Известия РАН. Теория и системы управления, 2019, № 3, стр. 34-47

Введение. Прикладные задачи синтеза нелинейных детерминированных систем совместного оценивания и управления, как правило, решаются посредством линеаризации в окрестности опорной траектории и применения принципа разделения для линейных систем с квадратичным критерием качества, заключающегося в независимом нахождении оптимального линейного регулятора и асимптотического наблюдателя состояния полного или низкого порядка [1, 2]. Другим путем решения задачи является поиск такого ограниченного класса нелинейных систем управления, для которого принцип разделения остается справедливым, а также можно построить асимптотические наблюдатели и соответствующие стабилизирующие управления [3–5]. При этом коэффициенты усиления наблюдателей задаются либо постоянными функциями, либо функциями времени. Для общего случая нелинейных систем проблема нахождения наблюдателей состояния пока не решена. Предлагается структура нелинейного наблюдателя с матрицей коэффициентов усиления, зависящих не только от времени, но и от вырабатываемых оценок вектора состояния. Как правило, задачи синтеза оптимального управления и синтеза наблюдателя решаются независимо. Представляется логичным совместить процесс решения этих задач в рамках единой процедуры оптимизации и моделирования без применения линеаризации нелинейной системы. При этом законы управления объектом и процессом наблюдения ищутся в виде функций одних и тех же переменных: времени и оценок координат вектора состояния.

Рассматривается поведение нелинейной непрерывной детерминированной модели объекта управления, поведение которой описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. На управление наложены параллелепипедные ограничения. Начальные условия заданы компактным множеством положительной меры, т.е. имеется априорная информация, характеризующая множество возможных начальных состояний. По информации, поступающей с нелинейной модели измерительной системы, предлагается восстановить полный вектор состояния, используя нелинейный наблюдатель. Предполагается, что при управлении объектом используется информация, получаемая на выходе наблюдателя (оценка вектора состояния) с учетом доступной априорной информации и выхода измерительной системы. Минимизация погрешностей оценивания обеспечивается выбором управления наблюдателем, зависящим от времени и полученных оценок. Качество управления отдельной траекторией оценивается величиной функционала Больца, а пучка траекторий – его средним значением по множеству начальных состояний. Ставится задача нахождения управлений объектом и наблюдателем, минимизирующих значение функционала качества управления пучком.

Различные задачи поиска оптимального программного управления и управления с обратной связью пучками траекторий рассматривались в [6–8], в том числе с помощью различных метаэвристических алгоритмов глобальной оптимизации в [9, 10], где предложен подход для нахождения управления, зависящего от части координат вектора состояния, доступной измерению. В данной работе по неполной информации, поступающей с модели измерительной системы, предлагается восстановить значения всех координат вектора состояния (получить их оценки) и строить управление, зависящее от полученных оценок. Метаэвристические алгоритмы подтвердили свою эффективность при решении различных прикладных задач оптимизации, хотя и не гарантируют нахождения точки глобального условного экстремума, но позволяют надеяться на нахождение хорошего приближения к нему за приемлемое с практической точки зрения время [11–15].

В статье предлагается прямой метод решения поставленной задачи на основе параметрической оптимизации. Искомое управление с обратной связью по оцениваемым координатам вектора состояния ищется в классе функций с насыщением, учитывающим наличие ограничений на управление, с помощью систем базисных функций, применяемых в спектральном методе анализа и синтеза нелинейных систем управления [16]. Для решения сформулированной задачи управления пучком траекторий предлагается использовать метод “серых волков” [17, 18], имитирующий охоту волчьей стаи за жертвой. Он относится к методам роевого интеллекта [14, 15], в которых используется иерархия лидерства в стае и особый механизм охоты, заключающийся в отслеживании и приближении к жертве, ее последующем окружении и финальном нападении.

Предлагается алгоритм параметрической оптимизации нелинейных детерминированных систем управления, эффективность которого демонстрируется на решении двух модельных примеров управления нелинейными динамическими системами [19–21].

1. Постановка задачи. Поведение нелинейной непрерывной детерминированной модели объекта управления описывается уравнением

где t – непрерывное время, $t \in T = [{{t}_{0}};{{t}_{1}}]$, моменты ${{t}_{0}}$ начала процесса и ${{t}_{1}}$ окончания процесса управления считаются заданными; $x$ – вектор состояния системы, $x \in {{R}^{n}}$; $u$ – вектор управления, $u \in U(t) \subseteq {{R}^{q}}$; $U(t)$ – множество допустимых значений управления, для каждого момента времени t представляющее собой прямое произведение отрезков $[{{a}_{j}}(t),{{b}_{j}}(t)]$, $j\, = \,\overline {1,q} ;f(t,x,u)$ = = ${{({{f}_{1}}(t,x,u), \ldots ,{{f}_{n}}(t,x,u))}^{{\text{т }}}}$ – непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Начальные условия заданы компактным множеством Ω положительной меры с кусочно-гладкой границей:

где множество Ω характеризует неопределенность задания начальных условий.

Предполагается, что при управлении используется информация, поступающая с модели измерительной системы, описываемой соотношением

где $z \in {{R}^{m}}$– вектор измерений, $h\left( {t,x} \right)$ – непрерывная вектор-функция.

Предполагается, что по поступающей с модели измерительной системы информации можно получить оценку вектора состояния, используя нелинейный наблюдатель вида

где $\hat {x}(t)$ – оценка вектора состояния, $K(t,\hat {x}) \in {{R}^{{n \times m}}}$ – неизвестная непрерывная матричная функция размеров $n \times m$, играющая роль управления процессом наблюдения; ${{\hat {x}}_{0}}$ – оценка вектора начального состояния.

Управление моделью объекта, применяемое в каждый момент времени t, имеет вид управления с обратной связью по оценке вектора состояния: $u(t) = u(t,\hat {x}(t))$ (рис. 1). Множество допустимых управлений $U$ образуют такие функции $(u(t,\hat {x}),K(t,\hat {x}))$, что $\forall t \in T$ управление моделью объекта $u(t) = u\left( {t,\hat {x}(t)} \right) \in U(t)$ кусочно-непрерывно, управление $K(t) = K(t,\hat {x}(t)) \in {{R}^{{n \times m}}}$ наблюдателем непрерывно, а функция $f\left( {t,\hat {x},u(t,\hat {x})} \right)$ такова, что решение системы уравнений (1.1), (1.4) с начальными условиями (1.2), (1.5) с учетом (1.3) существует и единственно.

Определим функционал качества управления отдельной траекторией

где ${{f}^{0}}(t,x,u,K)$, $F(x)$ – заданные непрерывные функции.

Каждому допустимому управлению $(u(t,\hat {x}),K(t,\hat {x})) \in {\mathbf{U}})$ и множеству $\Omega $ поставим в соответствие пучок (ансамбль) [6] траекторий системы уравнений (1.1), (1.4):

т.е. объединение решений системы уравнений (1.1), (1.4) по всем возможным начальным состояниям (1.2) при наличии измерений.

Качество управления пучком траекторий предлагается оценивать величиной функционала

где ${\text{mes}}\;\Omega $ – мера множества $\Omega $.

Требуется найти такое управление $(u{\text{*}}(t,\hat {x}),K{\text{*}}(t,\hat {x})) \in {\mathbf{U}}$, что

Искомое управление называется оптимальным в среднем, поскольку минимизируется среднее значение функционала (1.6) на множестве начальных состояний $\Omega $.

Зависимость управления $K(t,\hat {x})$ наблюдателем от всех координат вектора оценок $\hat {x}$ дает возможность построить наблюдатель с $n$ обратными связями по оцениваемым переменным, что позволяет надеяться на улучшение качества оценивания. С целью упрощения структуры наблюдателя можно последовательно сокращать число оцениваемых координат, используемых в управлении, в предельном случае получая зависимость только от текущего времени t. При этом, наряду с упрощением процедуры синтеза наблюдателя, возможна потеря точности оценивания.

2. Стратегия поиска решения. Предлагаемый подход к решению заключается в переходе от задачи (1.8) к задаче конечномерной оптимизации, т.е. проблеме поиска наилучших значений неопределенных элементов, задающих структуру управления моделью объекта управления (1.1) и наблюдателем состояния (1.4). В этой структуре учитывается наличие ограничений на управление моделью объекта.

Далее будем использовать математический аппарат из [10] и следующие предположения.

1. Множество начальных состояний $\Omega $ представляет собой параллелепипед, определенный прямым произведением отрезков $\left[ {{{\alpha }_{i}};{{\beta }_{i}}} \right]$, $i = \overline {1,n} $, т.е. $\Omega = \left[ {{{\alpha }_{1}};{{\beta }_{1}}} \right] \times \cdots \times \left[ {{{\alpha }_{n}};{{\beta }_{n}}} \right]$. Все отрезки с помощью шага $\Delta {{x}_{i}}$ разбиваются на ${{N}_{i}}$ отрезков, а параллелепипед $\Omega $ делится на $N = {{N}_{1}} \cdots {{N}_{n}}$ элементарных непересекающихся подмножеств ${{\Omega }_{k}}$, $k = \overline {1,N} $. В каждом элементарном подмножестве ${{\Omega }_{k}}$ задается начальное состояние $x_{0}^{k}$ (центр параллелепипеда ${{\Omega }_{k}}$).

2. Известна оценка множества возможных состояний, которая представляется прямым произведением $Q = [\underline {{{x}_{1}}} ,\overline {{{x}_{1}}} ] \times \cdots \times [\underline {{{x}_{n}}} ,\overline {{{x}_{n}}} ]$, где $\underline {{{x}_{i}}} ,\overline {{{x}_{i}}} $, $i = \overline {1,n} $, – нижняя и верхняя границы по каждой координате соответственно, определяемые физическим смыслом решаемой задачи. Поэтому можно считать, что искомые оценки вектора состояния должны удовлетворять условиям ${{\hat {x}}_{1}} \in [\underline {{{x}_{1}}} ,\overline {{{x}_{1}}} ]$, ..., ${{\hat {x}}_{n}} \in [\underline {{{x}_{n}}} ,\overline {{{x}_{n}}} ]$.

3. Компоненты закона управления моделью объекта $u\left( {t,\hat {x}} \right) = {{\left( {{{u}_{1}}\left( {t,\hat {x}} \right),\; \ldots ,\;{{u}_{q}}\left( {t,\hat {x}} \right)} \right)}^{{\text{T}}}}$ находятся в виде

где функция насыщения sat гарантирует выполнение ограничений на управление вида ${{a}_{j}}(t) \leqslant {{u}_{j}}(t) = {{u}_{j}}(t,\hat {x}(t)) \leqslant {{b}_{j}}(t)$; функции ${{g}_{j}}(t,{{\hat {x}}_{1}},\; \ldots ,\;{{\hat {x}}_{n}})$, $j = \overline {1,q} $ предлагается искать в виде где $u_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{j}$ – неизвестные коэффициенты; ${{L}_{0}},{{L}_{1}},\; \ldots ,\;{{L}_{n}}$ – масштабы усечения по времени и координатам оценок вектора состояния, используемым в управлении; $q\left( {{{i}_{0}},t} \right)$, ${{i}_{0}} = \overline {0,{{L}_{0}} - 1} $, – система ортонормированных функций времени (базисных функций), определенных на отрезке $[{{t}_{0}},{{t}_{1}}]$ и удовлетворяющих условию ${{p}_{1}}({{i}_{1}},{{\hat {x}}_{1}})$, ${{i}_{1}} = \overline {0,{{L}_{1}} - 1} $, – система ортонормированных функций переменной ${{\hat {x}}_{1}}$ (базисных функций), определенных на отрезке $[\underline {{{x}_{1}}} ,\overline {{{x}_{1}}} ]$ и удовлетворяющих условию ${{p}_{n}}({{i}_{n}},{{\hat {x}}_{n}})$, ${{i}_{n}} = \overline {0,{{L}_{n}} - 1} $, – система ортонормированных функций переменной ${{\hat {x}}_{n}}$ (базисных функций), определенных на отрезке $[\underline {{{x}_{n}}} ,\overline {{{x}_{n}}} ]$ и удовлетворяющих условию компоненты закона управления процессом наблюдения $K\left( {t,\hat {x}} \right)$ находятся как где $k_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{{ij}}$ – неизвестные коэффициенты.

Известно [22],  что если система функций $\{ q({{i}_{0}},t)\} _{{{{i}_{0}} = 0}}^{\infty }$ является базисом пространства ${{L}_{2}}(T)$, а системы $\{ {{p}_{1}}({{i}_{1}},{{\hat {x}}_{1}})\} _{{{{i}_{1}}}}^{\infty },\;. \ldots ,\;\{ {{p}_{n}}\left( {{{i}_{n}},{{{\hat {x}}}_{n}}} \right)\} _{{{{i}_{n}}}}^{\infty }$ представляют собой базисы пространств ${{L}_{2}}([\underline {{{x}_{1}}} ,\overline {{{x}_{1}}} ])$, ..., ${{L}_{2}}([\underline {{{x}_{n}}} ,\overline {{{x}_{n}}} ])$, соответственно, то система функций, образованных произведениями, $\{ q({{i}_{0}},t){{p}_{1}}({{i}_{1}},{{\hat {x}}_{1}}) \cdots {{p}_{n}}({{i}_{n}},{{\hat {x}}_{n}})\} _{{{{i}_{0}},{{i}_{1}},...,{{i}_{n}} = 0}}^{\infty }$ также образует базис пространства ${{L}_{2}}(T \times Q)$. Тогда любую функцию $g(t,\hat {x}) \in {{L}_{2}}(T \times Q)$ можно представить в виде ряда по функциям этой системы:

Для нахождения приближенного решения берут конечное число членов ряда, т.е. задаются числа ${{L}_{0}},{{L}_{1}},\; \ldots ,\;{{L}_{n}}$ (масштабы усечения), определяющие количество неопределенных коэффициентов разложения и используемых элементов базисной системы. Таким образом, обосновывается структура управления наблюдателем (2.4). При поиске управления моделью объекта учитывается наличие параллелепипедных ограничений на величину управляющего воздействия, для автоматического выполнения которых в (2.1) применяется функция насыщения.

В качестве базисных функций $q\left( {{{i}_{0}},t} \right)$${{p}_{k}}\left( {{{i}_{k}},{{{\hat {x}}}_{k}}} \right)$, $k = \overline {1,n} $, можно взять, например:

а) полиномы Лежандра:

б) косинусоиды:

где $\tilde {x} = (x - \bar {x}){\text{/}}(\bar {x} - \underline x )$, и другие системы базисных функций [16].

Стратегия решения задачи заключается в поиске наилучших значений коэффициентов $u_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{j}$, $k_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{{ij}}$, образующих структуру управления (2.1), (2.4). Для формализации задачи определения коэффициентов предлагается использовать вектор

являющийся гиперстолбцовой матрицей: а для хранения коэффициентов $k_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{{ij}}$ – многомерную матрицу соответствующих размеров [16].

Для решения задачи поиска коэффициентов $u_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{j}$, $k_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{{ij}}$ и, как следствие, управления $u\left( {t,\hat {x}} \right)$, $K\left( {t,\hat {x}} \right)$ предлагается применить метод “серых волков” поиска глобального условного экстремума функций многих переменных (см. разд. 4). В качестве решения задачи выбираются наилучшие коэффициенты $u_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{{*j}}$, $k_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{{*ij}}$ и определяемые ими управления $u{\text{*}}\left( {t,\hat {x}} \right)$, $K{\text{*}}\left( {t,\hat {x}} \right)$, которым соответствует наименьшее значение критерия (1.7). Поскольку решение ищется в рамках фиксированной структуры, получаемое управление является субоптимальным.

3. Алгоритм решения задачи. Описанная стратегия поиска решения реализуется следующим пошаговым алгоритмом.

Шаг 1. Генерация множества $\Omega \subset {{R}^{n}}$.

1.1. Задать множество $\Omega $ как прямое произведение отрезков $\left[ {{{\alpha }_{1}};{{\beta }_{1}}} \right]$, $i = \overline {1,n} $; значения шага по каждой координате $\Delta {{x}_{1}},\; \ldots ,\;\Delta {{x}_{n}}$; векторы $\underline x = (\underline {{{x}_{1}}} , \ldots ,\underline {{{x}_{n}}} ),\bar {x} = (\overline {{{x}_{1}}} , \ldots ,\overline {{{x}_{n}}} )$ и масштабы усечения ${{L}_{0}},{{L}_{1}},\; \ldots ,\;{{L}_{n}}$.

1.2. Найти число промежутков ${{N}_{1}} = ({{\beta }_{1}} - {{\alpha }_{1}}){\text{/}}\Delta {{x}_{1}},\; \ldots ,\;{{N}_{n}} = ({{\beta }_{n}} - {{\alpha }_{n}}){\text{/}}\Delta {{x}_{n}}$ и число элементарных подмножеств ${{\Omega }_{k}}:N = {{N}_{1}} \cdots {{N}_{n}}$.

Шаг 2. Определить целевую функцию, т.е. задать правило $h:(u(t,\hat {x}),\;K(t,\hat {x})) \to \text{v}$, ставящее в соответствие каждому набору коэффициентов $u_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{j}$, $k_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{{ij}}$ некоторое число $\text{v}$ – значение целевой функции.

2.1. Найти решение ${{x}^{k}}(t)$, ${{\hat {x}}^{k}}(t)$ системы уравнений (1.1), (1.4) с управлениями вида (2.1), (2.4) и начальным условием $x({{t}_{0}}) = x_{0}^{k}$ и (1.5), т.е. четверку $({{x}^{k}}(t),{{\hat {x}}^{k}}(t),\;{{u}^{k}}(t,{{\hat {x}}^{k}}(t)),\;{{K}^{k}}(t,{{\hat {x}}^{k}}(t)))$, $k = \overline {1,N} $. Для этого применить один из методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.2. Подсчитать значение функционала (1.6): $I\left( {{{x}_{0}},u(t,\hat {x}(t)),K(t,\hat {x}(t))} \right)$, $k = \overline {1,N} $. Величину интегрального члена функционала можно подсчитать в п. 2.1, если к системе уравнений добавить уравнение ${{\dot {x}}_{{n + 1}}}(t) = {{f}^{0}}\left( {t,x(t),u(t,\hat {x}(t)),K(t,\hat {x}(t))} \right)$, ${{x}_{{n + 1}}}({{t}_{0}}) = 0$.

2.3. Найти приближенное значение критерия (1.7), полагая

Шаг 3. Применяя метод “серых волков” к функции $h:(u(t,\hat {x}),K(t,\hat {x})) \to \text{v}$, получить очередное приближение для коэффициентов $u_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{j}$, $k_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{{ij}}$и перейти к шагу 2.

Процесс последовательной минимизации и моделирования замкнутой системы завершается, когда дальнейшие итерации метода “серых волков” не приводят к улучшению решения либо по истечении заданного максимального числа итераций. В результате определяются наилучшие значения коэффициентов $u_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{j}$, $k_{{{{i}_{0}},{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{n}}}}^{{ij}}$ и, как следствие, искомое управление $u{\text{*}}(t,\hat {x})$, $K{\text{*}}(t,\hat {x})$.

4. Метод “серых волков”. Поскольку применение классических численных методов поиска локального и глобального экстремума многоэкстремальных функций со сложным рельефом поверхностей уровня может быть малоэффективным, для решения задачи оптимизации на шаге 3 предлагается использовать метаэвристические методы оптимизации, которые позволяют получить приближенное решение за приемлемое время [13–15]. Одним из таких методов является метод “серых волков”, который имитирует охоту стаи серых волков за жертвой [17, 18] и служит для решения следующей задачи, в которой дана целевая функция $f(x) = f\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\; \ldots ,\;{{x}_{n}}} \right)$, определенная на множестве допустимых решений $D \subseteq {{R}^{n}}$. Требуется найти глобальный минимум функции $f(x)$ на множестве $D$, т.е. такую точку $x* \in D$, что $f(x*) = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)$, где $x = {{\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\; \ldots ,\;{{x}_{n}}} \right)}^{{\text{T}}}}$, D = = $\{ x|{{x}_{i}} \in [{{a}_{i}},{{b}_{i}}],\;i = \overline {1,n} \} $.

Метод имитирует охоту стаи серых волков за жертвой. Он относится к методам роевого интеллекта, в которых используется иерархия лидерства в стае и особый механизм охоты, заключающийся в отслеживании и приближении к жертве, ее последующем окружении и финальном нападении.

В начале работы метода случайным образом, используя предположение о равномерном распределении, на множестве допустимых решений D генерируется некоторый набор начальных точек (“волков в стае”) $I = \{ {{x}^{j}} = {{(x_{1}^{j},x_{2}^{j}, \ldots ,x_{n}^{j})}^{{\text{T}}}},\;j = \overline {1,NP} \} \subset D$, где ${{x}^{j}}$ – вектор координат положения волка с номером j, NP – количество волков в стае. Поскольку в процессе охоты положение жертвы точно неизвестно вследствие ее постоянного движения (а в задаче оптимизации неизвестно положение точки экстремума), то члены стаи ориентируются на лидеров, полагая, что они обладают большей информацией о положении жертвы (точке экстремума). В стае волков, где каждый волк характеризуется своей позицией в области допустимых решений, выбираются три последовательно лучшие $\left( {\alpha ,\;\beta ,\;\gamma } \right)$ по величине целевой функции $f(x):{{x}^{\alpha }},{{x}^{\beta }},{{x}^{\gamma }}$. Все волки в стае меняют свое положение с учетом сравнения своей текущей позиции с этими тремя наилучшими:

где $ \circ $ – операция поэлементного произведения матриц по Адамару (бинарная операция над двумя матрицами $A = ({{a}_{{ij}}}),B({{b}_{{ij}}})$ одинаковой размерности, результатом которой является матрица $C = A \circ B$ той же размерности, в которой каждый элемент с индексами i, j – это произведение элементов с индексами i, j исходных матриц: $({{c}_{{ij}}}) = ({{a}_{{ij}}}) \cdot ({{b}_{{ij}}})$; операция $\left| y \right|$ заключается в нахождении матрицы-столбца, каждый элемент которой равен модулю соответствующей координаты матрицы-столбца y; k – номер итерации; ${{x}^{j}}(k + 1)$, ${{x}^{j}}(k)$ – следующее и текущее положения волков, $j = 1,\; \ldots ,\;NP$; ${{A}_{\alpha }}$, ${{A}_{\beta }}$, ${{A}_{\gamma }}$ – векторы, определяемые по правилу ${{A}_{m}} = 2a \circ {{r}_{1}} - a$, $m = \alpha ,\beta ,\gamma $; ${{r}_{1}}$ – n-мерный вектор, каждая компонента которого описывается равномерным распределением на отрезке [0; 1]; a – вектор с одинаковыми компонентами, уменьшающимися линейно по закону a_i = $2(1 - (k{\text{/}}K))$, $i = \overline {1,n} $; K – максимальное число итераций; ${{C}_{\alpha }}$, ${{C}_{\beta }}$, ${{C}_{\gamma }}$ – векторы, определяемые по правилу ${{C}_{m}} = 2{{r}_{2}}$, $m = \alpha ,\beta ,\gamma $, ${{r}_{2}}$ – n-мерный вектор, каждая компонента которого описывается равномерным распределением на отрезке [0, 1]. Имеется модификация, в которой a_i = $2(1 - ({{k}^{2}}{\text{/}}{{K}^{2}})$, $i = \overline {1,n} $.