Известия РАН. Теория и системы управления, 2020, № 3, стр. 39-49

Введение. С помощью замены переменных задача об оптимальном повороте осесимметричного твердого тела из состояния покоя в заданное состояние покоя сведена к решению аналогичной задачи со сферической симметрией тела, для которой построено квазиоптимальное аналитическое решение, близкое к оптимальному. В разд. 1 в кватернионных переменных ставится задача об оптимальном развороте тела с осевой симметрией. Функционал, определяющий качество процесса управления, представляет собой линейную комбинацию с весовыми множителями трех критериев: времени процесса управления, импульса квадрата кинетического момента тела и импульса модуля управляющего момента. В разд. 2 производится переход к безразмерным переменным. В разд. 3 с помощью замены переменных делается переход к задаче об оптимальном развороте тела со сферической симметрией. При этом возникает дополнительная фазовая переменная. В результате задача становится задачей оптимального управления с подвижным правым концом траектории. В разд. 4 с помощью принципа максимума Понтрягина решение задачи сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений по определению фазовых и сопряженных переменных. В разд. 5 для этой задачи строится аналитическое квазиоптимальное решение, так как при этом делается одно предположение о значении сопряженной переменной дополнительной фазовой координаты, которое позволяет упростить решение задачи. В разд. 6 приводятся примеры аналитического квазиоптимального решения задачи и проводится сравнение этого решения с численным решением задачи об оптимальном развороте тела с осевой симметрией. Сравнение показывает, что построенное аналитическое квазиоптимальное решение задачи с большой точностью аппроксимирует численное решение, построенное без каких-либо предположений. Отметим, что среди численных примеров приводятся развороты космического аппарата (КА) “Спейс Шаттл”, рассматриваемого как твердое тело [1]. Следует отметить, что ранее в динамической постановке были исследованы задачи оптимальных разворотов твердого тела (КА) различных динамических конфигураций с классическими критериями качества переходных процессов (быстродействие, минимум энергетических затрат и их свертка, суммарный импульс и т.д.) [1–9], не включающими в виде линейной комбинации квадрат модуля кинетического момента твердого тела. В [10] рассматривалась задача оптимального управления пространственной переориентацией КА из произвольного начального в заданное конечное угловое положение. Исследовался случай, когда минимизируемый функционал объединяет в заданной пропорции расход времени и интеграл от квадрата модуля кинетического момента на переориентацию КА. Задача решалась в кинематической постановке.

1. Постановка задачи. Движение твердого тела с одной осью симметрии вокруг неподвижной точки под действием управляющего момента M описывается системой уравнений [2]:

где ${\mathbf{L}} = {{L}_{0}} + {{{\mathbf{i}}}_{1}}{{L}_{1}} + {{{\mathbf{i}}}_{2}}{{L}_{2}} + {{{\mathbf{i}}}_{3}}{{L}_{3}}$ – нормированный кватернион, определяющий положение твердого тела, ${\mathbf{w}} = {{{\mathbf{i}}}_{1}}{{w}_{1}} + {{{\mathbf{i}}}_{2}}{{w}_{2}} + {{{\mathbf{i}}}_{3}}{{w}_{3}}$ – вектор угловой скорости тела, “$ \circ $” – знак кватернионного умножения, t – время, R – тензор инерции, ${{I}_{1}},{{I}_{2}} = {{I}_{3}}$ – главные моменты инерции тела для неподвижной точки тела,

На управляющий момент наложено ограничение

Начальное состояние тела при t = 0 определяется соотношениями Конечное состояние тела при t_k, которое не фиксировано, задается соотношениями

Комбинированный функционал, определяющий качество процесса управления, включает в себя с весовыми множителями ${{\alpha }_{i}} \geqslant 0$, $i = 1,2,3$, время процесса, импульс квадрата величины кинетического момента и импульс модуля управляющего момента:

Требуется найти оптимальное управление, удовлетворяющее ограничению (1.3), которое переводит управляемую систему (1.1) из начального состояния (1.4) в конечное (1.5) и сообщает минимальное значение функционалу (1.6).

Решение задачи оптимального управления зависит не от каждого весового множителя, а от отношения двух весовых множителей к третьему ненулевому, который может быть приравнен 1. В поставленной задаче безразмерный весовой множитель ${{\alpha }_{1}}$ будем полагать равным 1.

2. Переход к безразмерным переменным. Для перехода к безразмерным переменным вводится масштаб управляющего момента ${{M}_{*}}$, масштаб момента инерции I₁ и масштаб времени T = = ${{({{I}_{1}}{\text{/}}{{M}_{*}})}^{{1/2}}}$. Безразмерные переменные t*, w*, M*, $I_{2}^{*}$, J*, $\alpha _{2}^{*}$, $\alpha _{3}^{*}$ связаны с размерными переменными по формулам

Далее будут использоваться только безразмерные переменные, верхний индекс “*” у безразмерных величин будет опущен. Уравнения движения (1.1), граничные условия (1.4), (1.5) сохраняют свою форму в безразмерных переменных, а тензор инерции и ограничение на управляющий момент в безразмерных переменных принимают следующий вид:

Функционал (1.6) в безразмерных переменных запишется как

Второе уравнение системы (1.1) в безразмерных переменных в проекциях на оси подвижной системы координат представим так:

3. Замены переменных. Следуя подходу [3, 4] вводится вспомогательный кватернион ${\mathbf{B}}\left( {\theta (t)} \right)$ по формуле

где “exp(.)” – кватернионная экспонента, ${{\omega }_{1}}(t)$ – первая компонента вспомогательной угловой скорости $\omega $, подлежащей определению, ${{b}_{3}} = 1 - {{b}_{1}}$. Угловая скорость тела w выражается через угловую скорость $\omega $: где ${\mathbf{\tilde {B}}}$ – сопряженный к B кватернион. Если (3.2) подставить в (2.4), то в векторной (кватернионной) форме оно запишется как

Кватернион L выражается через другой вспомогательный кватернион Λ:

Если (3.2) и (3.4) подставить в первое уравнение (1.1) , то оно примет вид

Согласно (3.3), вместо управляющего параметра M вводится новый управляющий параметр u:

который, согласно (2.2), должен удовлетворять ограничению

Тогда уравнение (3.3) запишется в виде

Из граничных условий (1.4), (1.5) с учетом замен (3.2), (3.4) следуют граничные условия для Λ и $\omega $:

Система уравнений (3.5), (3.8) описывает вращательное движение твердого тела со сферической симметрией. Согласно (3.6), управляющий момент M выражается через вспомогательный управляющий момент u по формуле

Если (3.2) и (3.11) подставить в функционал (2.3), то он примет вид

Вспомогательная переменная $\theta $, согласно (3.1), удовлетворяет уравнению

с начальным условием

В результате перехода к безразмерным переменным и замены переменных задача оптимального управления, поставленная в первом разделе, сводится к задаче, в которой требуется найти оптимальное управление u(t), удовлетворяющее ограничению (3.7), которое переводит управляемую систему (3.5), (3.8), (3.13) из начального состояния (3.9), (3.14) на многообразие (3.10) и сообщает минимальное значение функционалу (3.12).

После решения этой вспомогательной задачи оптимального управления по формулам (3.2), (3.4) и (3.11) можно записать решение для задачи, поставленной в безразмерных переменных в разд. 2.

4. Краевая задача оптимального управления. Функция Гамильтона–Понтрягина [11] для системы (3.5), (3.8), (3.13) имеет вид

где $\psi = {{\psi }_{0}} + {{{\mathbf{i}}}_{1}}{{\psi }_{1}} + {{{\mathbf{i}}}_{2}}{{\psi }_{2}} + {{{\mathbf{i}}}_{3}}{{\psi }_{3}}$, $\nu = {{{\mathbf{i}}}_{1}}{{\nu }_{1}} + {{{\mathbf{i}}}_{2}}{{\nu }_{2}} + {{{\mathbf{i}}}_{3}}{{\nu }_{3}}$, $\eta $ – кватернионная, векторная и скалярная сопряженные переменные, удовлетворяющие системе уравнений: где “${\text{vect}}$” обозначает векторную часть кватерниона.

Если ввести новую сопряженную векторную переменную p по формуле p = ${\text{vect}}(\tilde {\Lambda } \circ \psi )$ [2], то функция H и система уравнений (4.2) запишутся как

Так как правый конец траектории в фазовом пространстве $\Lambda \times \omega \times \theta $ находится на многообразии (3.10), т.е. является подвижным, то на правом конце траектории должно выполняться соответствующее условие трансверсальности, которое, как показано в [3, 4], можно получить методом неопределенных множителей Лагранжа. После исключения множителей Лагранжа условие трансверсальности на правом конце траектории принимает вид

Из условия максимума для функции H следует, что оптимальное управление определяется по формулам

В конце процесса должно выполняться условие

Таким образом, решение задачи оптимального управления сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (3.5), (3.7), (3.13), (4.4) с граничными условиями (3.9), (3.14) в начальный момент времени и условиями (3.10), (4.5), (4.7) в конце процесса, при этом управление определяется, согласно (4.6).

Полученная краевая задача оптимального управления похожа на краевую задачу работы [6], в которой рассматривалась задача об оптимальном развороте тела со сферической симметрией с тем же функционалом (3.12). Отличие новой задачи состоит в том, что добавилась дополнительная фазовая координата θ, правый конец траектории стал подвижным и изменилось ограничение на управляющий параметр (3.7). В [6] тело со сферической симметрией вращалось вокруг неподвижной оси, что позволило построить аналитическое решение краевой задачи оптимального управления. Наличие во втором уравнении системы (4.4) последнего слагаемого в правой части уравнения усложняет решение задачи. Для упрощения решения вспомогательной краевой задачи для тела со сферической симметрией, поставленной в разд. 3, положим, что сопряженная переменная $\eta $ (которая, согласно последнему уравнению (4.4), является константой) равняется нулю ($\eta (t) \equiv 0$). Это позволит с учетом нулевых граничных условий для угловой скорости полагать, что вспомогательное тело со сферической симметрией вращается вокруг неподвижной оси. В результате будут выполнены все уравнения и граничные условия краевой задачи оптимального управления, поставленные в разд. 4, кроме граничного условия трансверсальности (4.5) в конце движения. Можно надеяться, что решение квазиоптимальной задачи будет близко к решению задачи оптимального управления без предположения относительно $\eta $. Построенное в следующем разделе аналитическое решение для тела с осевой симметрией с учетом предположения для переменной $\eta $ сравним с численным решением задачи для тела с осевой симметрией, поставленной в разд. 2, для оценки аналитического решения.

5. Приближенное решение краевой задачи оптимального управления. Как сказано выше, вспомогательное тело со сферической симметрией с учетом предположения для переменной $\eta $ будет вращаться вокруг неподвижной оси, направление которой, согласно граничным условиям (3.9), (3.10), определяется единичным вектором е:

а угол поворота этого тела – следующим значением ${{\varphi }_{k}}$: где ${\text{scal}}\,{\mathbf{N}}$ задает скалярную часть кватерниона N.

Вектор угловой скорости $\omega $, управляющий параметр u, сопряженные переменные p, $\nu $ будут параллельны вектору е, при этом, согласно первому уравнению системы (4.4), вектор p во все время движения будет оставаться постоянным. Надо заметить, что вектор ${\mathbf{e}} = {{{\mathbf{i}}}_{1}}{{e}_{1}} + {{{\mathbf{i}}}_{2}}e{}_{2} + {{{\mathbf{i}}}_{3}}{{e}_{3}}$ и угол поворота ${{\varphi }_{k}}$ зависят, согласно (3.10), (5.1), (5.2), от $\theta ({{t}_{k}})$, которое определится при решении задачи.

Оптимальное управление состоит из трех этапов, из которых первый и третий будут активными, на которых управляющий параметр принимал максимальное значение по величине, а второй – пассивный с нулевым значением параметра u, происходило движение по инерции.

На первом этапе ($0 \leqslant t < {{t}_{{p1}}}$, где ${{t}_{{p1}}}$ – неизвестный пока момент времени) фазовые и сопряженные переменные и управляющий параметр определяются по формулам

На втором этапе (${{t}_{{p1}}} \leqslant t < {{t}_{{p2}}}$, где t_p2 неизвестный пока момент времени)

На третьем этапе (${{t}_{{p2}}} \leqslant t \leqslant {{t}_{k}}$):

Значение $\theta ({{t}_{k}})$, входящее в выражение для Λ_k, запишем по формуле

Постоянные величины $\beta $, c, ${{t}_{{p1}}}$, ${{t}_{{p2}}}$, t_k, которые входят в выражения (5.3)–(5.6), определяются из выполнения граничных условий краевой задачи:

где ${{t}_{{p1}}}$ должно удовлетворять уравнению и находится по формуле

Надо отметить, что ${{\varphi }_{k}}$, входящая в формулы (5.7), (5.9), согласно (5.1), зависит $\theta ({{t}_{k}})$, которое вместе с другими константами определяется по следующему алгоритму. Задается $\theta ({{t}_{k}})$, по формуле (3.1) находится ${{\Lambda }_{k}}$, из (5.1) и (5.2) вычисляется единичный вектор е и ${{\varphi }_{k}}$, из (5.9) – ${{t}_{{p1}}}$, а по формулам (5.7) рассчитываются ${{t}_{{p2}}}$ и t_k. Затем по формуле (5.6) через полученные величины вычисляется $\theta ({{t}_{k}})$ и сравнивается с заданным значением $\theta ({{t}_{k}})$. Разность между заданным и вычисленным значением $\theta ({{t}_{k}})$ определяет невязку. Методом Ньютона уточняется значение $\theta ({{t}_{k}})$. В проведенных расчетах процесс сходился за три–четыре итерации.

Из последней формулы системы (5.7) следует, что длительности первого и третьего этапов совпадают.

Соотношения (5.3)–(5.5) с учетом формул преобразования переменных (3.2), (3.4), (3.11) определяют решение задачи о квазиоптимальном управлении разворота тела с осевой симметрией в безразмерных переменных из начального состояния покоя (1.4) в заданное состояние покоя (1.5). Значение функционала для оптимального процесса через вычисленные константы находится по формуле

В частном случае, когда α₂ = 0, уравнение (5.8) для определения ${{t}_{{p1}}}$ упрощается, так как β₂ = 0, и принимает вид $({{b}_{1}} + 2{{\beta }_{3}})t_{{p1}}^{2} = {{\varphi }_{k}}b_{1}^{2}$. Тогда длительность первого этапа вычисляется по формуле

Приведенные выше формулы (5.7) сохраняют свою силу при α₂ = 0.

Задача об оптимальном развороте тела с осевой симметрией с тем же функционалом качества (2.3) решалась и в другой постановке. Начальное состояние тела определялось соотношениями (1.4), а конечное состояние – только положением тела

угловая скорость в конце движения оставалась произвольной. Рассматривалась задача об оптимальном развороте тела с подвижным правым концом траектории. В этом случае управление состояло из двух этапов: активный, на котором управляющий момент принимал максимально допустимое значение по величине, и пассивный с нулевым значением момента. Решение вспомогательной задачи на первом этапе определяется соотношениями (5.3), а на втором этапе – (5.4), но в них надо заменить ${{t}_{{p1}}}$ на t_p, а ${{t}_{{p2}}}$ на t_k.

Значение $\theta ({{t}_{k}})$ вычисляется по формуле

Константы $\beta $, c, t_k определяются по формулам

а t_p должно удовлетворять уравнению и рассчитывается по формуле

Соотношения (5.3), (5.4) с учетом выражений преобразования переменных (3.2), (3.4), (3.11) определяют решение задачи о квазиоптимальном управлении разворота тела с осевой симметрией в безразмерных переменных с подвижным правым концом траектории из начального состояния покоя (1.4) в заданное положение (5.12). Значение функционала для оптимального процесса через вычисленные константы находится по формуле

В частном случае, когда α₂ = 0, уравнение (5.15) для определения t_p упрощается, так как β₂ = 0, и принимает вид $({{b}_{1}} + 2{{\beta }_{3}})t_{{p1}}^{2} = 2{{\varphi }_{k}}b_{1}^{2}$. Тогда длительность первого этапа следует из выражения

Приведенные выше формулы (5.14) сохраняют свою силу и при α₂ = 0.

6. Результаты расчетов. По методу построения квазиоптимального решения задачи об оптимальном развороте тела с осевой симметрией, изложенному в статье, проводились расчеты для четырех тел с осевой симметрией с различными отношениями главных моментов инерции.

Тело 1: I₁ = 1.0, ${{I}_{2}} = {{I}_{3}} = 0.5$, ${{b}_{1}} = 0.5$. Тело 2: ${{I}_{1}} = 1.0$, ${{I}_{2}} = {{I}_{3}} = 1.0$, ${{b}_{1}} = 1.0$. Тело 3: I₁ = 1.0, ${{I}_{2}} = {{I}_{3}} = 1.5$, ${{b}_{1}} = 1.5$. Тело 4 (КА “Спейс Шаттл”) [1, 12]: ${{I}_{1}} = 3400648$ кг ⋅ м², ${{I}_{2}}$= 21041672 кг ⋅ м², ${{I}_{3}} \approx \,{{I}_{2}}$ (размерные моменты инерции) или $\,{{b}_{1}} = 6.18755$; динамические характеристики КА “Спейс Шаттл” такие же, как у почти осесимметричного твердого тела.

Тело 2, которое является телом со сферической симметрией, включено по той причине, что изложенный метод дает для него точное решение. Для тел 2 и 4 наряду с расчетами по приведенному методу проводились расчеты по численному решению задачи об оптимальном развороте тела, поставленной в разд. 2, без преобразований, описанных в разд. 3.

Расчеты проводились для двух наборов весовых множителей в функционале качества процесса управления (2.3):

Начальное состояние для всех расчетов одно и то же:

Для задачи с закрепленным правым концом траектории проводились расчеты для двух наборов конечных состояний тела:

В случае конечного условия (6.4) тело совершает поворот на угол 40.0°, а в случае условия (6.5) – на угол 80.0°.

В табл. 1 (первые четыре строки) приводятся результаты расчетов (моменты окончания трех этапов и значение функционала) для четырех перечисленных тел по изложенному в статье методу, т.е. по формулам (5.3)–(5.5), (3.2), (3.4), (3.11), для набора весовых множителей (6.1) для перевода тела из начального состояния (6.3) в конечное состояние (6.4). Оптимальное управление состоит из трех этапов: первый и третий активные, тело разворачивается под действием управляющего момента; второй этап пассивный, тело продолжает движение по инерции.

В табл. 1, как и в остальных таблицах, для оценки точности квазиоптимального решения задачи о развороте тела 4 в нижней строке приведены результаты численного решения задачи оптимального разворота КА “Спейс Шаттл”, построенного на основе принципа максимума с помощью универсальной программы [7]. Из сравнения результатов, представленных в четвертой и пятой строках табл. 1, видно, что аналитическое решение для квазиоптимального управления (четвертая строка) с большой точностью аппроксимирует численное решение задачи оптимального управления. Погрешность по величине функционала составляет 0.003%. Сравнение аналитического решения для тела 2 (тело со сферической симметрией) с численным решением задачи оптимального управления показало их полное совпадение всех знаков, приведенных в табл. 1. Из табл. 1 видно, что с увеличением величины ${{b}_{1}}$ для тела увеличивается длительность второго этапа (движения по инерции).

На рис. 1 приводятся графики изменения во времени компонент кватерниона положения, вектора угловой скорости и управляющего момента для оптимального разворота КА “Спейс Шаттл”, описанного в табл. 1. На втором (пассивном) этапе первая компонента угловой скорости ${{w}_{1}}$, согласно первому уравнению системы (2.4), сохраняет постоянное значение, две другие компоненты остаются переменными и на пассивном этапе.

В табл. 2 приводятся результаты расчетов для четырех тел для набора весовых множителей (6.1) и для перевода тела из начального состояния (6.3) в конечное состояние (6.5). Из сравнения данных табл. 1 и 2 видно, что с увеличением угла поворота между начальным и конечным положением тела незначительно увеличиваются длительности активных этапов (первого и третьего), но существенно увеличивается длительность пассивного (второго) этапа.

В табл. 3, 4 приводятся результаты расчетов для тех же тел для набора весовых множителей (6.2) при их переводе из начального состояния (6.3) в конечные состояния (6.4) или (6.5) соответственно. Второй набор весовых множителей характерен отсутствием квадрата величины кинетического момента в подынтегральной функции в функционале (2.3). Из сравнения данных табл. 1 и 3 и 2 и 4 между собой видно, отсутствие кинетического момента в (2.3) привело к увеличению длительности активных этапов и уменьшению длительности пассивного этапа, а также к уменьшению длительности всего процесса. При этом указанный эффект усиливается с увеличением отношения моментов инерции ${{b}_{1}}$.

Для задачи с подвижным правым концом траектории, в которой оптимальное управление состоит из двух этапов (первый этап активный, второй пассивный), проводились расчеты для двух конечных положений тела:

Соотношение (6.6) указывает, что тело из состояния (6.3) разворачивается на угол 40°, а соотношение (6.7) – на 80°.

В табл. 5, 6 приводятся результаты расчетов (моменты окончания двух этапов и значение функционала) для четырех перечисленных выше тел по изложенному в статье методу для набора весовых множителей (6.1) для перевода тела из начального состояния (6.3) в конечное положение (6.6) и (6.7) соответственно. Из сравнения данных табл. 5 и 6 видно, что с увеличением угла поворота между начальным и конечным положениями тел незначительно увеличивается длительность активного (первого) этапа. Увеличение длительности активного этапа ослабляется по мере увеличения отношения моментов инерции ${{b}_{1}}$. В то же время с увеличением угла поворота между начальным и конечным положениями тел значительно увеличивается длительность пассивного (второго) этапа. При этом длительность пассивного этапа усиливается с увеличением ${{b}_{1}}$.

В табл. 7, 8 приводятся результаты расчетов для четырех тел по изложенному в статье методу для набора весовых множителей (6.2) для перевода тела из начального состояния (6.3) в конечное положение (6.6) и (6.7) соответственно. Из сравнения данных табл. 5, 7 и 6, 8 между собой видно, отсутствие кинетического момента в функционале (2.3), так как весовой множитель α₂ = 0 для данных табл. 7, 8, привело к увеличению длительности активного этапа и уменьшению длительности пассивного этапа, а также к уменьшению длительности всего процесса. При этом указанный эффект усиливается с увеличением отношения моментов инерции b₁. Из сравнения данных в четвертых и пятых строках всех таблиц, в которых приводятся результаты расчетов по аналитическому решению (четвертая строка) и численному решению (пятая строка), видно квазиоптимальное решение близко численному оптимальному решению задачи. Погрешность по величине функционала не превышает 0.01%.

Заключение. Представленное в статье аналитическое квазиоптимальное решение задачи управления вращательным движением осесимметричного твердого тела с комбинированным критерием качества процесса управления может найти свое применение при построении систем управления КА, как и известные аналитические решения задачи оптимального разворота сферически-симметричного и осесимметричного твердого тела, полученные для классических функционалов оптимизации [2, 8].