, что члены с чисто мнимыми квазиимпульсами при i = j равны нулю. Также равны нулю члены в последних двух суммах при i = m и j = m. Таким образом, во второй сумме остаются только перекрестные члены. Выражение для $j_{x}^{{(2)}}(x,z),$ в котором суммирование ведется по индексам, соответствующим только мнимым $k_{n}^{'}$, имеет вид

При записи (12) и (13) мы сменили индексы суммирования j для (μ⁽¹⁾(x, z))* и n для (μ⁽²⁾(x, z))* на i и t соответственно и учли, что в рассматриваемой нами задаче волновые функции φ_n(z) и χ_j(z) действительны, что позволяет представить в (13) чисто мнимые $k_{n}^{'}$ в виде $k_{n}^{'} = ip_{n}^{'}$, где $p_{n}^{'} = \operatorname{Im} (k_{n}^{'})$, а комплексные коэффициенты C_n в виде ${{C}_{n}} = {{C}_{{n1}}} + i{{C}_{{n2}}}$, где ${{C}_{{n1}}} = \operatorname{Re} \left( {{{C}_{n}}} \right)$, ${{C}_{{n2}}} = \operatorname{Im} \left( {{{C}_{n}}} \right)$. Здесь Re(C_n), Im(C_n) и Im($k_{n}^{'}$) – реальная часть C_n и мнимые части C_n и $k_{n}^{'}$, соответственно. В (13) отсутствуют члены с n = t, которые равны нулю. Если в системе уравнений (8а), (8б) для определения коэффициентов B_i,j и C_n,t будут присутствовать при расчете подзоны с мнимыми k_i,j и $k_{{n,t}}^{'},$ то коэффициенты B_i,j и C_n,t будут комплексными. Таким образом, выражения (12), (13) совместно с найденными из решения уравнений (1), (2) собственными функциями χ_i(z) и φ_n(z), а также определенными из решения системы (8а), (8б) коэффициентами В_j и C_n дают полное решение задачи о распределении плотностей потоков вероятности $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ и $j_{x}^{{\left( 2 \right)}}(x,z)$ (или квантовомеханических плотностей токов) в рассматриваемой наноструктуре.

Отметим, что полный поток плотности вероятности вдоль оси x в КЯ₁$J_{x}^{{(1)}} = \int {j_{x}^{{(1)}}(x,z)dz} $ (а значит, и полный квантовомеханический ток) вследствие ортонормированности функций {χ_i(z)}, как следует из (12), не имеет координатной зависимости от х и равен

В (14) суммирование проводится по всем подзонам в КЯ₁ с действительными k_i, по которым происходит незатухающее распространение электронных волн. Отметим, что кондактанс структуры G также не зависит от х.

Из (13) вследствие ортонормированности функций {φ_n(z)} следует также, что в КЯ₂

Далее рассмотрим две ситуации.

Ситуация 1. Кинетическая энергия частицы E_х в КЯ₁ находится в интервале $E_{1}^{{(1)}} < {{E}_{x}} < E_{2}^{{(1)}}$ и меньше величины барьера V_эф в КЯ₂, т.е. E_х < V_эф (верхние индексы (1) означают принадлежность подзон к КЯ₁). При этом предполагается, что электронная волна падает по нижней квантоворазмерной подзоне в КЯ₁ (m = 1) и может отражаться от барьера без затухания только по этой же подзоне с действительным квазиимпульсом k₁, и в режиме затухания по всем остальным лежащим выше подзонам с энергиями $E_{i}^{{(1)}} > E_{1}^{{(1)}}~$ с чисто мнимыми квазиимпульсами. В КЯ₂ существуют только подзоны с чисто мнимыми квазиимпульсами. Покажем теперь, что в ситуации 1 под барьером в КЯ₂$j_{x}^{{\left( 2 \right)}}(x,z)$ = 0. Представим в (13) комплексные коэффициенты ${{C}_{t}}$ в виде ${{C}_{t}} = {{r}_{t}}\exp \left( {i{{\theta }_{t}}} \right)$.

Рассмотрим отношение

Так как ${{C}_{t}} = {{{{D}_{t}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{D}_{t}}} D}} \right. \kern-0em} D}$, то отношение ${{{{C}_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}_{n}}} {{{C}_{t}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{t}}}}$ = ${{{{D}_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{D}_{n}}} {{{D}_{t}}}}} \right. \kern-0em} {{{D}_{t}}}}$. Вычисляя определители ${{D}_{n}}$ получим

В (17) мы ввели обозначения $k_{{N + n}}^{'} = ip_{{N + n}}^{'}$, где $p_{{N + n}}^{'} = \operatorname{Im} \left( {k_{{N + n}}^{'}} \right).$Здесь ${{d}_{{N + n,N + 1}}}$ – минор элемента ${{a}_{{N + n,N + 1}}}$ в определителе (17), имеющий порядок (N – 1). В (17) все нижние (N – 1) строки определителя содержат только чисто мнимые квазиимпульсы. Поэтому из каждой строки можно вынести (i), так что ${{d}_{{N + n,N + 1}}} = {{(i)}^{{(N - 1)}}}{{c}_{n}}$, где ${{c}_{n}}$ – действительное число, т.е.

Так как ${{c}_{n}}$ – действительные числа, то отношение

также вещественное число. Поэтому, как следует из (16), разность фаз ${{C}_{n}} - {{C}_{t}} = \pi m$, где $m = 0, \pm 1,...$ Так как такие соотношения выполняются для любых пар коэффициентов ${{C}_{n}}$ и ${{C}_{t}}$ в (13) и (15), то в ситуации 1 в КЯ₂$j_{x}^{{(2)}}(x,z) = 0$. Мы вычислили также $j_{x}^{{(1)}}{\text{(}}x,{\text{ }}z{\text{)}}$ в ситуации 1 по формуле (12), представив коэффициенты ${{B}_{{i,j}}}$ в виде ${{B}_{{i,j}}} = \left| {{{B}_{{i,j}}}} \right|\exp (i{{\theta }_{{i,j}}})$, и показали, что в этой ситуации $j_{x}^{{(1)}}{\text{(}}x,{\text{ }}z{\text{) = 0}}$.

Ситуация 2. В этом случае ситуация кардинально меняется. Кинетическая энергия частицы в КЯ₁ находится в интервале $E_{2}^{{(1)}} < {{E}_{x}} < E_{3}^{{(1)}}$ и, как и в ситуации 1, меньше величины потенциального барьера V_эф в КЯ₂. В этом случае незатухающее распространение отраженной от барьера электронной волны возможно как по нижней, так и по второй подзоне в КЯ₁.

Рассмотрим сначала поведение в ситуации 2 плотности потока вероятности $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ в КЯ₂. Выражение для $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ в этом случае будет иметь такой же вид (13), (15), как и в ситуации 1. Ранее, при рассмотрении ситуации 1 мы, получая выражения (19) для определителей ${{D}_{{N + n}}},$ на последнем этапе расчета вынесли из миноров ${{d}_{{(N + n),(N + 1)}}}$ множители ${{(i)}^{{(N - 1)}}}$, так как квазиимпульс ${{k}_{2}}$ был чисто мнимым числом. В рассматриваемой сейчас ситуации 2 квазиимпульс ${{k}_{2}}$ – действительное число. Найдем в этой ситуации определитель${{D}_{{N + n}}}$ порядка 2N, разбив его на сумму двух определителей:

Во втором миноре в (19) введено обозначение $\bar {n} = N + n$. Так как в первом миноре $d_{{N + n,N + 1}}^{{(1)}}$ нижние (N – 2) строк, а во втором $d_{{N + n,N + 1}}^{{(2)}}$ нижние (N – 1) строк содержат чисто мнимые квазиимпульсы $k_{n}^{'} = i{\text{Im(}}k_{n}^{'}{\text{) = }}ip_{n}^{'}$, то в (19) мы вынесли общий множитель ${{(i)}^{{N - 2}}}$. В (19) все элементы определителей, а значит, и сами определители, вещественны, но детерминант D_N + n – комплексное число. Таким образом, в ситуации 2 отношение

является комплексным числом. Запишем (20) в виде

Представим (21) в виде (16):

Из (22) получаем

Таким образом, при наличии в КЯ₁ более чем одного уровня с действительными квазиимпульсами разность фаз в каждом из членов в суммах (13), (15) в КЯ₂ отлична от нуля, т.е. ${\text{в}}$ ситуации 2 под барьером в КЯ₂ плотность потока вероятности имеет вид $j_{x}^{{(2)}}(x,z) \ne 0$ и экспоненциально затухает при $x \to \infty $. В рассматриваемой ситуации каждой паре коэффициентов ${{C}_{n}},{{C}_{t}}$ в (13), (15) соответствует своя разность фаз ${{\Delta }_{{n,t}}} = \left( {{{\theta }_{n}} - {{\theta }_{t}}} \right)$. Поэтому при вычислении явного вида $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ в сумме по n,t суммируются члены с разными амплитудами и разными ${{\Delta }_{{n,t}}}$, отличными от нуля, для всех различных пар ${{C}_{n}},{{C}_{t}}$. Из полученного выше доказательства отличия от нуля $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ под барьером в КЯ₂ следует, что в КЯ₁ в ситуации 2 также $j_{x}^{{(1)}}(x,z) \ne 0$. В противном случае (при равенстве нулю $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$) было бы невозможно существование отличного от нуля $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ в КЯ₂ .

Запишем выражение для $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ в ситуации 2. Тогда квазиимпульсы $k_{1}^{{}}$ и $k_{2}^{{}}$ в КЯ₁ – вещественные, а все остальные – мнимые. Все квазиимпульсы в КЯ₂ – мнимые. Введя, как и раньше, обозначения ${{k}_{i}} = i{{p}_{i}}$, где ${{p}_{i}} = \operatorname{Im} ({{k}_{i}})$, и записав коэффициенты B_i в виде ${{B}_{i}} = {{r}_{i}}{\text{exp}}(i{{\theta }_{i}})$, можно представить в этой ситуации выражение для $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ в виде

где ${{q}_{{1,2}}} = \sqrt {k_{{1,2}}^{2} + p_{i}^{2}} $ и $\sin {{\varphi }_{{1,2}}} = {{{{k}_{{1,2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{k}_{{1,2}}}} {{{p}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{i}}}}$.

Отметим разное поведение членов в выражении (24) при $x \to - \infty $. Так, первый и второй члены в фигурных скобках не зависят от х. Члены, содержащие суммы по i, при $x \to - \infty $ осциллируют, экспоненциально затухая, а третий член в (24) имеет осцилляторный незатухающий характер при всех отрицательных значениях координаты х. Таким образом, в ситуации 2 $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ сложным образом осциллирует в КЯ₁. Причиной этого является интерференция электронных волн, отражающихся от барьера по двум нижним подзонам с действительными квазиимпульсами. Детальные распределения $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ и $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ можно получить только в результате численных расчетов. Результаты таких расчетов приведены ниже. Подчеркнем еще раз отличие фазовых соотношений для любых пар комплексных коэффициентов ${{B}_{i}},{{B}_{j}}$ и ${{C}_{n}},{{C}_{t}}$ в ситуации 1 от ситуации 2. При учете в ситуации 1 только одной подзоны с вещественным квазиимпульсом k₁ разности фаз для всех различных пар коэффициентов ${{C}_{n}},{{C}_{t}}$ в (15) одинаковы и имеют вид ${{\Delta }_{{n,t}}} = {{\theta }_{n}} - {{\theta }_{t}} = \pi m$, где $m = 0, \pm 1.$ Однако в ситуации 2 учет второй подзоны с вещественными $k_{2}^{{}}$ приводит к появлению в выражении (24) для $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ дополнительных членов, возникающих из-за интерференции электронных волн с вещественными $k_{1}^{{}}$и $k_{2}^{{}}$. Вследствие этого, у каждой пары коэффициентов ${{C}_{n}},{{C}_{t}}$ появляется своя, отличная от нуля, разность фаз ${{\Delta }_{{n,t}}}$, причем ${{\Delta }_{{n,t}}}$ для всех пар в КЯ₂ различны. В результате плотности потоков вероятности $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ в КЯ₁ и $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ в КЯ₂ становятся отличными от нуля.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА

Очевидно, что полностью реализовать схему расчета $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ и $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$, изложенную в предыдущем разделе, при учете большого числа квантоворазмерных подзон в КЯ₁ и КЯ₂ можно только с помощью численных методов. В этом разделе мы приводим результаты численного расчета влияния электронной интерференции на отражение электронной волны от полубесконечного прямоугольного потенциального барьера в полупроводниковой 2D-наноструктуре с конкретными параметрами. Мы рассмотрели задачу о рассеянии монохроматической электронной волны единичной амплитуды, распространяющейся по нижней квантоворазмерной подзоне (m = 1) из узкой прямоугольной КЯ₁ (x < 0; а = 150 Å) в широкую прямоугольную КЯ₂ (x > 0; А = 500 Å) в симметричной по оси z 2D-наноструктуре с параметрами GaAs (m* = 0.067m₀, m₀ – масса свободного электрона). Так как в таких симметричных структурах локализующие частицу потенциалы U₁(z) и U₂(z) в КЯ₁ и КЯ₂ удовлетворяют условиям U₁(z) = U₁(–z) и U₂(z) = U₂(–z) (точка z = 0 находится на оси симметрии структуры), то собственные функции χ_j(z) и φ_n(z) в КЯ₁ и КЯ₂ можно классифицировать по четности. В этом случае коэффициенты неортогональности этих функций ${{f}_{j}}_{{,n}} = \int {\chi _{j}^{*}(z){{\varphi }_{n}}(z)dz} $ равны нулю для функций разной четности. Это приводит к разбиению системы (8а), (8б) на две независимые подсистемы:

1) подсистему неоднородных линейных уравнений, содержащую только коэффициенты В_j и C_n с индексами той же четности, что и номер подзоны m, по которой волна падает из КЯ₁ на барьер в КЯ₂,

2) подсистему однородных линейных уравнений для коэффициентов В_j и C_n с индексами противоположной m четности.

Так как в определителе системы однородных уравнений нет линейно зависимых строк или столбцов, то этот определитель отличен от нуля, т.е. для рассматриваемого нами случая с m = 1 все коэффициенты В_j и C_n с четными j и n равны нулю. Это обстоятельство существенно уменьшает объем численных расчетов. При расчете предполагалось, что высота потенциального барьера в КЯ₂V₀ = 243 мэВ (рис. 1). Наличие такого барьера приводило фактически к изменению энергетического положения дна зоны проводимости в КЯ₂ до энергии $E_{c}^{{(2)}}$. Энергетическая диаграмма структуры приведена на рис. 2. Энергия частицы отсчитывается от дна зоны проводимости $E_{c}^{{(1)}}$ в КЯ₁. Минимумы энергий четырех нижних квантоворазмерных подзон находились в КЯ₁ при значении энергии

и в КЯ₂ при –

где $E_{{1 - 4}}^{{(A)}}$ – энергии четырех нижних уровней размерного квантования в КЯ₂, ширина которых А равнялась 2.25, 8.98, 20.21 и 35.92 мэВ соответственно. При этом эффективная высота потенциального барьера для частицы, падающей на барьер из КЯ₁, была равна V_эф = $E_{1}^{{\left( A \right)}}$ + V₀. Расчет был сделан для КЯ с бесконечно высокими потенциальными стенками. В рассматриваемом нами случае, когда энергия продольного движения падающей из КЯ₁ на барьер частицы E_x < V_эф, необходимо при расчете $j_{x}^{{\left( 2 \right)}}(x,z)$ использовать выражение (13), так как в КЯ₂ при таких E_x существуют только члены с мнимыми волновыми векторами $k_{{n,t}}^{'}$. Мы исследовали численно две рассмотренные выше ситуации, учитывая при расчете в каждой квантовой яме по 31-й подзоне.

Ситуация 1. Кинетическая энергия частицы E_x в КЯ₁ находилась в интервале $E_{1}^{{(1)}} < {{E}_{x}} < E_{2}^{{(1)}}$ и была меньше эффективной высоты барьера V_эф в КЯ₂, т.е. E_x < V_эф. В этой ситуации электронная волна падала по нижней квантоворазмерной подзоне в КЯ₁ (m = 1) и могла отражаться от барьера без затухания только по этой же подзоне с реальным k_х1, а в режиме затухания - по подзонам с мнимыми k_хj. Расчет подтвердил результаты проведенного выше теоретического анализа, что в ситуации 1 $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ = 0 и $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ = 0.

Ситуация 2. В этом случае ситуация кардинально меняется. Кинетическая энергия частицы в КЯ₁E_x = 245 мэВ находилась в интервале $E_{3}^{{(1)}} < {{E}_{x}} < E_{5}^{{(1)}}$ и, как и в ситуации 1, была меньше высоты эффективного потенциального барьера V_эф в КЯ₂ на 10.25 мэВ. В этом случае незатухающее распространение отраженной от барьера электронной волны было возможно как по нижней, так и по третьей подзоне в КЯ₁ (отражение по второй подзоне в КЯ₁ для рассматриваемой нами симметричной по оси z наноструктуры было запрещено правилами отбора). На рис. 3 приведен общий вид пространственно-неоднородного распределения плотностей потоков вероятностей $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ и $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ в рассматриваемой 2D-наноструктуре в интервале от х = 15 нм до х = –49 нм (рис. 3). На нем отчетливо видно, что в КЯ₁$j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ имеет сложную осцилляторную структуру, состоящую из пиков, в которых $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ > 0, и провалов, в которых $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ < 0. Проекции амплитуд $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ на плоскость (х,z = 0) в интервале от х = 0 до х = –49 нм приведены на рис. 4а и на плоскость (х = 0, z) в интервале z = ±a/2 – на рис. 4б. На рис. 5 приведен общий вид пространственно-неоднородного распределения плотности потока вероятности $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ в КЯ₂ в интервале от х = 15 нм до х = 0. Видно, что в ситуации 2 под барьером в КЯ₂ плотность потока вероятности $j_{x}^{{(2)}}(x,z)$ отлична от нуля и в КЯ₂ существуют три области, в которых квантовомеханический ток $еj_{x}^{{\left( 2 \right)}}\left( {x,z} \right)$ имеет координатную зависимость от x и z. Это центральная область, расположенная зеркально симметрично относительно плоскости (z–x), в которой ток $еj_{x}^{{\left( 2 \right)}}\left( {x,z} \right)$ направлен в положительном направлении оси х. И две симметрично расположенные по оси z боковые области, в которых ток $еj_{x}^{{\left( 2 \right)}}\left( {x,z} \right)$ направлен в противоположную сторону, в отрицательном направлении оси х. Очевидно, что наличие боковых областей с обратным направлением тока необходимо для обеспечения оттока заряда из-под барьера. Отсутствие таких областей привело бы к накоплению заряда под барьером. В этих трех областях амплитуда $еj_{x}^{{\left( 2 \right)}}\left( {x,z} \right)$ экспоненциально затухает при х → ∞. Разумеется, полный ток под барьером, полученный интегрированием по z выражения для $еj_{x}^{{\left( 2 \right)}}\left( {x,z} \right)$ (13), из-за ортогональности поперечных волновых функций для разных квантоворазмерных подзон в КЯ₂ равен нулю. На рис. 4 приведены кривые, демонстрирующие распределение по оси z под барьером в широкой КЯ₂ с параметрами GaAs нормированной плотности потока вероятности j_x(x, z)/j_x(0, 0) для шести поперечных сечений, последовательно расположенных по оси х в шести точках: X_1,2,3,4,5,6 = 0, 5, 10, 15, 20 и 30 Å. На рис. 5а представлена топограмма пространственного распределения под барьером в широкой КЯ₂ в плоскости (x-z) нормированной плотности потока вероятности ${{j_{x}^{ + }\left( {x,z} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{j_{x}^{ + }\left( {x,z} \right)} {{{j}_{x}}\left( {0,0} \right)}}} \right. \kern-0em} {{{j}_{x}}\left( {0,0} \right)}}$ (область 2) и (области 1 и 3).

Таким образом, в работе показано, что при энергии частицы меньше высоты потенциального барьера в рассмотренных 2D-наноструктурах интерференция электронных волн при определенных условиях приводит к подбарьерному просачиванию плотности квантовомеханического тока.

Очевидно, что если в наноструктуре в области x < 0 с помощью боковых электродов приложить по оси z постоянное электрическое поле, меняющее потенциальный профиль КЯ₁, то можно непрерывно перейти от ситуации 1, когда $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ = 0, к ситуации 2, когда $j_{x}^{{(1)}}(x,z)$ ≠ 0. Такой переход может быть обусловлен как понижением симметрии (включение второго уровня с действительным квазиимпульсом) при включении поля, так и изменением расстояния между размерными подзонами в КЯ₁.

В данной работе рассмотрена 2D-наноструктура с квантовыми ямами прямоугольного сечения и прямоугольным потенциальным барьером. Однако необходимо отметить, что рассмотренные эффекты носят общий характер и должны проявляться как в неоднородных по оси х 2D-наноструктурах с другими потенциальными профилями квантовых ям и потенциальных барьеров, так и в аналогичных 1D-наноструктурах. При этом единственным необходимым условием появления интерференционных эффектов является существование в КЯ₁, откуда на барьер падает электронная волна, как минимум двух квантоворазмерных подзон с действительными квазиимпульсами, что обеспечивает возникновение интерференции отражающихся от барьера волн.

В настоящее время существуют способы инжекции квазимоноэнергетических пучков электронов в 2D-наноструктурах. Так, например, в [34] был исследован баллистический электронный транспорт по минизонам в сверхрешетке на основе системы GaAlAs–GaAs путем инжекции в сверхрешетку пучков горячих электронов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в работе теоретический анализ и численный расчет показывают, что в полупроводниковых 2D-наноструктурах, геометрия и потенциальный рельеф которых обеспечивают существование в таких структурах электронных интерференционных эффектов, возможен новый эффект – возникновение пространственно-неоднородного распределения плотности квантовомеханического тока еj_x(x, z). Рассмотрена наноструктура, состоящая из последовательно расположенных в направлении распространения электронной волны узкой и широкой прямоугольных квантовых ям. Показано, что при энергии частицы меньше высоты потенциального барьера в такой наноструктуре при определенных условиях возможно возникновение осциллирующего пространственно-неоднородного распределения еj_x(x, z) в узкой квантовой яме и экспоненциально затухающее и имеющее координатную зависимость просачивание еj_x(x, z) под полубесконечный прямоугольный потенциальный барьер высотой V₀, созданный в широкой квантовой яме. Этот эффект обусловлен интерференцией электронных волн, распространяющихся по разным квантово-размерным подзонам в такой наноструктуре.