Известия РАН. Теория и системы управления, 2019, № 2, стр. 166-176

АВТОМАТИЧЕСКИЙ ЗАХВАТ ОБЪЕКТОВ МАНИПУЛЯТОРОМ, ОСНАЩЕННЫМ МНОГОПАЛОЙ КИСТЬЮ

К. В. Бажинова 1, А. Г. Лесков 1*, Е. В. Селиверстова 1

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Дмитровский филиал
Москва, Россия

* E-mail: agleskov@rambler.ru

Поступила в редакцию 19.10.2016
После доработки 19.11.2018
Принята к публикации 26.11.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача управления манипулятором при выполнении в автоматическом режиме операции захвата некооперируемого объекта. Манипулятор оснащен захватным устройством в виде многопалой кисти. Решение задачи включает этапы планирования и выполнения. При планировании происходит определение координат точек контакта на поверхности объекта, а также координат манипулятора и пальцев кисти в момент захвата. При выполнении операции происходит перемещение манипулятора и кисти из исходного положения в запланированное положение.

Введение. Термином захват определяют процесс, в результате которого происходит механическое соединение манипулятора и объекта. В настоящее время значительное внимание уделяется захвату, осуществляемому в автоматическом режиме [1, 2], т.е. без участия человека. Известны два основных способа автоматического захвата объектов:

а) с использованием специальных креплений, размещенных на поверхности захватываемого объекта, и стыковочных устройств – на фланце манипулятора,

б) без использования креплений на объекте и стыковочных устройств на манипуляторе.

Объекты, оснащенные специальными креплениями, называют “кооперируемыми”. Захват кооперируемых объектов состоит в присоединении стыковочных устройств на фланце манипулятора к креплениям на объекте. Такой способ давно и успешно реализуется на практике, например, при работе манипуляторов SSRMS, SPDM, JEMRMS Международной космической станции [3].

Однако большинство объектов не имеют специальных креплений – они являются “некооперируемыми”. Примерами могут служить детали при роботизированной промышленной сборке или сортировке предметов [4], объекты сервисных роботов [5], а также (для космических роботов) свободно перемещающиеся объекты (спутники, астероиды, космический мусор [6]). Для захвата таких объектов манипуляторы оснащают захватными устройствами (захватное устройство манипулятора – ЗУМ) в виде кистей с несколькими пальцами.

Захват некооперируемого объекта выполняется путем его обхвата пальцами ЗУМ. Операция захвата включает две части: планирование и выполнение. При планировании определяются координаты точек, за которые будет захвачен объект (точки захвата), координаты сочленений пальцев ЗУМ, а также силы, прикладываемые к объекту в точках захвата, и моменты относительно этих точек [2]. При выполнении операции манипулятор перемещает ЗУМ из исходного положения в положение, когда пальцы ЗУМ вступают в контакт с объектом в запланированных точках. После этого происходит сжатие объекта пальцами ЗУМ.

В статье полагается, что обе части операции захвата (планирование и выполнение) осуществляются в автоматическом режиме. Операция перемещения пальцев ЗУМ и манипулятора аналогична операции перемещения манипулятора в заданное положение. Алгоритм ее выполнения получил достаточное освещение в литературе, например, [7] и здесь не рассматривается.

1. Планирование захвата. Проблемы теории роботизированного захвата и практические аспекты его планирования вызывают глубокий интерес специалистов разных стран, о чем свидетельствуют многочисленные публикации по этой тематике [1, 2, 810]. Широкое распространение получили компьютерные системы планирования и моделирования процессов захвата объектов захватными устройствами различных типов. В качестве примера можно назвать GraspIt! – моделирующую систему, созданную в Лаборатории робототехники Колумбийского университета [11], а также пакет OpenRAVE (Open Robotics Automation Virtual Environment) [12], разработанный в Институте робототехники университета Карнеги–Меллона. Эти системы являются открытыми и активно используются в практических приложениях, в частности, в разработанном в МГТУ им. Н.Э. Баумана роботизированном комплексе [13].

В современных манипуляционных системах ЗУМ часто имеет вид многопалой кисти (hand) [8, 9]. Для кисти осуществляется планирование захвата. При этом манипулятор (arm) рассматривается только как средство перемещения кисти к объекту при выполнении операции. Далее для краткости будем обозначать такую систему как “кисть + объект” (КО).

В статье предлагается иной подход, при котором планирование захвата выполняется для манипуляционной системы в целом, включая и кисть, и манипулятор (в дальнейшем – система “рука + кисть + объект” (РКО). Система РКО имеет большее число степеней свободы по сравнению с КО. Это позволяет, во-первых, сформировать больше вариантов захватов и, во-вторых, найти решение в случаях, когда подходящий захват в системе КО найти не удается. Такой подход к планированию захвата предлагается впервые.

2. Основные соотношения теории захвата. В теории захвата объектов манипуляторами рассматривают [2] соотношения, связывающие между собой:

а) вектор $\psi $ внешних сил, приложенных к центру масс объекта и моментов, относительно центра масс, и блочный вектор λ, составленный из векторов λi, i = 1, 2,, m; λi включает в себя, в общем случае, векторы силы, приложенной к объекту со стороны кисти в точке контакта i-го пальца кисти и объекта (i-я точка захвата), и момента относительно этой точки; вектор момента также считается приложенным к объекту со стороны i-го пальца кисти, m – число точек захвата; m равно количеству пальцев кисти;

б) блочный вектор $v$, компонентами которого являются векторы линейной и угловой скоростей центра масс объекта, и вектор ${{v}_{c}}$, составленный из m векторов ${{v}_{{ci}}}$, содержащих в общем случае векторы линейной скорости i-й точки захвата и проекций вектора угловой скорости вращения объекта относительно центра масс на нормали к поверхности объекта в точках захвата; детально векторы λi и ${{v}_{{ci}}}$ рассматриваются ниже;

в) вектор μ сил (или моментов – в зависимости от того, осуществляет ли соответствующий привод поступательное или вращательное движение смежных звеньев), развиваемых приводами сочленений пальцев и вектор λ;

г) вектор $\dot {q}$ производных по времени координат сочленений кисти и блочный вектор ${{v}_{c}}$.

Размерность векторов $\psi $ и $v$ равна ${{n}_{v}}$. Величина ${{n}_{v}}$ зависит от того, рассматривается движение объекта в плоскости или в пространстве. В первом случае ${{n}_{v}}$ = 3, во втором ${{n}_{v}}$ = 6. Размерность векторов μ и $\dot {q}$ равна количеству сочленений кисти.

Эти соотношения имеют вид

(2.1)
$G\lambda = - \psi ,$
(2.2)
${{G}^{T}}v = {{v}_{c}},$
(2.3)
${{J}^{T}}\lambda = \mu ,$
(2.4)
$J\dot {q} = {{v}_{c}}.$

В выражениях (2.1)–(2.4) матрица G носит название матрицы захвата (Grasp Matrix), J – матрица Якоби кисти. Векторы – компоненты векторов $\psi $, $v$ полагаются заданными в инерциальной системе координат (СК), связанной с основанием манипулятора, компоненты векторов λ, ${{v}_{c}}$ – в системах координат СКi, начала которых расположены в точках захвата. Ось xi СКi направлена по нормали к касательной плоскости в точке захвата в сторону объекта. Две другие оси расположены в касательной плоскости и образуют правую систему координат. Под действием внешних сил и моментов, а также сил, приложенных к точкам захвата и векторов моментов относительно этих точек (действуют со стороны кисти), объект находится в равновесии. Ввиду малости перемещений, совершаемых пальцами кисти и объектом при захвате, соотношения для векторов скоростей $v$, ${{v}_{c}}$, $\dot {q}$ сохраняют силу и для векторов перемещений. В формулах (2.2) и (2.3) верхний индекс Т в записи матриц G и J означает транспонирование.

Соотношения (2.1)–(2.4) рассматриваются для трех видов контактов пальцев кисти и объекта [2, 14]:

а) точечный контакт объекта (абсолютно твердого тела) с кистью, пальцы которой – абсолютно твердые тела; при этом силы трения в точках контакта объекта и кисти не принимаются во внимание;

б) точечный контакт объекта (абсолютно твердого тела) с кистью, пальцы которой – абсолютно твердые тела, но при этом учитываются силы трения;

в) контакт объекта (абсолютно твердого тела) с кистью, пальцы которой могут деформироваться в направлении нормали в точке контакта (“мягкие пальцы”); при этом полагается, что поверхностное трение и пятно контакта в i-й точке достаточно большие.

В зависимости от вида контакта изменяются размерности входящих в соотношения (2.1)–(2.4) компонент векторов λ и ${{v}_{c}}$, т.е. λi и ${{v}_{{ci}}}$. При точечном без трения контакте i-го пальца на объект действует сила, направленная по нормали к поверхности объекта; при этом точка захвата совершает только поступательное перемещение в направлении нормали к его поверхности. Векторы λi и ${{v}_{{ci}}}$ содержат по одной компоненте, равной, соответственно, силе и перемещению в направлении нормали (в сторону объекта).

Если контакт i-го пальца с объектом происходит в одной точке, но при этом учитываются силы трения, то вектор контактной силы может отклоняться от нормали. В этом случае λi содержит три компоненты, представляющие собой проекции вектора силы на оси связанной с телом СК с началом в i-й точке; ${{v}_{{ci}}}$ также содержит три компоненты – проекции вектора линейной скорости i-й точки на оси СК контакта.

Если i-й палец ЗУМ “мягкий”, то ${{v}_{{ci}}}$ содержит четыре компоненты – проекции вектора линейной скорости i-й точки контакта соответствующего пальца ЗУМ на оси СК контакта и одну составляющую угловой скорости вращения вокруг нормали. Четыре компоненты содержит и λi.

Рассмотрим вид матриц G и J. Матрица захвата G имеет вид:

(2.5)
$G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{G}_{{11}}}}&{{{G}_{{12}}}}&{...}&{{{G}_{{1m}}}} \\ {{{G}_{{21}}}}&{{{G}_{{22}}}}&{...}&{{{G}_{{2m}}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{{G}_{{{{n}_{v}}1}}}}&{{{G}_{{{{n}_{v}}2}}}}&{...}&{{{G}_{{{{n}_{v}}m}}}} \end{array}} \right].$

Количество строк матрицы G равно ${{n}_{v}}$ – числу степеней свободы объекта. Количество столбцов зависит от количества m точек захвата и вида контакта в каждой из точек. Элемент ${{G}_{{ij}}}$ представляет собой вектор-строку, размерность которой lj равна размерности вектора λj. В случае точечного контакта без трения в точке j элемент ${{G}_{{ij}}}$ матрицы G имеет размерность 1 × 1. При наличии трения размерность Gij равна 1 × 3 (объект и пальцы кисти – абсолютно твердые тела). При захвате объекта “мягкими” пальцами размерность ${{G}_{{ij}}}$ равна 1 × 4. Отметим, что в общем случае виды контактов в отдельных точках могут различаться. Обозначим l = l1 + … + lm. Тогда размерность матрицы G составляет ${{n}_{v}}$ × l.

Матрица Якоби кисти имеет диагональный вид:

(2.6)
$J = {\text{diag(}}\begin{array}{*{20}{c}} {{{J}_{{\text{1}}}},}& \ldots &{{{J}_{i}}}& \ldots &{{{J}_{m}}} \end{array}{\text{)}},$
где Ji – матрица Якоби i-го пальца; Ji связывает вектор ${{\dot {q}}_{i}}$ производных координат сочленений i-го пальца с вектором ${{v}_{{ci}}}$ линейной скорости i-й точки захвата объекта и угловой скорости вращения объекта относительно i-й точки.

Количество строк матрицы J равно l, количество столбцов равно общему числу сочленений всех пальцев кисти.

3. Желаемые свойства захвата. Для определения свойств захвата необходимо найти решение системы линейных векторно-матричных уравнений (2.1)–(2.4). Решение этих уравнений предполагает обращение матриц в левой части. В общем случае эти матрицы могут иметь неполный ранг. Рассмотрим решение на примере уравнения (2.1).

Следуя [15], представим λ в виде

$\lambda = {{\lambda }_{r}} + {{\lambda }_{0}},$
где вектор λr принадлежит ранговому пространству R(GT) матрицы GT, а вектор x0 – нуль-пространству N(G) матрицы G. Последнее выражение можно записать так:
(3.1)
$\lambda = - {{G}^{ + }}\psi + N(G)\alpha ,$
где G+ – псевдообратная по отношению к G матрица, α – произвольный вектор-множитель. Аналогично получаем

(3.2)
$\nu = {{({{G}^{T}})}^{ + }}{{v}_{c}} + N({{G}^{T}})\beta ,$
(3.3)
$\lambda = {{({{J}^{T}})}^{ + }}\mu + N({{J}^{T}})\gamma ,$
(3.4)
$\dot {q} = {{J}^{ + }}{{v}_{c}} + N(J)\delta .$

В уравнениях (3.2)(3.4) N( . ) нуль-пространства соответствующих матриц, $\beta $, $\gamma $ и $\delta $ – произвольные вектор-множители, ${{(\, \cdot \,)}^{ + }}$ – псевдообратные по отношению к $(\, \cdot \,)$ матрицы.

С использованием свойств нуль-пространств матриц захвата и матриц Якоби свойства захвата формулируются следующим образом [2].

1. Захват является достаточным (для удерживания объекта), если N(G) нетривиально. Из (3.1) следует, что в этом случае в составе λi имеются “внутренние” силы и моменты, которые влияют только на интенсивность сжатия объекта пальцами кисти. Выполнение условия нетривиальности N(G) является одним из желаемых свойств захвата.

2. Захват называется неопределенным, если нетривиальным является N(GТ). Из (3.2) следует, что в этом случае имеют место перемещения объекта, не связанные с движением пальцев в точках захвата. Последнее свидетельствует об отсутствии контроля движения объекта за счет пальцев кисти и является неприемлемым.

3. Захват называют дефектным, если нетривиальным является N(JТ). Из (3.3) следует, что в этом случае не гарантируется наличие вектора сил (или моментов) µ, развиваемых приводами сочленений пальцев, который обеспечивает заданный вектор сил и моментов λ (соотношение (3.1)) в точках захвата. Другими словами, в составе N(JT) есть векторы λ, не зависящие от сил (или моментов) приводов сочленений μ.

4. Захват называется избыточным, если нетривиальным является N(J). В этом случае (следует из уравнения (3.4)) в векторе $\dot {q}$ имеются компоненты, не связанные с движением объекта.

Ключевыми в теории захвата являются соотношения, при выполнении которых обеспечивается возможность осуществления нужных перемещений объекта и силовых воздействий на объект, управление этими перемещениями и воздействиями со стороны кисти, а также управление силами сжатия объекта. Эти соотношения определяют желаемые свойства захвата. Соответствие захвата желаемым свойствам можно установить, анализируя уравнения (3.1)(3.4). Рассматривая уравнения (3.1)(3.4), видим следующее.

1. Манипулируя пальцами кисти, можно осуществить перемещения объекта (вектор скоростей $v$), исключив при этом самопроизвольные перемещения, если N(GT) является тривиальным. Сформулированные условия эквивалентны требованию dimN(GТ) = 0 или rank G = ${{n}_{v}}.$ Последнее условие накладывается на захват и для обеспечения силовых воздействий со стороны пальцев кисти на объект, компенсирующих действие вектора ψ (3.1).

2. Управление перемещениями объекта пальцами кисти (вектор скоростей перемещения пальцев $\dot {q}$) требует одновременного выполнения свойств dimN(GT) = 0 и rank GJ = ${{n}_{v}}$. Эти условия эквивалентны условию rank GJ = rank G = ${{n}_{v}}$, что следует из совместного рассмотрения соотношений (3.2) и (3.4). Эти свойства справедливы и для обеспечения управления силовыми воздействиями на объект.

3. Из уравнения (3.1) следует, что, если N(G) нетривиально, то существуют силы (внутренние), которые “сжимают” объект. При этом не все внутренние силы в N(G) могут быть управляемыми. В [1, 2] показано, что все внутренние силы в N(G) являются управляемыми, если и только если отсутствует пересечение нуль-пространств N(G) и N(JT), т.е. N(G) ∩ N(JT) = 0.

4. Матрицы Якоби систем КО и РКО. Выражение (2.6) для матрицы Якоби кисти запишем в виде:

${{J}_{{{\text{К О }}}}} = {\text{diag}}(\begin{array}{*{20}{c}} {{{J}_{{{\text{К О 1}}}}},}& \ldots &{{{J}_{{{\text{К О }}i}}}}& \ldots &{{{J}_{{{\text{К О }}m}}}} \end{array}).$

Индекс КО добавлен с целью удобства рассмотрения матриц Якоби систем КО и РКО.

Для системы РКО матрица Якоби запишется так:

(4.1)
${{J}_{{Р К О }}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{J}_{{К О 1}}}}&0&{...}&0&{{{J}_{{р 1}}}} \\ 0&{{{J}_{{К О 2}}}}&{...}&0&{{{J}_{{р 2}}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{{{J}_{{К О m}}}}&{{{J}_{{р m}}}} \end{array}} \right] = [\begin{array}{*{20}{c}} {{{J}_{{К О }}}}&{{{J}_{р }}} \end{array}].$
Здесь Jрi – матрица Якоби, которая связывает производную по времени вектора координат сочленений руки манипулятора с вектором (блочным) линейной и угловой скоростей точки, расположенной в основании $i$-го пальца. Jр – блочная матрица, составленная из матриц Jрi, i = 1, 2, , m.

Видно, что матрица JРКО системы РКО отличается от аналогичной матрицы JКО системы КО наличием дополнительного столбца. Размер матрицы JКО составляет l × nqc. Размер матрицы JРКО составляет l × (nqc + nqр). Здесь nqc – суммарное число сочленений всех пальцев кисти, nqр – число сочленений руки манипулятора. Полагается, что каждое сочленение допускает относительное перемещение смежных звеньев вдоль или вокруг только одной оси.

Компоненты Jрi имеют вид

${{J}_{{р i}}} = {{J}_{{р 1}}} + {{\Delta }_{{р i}}},$
где Jр1 – матрица Якоби руки манипулятора для системы координат, расположенной в основании пальца с номером 1, Δрi – матрицы поправок. Наличие Δрi обусловлено различным положением оснований пальцев на ладони кисти относительно основания первого пальца (рис. 1).

Рис. 1.

Расчетная схема кисти с m пальцами

Тогда справедливо соотношение

${{v}_{c}} = {{J}_{{{\text{Р К О }}}}}{{[\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\dot {q}}}^{{\text{T}}}}}&{\dot {q}_{{\text{p}}}^{{\text{T}}}} \end{array}]}^{{\text{T}}}},$
где ${{\dot {q}}_{р }}$ – вектор, составленный из производных координат сочленений руки манипулятора; размерность этого вектора совпадает с числом звеньев (сочленений) манипулятора.

5. Свойства ранговых и нуль-пространств матриц Якоби систем КО и РКО. Как видно из (2.5), матрица захвата G является одинаковой для систем КО и РКО. Сравнивая (2.6) и (4.1), видим, что матрицы Якоби JКО и JРКО различаются: матрица JРКО имеет дополнительный столбец из блочных матриц Jрi. Оценим влияние свойств матрицы Jр на возможность обеспечения желаемых свойств захвата, в том числе в случае, когда эти свойства невозможно обеспечить, рассматривая захват объекта в системе КО. Для размерностей ранговых и нуль-пространств матриц имеют место следующие соотношения:

$\dim R({{J}_{{К О }}}) + \dim N(J_{{К О }}^{T}) = {{n}_{{{{J}_{{К О }}}}}},$
$\dim R(J_{{К О }}^{T}) + \dim N({{J}_{{К О }}}) = {{k}_{{{{J}_{{К О }}}}}},$
$\dim R({{J}_{{Р К О }}}) + \dim N(J_{{Р К О }}^{T}) = {{n}_{{{{J}_{{Р К О }}}}}},$
$\dim R(J_{{Р К О }}^{T}) + \dim N({{J}_{{Р К О }}}) = {{k}_{{{{J}_{{Р К О }}}}}},$
где ${{n}_{{{{J}_{{К О }}}}}}$ – количество строк матрицы JKO, ${{k}_{{{{J}_{{К О }}}}}}$ – количество столбцов матрицы JKO, ${{n}_{{{{J}_{{Р К О }}}}}}$ – количество строк матрицы ${{J}_{{Р К О }}}$, ${{k}_{{{{J}_{{Р К О }}}}}}$ – количество столбцов матрицы ${{J}_{{Р К О }}}$.

Матрица JРКО (4.1) системы РКО имеет больше столбцов, чем матрица JКО, но одинаковое с ней количество строк, т.е. ${{n}_{{J{{ }_{{Р К О }}}}}} = {{n}_{{J{{\,}_{{К О }}}}}}$, ${{k}_{{{{J}_{{Р К О }}}}}} > {{k}_{{{{J}_{{К О }}}}}}$. Тогда последние соотношения можно переписать так:

(5.1)
$\dim R({{J}_{{К О }}}) + \dim N(J_{{К О }}^{T}) = \dim R({{J}_{{Р К О }}}) + \dim N(J_{{Р К О }}^{T}),$
(5.2)
$\dim R(J_{{К О }}^{T}) + \dim N({{J}_{{К О }}}) < \dim R(J_{{Р К О }}^{T}) + \dim N({{J}_{{Р К О }}}).$

Ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы, поэтому с учетом (5.1) неравенство (5.2) можно записать следующим образом:

(5.3)
$\dim N({{J}_{{К О }}}) - \dim N(J_{{К О }}^{T}) < \dim N({{J}_{{Р К О }}}) - \dim N(J_{{Р К О }}^{T}).$

Соотношение (5.3) можно переписать в виде

(5.4)
$\dim N(J_{{Р К О }}^{T}) < \dim N({{J}_{{Р К О }}}) - \dim N({{J}_{{К О }}}) + \dim N(J_{{К О }}^{T}).$

Из последнего выражения вытекает важный частный случай. Выше было показано, что для исключения дефектности захвата необходимо обеспечить строгое равенство $\dim N(J_{{Р К О }}^{T}) = 0$. Исходя из (5.4), выполнение этого равенства возможно только при условии

(5.5)
$\dim N({{J}_{{Р К О }}}) - \dim N({{J}_{{К О }}}) + \dim N(J_{{К О }}^{T}) = 1.$

Соотношение (5.5) может использоваться при анализе свойств манипуляционной системы РКО при заданной конфигурации манипулятора для известного (выбранного ранее) захвата объекта системой КО. Кроме того, соотношение (5.5) свидетельствует о принципиальной возможности выбора такой конфигурации манипулятора, при которой $\dim N(J_{{К О }}^{T}) \ne 0$, но ${\text{dim}}N(J_{{Р К О }}^{T})$ = 0, и, следовательно, в системе РКО исключается “дефектность” захвата, образующаяся при планировании захвата в системе КО.

6. Обеспечение желаемых свойств захвата системой РКО. Полагаем, что захват является достаточным (т.е. dimN(G) 0) и определенным (т.е. dimN(GТ) = 0). Эти условия одинаковы для систем КО и РКО.

Матрицы Якоби входят в состав соотношений, определяющих условия обеспечения некоторых желаемых свойств захвата, таких, как исключение дефектности, управляемость перемещений (сил воздействия на объект) и внутренних сил (сил сжатия). Эти соотношения для системы РКО имеют вид

$\begin{gathered} {\text{dim}}N(J_{{{\text{Р К О }}}}^{{\text{T}}}) = 0,\quad {\text{rank}}G{{J}_{{{\text{Р К О }}}}} = {\text{rank}}G{\text{ }} = {{n}_{v}},\quad\quad\quad \\ N(G) \cap N(J_{{{\text{Р К О }}}}^{{\text{T}}}) = 0. \\ \end{gathered} $

Принимая во внимание вид матрицы JРКО (выражение (4.1)), определим свойства, которыми должна обладать матрица Якоби Jр, чтобы исключить в системе РКО дефектность захвата и обеспечить управляемость перемещениями пальцев кисти, а также силовыми воздействиями кисти на объект.

1. Условие $\dim N(J_{{PК О }}^{T})$ = 0. Нуль-пространство матрицы $J_{{Р К О }}^{T}$ образуют векторы внутренних воздействий кисти на объект λв, которые не зависят от сил и моментов, действующих в сочленениях пальцев схвата и руки манипулятора. Обозначим эти воздействия блочным вектором λв, который удовлетворяет условию

(6.1)
$J_{{Р К О }}^{T}{{\lambda }_{в }} = {\mathbf{0}}\quad {\text{п р и }}\quad {{\lambda }_{в }} \ne {\mathbf{0}}.$

Условие (6.1) можно переписать как одновременное выполнение равенств:

$J_{{К О }}^{T}{{\lambda }_{в }} = {\mathbf{0}},\quad J_{Р }^{T}{{\lambda }_{в }} = {\mathbf{0}}\quad {\text{п р и }}\quad {{\lambda }_{в }} \ne {\mathbf{0}}.$

Видно, что если последние равенства не выполняются одновременно при одинаковом для них ненулевом значении вектора λв, т.е. $J_{{К О }}^{T}{{\lambda }_{в }} = {\mathbf{0}}$, но $J_{Р }^{T}{{\lambda }_{в }} \ne {\mathbf{0}}$ и наоборот, то $\dim N(J_{{К О }}^{T})$ = 0 и захват, дефектный в системе КО, не будет таковым в системе РКО. Другими словами, необходимо, чтобы

(6.2)
$N(J_{{К О }}^{T}) \cap N(J_{{\text{p}}}^{T}) = 0.$

2. Выполнение условия

${\text{rank}}G{{J}_{{{\text{Р К О }}}}} = {\text{rank}}G = {{n}_{v}}$
свидетельствует об управляемости и перемещениями пальцев кисти, и силовыми воздействиями кисти на объект в системе РКО.

Учитывая вид матриц $G$ и JРКО, представленных в выражениях (2.5) и (4.1), получим:

$J_{{Р К О }}^{Т }{{G}^{Т }} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{G}_{{11}}}{{J}_{{К О 1}}}}&{{{G}_{{12}}}{{J}_{{К О 2}}}}&{...}&{{{G}_{{1m}}}{{J}_{{К О m}}}}&{{{G}_{{11}}}{{J}_{{р 1}}} + {{G}_{{12}}}{{J}_{{р 2}}} + ... + {{G}_{{1m}}}{{J}_{{р m}}}} \\ {{{G}_{{21}}}{{J}_{{К О 1}}}}&{{{G}_{{22}}}{{J}_{{К О 2}}}}&{...}&{{{G}_{{2m}}}{{J}_{{К О m}}}}&{{{G}_{{21}}}{{J}_{{р 1}}} + {{G}_{{22}}}{{J}_{{р 2}}} + ... + {{G}_{{2m}}}{{J}_{{р m}}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{{G}_{{61}}}{{J}_{{К О 1}}}}&{{{G}_{{62}}}{{J}_{{К О 2}}}}&{...}&{{{G}_{{6m}}}{{J}_{{К О m}}}}&{{{G}_{{61}}}{{J}_{{р 1}}} + {{G}_{{62}}}{{J}_{{р 2}}} + ... + {{G}_{{6m}}}{{J}_{{р m}}}} \end{array}} \right]}^{T}}.$

Обозначим через $J_{р }^{Т }{{G}^{Т }}$ последнюю строку матрицы $J_{{Р К О }}^{T}G$. Нуль-пространство матрицы $J_{{Р К О }}^{Т }{{G}^{Т }}$ можно представить как набор некоторых ненулевых векторов $\varphi $, каждый из которых удовлетворяет условию

$J_{{Р К О }}^{Т }{{G}^{Т }}\phi = {\mathbf{0}}\quad {п р и \;}\quad \phi \ne {\mathbf{0}}.$

С учетом структуры матрицы JРКО (4.1) это условие можно переписать как одновременное выполнение равенств:

$J_{{К О }}^{Т }{{G}^{Т }}\phi = {\mathbf{0}},\quad J_{р }^{Т }{{G}^{Т }}\phi = {\mathbf{0}}\quad {\text{п р и }}\quad \phi \ne {\mathbf{0}}.$

Если последние равенства не выполняются одновременно при общем для обоих соотношений значении $\phi \ne {\mathbf{0}}$, т.е. $J_{{К О }}^{Т }{{G}^{Т }}\phi = {\mathbf{0}}$, но $J_{р }^{Т }{{G}^{Т }}\phi \ne {\mathbf{0}}$ и наоборот, тогда неуправляемый захват в системе КО может быть управляемым в системе РКО.

Таким образом, для управляемости захвата в системе РКО необходимо, чтобы не существовало общих для нуль-пространств матриц $J_{{К О }}^{T}{{G}^{Т }}$ и $J_{р }^{T}{{G}^{Т }}$ значений векторов $\phi \ne {\mathbf{0}}$:

(6.3)
$N(J_{{{\text{К О }}}}^{{\text{T}}}{{G}^{T}}) \cap N(J_{{\text{p}}}^{{\text{T}}}{{G}^{T}}) = 0.$

Следующая за планированием захвата операция состоит в планировании траекторий сочленений кисти и манипулятора и их перемещении по спланированным траекториям. Перемещение обеспечивается за счет работы систем управления движением манипулятора и кисти.

П р и м е р. В качестве примера рассмотрим захват плоского объекта двупалой кистью. Объект в форме четырехугольника захватывается пальцами со стороны левой и правой граней (рис. 2а). Левая грань скошена под углом 45°. Штриховой линией показан отрезок, соединяющий точки захвата, стрелками направление движения пальцев кисти. Для наглядности будем считать, что объект может совершать только поступательные перемещения в направлении осей Х и Y системы координат $OXY$, связанной с неподвижным основанием. В этом случае ${{n}_{v}}$ = 2. На рис. 2а ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ координаты сочленений пальцев кисти. На рис. 2б ${{\mu }_{1}}$ и ${{\mu }_{2}}$ – силы, развиваемые приводами пальцев кисти, ${{\lambda }_{1}}$ и ${{\lambda }_{2}}$ – векторы сил, приложенных к объекту со стороны пальцев в точках захвата, $P$ – вектор силы тяжести объекта.

Рис. 2.

Захватываемый плоский объект

Векторы сил, действующих на объект со стороны пальцев кисти, задаются в СК, связанных с объектом. Начала этих СК – в точках захвата. Обозначим их СК1 (слева) и СК2 (справа). Оси X этих СК направлены по нормалям к левой и правой граням объекта по направлению к объекту. Оси Y направлены вдоль граней – вверх (СК1) и вниз (СК2).

Контакт справа – точечный без трения. Контакт слева – точечный, но при наличии трения. В этом случае векторы λ2 и ${{v}_{с }}_{{\text{2}}}$ имеют по одной ненулевой компоненте, векторы λ1 и ${{v}_{с }}_{{\text{1}}}$ – по две ненулевых компоненты, т.е. проекции этих векторов на оси Х1 и Y1:

${{\lambda }_{{\text{1}}}} = {{[{{\lambda }_{{\text{1}}}}_{x}\,\,{{\lambda }_{{{\text{1}}y}}}]}^{{\text{T}}}},\quad {{v}_{с }}_{{\text{1}}} = {{[{{v}_{с }}_{{{\text{1}}x}}\,\,{{v}_{с }}_{{{\text{1}}y}}]}^{{\text{T}}}},\quad {{\lambda }_{{\text{2}}}} = {{[{{\lambda }_{{\text{2}}}}_{x}\,\,0]}^{{\text{T}}}},\quad {{v}_{с }}_{{\text{2}}} = {{[{{v}_{с }}_{{{\text{2}}x}}\,\,0]}^{{\text{T}}}}.$

Вектор $v$ линейных скоростей центра масс объекта задан в системе координат основания:

$v = {{[{{v}_{x}}\,\,{{v}_{y}}]}^{{\text{T}}}}.$

В рассматриваемом примере матрицы G T и J имеют вид

${{G}^{T}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 {\text{/}}2}&{\sqrt 2 {\text{/}}2} \\ { - \sqrt 2 {\text{/}}2}&{\sqrt 2 {\text{/}}2} \\ { - 1}&0 \end{array}} \right),\quad J = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 {\text{/}}2}&0 \\ { - \sqrt 2 {\text{/}}2}&0 \\ 0&1 \end{array}} \right).$

Размерности ранговых и нуль-пространств матриц G , G T , J, J T и GJ равны:

${\text{rank}}G = {\text{rank}}{{G}^{T}} = 2,\quad\quad {\text{dim}}N({{G}^{T}}) = 0,$
${\text{rank}}J = {\text{rank}}{{J}^{T}} = 2,\quad {\text{dim}}N(J) = 0,$
${\text{rank}}GJ = 1,\quad {\text{rank}}GJ \ne {\text{rank}}G.$

Нуль-пространства матриц G, J T и GJ состоят из векторов

Анализ показывает, что:

а) захват не является неопределенным (выполняется условие dimN(GT) = 0), что соответствует отсутствию перемещений объекта, не связанных с движением пальцев кисти;

б) захват является достаточным (условие dimN(G) 0); нуль-пространство матрицы G образует вектор

$N(G)\quad = {{[\begin{array}{*{20}{c}} {1{\text{/}}\sqrt 2 }&{ - 1{\text{/}}\sqrt 2 }&1 \end{array}]}^{{\text{T}}}}.$

Компонентами этого вектора являются силы λ1с = γ [1/$\sqrt 2 $  –1/$\sqrt 2 $]T, λ2с= γ[1  0]T, сжимающие объект, что видно из рис. 3; γ – множитель;

Рис. 3.

Силы, сжимающие объект

в) захват является дефектным, так как dimN(JT) 0, N(JT) = [1  1  0]T , что свидетельствует о существовании неуправляемой контактной силы (вектор λ = η [1  1 ]T) (на рис. 4 выделен точечной линией, компоненты вектора – тонкими линиями), η – множитель;

Рис. 4.

Вектор неуправляемой силы

г) захват не является избыточным, так как dimN(J) = 0;

д) перемещения объекта не являются управляемыми, так как rank GJ ≠ rankG.

Таким образом, захват объекта системой КО в силу критериев, приведенных выше, не является управляемым и в то же время является дефектным.

Будем теперь считать, что кисть размещена на манипуляторе. В качестве такового рассмотрим механизм с одной поступательной кинематической парой, перемещающей кисть с удерживаемым объектом в направлении оси Y базовой СК.

Матрица JРКО такой системы имеет вид

$J = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 {\text{/}}2}&0&{\sqrt 2 {\text{/}}2} \\ { - \sqrt 2 {\text{/}}2}&0&{\sqrt 2 {\text{/}}2} \\ 0&1&0 \end{array}} \right).$

Вычисление матрицы GJ дает следующий результат:

$GJ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right).$

Выполним анализ свойств системы РКО.

1. Можно видеть, что dimN(JРКО) = $\dim N(J_{{{\text{Р К О }}}}^{{\text{Т }}})$ = 0, следовательно, захват в системе РКО не является избыточным (как и в случае рассмотрения захвата в системе КО). В то же время захват в системе РКО не является дефектным (в отличие от захвата в системе КО). Благодаря этому имеется возможность управления всеми контактными силами.

2. Ранг матрицы GJ в системе РКО rank GJРКО= rankG = 2 = ${{n}_{v}}$. Это свидетельствует о том, что обеспечена возможность управления перемещениями объекта: по оси Х базовой СК – за счет движения пальцев кисти; по оси Y – за счет движения манипулятора. Возможность перемещения объекта по оси Y отсутствовала в системе КО.

3. Выполняется условие N(G) ∩ N(JT) = 0, так как dimN(J)Т= 0. Следовательно, система РКО обеспечивает управление внутренними силами. Такая возможность отсутствовала в системе КО.

Выполняются также условия, определенные в разд. 5 и 6, которые требуются для обеспечения желаемых свойств захвата. В самом деле, поскольку

${\text{dim}}N(J_{{{\text{К О }}}}^{{\text{T}}})--{\text{dim}}N({{J}_{{{\text{К О }}}}}) = 1,$
из выражения (5.5) следует, что необходимо выполнить условие dimN(JРКО) = 0. Это условие верно.

Условие (6.2), а именно N$(J_{{К О }}^{T})$ N$(J_{Р }^{T})$ = 0, также выполняется, поскольку

$N(J_{{К О }}^{T}) = {{[\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0 \end{array}]}^{{\text{T}}}},\quad N(J_{р }^{T}) = {{[\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0 \end{array}]}^{{\text{T}}}}.$

Условие (6.3) $N(J_{{К О }}^{Т }{{G}^{Т }})$ $N(J_{Р }^{Т }{{G}^{Т }})$ = 0 (что эквивалентно N(GJКО)T N(GJР)T= 0) также выполняется, так как

$N{{(G{{J}_{{{\text{К О }}}}})}^{{\text{T}}}} = {{[\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}]}^{{\text{T}}}},\quad N{{(G{{J}_{{\text{Р }}}})}^{{\text{T}}}} = N[\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}] = {{[\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}]}^{{\text{T}}}}.$

Пример подтверждает справедливость соотношений, полученных ранее в аналитической форме. Обеспечение желаемых свойств захвата достигается за счет возможности перемещения объекта, захваченного кистью, в вертикальном направлении. Это перемещение осуществляется за счет манипулятора.

Заключение. В теории манипуляционных систем значительное внимание уделяется вопросам захвата объекта захватным устройством манипулятора, выполненным в виде многопалой кисти. Для систем такого вида существуют расчетные соотношения [2], позволяющие оценить свойства и показатели качества захвата. В основе этих соотношений – матрицы захвата G, позволяющие определить возможность перемещения захваченного объекта относительно пальцев кисти, и матрицы Якоби J кисти. Эти матрицы определяют способность кисти удерживать объект при действии внешних сил.

Обычно планирование захвата осуществляется в системе КО. В статье предложен подход к планированию захвата при рассмотрении манипуляционной системы РКО. Приведены соотношения для расчета матриц захвата и матриц Якоби для систем РКО и выявлена связь этих матриц с аналогичными матрицами системы КО. Показано, что при планировании захвата в системе РКО можно обеспечить желаемые свойства даже в случае, когда эти свойства не обеспечиваются в системе КО. Формально это достигается надлежащим выбором компонент матрицы Якоби манипулятора, на практике – выбором соответствующей конфигурации его кинематической цепи.

Список литературы

  1. Bicchi A., Kumar V. Robotic Grasping and Contact: a Review // Proceedings of ICRA ’00. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. San Francisco, USA, 2000. P. 348–353.

  2. Prattichizzo D., Trinkle J. Grasping //Handbook on Robotics / Eds B.Siciliano, O.Kathib. Berlin: Springer, 2008. P. 671–700.

  3. Stockman B., Boyle J., Bacon J. International Space Station Systems Engineering Case Study. Available at: http://spacese.spacegrant.org/uploads/images/ISS/ISS%20SE%20Case%20 Study.pdf.

  4. Hägele M., Nilsson K., Pires J. Industrial Robotics // Springer Handbook of Robotics. Berlin: Springer, 2014. P. 963–986.

  5. Haidegger T., Barreto M., Gonçalves P., Habibe M. et al. Applied Ontologies and Standards for Service Robots // Robotics and Autonomous Systems. 2013. V. 61. № 11. P. 1215–1223.

  6. Yoshida K., Wilcox B., Hirzinger G. Future Direction of Orbital and Surface Robotic System // Handbook of Robotics / Eds B.Siciliano, O. Kathib. Berlin: Springer, 2016. P. 1423–1459.

  7. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989.

  8. Sahbani A., El-Khoury S., Bidaud P. An Overview of 3D Object Grasp Synthesis Algorithms // Robotics and Autonomous Systems. 2012. V. 60. Issue. 3. P. 326–336.

  9. Shimoga K. Robot Grasp Synthesis Algorithms: A Survey // Int. J. Robotic Research. 1996. V. 15. № 3. P. 230–266.

  10. Suárez R., Roa M. Grasp Quality Measures: Review and Performance // J. Autonomous Robots. 2015. V. 38. № 1. P. 65–88.

  11. Miller A., Allen P. Graspit! a Versatile Simulator for Robotic Grasping // Robotics & Automation Magazine IEEE. 2004. V. 11. № 4. P. 110–122.

  12. Diankov R., Kuffner J. OpenRAVE: A planning Architecture for Autonomous Robotics. Tech. Rep. CMU-RI-TR-08-34. Robotics Institute Carnegie Mellon University. Pittsburgh, PA, 2008.

  13. Лесков А.Г., Илларионов В.В., Калеватых И.А., Морошкин С.Д., Бажинова К.В., Феоктистова Е.В. Аппаратно-программный комплекс для решения задач автоматического захвата объекта манипуляторами // Инженерный журнал: наука и инновации. 2015. Вып. 1(37). С. 8–22.

  14. Salisbury J., Roth B. Kinematic and Force Analysis of Articulated Mechanical Hands // J. Mech. Transm. Automat. 1983. V. 105. P. 35–41.

  15. Андрушевский Н.М. Анализ устойчивости решений систем линейных алгебраических уравнений. М.: Изд-во МГУ, 2008.

Дополнительные материалы отсутствуют.