Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 11, стр. 1140-1145

1. ТЕОРЕМА ШОКЛИ–РАМО

Изначально теорема Шокли–Рамо (ТШР) [1, 2] и ее обобщения [3, 4] на случай произвольного числа неподвижных и подвижных зарядов была предназначена для описания токов из внешней цепи на металлические электроды, индуцированных движением зарядов в электровакуумных приборах (в первых работах рассматривалось движение одного точечного заряда в системе без других зарядов). При выводе ТШР использовалась теорема Грина и уравнения Максвелла; соединительные провода (с их неэквипотенциальными поверхностями) не рассматривались. То есть во внимание принималось произвольное число N металлических (эквипотенциальных) электродов и подвижные и неподвижные заряды в вакууме. Формула для общего тока на отдельный α-й электрод имеет вид

где – полный ток, $\vec {j}(t,\vec {r})$ – плотность конвективного тока, $\overrightarrow D (t,\vec {r})$ – электрическая индукция, равная в вакууме (ε₀ – диэлектрическая постоянная вакуума, $\overrightarrow E $ – электрическое поле), – вспомогательное нормированное электрическое поле, ${{\varphi }^{{(1\alpha )}}}(t,\vec {r})$, ${{\vec {E}}^{{(1\alpha )}}} = - {\text{grad}}{{\varphi }^{{(1\alpha )}}}$ – соответственно потенциал и электрическое поле из вспомогательной краевой задачи для той же системы, но без пространственных зарядов и с потенциалами электродов

Интегрирование проводится по всему пространству без электродов.

В работах [1, 2] рассматривался только вклад в (1) от конвективного тока (соответствующий первому слагаемому в (2)) для случая одиночного точечного заряда q, двигающегося со скоростью $\overrightarrow v $ в точке ${{\overrightarrow r }_{0}}$ и создающего конвективный ток с плотностью

где $\delta (\overrightarrow r - {{\overrightarrow r }_{0}})$ – дельта-функция. Эта плотность тока ${{\overrightarrow j }_{0}}$ индуцирует на α-м электроде ток

Тогда, в случае двух плоскопараллельных электродов, например, нормированное поле для одного из них (индекс “0”) равно

где d – расстояние между электродами, $\overrightarrow n $ – вектор внешней нормали к поверхности выбранного электрода (направленный в сторону второго электрода), а индуцированный ток равен

При приближении заряда к рассматриваемому электроду получаем $q{{I}_{0}} < 0$, т.е. ток из внешней цепи привносит в электрод заряд другого знака, экранирующий поле заряда q, а при удалении от электрода знаки заряда и тока совпадают.

Формулы (6)–(9) и выражают содержание собственно ТШР, хотя под ТШР иногда понимают и более общие выражения. Одно из таких полезных соотношений имеет вид

где $\Phi _{k}^{{(1)}}(t)$ – потенциал k-го электрода из вспомогательной задачи (k = 1, 2, …, N), ${{\vec {E}}^{{(1)}}}$ – вспомогательное поле в этом случае, а I_k – ток, втекающий в k-й электрод из внешней цепи. При этом формула (1) представляет собой частный случай равенства (10) при условиях (5), который целесообразно записать в виде где – полный индуцированный (движением зарядов в вакууме) ток на α-й электрод (а собственно ТШР из [1, 2] описывает вклад от точечного заряда в эту компоненту тока).

ТШР и ее обобщения использовались для описания работы вакуумных сверхвысокочастотных (СВЧ) приборов (см., например, [3–8]). В работах [5, 6] рассматривались квазистационарные (достаточно медленные) режимы изменения полей.

2. ОБОБЩЕНИЯ ТШР И УСЛОВИЯ ЕЕ ПРИМЕНИМОСТИ

Доказывать ТШР и ее обобщения можно разными способами. Удобно, например, использовать (производящий) функционал

преобразования которого с помощью теоремы Остроградского–Гаусса и уравнений Максвелла (в их интегральной форме), вполне аналогичные соответствующим преобразованиям в работах [1, 2], приводят к левой части уравнения (10). Вместе с тем дифференцирование в (13) с учетом равенства дает правую часть в (10) (${{\vec {E}}^{{(1)}}} = - {\text{grad}}{{\varphi }^{{(1)}}}$) и завершает вывод.

Отметим, что такое доказательство не требует никаких дополнительных ограничений, так как в нем кроме математики используются только уравнения Максвелла в самой общей их форме. В частности, связь между электрической индукцией и электрическим полем не конкретизируется, а потенциальность электрического поля не предполагается (в отличие от теоремы Грина, которая использовалась в первых работах), что обеспечивает применимость ТШР к описанию систем с высокочастотными, в том числе СВЧ-полями. Кроме того, от функции ${{\varphi }^{{(1)}}}$ требуется лишь постоянство вдоль поверхностей металлических электродов (что обеспечивает возможность выделения формул для зарядов электродов и токов на них). Применение вспомогательных функций для вывода ТШР и (других соотношений) было предложено в [9] и развито в [10] на случай произвольных функций (но с требуемыми граничными условиями, конечно) с целью применения ТШР к высокочастотным (т.е. в том числе и непотенциальным) полям. Использование в качестве вспомогательных функций потенциалов (т.е. функций, являющихся решением соответствующих краевых задач для потенциалов) безусловно удобно и ближе к практике. Однако краевые задачи для них можно выбирать, из соображений полезности, с отличными от основной задачи зарядами, параметрами образцов, граничными условиями и т.п.

С формальной точки зрения расширения ТШР на образцы с диэлектриками связаны с усложнениями вакуумной формулы (3) для электрической индукции, которая фигурирует в выражениях для полного тока (2), токов на электроды (1), (10), (11) и функционала (13). Так, в работах [9‒15] было развито обобщение ТШР вплоть до случая неоднородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon (}}\vec {r}{\text{,}}\;t{\text{)}}$ и индукцией

Вид формул при этом сохраняется. ТШР для диэлектриков применялась для описания датчиков ионизирующего излучения в работах [11, 12, 15, 16]. Весьма интересны также применения ТШР в биологии для изучения транспорта зарядов в протеинах [17].

Выделим теперь влияние поляризации. Представим с этой целью электрическую индукцию в виде

где $\overrightarrow P {\text{(}}\vec {r}{\text{,}}\;t{\text{)}}$ – плотность дипольного момента, которая может быть связана со спонтанной поляризацией в пироэлектриках (см., например, [18]), с различными неоднородностями (включая границы раздела и поверхности), с дефектными образованиями атомного масштаба, с отдельными молекулами и т.п. Тогда вместо (11), (12) можно записать следующие формулы: где Здесь вклад в ток с $\partial{ \overrightarrow P} {\text{/}}\partial t$ отнесен к индуцированным токам (к ТШР), поскольку он имеет ту же природу и размерность (см. [19, 20]). В частности, вектор $\partial{ \overrightarrow P} {\text{/}}\partial t$ играет роль плотности тока для связанного (с поляризацией) заряда $( - {\text{div}}\overrightarrow P )$, как это явствует из закона сохранения этого заряда

В случае точечного диполя с дипольным моментом $\vec {p}$ плотность поляризации равна

а вклад от нее в индуцированный ток –

Если токи малы, то удобнее измерять изменение заряда на электроде. При диагностике пленок (плоскопараллельный случай (7)) из (21) следует

где d – толщина пленки, а ${{\vec {p}}_{0}}$ – изменение дипольного момента. Например, индуцированные токи при генерации (или отжиге) дипольных дефектов в диэлектрике в составе структуры МДП (металл–диэлектрик–полупроводник) приводят к вполне ощутимым изменением заряда металлического электрода, что можно использовать для диагностики дефектов с помощью ТШР [21].

Разумеется, ТШР остается справедливой и в локально анизотропном случае c тензором диэлектрической проницаемости ${{\varepsilon }_{{ik}}}{\text{(}}\vec {r}{\text{,}}\;t{\text{)}}$

(по повторяющимся тензорным индексам предполагается суммирование) [22, 23].

В работах [19, 21–23] ТШР использовалась в задачах диагностики дефектов в кремниевых структурах МОП (металл–окисел–полупроводник) и в интегральных схемах.

3. ЕМКОСТНЫЕ И НЕЕМКОСТНЫЕ ТОКИ

В реальных условиях вклад в токи из внешней цепи на металлические электроды может быть связан не только с индуцированными токами (из ТШР), но и с токами иной природы. В случае потенциальных электрических полей это емкостные токи, которые обсуждались уже в работах [5, 6] и рассматривались в прямой связи с ТШР в [9, 14]. Отметим по этому поводу, что ТШР можно рассматривать как развитие законов Кирхгофа [24, 25] для электрических цепей (в работе [25] сделано важное замечание относительно роли потенциала в законе Ома [26], а сами законы кратко сформулированы в приложении к работе [24]). Емкость в качестве элемента электрической цепи и соответствующие ей токи рассматривал исходя из энергетических соображений, У. Томсон (впоследствии лорд Кельвин) в своей знаменитой работе по электрическим колебаниям, где получена формула для их периода [27]. Эти работы были опубликованы до открытия уравнений Максвелла, хотя их результаты могут быть, конечно, получены и из самих уравнений (см., например, [28]). И всe же именно ТШР, и в особенности ее обобщения, открывают широкие возможности для вывода законов электрических цепей непосредственно из уравнений Максвелла. С этим, очевидно, и связан рост интереса к обсуждаемой тематике.

Отметим далее, что емкостные токи хорошо известны в теории не только электровакуумных, но также и полупроводниковых приборов (см., например, [29–31]), включая в этом случае и токи, связанные с изменением самих емкостей. Естественно поэтому ожидать, что токи указанной природы (т.е. индуцированные и емкостные) полностью исчерпывают токи в правой части формулы (17), т.е. второе слагаемое в этой формуле соответствует чисто емкостным токам (в случае достаточно медленных (квазистационарных) режимов, конечно, когда электрическое поле потенциально $\overrightarrow E = - \overrightarrow \nabla \varphi $).

Выделим для проверки емкостное слагаемое в формуле (17) для токов из ТШР в явном виде (см. также [19, 23]). Рассмотрим с этой целью функционал с потенциальными полями

где вспомогательный потенциал ${{\varphi }^{{(1)}}}$ рассматривается в том же (геометрическом) пространстве с теми же границами на поверхностях металлических электродов, но без заряда и поляризации, т.е. где $\rho ,\;\vec {D},\;\vec {P}$ – соответственно плотность заряда, электрическая индукция и плотность поляризации в основной задаче, а ${{\vec {D}}^{{(1)}}}$ – электрическая индукция во вспомогательной. Диэлектрические свойства среды в вспомогательной задаче тоже не оговариваются, а связь между индукциями и полями ($\vec {D},\;\vec {E}$ и ${{\vec {D}}^{{(1)}}},\;{{\vec {E}}^{{(1)}}}$) не конкретизируется. Преобразуем далее функционал F₂ аналогично преобразованию функционала F₁ из (13) (т.е. с помощью формул векторного анализа): где Φ_β(t) – потенциалы электродов в основной задаче, а $Q_{\beta }^{{(1)}}(t)$ – заряд β-го электрода во вспомогательной. Отметим, что последние два слагаемых под интегралом можно представить в более симметричном и удобном для дальнейшего, виде:

Теперь для случая (5) формула (26) приобретает следующий вид:

где $Q_{\beta }^{{(1\alpha )}},\;{{\vec {E}}^{{(1\alpha )}}}\;{\text{и}}\;{{\vec {D}}^{{(1\alpha )}}}$ – соответственно заряд β-го электрода, поле и индукция во вспомогательной задаче в рассматриваемом случае. Наконец, после деления на Ф₀, получаем искомую формулу для тока на α-й электрод в общем виде: где – емкостные коэффициенты в рассматриваемом случае (в электростатике это коэффициенты емкости ($C_{\alpha }^{\alpha }$) и коэффициенты электростатической индукции ($C_{\beta }^{\alpha }$, β ≠ α) [18]), – нормированные поле и индукция во вспомогательной задаче. Слагаемое здесь описывает, очевидно, токи емкостной природы, включая и токи, обусловленные изменениями самих емкостных коэффициентов (которые могут быть индуцированы , например, изменениями диэлектрической проницаемости).

Итак, кроме привычных слагаемых (индуцированных и емкостных токов) в формуле (16) для полного тока на электрод присутствуют и другие слагаемые, которые можно записывать в разном виде. Природа дополнительных токов рассматривалась в [20, 32, 33]. В работе [32] приведен простой иллюстрирующий пример с неоднородно заполненным конденсатором, диэлектрическая проницаемость в котором (неоднородно же) изменяется таким образом, что емкость остается постоянной. Кроме того, в конденсаторе присутствует неподвижный заряд. В таком случае, при постоянных потенциалах на обкладках, индуцированные и емкостные токи отсутствуют, но общий ток все же не равен нулю и связан с перераспределением между электродами зарядов, обеспечивающих экранирование поля, создаваемого зарядами образца.

Исходя из этого наблюдения в работах [20, 33] предложено представление дополнительных токов в виде двух слагаемых, как в уравнении (16), т.е.

где ${{I}_{{\alpha 1}}}\;{\text{и}}\;{{I}_{{\alpha 2}}}$ – индуцированные и емкостные токи (см. (18) и (32)), а и – дополнительные токи другой природы, записанные в том же общем виде. Основанием для этого служат следующие обстоятельства. Во-первых, формулу (34) можно, не уменьшая общности, преобразовать к виду [20, 33] где ${{\varphi }^{{{\text{(}}\alpha {\text{)}}}}}$ – нормированный потенциал во вспомогательной задаче а плотность заряда ρ₀ определяется равенствами То есть ρ₀ – это полная плотность свободного ρ и связанного с поляризацией ($ - {\text{div}}\overrightarrow P $) зарядов. Изменения со временем нормированного вспомогательного потенциала ${{\varphi }^{{{\text{(}}\alpha {\text{)}}}}}$ могут быть связаны с неоднородными в пространстве изменениями диэлектрической проницаемости. При этом могут, конечно, изменяться и емкостные коэффициенты, но возможны варианты (см. [32]), когда нормированный потенциал в (36) зависит от времени, а емкость постоянна. То есть формулы (32) и (36) описывают разные, независимые, вообще говоря, эффекты, и токи из (36) аномальны в этом смысле. Если образцы в двух задачах (и диэлектрические проницаемости в них) одинаковы, формула (36) описывает, разумеется, токи из приведенного в [32] примера с конденсатором (см. [33]).

Кроме того, формула (35) для случая (23), когда тензоры диэлектрической проницаемости в обеих задачах одинаковы, имеет вид

а после перестановки местами индексов i и j (по которым производится суммирование) во втором слагаемом под интегралом она принимает вид

Отсюда видно, что природа четвертой компоненты тока связана с асимметрией тензора ${{\varepsilon }_{{ij}}}$. В термодинамически равновесном случае тензор симметричен, и в низкочастотных процессах его асимметрия мала [18]. На достаточно высоких частотах ω (когда процессы поляризации неравновесны) симметрия тензора ${{\varepsilon }_{{ij}}}(\omega )$ определяется (см. [18]) обобщенным принципом симметрии кинетических коэффициентов (см., например, [18, 34]). Обычно тензор симметричен ${{\varepsilon }_{{ij}}} = {{\varepsilon }_{{ji}}}$ (и тогда ${{I}_{{\alpha 4}}} = 0$), но в некоторых случаях (при наличии магнитного поля, например) симметрия может нарушаться.

Итак, в обычной ситуации, когда параметры образца не меняются со временем, а ${{I}_{{\alpha 4}}}\; = 0$, полные токи на электроды определяются только первыми двумя слагаемыми, т.е емкостными токами (с постоянными емкостными коэффициентами) и индуцированными токами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теорема Шокли–Рамо [1, 2] и ее обобщения описывают только ту часть токов из внешней цепи на металлические электроды, которая индуцирована конвективными токами в образце (включая и случай, когда единственный точечный заряд двигается в образце или в вакууме). Теорему можно доказывать разными способами. При доказательстве применение таких функций, которые формально не связаны с основной задачей (или связаны лишь частично), в качестве вспомогательных функций расширяет область применимости теоремы и открывает новые возможности для развития законов Кирхгофа при описании современных электрических цепей. В общем случае, без уточнения вида связи между электрической индукцией и полем, полные токи на металлические электроды (см. формулы (29), (33)) состоят из четырех компонент разной природы (см. (18), (32), (34)–(36)), включая, конечно, индуцированные токи из ТШР (18) и токи емкостной природы (32). При этом поляризация (плотность дипольного момента) участвует в формулах (18), (36).

В обычной ситуации, когда параметры образца постоянны, а ${{I}_{{\alpha 4}}} = 0$, полные токи на электроды определяются, как и следовало ожидать, только первыми двумя слагаемыми, т.е емкостными токами (с постоянными емкостными коэффициентами) и индуцированными токами.

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Работа выполнена в рамках государственного задания.