Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 7, стр. 662-672

Взаимосвязь между вектором Пойнтинга и вектором групповой скорости электромагнитных волн в бигиротропной среде

Э. Г. Локк a*, А. В. Луговской a, С. В. Герус a

a Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
141196 Фрязино, Московской обл., пл. Введенского, 1, Российская Федерация

* E-mail: edwin@ms.ire.rssi.ru

Поступила в редакцию 29.07.2020
После доработки 10.02.2021
Принята к публикации 21.02.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Получены аналитические формулы для всех компонент высокочастотного поля, вектора Пойнтинга $\overrightarrow P $ и вектора групповой скорости $\overrightarrow U $ электромагнитных волн, которые распространяются в произвольном направлении в неограниченной бигиротропной среде, описываемой эрмитовыми тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей. Доказано, что соответствующие компоненты векторов $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ пропорциональны друг другу (и, следовательно, эти векторы параллельны), причем отношение этих компонент представляет собой объемную плотность энергии волны. Рассчитано изменение модуля и ориентации вектора $\overrightarrow U $ и ориентации вектора $\overrightarrow P $ в зависимости от ориентации волнового вектора для различных типов электромагнитных волн, распространяющихся в ферромагнитной среде (частном случае бигиротропной среды). Найдено, что векторы $\overrightarrow U $ и $\overrightarrow P $ всегда ориентированы одинаково для всех типов волн в ферромагнитной среде.

ВВЕДЕНИЕ

Исторически понятия “вектор групповой скорости” и “вектор Пойнтинга” возникли независимо друг от друга, причем оба этих понятия были введены в физику при описании волн в изотропных средах. Так, идея групповой скорости волны, отличающейся от фазовой скорости, впервые была предложена Гамильтоном в 1839 г., а позднее (поскольку эта идея осталась незамеченной) понятие о групповой скорости вновь было введено Стоксом и Рэлеем. Общее представление о потоке энергии в пространстве было введено в физику Умовым в 1874 г., а затем Пойнтинг в 1885 г. получил формулу для расчета потока электромагнитной энергии. В дальнейшем понятия вектора групповой скорости $\overrightarrow U $ и вектора Пойнтинга11 $\overrightarrow P $ стали использовать и для характеристики волн в анизотропных средах. Поскольку оба эти вектора были введены в физику независимо друг от друга, то при их использовании для характеристики волн в анизотропных средах необходимо было установить как их взаимную ориентацию, так и их ориентацию по отношению к направлению переноса энергии. В частности, для плоских волн в безграничной анизотропной среде в [1] было показано, что в отсутствие поглощения скорость переноса энергии равна групповой скорости, а в [2] – что в прозрачной немагнитной среде с симметричным тензором диэлектрической проницаемости векторы $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ нормальны поверхности волновых векторов. В дальнейшем на основе использованного в [2] подхода аналогичные результаты были получены для магнитостатических волн в различных ферритовых структурах [3] и для электромагнитных волн в безграничной бигиротропной среде, описываемой эрмитовыми тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей [4], а в работах [57] была исследована скорость переноса энергии волн в среде с положительной аномальной дисперсией и в среде с проводимостью.

Следует, однако, отметить, что поскольку в работах [24] фактически было доказано, что векторы $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ нормальны одной и той же поверхности (поверхности волновых векторов или изочастотной поверхности), то возникает вопрос: всегда ли эти векторы будут направлены одинаково или же существуют среды (условия), когда эти векторы могут быть направлены противоположно? Очевидно, что кроме анализа уравнений в векторной форме для сравнения ориентаций векторов $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ у волн с неколлинеарной ориентацией групповой и фазовой скоростей необходимо получить для них аналитические выражения в какой-нибудь анизотропной среде, причем при выводе данных выражений не следует использовать различные приближенные методы. Одной из наиболее подходящих анизотропных сред для такого исследования является бигиротропная среда (частными случаями которой являются плазма и ферромагнитная среда), в которой ранее уже исследовалось распространение электромагнитных волн на основе уравнений Максвелла (без магнитостатического приближения) [812].

Ниже, развивая исследования, изложенные в [8, 9, 12], получены аналитические выражения для векторов $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ электромагнитных волн, распространяющихся в произвольном направлении в бигиротропной среде, найдено отношение проекций этих векторов, проанализирован физический смысл этого отношения, а также рассчитаны ориентации этих векторов для безграничной ферромагнитной среды.

1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕОГРАНИЧЕННОЙ БИГИРОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Распространение электромагнитных волн в неограниченном бигиротропной среде уже исследовалось ранее (подробнее см. [8, гл. 5] и [9, гл. 5]). Напомним кратко основные соотношения, необходимые для намеченного исследования.

Пусть имеется бигиротропная среда, намагниченная до насыщения однородным постоянным магнитным полем ${{\vec {H}}_{{C0}}}$. Введем декартову систему координат ΣD = {x; y; z} так, чтобы ось z была направлена вдоль вектора ${{\vec {H}}_{{C0}}}$. В общем случае такую намагниченную бигиротропную среду можно охарактеризовать диэлектрической и магнитной проницаемостями, описываемыми эрмитовыми тензорами второго ранга $\overleftrightarrow {\mathbf{\varepsilon }}$ и $\overleftrightarrow {\mathbf{\mu }}$ :

(1)
${\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\mu } }} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mu &{i\nu }&0 \\ { - i\nu }&\mu &0 \\ 0&0&{{{\mu }_{{zz}}}} \end{array}} \right|,\,\,\,\,{\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\varepsilon } }} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \varepsilon &{ig}&0 \\ { - ig}&\varepsilon &0 \\ 0&0&{{{\varepsilon }_{{zz}}}} \end{array}} \right|.$

Электромагнитное поле с частотой ω, распространяющееся в данной среде и изменяющееся во времени по гармоническому закону ~exp(iωt), должно удовлетворять системе уравнений Максвелла для комплексных амплитуд:

(2)
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {rot\vec {E} + i\omega {{\vec {B}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\vec {B}} c}} \right. \kern-0em} c} = 0} \\ {div\vec {B} = 0} \\ {rot\vec {H} - i\omega {{\vec {D}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\vec {D}} c}} \right. \kern-0em} c} = 0} \\ {div\vec {D} = 0} \end{array},} \right.$

где c – скорость света в вакууме, $\vec {E}$ и $\vec {H}$ – комплексные амплитуды векторов напряженностей электрического и магнитного СВЧ-полей, а $\vec {D}$ и $\vec {B}$ – комплексные амплитуды векторов напряженностей электрической и магнитной СВЧ-индукций, которые связаны с $\vec {E}$ и $\vec {H}$ соотношениями

(3)
$\vec {D} = {\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\varepsilon } }}\vec {E}\,\,\,\,{\text{и}}\,\,\,\,\vec {B} = {\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\mu } }}\vec {H}.$

С учетом выражений (1) и (3) систему (2) можно записать в виде

(4)
$\frac{{\partial {{E}_{z}}}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {{E}_{y}}}}{{\partial z}} + i{{k}_{0}}\mu {{H}_{x}} - {{k}_{0}}\nu {{H}_{y}} = 0,$
(5)
$\frac{{\partial {{E}_{x}}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {{E}_{z}}}}{{\partial x}} + {{k}_{0}}\nu {{H}_{x}} + i{{k}_{0}}\mu {{H}_{y}} = 0,$
(6)
$\frac{{\partial {{E}_{y}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{E}_{x}}}}{{\partial y}} + i{{k}_{0}}\mu {}_{{zz}}{{H}_{z}} = 0,$
(7)
$\mu \left( {\frac{{\partial {{H}_{x}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{H}_{y}}}}{{\partial y}}} \right) + i\nu \left( {\frac{{\partial {{H}_{y}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{H}_{x}}}}{{\partial y}}} \right) + {{\mu }_{{zz}}}\frac{{\partial {{H}_{z}}}}{{\partial z}} = 0,$
(8)
$\frac{{\partial {{H}_{z}}}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {{H}_{y}}}}{{\partial z}} - i{{k}_{0}}\varepsilon {{E}_{x}} + {{k}_{0}}g{{E}_{y}} = 0,$
(9)
$\frac{{\partial {{H}_{x}}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {{H}_{z}}}}{{\partial x}} - {{k}_{0}}g{{E}_{x}} - i{{k}_{0}}\varepsilon {{E}_{y}} = 0,$
(10)
$\frac{{\partial {{H}_{y}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{H}_{x}}}}{{\partial y}} - i{{k}_{0}}\varepsilon {}_{{zz}}{{E}_{z}} = 0,$
(11)
$\varepsilon \left( {\frac{{\partial {{E}_{x}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{E}_{y}}}}{{\partial y}}} \right) + ig\left( {\frac{{\partial {{E}_{y}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{E}_{x}}}}{{\partial y}}} \right) + {{\varepsilon }_{{zz}}}\frac{{\partial {{E}_{z}}}}{{\partial z}} = 0,$

где k0= ω/c.

Из системы (4)–(11) можно получить два уравнения, содержащие лишь компоненты Ez и Hz. Действительно, продифференцируем уравнение (4) по y, а уравнение (5) – по x и вычтем полученные выражения:

(12)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{E}_{z}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{E}_{z}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} - \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial {{E}_{x}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{E}_{y}}}}{{\partial y}}} \right) - \\ - \,\,{{k}_{0}}\nu \left( {\frac{{\partial {{H}_{x}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{H}_{y}}}}{{\partial y}}} \right) - i{{k}_{0}}\mu \left( {\frac{{\partial {{H}_{y}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{H}_{x}}}}{{\partial y}}} \right) = 0. \\ \end{gathered} $

Продифференцируем также уравнение (8) по $y$, а уравнение (9) – по x и вычтем полученные выражения:

(13)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{H}_{z}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{H}_{z}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} - \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial {{H}_{x}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{H}_{y}}}}{{\partial y}}} \right) + \\ + \,\,{{k}_{0}}g\left( {\frac{{\partial {{E}_{x}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{E}_{y}}}}{{\partial y}}} \right) - i{{k}_{0}}\varepsilon \left( {\frac{{\partial {{E}_{y}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{E}_{x}}}}{{\partial y}}} \right) = 0. \\ \end{gathered} $

Третье слагаемое в (12) преобразуем с учетом выражения (11), а затем с учетом (6); четвертое слагаемое в (12) преобразуем с учетом выражения (7), а затем сложим его с пятым слагаемым в (12) и учтем (10). В итоге уравнение (12) примет вид

(14)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{E}_{z}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{E}_{z}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{\varepsilon }\frac{{{{\partial }^{2}}{{E}_{z}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + \\ + \,\,k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{{zz}}}{{\mu }_{ \bot }}{{E}_{z}} + {{k}_{0}}{{\mu }_{{zz}}}\left( {\frac{g}{\varepsilon } + \frac{\nu }{\mu }} \right)\frac{{\partial {{H}_{z}}}}{{\partial z}} = 0, \\ \end{gathered} $

где ${{\mu }_{ \bot }} = {{({{\mu }^{2}} - {{\nu }^{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{\mu }^{2}} - {{\nu }^{2}})} \mu }} \right. \kern-0em} \mu }$.

Теперь третье слагаемое в (13) преобразуем с учетом выражения (7), а затем с учетом (10). Четвертое слагаемое в (13) преобразуем с учетом выражения (11), а затем сложим его с пятым слагаемым в (13) и учтем (6). В итоге уравнение (13) примет вид

(15)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{H}_{z}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{H}_{z}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{\mu }_{{zz}}}}}{\mu }\frac{{{{\partial }^{2}}{{H}_{z}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + \\ + \,\,k_{0}^{2}{{\mu }_{{zz}}}{{\varepsilon }_{ \bot }}{{H}_{z}} - {{k}_{0}}{{\varepsilon }_{{zz}}}\left( {\frac{g}{\varepsilon } + \frac{\nu }{\mu }} \right)\frac{{\partial {{E}_{z}}}}{{\partial z}} = 0, \\ \end{gathered} $

где ${{\varepsilon }_{ \bot }} = {{({{\varepsilon }^{2}} - {{g}^{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{\varepsilon }^{2}} - {{g}^{2}})} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }$.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений, (14) и (15), содержащих лишь компоненты Ez и Hz. Будем искать решения этой системы в виде однородной плоской электромагнитной волны с волновым вектором $\overrightarrow k $, т.е. будем считать, что компоненты полей $\vec {E}$ и $\vec {H}$ (Ex Ey, Ez, Hx, Hy и Hz) изменяются в пространстве, как и во времени, по гармоническому закону:

(16)
$\begin{gathered} {{E}_{{x,y,z}}} = {{E}_{{x0,y0,z0}}}\exp ( - i{{k}_{x}}x - i{{k}_{y}}y - i{{k}_{z}}z)\,\,\,\,{\text{или}} \\ \vec {E} = {{{\vec {E}}}_{0}}\exp ( - i\vec {k}\vec {r}), \\ \end{gathered} $
(17)
$\begin{gathered} {{H}_{{x,y,z}}} = {{H}_{{x0,y0,z0}}}\exp ( - i{{k}_{x}}x - i{{k}_{y}}y - i{{k}_{z}}z)\,\,{\text{или}} \\ \vec {H} = {{{\vec {H}}}_{0}}\exp ( - i\vec {k}\vec {r}), \\ \end{gathered} $

где наряду с декартовой системой координат введена также сферическая система координат ΣS = = {r; φ; θ} в соответствии с соотношениями

$x = r{\kern 1pt} {\text{sin}}\theta {\kern 1pt} {\text{cos}}\varphi ,\,\,\,\,y = r{\kern 1pt} {\text{sin}}\theta \,{\text{sin}}\varphi ,\,\,\,\,z = r{\kern 1pt} {\text{cos}}\theta .$

Очевидно, что модуль k волнового вектора $\overrightarrow k $ и его компоненты kx, ky и kz также связаны соотношениями

причем ${{k}^{2}} = k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2} = k_{\varphi }^{2} + k_{z}^{2}$, где kφ – проекция вектора $\overrightarrow k $ на плоскость xy, т.е. $k_{\varphi }^{2} = $ $ = k_{x}^{2} + k_{y}^{2} = {{k}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta $. Подставляя выражения (16) и (17) в (14) и (15), получим систему уравнений

(18)
${{F}_{\nu }}{{E}_{{z0}}} + i{{\mu }_{{zz}}}{{F}_{{\nu g}}}{{H}_{{z0}}} = 0,$
(19)
${{F}_{g}}{{H}_{{z0}}} - i{{\varepsilon }_{{zz}}}{{F}_{{\nu g}}}{{E}_{{z0}}} = 0,$

где безразмерные функции Fν, Fg и Fνg в системах ΣD и ΣS имеют вид

(20)
$\begin{gathered} {{F}_{\nu }} = \frac{{k_{\varphi }^{2}}}{{k_{0}^{2}}} + \frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{\varepsilon }\frac{{k_{z}^{2}}}{{k_{0}^{2}}} - {{\varepsilon }_{{zz}}}{{\mu }_{ \bot }} = \\ = \frac{{{{k}^{2}}}}{{k_{0}^{2}}}\left( {{{{\sin }}^{2}}\theta + \frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{\varepsilon }{{{\cos }}^{2}}\theta } \right) - {{\varepsilon }_{{zz}}}{{\mu }_{ \bot }}, \\ \end{gathered} $
(21)
$\begin{gathered} {{F}_{g}} = \frac{{k_{\varphi }^{2}}}{{k_{0}^{2}}} + \frac{{{{\mu }_{{zz}}}}}{\mu }\frac{{k_{z}^{2}}}{{k_{0}^{2}}} - {{\mu }_{{zz}}}{{\varepsilon }_{ \bot }} = \\ = \frac{{{{k}^{2}}}}{{k_{0}^{2}}}\left( {{{{\sin }}^{2}}\theta + \frac{{{{\mu }_{{zz}}}}}{\mu }{{{\cos }}^{2}}\theta } \right) - {{\mu }_{{zz}}}{{\varepsilon }_{ \bot }}, \\ \end{gathered} $
(22)
${{F}_{{\nu g}}} = \frac{{{{k}_{z}}}}{{{{k}_{0}}}}\left( {\frac{g}{\varepsilon } + \frac{\nu }{\mu }} \right) = \frac{k}{{{{k}_{0}}}}\cos \theta \left( {\frac{g}{\varepsilon } + \frac{\nu }{\mu }} \right),$

причем обе недиагональные компоненты ν и g тензоров ${\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\varepsilon } }}$ и $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\mu } $ входят только в функцию Fνg, тогда как в функцию Fν входит только компонента ν, а в функцию Fg – только g.

Приравнивая отношения Hz0/Ez0, найденные из (18) и (19), получим дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в бигиротропной среде:

(23)
${{F}_{\nu }}{{F}_{g}} - {{\varepsilon }_{{zz}}}{{\mu }_{{zz}}}F_{{vg}}^{2} = 0\,\,\,\,{\text{или}}\,\,\,\,F(\omega ,\vec {k}) = 0.$

Перемножая Fν и Fg и находя $F_{{vg}}^{2}$ в (23) с учетом (20)–(22), получим следующее биквадратное уравнение22 относительно k/k0:

(24)
$\begin{gathered} \frac{{{{k}^{4}}}}{{k_{0}^{4}}}\left( {\frac{{{{{\sin }}^{2}}\theta }}{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}} + \frac{{{{{\cos }}^{2}}\theta }}{\varepsilon }} \right)\left( {\frac{{{{{\sin }}^{2}}\theta }}{{{{\mu }_{{zz}}}}} + \frac{{{{{\cos }}^{2}}\theta }}{\mu }} \right) - \frac{{{{k}^{2}}}}{{k_{0}^{2}}} \times \\ \times \,\,\left[ {{{{\sin }}^{2}}\theta \left( {\frac{{{{\varepsilon }_{ \bot }}}}{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}\, + \,\frac{{{{\mu }_{ \bot }}}}{{{{\mu }_{{zz}}}}}} \right)\, + \,2{{{\cos }}^{2}}\theta \left( {1\, + \,\frac{{g\nu }}{{\varepsilon \mu }}} \right)} \right]\, + \,{{\varepsilon }_{ \bot }}{{\mu }_{ \bot }} = 0. \\ \end{gathered} $

Выражения (23) и (24) представляют собой разные формы дисперсионного уравнения для электромагнитных волн в бигиротропной среде.

Дискриминант D уравнения (24) можно привести к виду

(25)
$\begin{gathered} D = {{\left[ {{{{\sin }}^{2}}\theta \left( {\frac{{{{\varepsilon }_{ \bot }}}}{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}} + \frac{{{{\mu }_{ \bot }}}}{{{{\mu }_{{zz}}}}}} \right) + 2{{{\cos }}^{2}}\theta \left( {1 + \frac{{g\nu }}{{\varepsilon \mu }}} \right)} \right]}^{2}} - \\ - \,\,4\left( {\frac{{{{{\sin }}^{2}}\theta }}{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}} + \frac{{{{{\cos }}^{2}}\theta }}{\varepsilon }} \right)\left( {\frac{{{{{\sin }}^{2}}\theta }}{{{{\mu }_{{zz}}}}} + \frac{{{{{\cos }}^{2}}\theta }}{\mu }} \right){{\varepsilon }_{ \bot }}{{\mu }_{ \bot }} = \\ = {{\sin }^{4}}\theta {{\left( {\frac{{{{\mu }_{ \bot }}}}{{{{\mu }_{{zz}}}}} - \frac{{{{\varepsilon }_{ \bot }}}}{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}} \right)}^{2}} + 4{{\cos }^{4}}\theta {{\left( {\frac{\nu }{\mu } + \frac{g}{\varepsilon }} \right)}^{2}} + \\ + \,\,4{{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta \left[ {\frac{{{{\varepsilon }_{ \bot }}{{\nu }^{2}}}}{{{{\varepsilon }_{{zz}}}{{\mu }^{2}}}} + \frac{{{{\mu }_{ \bot }}{{g}^{2}}}}{{{{\mu }_{{zz}}}{{\varepsilon }^{2}}}} + \frac{{\nu g}}{{\mu \varepsilon }}\left( {\frac{{{{\varepsilon }_{ \bot }}}}{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}} + \frac{{{{\mu }_{ \bot }}}}{{{{\mu }_{{zz}}}}}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $

из которого видно, что последнее слагаемое в (25) может быть отрицательным, поэтому необходимо проверять (исходя из конкретных зависимостей компонент тензоров $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\varepsilon } $ и $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {\mu } $), является ли величина D всегда положительной для конкретной исследуемой среды. Следует отметить, что в таких средах как плазма и ферромагнетик, где либо ν = 0, либо g = 0, выражение (25) существенно упрощается. Например, при g = 0 и ν ≠ 0, а также при g ≠ 0 и ν = 0 получим соответственно:

(26)
$D = {{\sin }^{4}}\theta {{\left( {\frac{{{{\mu }_{ \bot }}}}{{{{\mu }_{{zz}}}}} - 1} \right)}^{2}} + 4\frac{{{{\nu }^{2}}}}{{{{\mu }^{2}}}}{{\cos }^{2}}\theta ,$
(27)
$D = {{\sin }^{4}}\theta {{\left( {\frac{{{{\varepsilon }_{ \bot }}}}{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}} - 1} \right)}^{2}} + 4\frac{{{{g}^{2}}}}{{{{\varepsilon }^{2}}}}{{\cos }^{2}}\theta .$

Очевидно, что в (26) и (27) все слагаемые положительны и величина D не может принимать в этих случаях отрицательные значения.

2. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА ПОЙНТИНГА В БИГИРОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Запишем выражения для электрических и магнитных компонент ВЧ-поля через амплитуду одной из компонент – например, через амплитуду Ez0. Для компоненты Hz такое выражение можно записать непосредственно из соотношения (17):

(28)
$\begin{gathered} {{H}_{z}} = {{H}_{{z0}}}\exp ( - i{{k}_{x}}x - i{{k}_{y}}y - i{{k}_{z}}z) = \\ = i\frac{{{{F}_{\nu }}}}{{{{\mu }_{{zz}}}{{F}_{{\nu g}}}}}{{E}_{{z0}}}\exp ( - i{{k}_{x}}x - i{{k}_{y}}y - i{{k}_{z}}z). \\ \end{gathered} $

Выражения для остальных компонент ВЧ-поля получим, подставляя соотношения (16) и (17) в уравнения (4)(11), производя дифференцирование и помножив полученные выражения на i:

(29)
${{k}_{z}}{{E}_{{y0}}} - {{k}_{y}}{{E}_{{z0}}} + \mu {{k}_{0}}{{H}_{{x0}}} + i\nu {{k}_{0}}{{H}_{{y0}}} = 0,$
(30)
${{k}_{x}}{{E}_{{z0}}} - {{k}_{z}}{{E}_{{x0}}} - i\nu {{k}_{0}}{{H}_{{x0}}} + \mu {{k}_{0}}{{H}_{{y0}}} = 0,$
(31)
${{k}_{y}}{{E}_{{x0}}} - {{k}_{x}}{{E}_{{y0}}} + \mu {}_{{zz}}{{k}_{0}}{{H}_{{z0}}} = 0,$
(32)
$\begin{gathered} (\mu {{k}_{x}} - i\nu {{k}_{y}}){{H}_{{x0}}} + \\ + \,\,(\mu {{k}_{y}} + i\nu {{k}_{x}}){{H}_{{y0}}} + {{\mu }_{{zz}}}{{k}_{z}}{{H}_{{z0}}} = 0, \\ \end{gathered} $
(33)
${{k}_{z}}{{H}_{{y0}}} - {{k}_{y}}{{H}_{{z0}}} - \varepsilon {{k}_{0}}{{E}_{{x0}}} - ig{{k}_{0}}{{E}_{{y0}}} = 0,$
(34)
${{k}_{x}}{{H}_{{z0}}} - {{k}_{z}}{{H}_{{x0}}} + ig{{k}_{0}}{{E}_{{x0}}} - \varepsilon {{k}_{0}}{{E}_{{y0}}} = 0,$
(35)
${{k}_{y}}{{H}_{{x0}}} - {{k}_{x}}{{H}_{{y0}}} - \varepsilon {}_{{zz}}{{k}_{0}}{{E}_{{z0}}} = 0,$
(36)
$(\varepsilon {{k}_{x}} - ig{{k}_{y}}){{E}_{{x0}}} + (\varepsilon {{k}_{y}} + ig{{k}_{x}}){{E}_{{y0}}} + {{\varepsilon }_{{zz}}}{{k}_{z}}{{E}_{{z0}}} = 0.$

Помножим уравнение (36) на ky, а уравнение (31) – на (εkxigky) и вычтем полученные выражения (чтобы избавиться от слагаемых, содержащих компоненту Ex0), а затем из полученного уравнения найдем величину Ey0. Подставляя Ey0 в (16) и учитывая соотношения (18) и (28), получим

(37)
$\begin{gathered} {{E}_{y}} = \frac{{{{E}_{{z0}}}}}{{k_{\varphi }^{2}}}\left( {\frac{{g{{F}_{\nu }}}}{{\varepsilon {{F}_{{\nu g}}}}}{{k}_{y}}{{k}_{0}} - \frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{\varepsilon }{{k}_{y}}{{k}_{z}} + i\frac{{{{F}_{\nu }}}}{{{{F}_{{\nu g}}}}}{{k}_{x}}{{k}_{0}}} \right) \times \\ \times \,\,\exp ( - i{{k}_{x}}x - i{{k}_{y}}y - i{{k}_{z}}z). \\ \end{gathered} $

Аналогичным образом помножим уравнение (36) на kx, а уравнение (31) – на (εky + igkx) и сложим полученные выражения (чтобы избавиться от слагаемых, содержащих компоненту Ey0). В итоге, находя из полученного уравнения величину Ex0 и подставляя ее в (16), с учетом (18) и (28) имеем

(38)
$\begin{gathered} {{E}_{x}} = \frac{{{{E}_{{z0}}}}}{{k_{\varphi }^{2}}}\left( {\frac{{g{{F}_{\nu }}}}{{\varepsilon {{F}_{{\nu g}}}}}{{k}_{x}}{{k}_{0}} - \frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{\varepsilon }{{k}_{x}}{{k}_{z}} - i\frac{{{{F}_{\nu }}}}{{{{F}_{{\nu g}}}}}{{k}_{y}}{{k}_{0}}} \right) \times \\ \times \,\,\exp ( - i{{k}_{x}}x - i{{k}_{y}}y - i{{k}_{z}}z). \\ \end{gathered} $

Помножим уравнение (32) на ky, а уравнение (35) – на (μkxiνky) и вычтем полученные выражения (чтобы избавиться от слагаемых, содержащих компоненту Hx0). В итоге, находя из полученного уравнения величину Hy0 и подставляя ее в (17), с учетом (18) и (28) получим

(39)
$\begin{gathered} {{H}_{y}} = \frac{{{{E}_{{z0}}}}}{{k_{\varphi }^{2}}}\left( {i{{\varepsilon }_{{zz}}}\frac{\nu }{\mu }{{k}_{y}}{{k}_{0}} - i\frac{{{{F}_{\nu }}}}{{\mu {{F}_{{\nu g}}}}}{{k}_{y}}{{k}_{z}} - {{\varepsilon }_{{zz}}}{{k}_{x}}{{k}_{0}}} \right) \times \\ \times \,\,\exp ( - i{{k}_{x}}x - i{{k}_{y}}y - i{{k}_{z}}z). \\ \end{gathered} $

Помножим уравнение (31) на kx, а уравнение (34) – на (μky + iνkx) и сложим полученные выражения (чтобы избавиться от слагаемых, содержащих компоненту Hy0). В итоге, находя из полученного уравнения величину Hx0 и подставляя ее в (17), с учетом (18) и (28) имеем

(40)
$\begin{gathered} {{H}_{x}} = \frac{{{{E}_{{z0}}}}}{{k_{\varphi }^{2}}}\left( {i{{\varepsilon }_{{zz}}}\frac{\nu }{\mu }{{k}_{x}}{{k}_{0}} - i\frac{{{{F}_{\nu }}}}{{\mu {{F}_{{\nu g}}}}}{{k}_{x}}{{k}_{z}} + {{\varepsilon }_{{zz}}}{{k}_{y}}{{k}_{0}}} \right) \times \\ \times \,\,\exp ( - i{{k}_{x}}x - i{{k}_{y}}y - i{{k}_{z}}z). \\ \end{gathered} $

Итак, в формулах (28), (37)(40) все компоненты электромагнитного ВЧ-поля выражены через амплитуду Ez0.

Получим теперь выражения для компонент вектора Пойнтинга $\vec {P}$, который, как известно, определяется формулой

(41)
$\vec {P} = \frac{c}{{8\pi }}\operatorname{Re} \left[ {\vec {E}\vec {H}*} \right].$

Используя формулы (28), (37)(40) и учитывая, что k0= ω/c, для компонент вектора Пойнтинга получим следующие выражения:

(42)
$\begin{gathered} {{P}_{x}} = \frac{c}{{8\pi }}\operatorname{Re} \left( {{{E}_{y}}H_{z}^{*} - {{E}_{z}}H_{y}^{*}} \right) = \\ = {{k}_{x}}\frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}\omega E_{{z0}}^{2}}}{{8\pi {{F}_{g}}{{k}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\theta }}\left( {{{F}_{\nu }} + {{F}_{g}}} \right), \\ \end{gathered} $
(43)
$\begin{gathered} {{P}_{y}} = \frac{c}{{8\pi }}\operatorname{Re} \left( {{{E}_{z}}H_{x}^{*} - {{E}_{x}}H_{z}^{*}} \right) = \\ = {{k}_{y}}\frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}\omega E_{{z0}}^{2}}}{{8\pi {{F}_{g}}{{k}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\theta }}\left( {{{F}_{\nu }} + {{F}_{g}}} \right), \\ \end{gathered} $
(44)
$\begin{gathered} {{P}_{z}} = \frac{c}{{8\pi }}\operatorname{Re} \left( {{{E}_{x}}H_{y}^{*} - {{E}_{y}}H_{x}^{*}} \right) = \frac{{cE_{{z0}}^{2}}}{{8\pi k_{\varphi }^{4}}} \times \\ \times \,\,\left[ {\frac{{\varepsilon _{{zz}}^{2}}}{\varepsilon }k_{x}^{2}{{k}_{z}}{{k}_{0}} - \frac{{g{{F}_{\nu }}}}{{\varepsilon {{F}_{{\nu g}}}}}k_{x}^{2}k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{{zz}}} - \frac{{\nu {{F}_{\nu }}}}{{\mu {{F}_{{\nu g}}}}}k_{y}^{2}k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{{zz}}} + } \right. \\ + \,\,\frac{{F_{\nu }^{2}}}{{\mu F_{{\nu g}}^{2}}}k_{y}^{2}{{k}_{z}}{{k}_{0}} - \frac{{g{{F}_{\nu }}}}{{\varepsilon {{F}_{{\nu g}}}}}k_{y}^{2}k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{{zz}}} + \frac{{\varepsilon _{{zz}}^{2}}}{\varepsilon }k_{y}^{2}{{k}_{z}}{{k}_{0}} - \\ \left. { - \,\,\frac{{\nu {{F}_{\nu }}}}{{\mu {{F}_{{\nu g}}}}}k_{x}^{2}k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{{zz}}} + \frac{{F_{\nu }^{2}}}{{\mu F_{{\nu g}}^{2}}}k_{x}^{2}{{k}_{z}}{{k}_{0}}} \right] = \\ = \frac{{cE_{{z0}}^{2}{{k}_{0}}{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{{8\pi k_{\varphi }^{2}}}\left[ {{{k}_{z}}\left( {\frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{\varepsilon } + \frac{{{{\mu }_{{zz}}}{{F}_{\nu }}}}{{\mu {{F}_{g}}}}} \right) - \frac{{{{F}_{\nu }}}}{{{{F}_{{\nu g}}}}}{{k}_{0}}\left( {\frac{g}{\varepsilon } + \frac{\nu }{\mu }} \right)} \right] = \\ = {{k}_{z}}\frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}\omega E_{{z0}}^{2}}}{{8\pi {{F}_{g}}{{k}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\theta }} \times \\ \times \,\,\left[ {\frac{{{{\mu }_{{zz}}}}}{\mu }{{F}_{\nu }} + \frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{\varepsilon }{{F}_{g}} - {{\varepsilon }_{{zz}}}{{\mu }_{{zz}}}{{{\left( {\frac{g}{\varepsilon } + \frac{\nu }{\mu }} \right)}}^{2}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Выше при последнем преобразовании величины Pz использованы соотношения между величинами Fν, Fg и Fνg в соответствии с (23) и выражение (22).

3. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА ГРУППОВОЙ СКОРОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В БИГИРОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Прежде чем получить выражения для вектора групповой скорости и его компонент в бигиротропной среде, оговорим условия применимости этих выражений и самого термина групповая скорость. Как известно, групповая скорость – это скорость перемещения полезного сигнала, модулирующего синусоидальную волну (с более высокой частотой), при условии, что форма этого сигнала по мере распространения волны сохраняется. Очевидно, что это условие безоговорочно выполняется только в средах с линейной дисперсией. В диспергирующих же средах, к которым относится исследуемая бигиротропная среда и многие другие анизотропные (по отношению к распространению волн) среды, следует оговорить условия применимости понятия групповой скорости. Так, в работе [13] было предложено использовать понятие “групповая скорость” в таких средах лишь на некотором конечном расстоянии, на котором форма модулирующего сигнала практически не искажается, причем величина этого расстояния, очевидно, будет зависеть от дисперсионных характеристик конкретной среды. В частности, развивая представленный в [13] подход, в работе [14] было предложено оценивать это расстояние по формуле, включающей отношение первой производной и квадрата второй производной дисперсионной зависимости среды (см. [14, ур-ния (24) и (25)]).

Таким образом, учитывая степень кривизны дисперсионной зависимости, мы всегда можем выбрать расстояние, на котором при данных конкретных условиях (параметрах среды) можно использовать понятие групповой скорости. Очевидно также, что если ограничиться рассмотрением случаев, когда модулируемая волна распространяется на очень маленькое (бесконечно малое) расстояние, то тогда понятие групповой скорости можно использовать практически в любой среде. Поэтому можно считать, что приведенные ниже выражения для вектора групповой скорости и его компонент всегда справедливы при распространении электромагнитных волн в бигиротропной среде на малые расстояния.

При сформулированных условиях выражение для вектора групповой скорости волны $\vec {U}$, характеризующего величину скорости и направление перемещения группы волн, определяется выражением (см., например, [13, 15])

(45)
$\vec {U} = \frac{{d\omega }}{{d\vec {k}}} = {\text{gra}}{{{\text{d}}}_{{\overrightarrow k }}}\omega = \frac{{\partial \omega }}{{\partial {{k}_{x}}}}{{\vec {x}}_{0}} + \frac{{\partial \omega }}{{\partial {{k}_{y}}}}{{\vec {y}}_{0}} + \frac{{\partial \omega }}{{\partial {{k}_{z}}}}{{\vec {z}}_{0}},$

причем соотношение (45) справедливо не только для волны, являющейся суммой двух или нескольких синусоидальных волн, но и для волны, представляющей собой узкий квазимонохроматический волновой пакет с определенным набором частот и волновых чисел [13]. Как правило, при исследовании реальных сред или структур зависимость $\omega (\overrightarrow k )$ в явном виде можно получить лишь в редких случаях, тогда как вывести дисперсионное уравнение волны $F(\omega ,\overrightarrow k ) = 0$ удается гораздо чаще. Поэтому, используя правило дифференцирования неявной функции, выражение (45) можно записать в виде

(46)
$\begin{gathered} \vec {U} = - \frac{{{{\partial F} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial F} {d\overrightarrow k }}} \right. \kern-0em} {d\overrightarrow k }}}}{{{{\partial F} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial F} {\partial \omega }}} \right. \kern-0em} {\partial \omega }}}} = - {{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }}} \right)}^{{ - 1}}}{\text{gra}}{{{\text{d}}}_{{\overrightarrow k }}}F = \\ = - {{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }}} \right)}^{{ - 1}}}\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial {{k}_{x}}}}{{{\vec {x}}}_{0}} + \frac{{\partial F}}{{\partial {{k}_{y}}}}{{{\vec {y}}}_{0}} + \frac{{\partial F}}{{\partial {{k}_{z}}}}{{{\vec {z}}}_{0}}} \right), \\ \end{gathered} $

Выражение (46) удобно использовать при исследовании волн в анизотропных средах, где групповая скорость отличается от фазовой не только по величине, но и по направлению. Так, вектор $gra{{d}_{{\overrightarrow k }}}F$ определяет пространственную ориентацию вектора $\overrightarrow U $, а производная ∂F/∂ω – это число, которое (вместе с модулем вектора $gra{{d}_{{\overrightarrow k }}}F$) определяет модуль вектора $\overrightarrow U $.

При фиксированных параметрах среды и значении частоты дисперсионное уравнение принимает вид

$F(\overrightarrow k ) = F({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}) = 0$

и описывает поверхность волновых векторов или изочастотную поверхность. Семейство изочастотных поверхностей (или – в двумерном случае – изочастотных зависимостей), рассчитанных для различных фиксированных значений частоты, часто анализируется в работах по исследованию волн в анизотропных средах, поскольку вектор $gra{{d}_{{\overrightarrow k }}}F$ (а значит, и вектор $\overrightarrow U $) всегда направлен по нормали к изочастотным поверхностям или зависимостям (называемым в векторном анализе поверхностями или зависимостями уровня). Это свойство обычно используется для наглядного изображения вектора $\overrightarrow U $ (см., например, [15, 16]).

Вычислим теперь вектор групповой скорости $\overrightarrow U $ электромагнитных волн, распространяющихся в бигиротропной среде. Подставляя в (46) частные производные33 дисперсионного уравнения (23) по волновым числам, получим

(47)
${{U}_{x}} = - {{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }}} \right)}^{{ - 1}}}\frac{{\partial F}}{{\partial {{k}_{x}}}} = - 2\frac{{{{k}_{x}}}}{{k_{0}^{2}}}{{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }}} \right)}^{{ - 1}}}\left( {{{F}_{\nu }} + {{F}_{g}}} \right),$
(48)
${{U}_{y}} = - {{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }}} \right)}^{{ - 1}}}\frac{{\partial F}}{{\partial {{k}_{x}}}} = - 2\frac{{{{k}_{y}}}}{{k_{0}^{2}}}{{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }}} \right)}^{{ - 1}}}\left( {{{F}_{\nu }} + {{F}_{g}}} \right),$
(49)
$\begin{gathered} {{U}_{z}} = - {{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }}} \right)}^{{ - 1}}}\frac{{\partial F}}{{\partial {{k}_{z}}}} = \\ = - 2\frac{{{{k}_{z}}}}{{k_{0}^{2}}}{{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }}} \right)}^{{ - 1}}}\left[ {\frac{{{{\mu }_{{zz}}}}}{\mu }{{F}_{\nu }} + \frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{\varepsilon }{{F}_{g}} - {{\varepsilon }_{{zz}}}{{\mu }_{{zz}}}{{{\left( {\frac{g}{\varepsilon } + \frac{\nu }{\mu }} \right)}}^{2}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Производную ∂F/∂ω, входящую в соотношения (46)–(49), можно найти из дисперсионного уравнения (23). Предполагая, что компоненты εzz и μzz не зависят от частоты, и оставляя произвольными зависимости от частоты компонент ε, g, ${{\varepsilon }_{ \bot }}$,μ, ν и ${{\mu }_{ \bot }}$, получим следующее выражение:

(50)
$\begin{gathered} \frac{{\partial F}}{{\partial \omega }} = - \left( {2\frac{{k_{\varphi }^{2}}}{{\omega k_{0}^{2}}} + 2\frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{\varepsilon }\frac{{k_{z}^{2}}}{{\omega k_{0}^{2}}} + \frac{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}{{{{\varepsilon }^{2}}}}\frac{{k_{z}^{2}}}{{k_{0}^{2}}}\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial \omega }} + {{\varepsilon }_{{zz}}}\frac{{\partial {{\mu }_{ \bot }}}}{{\partial \omega }}} \right){{F}_{g}} - \hfill \\ - \,\,\left( {2\frac{{k_{\varphi }^{2}}}{{\omega k_{0}^{2}}} + 2\frac{{{{\mu }_{{zz}}}}}{\mu }\frac{{k_{z}^{2}}}{{\omega k_{0}^{2}}} + \frac{{{{\mu }_{{zz}}}}}{{{{\mu }^{2}}}}\frac{{k_{z}^{2}}}{{k_{0}^{2}}}\frac{{\partial \mu }}{{\partial \omega }} + {{\mu }_{{zz}}}\frac{{\partial {{\varepsilon }_{ \bot }}}}{{\partial \omega }}} \right){{F}_{\nu }} - \hfill \\ - \,\,2{{\varepsilon }_{{zz}}}{{\mu }_{{zz}}}\left[ {\frac{{{{k}_{z}}}}{{{{k}_{0}}}}\left( {\frac{{\partial \left( {{g \mathord{\left/ {\vphantom {g \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)}}{{\partial \omega }} + \frac{{\partial \left( {{\nu \mathord{\left/ {\vphantom {\nu \mu }} \right. \kern-0em} \mu }} \right)}}{{\partial \omega }}} \right) - \frac{{{{F}_{{\nu g}}}}}{\omega }} \right]{{F}_{{\nu g}}}. \hfill \\ \end{gathered} $

4. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОТНОШЕНИЯ МОДУЛЕЙ ВЕКТОРА ПОЙНТИНГА И ВЕКТОРА ГРУППОВОЙ СКОРОСТИ

Сравнивая выражения для компонент вектора Пойнтинга $\overrightarrow P $ (42)–(44) и выражения для компонент вектора $\overrightarrow U $ (47)–(49), видно, что соответствующие компоненты Px, Py, Pz и Ux, Uy, Uz пропорциональны друг другу, т.е.

(51)
$\begin{gathered} w = \frac{{{{P}_{x}}}}{{{{U}_{x}}}} = \frac{{{{P}_{y}}}}{{{{U}_{y}}}} = \frac{{{{P}_{z}}}}{{{{U}_{z}}}} = - \frac{{\omega k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{{zz}}}E_{{z0}}^{2}}}{{16\pi {{F}_{g}}{{k}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\theta }}\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }} = \\ = - \frac{{{{V}^{2}}}}{{{{c}^{2}}}}\frac{{f{{\varepsilon }_{{zz}}}E_{{z0}}^{2}}}{{8{{F}_{g}}{{{\sin }}^{2}}\theta }}\frac{{\partial F}}{{\partial \omega }}, \\ \end{gathered} $

где V = ω/k – модуль фазовой скорости волны.

Пропорциональность компонент Px, Py, Pz и Ux, Uy, Uz означает, что вектор Пойнтинга $\overrightarrow P $ и вектор групповой скорости $\overrightarrow U $ всегда параллельны. Однако параллельность векторов $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ в бигиротропной среде не означает, что эти векторы всегда направлены одинаково, поскольку, как видно из (51), коэффициент пропорциональности w в принципе может быть как положительным, так и отрицательным числом (величины ∂F/∂ω, Fν и Fg, по-видимому, могут быть как положительными, так и отрицательными). Очевидно, возникает вопрос, возможна ли в принципе такая ситуация, когда величина w будет отрицательной, и что это означает.

Для ответа на этот вопрос выясним физический смысл величины w. Очевидно, что пропорциональность компонент Px, Py, Pz и Ux, Uy, Uz в соответствии с (51) означает также, что

(52)
$\left| w \right| = {{\left| {\vec {P}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {\vec {P}} \right|} {\left| {\vec {U}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {\vec {U}} \right|}}.$

Поскольку модуль вектора Пойнтинга описывает энергию, проходящую за 1 с через единицу площади, а модуль вектора групповой скорости описывает расстояние, которое проходит эта энергия (в направлении, перпендикулярном единичной площади) за эту же секунду (и, следовательно, эта энергия равномерно распределена вдоль этого расстояния), то очевидно, что модуль величины w описывает объемную плотность энергии волны.

Возникает вопрос, как же следует интерпретировать знак, которым в соответствии с (51) обладает величина w. Рассуждая логически, мы должны сделать вывод, что, если векторы $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ направлены одинаково, то волна характеризуется положительной объемной плотностью энергии, а если эти векторы направлены противоположно, – отрицательной объемной плотностью энергии. Как видно, вопрос о взаимной ориентации векторов $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ сводится к вопросу о существовании волн с отрицательной объемной плотностью энергии, что в отличие от классической физики допускает квантовая физика [17, 18].

5. ОРИЕНТАЦИИ ВЕКТОРА ПОЙНТИНГА И ВЕКТОРА ГРУППОВОЙ СКОРОСТИ У ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ФЕРРОМАГНИТНОЙ СРЕДЕ

Попробуем выяснить взаимную ориентацию векторов $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ для электромагнитных волн, распространяющихся в неограниченной ферромагнитной среде, у которой диэлектрическая проницаемость – скаляр (εzz = ${{\varepsilon }_{ \bot }}$ = ε, g = 0), μzz = const, а компоненты μ и ν зависят от частоты следующим образом:

(53)
$\mu = 1 + \frac{{{{\omega }_{M}}{{\omega }_{H}}}}{{\omega _{H}^{2} - {{\omega }^{2}}}} = \frac{{\omega _{ \bot }^{2} - {{\omega }^{2}}}}{{\omega _{H}^{2} - {{\omega }^{2}}}},$
(54)
$\nu = \frac{{{{\omega }_{M}}\omega }}{{\omega _{H}^{2} - {{\omega }^{2}}}},$

где ωH= γHc0, ωM= 4γπMc0, $\omega _{ \bot }^{2} = {{\omega }_{H}}({{\omega }_{H}} + {{\omega }_{M}})$, γ – гиромагнитная постоянная, 4πMc0 – намагниченность насыщения феррита.

Дисперсионное уравнение, описывающее электромагнитные волны в неограниченной ферритовой среде, в соответствии с (23) примет вид

(55)
$F(\omega ,\vec {k}) = {{F}_{\nu }}{{F}_{g}} - {{\mu }_{{zz}}}\varepsilon \frac{{k_{z}^{2}{{\nu }^{2}}}}{{k_{0}^{2}{{\mu }^{2}}}} = 0.$

Полагая в (50) εzz = ${{\varepsilon }_{ \bot }}$ = ε = const и g = 0, получим выражение

(56)
$\begin{gathered} \frac{{\partial F}}{{\partial \omega }} = - \left( {2\frac{{k_{\varphi }^{2}}}{{\omega k_{0}^{2}}} + 2\frac{{k_{z}^{2}}}{{\omega k_{0}^{2}}} + \varepsilon \frac{{\partial {{\mu }_{ \bot }}}}{{\partial \omega }}} \right){{F}_{g}} - \\ - \,\,\left( {2\frac{{k_{\varphi }^{2}}}{{\omega k_{0}^{2}}} + 2\frac{{{{\mu }_{{zz}}}}}{\mu }\frac{{k_{z}^{2}}}{{\omega k_{0}^{2}}} + \frac{{{{\mu }_{{zz}}}}}{{{{\mu }^{2}}}}\frac{{k_{z}^{2}}}{{k_{0}^{2}}}\frac{{\partial \mu }}{{\partial \omega }}} \right){{F}_{\nu }} - \\ - \,\,2\varepsilon {{\mu }_{{zz}}}\frac{\nu }{\mu }\frac{{k_{z}^{2}}}{{k_{0}^{2}}}\left[ {\frac{{\partial \left( {{\nu \mathord{\left/ {\vphantom {\nu \mu }} \right. \kern-0em} \mu }} \right)}}{{\partial \omega }} - \frac{\nu }{{\mu \omega }}} \right]. \\ \end{gathered} $

Найдем производные величин μ, ${{\mu }_{ \bot }}$ и ν/μ по частоте, исходя из (53) и (54):

(57)
$\frac{{\partial \mu }}{{\partial \omega }} = 2\omega \frac{{\omega _{ \bot }^{2} - \omega _{H}^{2}}}{{{{{(\omega _{H}^{2} - {{\omega }^{2}})}}^{2}}}} = \frac{{2\omega {{\omega }_{M}}{{\omega }_{H}}}}{{{{{(\omega _{H}^{2} - {{\omega }^{2}})}}^{2}}}},$
(58)
$\frac{{\partial {{\mu }_{ \bot }}}}{{\partial \omega }} = 2\omega {{\omega }_{M}}\frac{{{{\omega }_{H}} + {{\omega }_{M}}}}{{{{{(\omega _{ \bot }^{2} - {{\omega }^{2}})}}^{2}}}} = \frac{{2\omega {{\omega }_{M}}\omega _{ \bot }^{2}}}{{{{\omega }_{H}}{{{(\omega _{ \bot }^{2} - {{\omega }^{2}})}}^{2}}}},$
(59)
$\frac{{\partial ({\nu \mathord{\left/ {\vphantom {\nu \mu }} \right. \kern-0em} \mu })}}{{\partial \omega }} = {{\omega }_{M}}\frac{{\omega _{ \bot }^{2} + {{\omega }^{2}}}}{{{{{(\omega _{ \bot }^{2} - {{\omega }^{2}})}}^{2}}}}.$

Из формул (57)–(59) видно, что производные величин μ, ${{\mu }_{ \bot }}$ и ν/μ по частоте всегда являются положительными числами.

Прежде чем проводить расчеты, напомним, что недавно в работе [12] исследовались изочастотные поверхности и их сечения (изочастотные зависимости) для электромагнитных волн в неограниченной ферромагнитной среде. В частности, как видно из [12], можно считать, что все изочастотные поверхности этих волн образованы путем вращения соответствующих изочастотных зависимостей44 вокруг оси z (см. [12, рис. 1 и 2]). Таким образом, не обязательно исследовать характеристики волны (например, ориентации и модули векторов $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $) в каждой точке изочастотной поверхности – достаточно рассмотреть эти характеристики только для точек изочастотной зависимости, которая является сечением этой поверхности любой плоскостью, проходящей через ось z. В частности, ниже при проведении расчетов в качестве такой плоскости использована плоскость xz. Отметим, что кроме изочастотной зависимости kx(kz) в плоскости xz также лежат произвольный волновой вектор $\overrightarrow k $, направленный в любую точку этой зависимости, вектор групповой скорости $\overrightarrow U $, исходящий из этой точки, и вектор Пойнтинга $\overrightarrow P $, параллельный вектору $\overrightarrow U $ в соответствии с (51). Таким образом, не теряя общности рассуждений, вместо трехмерного анализа можно проводить двумерный анализ характеристик волн в плоскости xz, полагая при этом Py = Uy = 0.

Рис. 1.

Модуль U вектора групповой скорости (а), а также ориентации ψU и ψP вектора групповой скорости и вектора Пойнтинга (б) в зависимости от ориентации θ' волнового вектора для нерезонансных волн в неограниченном ферромагнитном пространстве при f = 0.3 (1), 0.8 (2), 1.8 (3), 6 (4), и 20 ГГц (5); на вставке – изочастотные зависимости для kx > 0 при f = 0.3 (1), 0.8 (2), 1.8 (3).

Рис. 2.

Модуль U вектора групповой скорости (а), а также ориентации ψU и ψP вектора групповой скорости и вектора Пойнтинга (б) в зависимости от ориентации θ' волнового вектора для пострезонансных волн в неограниченном ферромагнитном пространстве при f = 6 (1), 7 (2), 10 (3) и 20 ГГц (4); на вставке – изочастотные зависимости для kx > 0 при f = 6 (1), 7 (2), 10 (3).

Отметим, что при расчетах углы, определяющие ориентации векторов $\overrightarrow k $, $\overrightarrow U $ и $\overrightarrow P $, удобнее отсчитывать55 от оси x, а не от оси z. Поэтому введем угол θ', определяющий ориентацию вектора $\overrightarrow k $ относительно оси x, причем угол θ' и введенный ранее угол θ будут связаны простым соотношением

(60)
$\theta {\kern 1pt} ' = \theta + 90^\circ .$

Теперь, подставляя выражения (57)–(59) в (56), а (56) в (47)–(49), можно найти модуль вектора групповой скорости

(61)
$U = \sqrt {U_{x}^{2} + U_{y}^{2} + U_{z}^{2}} $

и угол, определяющий ориентацию вектора $\overrightarrow U $ относительно оси x,

(62)
${{\psi }_{U}} = \arcsin ({{{{U}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{z}}} U}} \right. \kern-0em} U}).$

Точно также можно найти модуль вектора Пойнтинга

(63)
$P = \sqrt {P_{x}^{2} + P_{y}^{2} + P_{z}^{2}} $

и угол, определяющий ориентацию вектора $\overrightarrow P $ относительно оси x,

(64)
${{\psi }_{P}} = \arcsin ({{{{P}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{P}_{z}}} P}} \right. \kern-0em} P}).$

Изменение величины U и углов ψU и ψP в зависимости от ориентации θ' волнового вектора $\overrightarrow k $ для нерезонансной, пострезонансной и спиновой волн, распространяющихся в ферромагнитной среде, представлены66 соответственно на рис. 1–3, а на вставках к рис. 1, 2 и на рис. 4 показаны соответствующие изочастотные зависимости для положительных значений kx. Отсчет углов ψP, ψU и θ' на рис. 1–4 производился относительно оси x (или kx). При расчетах использованы следующие параметры среды: Hc0 = 300 Э, ε = 15 и 4πMc0= = 1750 Гс (что соответствует железо-иттриевому гранату).

Рис. 3.

Модуль U вектора групповой скорости (а) и ориентации ψU и ψP вектора групповой скорости и вектора Пойнтинга (б) в зависимости от ориентации θ' волнового вектора для спиновых волн при f = 300, 550, 800, 1050, 1300, 1550, 1770, 1915 и 2050 МГц (кривые 19 соответственно); значения ψU и ψP, лежащие на прямых 10 и 11, соответствуют бесконечно большой величине волнового числа k (для тех частот, у которых изочастотные зависимости имеют асимптоты).

Рис. 4.

Изочастотные зависимости спиновых волн (для полуплоскости kx > 0) при f = 300, 550, 800, 1050, 1300, 1550, 1770, 1915 и 2050 МГц (кривые 19 соответственно); показаны произвольный волновой вектор $\overrightarrow k $, соответствующий вектор групповой скорости $\overrightarrow U $, а также условные противоположно направленный вектор $\overrightarrow R $ и симметричный ему вектор $\overrightarrow Q $, такие, при которых выполняются соотношения U = R = Q, Ux = = Qx = –Rx, Uz = –Qz = –Rz; также показаны углы θ', ψU, ψR и ψQ, определяющие, соответственно, ориентации векторов $\overrightarrow k $, $\overrightarrow U $, $\overrightarrow R $ и $\overrightarrow Q $.

Как видно из рис. 1б, 2б и 3б, углы ψU и ψPсовпадают для всех типов электромагнитных волн в ферромагнитной среде.

Отметим, что использование для расчета углов ψU и ψP формул (62) и (64), содержащим функцию арксинус, обусловлено тем, что при вычислении этих углов по формулам ${{\psi }_{U}} = \operatorname{arctg} ({{{{U}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{z}}} {{{U}_{x}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{x}}}})$ и ${{\psi }_{P}} = \operatorname{arctg} ({{{{P}_{z}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{P}_{z}}} {{{P}_{x}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{x}}}})$ для противоположно направленных векторов будут получены одинаковые значения углов (из-за одновременной смены знака обеих проекций у противоположно направленного условного вектора $\overrightarrow R $), что поясняют построения на рис. 4. Более того, поскольку область значений функции арксинус также ограничена интервалом –90…+90°, то и при вычислении углов ψU и ψP по формулам (62) и (64) для противоположно направленного условного вектора $\overrightarrow R $ будет получена неверная ориентация (ψQ вместо ψR, так как Qz = Rz (см. рис. 4)). Поэтому значения углов ψU и ψP, полученные по формулам (62) и (64), дополнительно проверяли на основе сравнения знаков одинаковых проекций векторов $\overrightarrow U $ и $\overrightarrow P $ (Ux и Px, а также Uz и Pz), и в итоге можно утверждать, что ориентации ψUи ψP векторов $\overrightarrow U $ и $\overrightarrow P $ для всех типов электромагнитных волн в ферромагнитной среде всегда совпадают.

Отметим, что одинаковая ориентация векторов $\overrightarrow U $ и $\overrightarrow P $, характерная для всех типов электромагнитных волн в ферромагнитной среде, по-видимому, обусловлена определенными причинно-следственными условиями, накладываемыми на изменение компонент магнитной проницаемости в зависимости от частоты, в частности, положительными значениями производных (57)–(59) (подробнее об этом см. [2, §80 и 84]). В то же время вопрос о взаимной ориентации векторов $\overrightarrow U $ и $\overrightarrow P $ в других, более сложных средах, в частности, в средах с потерями, остается пока открытым.

Анализируя зависимости ψU(θ') и ψP(θ') на рис. 1–3, отметим, что углы ψU и ψP изменяются в диапазоне значений –90…+90° для спиновых волн в интервале частот ω < ωH, а также для нерезонансных и пострезонансных волн, т.е. когда изочастотная зависимость волны является замкнутой кривой. Если же изочастотные кривые являются незамкнутыми, что имеет место для спиновой волны при ${{\omega }_{H}} < {\text{ }}\omega {\text{ }} < {\text{ }}{{\omega }_{ \bot }}$ (см. рис. 4, кривые 49), то распространение волн характеризуется наличием углов отсечки волнового вектора $\theta _{{k1}}^{'}$ и $\theta _{{k2}}^{'}$, определяемых в [12, выражения (17)], а также наличием углов отсечки ψU1, ψU2 и ψP1, ψP2 у векторов $\overrightarrow U $ и $\overrightarrow P $, причем зависимости ψU1($\theta _{{k1}}^{'}$), ψP1($\theta _{{k1}}^{'}$) и ψU2($\theta _{{k2}}^{'}$), ψP2($\theta _{{k2}}^{'}$) описывают, соответственно, прямые 10 и 11 на рис. 4.

Характеризуя зависимости U(θ') на рис. 1–3, отметим, что интервалы углов θ', где величина U практически постоянна, соответствуют участкам изочастотных зависимостей, которые достаточно хорошо аппроксимирует окружность, при этом неважно, где будет находиться центр этой окружности (ср., например, рис. 3а и 4, кривые 8).

Следует отметить, что полученные выше выражения для вектора Пойнтинга, вектора групповой скорости и компонент электромагнитного поля, наряду с дисперсионным уравнением для электромагнитных волн в бигиротропной среде [9, 12] открывают хорошие перспективы для дальнейшего исследования поляризации этих волн, влияния диссипации на их характеристики и т.п., что позволит получить более точное представление о волновых процессах, происходящих в реальных анизотропных средах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе системы уравнений Максвелла описано распространение электромагнитных волн с произвольно ориентированным волновым вектором в бигиротропной среде, характеризующейся эрмитовыми тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей второго ранга. Получены аналитические формулы для всех компонент электромагнитного поля, вектора Пойнтинга $\overrightarrow P $ и вектора групповой скорости $\overrightarrow U $ исследуемых волн. Найдено, что соответствующие компоненты векторов $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $Px, Py, Pz и Ux, Uy, Uz – пропорциональны друг другу, причем отношение этих компонент представляет собой объемную плотность энергии электромагнитной волны w. Рассчитаны модуль и ориентация вектора $\overrightarrow U $, а также ориентация вектора $\overrightarrow P $ в зависимости от ориентации волнового вектора $\overrightarrow k $ для нерезонансных, пострезонансных и спиновых волн, распространяющихся в неограниченной ферромагнитной среде (частном случае бигиротропной среды). Найдено, что векторы $\overrightarrow P $ и $\overrightarrow U $ всегда ориентированы одинаково для всех перечисленных типов волн. Обнаружено, что участкам изочастотных зависимостей волн, которые по форме близки к окружности, соответствуют практически постоянные значения величины U.

Список литературы

  1. Агранович В.М., Гинзбург В.Л. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. М.: Наука, 1979.

  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

  3. Вугальтер Г.А. // ЖТФ. 1989. Т. 59. № 8. С. 92.

  4. Локк Э.Г., Герус С.В., Анненков А.Ю. // Изв. РАН. Сер. физ. 2020. Т. 84. № 5. С. 731.

  5. Давидович М.В. // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32. Вып. 22. С. 53.

  6. Давидович М.В. // ЖТФ. 2010. Т. 80. № 5. С. 40.

  7. Давидович М.В. // Успехи физ. наук. 2010. Т. 180. № 6. С. 623.

  8. Гуревич А.Г. Ферриты на сверхвысоких частотах. М.: Физматгиз, 1960.

  9. Гуревич А.Г., Мелков Г.А., Магнитные колебания и волны. М.: Наука, 1994.

  10. Зубков В.И., Щеглов В.И. // РЭ. 2002. Т. 47. № 9. С. 1101.

  11. Зубков В.И., Щеглов В.И. // РЭ. 2003. Т. 48. № 10. С. 1186.

  12. Лoкк Э.Г. // PЭ. 2017. T. 62. № 3. C. 259.

  13. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука, 1972.

  14. Локк Э.Г. // Изв. РАН. Сер. физ. 2018. Т. 82. № 8. С. 1080.

  15. Вашковский А.В., Стальмахов В.С., Шараевский Ю.П. Магнитостатические волны в электронике сверхвысоких частот. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1993.

  16. Локк Э.Г. // Успехи физ. наук. 2008. Т. 178. № 4. С. 397.

  17. П.А.М. Дирак. Воспоминания о необычной эпохе. М.: Наука, 1990.

  18. Де Бройль Л. Революция в физике. М.: Атомиздат, 1965.

Дополнительные материалы отсутствуют.