Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 8, стр. 798-804

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При синтезе алгоритмов совместного оценивания неизвестных параметров сигнала, как правило, используют методы минимума средней квадратической ошибки (СКО), максимального правдоподобия (МП), максимальной апостериорной плотности распределения вероятности [1–4]. Недостатком такого подхода является необходимость знания законов распределения случайных процессов, входящих в модель наблюдаемого сигнала [5]. При гауссовских шумах хорошо известным результатом является рекуррентная фильтрация Калмана для линейной модели процессов и рекуррентная фильтрация Стратоновича для нелинейной. Большой вклад в развитие теории оценивания и оптимальной рекуррентной фильтрации внес В.И. Тихонов [6–11]. Если же законы распределения неизвестны, то используют метод наименьших квадратов (МНК) или усреднение по времени. МНК не встречает математических трудностей при выводе алгоритма оценивания неизвестных параметров, если модель процессов линейная [12, 13]. При нелинейной модели встает вопрос о том, каким методом решать систему нелинейных уравнений, чтобы не было расходимости алгоритма. Кроме того, процедуры оценивания при этом обладают высокой вычислительной сложностью [14]. Усреднение по времени при нахождении оценок параметров сигнала требует большого объема выборки наблюдаемого процесса. Существует много работ, посвященных процедурам раздельного оценивания параметров, но они уступают по точности алгоритмам совместной оценки, также часто оценивается только часть неизвестных параметров, остальные не учитываются в модели сигнала или считаются известными [1, 2, 15–21]. В работе [3] приведен алгоритм совместной оценки искажений сигнала в тракте приемника прямого преобразования, который обладает высокой точностью оценивания и полностью решает задачу определения значений амплитудно-фазового дисбаланса, сдвига частоты и постоянных составляющих для систем с одной передающей и приемной антенной (SISO), с несколькими передающими и приемными антеннами (MIMO), а также для систем со многими несущими с ортогональным частотным разделением (OFDM). Но предложенная процедура требует большого количества арифметических операций. Для оценки частоты записан только критерий, в который она входит нелинейно и в неявном виде. Поэтому остается открытым вопрос по ее поиску. Для остальных искажений получены замкнутые выражения для оценок, зависящие от полученной ранее оценки сдвига частоты. В работе [4] рассматривается совместная оценка приведенных выше искажений, полученная по критерию максимального правдоподобия при гауссовских шумах. Данный критерий приводит к системе сложных нелинейных уравнений, которые были решены итерационно, без описания метода. Эти обстоятельства обусловливают необходимость разработки вычислительно эффективных методов определения значений амплитудно-фазового дисбаланса, сдвига частоты и постоянных составляющих для систем SISO, MIMO и OFDM.

Рассмотрим квадратуры сигнала ${{{\mathbf{y}}}_{i}} = {{({{y}_{{ci}}},{{y}_{{si}}})}^{Т}}$ на фоне аддитивного шума ${{{\mathbf{\mu }}}_{i}} = {{({{\mu }_{{ci}}},{{\mu }_{{si}}})}^{Т}}$в тракте приемника прямого преобразования на примере сигнала M позиционной квадратурной амплитудной модуляции (М-QAM) в системе SISO:

Здесь ${{{\mathbf{z}}}_{i}} = {{({{z}_{{ci}}},{{z}_{{si}}})}^{T}} = {{{\mathbf{S}}}_{i}}({{{\mathbf{\Theta }}}_{i}})$, $i = \overline {1,m} $ – дискретное время, $m = {{{{T}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{0}}} {\Delta t}}} \right. \kern-0em} {\Delta t}}$, ${{T}_{0}}$ – время наблюдения, $\Delta t$ – интервал дискретизации, ${{{\mathbf{S}}}_{i}}(\centerdot )$ – нелинейная вектор-функция, описывающая квадратурные компоненты сигнала ${{z}_{{is}}},{{z}_{{ic}}}$: где ${{\varphi }_{{ci}}} = \Delta {{\omega }_{i}}(\Delta ti - {{\tau }_{i}}) + {{\varphi }_{i}},$ ${{\varphi }_{{si}}} = {{\varphi }_{{ci}}} + \Delta {{\varphi }_{i}},$ ${{I}_{{kq}}}$,${{J}_{{kr}}}$ – информационные амплитуды, принимающие дискретные значения, $q,r = \overline {1:\sqrt M } $, $g(t)$ – импульсная характеристика канала, частотная характеристика которого имеет вид “приподнятого косинуса”, $A$ – амплитуда сигнала, ${{\varphi }_{i}}$ – случайная фаза, образованная фазами генераторов на приемной и передающей стороне и задержкой в канале распространения, $\Delta {{f}_{i}}$ – частота, оставшаяся от снятия несущей, $\Delta {{\omega }_{i}} = 2\pi \Delta {{f}_{i}}$, ${{\tau }_{i}}$ – задержка сигнала, возникающая при работе генератора тактовой синхронизации, $(j - 1)T \leqslant \Delta ti - {{\tau }_{i}} \leqslant jT$, $T$ – длительность символа ${{I}_{{kq}}}({{J}_{{kr}}})$ (тестового или информационного), $j = \overline {1:n} $, $n = {{{{T}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{0}}} T}} \right. \kern-0em} T}$, ${{\gamma }_{i}},{\text{ }}\Delta {{\varphi }_{i}}$ – дисбаланс по амплитуде и фазе соответственно, ${{b}_{{ci}}},{{b}_{{si}}}$ – медленно меняющиеся “постоянные” составляющие квадратурных компонент сигнала.

Квадратуры ${{z}_{{ci}}},{{z}_{{si}}}$ сигнала можно переписать в следующей форме:

Вектор Θ_i оцениваемых параметров в этом случае имеет вид

где ${{a}_{{1i}}}, \ldots ,{{a}_{{pi}}}$ – амплитуды основного импульса сигнала и $p - 1$ “хвостов” прошлых импульсов в $i$-й момент времени, полученных в результате межсимвольной интерференции.

Задача оценивания неизвестных параметров решалась по тестовой последовательности вида информационного сигнала при следующих условиях:

1. процесс ${{{\mathbf{\mu }}}_{i}}$ – стационарный, $E{{{\mathbf{\mu }}}_{i}} = {{{\mathbf{\bar {0}}}}_{{2 \times 1}}},$ ${\text{ }}E{{{\mathbf{\mu }}}_{i}}{\mathbf{\mu }}_{i}^{T} = \sigma _{\mu }^{2}{{{\mathbf{{\rm I}}}}_{{2 \times 2}}}$ – ковариационная матрица шумов наблюдения, $E{{{\mathbf{\mu }}}_{i}}{\mathbf{\mu }}_{j}^{T} = {{{\mathbf{0}}}_{{2 \times 2}}}$ при $i \ne j$, $E$ – оператор математического ожидания, ${{{\mathbf{{\rm I}}}}_{{2 \times 2}}}$ – единичная матрица размером $2 \times 2$,

2. ${{\varphi }_{i}} = {{\varphi }_{0}} + {{\alpha }_{i}},{{\alpha }_{i}} = {{b}_{0}}{{\zeta }_{{i\varphi }}} + {{b}_{1}}{{\zeta }_{{i - 1\varphi }}} + {{b}_{2}}{{\zeta }_{{i - 2\varphi }}}$ – фазовый шум, $E{{\zeta }_{{i\varphi }}} = 0,$ ${\text{ }}E\zeta _{{i\varphi }}^{2} = \sigma _{{\zeta \varphi }}^{2}$, $E{{\zeta }_{{i\varphi }}}{{\zeta }_{{j\varphi }}} = 0$ при $i \ne j$,

3. $\Delta {{f}_{i}} \ne 0 = {\text{const}}$,

4.${{b}_{{ci}}} = {\text{const}},\,\,{{b}_{{si}}} = {\text{const}}$,

5. $\Delta {{\varphi }_{i}} = {\text{const}},\,\,{{\gamma }_{i}} = {\text{const}}$,

6. амплитуда сигнала и импульсная характеристика канала неизвестны,

7. амплитуды ${{a}_{{1i}}}, \ldots ,{{a}_{{pi}}}$ за время наблюдения не зависят от времени, ${{a}_{{ki}}} = {{a}_{k}},k = 1,...,p$,

8. шаг дискретизации $\Delta t = T$, т.е. взят один отсчет на тестовый символ, $m = n$.

Требуется по выборке ${{{\mathbf{y}}}_{i}}$ найти оценку ${\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\Theta } }}$ вектора ${\mathbf{\Theta }}$.

2. СИНТЕЗ АЛГОРИТМА ОЦЕНИВАНИЯ НА ОСНОВЕ КОМБИНИРОВАНИЯ РЕГУЛЯРИЗУЮЩЕГО АЛГОРИТМА И НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Поставленная задача была решена с помощью регуляризующего алгоритма и процедуры нелинейной фильтрации с тейлоровской аппроксимацией до первого приближения нелинейной вектор-функции ${{{\mathbf{S}}}_{i}}(\centerdot )$ наблюдений, которые описаны в [22–28]. Регуляризующий алгоритм итерационно обрабатывает целиком всю выборку, нелинейная фильтрация – отсчеты квадратур сигнала в каждый момент времени. Начальная тактовая синхронизация осуществлена, как показано в [23].

Регуляризующий алгоритм применялся также в системах с MIMO и OFDM, нелинейная фильтрация использовалась для уточнения некоторых параметров OFDM-сигнала [26–28].

Была произведена приближенная оценка вычислительной сложности для рассматриваемых процедур: количество арифметических операций у регуляризующего алгоритма пропорционально $m{{M}_{0}}$, где ${{M}_{0}}$ – количество итераций, причем, как правило, ${{M}_{0}} < m$; у нелинейной фильтрации – пропорционально $m$, а у алгоритма из [3] – пропорционально ${{m}^{3}}$.

Для возможности уменьшения количества вычислительных операций в данной работе предлагается совместить регуляризующий алгоритм с процедурой фильтрации [6–8] в скользящем временном окне, длина которого ${{m}_{0}} < m$.

С использованием (1) сформируем вектор наблюдений

где ${{{\mathbf{y}}}_{i}} = {{({{y}_{{is}}}{\text{ }}{{y}_{{ic}}})}^{T}},$ $i = {{m}_{0}},{{m}_{0}} + 1,....$ – дискретное время. Тогда получим модель наблюдаемого сигнала в виде где

Так как оцениваемый вектор параметров медленно изменяется со временем, то его можно представить в виде авторегрессии первого порядка:

Здесь ${{{\mathbf{\xi }}}_{i}}$ – вектор белого шума с нулевым средним значением и ковариационной матрицей $E{{{\mathbf{\xi }}}_{i}}{\mathbf{\xi }}_{i}^{T} = \sigma _{\xi }^{2}{\mathbf{{\rm I}}}$, где ${\mathbf{{\rm I}}}$ – единичная матрица размером $(p + 6) \times (p + 6)$. Разложим нелинейную вектор-функцию уравнения (2) в ряд Тейлора до первого приближения в точке ${{{\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\Theta } }}}_{{i - 1}}}$, тогда (2) можно переписать в следующей форме: где ${{{\mathbf{\bar {S}'}}}_{i}}({{{\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\Theta } }}}_{{i - 1}}})$ – первая производная функции ${{{\mathbf{\bar {S}}}}_{i}}(\centerdot )$ в точке ${{{\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\Theta } }}}_{{i - 1}}}$,

Далее возьмем от левой и правой части выражения (3) функцию ${\mathbf{F}}(\centerdot )$ и разложим правую часть получившегося равенства в ряд Тейлора до первого приближения в точке ${{{\mathbf{\Theta }}}_{{i - 1}}}$, в результате получим

где

Учитывая (4) и (5), запишем модифицированный метод наименьших квадратов в виде функционала Тихонова относительно переменной ${{{\mathbf{f}}}_{i}} = {\mathbf{F}}({{{\mathbf{\Theta }}}_{i}})$ (причем ${{{\mathbf{\Theta }}}_{i}} = {\mathbf{L}}{{{\mathbf{f}}}_{i}}$, ${\mathbf{L}} = {{{\mathbf{W}}}^{T}}$) :

Здесь ${{\lambda }_{i}}$ – регуляризующий множитель Лагранжа, эвклидовы нормы определяются с учетом весовых матриц ${\mathbf{Q}},{{{\mathbf{P}}}_{i}}$: $(\centerdot ;\centerdot )$ – скалярное произведение. Оценка ${{{\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{f} }}}_{i}}$ ищется с помощью минимизации (6) : ${{{\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{f} }}}_{i}} = \mathop {\arg \min }\limits_{{{{\mathbf{f}}}_{i}}} \Phi ({{{\mathbf{f}}}_{i}})$ в условиях ограничения

В результате получаем следующие выражения:

где ${\mathbf{{\rm I}}}$ – единичная матрица размером $(p + 7) \times (p + 7)$, ${{{\mathbf{{\rm I}}}}_{{2{{m}_{0}} \times 2{{m}_{0}}}}}$ – единичная матрица размером $2{{m}_{0}} \times 2{{m}_{0}}$, $\sigma _{\xi }^{2} \to 0$, начальные условия: ${{{\mathbf{P}}}_{{{{m}_{0}}f\mu }}} = {{{\mathbf{0}}}_{{(p + 7) \times 2{{m}_{0}}}}}$, ${{{\mathbf{\Gamma }}}_{{{{m}_{0}}}}}$,${{{\mathbf{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\Theta } }}}_{{{{m}_{0}}}}}$ – из априорных сведений. Множитель Лагранжа рассчитывается по формуле

На рис. 1 представлена структурная схема алгоритма оценивания (7), на рис. 2 – структура формирования матрицы K_i с учетом определения регуляризующего множителя Лагранжа (8), на рис. 3 – структура формирования ковариационной матрицы ошибок фильтрации Г_i.

Получены приближенные выражения для вычислительной сложности соответственно регуляризующего алгоритма и процедуры (7), (8):

Различие между данными процедурами состоит в том, что регуляризующий алгоритм обрабатывает итерационно всю выбору длиной $m$ целиком, а (7), (8) – выборку длиной ${{m}_{0}}$ в скользящем временном окне, причем при количестве итераций ${{M}_{0}} = m - {{m}_{0}}$ он в результате для оценивания использует тот же объем сигнала $m$, что и регуляризующий алгоритм. При одинаковых количестве итераций у обоих процедур и длине скользящего окна для (7), (8) ${{m}_{0}} = m - {{M}_{0}}$ можно достичь некоторого сокращения вычислительной сложности относительно регуляризующего алгоритма, рассчитанного по формуле

3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Проведено сравнение помехоустойчивости приема сигнала 64-QAM на фоне аддитивного белого гауссовского шума при использовании для оценки неизвестных параметров сигнала регуляризующего алгоритма, процедуры нелинейной фильтрации и известного совместного алгоритма оценивания [3] (рис. 4). Оценка частоты в известном алгоритме [3] производилась методом перебора ${{Q}_{0}}$ значений частоты из априори выбранного интервала и подстановкой их в критерий оптимальности. На рис. 5 представлены зависимости помехоустойчивости приема сигнала 64-QAM при использовании для оценивания его параметров алгоритмов, представленных на рис. 4, и комбинированной процедуры (7), (8). Предложенный алгоритм (7), (8) делал $m - {{m}_{0}}$ итераций. Моделирование проводили при следующих условиях: $p = 1$, $\gamma = 0.5$, $\Delta f = 180.7$ Гц, $T = 0.25$ мкс, ${{\varphi }_{0}} = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi {12}}} \right. \kern-0em} {12}}$, $\Delta \varphi = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi {18}}} \right. \kern-0em} {18}},$ ${{b}_{c}} = 1.3,\,\,{{b}_{s}} = 2$, СКО фазового шума – один градус, объем анализируемой выборки тестового сигнала $m = 500$, длина информационной последовательности – 2000 символов. Длина оцениваемого вектора у всех трех алгоритмов одинаковая и равна 7.

Из рис. 4 видно, что регуляризующий алгоритм имеет выигрыш в помехоустойчивости перед процедурой нелинейной фильтрации от 1 до 5.5 дБ и сравним с известным алгоритмом при ${{Q}_{0}} = 50;100$. Если же ${{Q}_{0}} = 25$, то он выигрывает у известной совместной процедуры оценивания до 4 дБ. Исходя из рис. 4 можно сделать вывод, что самым предпочтительным является регуляризующий алгоритм.

Уменьшение длины скользящего окна приводит к потере в энергетической эффективности (см. рис. 5, кривые 4–6), поэтому необходимо искать компромисс между длиной временного окна ${{m}_{0}}$, помехоустойчивостью и вычислительной сложностью.

На рис. 6 показана количественная оценка сокращения вычислительной сложности у (7), (8) относительно регуляризующего алгоритма при $p = 1,\,\,p + 6 = 7$, $m = 500$, рассчитанная по формуле (9).

Так, при объеме анализируемой выборки сигнала 500, количестве оцениваемых параметров, равном 7, и числе итераций 50 упрощение составляет около 10%.

4. ОБСУЖДЕНИЕ И АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Предложенный алгоритм (7), (8) совместного оценивания неизвестных параметров случайного процесса, прошедшего тракт приемника прямого преобразования, позволяет при правильно подобранных длине скользящего окна и объеме выборки тестовой последовательности сократить вычислительную сложность при приемлемой потере в энергетической эффективности относительно известных алгоритмов совместного оценивания искажений сигнала. Например, при длине выборки в 500 тестовых символов, количестве итераций ${{M}_{0}} = 20$ и длине скользящего окна ${{m}_{0}} = 480$ упрощение составляет 4% без потери в энергетической эффективности, а при ${{M}_{0}} = 50$, ${{m}_{0}} = 450$ сложность падает на 10%, практически без потерь в помехоустойчивости при отношении сигнал/шум 23…27 дБ. При более высоких значениях отношения сигнал/шум (28…33 дБ) потери в энергетической эффективности составят от 0.5 до 2 дБ.