Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 7, стр. 703-716

Геометризованные модели сплошного осесимметричного и плоскосимметричного релятивистских электронных пучков

В. А. Сыровой *

ВЭИ – филиал “РФЯЦ – ВНИИТФ им. акад. Е.И. Забабахина”
111250 Москва, ул. Красноказарменная, 12, Российская Федерация

* E-mail: red@cplire.ru

Поступила в редакцию 30.10.2020
После доработки 30.10.2020
Принята к публикации 15.01.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Сформулированы геометризованные модели релятивистского электронного потока при отсутствии внешнего магнитного поля, которые позволяют синтезировать непараксиальный пучок с катода заданной формы и с заданным распределением плотности тока в ${{\rho }}$-режиме эмиссии и основаны на интегрировании двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

ВВЕДЕНИЕ

Геометризованная теория интенсивных электронных пучков наиболее полно изложена в монографиях [1, 2] и более поздних работах [37]. В отличие от традиционных подходов искомыми являются не только конфигурация и параметры потока, но и заранее не известная система координат ${{x}^{i}}$ (i = 1, 2, 3), связанная с геометрией течения: траектории частиц совпадают с координатными линиями ${{x}^{1}}$ либо поверхности ${{x}^{2}} = {\text{const}}$ могут быть трубками тока. В общем случае произвольной ориентации магнитного поля система ${{x}^{i}}$ является неортогональной, если пучок стартует с термокатода при эмиссии в ${{\rho }}$- или Т-режиме. Метрический тензор ${{g}_{{ik}}}$ системы ${{x}^{i}}$ удовлетворяет тождествам Ляме, выражающим факт эвклидовости пространства классической физики.

Для системы уравнений, объединяющей уравнения пучка и условия эвклидовости пространства, в двумерном случае удалось выполнить декомпозицию: сформулировать соотношение на трубке тока, имеющее вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка относительно элемента ${{g}_{{22}}}$ метрического тензора с производными по ${{x}^{1}}$, в которое поперечная координата ${{x}^{2}}$ входит как параметр, и построить эволюционную систему уравнений первого порядка, выражающих производные по ${{x}^{2}}$ от геометрических и физических параметров потока через распределения необходимых функций на базовой трубке тока. Это представление позволяет сконструировать алгоритмы расчета непараксиальных пучков методом сшивания узких полос или построением высших приближений теории, представляющих собой фрагмент тэйлоровского разложения по поперечной координате ${{x}^{2}}$.

При этом возможно рассмотрение задач с произвольной ориентацией магнитного поля на катоде, которые в принципе не поддаются анализу в рамках параксиального формализма.

В работе [8] проведено тестирование двумерных геометризованных моделей на полном наборе известных точных решений уравнений пучка с аддитивным и мультипликативным разделением переменных, продемонстрировавшее преимущество уже первого приближения по сравнению с классическим параксиальным подходом. Расходящийся плоский электростатический поток со спирального катода и спиральными траекториями использован для тестирования в работе [9]. Расчет траекторий [9] на основе первого приближения геометризованной теории иллюстрирует рис. 1, где параметр q определяет ширину пучка.

Рис. 1.

Траектории $q = {\text{const}}$ расходящегося спирального потока со спирального катода [9]: сплошные линии – точное решение, штриховая – параксиальная теория, штрих-пунктирные – первое приближение геометризованной теории.

Видно, что приемлемой точности можно добиться для потока с полушириной q = 0.3, для которого параксиальный подход является слишком грубым приближением. Ошибка вычисления потенциала составляет при этом 3.4%. Видимые на рис. 1 дефекты решения (смещение траектории и особенно координат катода – первая точка) могут быть существенно уменьшены за счет использования второго приближения как во всем поле течения, так и в прикатодной области: корректировка координат катода уменьшает ошибку их вычисления с 10% на рис. 1 до 0.8%. Использование второго приближения во всей области течения снижает уровень ошибки вычисления траекторий вдвое. В результате с ошибкой порядка 5% удается рассчитать существенно непараксиальную область течения с перепадом плотности тока на катоде в 3.3 раза.

Относительная консервативность траекторий, иллюстрируемая рисунком, по сравнению с прочими параметрами потока, послужила основанием для построения комбинированных моделей, в которых расчет траекторий в первом приближении сочетается с более подробным описанием прикатодной зоны. В работе [10] подобная модель построена для гиротрона при эмиссии в ${{\rho }}$-режиме.

Цель работы – формулировка второго приближения теории в случае сплошных осесимметричных и плоскосимметричных релятивистских электронных пучков без внешнего магнитного поля и, следовательно, при отсутствии закрутки или сносовой скорости. Модель включает получение уравнения второго приближения и начальных данных к нему с учетом сингулярности на катоде, присущей ${{\rho }}$-режиму эмиссии; построение выражений для второй и четвертой производных плотности тока эмиссии на оси пучка и второй производной кривизны катода. Последняя соответствует четвертым производным функций, определяющих его форму. Перечисленные параметры позволяют построить адекватную модель прикатодной области.

1. УРАВНЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ПУЧКА

Невырожденная базовая трубка тока. Формулировку задачи о сплошном осесимметричном или плоскосимметричном потоке необходимо начинать с уравнений трубчатого пучка при отсутствии внешнего магнитного поля и при произвольной продольной координате ${{x}^{1}}$ на базовой поверхности ${{x}^{2}} = {\text{const}}$. Ось сплошного пучка ${{x}^{2}} = 0$ является вырожденной трубкой тока, на которой система ${{x}^{i}}$ локально ортогональна: ${{g}_{{12}}} = 0$ при ${{g}_{{12,2}}} \ne 0$.

В двумерном случае метрический тензор ${{g}_{{ik}}}$ системы ${{x}^{i}}$ имеет следующие элементы:

(1)
${{g}_{{11}}} \equiv h_{1}^{2},\,\,\,\,{{g}_{{22}}} \equiv h_{2}^{2},\,\,\,{{g}_{{12}}} = {{h}_{1}}{{h}_{2}}\cos {{\theta }_{{12}}},\,\,\,{{g}_{{33}}} \equiv h_{3}^{2},$

где ${{\theta }_{{12}}}$ – угол между осями ${{x}^{1}}$, ${{x}^{2}}$; ${{h}_{3}} = R$ в осесимметричном и ${{h}_{3}} = 1$ в плоском случаях.

Соотношение на трубке тока определено выражением

(2)
$\begin{gathered} \frac{{\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{u}^{2}}}}{{\sin {{\theta }_{{12}}}}}\left\{ {\frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{{\left( {\frac{{{{h}_{{2,1}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}}_{{,1}}} - {{h}_{2}}\frac{{\theta _{{12,1}}^{2}}}{{h_{1}^{2}}} - \cos {{\theta }_{{12}}}{{{\left[ {\frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{{\left( {\frac{{{{g}_{{12}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}}_{{,1}}}} \right]}}_{{,1}}}} \right\} + \,\,\frac{1}{{h_{1}^{2}}}{{\left( {{{h}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}}} \right)}_{{,1}}}{{{{\varphi }}}_{{,1}}} = \\ = {{h}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}}\left[ { - 2\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right)k_{1}^{2}{{u}^{2}} + \left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{k}_{1}}{{k}_{2}}{{u}^{2}} + \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \right.\left. {{{k}_{2}}{\text{tg}}\theta \frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{{{\varphi }}}_{{,1}}} - \frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{{\left( {\frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{{{\varphi }}}_{{,1}}}} \right)}}_{{,1}}} - 2{{k}_{1}}uN - \frac{{{{N}^{2}} - \tilde {E}_{\nu }^{2}}}{{1 + {{\tilde {\varphi }}}}}} \right] + \frac{{{{h}_{{20}}}{{h}_{{30}}}J}}{{{{h}_{3}}{{{\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right)}}^{2}}u}}; \\ {{E}_{\nu }} = \left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{k}_{1}}{{u}^{2}} + uN,\,\,\,\,1 + {{\varphi }} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {1 - {{u}^{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {1 - {{u}^{2}}} }}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{\varphi }}$, u – потенциал электрического поля и скорость; N, ${{E}_{\nu }}$ – азимутальная компонента напряженности собственного магнитного поля и нормальное электрическое поле на трубке тока; ${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$ – ее главные кривизны, причем ${{k}_{2}}$ отвечает за осесимметричность течения:

(3)
${{k}_{2}} = - {{\cos \theta } \mathord{\left/ {\vphantom {{\cos \theta } R}} \right. \kern-0em} R},$

где $\theta $ – угол между касательной к трубке тока и осью z цилиндрической системы z, R; для плоских потоков ${{k}_{2}} = 0$.

Главные кривизны поверхности ${{x}^{1}} = {\text{const}}$ обозначим символами ${{\kappa }_{1}}$, ${{\kappa }_{2}}$

(4)
${{\kappa }_{2}} = {{\cos \vartheta } \mathord{\left/ {\vphantom {{\cos \vartheta } R}} \right. \kern-0em} R},$

причем в отличие от ${{k}_{2}}$ эта функция на оси z в осесимметричном случае имеет конечную величину, равную ${{\kappa }_{1}}$. Частные производные по соответствующей координате обозначаются нижним индексом после запятой; нижний индекс 0 относит величину к катоду ${{x}^{1}} = {\text{0}}$. Соотношение (2) и все последующие выражения записаны в релятивистской нормировке, исключающей из уравнений все физические константы используемой системы единиц; тильдой отмечаются члены, исчезающие в нерелятивистском пределе.

Эволюционная система уравнений – вторая часть декомпозиции исходной системы – имеет вид

$\begin{gathered} {{z}_{{,2}}} = {{h}_{2}}\cos \vartheta ,\,\,\,\,{{R}_{{,2}}} = {{h}_{2}}\sin \vartheta ,\,\,\,\,\vartheta = \theta + {{\theta }_{{12}}}; \\ {{{{\varphi }}}_{{,2}}} = {{h}_{2}}E,\,\,\,\,E = {{E}_{\nu }}\sin {{\theta }_{{12}}} + \frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{{{\varphi }}}_{{,1}}}\cos {{\theta }_{{12}}}; \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\theta }_{{,2}}} = \frac{1}{{\sin {{\theta }_{{12}}}}}\frac{{{{h}_{{2,1}}}}}{{{{h}_{1}}}} + {{h}_{2}}\cos {{\theta }_{{12}}}{{k}_{1}} - \frac{{{\text{ctg}}{{\theta }_{{12}}}}}{{{{h}_{1}}}}{{\left( {\frac{{{{g}_{{12}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}_{{,1}}}, \\ {{h}_{{1,2}}} = - {{h}_{1}}{{h}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}}{{k}_{1}} + {{\left( {\frac{{{{g}_{{12}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}_{{,1}}}; \\ \end{gathered} $
(5)
$\begin{gathered} {{u}_{{,2}}} = {{h}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}}\left( {{{k}_{1}}u + \frac{{N - u{{{\tilde {E}}}_{\nu }}}}{{1 + {{\tilde {\varphi }}}}}} \right) + \frac{{{{h}_{2}}\cos {{\theta }_{{12}}}}}{{u{{{\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right)}}^{3}}}}\frac{{{{{{\varphi }}}_{{,1}}}}}{{{{h}_{1}}}}, \\ {{k}_{{1,2}}} = \frac{1}{{{{h}_{1}}\sin {{\theta }_{{12}}}}}{{\left( {\frac{{{{h}_{{2,1}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}_{{,1}}} + \\ + \,\,{{h}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}}k_{1}^{2} + {{h}_{2}}\cos {{\theta }_{{12}}}\frac{{{{k}_{{1,1}}}}}{{{{h}_{1}}}} - \\ - \,\,\frac{{{{h}_{2}}\theta _{{12,1}}^{2}}}{{h_{1}^{2}\sin {{\theta }_{{12}}}}} - \frac{{{\text{ctg}}{{\theta }_{{12}}}}}{{{{h}_{1}}}}{{\left[ {\frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{{\left( {\frac{{{{g}_{{12}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}}_{{,1}}}} \right]}_{{,1}}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{E}_{{\nu ,2}}} = {{h}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}} \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {{{k}_{1}} + {{k}_{2}}} \right){{E}_{\nu }} + {{k}_{2}}{\text{tg}}\theta \frac{{{{{{\varphi }}}_{{,1}}}}}{{{{h}_{1}}}} - \frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{{\left( {\frac{{{{{{\varphi }}}_{{,1}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}}_{{,1}}}} \right] + \\ + \,\,\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{u}^{2}}{{h}_{2}}\cos {{\theta }_{{12}}}\frac{{{{k}_{{1,1}}}}}{{{{h}_{1}}}} + \\ + \,\,\frac{{{{{{\varphi }}}_{{,1}}}}}{{{{h}_{1}}}}\left[ {2{{k}_{1}} + \frac{1}{{1 + {{\tilde {\varphi }}}}}\left( {\frac{N}{u} - {{E}_{\nu }}} \right)} \right] + \\ + \,\,{{k}_{2}}{\text{tg}}\theta Nu - \frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{\left( {{{h}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}}} \right)}_{{,1}}}\frac{{{{{{\varphi }}}_{{,1}}}}}{{{{h}_{1}}}} + \frac{{{{h}_{{20}}}{{h}_{{30}}}J}}{{{{h}_{3}}u}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{N}_{{,2}}} = {{h}_{2}}{{k}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}}N\left( {1 + {\text{ctg}}{{\theta }_{{12}}}{\text{tg}}\theta } \right) + \frac{{{{h}_{{20}}}{{h}_{{30}}}J}}{{{{h}_{3}}}}, \\ {{\theta }_{{12,1}}} = \frac{1}{{{{h}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}}}}\left[ {\cos {{\theta }_{{12}}}{{h}_{{2,1}}} - {{{\left( {\frac{{{{g}_{{12}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}}_{{,1}}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Обратим внимание на тот факт, что в правых частях уравнений (5) стоят величины, известные на базовой трубке тока. Комплексы типа ${{{{k}_{{1,1}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{k}_{{1,1}}}} {{{h}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{1}}}}$, ${{{{h}_{{2,1}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{2,1}}}} {{{h}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{1}}}}$ имеют смысл физической составляющей градиента соответствующей величины в продольном направлении.

Уравнения пучка на оси, первое приближение. Локальная ортогональность системы ${{x}^{i}}$ на оси z (${{g}_{{12}}} = 0$, ${{\theta }_{{12}}} = {{{\pi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\pi }} 2}} \right. \kern-0em} 2}$, ${{h}_{1}} = 1$) при ${{k}_{2}} \to \infty $ в осесимметричном случае и ${{k}_{2}} = 0$ для плоскосимметричных течений приводит к следующим трансформациям уравнения (2):

(6)
$\begin{gathered} \left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{u}^{2}}{{h}_{{2,11}}} + {{h}_{{2,1}}}{{{{\varphi }}}_{{,1}}} + {{\alpha }}{{h}_{2}}{{{{\varphi }}}_{{,11}}} = {{\beta }}\frac{{{{b}_{0}}J}}{{{{{\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right)}}^{2}}u}}, \\ {{\alpha }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \\ 1 \end{array}} \right.,\,\,\,{{\beta }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{b}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{b}_{0}}} {\left( {2{{h}_{2}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2{{h}_{2}}} \right)}}} \\ 1 \end{array}} \right.,\,\,\,\,{{b}_{0}} \equiv {{h}_{{20}}}, \\ \end{gathered} $

где верхняя строка в выражениях для ${{\alpha }}$, ${{\beta }}$ соответствует осесимметричным потокам, а нижняя – плоским.

Правые части уравнений эволюционной системы на оси z обращаются в нуль для четных функций поперечной координаты

(7)
$\begin{gathered} {{z}_{{,2}}} = 0,\,\,\,\,{{h}_{{1,2}}} = 0,\,\,\,\,{{h}_{{2,2}}} = 0,\,\,\,{{{{\varphi }}}_{{,2}}} = 0, \\ {{u}_{{,2}}} = 0,{{J}_{{,2}}} = 0, \\ \end{gathered} $

в то время как производные нечетных функций определены выражениями11

(8)
$\begin{gathered} {{R}_{{,2}}} = {{h}_{2}},\,\,\,\,{{\theta }_{{,2}}} = {{h}_{{2,1}}},\,\,\,\,{{N}_{{,2}}} = {{\alpha }}\frac{{b_{0}^{2}J}}{{{{h}_{2}}}},\,\,\,\,{{k}_{{1,2}}} = {{h}_{{2,11}}}, \\ {{E}_{{\nu ,2}}} = - {{\alpha }}{{h}_{2}}{{{{\varphi }}}_{{,11}}} - {{h}_{{2,1}}}{{{{\varphi }}}_{{,1}}} + {{\beta }}\frac{{{{b}_{0}}J}}{u};\,\,\,{{k}_{1}}{{k}_{2}} = - \frac{{{{k}_{{1,2}}}}}{{{{h}_{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Уравнения (8) были использованы при получении соотношения (6).

Уравнения пучка на оси, второе приближение. Как соотношения на трубке тока, так и уравнения эволюционной системы высших приближений получаются по единому алгоритму, состоящему в дифференцировании по ${{x}^{2}}$, исключении при помощи эволюционной системы предыдущего приближения производных по этой переменной, возникающих в результате дифференцирования, и переходе к оси симметрии с раскрытием неопределенностей, вызванных стремлением ${{k}_{2}}$ к бесконечности в осесимметричном случае.

Двукратное дифференцирование по ${{x}^{2}}$ соотношения (2) приводит к уравнению для функции ${{h}_{{2,22}}}$, справедливому на оси z:

$\begin{gathered} \left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{u}^{2}}\left[ {{{h}_{{2,2211}}} - {{h}_{{2,11}}}{{h}_{{1,22}}} - {{h}_{{2,1}}}{{h}_{{1,221}}} - 2{{h}_{2}}\theta _{{12,21}}^{2}} \right. - \\ \left. { - \,\,2{{{\left( {\cos {{\theta }_{{12}}}} \right)}}_{{,2}}}{{g}_{{12,211}}}} \right] + \left\{ {{{u}^{2}}{{{{{\tilde {\varphi }}}}}_{{,22}}} + 2\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right)u{{u}_{{,22}}}} \right. - \\ \left. { - \,\,\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{u}^{2}}\left[ {{{h}_{{1,22}}} + {{{\left( {\sin {{\theta }_{{12}}}} \right)}}_{{,22}}}} \right]} \right\}{{h}_{{2,11}}} + \\ + \,\,\left( {{{{{\varphi }}}_{{,221}}} - 2{{{{\varphi }}}_{{,1}}}{{h}_{{1,22}}}} \right){{h}_{{2,1}}} + {{{{\varphi }}}_{{,1}}}{{\left[ {{{h}_{{2,22}}} + {{h}_{2}}{{{\left( {\sin {{\theta }_{{12}}}} \right)}}_{{,22}}}} \right]}_{{,1}}} = \\ \end{gathered} $
(9)
$\begin{gathered} = \left[ {{{h}_{{2,22}}} + {{h}_{2}}{{{\left( {\sin {{\theta }_{{12}}}} \right)}}_{{,22}}}} \right] \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{k}_{1}}{{k}_{2}}{{u}^{2}} + {{k}_{2}}{\text{tg}}\theta {{{{\varphi }}}_{{,1}}} - {{{{\varphi }}}_{{,11}}}} \right] + \\ + \,\,{{h}_{2}}\left\{ { - 4\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right)k_{{1,2}}^{2}{{u}^{2}} + {{{{{\tilde {\varphi }}}}}_{{,22}}}{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{u}^{2}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \right. + \\ + \,\,\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{\left( {{{k}_{1}}{{k}_{2}}} \right)}_{{,22}}}{{u}^{2}} + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} + 2\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{k}_{1}}{{k}_{2}}u{{u}_{{,22}}} + {{\left( {{{k}_{2}}{\text{tg}}\theta } \right)}_{{,22}}}{{{{\varphi }}}_{{,1}}} + \\ + \,\,{{\kappa }_{2}}\left( {{{{{\varphi }}}_{{,221}}} - {{{{\varphi }}}_{{,1}}}{{h}_{{1,22}}}} \right) - {{{{\varphi }}}_{{,2211}}} + 2{{{{\varphi }}}_{{,11}}}{{h}_{{1,22}}} + \\ \left. { + \,\,{{{{\varphi }}}_{{,1}}}{{h}_{{1,221}}} - 4{{k}_{{1,2}}}u{{N}_{{,2}}} - 2\frac{{N_{{,2}}^{2} - \tilde {E}_{{\nu ,2}}^{2}}}{{1 + {{\tilde {\varphi }}}}}} \right\} + \frac{{{{h}_{{30}}}}}{{{{h}_{3}}}} \times \\ \times \,\,\frac{{{{h}_{{20}}}J}}{{{{{\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right)}}^{2}}u}}\left( {\frac{{{{J}_{{,22}}}}}{J} - 2\frac{{{{{{{\tilde {\varphi }}}}}_{{,22}}}}}{{1 + {{\tilde {\varphi }}}}} - \frac{{{{u}_{{,22}}}}}{u}} \right) + \frac{{{{h}_{{20}}}J}}{{{{{\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right)}}^{2}}u}}{{\left( {\frac{{{{h}_{{30}}}}}{{{{h}_{3}}}}} \right)}_{{,22}}}. \\ \end{gathered} $

Эволюционные уравнения второго приближения принимают вид

(10)
$\begin{gathered} {{z}_{{,22}}} = - {{h}_{2}}{{h}_{{2,1}}} + {{g}_{{12,2}}},\,\,\,\,{{\varphi }_{{,22}}} = {{h}_{2}}{{E}_{{,2}}}, \\ {{h}_{{1,22}}} = - {{h}_{2}}{{h}_{{2,11}}} + {{g}_{{12,21}}}, \\ {{u}_{{,22}}} = {{h}_{2}}\left[ {{{h}_{{2,11}}}u - {{\theta }_{{12,2}}}\frac{{{{{\tilde {\varphi }}}_{{,1}}}}}{{{{{(1 + \tilde {\varphi })}}^{3}}u}} + \frac{{{{N}_{{,2}}} - u{{{\tilde {E}}}_{{\nu ,2}}}}}{{1 + \tilde {\varphi }}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Для входящих в (9) комплексов имеем

$\begin{gathered} {{\left( {\cos {{\theta }_{{12}}}} \right)}_{{,2}}} = \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{g}_{{12,2}}},\,\,\,\,{{\left( {\sin {{\theta }_{{12}}}} \right)}_{{,22}}} = - {{\left( {\frac{{{{g}_{{12,2}}}}}{{{{h}_{2}}}}} \right)}^{2}}, \\ {{\theta }_{{12,2}}} = - \frac{{{{g}_{{12,2}}}}}{{{{h}_{2}}}},\,\,\,\,{{\left( {{{k}_{1}}{{k}_{2}}} \right)}_{{,22}}} = - \frac{1}{3}\left( {{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{2,111}}} + 4h_{{2,11}}^{2} - \frac{{}}{{_{{}}}}} \right. \\ \left. { - \,\,\frac{1}{{{{h}_{2}}}}h_{{2,1}}^{2}{{h}_{{2,11}}} + \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,2211}}} - \frac{1}{{h_{2}^{2}}}{{h}_{{2,11}}}{{h}_{{2,22}}}} \right) + \\ \end{gathered} $
(11)
$\begin{gathered} + \,\,\frac{1}{3}\left( {2{{h}_{{2,111}}}{{\theta }_{{12,2}}} - \frac{2}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{2,11}}}{{\theta }_{{12,2}}} - \frac{2}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,11}}}\theta _{{12,2}}^{2}} \right. + \\ + \,\,\frac{2}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,11}}}{{g}_{{12,21}}} + \left. {\frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,1}}}{{g}_{{12,211}}} - \frac{2}{{{{h}_{2}}}}{{\theta }_{{12,2}}}{{g}_{{12,211}}} + 2\theta _{{12,21}}^{2}} \right), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\left( {{{k}_{2}}{\text{tg}}\theta } \right)}_{{,22}}} = - \frac{1}{{3{{h}_{2}}}} \times \\ \times \,\,\left[ {{{h}_{{2,221}}} + {{h}_{2}}{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{2,11}}} - \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{2,22}}} + 2h_{{2,1}}^{2}{{{\left( {\frac{{{{g}_{{12}}}}}{{{{h}_{2}}}}} \right)}}^{2}}} \right. - \\ - \,\,\left. {\left( {h_{{2,1}}^{2} - {{h}_{2}}{{h}_{{2,11}}}} \right){{g}_{{12,2}}} - \left( {{{h}_{{2,1}}} + \frac{2}{{{{h}_{2}}}}{{g}_{{12,2}}}} \right){{g}_{{12,21}}}} \right], \\ {{\left( {\frac{{{{h}_{{30}}}}}{{{{h}_{3}}}}} \right)}_{{,22}}} = \frac{1}{3}\frac{{{{b}_{0}}}}{{{{h}_{2}}}}\left[ { - \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,22}}} + {{{\left( {{{h}_{{2,1}}} - \frac{{{{g}_{{12,2}}}}}{{{{h}_{2}}}}} \right)}}^{2}} - b_{3}^{2}} \right], \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\left( {{{k}_{2}}{{k}_{1}}} \right)}_{{,22}}} = - \frac{1}{3}\frac{1}{{{{h}_{2}}}}\left( {{{k}_{{1,222}}} - \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,22}}}{{k}_{{1,2}}}} \right) + \\ + \,\,\frac{2}{{{{h}_{2}}}}\left( {\frac{1}{3}h_{{2,1}}^{2} - \frac{1}{3}{{h}_{{2,1}}}{{\theta }_{{12,2}}} - \frac{1}{6}\theta _{{12,2}}^{2}} \right){{k}_{{1,2}}}, \\ {{k}_{{1,222}}} = {{h}_{2}}{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{2,111}}} + 4{{h}_{2}}h_{{2,11}}^{2} + h_{{2,1}}^{2}{{h}_{{2,11}}} + \\ + \,\,{{h}_{{2,2211}}} - 2{{h}_{2}}\theta _{{12,21}}^{2} - 2{{h}_{2}}{{h}_{{2,111}}}{{\theta }_{{12,2}}} + \\ + \,\,{{h}_{{2,11}}}\theta _{{12,2}}^{2} - 2{{h}_{{2,11}}}{{g}_{{12,21}}} + \left( { - {{h}_{{2,1}}} + 2{{\theta }_{{12,2}}}} \right){{g}_{{12,211}}}. \\ \end{gathered} $

Параметры потока. Функции ${{h}_{2}}$, ${{h}_{{2,22}}}$, являющиеся решениями уравнений (6), (9), позволяют рассчитать все характеристики потока. Параметрические уравнения $R = {{R}_{e}}\left( z \right)$, $Z = {{z}_{e}}\left( z \right)$ границы пучка ${{x}^{2}} = \eta = {\text{const}}$ и потенциала ${{\varphi }} = {{{{\varphi }}}_{e}}\left( z \right)$ на ней определены соотношениями

(12)
$\begin{gathered} {{R}_{e}} = {{R}_{{,2}}}\eta + \frac{1}{6}{{R}_{{,222}}}{{\eta }^{3}}, \\ {{z}_{e}} = z + \frac{1}{2}{{z}_{{,22}}}{{\eta }^{2}} + \frac{1}{{24}}{{z}_{{,2222}}}{{\eta }^{4}}, \\ {{{{\varphi }}}_{e}} = {{\varphi }}\left( z \right) + \frac{1}{2}{{{{\varphi }}}_{{,22}}}{{\eta }^{2}} + \frac{1}{{24}}{{{{\varphi }}}_{{,2222}}}{{\eta }^{4}}. \\ \end{gathered} $

Развернутые формулы для производных в (12) приведены в [1, 2].

В дальнейшем нам потребуется эволюционное уравнение четвертого порядка для ${{h}_{1}}$, вычисляемое по сформулированным выше правилам:

(13)
$\begin{gathered} {{h}_{{1,2222}}} = - {{h}_{2}}{{h}_{{2,2211}}} - 3{{h}_{{2,11}}}{{h}_{{2,22}}} - h_{2}^{2}{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{2,111}}} - h_{2}^{2}h_{{2,11}}^{2} - \\ - \,\,{{h}_{2}}h_{{2,1}}^{2}{{h}_{{2,11}}} + {{g}_{{12,2221}}} + {{h}_{2}}{{\vartheta }_{{,2}}}{{g}_{{12,211}}} + \\ + \,\,\left( {2{{h}_{2}}{{h}_{{2,11}}} + 4{{h}_{{2,1}}}{{\theta }_{{12,2}}}} \right){{g}_{{12,21}}} - g_{{12,21}}^{2} + \\ + \,\,\left( {{{h}_{2}}{{h}_{{2,111}}} + 3{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{2,11}}}} \right){{g}_{{12,2}}} + 2\left( {\frac{{{{h}_{{2,11}}}}}{{{{h}_{2}}}} + \frac{{h_{{2,1}}^{2}}}{{h_{2}^{2}}}} \right)g_{{12,2}}^{2}. \\ \end{gathered} $

Выражение для ${{g}_{{12,222}}}$ приведено в [1, 2].

2. МОДЕЛЬ ПРИКАТОДНОЙ ОБЛАСТИ

Форма решения. Решение вблизи стартовой поверхности ${{x}^{1}} = 0$ при эмиссии в ${{\rho }}$-режиме имеет вид разложений по степеням параметра ${{\left( {{{x}^{1}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$:

(14)
$\begin{gathered} {{h}_{1}} = {{a}_{0}}\left( {1 + {{{\bar {a}}}_{1}}{{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{{\bar {a}}}_{2}}{{x}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...} \right), \\ {{h}_{2}} = {{b}_{0}}\left( {1 + {{{\bar {b}}}_{3}}x + {{{\bar {b}}}_{4}}{{x}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...} \right), \\ {{h}_{3}} = {{R}_{0}}\left( {1 + {{{\bar {R}}}_{3}}x + {{{\bar {R}}}_{4}}{{x}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...} \right), \\ {{g}_{{12}}} = {{G}_{1}}{{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{G}_{2}}{{x}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ..., \\ {{\varphi }} = {{{{\varphi }}}_{4}}{{x}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\left( {1 + {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{5}}{{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{6}}{{x}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...} \right), \\ u = {{V}_{2}}{{x}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\left( {1 + {{{\bar {V}}}_{3}}{{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{{\bar {V}}}_{4}}{{x}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...} \right), \\ N = {{N}_{0}} + {{N}_{3}}x + {{N}_{4}}{{x}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...;\,\,\,x \equiv {{x}^{1}}. \\ \end{gathered} $

Для интегрирования уравнений (6), (9) необходимо задать начальные условия, в силу сингулярности эмитирующей поверхности сводящиеся к построению асимптотик для ${{h}_{2}}$, ${{h}_{{2,22}}}$ и прочих параметров течения. Вторые производные искомых функций в уравнениях (6), (9) имеют бесконечные значения при ${{x}^{1}} = 0$ за счет членов с коэффициентами ${{b}_{4}}$, ${{b}_{5}}$, поэтому асимптотики должны включать эти параметры для первого уравнения и производные ${{b}_{{3,22}}}$, ${{b}_{{4,22}}}$, ${{b}_{{5,22}}}$ для второго.

Из нескольких возможных способов решения второй задачи выберем следующий. Учитывая, что в силу (7) на оси все коэффициенты ${{a}_{k}}$ имеют нулевые производные

(15)
${{a}_{{k,2}}} = 0,$

найдем из уравнения (2) выражения для коэффициентов ${{{{\varphi }}}_{k}}$, связанных с ${{b}_{i}}$, сохраняя члены, дающие ненулевой вклад при двукратном дифференцировании по ${{x}^{2}}$. Это линейные по ${{a}_{k}}$, $k > 0$ слагаемые и квадратичные произведения нечетных функций ${{a}_{{k,2}}}{{N}_{0}}$, $N_{0}^{2}$; члены с ${{k}_{{20}}}$ требуют специального рассмотрения, так как производная ${{\left( {{{k}_{{20}}}N_{0}^{3}} \right)}_{{,22}}}$ отлична от нуля.

Правые части уравнения

(16)
${{{{\varphi }}}_{{,2}}} = {{h}_{2}}E$

могут быть вычислены с использованием уравнения (6), не содержащего функций ${{a}_{k}}$. Однократное дифференцирование полученных комплексов дает правильный результат в силу выполнения равенств (15) на оси, в то время как левая часть допускает выполнение двукратного дифференцирования коэффициентов ${{{{\varphi }}}_{k}}$, структура которых выявлена заблаговременно. Баланс членов в левой и правой частях уравнения (15) позволит получить требуемые соотношения.

Предварительные рассмотрения. Баланс членов порядка ${{x}^{{{{ - 2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 2} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$, ${{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ в уравнении (2) приводит к следующим значениям первых коэффициентов разложения функций ${{\varphi }}$, u:

(17)
$\begin{gathered} {{{{\varphi }}}_{4}} = \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{9a_{0}^{2}J}}{2}} \right)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}},\,\,\,\,{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{5}} = {{{\bar {a}}}_{1}}; \\ {{V}_{2}} = {{\left( {\frac{{9a_{0}^{2}J}}{2}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}},\,\,\,\,{{{\bar {V}}}_{3}} = \frac{1}{2}{{{\bar {a}}}_{1}}. \\ \end{gathered} $

Выражение для кривизны ${{k}_{1}}$ позволяет связать разложение для этого параметра с разложениями из (14):

(18)
$\begin{gathered} {{k}_{1}} = \frac{1}{{{{h}_{2}}\sin {{\theta }_{{12}}}}}\left[ {\frac{1}{{{{h}_{1}}}}{{{\left( {\frac{{{{g}_{{12}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right)}}_{{,1}}} - \frac{{{{h}_{{1,2}}}}}{{{{h}_{1}}}}} \right] = \\ = {{x}^{{{{ - 2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 2} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\left( {{{k}_{{10}}} + {{k}_{{11}}}{{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{k}_{{12}}}{{x}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...} \right), \\ {{k}_{{10}}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{a_{0}^{2}{{b}_{0}}}}{{G}_{1}},\,\,\,\,{{k}_{{11}}} = \frac{2}{3}\frac{1}{{a_{0}^{2}{{b}_{0}}}}\left( {{{G}_{2}} - {{{\bar {a}}}_{1}}{{G}_{1}}} \right); \\ \cos {{\theta }_{{12}}} = {{c}_{1}}{{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{c}_{2}}{{x}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ..., \\ {{c}_{1}} = \frac{1}{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}}{{G}_{1}},\,\,\,\,{{c}_{2}} = \frac{1}{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}}\left( {{{G}_{2}} - {{{\bar {a}}}_{1}}{{G}_{1}}} \right). \\ \end{gathered} $

Разложение для потенциала ${{\varphi }}$ начинается со степени ${4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}$, поэтому в правой части уравнения (16) коэффициенты при слагаемых порядка ${{x}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$, ${{x}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ должны быть обращены в нуль. Возникающие равенства служат для определения функций ${{G}_{1}}$, ${{G}_{2}}$:

(19)
${{G}_{1}} = - a_{0}^{2}{{b}_{0}}{{\bar {N}}_{0}},\,\,\,{{G}_{2}} = - \frac{5}{4}a_{0}^{2}{{b}_{0}}{{\bar {a}}_{1}}{{\bar {N}}_{0}},\,\,\,\,{{\bar {N}}_{0}} \equiv \frac{{{{N}_{0}}}}{{{{V}_{2}}}}.$

Проведенное до конца рассмотрение показывает, что в более полном описании элемента ${{g}_{{12}}}$ нет необходимости:

(20)
${{G}_{3}} = {{G}_{4}} = ... = 0.$

Параметрические уравнения произвольной трубки тока в локальных декартовых координатах Х, Y (нормаль, касательная к катоду в точке старта) представим в виде

(21)
$\begin{gathered} Y = Y\left( l \right) = {{f}_{4}}{{l}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{f}_{5}}{{l}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ..., \\ X = X\left( l \right) = \int {\sqrt {1 - Y{\kern 1pt} {{'}^{2}}} } dl, \\ \end{gathered} $

где l – длина дуги образующей поверхности ${{x}^{2}} = {\text{const}}$. Разложение для угла наклона $\theta $ к оси z выражается через траекторные коэффициенты ${{f}_{k}}$:

(22)
$\begin{gathered} \theta = {{\theta }_{0}} + {\text{arctg}}\left( {{{Y{\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{Y{\kern 1pt} '} {X{\kern 1pt} '}}} \right. \kern-0em} {X{\kern 1pt} '}}} \right) = {{\theta }_{0}} + {{\theta }_{1}}{{l}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{\theta }_{2}}{{l}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ..., \\ {{\theta }_{1}} = \frac{4}{3}{{f}_{4}},\,\,\,\,{{\theta }_{2}} = \frac{5}{3}{{f}_{5}},\,\,\,\,{{\theta }_{3}} = 2{{f}_{6}} + \frac{{32}}{{81}}f_{4}^{3}. \\ \end{gathered} $

На трубке тока при ${{x}^{1}} \equiv l$, ${{a}_{0}} = 1$, ${{a}_{k}} = 0$ имеет место соотношение

(23)
${{k}_{1}} = {{\theta }_{{,1}}},$

позволяющее определить первые траекторные коэффициенты

(24)
${{f}_{4}} = - \frac{3}{4}{{\bar {N}}_{0}},\,\,\,\,{{f}_{5}} = 0.$

Рассматривая в выражении для ${{k}_{1}}$ из (18) члены порядка ${{x}^{0}}$, ${{x}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$, получаем

(25)
${{k}_{{12}}} = - \frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} - \frac{1}{6}\bar {N}_{0}^{3},\,\,\,\,{{k}_{{13}}} = - \frac{{{{a}_{{1,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} + \frac{1}{3}{{\bar {b}}_{3}}{{\bar {N}}_{0}}.$

Дальнейшие балансы в (23) с учетом (25) приводят к следующим соотношениям:

(26)
$\begin{gathered} {{k}_{{12}}} = {{\theta }_{3}},\,\,\,\,{{k}_{{13}}} = \frac{4}{3}{{\theta }_{4}};\,\,\,\,\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} = - 2{{f}_{6}}, \\ \frac{{{{a}_{{1,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} = - \frac{{28}}{9}{{f}_{7}} + \frac{1}{3}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {N}}}_{0}}. \\ \end{gathered} $

Рассмотрим две соседние трубки тока ${{x}^{2}} = 0$ и ${{x}^{2}} = \eta $, которые будем отмечать индексами 0, 1 с длинами дуг ${{l}_{0}}$, ${{l}_{1}}$ и локальными декартовыми системами ${{X}_{0}}$, ${{Y}_{0}}$ и ${{X}_{1}}$, ${{Y}_{1}}$. Координаты Х, Y и z, R связаны соотношениями

(27)
$\begin{gathered} \bar {z} \equiv z - {{z}_{0}} = X\cos {{\theta }_{0}} - Y\sin {{\theta }_{0}}, \\ \bar {R} \equiv R - {{R}_{0}} = X\sin {{\theta }_{0}} + Y\cos {{\theta }_{0}}; \\ X = \bar {z}\cos {{\theta }_{0}} + \bar {R}\sin {{\theta }_{0}}, \\ Y = - \bar {z}\sin {{\theta }_{0}} + \bar {R}\cos {{\theta }_{0}}. \\ \end{gathered} $

Уравнения трубки тока ${{x}^{2}} = \eta $ в системе z, R на основании эволюционной системы (5) имеют вид

(28)
$\begin{gathered} z_{{}}^{{\left( 1 \right)}} = z_{{}}^{{\left( 0 \right)}} + {{\left( {{{h}_{2}}\cos \vartheta } \right)}^{{\left( 0 \right)}}}\eta {\kern 1pt} , \\ R_{{}}^{{\left( 1 \right)}} = R_{{}}^{{\left( 0 \right)}} + {{\left( {{{h}_{2}}\sin \vartheta } \right)}^{{\left( 0 \right)}}}\eta {\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $

Координаты точки на катоде, с которой стартует трубка ${{x}^{2}} = \eta $, суть

(29)
$\begin{gathered} z_{0}^{{\left( 1 \right)}} = z_{0}^{{\left( 0 \right)}} - {{\left( {{{b}_{0}}\sin {{\theta }_{0}}} \right)}^{{\left( 0 \right)}}}\eta ,{\kern 1pt} \\ R_{0}^{{\left( 1 \right)}} = R_{0}^{{\left( 0 \right)}} + {{\left( {{{b}_{0}}\cos {{\theta }_{0}}} \right)}^{{\left( 0 \right)}}}\eta {\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $

Уравнения базовой трубки тока ${{x}^{2}} = 0$ через функции ${{X}_{0}}\left( {{{l}_{0}}} \right)$, ${{Y}_{0}}\left( {{{l}_{0}}} \right)$ с учетом (27) определены соотношениями

(30)
$\begin{gathered} {{z}^{{\left( 0 \right)}}} - z_{0}^{{\left( 0 \right)}} = {{X}_{0}}\left( {{{l}_{0}}} \right)\cos \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}} - {{Y}_{0}}\left( {{{l}_{0}}} \right)\sin \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}, \\ {{R}^{{\left( 0 \right)}}} - R_{0}^{{\left( 0 \right)}} = {{X}_{0}}\left( {{{l}_{0}}} \right)\sin \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}} + {{Y}_{0}}\left( {{{l}_{0}}} \right)\cos \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}. \\ \end{gathered} $

Запишем выражения для ${{Y}_{1}}$, используя (27)–(30) и уравнение для $\theta $ из (5) при ${{x}^{1}} = 0$ и ограничившись линейными членами по $\eta $:

(31)
$\begin{gathered} {{Y}_{1}} = - {{{\bar {z}}}^{{\left( 1 \right)}}}\sin \theta _{0}^{{\left( 1 \right)}} + {{{\bar {R}}}^{{\left( 1 \right)}}}\cos \theta _{0}^{{\left( 1 \right)}},\,\,\,\,\vartheta _{0}^{{\left( 0 \right)}} = \frac{{{\pi }}}{2} + \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}, \\ {{{\bar {z}}}^{{\left( 1 \right)}}} = {{z}^{{\left( 1 \right)}}} - z_{0}^{{\left( 1 \right)}} = \left[ {{{z}^{{\left( 0 \right)}}} + {{{\left( {{{h}_{2}}\cos \vartheta } \right)}}^{{\left( 0 \right)}}}\eta } \right] - \\ - \,\,\left[ {z_{0}^{{\left( 0 \right)}} - b_{0}^{{\left( 0 \right)}}\sin \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}} \right],\,\,\,\,{{{\bar {R}}}^{{\left( 1 \right)}}} = {{R}^{{\left( 1 \right)}}} - R_{0}^{{\left( 1 \right)}} = \\ = \left[ {{{R}^{{\left( 0 \right)}}} + {{{\left( {{{h}_{2}}\sin \vartheta } \right)}}^{{\left( 0 \right)}}}\eta } \right] - \left[ {R_{0}^{{\left( 0 \right)}} + b_{0}^{{\left( 0 \right)}}\cos \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}} \right], \\ {{z}^{{\left( 0 \right)}}} - z_{0}^{{\left( 0 \right)}} = {{X}_{0}}\cos \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}} - {{Y}_{0}}\sin \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}, \\ {{R}^{{\left( 0 \right)}}} - R_{0}^{{\left( 0 \right)}} = {{X}_{0}}\sin \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}} + {{Y}_{0}}\cos \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}, \\ {{Y}_{1}} = - {{X}_{0}}\sin \left( {{{\theta }^{{\left( 1 \right)}}} - \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}} \right) + {{Y}_{0}}\cos \left( {{{\theta }^{{\left( 1 \right)}}} - \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}} \right) + \\ + \,\,\left[ { - h_{2}^{{\left( 0 \right)}}\sin \left( {\theta _{0}^{{\left( 1 \right)}} - {{\vartheta }^{{\left( 0 \right)}}}} \right) - b_{0}^{{\left( 0 \right)}}\cos \left( {\theta _{0}^{{\left( 1 \right)}} - \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}}} \right)} \right]\eta {\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $

Учитывая выражения

(32)
$\begin{gathered} \theta _{0}^{{\left( 1 \right)}} - \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}} = \bar {b}_{3}^{{\left( 0 \right)}}\eta , \\ {{\theta }^{{\left( 1 \right)}}} - {{\vartheta }^{{\left( 0 \right)}}} = \left[ {{{\theta }^{{\left( 0 \right)}}} + b_{3}^{{\left( 0 \right)}}\eta } \right] - \left[ {\frac{{{\pi }}}{2} + \theta _{0}^{{\left( 0 \right)}} + \vartheta _{3}^{{\left( 0 \right)}}x} \right] = \\ = - \frac{{{\pi }}}{2} + \left[ {b_{3}^{{\left( 0 \right)}}\eta - \vartheta _{3}^{{\left( 0 \right)}}x} \right], \\ \end{gathered} $

для первой трубки тока получаем

(33)
${{Y}_{1}} = - {{X}_{0}}\left( {{{l}_{0}}} \right)b_{3}^{{\left( 0 \right)}}\eta + {{Y}_{0}}\left( {{{l}_{0}}} \right) + h_{2}^{{\left( 0 \right)}} - b_{0}^{{\left( 0 \right)}}.$

Параметрические уравнения (21) базовой поверхности ${{x}^{2}} = 0$ вблизи катода описываются соотношениями

(34)
$\begin{gathered} {{Y}_{0}} = {{f}_{4}}l_{0}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + {{f}_{5}}l_{0}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + {{f}_{6}}l_{0}^{{{6 \mathord{\left/ {\vphantom {6 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + ..., \\ {{X}_{0}} = {{l}_{0}} - \frac{8}{{15}}f_{4}^{2}l_{0}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}}} - \frac{{10}}{9}{{f}_{4}}{{f}_{5}}l_{0}^{{{6 \mathord{\left/ {\vphantom {6 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + ...{\kern 1pt} \\ \end{gathered} $

Подстановка выражений для ${{X}_{0}}$, ${{Y}_{0}}$ из (34) в (33) дает

(35)
$\begin{gathered} {{Y}_{1}} = \left[ {f_{4}^{{\left( 0 \right)}} + b_{4}^{{\left( 0 \right)}}\eta } \right]l_{0}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + \\ + \,\,\left[ {f_{5}^{{\left( 0 \right)}} + {{{\left( {{{b}_{5}} + \frac{8}{{15}}{{b}_{3}}f_{4}^{2}} \right)}}^{{\left( 0 \right)}}}\eta } \right]l_{0}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + ... \\ \end{gathered} $

Длины дуг ${{l}_{0}}$, ${{l}_{1}}$ следующим образом связаны друг с другом:

(36)
$\begin{gathered} {{l}_{1}} = \int {\left[ {a_{0}^{{\left( 1 \right)}} + a_{1}^{{\left( 1 \right)}}l_{0}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + a_{2}^{{\left( 1 \right)}}l_{0}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + ...} \right]} {\kern 1pt} {\kern 1pt} d{{l}_{0}}, \\ a_{0}^{{\left( 1 \right)}} = 1 + a_{{0,2}}^{{\left( 0 \right)}}\eta ,\,\,\,\,a_{1}^{{\left( 1 \right)}} = a_{{1,2}}^{{\left( 0 \right)}}\eta ,\,\,\,a_{2}^{{\left( 1 \right)}} = a_{{2,2}}^{{\left( 0 \right)}}\eta ,... \\ {{l}_{0}} = {{l}_{1}} - \frac{3}{4}a_{1}^{{\left( 1 \right)}}l_{1}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}} - \frac{3}{5}a_{2}^{{\left( 1 \right)}}l_{1}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + ... \\ \end{gathered} $

Переходя от ${{l}_{0}}$ к ${{l}_{1}}$ в формуле (35) с учетом (26), (36), получаем

(37)
$\begin{gathered} {{Y}_{1}} = \left[ {f_{4}^{{\left( 0 \right)}} + {{{\left( {{{{\bar {b}}}_{4}} + \frac{8}{3}{{f}_{4}}{{f}_{6}}} \right)}}^{{\left( 0 \right)}}}b_{0}^{{\left( 0 \right)}}\eta } \right]l_{1}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + \\ + \left[ {f_{5}^{{\left( 0 \right)}} + \left( {{{{\bar {b}}}_{5}} + \frac{{44}}{{45}}{{{\bar {b}}}_{3}}f_{4}^{2}} \right.} \right. + \\ \left. {{{{\left. { + \,\,\,\frac{{28}}{9}{{f}_{4}}{{f}_{7}} + \frac{{10}}{3}{{f}_{5}}{{f}_{6}}} \right)}}^{{\left( 0 \right)}}}b_{0}^{{\left( 0 \right)}}\eta } \right]l_{1}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}}} + ... \\ \end{gathered} $

Пропорциональные $\eta $ агрегаты в круглых скобках из (37) задают скорость изменения траекторных коэффициентов в ${{x}^{2}}$-направлении. Вместе с тем коэффициент ${{f}_{4}}$ определен через магнитное поле на катоде формулами (24), а ${{f}_{5}} = 0$; производные этих коэффициентов по ${{x}^{2}}$ могут быть получены дифференцированием выражений (24) с использованием уравнения для ${{N}_{{,2}}}$ эволюционной системы (5):

(38)
$\begin{gathered} \frac{1}{{{{b}_{0}}}}{{f}_{{4,2}}} = - \frac{3}{4}\left( {{{k}_{{20}}}{{{\bar {N}}}_{0}} - \frac{{10}}{3}{{{\bar {N}}}_{0}}{{f}_{6}} + \frac{1}{4}\bar {N}_{0}^{4} + \frac{2}{9}\tilde {V}_{2}^{2}} \right), \\ {{f}_{{5,2}}} = 0. \\ \end{gathered} $

Приравнивая производные траекторных коэффициентов в (37), (38), получаем выражения для ${{\bar {b}}_{4}}$, ${{\bar {b}}_{5}}$:

(39)
$\begin{gathered} {{{\bar {b}}}_{4}} = \frac{1}{{{{b}_{0}}}}{{f}_{{4,2}}} - \frac{8}{3}{{f}_{4}}{{f}_{6}}, \\ {{{\bar {b}}}_{5}} = - \frac{{28}}{9}{{f}_{4}}{{f}_{7}} - \frac{{10}}{3}{{f}_{5}}{{f}_{6}} - \frac{{44}}{{45}}{{{\bar {b}}}_{3}}f_{4}^{2}. \\ \end{gathered} $

На оси сплошного пучка в осесимметричном и плоском случаях имеем соответственно

(40)
$\begin{gathered} {{{\bar {b}}}_{4}} = - \frac{1}{{12}}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,{{{\bar {b}}}_{5}} = 0; \\ {{{\bar {b}}}_{4}} = - \frac{1}{6}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,{{{\bar {b}}}_{5}} = 0. \\ \end{gathered} $

Полученная выше информация позволяет перейти к решению основной задачи.

3. ПЛОТНОСТЬ ТОКА ЭМИССИИ И КРИВИЗНА КАТОДА

Плотность тока. Баланс членов порядка ${{x}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ в уравнении (16) в случае произвольной продольной координаты приводит к выражению для градиента плотности тока эмиссии

(41)
$\frac{1}{{{{b}_{0}}}}\frac{{{{J}_{{,2}}}}}{J} = - 5\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}} + \left( {6{{{\bar {a}}}_{2}} + \frac{{15}}{{16}}\bar {a}_{1}^{2}} \right){{\bar {N}}_{0}} - \frac{3}{4}\bar {N}_{0}^{3}.$

Повторное дифференцирование по ${{x}^{2}}$ с переходом к оси z позволяет получить вторую и четвертую производные, отличные от нуля:

(42)
$\begin{gathered} \frac{1}{{b_{0}^{2}}}\frac{{{{J}_{{,22}}}}}{J} = - 5\frac{{{{a}_{{0,22}}}}}{{{{a}_{0}}b_{0}^{2}}},\,\,\,\,\frac{1}{{b_{0}^{4}}}\frac{{{{J}_{{,2222}}}}}{J} = - 5\frac{{{{a}_{{0,2222}}}}}{{{{a}_{0}}b_{0}^{4}}} + \\ + \,\,15\frac{{a_{{0,22}}^{2}}}{{a_{0}^{2}b_{0}^{4}}} + 18\frac{{{{{\bar {a}}}_{{2,22}}}}}{{{{a}_{0}}b_{0}^{2}}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} - \frac{9}{2}\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{3}}}{{b_{0}^{3}}}. \\ \end{gathered} $

Уравнение для ${{h}_{{1,22}}}$ из (10) приводит к следующим значениям вторых производных ${{a}_{{k,22}}}$:

(43)
$\begin{gathered} \frac{{{{a}_{{0,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - 2{{{\bar {b}}}_{6}},\,\,\,\,\frac{{{{a}_{{1,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - \frac{{28}}{9}{{{\bar {b}}}_{7}} - \frac{4}{9}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{4}}, \\ \frac{{{{a}_{{2,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - \frac{{40}}{9}{{{\bar {b}}}_{8}} - \frac{4}{9}\bar {b}_{4}^{2},\,\,\,\,\frac{{{{a}_{{3,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - 6{{{\bar {b}}}_{9}} - 2{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{6}}, \\ \frac{{{{a}_{{4,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - \frac{{70}}{9}{{{\bar {b}}}_{{10}}} - 2{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{7}} - \frac{{22}}{9}{{{\bar {b}}}_{4}}{{{\bar {b}}}_{6}}, \\ \frac{{{{a}_{{5,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - \frac{{88}}{9}{{{\bar {b}}}_{{11}}} - \frac{{40}}{9}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{8}} - \frac{{32}}{9}{{{\bar {b}}}_{4}}{{{\bar {b}}}_{7}}, \\ \frac{{{{a}_{{6,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - 12{{{\bar {b}}}_{{12}}} - 6{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{9}} - \frac{{44}}{9}{{{\bar {b}}}_{4}}{{{\bar {b}}}_{8}} - 2\bar {b}_{6}^{2}. \\ \end{gathered} $

Формулы (43) справедливы как для осесимметричных, так и для плоских течений.

Уравнение (13) позволяет вычислить производную ${{a}_{{0,2222}}}$:

(44)
$\begin{gathered} \frac{{{{a}_{{0,2222}}}}}{{b_{0}^{4}}} = - 2\frac{{{{b}_{{6,22}}}}}{{b_{0}^{3}}} - 6{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{9}} - 4\bar {b}_{6}^{2} + \\ + \,\,\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}\left( {\frac{{56}}{{27}}{{{\bar {b}}}_{8}} - \frac{{52}}{{27}}\bar {b}_{4}^{2}} \right) + \frac{4}{9}\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{2}}}{{b_{0}^{2}}}{{{\bar {b}}}_{4}}. \\ \end{gathered} $

Кривизна катода. В силу локальной ортогональности системы ${{x}^{1}}$, ${{x}^{2}}$ при ${{x}^{1}} = 0$ для вычисления вторых производных главных кривизн на оси можно пользоваться выражениями, записанными в ортогональной системе [1, 2]:

(45)
${{\kappa }_{1}} = - \frac{1}{{{{h}_{1}}}}\frac{{{{h}_{{2,1}}}}}{{{{h}_{2}}}},\,\,\,\,{{\kappa }_{2}} = - \frac{1}{{{{h}_{1}}}}\frac{{{{h}_{{3,1}}}}}{{{{h}_{3}}}} = - \frac{{\sin \theta }}{R}.$

Двукратное дифференцирование по ${{x}^{2}}$ приводит к следующему результату:

(46)
$\begin{gathered} {{\kappa }_{{1,22}}} = - \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,221}}} + \frac{1}{{h_{2}^{2}}}{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{2,22}}} + \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{1,22}}}, \\ {{\kappa }_{2}} = - \frac{1}{{{{h}_{2}}}}\left[ {{{\theta }_{{,2}}} + \frac{1}{6}\left( {{{\theta }_{{,222}}} - \theta _{{,2}}^{3} - \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{\theta }_{{,2}}}{{R}_{{,222}}}} \right){{\eta }^{2}}} \right], \\ {{\theta }_{{,2}}} = \frac{{{{h}_{{2,1}}}}}{{{{h}_{1}}}},\,\,\,\,{{\theta }_{{,222}}} = {{h}_{{2,221}}} - {{h}_{{2,1}}}{{h}_{{1,22}}}, \\ {{R}_{{,222}}} = {{h}_{{2,22}}} - {{h}_{2}}\theta _{{,2}}^{2}, \\ {{\kappa }_{{2,22}}} = \frac{1}{3}\left( { - \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,221}}} + \frac{1}{{h_{2}^{2}}}{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{2,22}}} + \frac{1}{{{{h}_{2}}}}{{h}_{{2,1}}}{{h}_{{1,22}}}} \right). \\ \end{gathered} $

При ${{x}^{1}} = 0$ для производных кривизн с учетом (43) получаем

(47)
$\begin{gathered} \frac{{{{\kappa }_{{10,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = 3\frac{{{{\kappa }_{{20,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - \frac{{{{{\bar {b}}}_{{3,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + {{{\bar {b}}}_{3}}\frac{{{{a}_{{0,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \\ = - \left( {\frac{{{{{\bar {b}}}_{{3,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + 2{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{6}}} \right);\,\,\,\,{{\kappa }_{{10}}} = - {{{\bar {b}}}_{3}}. \\ \end{gathered} $

Таким образом, для решения поставленной задачи при описании прикатодной области необходимо найти функции ${{\bar {b}}_{{3,22}}}$, ${{\bar {b}}_{{6,22}}}$.

4. НАЧАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Коэффициенты ${{{{\varphi }}}_{k}}$ с возможностью двукратного дифференцирования по ${{x}^{2}}$. Выполняя намеченную в разд. 2 программу, рассмотрим общий случай соотношения (2). Выпишем уравнения, связывающие коэффициенты разложения потенциала и скорости, следующие из интеграла энергии:

$\begin{gathered} {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{6}} = 2{{{\bar {V}}}_{4}} + \bar {V}_{3}^{2},\,\,\,{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{7}} = 2{{{\bar {V}}}_{5}} + 2{{{\bar {V}}}_{3}}{{{\bar {V}}}_{4}}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{8}} = 2{{{\bar {V}}}_{6}} + 2{{{\bar {V}}}_{3}}{{{\bar {V}}}_{5}} + \bar {V}_{4}^{2} + \frac{3}{4}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{9}} = 2{{{\bar {V}}}_{7}} + 2{{{\bar {V}}}_{3}}{{{\bar {V}}}_{6}} + 2{{{\bar {V}}}_{4}}{{{\bar {V}}}_{5}} + 3{{{\bar {V}}}_{3}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{10}}} = 2{{{\bar {V}}}_{8}} + 2{{{\bar {V}}}_{3}}{{{\bar {V}}}_{7}} + 2{{{\bar {V}}}_{4}}{{{\bar {V}}}_{6}} + \bar {V}_{5}^{2} - {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{6}}{{{{{\tilde {\varphi }}}}}_{4}} - \\ - \,\,\frac{1}{2}{{\bar {\varphi }}}_{5}^{2}{{{{{\tilde {\varphi }}}}}_{4}} + \left( {2{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{6}} + 2{{{\bar {V}}}_{3}}{{{\bar {V}}}_{5}}} \right)\tilde {V}_{2}^{2}, \\ \end{gathered} $
(48)
$\begin{gathered} {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}} = 2{{{\bar {V}}}_{9}} + 2{{{\bar {V}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{6}} + 3{{{\bar {V}}}_{5}}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}} = 2{{{\bar {V}}}_{{10}}} + \bar {V}_{6}^{2} + \\ + \,\,3{{{\bar {V}}}_{6}}\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{5}{8}\tilde {V}_{2}^{4},\,\,\,\,{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{13}}} = 2{{{\bar {V}}}_{{11}}} + 2{{{\bar {V}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{8}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{14}}} = 2{{{\bar {V}}}_{{12}}} + 2{{{\bar {V}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{9}} + 2{{{\bar {V}}}_{6}}{{{\bar {V}}}_{8}} + \frac{3}{2}\left( {2{{{\bar {V}}}_{8}} + 3\bar {V}_{5}^{2}} \right)\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{15}}} = 2{{{\bar {V}}}_{{13}}} + 2{{{\bar {V}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{{10}}} + 2{{{\bar {V}}}_{6}}{{{\bar {V}}}_{9}} + \\ + \,\,3\left( {{{{\bar {V}}}_{9}} + 3{{{\bar {V}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{6}}} \right)\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{{15}}{4}{{{\bar {V}}}_{5}}\tilde {V}_{2}^{4}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{16}}} = 2{{{\bar {V}}}_{{14}}} + 2{{{\bar {V}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{{11}}} + 2{{{\bar {V}}}_{6}}{{{\bar {V}}}_{{10}}} + \bar {V}_{8}^{2} + \\ + \,\,\,\frac{3}{2}\left( {2{{{\bar {V}}}_{{10}}} + 3\bar {V}_{6}^{2}} \right)\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{{15}}{4}{{{\bar {V}}}_{6}}\tilde {V}_{2}^{4} + \frac{{35}}{{64}}\tilde {V}_{2}^{6}. \\ \end{gathered} $

Начиная с ${{{{\bar {\varphi }}}}_{{11}}}$ приведенные соотношения справедливы только на оси z.

Балансы членов в уравнении (2) (первый баланс – члены порядка ${{x}^{0}}$) приводят к следующим выражениям для коэффициентов ${{{{\bar {\varphi }}}}_{k}}$ и для ${{\bar {V}}_{k}}$, необходимых в дальнейшем

$\begin{gathered} {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{6}} = \frac{4}{5}{{{\bar {a}}}_{2}} - \frac{3}{{10}}\bar {N}_{0}^{2},\,\,\,\,{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{7}} = \frac{2}{3}{{{\bar {a}}}_{3}} + \frac{8}{{15}}{{a}_{0}}{{T}_{0}}, \\ {{T}_{0}} = {{\kappa }_{{10}}} + {{\kappa }_{{20}}},\,\,\,\,{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{8}} = \frac{4}{7}{{{\bar {a}}}_{4}} + {{a}_{0}}{{{\bar {a}}}_{1}}\left( {\frac{{13}}{{30}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{14}}{{15}}{{\kappa }_{{20}}}} \right) - \\ - \,\,\frac{2}{3}{{{\bar {b}}}_{4}} + {{a}_{0}}{{{\bar {N}}}_{0}}\left( {\frac{2}{7}\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}} - \frac{1}{2}{{k}_{{20}}}} \right) - \frac{5}{{84}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{9}} = \frac{1}{2}{{{\bar {a}}}_{5}} + {{a}_{0}}{{{\bar {a}}}_{2}}\left( {\frac{{289}}{{1050}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{56}}{{75}}{{\kappa }_{{20}}}} \right) - \\ - \,\,\frac{{23}}{{42}}{{{\bar {a}}}_{1}}{{{\bar {b}}}_{4}} - {{a}_{0}}{{{\bar {a}}}_{1}}{{k}_{{20}}}{{{\bar {N}}}_{0}} - \frac{5}{{42}}{{{\bar {a}}}_{1}}\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{{11}}{{14}}{{{\bar {b}}}_{5}} + \\ + \,\,\frac{3}{{14}}{{{\bar {N}}}_{0}}\frac{{{{a}_{{1,2}}}}}{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}} + {{a}_{0}}\bar {N}_{0}^{2}\left( {\frac{{449}}{{700}}{{\kappa }_{{10}}} - \frac{{233}}{{350}}{{\kappa }_{{20}}}} \right), \\ \end{gathered} $
(49)
$\begin{gathered} {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{10}}} = \frac{4}{9}{{{\bar {a}}}_{6}} + {{a}_{0}}{{{\bar {a}}}_{3}}\left( {\frac{8}{{45}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{28}}{{45}}{{\kappa }_{{20}}}} \right) - \\ - \,\,\frac{{16}}{{45}}{{{\bar {a}}}_{2}}{{{\bar {b}}}_{4}} - \frac{3}{5}{{a}_{0}}{{{\bar {a}}}_{2}}{{k}_{{20}}}{{{\bar {N}}}_{0}} - \frac{2}{{21}}{{{\bar {a}}}_{2}}\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{8}{9}{{{\bar {b}}}_{6}} + \\ + \,\,\frac{{83}}{{225}}a_{0}^{2}\left( {\kappa _{{10}}^{2} + \kappa _{{20}}^{2}} \right) + \frac{{157}}{{450}}a_{0}^{2}{{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20}}} - \frac{1}{2}\frac{{a_{{0,2}}^{2}}}{{a_{0}^{2}b_{0}^{2}}} - \\ - \,\,\frac{4}{9}a_{0}^{2}{{k}_{{20}}}\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}} + \frac{1}{6}{{{\bar {N}}}_{0}}\frac{{{{a}_{{2,2}}}}}{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}} - \frac{{99}}{{160}}{{{\bar {b}}}_{4}}\bar {N}_{0}^{2} + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} + \frac{{733}}{{3780}}\bar {N}_{0}^{2}\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{{101}}{{360}}{{a}_{0}}{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{3};\,\,\,\,{{{\bar {V}}}_{4}} = \frac{2}{5}{{{\bar {a}}}_{2}} - \frac{3}{{20}}\bar {N}_{0}^{2}, \\ {{{\bar {V}}}_{5}} = \frac{1}{3}{{{\bar {a}}}_{3}} + \frac{4}{{15}}{{a}_{0}}T_{0}^{{}},\,\,\,{{{\bar {V}}}_{6}} = \frac{2}{7}{{{\bar {a}}}_{4}} + \\ + \,\,{{a}_{0}}{{{\bar {a}}}_{1}}\left( {\frac{1}{{12}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{1}{3}{{\kappa }_{{20}}}} \right) - \frac{1}{3}{{{\bar {b}}}_{4}} + \\ + \,\,{{a}_{0}}{{{\bar {N}}}_{0}}\left( {\frac{1}{7}\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}} - \frac{1}{4}{{k}_{{20}}}} \right) - \frac{{17}}{{42}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{{\bar {V}}}_{7}} = \frac{1}{4}{{{\bar {a}}}_{5}} + {{a}_{0}}{{{\bar {a}}}_{2}}\left( {\frac{{13}}{{420}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{4}{{15}}{{\kappa }_{{20}}}} \right) - \\ - \,\,\frac{3}{{28}}{{{\bar {a}}}_{1}}{{{\bar {b}}}_{4}} - \frac{3}{8}{{a}_{0}}{{{\bar {a}}}_{1}}{{k}_{{20}}}{{{\bar {N}}}_{0}} - \frac{{17}}{{28}}{{{\bar {a}}}_{1}}\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{{11}}{{28}}{{{\bar {b}}}_{5}} + \\ + \,\,\frac{3}{{28}}{{{\bar {N}}}_{0}}\frac{{{{a}_{{1,2}}}}}{{{{a}_{0}}{{b}_{0}}}} + {{a}_{0}}\bar {N}_{0}^{2}\left( {\frac{{101}}{{280}}{{\kappa }_{{10}}} - \frac{{41}}{{140}}{{\kappa }_{{20}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Балансы уравнения ${{{{\varphi }}}_{{,22}}} = {{\left( {{{h}_{2}}E} \right)}_{{,2}}}$. Формула (41) выражала баланс членов порядка ${{x}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$ в уравнении (16). При рассмотрении членов более высокого порядка используются формулы

(50)
$\begin{gathered} {{{{\varphi }}}_{{k,2}}} = \frac{1}{2}V_{2}^{2}\left[ {{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{k,2}}} + {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{k}}\left( {\frac{4}{3}\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{a}_{0}}}} + \frac{2}{3}{{{\bar {J}}}_{{,2}}}} \right)} \right],\,\,\,{{{\bar {J}}}_{{,2}}} \equiv \frac{{{{J}_{{,2}}}}}{J}; \\ {{{{\varphi }}}_{{k,22}}} = \frac{1}{2}V_{2}^{2}\left[ {{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{k,22}}} + {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{k}}\left( {\frac{4}{3}\frac{{{{a}_{{0,22}}}}}{{{{a}_{0}}}} + \frac{2}{3}{{{\bar {J}}}_{{,22}}}} \right)} \right], \\ {{{\bar {J}}}_{{,22}}} \equiv \frac{{{{J}_{{,22}}}}}{J}. \\ \end{gathered} $

Приравняв в (16) члены порядка ${{x}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$${{x}^{{{{10} \mathord{\left/ {\vphantom {{10} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$, выполнив однократное дифференцирование по ${{x}^{2}}$ полученных таким образом правых частей и двукратное дифференцирование функций ${{{{\varphi }}}_{k}}$ из (49) в левых частях, приходим к следующим соотношениям:

$\begin{gathered} \frac{{{{a}_{{1,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{1}{9}V_{2}^{2}\left( { - \frac{{46}}{{45}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{14}}{{45}}{{\kappa }_{{20}}}} \right), \\ \frac{{{{a}_{{2,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{{80}}{{63}}{{{\bar {b}}}_{4}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} + \frac{3}{{14}}\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{2}}}{{b_{0}^{2}}} - \frac{1}{6}{{\left( {{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{2}} \right)}_{{,2}}} - \frac{{10}}{{63}}\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{{}}}}{{b_{0}^{{}}}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ \frac{{{{{\bar {b}}}_{{3,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - 5{{{\bar {b}}}_{9}} - \frac{{13}}{2}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{6}}, \\ \end{gathered} $
(51)
$\begin{gathered} \frac{{{{{\bar {b}}}_{{4,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{3}{2}\left[ {\frac{9}{7}\frac{{{{{\bar {a}}}_{{4,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + \left( { - \frac{{61}}{{21}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} + \frac{{11}}{{42}}\tilde {V}_{2}^{2}} \right){{{\bar {b}}}_{6}} + } \right. \\ \,\, + \left( { - \frac{{23}}{{270}}\kappa _{{10}}^{2} + \frac{{434}}{{18\,225}}\kappa _{{20}}^{2} - \frac{{1907}}{{36\,450}}{{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\tilde {V}_{2}^{2} + \\ + \,\,\left( {\frac{{77}}{{90}}\kappa _{{10}}^{2} + \frac{{53}}{{90}}\kappa _{{20}}^{2} + \frac{{403}}{{450}}{{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} - \\ \left. { - \,\,\frac{1}{4}\frac{1}{{b_{0}^{2}}}{{{\left( {{{a}_{0}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{k}_{{20}}}} \right)}}_{{,22}}} - \frac{7}{6}{{k}_{{20}}}\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Члены с ${{k}_{{20}}}$, присущие осесимметричной задаче, раскрываются следующим образом:

(52)
$\begin{gathered} \cos \theta = 1 - \frac{1}{2}b_{3}^{2}{{\eta }^{2}} + 0 \cdot {{\eta }^{3}},\,\,\,\,R = {{b}_{0}}\eta - \frac{1}{6}{{b}_{0}}b_{3}^{2}{{\eta }^{3}}, \\ {{N}_{0}} = {{N}_{{0,2}}}\eta + \frac{1}{6}{{N}_{{0,222}}}{{\eta }^{3}},\,\,\,\,\frac{1}{{b_{0}^{3}}}{{N}_{{0,222}}} = - {{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20}}}\frac{1}{{{{b}_{0}}}}{{N}_{{0,2}}}, \\ {{a}_{0}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{k}_{{20}}} = {{\left( {\frac{{9J}}{2}} \right)}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}a_{0}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}{{N}_{0}}\left( { - \frac{{\cos \theta }}{R}} \right), \\ \frac{1}{{{{b}_{0}}}}{{N}_{{0,2}}} = J - \frac{{\cos \theta }}{{{{R}_{0}}}}{{N}_{0}},\,\,\,{{a}_{0}} = 1 + \frac{1}{2}{{a}_{{0,22}}}{{\eta }^{2}}, \\ \frac{1}{{{{b}_{0}}}}{{{\bar {N}}}_{{0,2}}} = \frac{1}{9}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,{{a}_{0}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{k}_{{20}}} = - \frac{{a_{0}^{2}{{N}_{{0,2}}}}}{{{{V}_{2}}}} \times \\ \times \,\,\left( {1 + \frac{2}{3}\frac{{{{a}_{{0,22}}}}}{{{{a}_{0}}}}{{\eta }^{2}}} \right)\eta \left( {1 + \frac{1}{6}\frac{{{{N}_{{0,222}}}}}{{{{N}_{{0,2}}}}}{{\eta }^{2}}} \right) \times \\ \times \left( {1 - \frac{1}{6}{{{\bar {J}}}_{{,22}}}{{\eta }^{2}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{2}b_{3}^{2}{{\eta }^{2}}} \right)\frac{1}{{{{b}_{0}}\eta }}\left( {1 + \frac{1}{6}b_{3}^{2}{{\eta }^{2}}} \right); \\ - \frac{1}{4}\frac{1}{{b_{0}^{2}}}{{\left( {{{a}_{0}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{k}_{{20}}}} \right)}_{{,22}}} - \frac{7}{6}{{k}_{{20}}}\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} = - \frac{{23}}{{54}}{{{\bar {b}}}_{6}}\tilde {V}_{2}^{2}. \\ \end{gathered} $

Последнее выражение получено с учетом значения ${{\bar {N}}_{{0,2}}}$ в осесимметричном случае из (8).

Продолжая рассмотрение уравнения ${{{{\varphi }}}_{{,2}}} = {{h}_{2}}E$, для ${{{{\varphi }}}_{{9,22}}}$ имеем (${{{{\varphi }}}_{9}} = 0$ на оси):

(53)
$\begin{gathered} \frac{{{{{\bar {b}}}_{{5,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{{28}}{{11}}\left\{ {\frac{5}{4}\frac{{{{{\bar {a}}}_{{5,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + \left( {\frac{{1409}}{{2100}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{68}}{{75}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\frac{{{{a}_{{2,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + } \right. \\ + \,\,\left( { - \frac{{23}}{{84}}{{{\bar {b}}}_{4}} + \frac{3}{{14}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} - \frac{{65}}{{252}}\tilde {V}_{2}^{2}} \right)\frac{{{{a}_{{1,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + \\ + \,\,\left( {\frac{{449}}{{700}}{{\kappa }_{{10}}} - \frac{{233}}{{350}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{2}}}{{b_{0}^{2}}} + \\ + \,\,\left[ {\left( { - \frac{4}{{15}}{{{\bar {b}}}_{4}} - \frac{{379}}{{5670}}\tilde {V}_{2}^{2}} \right){{\kappa }_{{10}}} - \left( {\frac{{19}}{{15}}{{{\bar {b}}}_{4}} - \frac{{1318}}{{2835}}\tilde {V}_{2}^{2}} \right){{\kappa }_{{20}}}} \right] \times \\ \times \,\,\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} + \left( {\frac{{11}}{6}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}} - \frac{1}{3}{{{\bar {V}}}_{9}} - {{{\bar {b}}}_{7}}} \right)\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} - \frac{1}{2}\frac{1}{{b_{0}^{2}}}{{\left( {{{a}_{1}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{k}_{{20}}}} \right)}_{{,22}}} + \\ \left. { + \,\,{{{\left[ {{{k}_{{20}}}{{{\bar {N}}}_{0}}\left( {\frac{{31}}{{70}}{{\kappa }_{{10}}}{{{\bar {N}}}_{0}} + \frac{1}{5}{{\kappa }_{{20}}}{{{\bar {N}}}_{0}} + \frac{9}{{28}}\frac{{{{a}_{{1,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}} \right)} \right]}}_{{,2}}}} \right\}. \\ \end{gathered} $

Члены с производными, обязанными осесимметричности, раскрываются так:

(54)
$\begin{gathered} {{a}_{1}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{k}_{{20}}} = - \frac{1}{2}{{a}_{{1,22}}}{{\eta }^{2}}\frac{{{{a}_{0}}{{N}_{{0,2}}}}}{{{{V}_{2}}}}\eta \left( {1 + \frac{1}{3}\frac{{{{a}_{{0,22}}}}}{{{{a}_{0}}}}{{\eta }^{2}}} \right) \times \\ \times \,\,\left( {1 + \frac{1}{6}\frac{{{{N}_{{0,222}}}}}{{{{N}_{{0,2}}}}}{{\eta }^{2}}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{6}{{{\bar {J}}}_{{,22}}}{{\eta }^{2}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{2}b_{3}^{2}{{\eta }^{2}}} \right) \times \\ \times \,\,\frac{1}{{{{b}_{0}}\eta }}\left( {1 + \frac{1}{6}b_{3}^{2}{{\eta }^{2}}} \right) = - \frac{1}{9}{{a}_{{1,22}}}\tilde {V}_{2}^{2}{{\eta }^{2}}, \\ {{\left( {{{a}_{1}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{k}_{{20}}}} \right)}_{{,22}}} = - \frac{2}{9}{{a}_{{1,22}}}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,{{\left( {{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{2}} \right)}_{{,2}}} = - \bar {N}_{{0,2}}^{2}, \\ \left( {{{a}_{{1,2}}}{{k}_{{20}}}{{{\bar {N}}}_{0}}} \right) = - {{a}_{{1,22}}}{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}. \\ \end{gathered} $

В соответствии с формулами (42)–(44) нам необходимо вычислить производную ${{\bar {b}}_{{6,22}}}$ и коэффициент ${{\bar {b}}_{{12}}}$. Обозначим через ${{\bar {B}}_{{6,22}}}$ фрагмент функции ${{\bar {b}}_{{6,22}}}$, общий для осесимметричных и плоских течений и через ${{{{\bar {\beta }}}}_{{6,22}}}$ слагаемые, присущие осесимметричным потокам. Баланс членов порядка ${{x}^{{{{10} \mathord{\left/ {\vphantom {{10} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}$, позволяющий рассчитать четвертую производную плотности тока эмиссии, приводит к следующему результату:

(55)
$\begin{gathered} \frac{4}{9}\frac{{{{{\bar {B}}}_{{6,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{{83}}{{225}}\frac{1}{{b_{0}^{2}}}\left( {{{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{10,22}}} + {{\kappa }_{{20}}}{{\kappa }_{{20,22}}}} \right) + \\ + \,\,\frac{{157}}{{900}}\frac{1}{{b_{0}^{2}}}\left( {{{\kappa }_{{20}}}{{\kappa }_{{10,22}}} + {{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20,22}}}} \right) - \left( {6{{{\bar {b}}}_{9}} + 2{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{6}}} \right) \times \\ \times \,\,\left( {\frac{{28}}{{45}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{38}}{{45}}{{\kappa }_{{20}}}} \right) - 2{{{\bar {b}}}_{6}}\left[ {\frac{{383}}{{225}}\left( {\kappa _{{10}}^{2} + \kappa _{{20}}^{2}} \right)} \right. \\ \left. { + \,\,\frac{{73}}{{50}}{{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20}}} + \frac{4}{9}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}} \right] - \frac{2}{9}\bar {b}_{6}^{2} + \frac{{11}}{9}\frac{{{{a}_{{6,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + \\ + \,\,\left( {\frac{{332}}{{225}}\kappa _{{10}}^{2} + } \right.\frac{{272}}{{225}}\kappa _{{20}}^{2} + \frac{{254}}{{225}}{{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20}}} - \frac{1}{3}{{{\bar {V}}}_{{10}}} + \\ + \,\,2{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}} - \frac{{1405}}{{10\,206}}\bar {b}_{4}^{2} + \left. {\frac{{1445}}{{3402}}{{{\bar {b}}}_{4}}\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{{3364}}{{35\,721}}\tilde {V}_{2}^{4}} \right) \times \\ \times \,\,\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} + \left( { - \frac{{92}}{{135}}{{{\bar {b}}}_{4}} + \frac{{733}}{{3780}}\tilde {V}_{2}^{2}} \right)\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{2}}}{{b_{0}^{2}}} + \\ + \,\,\frac{{32\,506}}{{178\,605}}{{{\bar {b}}}_{4}}\tilde {V}_{2}^{4} - \frac{{115}}{{23\,814}}\tilde {V}_{2}^{6}. \\ \end{gathered} $

Функция ${{{{{{{\bar {\beta }}}}}_{{6,22}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{{\bar {\beta }}}}}_{{6,22}}}} {b_{0}^{2}}}} \right. \kern-0em} {b_{0}^{2}}}$ определена выражением

$\begin{gathered} \frac{4}{9}\frac{{{{{{{\bar {\beta }}}}}_{{6,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - \frac{2}{9}\frac{1}{{b_{0}^{2}}}{{\left( {{{a}_{0}}{{k}_{{20}}}\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}} \right)}_{{,22}}} - \frac{{15}}{{64}}\frac{1}{{b_{0}^{2}}}{{\left( {{{a}_{0}}{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{3}} \right)}_{{,22}}} - \\ - \,\,\frac{3}{{10}}\frac{1}{{b_{0}^{2}}}{{\left( {{{{\bar {a}}}_{2}}{{a}_{0}}{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{{}}} \right)}_{{,22}}} - \\ - \,\,\frac{1}{{{{b}_{0}}}}\left( {\frac{{11}}{{40}}{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{{}}\frac{{{{a}_{{2,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} - \frac{{263}}{{360}}{{{\bar {b}}}_{4}}{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{2} + } \right. \\ {{\left. { + \,\,\frac{1}{6}k_{{20}}^{2}\bar {N}_{0}^{3} + \frac{{29}}{{72}}{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{2}\tilde {V}_{2}^{2}} \right)}_{{,2}}} + \frac{{16}}{9}\left( {2{{{\bar {b}}}_{6}} - \frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}} \right) \times \\ \end{gathered} $
(56)
$\begin{gathered} \times \,\,{{a}_{0}}{{k}_{{20}}}\frac{{{{a}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} - \frac{{271}}{{1440}}\frac{{\bar {N}_{0}^{2}}}{{b_{0}^{2}}}{{a}_{0}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{k}_{{20}}} = \\ = 8\bar {b}_{6}^{2} + \frac{8}{{27}}\bar {b}_{3}^{2}{{{\bar {b}}}_{6}} - \frac{{32}}{{81}}{{{\bar {b}}}_{6}}\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{{476\,977}}{{7\,348\,320}}\tilde {V}_{2}^{6}. \\ \end{gathered} $

Функции ${{a}_{{k,22}}}$ из (43) при получении асимптотики для уравнения второго приближения (9) относительно ${{h}_{{2,22}}}$ и расчете четвертой производной плотности тока эмиссии (уравнения (51), (53)(56)) выражаются через коэффициенты ${{{{\bar {\varphi }}}}_{k}}$, ${{\bar {b}}_{k}}$, связь между которыми устанавливает справедливое на оси z уравнение (6). Поскольку это уравнение имеет различный вид для плоских и осесимметричных течений, два варианта потоков приходится рассматривать раздельно.

Сопоставление уравнений для ${{\bar {a}}_{{1,22}}}$, ${{\bar {a}}_{{2,22}}}$ из (43), (51) позволяет вычислить значения функций ${{\bar {b}}_{7}}$, ${{\bar {b}}_{8}}$, в то время как определение прочих ${{\bar {b}}_{k}}$ – отдельная задача:

(57)
$\begin{gathered} {{{\bar {b}}}_{7}} = - \frac{1}{7}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{4}} + \left( {\frac{{23}}{{630}}{{\kappa }_{{10}}} - \frac{1}{{90}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{\bar {b}}}_{8}} = - \frac{1}{{10}}\bar {b}_{4}^{2} - \frac{2}{7}{{{\bar {b}}}_{4}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} + \frac{3}{{112}}{{\left( {{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{2}} \right)}_{{,2}}} - \\ - \,\,\frac{{27}}{{560}}\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{2}}}{{b_{0}^{2}}} + \frac{3}{{112}}{{\left( {{{k}_{{20}}}\bar {N}_{0}^{2}} \right)}_{{,2}}}. \\ \end{gathered} $

5. СВЯЗЬ ФУНКЦИЙ ${{{{\bar {\varphi }}}}_{k}}$ И ${{\bar {b}}_{k}}$ НА ОСИ ПУЧКА

Плоские потоки. Предварим рассмотрение балансов в уравнении (6) специализацией уже полученных результатов:

$\begin{gathered} {{{\bar {b}}}_{4}} = - \frac{1}{6}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} = \frac{2}{9}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,{{{\bar {b}}}_{7}} = \frac{4}{{315}}{{\kappa }_{{10}}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{\bar {b}}}_{8}} = \frac{{101}}{{7560}}\tilde {V}_{2}^{4},\,\,\,\,{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{8}} = \frac{{13}}{{252}}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,{{{\bar {V}}}_{6}} = - \frac{{22}}{{63}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ \frac{{{{a}_{{1,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - \frac{{46}}{{405}}{{\kappa }_{{10}}}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,\frac{{{{a}_{{2,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - \frac{{122}}{{1701}}\tilde {V}_{2}^{4}; \\ \end{gathered} $
(58)
$\begin{gathered} \frac{{{{{\bar {b}}}_{{4,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{3}{2}\left( {\frac{9}{7}\frac{{{{{\bar {a}}}_{{4,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} - \frac{{145}}{{378}}{{{\bar {b}}}_{6}}\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{{17}}{{162}}{{\kappa }_{{10}}}\tilde {V}_{2}^{2}} \right), \\ \frac{{{{{\bar {b}}}_{{5,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{{28}}{{11}}\left[ {\frac{5}{4}\frac{{{{{\bar {a}}}_{{5,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + \frac{{1409}}{{2100}}{{\kappa }_{{10}}}\frac{{{{a}_{{2,22}}}}}{{b_{0}^{2}}}} \right. - \\ - \,\,\frac{{83}}{{504}}\frac{{{{a}_{{1,22}}}}}{{b_{0}^{2}}}\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} \times \\ \left. { \times \,\,\left( {\frac{{449}}{{700}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} - \frac{{127}}{{5670}}{{\kappa }_{{10}}}\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{{11}}{6}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}} - \frac{1}{3}{{{\bar {V}}}_{9}} - {{{\bar {b}}}_{7}}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{{{{\bar {b}}}_{{6,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{9}{4}\left[ {\frac{{11}}{9}\frac{{{{{\bar {a}}}_{{6,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + \frac{{17}}{9}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{9}} - \frac{{2839}}{{450}}\bar {b}_{3}^{2}{{{\bar {b}}}_{6}} - \frac{2}{9}\bar {b}_{6}^{2}} \right. + \\ + \,\,\frac{{3487}}{{11\,340}}\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{2}}}{{b_{0}^{2}}}\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}\left( { - \frac{8}{9}{{{\bar {b}}}_{6}} + \frac{{332}}{{225}}\bar {b}_{3}^{2}} \right. + \\ + 2{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}} - \frac{1}{3}{{{\bar {V}}}_{{10}}} - \frac{{1405}}{{10206}}\bar {b}_{4}^{2} + \frac{{1445}}{{3402}}{{{\bar {b}}}_{4}}\tilde {V}_{2}^{2} - \\ \left. {\left. { - \,\,\frac{{3364}}{{35\,721}}\tilde {V}_{2}^{4}} \right) - \frac{{769}}{{21\,870}}\tilde {V}_{2}^{6}} \right]. \\ \end{gathered} $

Выпишем балансы уравнения (6), начиная с членов порядка x4/3:

(59)
$\begin{gathered} {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{10}}} = - \frac{8}{9}{{{\bar {b}}}_{6}} + \frac{{83}}{{225}}\bar {b}_{3}^{2},\,\,\,\,{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}} = - \frac{{44}}{{45}}{{{\bar {b}}}_{7}} - \\ - \,\,\frac{{584}}{{675}}\bar {b}_{4}^{{}}{{T}_{0}} + \frac{{152}}{{315}}{{T}_{0}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}} = - \frac{{58}}{{55}}{{{\bar {b}}}_{8}} + \frac{{321}}{{21\,560}}\tilde {V}_{2}^{4}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{13}}} = \frac{{37}}{{33}}\left( { - {{{\bar {b}}}_{9}} - \frac{{413}}{{370}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{10}}} + \frac{{39\,911}}{{249\,750}}\bar {b}_{3}^{3}} \right), \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{14}}} = \frac{9}{{78}}\left( { - \frac{{92}}{9}{{{\bar {b}}}_{{10}}} - \frac{{224}}{{45}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}}} \right. + \\ \left. { + \,\,\frac{{23}}{{56}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{10}}}\bar {V}_{2}^{2} - \frac{{1381}}{{56\,700}}\bar {b}_{3}^{2}\tilde {V}_{2}^{2}} \right), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{15}}} = \frac{9}{{91}}\left( { - \frac{{112}}{9}{{{\bar {b}}}_{{11}}} - \frac{{364}}{{45}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}}} \right. + \\ \left. { + \,\,\frac{{244}}{{189}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}}\bar {V}_{2}^{2} + \frac{{5078}}{{178\,605}}\bar {b}_{3}^{{}}\tilde {V}_{2}^{4}} \right); \\ {{{\bar {b}}}_{{12}}} = - \frac{1}{{134}}\left[ {105{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{16}}} + \frac{{853}}{{10}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{13}}}} \right. - \\ - \,\,\left( {11{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}} + \frac{{89}}{{21}}{{{\bar {V}}}_{{10}}}} \right)\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{3}{4}{{\bar {\varphi }}}_{{10}}^{2} + \\ + \,\,\left( {83{{{\bar {b}}}_{6}} + \frac{8}{{25}}\bar {b}_{3}^{2}} \right){{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{10}}} - \frac{{145}}{{63}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{8}}\tilde {V}_{2}^{4} + 2\bar {V}_{6}^{3} + \\ + \,\,\left( { - \frac{{331}}{{63}}{{{\bar {b}}}_{8}} + \frac{{8035}}{{7938}}{{{\bar {b}}}_{4}}} \right.\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{5}{2}\bar {V}_{6}^{2} - \frac{9}{4}{{{\bar {V}}}_{6}}\tilde {V}_{2}^{2} - \\ \left. {\left. { - \,\,\frac{{31}}{4}\tilde {V}_{2}^{4}} \right)\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{{796}}{{15}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{9}} - \frac{{5632}}{{354\,375}}\bar {b}_{3}^{4}} \right]. \\ \end{gathered} $

Осесимметричные потоки. Формулы для параметров осесимметричного течения, аналогичные (58), имеют вид22

$\begin{gathered} {{{\bar {b}}}_{4}} = - \frac{1}{{12}}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} = \frac{1}{9}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,{{{\bar {b}}}_{7}} = \frac{{17}}{{1260}}{{\kappa }_{{10}}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{\bar {b}}}_{8}} = \frac{{151}}{{30\,240}}\tilde {V}_{2}^{4},\,\,\,\,{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{8}} = \frac{{13}}{{252}}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,{{{\bar {V}}}_{6}} = - \frac{{22}}{{63}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ \frac{{{{a}_{{1,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{{32}}{{405}}{{\kappa }_{{10}}}\tilde {V}_{2}^{2},\,\,\,\,\frac{{{{a}_{{2,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - \frac{{43}}{{1701}}\tilde {V}_{2}^{4}, \\ \end{gathered} $
(60)
$\begin{gathered} \frac{{{{{\bar {b}}}_{{4,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = - 15{{{\bar {b}}}_{{10}}} + \frac{{323\,382}}{{16\,065}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{7}} + \frac{{85}}{{21}}{{{\bar {b}}}_{4}}{{{\bar {b}}}_{6}}, \\ \frac{{{{{\bar {b}}}_{{5,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{{28}}{{11}}\left[ { - \frac{{110}}{9}{{{\bar {b}}}_{{11}}} - \frac{{50}}{9}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{8}} - \frac{{40}}{9}{{{\bar {b}}}_{4}}{{{\bar {b}}}_{7}}} \right. - \\ - \,\,\frac{{3313}}{{2100}}{{{\bar {b}}}_{3}}\frac{{{{a}_{{2,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} - \frac{{65}}{{126}}\frac{{{{{\bar {a}}}_{{1,22}}}}}{{b_{0}^{2}}}\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{{917}}{{700}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} + \\ \left. { + \,\,\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}\left( { - \frac{{5963}}{{11\,340}}{{{\bar {b}}}_{3}} + \frac{{11}}{6}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}} - \frac{1}{3}{{{\bar {V}}}_{9}} - {{{\bar {b}}}_{7}}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{{{{\bar {b}}}_{{6,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} = \frac{9}{4}\left[ { - \frac{{132}}{9}{{{\bar {b}}}_{{12}}} - \frac{{109}}{{45}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{9}} - \frac{{484}}{{81}}\bar {b}_{4}^{{}}{{{\bar {b}}}_{8}}} \right. + \\ + \,\,\frac{{16}}{3}\bar {b}_{6}^{2} - \frac{{2659}}{{270}}\bar {b}_{3}^{2}{{{\bar {b}}}_{6}} + \frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}\left( { - \frac{{40}}{9}{{{\bar {b}}}_{6}} + \frac{{289}}{{75}}\bar {b}_{3}^{2}} \right. + \\ \left. { + \,\,2{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}} - \frac{1}{3}{{{\bar {V}}}_{{10}}} - \frac{{1405}}{{10\,206}}\bar {b}_{4}^{2} + \frac{{64\,807}}{{90\,720}}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}\tilde {V}_{2}^{2}} \right) - \\ \left. { - \,\,\,\frac{{10\,714}}{{535\,815}}\tilde {V}_{2}^{6}} \right]. \\ \end{gathered} $

Балансы в уравнении (6) в осесимметричном случае приводят к следующим соотношениям:

$\begin{gathered} {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{10}}} = - \frac{{16}}{9}{{{\bar {b}}}_{6}} + \frac{{163}}{{150}}\bar {b}_{3}^{2}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}} = - \frac{{88}}{{45}}{{{\bar {b}}}_{7}} - \frac{{43}}{{45}}\bar {b}_{4}^{{}}{{T}_{0}} - \frac{{1319}}{{56\,700}}{{T}_{0}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}} = - \frac{{116}}{{55}}{{{\bar {b}}}_{8}} + \frac{{5699}}{{582\,120}}\tilde {V}_{2}^{4}, \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{13}}} = \frac{3}{{11}}\left( { - \frac{{74}}{9}{{{\bar {b}}}_{9}} + \frac{{4898}}{{405}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{6}} - \frac{{122\,029}}{{30\,375}}\bar {b}_{3}^{3}} \right), \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{14}}} = \frac{9}{{39}}\left( { - \frac{{92}}{9}{{{\bar {b}}}_{{10}}} - \frac{{219}}{{90}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}}} \right. + \\ \end{gathered} $
(61)
$\begin{gathered} \left. { + \,\,\frac{{8259}}{{24\,192}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{10}}}\bar {V}_{2}^{2} - \frac{{244\,501}}{{725\,760}}\bar {b}_{3}^{2}\tilde {V}_{2}^{2}} \right), \\ {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{15}}} = \frac{{18}}{{91}}\left( { - \frac{{112}}{9}{{{\bar {b}}}_{{11}}} - 5{{{\bar {b}}}_{3}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}} + \frac{1}{3}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{11}}}\bar {V}_{2}^{{{{2}^{{^{{}}}}}}}} \right. - \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \left. { - \,\,\frac{{1\,369\,973}}{{5\,000\,940}}\bar {b}_{3}^{{}}\tilde {V}_{2}^{4}} \right);\,\,\,\,{{{\bar {b}}}_{{12}}} = - \frac{1}{{134}}\left[ {\frac{{105}}{2}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{16}}}} \right. + \\ + \,\,\frac{{99}}{5}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{13}}} - \left( {\frac{{13}}{4}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{12}}} + \frac{{41}}{{21}}{{{\bar {V}}}_{{10}}}} \right)\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{3}{8}{{\bar {\varphi }}}_{{10}}^{2} + \\ + \,\,\left( {\frac{{1075}}{{16}}{{{\bar {b}}}_{6}} - \frac{{52}}{{75}}\bar {b}_{3}^{2}} \right){{{{{\bar {\varphi }}}}}_{{10}}} - \frac{{76}}{{567}}{{{{{\bar {\varphi }}}}}_{8}}\tilde {V}_{2}^{4} + \frac{1}{9}\bar {V}_{6}^{3} + \\ + \,\,\left( {\frac{{17}}{9}{{{\bar {b}}}_{8}} + \frac{3}{4}{{{\bar {b}}}_{4}}} \right.\tilde {V}_{2}^{2} - \left. {\frac{5}{{27}}\bar {V}_{6}^{2} - \frac{{37}}{{216}}{{{\bar {V}}}_{6}}\tilde {V}_{2}^{2} + \frac{{565}}{{31\,104}}\tilde {V}_{2}^{4}} \right) \times \\ \times \,\,\left. {\tilde {V}_{2}^{2} - \frac{{1502}}{{15}}{{{\bar {b}}}_{3}}{{{\bar {b}}}_{9}} + \frac{{7424}}{{50\,625}}\bar {b}_{3}^{4}} \right]. \\ \end{gathered} $

Антипараксиальные разложения, определяющие асимптотику решения вблизи сингулярной стартовой поверхности при эмиссии в ${{\rho }}$-режиме, обладают тем свойством, что коэффициенты разложения потенциала ${{{{\varphi }}}_{{4 + 3k}}}$ могут быть заданы произвольно, в то время как коэффициенты с промежуточными значениями индексов жестко определены (регламентированы) значениями компонент магнитного поля на катоде и коэффициентами ${{{{\varphi }}}_{{4 + 3k}}}$. Впервые этот факт был отмечен в работе [11]. В применении к рассматриваемой задаче величины ${{{{\varphi }}}_{{4 + 3k}}}$, $k \geqslant 0$ задают плотность тока эмиссии J, кривизну катода ${{\kappa }_{{10}}}$, вторую производную ${{J}_{{,22}}}$, вторую производную кривизны ${{\kappa }_{{10,22}}}$, четвертую производную ${{J}_{{,2222}}}$ и т.д., полностью определяя тем самым физические и геометрические параметры пучка.

Связь пар ${{\bar {b}}_{4}}$, ${{{{\bar {\varphi }}}}_{8}}$; ${{\bar {b}}_{5}}$, ${{{{\bar {\varphi }}}}_{9}}$; ${{\bar {b}}_{7}}$, ${{{{\bar {\varphi }}}}_{{11}}}$; ${{\bar {b}}_{8}}$, ${{{{\bar {\varphi }}}}_{{12}}}$ позволяет рассчитать коэффициенты разложения потенциала при известных значениях ${{\bar {b}}_{k}}$, которые удалось установить на основе регуляризации решения. Соответствующие коэффициенты разложения скорости ${{\bar {V}}_{k}}$ следуют из интеграла энергии (48). Однако выполненная регуляризация не дает возможности указать значения коэффициентов ${{b}_{k}} \ne {{b}_{{3l}}}$ начиная с $k = 10$.

6. РЕГЛАМЕНТИРОВАННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ${{b}_{k}}$, $k > 10$

Необходимые в рамках рассматриваемой модели коэффициенты ${{b}_{{10}}}$, ${{b}_{{11}}}$ связаны со значениями ${{{{\varphi }}}_{{14}}}$, ${{{{\varphi }}}_{{15}}}$; ${{V}_{{12}}}$, ${{V}_{{13}}}$. Эволюционное уравнение на оси z

(62)
${{k}_{{1,2}}} = {{h}_{{2,11}}}$

из (8) позволяет выразить величины ${{\bar {b}}_{k}}$ через производные траекторных коэффициентов ${{f}_{k}}$ в формуле (21):

(63)
${{\bar {b}}_{k}} = \frac{1}{{{{b}_{0}}}}{{f}_{{k,2}}}.$

Наиболее простой способ вычисления функций ${{f}_{k}}$ – построение антипараксиальных разложений в ортогональной системе s, l, $\psi $ (нормаль, длина дуги вдоль катода, азимут), связанной со стартовой поверхностью $s = 0$ и имеющей следующие коэффициенты Ляме:

(64)
${{h}_{1}} = 1,\,\,\,\,{{h}_{2}} = 1 - {{\kappa }_{{10}}}s,\,\,\,\,{{h}_{3}} = R = {{R}_{0}}\left( {1 - {{\kappa }_{{20}}}s} \right).$

Поверхность катода зададим параметрически

(65)
$R = {{R}_{0}}\left( l \right),\,\,\,\,z = {{Z}_{0}}\left( l \right).$

Уравнения пучка в рассматриваемом случае определены соотношениями

(66)
$\begin{gathered} {{\left( {{{h}_{2}}{{p}_{l}}} \right)}_{{,s}}} - {{p}_{{s,l}}} + {{h}_{2}}{{H}_{\psi }} = 0,\,\,\,\,p_{l}^{2} + p_{s}^{2} = {{\left( {1 + {{\varphi }}} \right)}^{2}} - 1, \\ {{\left( {{{h}_{2}}{{h}_{3}}{{{{\varphi }}}_{{,s}}}} \right)}_{{,s}}} + {{\left( {\frac{{{{h}_{3}}}}{{{{h}_{2}}}}{{{{\varphi }}}_{{,l}}}} \right)}_{{,l}}} = {{h}_{2}}{{h}_{3}}\left( {1 + {{\tilde {\varphi }}}} \right){{\sigma }}, \\ {{\sigma }} = \frac{{{\rho }}}{{1 + {{\varphi }}}},\,\,\,\,{{\left( {{{h}_{2}}{{h}_{3}}{{\sigma }}{{p}_{s}}} \right)}_{{,s}}} + {{\left( {{{h}_{2}}{{\sigma }}{{p}_{l}}} \right)}_{{,l}}} = 0, \\ - {{\left( {{{h}_{3}}{{H}_{\psi }}} \right)}_{{,s}}} = {{h}_{3}}{{\sigma }}{{p}_{l}},\,\,\,\,\vec {p} = \left( {1 + {{\varphi }}} \right)\vec {v}. \\ \end{gathered} $

Здесь $\vec {p}$ – импульс, ${{\sigma }}$ – скалярная плотность заряда. Структура решения соответствует эмиссии в ${{\rho }}$-режиме:

(67)
$\begin{gathered} {{p}_{s}} = {{U}_{2}}{{s}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\left( {1 + {{{\bar {U}}}_{4}}{{s}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{{\bar {U}}}_{5}}s + ...} \right), \\ {{p}_{l}} = {{U}_{2}}s\left( {{{{\bar {V}}}_{3}} + {{{\bar {V}}}_{4}}{{s}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{{\bar {V}}}_{5}}{{s}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ...} \right), \\ {{\varphi }} = {{{{\varphi }}}_{4}}{{s}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\left( {1 + {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{6}}{{s}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{{{{\bar {\varphi }}}}}_{7}}s + ...} \right), \\ {{\sigma }} = {{s}^{{{{ - 2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 2} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}\left( {{{{{\sigma }}}_{{ - 2}}} + {{{{\sigma }}}_{0}}{{s}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{{{\sigma }}}_{1}}s + ...} \right). \\ \end{gathered} $

Дифференциальное уравнение траектории имеет вид

(68)
$\frac{{dl}}{{ds}} = \frac{{{{p}_{l}}}}{{\left( {1 - {{\kappa }_{1}}s} \right){{p}_{s}}}} = {{{{\alpha }}}_{1}}{{s}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{{{\alpha }}}_{3}}s + ... + {{{{\alpha }}}_{8}}{{s}^{{{8 \mathord{\left/ {\vphantom {8 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}.$

Для решения поставленной задачи необходимо вычислить коэффициенты разложения компонент импульса вплоть до ${{\bar {V}}_{{10}}}$ и ${{\bar {U}}_{9}}$. Функции ${{\bar {V}}_{3}}\left( l \right)$, ${{\bar {V}}_{5}}\left( l \right)$, ${{\bar {V}}_{6}}\left( l \right)$, ${{\bar {U}}_{4}}\left( l \right)$, ${{\bar {U}}_{5}}\left( l \right)$ необходимо разложить в окрестности точки старта $l = {{l}_{0}}$, сохраняя приведенные ниже члены:

(69)
$\begin{gathered} ~{{{\bar {V}}}_{3}}\left( l \right) = {{{\bar {V}}}_{3}}\left( {{{l}_{0}}} \right) + \bar {V}_{3}^{'}\left( {{{l}_{0}}} \right)\bar {l} = {{{\bar {V}}}_{3}}\left( {{{l}_{0}}} \right) + \\ + \,\,\bar {V}_{3}^{'}\left( {{{l}_{0}}} \right)\left( {{{l}_{4}}{{s}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{l}_{6}}{{s}^{2}} + {{l}_{7}}{{s}^{{{7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}} \right), \\ {{{\bar {V}}}_{5}}\left( l \right) = {{{\bar {V}}}_{5}}\left( {{{l}_{0}}} \right) + \bar {V}_{5}^{'}\left( {{{l}_{0}}} \right){{l}_{4}}{{s}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}, \\ {{{\bar {V}}}_{6}}\left( l \right) = {{{\bar {V}}}_{6}}\left( {{{l}_{0}}} \right) + \bar {V}_{6}^{'}\left( {{{l}_{0}}} \right){{l}_{4}}{{s}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}, \\ {{{\bar {U}}}_{4}}\left( l \right) = {{{\bar {U}}}_{4}}\left( {{{l}_{0}}} \right) + \bar {U}_{4}^{'}\left( {{{l}_{0}}} \right){{l}_{4}}{{s}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}, \\ {{{\bar {U}}}_{5}}\left( l \right) = {{{\bar {U}}}_{5}}\left( {{{l}_{0}}} \right) + \bar {U}_{5}^{'}\left( {{{l}_{0}}} \right){{l}_{4}}{{s}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}, \\ \bar {l} = l - {{l}_{0}} = {{l}_{4}}{{s}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{l}_{6}}{{s}^{2}} + {{l}_{7}}{{s}^{{{7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ... \\ \end{gathered} $

Коэффициенты в правой части уравнения (68) с учетом разложений (69) вычисляются в точке $l = {{l}_{0}}$ и следующим образом связаны с коэффициентами из (67):

$\begin{gathered} {{{{\alpha }}}_{1}} = ~{{{\bar {V}}}_{3}},\,\,\,\,{{{{\alpha }}}_{3}} = {{{\bar {V}}}_{5}} - {{{\bar {U}}}_{4}}{{{\bar {V}}}_{3}},\,\,\,\,{{{{\alpha }}}_{4}} = {{{\bar {V}}}_{6}} - {{{\bar {U}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{3}} + {{\kappa }_{{10}}}{{{{\alpha }}}_{1}}, \\ {{{{\alpha }}}_{5}} = {{{\bar {V}}}_{7}} - {{{\bar {U}}}_{4}}{{{\bar {V}}}_{5}} + \left( { - {{{\bar {U}}}_{6}} + \bar {U}_{4}^{2}} \right){{{\bar {V}}}_{3}} + \bar {V}_{3}^{'}{\kern 1pt} {{l}_{4}}, \\ \end{gathered} $
(70)
$\begin{gathered} {{{{\alpha }}}_{6}} = {{{\bar {V}}}_{8}} - {{{\bar {U}}}_{4}}{{{\bar {V}}}_{6}} - {{{\bar {U}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{5}} + \left( { - {{{\bar {U}}}_{7}} + 2\bar {U}_{4}^{{}}{{{\bar {U}}}_{5}}} \right){{{\bar {V}}}_{3}} + {{\kappa }_{{10}}}{{{{\alpha }}}_{3}}, \\ {{{{\alpha }}}_{7}} = {{{\bar {V}}}_{9}} - {{{\bar {U}}}_{4}}{{{\bar {V}}}_{7}} - {{{\bar {U}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{6}} + \left( { - {{{\bar {U}}}_{6}} + \bar {U}_{4}^{2}} \right){{{\bar {V}}}_{5}} + \\ + \,\,\left( { - {{{\bar {U}}}_{8}} + 2\bar {U}_{4}^{{}}{{{\bar {U}}}_{6}} + \bar {U}_{5}^{2} - \bar {U}_{4}^{3}} \right){{{\bar {V}}}_{3}} + {{\kappa }_{{10}}}{{{{\alpha }}}_{4}} + \kappa _{{10}}^{2}{{{{\alpha }}}_{1}} + \\ + \,\,\bar {V}_{3}^{'}{\kern 1pt} {{l}_{6}} + \left( {\bar {V}_{5}^{'}{\kern 1pt} - {{{\bar {U}}}_{4}}\bar {V}_{3}^{'}{\kern 1pt} - {{V}_{3}}\bar {U}_{4}^{'}} \right){{l}_{4}}, \\ {{{{\alpha }}}_{8}} = {{{\bar {V}}}_{{10}}} - {{{\bar {U}}}_{4}}{{{\bar {V}}}_{8}} - {{{\bar {U}}}_{5}}{{{\bar {V}}}_{7}} + \\ + \,\,\left( { - {{{\bar {U}}}_{6}} + \bar {U}_{4}^{2}} \right){{{\bar {V}}}_{6}} + \left( { - {{{\bar {U}}}_{7}} + 2{{{\bar {U}}}_{4}}{{{\bar {U}}}_{5}}} \right){{{\bar {V}}}_{5}} + \\ + \,\,\left( { - {{{\bar {U}}}_{9}} + 2\bar {U}_{4}^{{}}{{{\bar {U}}}_{7}} + 2\bar {U}_{5}^{{}}{{{\bar {U}}}_{6}} - 3\bar {U}_{4}^{2}{{{\bar {U}}}_{5}}} \right){{{\bar {V}}}_{3}} + {{\kappa }_{{10}}}{{{{\alpha }}}_{5}} + \\ + \,\,\bar {V}_{3}^{'}{\kern 1pt} {{l}_{7}} + \left( {\bar {V}_{6}^{'}{\kern 1pt} - {{V}_{3}}\bar {U}_{5}^{'}} \right){{l}_{4}}. \\ \end{gathered} $

Коэффициенты разложения компонент импульса в результате построения локального решения системы (66) определены формулами

$\begin{gathered} {{U}_{2}} = {{\left( {\frac{{9J}}{2}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}},\,\,\,\,{{{\bar {U}}}_{4}} = - \frac{9}{{20}}\bar {N}_{0}^{2},\,\,\,{{{\bar {U}}}_{5}} = \frac{4}{{15}}{{T}_{0}}, \\ {{{\bar {U}}}_{6}} = \frac{3}{{14}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{{\bar {J}}}_{{,2}}} - \frac{{243}}{{2800}}\bar {N}_{0}^{4} + \frac{{19}}{{126}}\tilde {U}_{2}^{2}, \\ {{{\bar {U}}}_{7}} = - \frac{{12}}{{35}}{{T}_{0}}\bar {N}_{0}^{2}, \\ {{{\bar {U}}}_{8}} = \frac{{67}}{{450}}T_{0}^{2} - \frac{2}{9}{{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20}}} - \frac{2}{{45}}\left( {{{{\bar {J}}}_{{,22}}} - {{k}_{{20}}}{{{\bar {J}}}_{{,2}}}} \right) - \frac{1}{{180}}\bar {J}_{{,2}}^{{'2}} + \\ + \,\,\frac{{61}}{{1680}}\bar {N}_{0}^{3}{{{\bar {J}}}_{{,2}}} - \frac{{29}}{{80}}\bar {N}_{0}^{2}{{{\bar {N}}}_{{0,2}}} - \frac{{1863}}{{56\,000}}\bar {N}_{0}^{6} + \frac{{71}}{{2520}}\bar {N}_{0}^{2}\tilde {U}_{2}^{2}, \\ \end{gathered} $
(71)
$\begin{gathered} {{{\bar {U}}}_{9}} = \frac{1}{{20}}\left[ {{{{\bar {N}}}_{0}}\left( {\frac{{46}}{{21}}{{\kappa }_{{10,2}}} + 2{{\kappa }_{{20,2}}}} \right)} \right. + \\ + \,\,\left( {\frac{{1069}}{{135}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{1837}}{{945}}{{\kappa }_{{20}}}} \right){{{\bar {N}}}_{0}}{{{\bar {J}}}_{{,2}}} - \\ \left. { - \,\,\frac{{24\,839}}{{10\,500}}{{T}_{0}}\bar {N}_{0}^{4} + \left( {\frac{{78\,608}}{{15\,309}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{79\,256}}{{15\,309}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\tilde {U}_{2}^{2}} \right]; \\ {{{\bar {V}}}_{3}} = - {{{\bar {N}}}_{0}},\,\,\,\,{{{\bar {V}}}_{5}} = \frac{1}{5}{{{\bar {J}}}_{{,2}}},\,\,\,\,{{{\bar {V}}}_{6}} = - \frac{1}{2}{{T}_{0}}{{{\bar {N}}}_{0}}, \\ {{{\bar {V}}}_{7}} = - \frac{9}{{140}}\bar {N}_{0}^{2}{{{\bar {J}}}_{{,2}}} - \frac{{27}}{{70}}{{{\bar {N}}}_{0}}{{{\bar {N}}}_{{0,2}}} - \frac{1}{{14}}{{{\bar {N}}}_{0}}\tilde {U}_{2}^{2}, \\ {{{\bar {V}}}_{8}} = \frac{1}{{10}}{{T}_{{0,2}}} + \left( {\frac{7}{{30}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{1}{{30}}{{\kappa }_{{20}}}} \right){{{\bar {J}}}_{{,2}}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{{\bar {V}}}_{9}} = \left( { - \frac{1}{2}\kappa _{{10}}^{2} - \frac{1}{3}\kappa _{{20}}^{2} - \frac{1}{6}{{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20}}} + \frac{1}{{14}}{{{\bar {J}}}_{{,22}}}} \right. - \\ \left. { - \,\,\frac{1}{{21}}\bar {J}_{{,2}}^{2} - \frac{{27}}{{2800}}\bar {N}_{0}^{3}{{{\bar {J}}}_{{,2}}}} \right){{{\bar {N}}}_{0}} + \\ + \,\,\left( {\frac{1}{{14}}{{{\bar {J}}}_{{,2}}} - \frac{{81}}{{700}}\bar {N}_{0}^{3}} \right){{{\bar {N}}}_{{0,2}}} + \left( {\frac{{109}}{{1890}}{{{\bar {J}}}_{{,2}}} + \frac{1}{{30}}\bar {N}_{0}^{3}} \right)\tilde {U}_{2}^{2}, \\ {{{\bar {V}}}_{{10}}} = - \frac{3}{{10}}\left[ {\frac{{12}}{{35}}\bar {N}_{0}^{2}{{T}_{{0,2}}} + \left( {\frac{{23}}{{70}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{4}{{35}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\bar {N}_{0}^{2}{{{\bar {J}}}_{{,2}}} + } \right. \\ + \,\,\left( {\frac{{69}}{{35}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{24}}{{35}}{{\kappa }_{{20}}}} \right){{{\bar {N}}}_{0}}{{{\bar {N}}}_{{0,2}}} + \\ \left. { + \,\,\left( {\frac{{319}}{{630}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{1}{6}{{\kappa }_{{20}}}} \right){{{\bar {N}}}_{0}}\tilde {U}_{2}^{2}} \right]. \\ \end{gathered} $

В результате интегрирования уравнения (68) с правой частью (70) трубка тока в криволинейной системе s, l описывается выражением

(72)
$\bar {l} = l - {{l}_{0}} = \frac{3}{4}{{{{\alpha }}}_{1}}{{s}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + \frac{1}{2}{{{{\alpha }}}_{3}}{{s}^{2}} + \frac{3}{7}{{{{\alpha }}}_{4}}{{s}^{{{7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ....$

Воспользуемся связью [1, 2] произвольных ортогональных координат с локальными декартовыми координатами X, Y, которая для системы s, l принимает вид

(73)
$\begin{gathered} s = X - \frac{1}{2}{{\kappa }_{1}}{{Y}^{2}} - \frac{1}{6}\kappa _{1}^{'}{{Y}^{3}}, \\ \bar {l} = Y + {{\kappa }_{1}}XY + {{A}_{2}}{{Y}^{3}} + {{B}_{2}}X{{Y}^{2}} + \kappa _{1}^{2}{{X}^{2}}Y. \\ \end{gathered} $

Непоясняемые в (73) коэффициенты ${{A}_{2}}$, ${{B}_{2}}$ не являются существенными в рассматриваемом случае. Перейдем при помощи формул (73) к координатам X, Y:

(74)
$\begin{gathered} Y = {{f}_{4}}{{X}^{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{f}_{6}}{{X}^{2}} + {{f}_{7}}{{X}^{{{7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + ... \\ {{f}_{4}} = \frac{3}{4}{{{{\alpha }}}_{1}},\,\,\,\,{{f}_{6}} = \frac{1}{2}{{{{\alpha }}}_{3}},\,\,\,\,{{f}_{7}} = \frac{3}{7}{{{{\alpha }}}_{4}} - {{\kappa }_{1}}{{f}_{4}}, \\ {{f}_{8}} = \frac{3}{8}{{{{\alpha }}}_{5}},\,\,\,\,{{f}_{9}} = \frac{1}{3}{{{{\alpha }}}_{6}} - {{\kappa }_{1}}{{f}_{6}} - \frac{1}{2}{{{{\alpha }}}_{1}}{{\kappa }_{1}}f_{4}^{2}, \\ {{f}_{{10}}} = \frac{3}{{10}}{{{{\alpha }}}_{7}} - {{\kappa }_{1}}{{f}_{7}} - \kappa _{1}^{2}f_{4}^{{}}, \\ {{f}_{{11}}} = \frac{3}{{11}}{{{{\alpha }}}_{8}} - {{\kappa }_{1}}{{f}_{8}} - {{B}_{2}}f_{4}^{2} - {{{{\alpha }}}_{1}}{{\kappa }_{1}}{{f}_{4}}{{f}_{6}} - \frac{1}{2}{{{{\alpha }}}_{3}}{{\kappa }_{1}}f_{4}^{2}. \\ \end{gathered} $

Отметим, что в формуле (63) при вычислении функций ${{\bar {b}}_{k}}$ использовались траекторные коэффициенты из (21) для функции $Y = Y\left( l \right)$, а не для представления $Y = Y\left( X \right)$. Длина дуги l для кривой (74) определена формулой

(75)
$l = \int {\sqrt {1 + Y{\kern 1pt} {{'}^{2}}} dX} ,$

которую после интегрирования можно обратить, чтобы выразить Х через l. При этом различие величин Х, l описывается членами с нелинейными комбинациями коэффициентов ${{f}_{k}}$, которые при дифференцировании по ${{x}^{2}}$ и переходе к оси z, где все ${{f}_{k}} = 0$, дадут нулевой вклад. По этой причине при вычислении функций ${{\bar {b}}_{k}}$ можно дифференцировать траекторные коэффициенты (74). В результате получим

$\begin{gathered} {{{\bar {b}}}_{4}} = - \frac{3}{4}\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}},\,\,\,\,{{{\bar {b}}}_{6}} = \frac{1}{{10}}\frac{{{{{\bar {J}}}_{{,22}}}}}{{b_{0}^{2}}}, \\ {{{\bar {b}}}_{7}} = \left( {\frac{{31}}{{140}}{{\kappa }_{{10}}} - \frac{1}{{10}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}, \\ {{{\bar {b}}}_{8}} = \frac{{153}}{{1120}}\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{2}}}{{b_{0}^{2}}} + \frac{5}{{168}}\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{{}}}}{{b_{0}^{{}}}}\tilde {V}_{2}^{2}, \\ \end{gathered} $
(76)
$\begin{gathered} {{{\bar {b}}}_{9}} = \frac{1}{{30}}{{T}_{{0,22}}} - {{\kappa }_{{10}}}{{{\bar {b}}}_{6}} + \left( {\frac{{19}}{{150}}{{\kappa }_{{10}}} - \frac{1}{{150}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\frac{{{{{\bar {J}}}_{{,22}}}}}{{b_{0}^{2}}}, \\ {{{\bar {b}}}_{{10}}} = \frac{3}{{10}}\left[ {\left( { - \frac{{227}}{{90}}\kappa _{{10}}^{2} - \frac{{23}}{{90}}\kappa _{{20}}^{2} - \frac{{139}}{{45}}{{\kappa }_{{10}}}{{\kappa }_{{20}}}} \right.} \right. + \\ \left. { + \,\,\frac{{31}}{{315}}\frac{{{{{\bar {J}}}_{{,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + \frac{2}{{45}}{{k}_{{20}}}\frac{{{{{\bar {J}}}_{{,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}} \right)\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}} + \\ \left. { + \,\,\frac{{26}}{{945}}\frac{{{{{\bar {J}}}_{{,22}}}}}{{b_{0}^{2}}}\tilde {V}_{2}^{2}} \right] - {{\kappa }_{{10}}}{{{\bar {b}}}_{7}} - \kappa _{{10}}^{2}{{{\bar {b}}}_{4}}, \\ {{{\bar {b}}}_{{11}}} = \frac{3}{{11}}\left[ {\left( { - \frac{{153}}{{175}}{{\kappa }_{{10}}} - \frac{{18}}{{175}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\frac{{\bar {N}_{{0,2}}^{2}}}{{b_{0}^{2}}}} \right. + \\ \left. { + \,\,\left( {\frac{{151\,727}}{{765\,450}}{{\kappa }_{{10}}} + \frac{{3412}}{{15309}}{{\kappa }_{{20}}}} \right)\frac{{{{{\bar {N}}}_{{0,2}}}}}{{{{b}_{0}}}}\tilde {V}_{2}^{2}} \right] - {{\kappa }_{{10}}}{{{\bar {b}}}_{8}}. \\ \end{gathered} $

Связи между функциями ${{\bar {b}}_{k}}$ и ${{{{\bar {\varphi }}}}_{k}}$ в (61) позволяют установить значения коэффициентов разложения потенциала, а соотношения (48), следующие из интеграла энергии, дают возможность вычислить соответствующие коэффициенты ${{\bar {V}}_{k}}$ разложения скорости. В результате получена вся необходимая информация для построения асимптотики функции ${{h}_{{2,22}}}$ в (9) и формулы для четвертой производной плотности тока эмиссии ${{J}_{{,2222}}}$ в (42).

Выражения для ${{\bar {b}}_{7}}$, ${{\bar {b}}_{8}}$ в (76) представляют собой форму записи, альтернативную по отношению к выражениям (57), полученным из соображений регуляризации решения; обе формы приводят к тождественным результатам.

В случае плоских и осесимметричных потоков величины ${{\bar {b}}_{{10}}}$, ${{\bar {b}}_{{11}}}$ принимают следующие значения:

(77)
$\begin{gathered} {{{\bar {b}}}_{{10}}} = - \left( {\frac{1}{{540}}\frac{{{{{\bar {J}}}_{{,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} + \frac{{67}}{{4725}}{{\kappa }_{{10}}}} \right)\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{\bar {b}}}_{{11}}} = - \frac{{598\,628}}{{404\,157\,600}}{{\kappa }_{{10}}}\tilde {V}_{2}^{4}; \\ {{{\bar {b}}}_{{10}}} = \left( {\frac{{13}}{{7560}}\frac{{{{{\bar {J}}}_{{,22}}}}}{{b_{0}^{2}}} - \frac{{22}}{{175}}{{\kappa }_{{10}}}} \right)\tilde {V}_{2}^{2}, \\ {{{\bar {b}}}_{{11}}} = \frac{{4\,300\,171}}{{404\,157\,600}}{{\kappa }_{{10}}}\tilde {V}_{2}^{4}. \\ \end{gathered} $

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построенная в работе модель плоскосимметричных и осесимметричных релятивистских потоков при отсутствии внешнего магнитного поля, сводящаяся к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка, позволяет синтезировать непараксиальный электронный пучок с катода заданной формы и с заданным распределением плотности тока эмиссии J. Произвольные значения плотности тока J, второй и четвертой производных J,22, J,2222 на оси, кривизны ${{\kappa }_{{10}}}$ катода и второй производной ${{\kappa }_{{10,22}}}$ достигаются за счет коэффициентов разложения потенциала ${{{{\varphi }}}_{4}}$, ${{{{\bar {\varphi }}}}_{7}}$, ${{{{\bar {\varphi }}}}_{{10}}}$, ${{{{\bar {\varphi }}}}_{{13}}}$, ${{{{\bar {\varphi }}}}_{{16}}}$. Соответствующие соотношения определяют связь между функциями J, ${{\kappa }_{1}}$ и ${{\varphi }}\left( z \right)$.

Рассмотренные конфигурации электронных потоков наиболее часто используются в приборах СВЧ и сильноточных ускорителях. Задача о формировании подобных течений даже в случае очень узких пучков не может быть решена методами классической параксиальной теории или теории В.Т. Овчарова [12], распространенной на релятивистские скорости, из-за невозможности выполнить условия термоэмиссии на стартовой поверхности при работе с ортогональной системой координат.

По сравнению с численными моделями, в том числе коммерческими пакетами траекторного анализа, предложенный в работе подход исключает ошибки, связанные с грубым описанием сингулярной прикатодной зоны. Дополненный известными алгоритмами расчета торцевой лапласовской области [13], основанными на теории антипараксиальных разложений, он служит основой для создания теплового зазора с теоретически обоснованной конфигурацией. Произвольное его исполнение для мощных пучков и пучков с высокой компрессией, обычное при использовании пакетов траекторного анализа, должно приводить к существенным ошибкам, которые впоследствии приходится компенсировать за счет экспериментальной доводки прибора. Проблемы, связанные с формированием теплового зазора и вариантами его практической реализации, обсуждаются в работе [14].

Список литературы

  1. Сыровой В.А. Теория интенсивных пучков заряженных частиц. М.: Энергоатомиздат, 2004.

  2. Syrovoy V.A. Theory of Intense Beams of Charged Particles. US: Elsevier, 2011.

  3. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2013. T. 58. № 6. C. 614.

  4. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2014. T. 59. № 4. C. 358.

  5. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2016. T. 61. № 3. C. 263.

  6. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2017. T. 62. № 5. C. 502.

  7. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2019. T. 64. № 1. C. 82.

  8. Сапронова Т.М., Сыровой В.А. // РЭ. 2010. Т. 55. № 6. С. 726.

  9. Вашковский А.В., Неганова Л.А., Сыровой В.А. // Прикл. физика. 1998. № 3–4. С. 33.

  10. Cыpoвoй B.A. // PЭ. 2002. T. 47. № 9. C. 1114.

  11. Алексахин Ю.И. Препринт ОИЯИ № Р-81-619. 1984.

  12. Oвчapoв B.T. // PЭ. 1962. T. 7. № 8. C. 1367.

  13. Сапронова Т.М., Сыровой В.А. // РЭ. 2017. Т. 62. № 11. С. 1106.

  14. Акимов П.И., Никитин А.П., Сыровой В.А. // Электрон. техника. СВЧ-техника. 2018. № 1. С. 32.

Дополнительные материалы отсутствуют.