Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 9, стр. 864-872

ВВЕДЕНИЕ

В работе описывается семейство фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ), амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) которых приближается к финитным сплайнам, аппроксимирующим свертку прямоугольного импульса с атомарной функцией ${{{\text{h}}}_{a}}(x)$ [1, 2]. Отклонение фильтров в полосах пропускания и подавления меняется вместе с изменением параметра, в связи с чем возникает задача разработки метода поиска параметра, оптимизирующего отклонение.

1. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО КИХ-ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ СПЛАЙНОВ

Пусть $f(\omega )$ – четная неотрицательная финитная интегрируемая функция с носителем supp f(ω) = $ = [ - \gamma ,\gamma ]$ и

а ${{B}_{0}}(\omega )$ – прямоугольный импульс:

Тогда при ${{\gamma }_{0}} > \gamma $ свертка

является четной финитной неотрицательной функцией, удовлетворяющей условиям

Перечисленные свойства позволяют рассматривать $H(\omega )$ в качестве идеальной АЧХ некоторого фильтра низких частот.

Рассмотрим для фиксированных частот ${{\omega }_{0}}$ и ${{\omega }_{1}}$, $0 < {{\omega }_{0}} < {{\omega }_{1}} < \pi $, семейство фильтров ${{H}_{{a,L}}}(\omega )$, образуемое правой частью (1) в случае, когда ${{\gamma }_{0}} = {{({{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{\omega }_{1}} + {{\omega }_{0}})} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и

где $a \geqslant 1$ – параметр, ${{f}_{{a,L}}}(\omega )$ – финитный сплайн с носителем $[ - {{\Omega }_{L}},{{\Omega }_{L}}]$, полученный в результате свертки L прямоугольных импульсов разной длины

Сплайны ${{f}_{{a,L}}}(\omega )$ представляют собой аппроксимации известной атомарной функции ${{{\text{h}}}_{a}}(\omega )$, которая применяется при синтезе дискретных и непрерывных фильтров низких частот с быстро затухающей импульсной характеристикой [3–5].

Функция ${{H}_{{a,L}}}(\omega )$ при $\omega \in \left[ { - \pi ,\pi } \right]$ представляется рядом Фурье

где Коэффициенты определяют КИХ-фильтр с АЧХ ${{\tilde {H}}_{{a,L}}}(\omega )$

Графики АЧХ (3) для некоторых фильтров приведены на рис. 1.

Рассмотрим остаток ряда Фурье (2)

Для каждого фиксированного параметра $a$ и заданного набора чисел ${{\omega }_{0}}$, ${{\omega }_{1}}$, $L$, $N$ наибольшее отклонение характеристики (3) в полосах пропускания $0 \leqslant \omega \leqslant \omega {{\,}_{0}}$ и подавления ${{\omega }_{1}} \leqslant \omega \leqslant \pi $ (при условии, что ${{\tilde {H}}_{{a,L}}}(\omega ) \ne 0$ на $\omega \in (0,{{\omega }_{0}})$) задается величиной

где $\Omega = \{ \omega \,\,{\text{:}}\,\,0 \leqslant \omega \leqslant {{\omega }_{0}},\,\,\,\,{{\omega }_{1}} \leqslant \omega \leqslant \pi \} $. Отклонение (5) меняется в зависимости от параметра $a$ и имеет на интервале $a \in [1, + \infty )$ точную нижнюю грань

2. ЗАМЕНА НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ОТКЛОНЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧЕЙ

Функция (5) в общем случае не является вогнутой, кроме того, точная нижняя грань (6) ищется на неограниченном множестве $a \in [1, + \infty )$, поэтому решение задачи (6) не может быть найдено при помощи стандартных численных методов минимизации.

Для отыскания приближенного решения здесь предлагается ограничить область изменения параметра $a$ и заменить (6) дискретной задачей таким образом, чтобы найденное на сетке решение мало отличалось от (6).

Пусть ${{\varepsilon }_{0}} = \mathop {\inf }\limits_{a \geqslant 1} M(a)$ – решение непрерывной задачи (6). Задавая конечный отрезок $[1,A]$ и сетку ${{A}_{S}} = \{ {{a}_{s}}\} _{{s = 1}}^{S}$ на этом отрезке, $1 = {{a}_{1}} < {{a}_{2}} < $ … < $ < {{a}_{{S - 1}}} < {{a}_{S}} = A,$ рассмотрим также задачу поиска числа ${{\varepsilon }_{1}}$

Определим условия, налагаемые на сетку ${{A}_{S}}$ и число $A$, достаточные для выполнения неравенства

задающего требование малого различия решений дискретной и непрерывной задач.

Отметим, что для функции $\varepsilon (a,\omega )$ имеет место равномерная на $\Omega $ сходимость $\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \varepsilon (a,\omega ) = \tilde {\varepsilon }(\omega )$, где

поэтому при достаточно больших $A$ для всех $a > A$где $\lambda $ ‒ сколь угодно малое число.

Обозначим $\tilde {\varepsilon } = \mathop {\max }\limits_{\omega \in \Omega } \left| {\tilde {\varepsilon }(\omega )} \right|$. Предположим, что задано некоторое число $A$, для которого выполняется соотношение

при $a > A$.

Рассмотрим сначала случай, когда функция $M(a)$ достигает при $a \geqslant 1$ своей нижней грани в точке ${{a}_{0}} \geqslant A$. Тогда для ${{\varepsilon }_{0}}$ справедливо

Полагая ${{\varepsilon }_{1}} = \tilde {\varepsilon }$, получим

Пусть теперь $\mathop {\inf }\limits_{a \geqslant 1} M(a)$ не достигается при конечном $a$ и ${{\varepsilon }_{0}} = \tilde {\varepsilon }$. Тогда ${{\varepsilon }_{1}} > \tilde {\varepsilon }$. В точке $a = A$

Отсюда также следует $\left| {{{\varepsilon }_{0}} - {{\varepsilon }_{1}}} \right| \leqslant \lambda \tilde {\varepsilon }$. Далее, в обоих случаях

при $\lambda \leqslant \frac{1}{{11}}$.

Если функция $M(a)$ достигает при $a \geqslant 1$ своей нижней грани в точке ${{a}_{0}} \in [1,A]$, то условие (8) выполняется при правильном выборе сетки на $[1,A]$. Пусть точка ${{a}_{0}}$ принадлежит некоторому отрезку $[\alpha ,\beta ] \subset [1,A]$, на котором задано равномерное разбиение с шагом $\Delta a$, причем

где $\mu $ – некоторое число. Введем функции

Можно показать, что при

справедливо

Достаточным условием для выполнения (10), (11) является

где $\tilde {M}$ – оценка сверху модулей производных $M_{1}^{'}(a),{\text{ }}M_{2}^{'}(a)$ на отрезке $[\alpha ,\beta ]$: Из определения производных функций вида (9), приведенного в [6], следует, что неравенства (13) справедливы для Таким образом, при шаге $\Delta a$, удовлетворяющем (12), имеем

3. ФОРМУЛЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТИ $\varepsilon (a,\omega )$

Далее будем использовать другие представления функции $\varepsilon (a,\omega )$. Обозначим

Справедлива формула

где $L \in \mathbb{N}$, ${{\sigma }_{k}}(P)$ – сумма единиц в двоичном представлении числа $k - 1$: а ${{s}_{k}}(m)$ – разряды в представлении (15) слева направо

Используя (14), погрешность $\varepsilon (a,\omega )$ (4) можно представить в форме выражения, содержащего сумму ${{2}^{{L + 1}}}$ сдвигов функции ${{\Psi }_{L}}$:

определяемой выражением Функция ${{\Psi }_{r}}(x)$, заданная для $r \in \{ - 1,0\} \cup \mathbb{N}$, является $2\pi $-периодической и при $x \in [0,2\pi ]$ может быть вычислена по формуле где ${{B}_{l}}(x)$ – многочлен Бернулли порядка $l$.

Вводя функцию

можно получить еще одно представление $\varepsilon (a,\omega )$:

Для фиксированной частоты $\omega $ будет использоваться формула

В (18)

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЕЧНОГО ОТРЕЗКА ПОИСКА РЕШЕНИЯ

Используя результаты, полученные в разд. 2, определим метод поиска конечного отрезка $[1,A]$, на котором ищется решение дискретной задачи. На множестве $\omega \in \Omega $ имеет место равномерная сходимость

поэтому можно найти число $A$, для которого при любом $a \geqslant A$.

Считая $\omega $ фиксированной частотой, запишем погрешность $\varepsilon (a,\omega )$ (18) виде

где Используя свойство функцию $\Theta (a)$ можно преобразовать к виду Введем функцию Тогда для каждого $a$ по теореме о среднем получим где ${{\theta }_{1}} \in (0,1).$

Поскольку

производная $\frac{{\partial {{\lambda }_{1}}(a,x)}}{{\partial x}}$ равна Отсюда Вводя функцию можно записать $\Theta (a)$ в виде Из (20) следует где ${{\theta }_{2}} \in (0,1).$

Поступая далее аналогичным образом, можно получить формулу

В (21) ${{\theta }_{k}},{\text{ }}k = \overline {1,L - 1} $, – числа из интервала $(0,1)$. Выражение для погрешности $\varepsilon (a,\omega )$ примет вид

Обозначим

Для модуля разности

легко вывести оценку

где $d(a)$ – монотонно убывающая функция параметра $a$, равная Число $A$, обеспечивающее выполнение условия (19), можно найти, решив уравнение

5. ОЦЕНКИ ДЛЯ ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПОГРЕШНОСТИ $\varepsilon (a,\omega )$ ПО ПАРАМЕТРУ $a$

В процессе работы алгоритма дискретизации возникают задачи вычисления оценок сверху модуля частной производной

на отрезках вида $[{{a}_{0}},{{a}_{1}}]$. Оценки ищутся для функций $\left| {\delta (a,\tilde {\omega })} \right|$, где $\tilde {\omega }$ – фиксированная частота, и $\left| {\delta (a,\omega )} \right|$, где $\omega $ – переменная, $\omega \in \Omega $.

Выражение для частной производной (в формуле ниже частота $\omega $ считается фиксированной) имеет вид

где

Оценку функции $\left| {\delta (a,\tilde {\omega })} \right|$ для заданной частоты $\tilde {\omega }$ можно найти, используя формулу

Коэффициенты ${{c}_{{l0}}}$ и ${{c}_{{l1}}}$ в (22) равны

Формула (22) применяется при небольших значениях параметра $a$. Ниже без доказательства приводится другое неравенство, используемое в предлагаемом алгоритме для оценки частной производной при ${{a}_{0}} > 2$:

В правой части (23) $y(a) = {{({{a}^{{L - 1}}} - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{a}^{{L - 1}}} - 1)} {({{a}^{L}} - 1)}}} \right. \kern-0em} {({{a}^{L}} - 1)}}$, а константы ${{C}_{0}}$ и ${{C}_{1}}$ равны соответственно

где

Для оценки модуля производной $\left| {\delta (a,\omega )} \right|$ на множестве $[{{a}_{0}},{{a}_{1}}] \times \Omega $ при ${{a}_{0}} \leqslant 2$ используется неравенство

где

Оценка $\left| {\delta (a,\omega )} \right|$ при ${{a}_{0}} > 2$ задается неравенством

6. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Предлагаемый метод дискретизации заключается в разбиении отрезка $[1,A]$ на $S$ подотрезков вида $[{{a}_{s}},{{a}_{{s + 1}}}]$, где ${{a}_{{s + 1}}} = {{a}_{s}} + \Delta a(s)$, $0 \leqslant s \leqslant S - 1$. На каждом $[{{a}_{s}},{{a}_{s}} + \Delta a(s)]$ ищется постоянная оценка снизу функции $M(a)$

Приведем описание алгоритма. Начальное значение параметра $a$ полагается равным ${{a}_{0}} = 1$.

Шаг 1. На множестве $\Omega $ задается некоторый набор частот ${{\omega }_{1}},...,{{\omega }_{Q}}$ и ищется частота ${{\omega }_{{00}}}$ из этого набора, в которой функция $\left| {\varepsilon ({{a}_{s}},\omega )} \right|$ достигает максимального значения

Шаг 2. Если для найденного ранее значения $m$ функции $M(a)$ выполняется неравенство

то с помощью формулы

где ${{M}_{{00}}}$ – полученная с помощью соотношений (22) или (23) оценка сверху модуля производной ищется шаг $\Delta a(s)$, обеспечивающий изменение функции $\varepsilon (a,{{\omega }_{{00}}})$ не более чем на ${{{{\varepsilon }_{{00}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{{00}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$. Если же $m \leqslant {{{{\varepsilon }_{{00}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{{00}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ то шаг $\Delta a(s)$ определяется из неравенства Оценка снизу $M(a)$ на $[{{a}_{s}},{{a}_{s}} + \Delta a(s)]$ есть Шаг 3. Если имеет место неравенство $m \leqslant {{\mu }_{s}}$, то строится следующий подотрезок $[{{a}_{{s + 1}}},{{a}_{{s + 1}}} + $ $ + \,\,\Delta a(s + 1)]$ и ищется оценка ${{\mu }_{{s + 1}}}$ на нем.

При $m > {{\mu }_{s}}$ выполняется дискретизация $[{{a}_{s}},{{a}_{{s + 1}}}]$ с шагом $\alpha $, определяемым из неравенства

где ${{M}_{{10}}}$ – такое число, что для всех $a \in [{{a}_{s}},{{a}_{{s + 1}}}]$ и $\omega \in \Omega $. Оценка ${{M}_{{10}}}$ вычисляется с помощью неравенств (24), (25). Если минимальное из множества значений $M({{a}_{s}} + \alpha k)$ меньше найденного ранее числа $m$, то полагается

7. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

С помощью описанного в разд. 6 алгоритма для заданных граничных частот ${{\omega }_{0}},{{\omega }_{1}}$ и различных чисел $N$, $L$ были найдены фильтры с оптимальной относительно величины отклонения АЧХ (3). Из каждого набора найденных для $L = 2,...,10$ оптимальных фильтров с фиксированными ${{\omega }_{0}},{{\omega }_{1}}$, $N$ был выбран наилучший. Полученные погрешности ${{\delta }_{0}}$ и оптимальные параметры $a$, $L$ представлены в табл. 1. Для сравнения там же приведены значения отклонений оптимальных фильтров Чебышева [7], имеющих ту же длину и такие же граничные частоты.

Был проведен также эксперимент, заключавшийся в сравнении новых фильтров с оконными фильтрами на основе весовых функций [7, 8] Блэкмана

и Кайзера где I₀(x) – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, $\beta = 4.54$. Эффективные носители $[ - {{S}_{{{\text{эф}}}}},{{S}_{{{\text{эф}}}}}]$ преобразований Фурье ${{W}_{1}}(\omega ),{{W}_{2}}(\omega )$ окон ${{w}_{1}}(x),$ ${{w}_{2}}(x)$ были найдены с помощью формулы

Для ${{W}_{1}}(\omega )$ и ${{W}_{2}}(\omega )$ получено соответственно ${{S}_{{{\text{эф}}}}} = 7.3$ и ${{S}_{{{\text{эф}}}}} = 9.3$. Переходная полоса оконных фильтров длиной $2N + 1$ на основе ${{w}_{1}}(x)$ и ${{w}_{2}}(x)$ занимает отрезок

где ${{\omega }_{c}}$ – частота среза. Для набора чисел $L = 2,...,10$ с помощью предложенного в работе алгоритма были построены оптимальные по параметрам $L$ и $a$ фильтры длиной $2N + 1$ при $N = 10k$, $k = 1,...,5$, с переходной полосой вида (26) при ${{S}_{{{\text{эф}}}}} = 7.3$ и ${{S}_{{{\text{эф}}}}} = 9.3$. Частота ${{\omega }_{c}}$ принята равной ${{5\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{5\pi } {12}}} \right. \kern-0em} {12}}$. Сравнение отклонений АЧХ ${{\delta }_{0}}$ полученных оптимальных фильтров с отклонениями ${{\delta }_{1}}$ оконных фильтров приведено на рис. 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложено новое параметрическое семейство КИХ-фильтров с АЧХ, аппроксимирующей свертку прямоугольного импульса с финитным сплайном конечного порядка. Отклонения АЧХ рассмотренных фильтров меняются с изменением параметра $a$, в связи с чем возникает задача поиска оптимального фильтра в семействе. Разработан и теоретически обоснован алгоритм оптимизации, заключающийся в замене непрерывной задачи дискретной. Проведен численный эксперимент, где выполнено сравнение разработанных фильтров с часто используемыми оконными и оптимальными фильтрами. По величине неравномерности в полосах пропускания и подавления новые фильтры оказались лучше оконных. Отличие между отклонениями АЧХ новых фильтров и фильтров Чебышева составило один-два порядка.