Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 4, стр. 339-344

ВВЕДЕНИЕ

Задача возбуждения электромагнитного поля диполем, расположенным на границах двух сред, анализировалась в ряде работ [1–5]. Исследования, начатые Зоммерфельдом, были дополнены Фоком, получившим аналитические решения, удобные для практического использования. В [2] было введено понятие “квазистационарное приближение” (волновое число в вакууме ${{k}_{0}} = 0$), в рамках которого решение задачи было представлено в виде модифицированных функций Бесселя. При этом обобщение на случай ${{k}_{0}} \ne 0$ имело вид разложения по параметру $q = {{\left( {k_{0}^{2} - k_{1}^{2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {k_{0}^{2} - k_{1}^{2}} \right)} {\left( {k_{0}^{2} + k_{1}^{2}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {k_{0}^{2} + k_{1}^{2}} \right)}}$, где ${{k}_{1}}$ – волновое число, относящееся к проводящему полупространству. В дальнейшем результаты и выводы, полученные в [2], использовались для обоснования многих работ, связанных с дистанционным электромагнитным зондированием глубинной структуры Земли [6, 7].

В практике генерации электромагнитного поля сверх- и крайне низкочастотного диапазона используют антенны с горизонтальным током [8, 9], возбуждающие поле, которое не обладает азимутальной симметрией. Это приводит к необходимости даже для изотропной среды определять две составляющие электрического вектор-потенциала.

Ниже рассмотрим возбуждение низкочастотного электромагнитного поля горизонтальным заземленным диполем с гармонической зависимостью от времени. Считаем, что Земля состоит из плоских слоев разной проводимости, расположенных друг над другом. В отличие от традиционного подхода при построении аналитического решения будем использовать малость параметра $\left| {{{{{k}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{k}_{0}}} {{{k}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{j}}}}} \right|$, где ${{k}_{j}}$ – волновое число в j-слое. Такое предположение является вполне естественным в свете реальной проводимости литосферы для частот $f < {{10}^{5}}$ Гц [4].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим возбуждение горизонтальным заземленным вибратором поля в плоской трехслойной среде. Одну среду будем считать практически вакуумом, а две другие – проводящими средами с различными значениями проводимости. Вибратор с током, меняющимся по монохроматическому закону exp(–iωt), где t – время, ω – циклическая частота, расположим на границе между вакуумом и проводящей областью. Для решения такой задачи можно использовать подход, описанный ранее [10], отличием от прежней работы будет отсутствие ионосферы и учет конечности ${{k}_{0}}$.

Введем декартову систему координат $\left( {x,y,z} \right)$ с центром в середине диполя, осью $Ox$, направленной вдоль диполя, осью $Oy$ – в перпендикулярном горизонтальном направлении, осью $Oz$ – перпендикулярной границе раздела. Тогда для электрического вектор-потенциала $\vec {A}$, относящегося к области над Землей $\left( {z \geqslant 0} \right)$, можно написать следующее представление:

где $\overrightarrow {{{e}_{x}}} $, $\overrightarrow {{{e}_{z}}} $ – орты, направленные вдоль осей $Ox$ и $Oy$, $i{{\nu }_{j}} = \sqrt {k_{j}^{2} - {{\lambda }^{2}}} = i\sqrt {\kappa _{j}^{2} + {{\lambda }^{2}}} $, $\operatorname{Re} {\text{\;}}{{\nu }_{j}} > 0$, $j = 0,1,2$ – указывает на среду, ${{\kappa }_{j}} = - i{{k}_{j}}$, ${{k}_{j}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c} \times $ $ \times \,\sqrt {{{{{\varepsilon }_{j}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{j}}} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}} + {{i{{\sigma }_{j}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i{{\sigma }_{j}}} {\left( {\omega {{\varepsilon }_{0}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {\omega {{\varepsilon }_{0}}} \right)}}} $ – волновое число в j-й среде, ${{\varepsilon }_{0}} \simeq {{{{{10}}^{{ - 9}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{10}}^{{ - 9}}}} {\left( {36\pi } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {36\pi } \right)}}$ Ф/м , ${{\varepsilon }_{j}}$ и ${{\sigma }_{j}}$ – диэлектрическая проницаемость и проводимость, $J{\Delta }x$ – момент тока, ${{J}_{0}}\left( {\lambda \rho } \right)$ – функция Бесселя первого рода, $\rho $ – расстояние между элементарным диполем и проекцией точки, в которой вычисляется потенциал, на плоскость $\left( {x,y,0} \right)$.

Коэффициенты ${{\alpha }_{0}}$ и ${{\eta }_{0}}$ находятся из граничных условий для потенциала. Для трехслойной среды получаем

где

$d$ – толщина первого слоя, примыкающего к вакууму.

Выражение для η₀ имеет более сложную структуру и может быть представлено для трехслойной среды в следующем виде:

где

Из формулы (2) следуют предельные соотношения. Для однородной Земли $d \to \infty $ или ${{k}_{1}} = {{k}_{2}}$

и приближение, справедливое для малых значений $\left| {{{k_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{0}^{2}} {{{k}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{j}}}}} \right| \ll 1$ $(j = 1,2$), имеет вид

Подстановка (4) в (1) показывает, что такое приближение эквивалентно выполнению в области $z \geqslant 0$ условия ${\text{div\;}}\vec {A} = 0$.

Магнитное поле $\vec {H}\left( {\rho ,z} \right)$ связано с вектором-потенциалом формулой $\vec {H} = {\text{rot\;}}\vec {A}$. Воспользовавшись соотношением (1), получаем

В качестве первого шага воспользуемся полученными результатами для обоснования возможности использования приближения $\left| {{{k_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{0}^{2}} {k_{1}^{2}}}} \right. \kern-0em} {k_{1}^{2}}}} \right| \ll 1$ при вычислении поля на границе двух сред.

2. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ ЗЕМЛИ

Подстановка в (5) выражения (3) для ${{\eta }_{0}}$ позволяет представить выражение для ${{H}_{x}}$-компоненты магнитного поля на границе раздела в следующем виде:

Здесь знак плюс указывает, что подходим к границе между вакуумом и проводящей средой сверху. Учитывая, что

выполним дифференцирование по y в формуле (6). В результате получим

где обозначено

Здесь ${{J}_{1}}\left( {\lambda \rho } \right)$ – функция Бесселя с индексом, равным единице. Если ввести безразмерные величины ${{r}_{1}} = \rho {{\kappa }_{1}}$, ${{r}_{0}} = \rho {{\kappa }_{0}}$, $s = \lambda \rho $ и ${{\tau }_{j}} = \sqrt {{{s}^{2}} + r_{j}^{2}} $, $j = \left( {0,1} \right)$, то в этих обозначениях ${{F}_{x}}$ можно записать следующим образом:

Пренебрегая членами, содержащими ${{r_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{r_{0}^{2}} {r_{1}^{2}}}} \right. \kern-0em} {r_{1}^{2}}} = $ $ = {{k_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{0}^{2}} {k_{1}^{2}}}} \right. \kern-0em} {k_{1}^{2}}}$, получим приближенную формулу для ${{F}_{x}}$, связанную с ${{H}_{x}}$ компонентой магнитного поля:

В отличие от функции ${{F}_{x}}$ для ${{\tilde {F}}_{x}}$ несложно найти аналитическое представление, выполнив интегрирование по $s$. Воспользовавшись схемой, предложенной в работе [2], после ряда преобразований можно получить

где ${{I}_{0}}$, ${{I}_{1}}$, ${{K}_{0}}$, ${{K}_{1}}$ – цилиндрические функции мнимого аргумента. Для квазистационарного приближения ${{r}_{0}} = 0$ и, соответственно,

Если ${{\left| {{{r}_{1}} \pm {{r}_{0}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{r}_{1}} \pm {{r}_{0}}} \right|} 2}} \right. \kern-0em} 2} \gg 1$, то имеет место асимптотическое представление:

т.е. функция, имеющая структуру волны в верхнем полупространстве, не зависящая от проводимости нижнего полупространства, определяемая расстоянием до точки наблюдения и частотой.

Оценим возможность замены функции F_x на ее приближение ${{\tilde {F}}_{x}}$ в сверхнизкочастотном и крайне низкочастотном (СНЧ-КНЧ) и более низкочастотном диапазоне. С этой целью выполним численные расчеты по формуле (8) и сравним их с результатами, определяемыми выражением (9). Результаты сравнения ${{F}_{x}}$ и ${{\tilde {F}}_{x}}$ удобно представить в виде зависимости от параметра $\left| {{{r}_{0}}} \right|$. При этом для рассматриваемого диапазона можно представить ${{r}_{1}}$ в следующем виде:

На рис. 1, 2 приведены результаты расчета модуля и фазы функций ${{F}_{x}}$, ${{\tilde {F}}_{x}}$ и $\left( {1 + {{r}_{0}}} \right)\exp {\text{\;}}( - {{r}_{0}})$. Значение ${{\sigma }_{1}}\rho = 6$ См близко к реальной ситуации в эксперименте FENIСS-2014 [10] при регистрации поля в обсерватории Ловозеро. Из графиков видно совпадение функций ${{F}_{x}}$ и ${{\tilde {F}}_{x}}$ во всем диапазоне изменения ${{r}_{0}}$.

Рис. 1.

Зависимость от безразмерного расстояния $\left| {{{r}_{0}}} \right|$ функции $\left| {{{F}_{x}}} \right|$ (1), аппроксимации $\left| {{{{\tilde {F}}}_{x}}} \right|$ (2) и функции $\left| {\left( {1 + {{r}_{0}}} \right)\exp ( - {{r}_{0}})} \right|$ (3) для горизонтального диполя на границе двух однородных сред.

Рис. 2.

Зависимость от безразмерного расстояния $\left| {{{r}_{0}}} \right|$ функции $\arg ({{F}_{x}})$ (1), аппроксимации $\arg ({{\tilde {F}}_{x}})$ (2) и функции $\arg (\left( {1 + {{r}_{0}}} \right)\exp ( - {{r}_{0}}))$ (3) для горизонтального диполя на границе двух однородных сред.

Следующий шаг – анализ ${{H}_{y}}\left( {\rho ,z} \right)$. Запишем эту компоненту магнитного поля в виде

где ${{F}_{x}}$ определена формулой (8), а

Выполняя интегрирование по $s$, получим

При совместном выполнении ограничений $\left| {{{{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{0}}} {{{r}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{1}}}}} \right| \ll 1$ и $\left| {{{\left( {{{r}_{1}} \pm {{r}_{0}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{r}_{1}} \pm {{r}_{0}}} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right| > 1$ формула (11) имеет асимптотическое представление, аналогичное ${{\tilde {F}}_{x}}:$

Подводя итог, можно сказать, что для однородного полупространства приближенные формулы, полученные в предположении $\left| {{{{{k}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{k}_{0}}} {{{k}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{1}}}}} \right| < 1$, достаточно полно описывают поведение поля и дают хорошее количественное согласие с точными формулами. Причиной такого совпадения являются осциллирующие функции Бесселя в подынтегральных выражениях, из-за которых вклад в интеграл областей с большими значениями переменной интегрирования мал. Поэтому в задаче со слоистой Землей возможен переход от точного выражения для ${{\eta }_{0}}$ к его приближению (3).

3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНОЙ МОДЕЛИ ЗЕМЛИ

Рассмотрим возбуждение горизонтальным диполем магнитного поля для модели Земли в виде двух слоев с различной проводимостью. Используя приближение $\left| {{{k_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{0}^{2}} {{{k}_{j}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{j}}}}} \right| \ll 1$, $j = 1,~2$, для низкочастотного диапазона из (5) с учетом (4) получим

Выполняя дифференцирование по $y$, находим

где

Для аналогии с (7) ввели коэффициент ${{\kappa }_{{{\text{эф}}}}}$. Выберем его так, а соответственно, и проводимость, чтобы ${{\tilde {F}}_{{{\text{эф}}}}}$ как при $d \to \infty $, $\left| {{{{{r}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{1}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right| > 1$, так и при $d \to 0$, $\left| {{{{{r}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right| > 1,$ совпадало с асимптотическим значением ${{\tilde {F}}_{x}}$, определяемым формулой (10). Если взять значение ${{\sigma }_{{{\text{эф}}}}}$, следующее из выражения для импеданса плоской волны для двухслойной среды [4]

то с учетом того, что ${{\kappa }_{{{\text{эф}}}}} = {{\left( {1 - i} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - i} \right)} {\sqrt 2 }}} \right. \kern-0em} {\sqrt 2 }}\sqrt {\omega {{\mu }_{0}}{{\sigma }_{{{\text{эф}}}}}} $, несложно показать справедливость высказанного требования.

Рассмотрим поведение функции ${{({{\tilde {F}}_{x}})}_{{{\text{эф}}}}}$ в случае конечной, не равной нулю, толщины первого слоя. На рис. 3 представлены результаты расчета модуля и фазы функции ${{({{\tilde {F}}_{x}})}_{{{\text{эф}}}}}$ для двухслойной модели Земли с проводимостью ${{\sigma }_{1}} = {{10}^{{ - 4}}}$ См/м, ${{\sigma }_{2}} = {{10}^{{ - 5}}}$ См/м и толщиной первого слоя $d = 12 \times {{10}^{3}}$ м. Для сравнения на этих графиках показаны значения функции (1 + r₀)exp(–r₀). Видим, что при $\left| {{{r}_{0}}} \right| > 8 \times {{10}^{{ - 2}}}$, функция ${{({{\tilde {F}}_{x}})}_{{{\text{эф}}}}}$ хорошо аппроксимируется этим выражением. Преобразуем (12) следующим образом

Рис. 3.

Сравнение функций $\left| {{{{({{{\tilde {F}}}_{x}})}}_{{{\text{эф}}}}}} \right|$ (1) и $\left| {\left( {1 + {{r}_{0}}} \right)\exp ( - {{r}_{0}})} \right|$ (2) при двухслойной среде под диполем.

При равенстве функций ${{({{\tilde {F}}_{x}})}_{{{\text{эф}}}}}$ и ${{\tilde {F}}_{x}}$ получаем

т.е. произведение отношения импедансов двухслойного и однородного полупространства и поля, возбуждаемого диполем, расположенным на границе между вакуумом и проводящей средой.

Для компоненты ${{H}_{y}}\left( {\rho ,0} \right)$ вычисления подобны сделанным для ${{H}_{x}}\left( {\rho ,0} \right)$. Так как второе слагаемое в (5) сводится к составляющей поля ${{H}_{x}}\left( {\rho ,0} \right)$, то рассмотрим ${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial z{{A}_{x}}}}} \right. \kern-0em} {\partial z{{A}_{x}}}}$. Для двухслойной среды представим в виде

где

На рис. 4 приведены результаты расчета модуля и фазы функций ${{({{F}_{y}})}_{{{\text{эф}}}}}$ и $\left( {1 + {{r}_{0}}} \right)\exp {\text{\;}}( - {{r}_{0}})$ с теми же параметрами, что и для рис. 3. Видим поведение ${{({{F}_{y}})}_{{{\text{эф}}}}}$ подобно ранее рассмотренному для ${{({{F}_{x}})}_{{{\text{эф}}}}}$. При этом ${{({{F}_{y}})}_{{{\text{эф}}}}}$ идентична $\left( {1 + {{r}_{0}}} \right)\exp {\text{\;}}( - {{r}_{0}})$ при $\left| {{{r}_{0}}} \right| > 8 \times {{10}^{{ - 2}}}$. Поэтому и составляющую ${{H}_{y}}\left( {\rho ,0} \right)$ можно записать аналогично (13), а значит, и для тангенциальной составляющей будет иметь место соотношение

Рис. 4.

Сравнение функций $\left| {{{{({{{\tilde {F}}}_{x}})}}_{{{\text{эф}}}}}} \right|$ (1) и $\left| {\left( {1 + {{r}_{0}}} \right)\exp ( - {{r}_{0}})} \right|$ (2) при двухслойной среде под диполем.

Такие же преобразования можно применить и к вертикальной составляющей магнитного поля. В результате можно прийти к следующему выражению:

На рис. 5 приведен результат сравнения ${{({{F}_{z}})}_{{{\text{эф}}}}}$ и $\left( {1 + {{r}_{0}}} \right)\exp {\text{\;}}( - {{r}_{0}})$. Видно, что с ростом $\left| {{{r}_{0}}} \right|$ происходит совпадение этих функций. Наличие $\kappa _{{{\text{эф}}}}^{2}$ в (15), в отличие от горизонтальных составляющих, где в определяющие их выражения входит ${{\kappa }_{{{\text{эф}}}}}$ в первой степени, указывает на большую чувствительность к проводимости среды вертикальной компоненты магнитного поля, что отмечалось и в экспериментальных данных [11].

Рис. 5.

Сравнение функций $\left| {{{{({{{\tilde {F}}}_{x}})}}_{{{\text{эф}}}}}} \right|$ (1) и $\left| {\left( {1 + {{r}_{0}}} \right)\exp ( - {{r}_{0}})} \right|$(2) при двухслойной среде под диполем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, решение задачи возбуждения электромагнитных волн горизонтальным диполем, расположенным на границе раздела между вакуумом и проводящей двухслойной средой, позволило оценить эффективность подхода к определению поля, опирающегося на малость длины волны в проводящей среде по сравнению с вакуумом. Сравнение численных расчетов по точным и приближенным формулам показало целесообразность такого подхода как в задаче с однородным полупространством, так и для слоистой среды.

Для расстояний от источника, превышающих величину скин-слоя любого из проводящих слоев, найдено асимптотическое представление для магнитного поля на границе раздела между плоскослоистой Землей и атмосферой, имеющее вид волны в однородном полупространстве с коэффициентом возбуждения, зависящим от эффективной проводимости нижнего полупространства.

Этот результат полезен для интерпретации данных экспериментов с активным источником, где известны параметры источника и геометрия эксперимента, а требуется определить электропроводность Земли. Используя формулу (14), легко перейти от поля диполя к полю реальной антенны. Результат интегрирования по длине антенны будет зависеть лишь от поля диполя, расположенного на границе двух сред.