Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 8, стр. 733-747

Субоптимальные алгоритмы приема и обработки BOC-сигналов в перспективных глобальных навигационных спутниковых системах

М. С. Ярлыков a*, С. М. Ярлыкова b**

a Редакция журнала “Радиотехника и электроника”
125009 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация

b Институт кибернетики Российского технологического университета МИРЭА
119454 Москва, просп. Вернадского, 78, Российская Федерация

* E-mail: red@cplire.ru
** E-mail: yarlykova@mirea.ru

Поступила в редакцию 18.12.2020
После доработки 18.12.2020
Принята к публикации 11.01.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Разработаны субоптимальные алгоритмы приема и обработки BOC-сигналов, предназначенных для применения в современных и перспективных глобальных навигационных спутниковых системах (ГНСС), таких как GPS (США), Galileo (Евросоюз), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай). Постановка задачи выполнена применительно к векторному дискретно-непрерывному марковскому случайному процессу для случая, когда его непрерывная часть представляет собой векторный диффузионный марковский процесс, а дискретная часть характеризуется простой цепью Маркова на несколько положений. Принято, что полезные BOC-сигналы наблюдаются на фоне аддитивного белого гауссовского шума. Получены аналитические соотношения для субоптимальной оценки и матрицы ковариаций субоптимальных ошибок оценивания выборки вектора непрерывных параметров. Представлены структурные схемы тех модулей субоптимальной системы приема и обработки BOC-сигналов в ГНСС, которые отличаются от соответствующих модулей квазиоптимальной системы. Результаты работы полностью применимы в случаях шумоподобных сигналов современных ГНСС, у которых BOC-сигналы пока не используются.

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа является продолжением [1], в которой путем решения задачи синтеза были получены аналитические соотношения для оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки навигационных шумоподобных сигналов (ШПС) и, в частности, быстро развивающихся BOC-сигналов (binary offset carrier modulated signals), перспективных глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС), таких как GPS (США), Galileo (Европейский союз), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай) [24].

При практической реализации синтезированных квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов с учетом области применения и круга решаемых задач на них, как правило, накладываются дополнительные ограничения и приближения. В результате на практике применяются субоптимальные (более простые) алгоритмы.

Для определенности рассуждений в работе всюду при конкретизации положений полагаем, что навигационная аппаратура пользователей (НАП) установлена на высокодинамичном подвижном объекте, в частности летательном аппарате (ЛА), таком как самолет, вертолет, беспилотный ЛА и т.д.

Определение местоположения и динамики перемещения подвижного объекта с использованием НАП в ГНСС основывается на псевдодальномерном беззапросном методе, при котором требуется одновременная видимость минимум четырех навигационных космических аппаратов (НКА) [5, 6].

Чтобы на основе измеренных псевдодальностей вычислить прямоугольные координаты пользователя (например, в системе ПЗ-90 или WGS-84), в НАП, кроме того, необходимо для каждого НКА иметь сведения об эфемеридах, альманахе, поправках к бортовой шкале времени (ШВ) и т.д., полученные с помощью принятой навигационной служебной информации (СИ).

В соответствии с этим при формировании субоптимальных алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов в ГНСС аналогично [1] полагаем, что принимаемый НАП полезный радиосигнал от j‑го НКА ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $) является нелинейной функцией от векторного дискретно-непрерывного процесса (ДНП) [14]. Векторный ДНП [XT(t),${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T (Т – символ транспонирования) имеет непрерывную часть, представляющую собой векторный диффузионный марковский случайный процесс X(t) (или его выборку), и дискретную часть в виде дискретного процесса (ДП) ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, который содержит навигационную СИ от j-го НКА, $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, и аппроксимирован простой цепью Маркова на $M$ положений. В принимаемом от j-го НКА BOC-сигнале ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ является манипулируемой фазой.

Компоненты векторного непрерывного процесса (НП) X(t), как правило, характеризуют запаздывание принимаемого радиосигнала (содержащее информацию о пространственном положении и динамике перемещения НАП), его фазу, доплеровский сдвиг частоты и т.д. [7].

В [1] задача синтеза оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов решена методами марковской теории оценивания (МТО) случайных процессов [811].

Как известно, у навигационных, в том числе и у BOC-сигналов, время корреляции компонент вектора НП X(t) много больше длительности такта цепи Маркова, характеризующей ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ ($j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $) [4, 10, 11]. В силу этого в [1] вектор НП X(t) в пределах каждого тактового интервала принимаемого радиосигнала был аппроксимирован векторным квазислучайным процессом, что позволило при решении задачи синтеза применить метод поэтапного решения уравнения Стратоновича [10, 12].

По этой же причине в [1] при разложении совместной апостериорной плотности вероятности (АПВ) векторного ДНП [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T в задаче синтеза был использован метод с обратными связями по ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $ [10, 11].

При получении субоптимальных алгоритмов каждый многомерный дискриминатор в структуре НАП разрабатывается применительно к частному пространству состояний, которое соответствует принимаемому от j-го НКА BOC-сигналу

(1)
$s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t) = {{s}_{j}}{\kern 1pt} \left[ {t,{{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}){\kern 1pt} ,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}{\kern 1pt} (t)} \right],$
где ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ – вектор параметров радиосигнала (ПРС), $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $ [1, 7, 13].

Компоненты вектора ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ представляют собой параметры, от которых принимаемый сигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t)$ непосредственно зависит (псевдодальность пользователя, его псевдоскорость, фаза сигнала и т.п.).

Для j-го вектора ПРС Yj(t) и вектора НП X(t) выполняется соотношение [1, 7, 13]:

(2)
${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t) = {{{\mathbf{L}}}_{j}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\},$
где ${{{\mathbf{L}}}_{j}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\}$ – известная нелинейная векторная функция, вектор-столбец ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ имеет размер ($m\,\,{\kern 1pt} \times 1$), вектор-столбец ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$ имеет размер $(n \times 1){\kern 1pt} $. Число векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ равно J – числу всех одновременно видимых НКА.

Важную роль при разработке субоптимальных алгоритмов играют матрицы Якоби, характеризующие функциональные связи между компонентами вектора НП X(t) и векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Каждая матрица Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t)$ определяется как частная производная вектора-столбца ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ по вектору-столбцу ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$ [7, 10, 14]:

(3)
${\mathbf{L}}_{j}^{'}({\kern 1pt} t) \triangleq \frac{{\partial {{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)}}{{\partial {\mathbf{X}}(t)}},\,\,\,\,j = \overline {1,J} .$

Видно, что каждая матрица Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t)$ имеет размер ($m \times n{\kern 1pt} $).

Для ряда приложений в области навигации, в том числе и применительно к ГНСС, изменения элементов матриц Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, во времени на тактовых полуинтервалах $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,{\kern 1pt} \,\,1,\,\,2,\,\,...$, пренебрежимо малы, и при разработке субоптимальных алгоритмов их полагаем постоянными [7, 10, 13].

Цель работы – получить аналитические соотношения для субоптимальных оценок векторного ДНП [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T и ковариационной матрицы субоптимальных ошибок оценивания вектора НП X(t), а также на этой основе разработать соответствующие структурные схемы модулей, которыми субоптимальная система приема и обработки BOC-сигналов перспективных ГНСС отличается от соответствующей квазиоптимальной системы.

В иллюстрирующих примерах опираемся на sinBOC-сигналы с меандровой модуляцией типа BOC(1,1) на несущей частоте ${{f}_{{\text{Н}}}}$ = 1575.42 МГц при базовой (опорной) частоте ${{f}_{{{\text{О}}{\kern 1pt} {\text{П}}}}}$ = 1.023 МГц, которые характерны для E1OS сигналов ГНСС Galileo и для L1C сигналов ГНСС GPS применительно к спутникам нового поколения GPS III [46, 15, 16].

В работе всюду каждый вектор представляет собой вектор-столбец; производная от скалярной функции по вектору-столбцу понимается как вектор-строка, а выражения вида $\left[ {\frac{{\partial {\kern 1pt} }}{{\partial {\mathbf{Y}}_{{j{\kern 1pt} k}}^{ * }}}} \right]$ рассматриваются как операторы, воздействующие на функции, расположенные после них.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть векторное наблюдение на входе приемника НАП имеет вид

(4)
$\begin{gathered} \Xi {\kern 1pt} (t) = [{{\xi }_{1}}(t),{{\xi }_{{\text{2}}}}(t),...,{{\xi }_{j}}(t),...,{{\xi }_{J}}(t)]{{{\kern 1pt} }^{T}},\,\,\,t \in \left[ {{{t}_{0}},t} \right), \\ j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} , \\ \end{gathered} $
и определяется соотношением
(5)
${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t) = {\mathbf{S(}}t{\mathbf{)}} + {{{\mathbf{G}}}_{\Xi }}(t){\mathbf{N}}(t),\,\,\,\,t \in [{{t}_{0}},t),\,\,\,\,j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} ,$
где
(6)
${\mathbf{S}}(t) = [{{s}_{1}}(t),{{s}_{2}}(t),...,{{s}_{j}}(t), \ldots ,{{s}_{J}}(t)]{{{\kern 1pt} }^{T}}$
– вектор принимаемых полезных BOC-сигналов от всей совокупности J одновременно видимых в данный момент НКА группировки ГНСС;
${\mathbf{N}}(t) = [{{n}_{1}}(t),{{n}_{2}}(t),...,{{n}_{j}}(t), \ldots ,{{n}_{J}}(t)]{{{\kern 1pt} }^{T}}$
– вектор аддитивных независимых стандартных белых гауссовских шумов (БГШ) с известными характеристиками; J – общее число всех одновременно видимых в данный момент времени НКА, $j$ – номер НКА.

Входящая в (5) переходная матрица ${{{\mathbf{G}}}_{\Xi }}(t)$ определяет матрицу интенсивностей помех ${{{\mathbf{B}}}_{{\Xi \Xi }}}(t)$:

(7)
${{{\mathbf{B}}}_{{\Xi \Xi }}}(t) = {{{\mathbf{G}}}_{\Xi }}(t){\mathbf{G}}_{\Xi }^{T}(t),$
где матрица ${{{\mathbf{B}}}_{{\Xi \Xi }}}(t)$ – невырожденная, т.е. ${\mathbf{B}}_{{\Xi \Xi }}^{{ - 1}}\left( t \right)$ существует.

Наблюдение на входе приемника НАП от $j$-го НКА ${{\xi }_{j}}(t)$ представляет собой согласно (5) аддитивную смесь полезного сигнала и шума:

(8)
${{\xi }_{j}}(t) = {{s}_{j}}(t) + {{n}_{j}}(t),\,\,\,\,t \in [{{t}_{0}},t),\,\,\,\,j = \overline {1,J} ,$
где $s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t)$ – принимаемый полезный BOC-сигнал от j-го НКА на входе приемника НАП, характеризуемый (6); ${{n}_{j}}(t)$ – аддитивная флуктуационная помеха в наблюдении ${{\xi }_{j}}(t)$ от j-го НКА.

Флуктуационная помеха ${{n}_{j}}(t)$, аппроксимируемая стационарным БГШ, имеет статистические характеристики, определяемые согласно (7), которые представим в виде

(9)
$M[{{n}_{j}}(t)] = 0;\,\,\,\,M[{{n}_{j}}(t){{n}_{j}}(t + \tau )] = \frac{1}{2}{{N}_{{0j}}}\delta \left| \tau \right|,$
где ${{N}_{{0j}}}$ – интенсивность   j-го БГШ, $M[\, \cdot \,]$ – символ усреднения по множеству реализаций.

Полезные BOC-сигналы на входе приемника НАП достаточно детально рассмотрены в [1].

Принятый от j-го НКА полезный BOC-сигнал ${{s}_{j}}(t)$ с использованием многопозиционной фазовой манипуляции (ФМ) для передачи СИ согласно [1] описывается следующим выражением:

(10)
$\begin{gathered} {{s}_{j}}(t) = {{A}_{j}}{\kern 1pt} {{d}_{j}}(t - {{\tau }_{З}}_{j})\cos \left[ {({{\omega }_{{\text{Н}}}}_{j} + \Delta {{\omega }_{{D{\kern 1pt} j}}} + \Delta {{\omega }_{j}}) \times \frac{{}}{{}}} \right. \hfill \\ \left. { \times \,\,(t - {{\tau }_{З}}_{j}) + {{\Theta }_{j}}({{t}_{k}} - {{\tau }_{{Зj}}}){\kern 1pt} \frac{{2\pi }}{M} + {{\varphi }_{j}}(t){\kern 1pt} } \right],\,\,\,\,j = \overline {1,J} {\kern 1pt} , \hfill \\ \end{gathered} $
где ${{A}_{{j\,}}}$ – амплитуда BOC-сигнала от j-го НКА; ${{d}_{j}}(t)$ – модулирующая функция (МФ) BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$, отражающая специфику навигационных ШПС и собственно BOC-сигналов; ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ – информационный ДП, предназначенный для передачи СИ от j-го НКА; ${{\omega }_{{j{\text{Н}}}}} = 2\pi {{f}_{{j{\text{Н}}}}}$ – круговая несущая частота радиосигнала; ${{f}_{{j{\text{Н}}}}}$ – несущая частота BOC-сигнала; ${{\varphi }_{{j\,}}}(t)$ – фаза радиосигнала; ${{\tau }_{{Зj}}}$ – запаздывание принимаемого радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ на трассе от j-го НКА до НАП; $\Delta {{\omega }_{{D{\kern 1pt} j}}}$ – доплеровский сдвиг несущей частоты принимаемого радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ на трассе от j-го НКА до НАП; $\Delta {{\omega }_{{{\kern 1pt} j}}}$ – медленный сдвиг несущей частоты ${{\omega }_{{j\,{\text{Н}}}}}$, возникающий в канале распространения радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ и в измерительном устройстве приемника.

В формуле (10) $M = {{2}^{n}}$ представляет собой показатель многопозиционности ФМ, n – целое положительное число. Так, например, при $M = 2$ ($i$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,{\kern 1pt} 2} $) имеем двоичную ФМ; при $M = 4$ ($i$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} 4} $) – квадратурную ФМ. Начало отсчета в (10) принято равным ${{t}_{0}}$ = 0.

Отметим, что в (10) и далее используется более общая модель ФМ (многопозиционная ФМ на $M$ положений) по сравнению с двоичной ФМ, которая используется в навигационных сигналах ГНСС сегодня.

Характеризующий в (10) многопозиционную ФМ ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ = $\left\{ {\vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}} \right\}$ применительно к j-му НКА определяется соотношением: $\vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}$ = $i$ – 1, т.е. ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ = = $\left\{ {i--1} \right\}$, где $i$ – номер состояния ДП

(11)
${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),\,\,\,\,i = \overline {1,M} .$

У навигационных BOC-сигналов ${{s}_{j}}(t)$ (10) МФ ${{d}_{j}}(t)$ в простейшем случае является результатом перемножения двух двоичных последовательностей: псевдослучайной последовательности (ПСП) дальномерного кода ${{g}_{j}}(t)$ и меандрового поднесущего колебания ${{r}_{j}}(t)$ (специфика BOC-сигналов) [24].

Следовательно, ${\text{МФ}}$ навигационного BOC-сигнала ${{d}_{j}}(t)$ записывается в виде [24]:

(12)
${{d}_{j}}(t - {{t}_{0}}) = {{g}_{j}}(t - {{t}_{0}})\,{{r}_{j}}(t - {{t}_{0}}),$
где ${{g}_{j}}(t)$ – ПСП дальномерного кода, характеризующая навигационный ШПС применительно к j-му НКА, ${{r}_{j}}(t)$ – меандровое поднесущее колебание, отражающее специфику собственно BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$.

Каждая из последовательностей ${{g}_{j}}(t)$ и ${{r}_{j}}(t)$ состоит из чередующихся единичных видеоимпульсов соответствующей длительности, меняющих свою полярность по определенным законам согласно кодовым коэффициентам, значения которых на каждом такте равны +1 или –1.

Запаздывание ${{\tau }_{{Зj}}}$ принимаемого радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) на трассе от j-го НКА до НАП имеет вид [1, 5, 7]

(13)
${{\tau }_{{Зj}}} = {{\tau }_{{Dj}}} + \Delta {{\tau }_{\Sigma }},$
где ${{\tau }_{{D\,j\,}}}(t)$ – задержка принимаемого радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$, обусловленная дальностью трассы между j-м НКА и НАП; $\Delta {{\tau }_{\Sigma }}$ – суммарная задержка сигнала ${{s}_{j}}(t)$, вызванная сдвигами ШВ j-го НКА и НАП; задержкой сигнала за счет неточного прогноза эфемерид; ионосферной и тропосферной задержками сигнала ${{s}_{j}}(t)$ и т.п.

Задержка ${{\tau }_{{D\,j\,}}}(t)$ принимаемого радиосигнала ${{s}_{j}}(t)$, обусловленная дальностью трассы между j-м НКА и НАП, характеризуется выражением

(14)
${{\tau }_{{Dj}}}(t) = {{{{D}_{j}}(t)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{D}_{j}}(t)} c}} \right. \kern-0em} c},$
где ${{D}_{j}}(t)$ – дальность трассы между j-м НКА и НАП; $с$ – скорость распространения радиоволн.

Таким образом, видно, что согласно (1) и (2) BOC-сигнал ${{s}_{j}}(t)$ (10), принимаемый от j-го НКА, является известной нелинейной функцией векторного ДНП [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]$^{Т}$:

(15)
${{s}_{j}}(t) = {{s}_{j}}{\kern 1pt} \left[ {t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}} \right],$
где ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ – ДП, представляющий собой манипулируемую фазу сигнала ${{s}_{j}}(t)$, с помощью которой передается навигационная СИ, и ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$ – вектор НП, содержащий информацию о положении и динамике движения НАП и НКА, а также об условиях распространения радиоволн и стабильности несущей частоты.

Вектор принимаемых полезных BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t)$ (6) от всей совокупности J одновременно видимых в данный момент НКА группировки ГНСС может быть представлен в виде

(16)
${\mathbf{S}}(t) = {\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}} \right],$
где ${{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = [{{\Theta }_{{1k}}},{{\Theta }_{{2k}}},...,{{\Theta }_{{jk}}},...,{{\Theta }_{{Jk}}}]{{{\kern 1pt} }^{T}}$ – вектор ДП применительно ко всей совокупности J одновременно видимых НКА, ${{\Theta }_{{jk}}}$ = ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}})$ – ДП принимаемого BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) от j-го НКА.

Свойства вектора НП ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$ и его взаимосвязь с векторами ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $, изложены в [1].

Для характеристики вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ используем типовую математическую модель (ММ) динамики объектов навигации на основе прямоугольной гринвичской системы координат, описывающую положение объекта (например, ЛА), на котором установлена НАП, в пространстве и его движение применительно к небольшим отрезкам времени [1, 7].

В соответствии с принятой ММ динамики ЛА имеем, что вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ представляет собой многокомпонентный диффузионный гауссовский марковский процесс, который в общем виде может быть описан линейным векторно-матричным стохастическим дифференциальным уравнением [1, 7, 9, 10]:

(17)
$\begin{gathered} \frac{d}{{dt}}{\mathbf{X}}(t) = {{{\mathbf{A}}}_{X}}(t){\mathbf{X}}(t) + {{{\mathbf{С}}}_{X}}(t){\kern 1pt} {{{\mathbf{U}}}_{{{\text{упр}}}}}(t) + {{{\mathbf{G}}}_{X}}(t){{{\mathbf{N}}}_{X}}(t), \\ {\mathbf{X}}({{t}_{0}}) = {{{\mathbf{X}}}_{0}}, \\ \end{gathered} $
где ${\mathbf{X}}(t)$ $ = {{[{{x}_{1}}(t),{{x}_{{\text{2}}}}(t),..,{{x}_{n}}(t)]}^{T}}$ – вектор-столбец НП размером ($n \times 1$); $n$ – число компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$; ${{{\mathbf{A}}}_{{\mathbf{X}}}}(t)$ – матрица состояния размером ($n \times n$); ${{{\mathbf{U}}}_{{{\text{упр}}}}}(t)$ – детерминированный вектор управления; ${{{\mathbf{С}}}_{X}}(t)$ – матрица управления; ${{{\mathbf{N}}}_{X}}(t)$ – вектор стандартных БГШ; ${{{\mathbf{G}}}_{X}}(t)$ – матрица интенсивностей шумов; ${{{\mathbf{B}}}_{{XX}}}(t) = {{{\mathbf{G}}}_{X}}(t){\mathbf{G}}_{X}^{T}(t)$ – матрица коэффициентов диффузии вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$.

Взаимосвязь вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ (17) и векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ согласно (2), (10), (13) и (14) в типовом случае характеризуется соотношением [1, 7]:

(18)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t) = {{{\mathbf{L}}}_{j}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\} = \\ = {{\left[ {{{l}_{{j1}}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\}{{l}_{{j2}}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\}{{l}_{{j3}}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\}{{l}_{{j4}}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\}} \right]}^{Т}}, \\ \end{gathered} $
где ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t) = {{\left[ {{{y}_{{j1}}}(t){{y}_{{j2}}}(t){{y}_{{j3}}}(t){{y}_{{j4}}}(t)} \right]}^{Т}}$, $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Компоненты нелинейной векторной функции ${{{\mathbf{L}}}_{j}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\}$ в (18) равны [1, 7, 13]:

(19)
$\begin{gathered} {{y}_{{j1}}}(t) = {{l}_{{j1}}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\} = {{D}_{{j{\text{и}}{\kern 1pt} {\text{зм}}}}}(t) = \\ = \sqrt {{{{\left( {{{x}_{j}}--x} \right)}}^{2}} + {{{\left( {{{y}_{j}}--y} \right)}}^{2}} + {{{\left( {{{z}_{j}}--z} \right)}}^{2}}} + \delta D, \\ {{y}_{{j2}}}(t) = {{l}_{{j2}}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\} = \frac{d}{{dt}}{{D}_{{j{\text{изм}}}}} = \\ = {{K}_{x}}({{V}_{x}}--{{W}_{{jx}}}) + {{K}_{y}}({{V}_{y}}--{{W}_{{jy}}}) + {{K}_{z}}({{V}_{z}}--{{W}_{{jz}}}), \\ {{y}_{{j3}}}(t) = {{l}_{{j3}}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\} = {{\varphi }_{j}}(t),\,\,\,\,{{y}_{{j4}}}(t) = {{l}_{{j4}}}\left\{ {{\mathbf{X}}(t)} \right\} = \Delta {{\omega }_{{D{\kern 1pt} j}}}, \\ \end{gathered} $
где xj, yj, zj – прямоугольные координаты j‑го НКА; x, y, z – прямоугольные координаты объекта (например, ЛА), на котором установлена НАП; ${{D}_{{{\text{и}}{\kern 1pt} {\text{зм}}}}}(t)$ – измеренное значение дальности $D(t)$; $\delta D$ – неизвестная постоянная на время измерения ошибка (например, за счет расхождения ШВ j-го НКА и НАП);
(20)
${{V}_{x}}(t) = \frac{d}{{dt}}x(t),\,\,\,\,{{V}_{y}}(t) = \frac{d}{{dt}}y(t),\,\,\,\,{{V}_{z}}(t) = \frac{d}{{dt}}z(t)$
– проекции скорости объекта (например, ЛА), на котором установлена НАП;
${{W}_{{jx}}}(t) = \frac{d}{{dt}}{{x}_{j}}(t),\,\,\,\,{{W}_{{jy}}}(t) = \frac{d}{{dt}}{{y}_{j}}(t),\,\,\,\,{{W}_{{jz}}}(t) = \frac{d}{{dt}}{{z}_{j}}(t)$
– проекции скорости j-го НКА;
${{K}_{x}} = \frac{{{{x}_{j}}--x}}{{{{D}_{{{\text{и}}{\kern 1pt} {\text{зм}}}}}(t)}},\,\,\,\,{{K}_{y}} = \frac{{{{y}_{j}}--y}}{{{{D}_{{{\text{и}}{\kern 1pt} {\text{зм}}}}}(t)}},\,\,\,\,{{K}_{z}} = \frac{{{{z}_{j}}--z}}{{{{D}_{{{\text{и}}{\kern 1pt} {\text{зм}}}}}(t)}}$
– направляющие косинусы; ${{\varphi }_{j}}(t)$ – фаза сигнала ${{s}_{j}}(t)$; $\Delta {{\omega }_{{D{\kern 1pt} j}}}$ – доплеровский сдвиг несущей частоты сигнала ${{s}_{j}}(t)$.

Информационный ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ сигнала ${{s}_{j}}(t)$ согласно (11) применительно к j-му НКА записывается в виде ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ = ${{\left\{ {\vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}} \right\}}_{j}} = {{\left\{ {i--1} \right\}}_{j}}$, где $\,i$– состояние ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $. ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ представляет собой простую цепь Маркова на $M$ положений и в каждый момент времени принимает одно из значений $\vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}$ = = $\,i - 1$, где $i$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,M} $ [17].

Возможные моменты перехода ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ из одного состояния в другое являются дискретными и определяются выражением

${{t}_{k}} = {{t}_{0}} + kT,$
где $T = \,\,{\text{const}}$, $k = 0,1,2, \ldots $.

Длительность такта $T$ = ${{t}_{{k + 1}}}--{{t}_{k}}{\kern 1pt} $ ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ для ГНСС типа GPS, Galileo и ГЛОНАСС равна длительности посылки СИ: $T$ = ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = 20 мс [5, 6].

У принимаемого сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) моменты времени ${{t}_{k}}$ возможного перехода ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ из одного состояния в другое в общем случае являются случайными, поскольку они зависят от случайного запаздывания принимаемого сигнала ${{\tau }_{{Зj}}}$ (13).

На каждом тактовом полуинтервале времени $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2, \ldots $, ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} $ остается постоянным, и он описывается следующим уравнением:

(21)
$\frac{{d{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})}}{{d{\kern 1pt} t}} = 0,\,\,\,\,{\text{где}}\,\,\,\,t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),\,\,\,\,k = 0,1,2,...\,\,.$

Матрица одношаговых вероятностей перехода и вектор вероятностей начального состояния ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ соответственно имеют вид [10, 11, 17]:

(22)
${\mathbf{\pi }}({{t}_{k}}) = [{{\pi }_{{il}}}({{t}_{k}})],$
где ${{\pi }_{{il}}}({{t}_{k}}) = P\left\{ {{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}} + 0) = \left. {{{\vartheta }_{l}}} \right|{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}} - 0) = {{\vartheta }_{i}}} \right\}$, il = $\overline {1,M} $;

${{{\mathbf{P}}}_{{{\theta }}}}({{t}_{0}}) = \left\{ {{{P}_{{\vartheta i}}}({{t}_{0}})} \right\},\,\,{\text{где}}\,\,i = \overline {1{\kern 1pt} \,,M} .$

В начале k-го такта $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ вероятности состояний ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$

${{P}_{{\vartheta i}}}({{t}_{k}} + 0) \triangleq P({{t}_{k}} + 0,\,\,{\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}({{t}_{k}} + 0) = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}})$
определяются формулой [17]
(23)
${{P}_{{\vartheta i}}}({{t}_{k}} + 0) = \sum\limits_{m = 1}^M {{{\pi }_{{m{\kern 1pt} {\kern 1pt} i}}}({{t}_{k}})} {{P}_{{\vartheta m}}}({{t}_{k}}--0),\,\,\,i = \overline {1,M} ,$
где ${{P}_{{\vartheta m}}}({{t}_{k}}--0)$ – вероятность состояния ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ в конце (k – 1)-го такта $[{{t}_{{k--1}}},{{t}_{k}})$.

Далее применительно к ДП ${{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ в обозначениях индекс j там, где это не затрудняет понимания, для простоты не приводится.

В [1] при решении задачи синтеза оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки векторного ДНП было применено поэтапное решение уравнения Стратоновича [10, 12].

Возможность решения уравнения Стратоновича для АПВ оцениваемых ДНП поэтапно (в два этапа) обусловлена спецификой непрерывных (17) и дискретных (21)–(23) компонент векторного ДНП [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$]T, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $. Использование метода поэтапного решения уравнения Стратоновича за счет обоснованного упрощения ММ вектора НП ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$ позволяет заметно повысить конструктивность решения задачи синтеза.

Суть такого упрощения ММ вектора НП ${\mathbf{X}}{\text{(}}t{\text{)}}$ заключается в аппроксимации его компонент на каждом тактовом полуинтервале времени $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,\,1,\,2,..$ (применительно к ГНСС на длительности тактового полуинтервала для передачи СИ ${{\tau }_{{{\text{СИ}}}}}$ = 20 мс) квазислучайными процессами [10, 13].

В таких случаях применяется обработка векторного наблюдения на входе приемника НАП $\Xi {\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ (4)–(6) в два этапа. На первом этапе применительно к каждому $k$-му такту $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2, \ldots $, обрабатывается только вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$, так как ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$ векторного ДНП [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$]T при этом остается постоянным. В силу аппроксимации ММ вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ (17) векторным квазислучайным процессом на первом этапе удается найти точное решение уравнения Стратоновича ${\text{как}}$ решение нелинейной задачи оценки параметров.

На втором этапе обработка осуществляется в дискретном времени в точках ${{t}_{k}} + 0$ ($k = 0,1,2, \ldots $), т.е. в точках возможной смены состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$, где $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

При этом оценки компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$, полученные на первом этапе обработки, используются в качестве начальных значений для второго этапа обработки векторного ДНП [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$]T.

Применительно к (17) в дискретные моменты времени ${{t}_{k}}$ ($k = 0,1,2, \ldots $) выборка вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}} = {\mathbf{X}}({{t}_{k}})$ описывается эквивалентным линейным векторно-матричным стохастическим разностным уравнением

(24)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{X}}}_{k}} = {{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}({{t}_{k}},{{t}_{{k - 1}}}){{{\mathbf{X}}}_{{k - 1}}} + \\ + \,\,{{{\mathbf{\Psi }}}_{{XU}}}({{t}_{k}},{{t}_{{k - 1}}}){{U}_{{{\text{упр}}k}}} + {{{\mathbf{\Gamma }}}_{X}}({{t}_{k}},{{t}_{{k - 1}}}){{{\mathbf{N}}}_{{X{\kern 1pt} k}}}, \\ \end{gathered} $
где ${{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}$, ${{{\mathbf{\Psi }}}_{{XU}}}$ и ${{{\mathbf{\Gamma }}}_{X}}$ – известные матрицы, ${{{\mathbf{N}}}_{{X{\kern 1pt} k}}} = {{{\mathbf{N}}}_{X}}({{t}_{k}})$ – вектор формирующих стандартных дискретных БГШ, ${{{\mathbf{U}}}_{{{\text{упр}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} k}}}$ – дискретный вектор управления.

Аппроксимируя на каждом полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2,...$, в принимаемом BOC-сигнале ${{s}_{j}}(t)$ (15) вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ векторным квазислучайным процессом, запишем [1, 10, 12, 13]:

(25)
$\begin{gathered} {\mathbf{X}}(t) = {\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}),\,\,\,\,t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}), \\ k = 0,1,2,...,\,\,\,\,{{{\mathbf{X}}}_{0}} = {\mathbf{X}}({{t}_{0}}), \\ \end{gathered} $
где ${\mathbf{f}}( \cdot )$ – детерминированная векторная функция; ${{{\mathbf{X}}}_{k}} = {\mathbf{X}}({{t}_{k}})$; ${{{\mathbf{X}}}_{k}} = {\mathbf{f}}({{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ – начальное значение вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ на $k$-м такте.

Функция ${\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ имеет вид [1, 10, 12, 13]

(26)
${\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) = {{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}(t,{{t}_{k}}){{{\mathbf{X}}}_{k}},\,\,\,\,t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),$
где ${{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}(t,{{t}_{k}})$ – переходная матрица состояния, входящая в (24).

В соответствии с (25) принимаемый от j-го НКА полезный BOC-сигнал $s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t)$ (15) в пределах одного тактового полуинтервала принимает вид

(27)
$\begin{gathered} s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t) = s{\kern 1pt} \left[ {t,{\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}){\kern 1pt} ,\,\,{\mathbf{f}}({{t}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right],\,\,\,\,t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}), \\ k = 0,1,2,...,\,\,\,\,j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} . \\ \end{gathered} $

2. ОПТИМАЛЬНЫЕ И БЛИЗКИЕ К НИМ ОЦЕНКИ ВЕКТОРНОГО ДИСКРЕТНО- НЕПРЕРЫВНОГО ПРОЦЕССА [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T

Решенная в [1] задача синтеза состоит в том, чтобы на $k$-м такте $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2,...$, располагая наблюдениями (5) и имея априорные сведения (11) и (17) об оцениваемом векторном ДНП [XT(t),${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( {t{\kern 1pt} } \right)$]T, с использованием метода обратных связей по ДП получить оптимальную оценку ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$ выборки вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ и оптимальные оценки ${{\hat {\Theta }}_{j}}$$\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right)$ ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $.

Оптимальная оценка ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$ выборки вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$, полученная в [1], удовлетворяет критерию минимума апостериорного риска при квадратичной функции потерь. Оптимальной оценкой ${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + 1}}}$, удовлетворяющей этому критерию, является апостериорное математическое ожидание ${{M}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right]$ выборки вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ [911]:

(28)
${{{\mathbf{\hat {X}}}}_{{k + {\kern 1pt} 1}}} = {{M}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right] = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}{{p}_{{ps}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} ,$
где ${\mathbf{\hat {X}}}(t)$ – оптимальная оценка вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$;
${{p}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right) \triangleq p(t,\left. {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right|{{{\mathbf{\Xi }}}^{{t{{{\kern 1pt} }_{{k + 1}}}}}})$
– АПВ выборки ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$;

${{{\mathbf{\Xi }}}^{{t{{{\kern 1pt} }_{{k + 1}}}}}} = \left\{ {{\mathbf{\Xi }}(\tau ):\tau \in [{{t}_{0}},{{t}_{{k + 1}}}]} \right\}$

– реализация векторного наблюдения на входе приемника НАП ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t)$ на отрезке $[{{t}_{0}},{{t}_{{k + 1}}}]$.

Если АПВ ${{p}_{{p{\kern 1pt} s}}}\left( {t,{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right)$ является унимодальной и гауссовской, то оптимальная оценка ${\mathbf{\hat {X}}}(t)$ согласно критерию (28) и критерию максимума АПВ совпадают [911], что и используем в дальнейшем.

В соответствии с [1] оптимальная оценка ${{\hat {\Theta }}_{j}}$$\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right)$ ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $, применительно к j-му НКА удовлетворяет критерию минимума апостериорного риска при простой функции потерь, что эквивалентно критерию максимума апостериорной вероятности (АВ) ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$ [911]:

(29)
${{\hat {\Theta }}_{j}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right) = \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}:\mathop {\max }\limits_{\vartheta {{{\kern 1pt} }_{1}} \leqslant \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}} \leqslant {{\vartheta }_{M}}} \left\{ {{{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right\},$
где ${{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)$ – АВ состояния ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$ в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$.

Под оценками и алгоритмами, близкими к оптимальным, понимаем квазиоптимальные и субоптимальные (еще более упрощенные) оценки и алгоритмы. Применение в ГНСС квазиоптимальных и субоптимальных алгоритмов приема и обработки навигационных ШПС (в том числе и BOC-сигналов) существенно снижает трудности при разработке приемников НАП.

Чтобы упростить синтезированные оптимальные алгоритмы приема и обработки BOC-сигналов, в [1], как обычно, был применен метод гауссовской аппроксимации и получены аналитические соотношения для квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{ * }$ и квазиоптимальных оценок $\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * }$ ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, [1, 811].

В соответствии с методом гауссовской аппроксимации в [1] при формировании квазиоптимальных оценок векторного ДНП [XT(t), ${{\Theta }_{j}}(t)$]T были приняты следующие два допущения [1, 8–11]:

1) АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ выборки оцениваемого вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}\,$ является гауссовской

(30)
$p_{{ps1}}^{ * }{\kern 1pt} \left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = N{\kern 1pt} \left\{ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{ * },\,{{{\mathbf{K}}}^{ * }}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)} \right\},$
где ${\mathbf{X}}_{k}^{ * }$ – квазиоптимальная оценка вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$;
(31)
$\begin{gathered} {\mathbf{K}}{\text{*}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) = M_{{p{\kern 1pt} s{\kern 1pt} 1}}^{ * }\left\{ {\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right]{\kern 1pt} {{{\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right]}}^{T}}} \right\} = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right]{\kern 1pt} {{{\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right]}}^{T}}p_{{p{\kern 1pt} s1}}^{ * }\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \\ \end{gathered} $
– матрица апостериорных одномерных центральных моментов второго порядка (матрица ковариаций) квазиоптимальных ошибок оценивания выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$; индекс “1” означает первый этап обработки; индекс * означает, что АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ аппроксимирована гауссовской кривой (30); N – символ гауссовского закона распределения.

2) для условных АВ ${{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}({{t}_{k}}\left| {{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right.)$ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}({{t}_{k}})$ применительно к  j-му НКА, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, при достаточно высокой апостериорной точности оценивания выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ выполняются приближенные равенства:

(32)
${{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}({{t}_{k}}) \approx {{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{k}}\left| {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right.) \approx {{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{k}}\left| {{\mathbf{X}}_{k}^{ * }} \right.),\,\,\,\,{\text{где}}\,\,\,\,i = \overline {1,M} .$

Если на алгоритмы накладываются только эти два ограничения, то такие алгоритмы (и соответствующие им оценки) называются квазиоптимальными.

При формировании субоптимальных оценок (и соответствующих им алгоритмов) векторного ДНП [XT(t),${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} \left( t \right)$]T полагаем, что дополнительно выполняется (к уже отмеченным двум) еще одно ограничение, накладываемое на динамику элементов вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ и векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, которое заключается в следующем: матрицы Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}({\kern 1pt} t)$ (3), где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $, связывающие элементы вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ и векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, считаются постоянными на каждом такте $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,1,2,...$, [10, 11, 13].

3. КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРИЕМА И ОБРАБОТКИ ВЕКТОРНОГО ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО ПРОЦЕССА [XT(t), Θj(t)]T

Аналитические соотношения, определяющие квазиоптимальную оценку (по критерию максимума АПВ) ${\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{ * }$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ и квазиоптимальные оценки $\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * }$ ДП ${{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {t{\kern 1pt} } \right)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $, а также матрицу ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\kern 1pt} {\mathbf{K}}{\text{*}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$, получены в [1] с использованием метода обратных связей по ДП. Ниже в соответствии с [1] приведем итоговые выражения этих соотношений.

3.1. Первый этап обработки

Согласно методу гауссовской аппроксимации (30)–(32) имеем, что квазиоптимальная оценка (по критерию максимума АПВ) ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, с учетом того, что

(32)
${{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0) \approx {{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left| 0 \right.{\mathbf{X}}_{k}^{ * }),\,\,\,i = \overline {1,M} ,$
определяется следующим соотношением [1]:
(33)
$\begin{gathered} {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) = {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}) + {\mathbf{K}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)} \Phi _{{\Sigma i}}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})), \\ \end{gathered} $
где
(34)
$\begin{gathered} \Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})) \triangleq {{\left[ {\frac{{\partial {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}} \right]}^{T}} = \\ = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{{\left[ {\frac{{\partial {{F}_{{\Sigma i}}}(\tau ,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{\partial {\kern 1pt} {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}} \right]}}^{T}}d\tau } \\ \end{gathered} $
– первая производная по вектору ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})$ парциального (i-го) логарифма функционала правдоподобия (ЛФП) ${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$, представляющая собой вектор-столбец размером ($n{\kern 1pt} \,\, \times 1$);
(35)
${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{F}_{{\Sigma i}}}(\tau ,{{{\mathbf{X}}}_{k}})d\tau } $
– парциальный ($i$-й) ЛФП (т.е. ЛФП, соответствующий $i$-му значению компонент вектора ДП ${{{\mathbf{\Theta }}}_{k}}$ = $\left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\}$, где $i = \overline {1,M} $), применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]$ (6), (16) от всех одновременно видимых $J$ НКА;
${{F}_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) = \frac{{d{{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})}}{{dt}}$
– производная по времени парциального (i-го) ЛФП применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]$ (6), (16) от всех одновременно видимых $J$ НКА [1, 10, 17].

Отметим, что принятое в работе обозначение типа ${\kern 1pt} {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ соответствует тому, что оценка формируется на момент времени ${{t}_{k}}$ по наблюдению ${\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} (t)$ до момента времени ${\kern 1pt} t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$.

В соответствии с (32) имеем в (33), что условная АВ ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ в конце первого этапа обработки, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, равна

(36)
${{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left. 0 \right|{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})) \approx {{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)\,,\,\,\,{\text{где}}\,\,\,i = \overline {1,M} .$

Производная по времени от парциального (i-го) ЛФП ${{F}_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (т.е. ЛФП, соответствующего i-му значению компонент вектора ДП ${{{\mathbf{\Theta }}}_{k}}$ = $\left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\}$, где $i = \overline {1,M} $) применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (9) и (26) от всех одновременно видимых $J$ НКА в соответствии с (25) характеризуется следующим выражением [1, 911]:

(37)
$\begin{gathered} {{F}_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) \triangleq {{F}_{\Sigma }}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{\kern 1pt} {{\vartheta }_{i}}} \right\},{\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right] = \\ = {{{\mathbf{S}}}^{T}}\left( {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) \times \\ \times \,\,{\mathbf{B}}_{{\Xi \Xi }}^{{--1}}\left[ {{\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} (t) - \frac{1}{2}{\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right], \\ \end{gathered} $
где $i = \overline {1,M} $; ${{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = [{{\Theta }_{{1k}}},{{\Theta }_{{2k}}},...,{{\Theta }_{{jk}}},...{{\Theta }_{{Jk}}}]{{{\kern 1pt} }^{T}}$ – вектор ДП применительно ко всей совокупности $J$ одновременно видимых НКА.

Наряду с производной по времени парциального (i-го) ЛФП ${{F}_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$, которая характеризуется выражением (37), в алгоритмах также используется производная по времени ЛФП ${{F}_{\Sigma }}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (26) от всех одновременно видимых $J$ НКА, которая имеет вид [1, 10, 13]:

(38)
$\begin{gathered} {{F}_{\Sigma }}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = {{F}_{\Sigma }}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{\mathbf{f}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right] = \\ = {{{\mathbf{S}}}^{T}}\left( {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right){\mathbf{B}}_{{\Xi \Xi }}^{{--1}}\left[ {{\mathbf{\Xi }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (t) - \frac{1}{2}{\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})} \right], \\ \end{gathered} $
где
${{F}_{\Sigma }}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \frac{{d{\kern 1pt} {{\Phi }_{\Sigma }}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})}}{{dt}}$
– производная по времени ЛФП ${{\Phi }_{\Sigma }}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]$ (6), (16) от всех одновременно видимых $J$ НКА [1, 10, 17].

Матрица ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\kern 1pt} {\mathbf{K}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, определяется следующей формулой [1]:

(39)
$\begin{gathered} {\mathbf{K}}{\text{*}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right. = \left[ {{{{\left[ {{\mathbf{K}}{\text{*}}({{t}_{k}})} \right]}}^{{--1}}}--\sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{i{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left. 0 \right|{\mathbf{X}}_{k}^{ * })} } \right.{\kern 1pt} \,\, \times \\ \times \,\,\left\{ {\Phi _{{\Sigma i}}^{{{\text{''}}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })--\left[ {\Phi _{{\Sigma i}}^{{\text{'}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })--} \right.} \right. \\ \left. {--\,\,\sum\limits_{g{\kern 1pt} = 1}^M {{{P}_{{g{\kern 1pt} p{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} - \left. 0 \right|{\mathbf{X}}_{k}^{ * })} \Phi _{{\Sigma g}}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })} \right] \times \\ {{\left. {\left. { \times \,\,{{{\left[ {\Phi _{{\Sigma i}}^{{\text{'}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })} \right]}}^{T}}} \right\}} \right]}^{{--1}}}, \\ \end{gathered} $
(40)
$\begin{gathered} {\text{где}}\,\,\,\,\Phi _{{\Sigma i}}^{{{\text{''}}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})) \triangleq \frac{{\partial {{{\kern 1pt} }^{2}}{\kern 1pt} {{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{{{{(\partial {\kern 1pt} {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}^{2}}}} = \\ = {{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}} \right]}^{T}}\frac{{\partial {{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}} = \\ = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {\mathbf{X}}*({{t}_{k}})}}} \right]}}^{T}}} {{\left[ {\frac{{\partial {{F}_{{\Sigma i}}}(\tau ,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}} \right]}^{T}}d\tau \\ \end{gathered} $
– вторая производная по вектору ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})$ парциального (i-го) ЛФП ${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$, представляющая собой матрицу размером ($n \times n$).

Решение о квазиоптимальной оценке ДП $\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * }$ на полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, принимается на основе (29) с учетом (32) в конце первого этапа обработки, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$, согласно следующему правилу [1, 10, 11]:

(41)
$\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * } = {{\vartheta }_{i}}:\mathop {\max }\limits_{{{\vartheta }_{1}} \leqslant {{\vartheta }_{i}} \leqslant {{\vartheta }_{M}}} \left\{ {{{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right\},$
где ${{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)$ – АВ-состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}(t)$ применительно к принимаемому от j-го НКА полезному BOC-сигналу $s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t)$ (15) в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$.

Квазиоптимальная оценка ДП $\Theta _{{j(k + 1)}}^{ * }$ на k‑м такте применительно к принимаемому от j‑го НКА полезному BOC-сигналу ${{s}_{j}}(t)$ (15) получена в [1] с использованием приближения первого порядка (32).

3.2. Второй этап обработки

Обработка информации на втором этапе k‑го такта производится в дискретном времени в точке перехода от одного такта к следующему, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} + 0$, где $k = 0,1,2,...$.

При этом на втором этапе обработки учитывается как априорное изменение на k-м такте вектора НП от ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ до ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$ как квазислучайного процесса согласно (25) и (26), так и возможная смена состояния ДП ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ в момент времени t = tk + 1 + 0, где $k = 0,1,2,...$, в соответствии с (23) [1].

Следуя [1], приведем соотношения для квазиоптимальной оценки выборки вектора НП ${\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{ * }$ и для матрицы ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\text{*}}{\kern 1pt} ({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$ на втором этапе обработки на k-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, $k = 0,1,2,...$, при условии, что $p_{{ps1}}^{ * }\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ (30) аппроксимирована гауссовской кривой.

Учитывая, что вектор НП ${\mathbf{X}}(t)$ на каждом полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ аппроксимирован векторным квазислучайным процессом (25) и (26), соотношение для квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ на втором этапе обработки на k-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$, имеет вид [1, 10, 13]

(42)
${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} + 0) = {{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}({{t}_{{k + 1}}},{{t}_{k}}){\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.),$
где квазиоптимальная оценка ${\kern 1pt} {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ вычисляется в конце первого этапа обработки в соответствии с (33), а переходная матрица состояния ${{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}({{t}_{{k + 1}}},{{t}_{k}})$ имеет размер ($n \times n$) и определяется согласно (24).

Матрица ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} + 0)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}$ на втором этапе обработки на k-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} + 0$ ($k = 0,1,2,...$), в соответствии с (37) и (39) при учете (24)–(26) характеризуется следующим выражением [1, 10, 13]:

(43)
$\begin{gathered} {\mathbf{K}}{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} + 0) = \\ = {{{\mathbf{\Phi }}}_{{XX}}}({{t}_{{k + 1}}},{{t}_{k}}){\mathbf{K}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.{\mathbf{\Phi }}_{{XX}}^{T}({{t}_{{k + 1}}},{{t}_{k}}). \\ \end{gathered} $

Кроме того, на втором этапе обработки на k‑м такте с учетом квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}_{{k + 1}}^{ * }$ (42) производится формирование начальных значений АВ ДП ${{\Theta }_{j}}\left( t \right)$ для первого этапа обработки применительно к следующему ((k + 1)-му) такту, т.е. вычисляются значения ${{P}_{{ip{\kern 1pt} s}}}({{t}_{{k + 1}}} + 0)$.

Отметим, что в [1] при получении аналитических соотношений для квазиоптимальных оценок векторного ДНП [XT(t),${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T и ковариационной матрицы квазиоптимальных ошибок оценивания вектора НП X(t) особенностями, учитывающими специфику навигационных ШПС (в том числе и BOC-сигналов), являлись следующие два фактора.

1. В алгоритмах при разложении совместной АПВ ${{p}_{{ps}}}\left( {t,{{\Theta }_{j}},{\mathbf{X}}} \right)$ векторного ДНП [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T был применен метод с обратными связями по ДП ${{\Theta }_{j}}\left( t \right)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

2. Для вычисления АПВ ${{p}_{{ps{\kern 1pt} 1}}}\left( {t,{\mathbf{X}}} \right)$ было использовано не уравнение Стратоновича для совместной АПВ ${{p}_{{ps1}}}\left( {t,{{\Theta }_{{jk}}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$, а его решение. Это особенно значимо в случае применения навигационных ШПС (в частности, BOC-сигналов), для которых характерно малое отношение сигнал/шум на входе приемника НАП, и при обработке принимаемого BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) необходимо накопление определенного числа элементарных посылок ПСП дальномерного кода ${{g}_{j}}(t)$ (12).

4. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРИЕМА И ОБРАБОТКИ ВЕКТОРНОГО ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОГО ПРОЦЕССА [XT(t), ${\kern 1pt} {{\Theta }_{j}}\left( t \right)$]T

При получении субоптимальных алгоритмов приема и обработки навигационных ШПС (в том числе и BOC-сигналов) необходимо учитывать то обстоятельство, что приемник НАП является многоканальным и состоит из J каналов, где J – число всех одновременно видимых НКА.

При этом каждый канал обработки радиосигналов функционирует применительно к своему принимаемому сигналу ${{s}_{j}}(t)$ (10) и, следовательно, к своему вектору ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ (18), соответствующему $j$-му НКА.

По этой причине, переходя от квазиоптимальных алгоритмов (33) и (39) к субоптимальным, следует отразить факт взаимосвязи компонент векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ и компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$, что характеризуется зависимостями согласно (18)–(20).

Кроме того, при получении аналитических соотношений субоптимальных алгоритмов с целью их упрощения учитывается ограничение, накладываемое на динамику компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ и векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, состоящее в том, что матрицы Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t)$ (3), $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, считаются постоянными на каждом полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, $k = 0,1,2,...$

В качестве исходных рассмотрим соотношения для квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ (33) и матрицы ковариаций квазиоптимальных ошибок оценивания ${\kern 1pt} {\mathbf{K}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.$ (39).

Из (33) и (39) видно, что при переходе от квазиоптимальных алгоритмов к субоптимальным подвергаются преобразованиям, обусловленным взаимосвязями компонент векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ и компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$, первая $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$ (34) и вторая $\Phi _{{\Sigma i}}^{{{\text{''}}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$ (40) производные по вектору ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})$ парциального (i-го) ЛФП ${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$.

Первая производная $\Phi _{{\Sigma i}}^{{\text{'}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$ (34) и вторая производная $\Phi _{{\Sigma i}}^{{{\text{''}}}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$ (40) получены применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]$ (6), (16) от всех одновременно видимых J НКА.

Производная по времени парциального (i-го) ЛФП ${{F}_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ (35) применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]$ (6) от всех одновременно видимых $J$ НКА в соответствии с (25) характеризуется выражением (37).

При рассмотрении зависимостей производных $\Phi _{{\Sigma i}}^{{\text{'}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ и от векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $, в этих выражениях следует переходить к использованию производной по времени ЛФП ${{F}_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})$ и производной по времени парциального (i-го) ЛФП

${{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}}) \triangleq {{F}_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}) = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})$
применительно к какому-либо одному BOC-сигналу
$s{{{\kern 1pt} }_{j}}(t) = {{s}_{j}}\left[ {t,{{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}){\kern 1pt} ,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}{\kern 1pt} (t)} \right],$
принимаемому от j-го НКА, а не от всей совокупности принимаемых сигналов от $J$ НКА.

Производная по времени ЛФП ${{F}_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})$ применительно к BOC-сигналу sj(t) = $ = {{s}_{j}}\left[ {t,{{\Theta }_{j}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}){\kern 1pt} ,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}{\kern 1pt} (t)} \right]$, принимаемому от j-го НКА, характеризуется следующим выражением [1, 10, 13]:

(44)
${{F}_{j}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}}) = \frac{2}{{{{N}_{{0j}}}}}\left[ {{{\xi }_{j}}(t){{s}_{j}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})--\frac{1}{2}s_{j}^{2}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})} \right].$

Производная по времени парциального (i-го) ЛФП ${{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}}{\kern 1pt} )$ применительно к BOC-сигналу ${{s}_{{ji}}}(t) = s{{{\kern 1pt} }_{j}}\left[ {t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}) = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)} \right]$, принимаемому от j-го НКА, записывается в виде [1, 10, 13]:

(45)
$\begin{gathered} {{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}}) = \frac{2}{{{{N}_{{0j}}}}}\left[ {{{\xi }_{j}}(t){{s}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})--\frac{1}{2}s_{{ji}}^{2}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})} \right], \\ i = \overline {1,M} . \\ \end{gathered} $

Формула связи между производной по времени ЛФП ${{F}_{\Sigma }}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА и производной по времени ЛФП ${{F}_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})$ применительно к BOC-сигналу $s{{{\kern 1pt} }_{j}}\left[ {t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)} \right]$, принимаемому от j-го НКА, определяется соотношением [1, 10, 13]:

(46)
${{F}_{\Sigma }}\left( {{\kern 1pt} t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^{J{\text{ }}} {{{F}_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})} .$

Соответствующая формула связи между производной по времени от парциального (i-го) ЛФП ${{F}_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА и производной по времени парциального (i-го) ЛФП ${{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})$ применительно к BOC-сигналу

${{s}_{{ji}}}(t) = {{s}_{j}}\left[ {t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}) = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)} \right],$
принимаемому от j-го НКА, имеет вид

(47)
${{F}_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) = \sum\limits_{j = 1}^{J{\text{ }}} {{{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})} ,\,\,\,\,{\text{где}}\,\,\,\,i = \overline {1,M} .$

Формулы связи, аналогичные (46) и (47), для самих ЛФП могут быть представлены в виде

(48)
${{\Phi }_{\Sigma }}\left( {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^{J{\text{ }}} {{{\Phi }_{j}}(t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}),{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})} ,$
где ${{\Phi }_{\Sigma }}\left( {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)$ – ЛФП применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА;
(49)
${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}}) = \sum\limits_{j = 1}^{J{\text{ }}} {{{\Phi }_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}})} ,$
где ${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ – парциальный (i-й) ЛФП применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА.

Как следует из рассмотрения (33) и (39), чтобы согласно (34) и (40) найти первую $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$ и вторую $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))$ производные, необходимо знать

$\frac{{\partial {{F}_{{\Sigma i}}}(\tau ,{\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}))}}{{\partial {\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}})}}$
и, следовательно, с учетом (47) требуется получить
$\frac{{\partial {\kern 1pt} {{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t))}}{{\partial {\mathbf{X}}(t)}},$
где ${{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t){\kern 1pt} )$ определяется формулой (45).

Видно, что

(50)
$\frac{{\partial {\kern 1pt} {{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t))}}{{\partial {\mathbf{X}}(t)}} = \frac{{\partial {{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t))}}{{\partial {{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)}}\frac{{\partial {{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)}}{{\partial {\mathbf{X}}(t)}},$
где ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ = ${{\left[ {{{y}_{{j1}}}(t),{{y}_{{j2}}}(t),...,{{y}_{{j{\kern 1pt} m}}}(t)} \right]}^{Т}}$ – вектор-столбец размером ($m \times 1$); ${\mathbf{X}}(t)$ $ = {{[{{x}_{1}}(t),{{x}_{{\text{2}}}}(t), \ldots ,{{x}_{n}}(t)]}^{T}}$ – вектор-столбец размером ($n \times 1$);
(51)
${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t) \triangleq \frac{{\partial {{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)}}{{\partial {\mathbf{X}}(t)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {\kern 1pt} {{y}_{{j1}}}}}{{\partial {{x}_{1}}}}}&{\frac{{\partial {{y}_{{j{\kern 1pt} 1}}}}}{{\partial {{x}_{2}}}}}&{...}&{\frac{{\partial {\kern 1pt} {{y}_{{j1}}}}}{{\partial {{x}_{n}}}}} \\ {\frac{{\partial {\kern 1pt} {{y}_{{j2}}}}}{{\partial {{x}_{1}}}}}&{\frac{{\partial {\kern 1pt} {{y}_{{j2}}}}}{{\partial {{x}_{2}}}}}&{...}&{\frac{{\partial {\kern 1pt} {{y}_{{j2}}}}}{{\partial {{x}_{n}}}}} \\ {...}&{...}&{}&{...} \\ {\frac{{\partial {\kern 1pt} {{y}_{{j{\kern 1pt} m}}}}}{{\partial {{x}_{1}}}}}&{\frac{{\partial {\kern 1pt} yjm}}{{\partial {{x}_{2}}}}}&{...}&{\frac{{\partial {{y}_{{{\kern 1pt} jm}}}}}{{\partial {{x}_{n}}}}} \end{array}} \right]$
– матрица Якоби размером ($m \times n$).

С учетом (51) производная $(50)$ принимает вид

(52)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {\kern 1pt} {{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t){\kern 1pt} )}}{{\partial {\mathbf{X}}(t)}} = \frac{{\partial {{F}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t))}}{{\partial {{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)}}{\mathbf{L}}_{j}^{'}(t), \\ j = \overline {1,J,\,\,\,\,} i = \overline {1,M} . \\ \end{gathered} $

4.1. Разностное уравнение для субоптимальной оценки ${\mathbf{\tilde {X}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$

Субоптимальная оценка выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, определяется как

$\begin{gathered} {\mathbf{\tilde {X}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{{\mathbf{X}}}_{k}}p_{{ps{\kern 1pt} 1}}^{ * }\left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {{{{\mathbf{X}}}_{k}}p{\text{*}}(t,\left. {{{{\mathbf{X}}}_{{k + 1}}}} \right|{{{\mathbf{\Xi }}}^{{t{{{\kern 1pt} }_{{k + 1}}}--0}}})\,d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} . \\ \end{gathered} $

На основании (33)–(35) с учетом (36) субоптимальная оценка ${\mathbf{\tilde {X}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ характеризуется следующим разностным уравнением:

(53)
$\begin{gathered} {\mathbf{\tilde {X}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) = {\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}}\,\, + {\mathbf{\tilde {K}}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)} \,\Phi _{{\Sigma i}}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}), \\ \end{gathered} $
где ${\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}} = {\mathbf{\tilde {X}}}({{t}_{k}})$ – субоптимальная оценка выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$в момент времени ${{t}_{k}}$; $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}})$ – первая производная, характеризуемая согласно (34); $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $; $i = \overline {1,M} $; $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),$ $k = 0,1,2,...$.

Первая производная $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}})$ представляет собой вектор-столбец размером ($n \times 1$).

Далее найдем аналитическое соотношение, определяющее первую производную по вектору ${\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}}$ парциального (i-го) ЛФП $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}})$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА.

Следуя формуле связи (49), сначала получим соотношение, характеризующее $\Phi _{{ji}}^{'}(t,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}})$ применительно к BOC-сигналу

${{s}_{{ji}}}(t) = {{s}_{j}}\left[ {t,{{\Theta }_{j}}({{t}_{k}}) = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)} \right],$

принимаемому от j-го НКА, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $.

Производная $\Phi _{{ji}}^{'}(t,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}})$ с учетом (52) может быть представлена в виде

(54)
$\begin{gathered} \Phi _{{ji}}^{'}(t,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}) = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{{\left[ {\frac{{\partial {{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}}}} \right]}}^{T}}d\tau } = \\ = \,\,\int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{{\left[ {\frac{{\partial {\kern 1pt} {{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}{\mathbf{L}}_{j}^{'}(\tau )} \right]}}^{T}}d\tau } , \\ \end{gathered} $
где ${{{\mathbf{\tilde {Y}}}}_{{jk}}}$ = ${{{\mathbf{\tilde {Y}}}}_{j}}({{t}_{k}})$ – субоптимальная оценка выборки вектора ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{{jk}}}$ в соответствии с (18) и (19), ${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t)$ – матрица Якоби (51), $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $.

Используя правило транспонирования произведения матриц, можно представить производную (54) следующим образом:

(55)
$\Phi _{{ji}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}) = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{{[{\mathbf{L}}_{j}^{'}(\tau )]}}^{T}}{{{\left[ {\frac{{\partial {{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}} \right]}}^{T}}d\tau } .$

Как отмечали, при разработке субоптимальных алгоритмов полагаем, что выполнено ограничение, накладываемое на матрицы Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t)$ (51), об их постоянстве во времени на каждом тактовом полуинтервале, т.е.

(56)
${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t) = {\mathbf{L}}_{j}^{'} = {\text{const}},\,\,\,\,t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),\,\,\,\,k = 0,1,2,...$

С учетом ограничения (56) производная $\Phi _{{ji}}^{'}(t,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}})$ принимает вид

(57)
$\Phi _{{ji}}^{'}(t,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}}) = {{[{\mathbf{L}}_{j}^{'}]}^{T}}\int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{{\left[ {\frac{{\partial {\kern 1pt} {{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}} \right]}}^{T}}d\tau } ,$
где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $, $i = \overline {1,M} $, $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),$ $k = 0,1,2,...$

Первые производные $\Phi _{{ji}}^{'}(t,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}})$ и $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ на основании формулы (49) взаимосвязаны следующим образом

(58)
$\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}) = \sum\limits_{j = 1}^{J{\text{ }}} {\Phi _{{ji}}^{'}(t,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})} .$

Подставив (57) в соотношение (58), находим, что первая производная парциального (i-го) ЛФП $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (34) применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА характеризуется следующей итоговой формулой:

(59)
$\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}}) = \sum\limits_{j = 1}^J {{{{[{\mathbf{L}}_{j}^{'}]}}^{T}}} \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{{\left[ {\frac{{\partial {{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}} \right]}}^{T}}d\tau } ,$
где ${{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}_{{jk}}})$ определяется в соответствии с (45).

Таким образом, разностное уравнение для субоптимальной оценки ${\mathbf{\tilde {X}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ согласно (53) и с учетом (36), (56) и (59) в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени $t = {{t}_{{k + 1}}} - 0$, применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]$ (6), (16) от всех одновременно видимых $J$ НКА принимает вид

(60)
$\begin{gathered} {\mathbf{\tilde {X}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) = {\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}} + {\mathbf{\tilde {K}}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{i{\kern 1pt} ps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)} \left[ {\sum\limits_{j = 1}^{J{\text{ }}} {{{{[{\mathbf{L}}_{j}^{'}]}}^{T}}} \int\limits_{{{t}_{k}}}^{{\kern 1pt} {{t}_{{k + 1}}} - 0} {{{{\left[ {\frac{{\partial {{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}} \right]}}^{T}}d\tau } } \right]{\kern 1pt} , \\ \end{gathered} $
где ${{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}_{{jk}}})$ определяется согласно (45); матрица Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}$ характеризуется в соответствии с (51) и (56); $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $, $i = \overline {1,M} $, $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),$ $k = 0,1,2,...$

Из сопоставления (33), (53) и (60) видно, что разностные уравнения для квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ и субоптимальной оценки ${\mathbf{\tilde {X}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ различаются соотношениями, определяющими производные $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$ (34) и $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (59) .

При формировании субоптимальной оценки ${\mathbf{\tilde {X}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ производная $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ вычисляется по менее точной, но более простой формуле (59), чем при вычислении квазиоптимальной оценки ${\mathbf{X}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$.

Структурная схема модуля формирования первой производной $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ субоптимальной системы приема и обработки BOC-сигналов, выполненная в соответствии с алгоритмами (45), (56) и (59), представлена на рис. 1, где обозначено ТИ – тактовые импульсы.

Рис. 1.

Структурная схема модуля формирования первой производной .

На вход модуля формирования первой производной $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ поступают сигнал ${{\xi }_{j}}(t)$ (8) от j‑го НКА, представляющий собой аддитивную смесь полезного BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) и шума ${{n}_{j}}(t)$ (9), а также опорный BOC-сигнал ${{S}_{{ji}}}{\kern 1pt} (t,{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}_{{jk}}})$. На выходной сумматор модуля поступает как сформированный сигнал первой производной $\Phi _{{j{\kern 1pt} i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$, так и сигналы первых производных $\Phi _{{l{\kern 1pt} i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$, $l \ne j$, l = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, поступающие с других модулей. С выхода модуля снимается результирующий сигнал первой производной $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$. Векторные связи на рис. 1 показаны двойными линиями.

4.2. Разностное уравнение для матрицы ковариаций субоптимальных ошибок оценивания ${\kern 1pt} {\mathbf{\tilde {K}}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.$

Матрица ковариаций (матрица апостериорных одномерных центральных моментов второго порядка) субоптимальных ошибок оценивания выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, определяется как

$\begin{gathered} {\kern 1pt} {\mathbf{\tilde {K}}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.) = M_{{ps1}}^{ * }\left\{ {\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}} \right]{\kern 1pt} {{{\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}} \right]}}^{T}}} \right\} = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}} \right]{\kern 1pt} {{{\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}} \right]}}^{T}}p_{{ps{\kern 1pt} 1}}^{ * }{\kern 1pt} \left( {{{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right)d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} = \\ = \int\limits_{{{{\mathbf{X}}}_{k}}} {\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}} \right]{\kern 1pt} {{{\left[ {{{{\mathbf{X}}}_{k}}--{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}} \right]}}^{T}}p{\text{*}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,\left. {{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right|{{{\mathbf{\Xi }}}^{{{{t}_{{k + 1}}}--0}}})\,d{{{\mathbf{X}}}_{k}}} . \\ \end{gathered} $

На основании (39) и (40) с учетом (36) матрица ковариаций субоптимальных ошибок оценивания ${\mathbf{\tilde {K}}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ с учетом (36) и (56) в конце первого этапа обработки на $k$‑м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]$ (6) и (16) от всех одновременно видимых $J$ НКА характеризуется следующим разностным уравнением:

(61)
$\begin{gathered} {\mathbf{\tilde {K}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right. = \left[ {{{{\left[ {{\mathbf{\tilde {K}}}({{t}_{k}})} \right]}}^{{--1}}}--} \right.\sum\limits_{i = 1}^M {{{P}_{{ips}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)} \times \\ \times \,\,\left\{ {\Phi _{{\Sigma i}}^{{{\text{''}}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})--\left[ {\Phi _{{\Sigma i}}^{{\text{'}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})--} \right.} \right.{\kern 1pt} \\ --\,\,\sum\limits_{g{\kern 1pt} = 1}^M {{{P}_{{gps}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0)} \,\left. {\Phi _{{\Sigma g}}^{'}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})} \right] \times \\ \times \,\,{{\left. {\left. {{{{\left[ {\Phi _{{\Sigma i}}^{{\text{'}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})} \right]}}^{T}}} \right\}} \right]}^{{--1}}}, \\ \end{gathered} $
где $\Phi _{{\Sigma i}}^{{\text{'}}}({{t}_{{k + 1}}} - 0,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ – первая производная по вектору ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}$ парциального (i-го) ЛФП ${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (35) в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, определяется соотношением (34); – вторая производная по вектору ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}$ парциального (i-го) ЛФП ${{\Phi }_{{\Sigma i}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (35) в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, определяется соотношением (40); $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $; $i = \overline {1,M} $; $t \in [\,{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),\,\;k = 0,\,1,\,2,...$. Вторая производная представляет собой матрицу размером ($n \times n$).

Первая производная по вектору ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}$ парциального (i-го) ЛФП $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J  НКА вычисляется по формуле (59).

Далее найдем аналитическое соотношение, определяющее вторую производную по вектору ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}$ парциального ($i$-го) ЛФП $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА.

Следуя формуле связи (49), для вторых производных можно записать

(62)
$\Phi _{{\Sigma {\kern 1pt} i}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}) = \sum\limits_{j = 1}^J {\Phi _{{ji}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})} ,$
где $\Phi _{{ji}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ – вторая производная по вектору ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}$ парциального (i-го) ЛФП ${{\Phi }_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ применительно к принимаемому от j-го НКА полезному BOC-сигналу $s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t)$ (15).

Вторая производная $\Phi _{{ji}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ с учетом (40) может быть вычислена по формуле

(63)
$\Phi _{{ji}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}) = {{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}}}} \right]}^{T}}\frac{{\partial {\kern 1pt} {{\Phi }_{{ji}}}(t,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}}}.$

Применительно к (63) в соответствии с (50) выполняется следующее соотношение:

(64)
${{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}}}} \right]}^{T}} = {{\left[ {{\mathbf{L}}_{j}^{'}} \right]}^{T}}{{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}} \right]}^{T}},$
где в силу принятого ограничения (56) матрица Якоби имеет вид

$\begin{gathered} {\mathbf{L}}_{j}^{'} \triangleq {\kern 1pt} \frac{{\partial {{{\mathbf{Y}}}_{j}}}}{{\partial {\mathbf{X}}}} = {\text{const}}\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}), \\ k = 0,1,2,... \\ \end{gathered} $

Первая производная по вектору ${\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}}$ парциального (i-го) ЛФП ${{\Phi }_{{ji}}}(t,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}})$ применительно к принимаемому от j-го НКА полезному BOC-сигналу $s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t)$ (15) согласно (35) и (52) с учетом (56) может быть представлена в виде

(65)
$\frac{{\partial {\kern 1pt} {{\Phi }_{{ji}}}(t,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}}} = \frac{{\partial {{\Phi }_{{ji}}}(t,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}{\mathbf{L}}_{j}^{'}.$

Подставив (64) и (65) в (63), окончательно получим, что вторая производная по вектору ${\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}}$ парциального (i-го) ЛФП $\Phi _{{ji}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ применительно к принимаемому от j-го НКА полезному BOC-сигналу $s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t)$ (15) характеризуется следующим соотношением:

(66)
$\Phi _{{ji}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}}) = \,\,{\kern 1pt} {{\left[ {{\mathbf{L}}_{j}^{'}} \right]}^{T}}{{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}} \right]}^{T}}\frac{{\partial {{\Phi }_{{ji}}}(t,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}{\mathbf{L}}_{j}^{'},$
где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} \,,J} $, $i = \overline {1,M} $, $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),\,\,\,\,k = 0,1,2,...$.

На основании (62) с учетом (66) находим, что вторая производная парциального (i-го) ЛФП $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (40) применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{\kern 1pt} \vartheta {{{\kern 1pt} }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА равна:

(67)
$\Phi _{{\Sigma {\kern 1pt} i}}^{{{\text{''}}}}(t,{\mathbf{\tilde {X}}}{{{\kern 1pt} }_{k}}) = \sum\limits_{j = 1}^J {{{{\left[ {{\mathbf{L}}_{j}^{'}} \right]}}^{T}}{{{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}} \right]}}^{T}}\frac{{\partial {{\Phi }_{{ji}}}(t,{{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}{\mathbf{L}}_{j}^{'}} ,$
где по аналогии с (35)
(68)
${{\Phi }_{{ji}}}({\kern 1pt} t,{\mathbf{\tilde {Y}}}{{{\kern 1pt} }_{{jk}}}) = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {{{F}_{{ji}}}(\tau ,{\mathbf{\tilde {Y}}}{{{\kern 1pt} }_{{jk}}})d\tau } $
– парциальный (i-й) ЛФП применительно к принимаемому от j-го НКА полезному BOC-сигналу $s{{{\kern 1pt} }_{j}}{\kern 1pt} (t)$ (15); ${{F}_{{ji}}}(\tau ,{\mathbf{\tilde {Y}}}{{{\kern 1pt} }_{{jk}}})$ определяется в соответствии с (45).

Согласно (68) можно записать, что

(69)
$\frac{{\partial {\kern 1pt} {{\Phi }_{{ji}}}(t,{{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}} = \int\limits_{{{t}_{k}}}^t {\frac{{\partial {\kern 1pt} {{F}_{{ji}}}(t,{{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}d\tau \,} .$

Тогда на основании (67) с учетом (69) имеем, что вторая производная парциального (i-го) ЛФП $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (40) применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}(t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}} = \left\{ {{{\vartheta }_{i}}} \right\},{{{\mathbf{X}}}_{k}})$ от всех одновременно видимых J НКА характеризуется следующей итоговой формулой:

(70)
$\begin{gathered} \Phi _{{\Sigma {\kern 1pt} i}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{{\mathbf{\tilde {X}}}}}_{k}}) = \\ = \sum\limits_{j = 1}^{J{\text{ }}} {{{{\left[ {{\mathbf{L}}_{j}^{'}} \right]}}^{T}}} {{\left[ {\frac{\partial }{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}} \right]}^{T}}\left[ {\int\limits_{{{t}_{k}}}^t {\frac{{\partial {\kern 1pt} {{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}})}}{{\partial {{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}}_{{jk}}}}}d\tau } } \right]{\mathbf{L}}_{j}^{'}, \\ \end{gathered} $
где ${{F}_{{ji}}}(\tau ,{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}_{{jk}}})$ определяется в соответствии с (45); $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, $i = \overline {1,M} $, $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}}),\,\,\,k = 0,1,2,...$.

Таким образом, разностное уравнение для матрицы ковариаций субоптимальных ошибок оценивания ${\kern 1pt} {\mathbf{\tilde {K}}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0)} \right.$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$ с учетом (36) и (56) в конце первого этапа обработки на $k$-м такте, т.е. в момент времени ${{t}_{{k + 1}}} - 0$, применительно к совокупности принимаемых BOC-сигналов ${\mathbf{S}}\left[ {t,{{{\mathbf{\Theta }}}_{k}},{{{\mathbf{X}}}_{k}}} \right]$ (6) и (16) от всех одновременно видимых $J$ НКА имеет вид (61), где первая $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ и вторая $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ производные определяются итоговыми формулами (59) и (70) соответственно.

Из сопоставления (39) и (61) видно, что разностные уравнения для матриц ковариаций квазиоптимальных оценок ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ и субоптимальных оценок ошибок оценивания ${\mathbf{\tilde {K}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ различаются соотношениями, определяющими первые производные $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{\mathbf{X}}_{k}^{ * })$ (34) и $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (59) и вторые производные (40) и $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (70).

При вычислении матрицы ковариаций субоптимальных оценок ошибок оценивания ${\mathbf{\tilde {K}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ первая производная $\Phi _{{\Sigma i}}^{'}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (59) и вторая производная $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ (70) вычисляются по менее точным, но более простым формулам, чем при вычислении матрицы ковариаций квазиоптимальных оценок ошибок оценивания ${\mathbf{K}}{\text{*}}({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$.

Структурная схема модуля формирования второй производной $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ субоптимальной системы приема и обработки BOC-сигналов, выполненная в соответствии с алгоритмами (45), (56) и (70), представлена на рис. 2.

Рис. 2.

Структурная схема модуля формирования второй производной .

На вход модуля формирования второй производной $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$ поступают сигнал ${{\xi }_{j}}(t)$ (8) от j-го НКА, представляющий собой аддитивную смесь полезного BOC-сигнала ${{s}_{j}}(t)$ (10) и шума ${{n}_{j}}(t)$ (9), а также опорный BOC-сигнал ${{S}_{{ji}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {Y}}}}_{{j{\kern 1pt} k}}})$. На выходной сумматор модуля поступает как сформированный сигнал второй производной $\Phi _{{j{\kern 1pt} i}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$, так и сигналы вторых производных $\Phi _{{l{\kern 1pt} i}}^{{{\text{''}}}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$, $l \ne j$, l = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, поступающие с других модулей. С выхода модуля снимается результирующий сигнал второй производной $\Phi _{{\Sigma i}}^{{''}}(t,{{{\mathbf{\tilde {X}}}}_{k}})$. Векторные связи на рис. 2 показаны двойными линиями.

Все соотношения субоптимальных алгоритмов для вычисления оценок ДП ${{\tilde {\Theta }}_{{j(k + 1)}}}$, $j = \overline {1{\kern 1pt} ,J} $, остаются теми же, что и при квазиоптимальных алгоритмах [1, формула (79)]. В случае субоптимальных алгоритмов обработка сигналов на втором этапе на каждом такте производится по тем же алгоритмам, что при квазиоптимальных алгоритмах [1].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены прием и обработка навигационных ШПС и, в частности, быстро развивающихся BOC-сигналов (меандровых ШПС), которые предназначены для применения в современных и перспективных ГНСС, таких как GPS (США), Galileo (Европейский союз), ГЛОНАСС (Россия) и BeiDou (Китай).

Данная статья является продолжением [1], в которой на базе МТО дискретно-непрерывных случайных процессов с использованием метода поэтапного решения уравнения Стратоновича и метода обратных связей по ДП были синтезированы аналитические соотношения оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема и обработки BOC-сигналов в ГНСС. В представленной работе получены более простые аналитические соотношения – субоптимальные алгоритмы приема и обработки BOC-сигналов в ГНСС, что необходимо для практической реализации.

При переходе от квазиоптимальных алгоритмов к субоптимальным учтено то, что в многоканальном приемнике НАП, установленном, например, на ЛА, каждый канал обработки радиосигналов функционирует применительно к своему принимаемому от j-го НКА сигналу ${{s}_{j}}(t)$ и к своему вектору ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$, соответствующему $j$-му НКА, где $j$ = = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $ (J – число всех одновременно видимых НКА).

Кроме того, при получении аналитических соотношений субоптимальных алгоритмов с целью их упрощения на динамику компонент вектора НП ${\mathbf{X}}(t)$ и векторов ПРС ${{{\mathbf{Y}}}_{j}}(t)$ наложено ограничение, состоящее в том, что матрицы Якоби ${\mathbf{L}}_{j}^{'}(t)$, где $j$ = $\overline {1{\kern 1pt} ,J} $, (51) были приняты постоянными на каждом полуинтервале $[{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$, где $k = 0,\;1,\;2,\,...$ (56).

Основной научный результат работы состоит в том, что получены аналитические выражения для субоптимальной оценки ${\mathbf{\tilde {X}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ и матрицы ковариаций субоптимальных ошибок оценивания ${\mathbf{\tilde {K}}}{\kern 1pt} ({{t}_{k}}\left| {{{t}_{{k + 1}}} - 0} \right.)$ выборки вектора НП ${{{\mathbf{X}}}_{k}}$.

Результаты работы также полностью применимы в случаях ШПС современных ГНСС, у которых BOC-сигналы пока не используются.

Список литературы

  1. Яpлыкoв M.C. // PЭ. 2021. T. 66. № 1. C. 39.

  2. Betz J.W. // Proc. 1999 National Technical Meeting of the Institute of Navigation (ION – NTM’99), San Diego. 25–27 Jan. Manassas: 1999, P. 639.

  3. Betz J.W. // Navigation. J. ION. 2001. V. 48. № 4. P. 227.

  4. Ярлыков М.С. Меандровые шумоподобные сигналы (ВОС-сигналы) и их разновидности в спутниковых радионавигационных системах. М.: Радиотехника, 2017.

  5. Шебшаевич В.С., Дмитриев П.П., Иванцевич Н.В. и др. Сетевые спутниковые радионавигационные системы. 2-е изд. М.: Радио и связь, 1993.

  6. Соловьев Ю.А. Системы спутниковой навигации. М.: Эко-Трендз, 2000.

  7. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. М.: Радио и связь, 1985.

  8. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966.

  9. Ярлыков М.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1980.

  10. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. М.: Радио и связь, 1993.

  11. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1991.

  12. Ярлыков М.С., Шишкин В.Ю. // РЭ. 1992. Т. 37. № 2. С. 260.

  13. Ярлыков М.С., Ярлыкова С.М. // РЭ. 2006. Т. 51. № 8. С. 933.

  14. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.

  15. Betz J.W., Blanco M.A., Cahn Ch.R. et al. // Proc. 19th Int. Technical Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation (ION GNSS 2006). Fort Worth. 26–29 Sep. 2006. Manassas: ION, 200 P. 2080.

  16. Wallner S., Hein G.W., Avila-Rodriguez J.-A. // Proc. European Space Agency, Navitec 2006, Noordwijk, the Netherlands, Dec. 2006. CD ROM.

  17. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд. М.: Радио и связь, 1982.

Дополнительные материалы отсутствуют.