Известия РАН. Теория и системы управления, 2023, № 3, стр. 133-140

0. Введение. Рассматривается задача стабилизации бокового движения воздушного судна при отсутствии измерений углов скольжения и крена. Данное движение описывается линеаризованной моделью в форме “вход–состояние–выход” следующего вида [1–3]:

Здесь x – вектор состояния ($\beta $ – угол скольжения, ${{\omega }_{x}}$ – угловая скорость крена, ${{\omega }_{y}}$ – угловая скорость рыскания, $\gamma $ – угол крена); A – матрица состояния (${{\alpha }_{0}}$ – угол атаки, ${{\vartheta }_{0}}$ – угол тангажа, $a_{z}^{\beta }$, $a_{z}^{\gamma }$, $a_{{{{m}_{x}}}}^{\beta }$, $a_{{{{m}_{x}}}}^{{{{\omega }_{x}}}}$, $a_{{{{m}_{x}}}}^{{{{\omega }_{y}}}}$, $a_{{{{m}_{y}}}}^{\beta }$, $a_{{{{m}_{y}}}}^{{{{\omega }_{x}}}}$, $a_{{{{m}_{y}}}}^{{{{\omega }_{y}}}}$, $a_{z}^{{{{\delta }_{{\text{н}}}}}}$ – коэффициенты линеаризации по состоянию); B – матрица управления ($a_{{{{m}_{x}}}}^{{{{\delta }_{{\text{н}}}}}}$, $a_{{{{m}_{x}}}}^{{{{\delta }_{э}}}}$, $a_{{{{m}_{y}}}}^{{{{\delta }_{{\text{н}}}}}}$, $a_{{{{m}_{y}}}}^{{{{\delta }_{э}}}}$ – коэффициенты линеаризации по управлению); ${\mathbf{u}}$ – вектор управления (${{\delta }_{{\text{н}}}}$ – угол отклонения рулей направления, ${{\delta }_{{\text{э}}}}$ – угол отклонения элеронов); ${\mathbf{y}}$ – вектор наблюдения; C – матрица наблюдения [2]. Матрицы A и B можно считать постоянными в рамках конкретного режима полета.

Введем обозначения: ${{a}_{{1,1}}} = a_{z}^{\beta }$, ${{a}_{{1,2}}} = \sin {{\alpha }_{0}}$, ${{a}_{{1,3}}} = \cos {{\alpha }_{0}}$, ${{a}_{{1,4}}} = a_{z}^{\gamma }$, ${{a}_{{2,1}}} = a_{{{{m}_{x}}}}^{\beta }$, ${{a}_{{2,2}}} = a_{{{{m}_{x}}}}^{{{{\omega }_{x}}}}$, ${{a}_{{2,3}}} = a_{{{{m}_{x}}}}^{{{{\omega }_{y}}}}$, ${{a}_{{3,1}}} = a_{{{{m}_{y}}}}^{\beta }$, ${{a}_{{3,2}}} = a_{{{{m}_{y}}}}^{{{{\omega }_{x}}}}$, ${{a}_{{3,3}}} = a_{{{{m}_{y}}}}^{{{{\omega }_{y}}}}$, ${{a}_{{4,2}}} = 1$, ${{a}_{{4,3}}} = - {\text{tg}}{{\vartheta }_{0}}$, ${{b}_{{2,1}}} = a_{{{{m}_{x}}}}^{{{{\delta }_{{\text{н}}}}}}$, ${{b}_{{2,2}}} = a_{{{{m}_{x}}}}^{{{{\delta }_{э}}}}$, ${{b}_{{3,1}}} = a_{{{{m}_{y}}}}^{{{{\delta }_{{\text{н}}}}}}$, ${{b}_{{3,2}}} = a_{{{{m}_{y}}}}^{{{{\delta }_{э}}}}$. Тогда матрицы состояния, управления и наблюдения из модели (0.1) примут обобщенный символьный вид

Имеет место задача управления при неполной информации о векторе состояния. Решение таких задач можно строить с обратной связью по оценке вектора состояния [4, 5]. Однако недостатком такого подхода является то, что неизбежно возникает ошибка оценивания, которая вносит отклонения от желаемого поведения управляемых процессов [6]. В настоящей работе рассматривается управление без дополнительного динамического звена (наблюдателя) с обратной связью только по имеющейся информации – по выходу.

Требуется аналитически синтезировать закон управления объектом (0.2) по выходу

в котором матрица регулятора по выходу F обеспечивает заданный характеристический полином замкнутой системы управления из области устойчивости:

Здесь и далее функция $\operatorname{poly} {\mathbf{M}}$ возвращает характеристический полином матричного аргумента M, запись вида ${{{\mathbf{I}}}_{n}}$ соответствует единичной матрице порядка $n$, $\mathbb{R}$ – множество вещественных чисел.

Среди известных аналитических методов решения поставленной задачи наиболее распространен декомпозиционный метод модального управления по выходу [7]. Однако лежащий в его основе подход Ван дер Воуда [8] позволяет находить множество решений при условии, что суммарная размерность векторов управления и наблюдения превышает размерность вектора управления. Анализ матриц (0.2) показывает, что для поставленной задачи это условие не выполняется и соответственно применение подхода, изложенного в [7, 8], напрямую неприемлемо. В настоящей работе предлагается новый подход аналитического синтеза регулятора по выходу применительно к задаче управления боковым движением воздушного судна, описываемой уравнениями (0.1), матрицами (0.2) и желаемым характеристическим полиномом (0.4).

1. Описание подхода. Запишем матрицы (0.2) в блочном виде, сгруппировав ненулевые элементы:

где

Известно, что матрица регулятора по выходу инвариантна относительно преобразования подобия [9]. Поэтому для упрощения дальнейших расчетов выполним для системы (1.1) преобразование подобия с матрицей преобразования:

Получим следующие матрицы состояния, управления и наблюдения соответственно:

Определим условия полной управляемости и наблюдаемости [10] системы (1.2), а также индексы ее управляемости и наблюдаемости [11].

Сформируем первые два блочных столбца матрицы управляемости Калмана [12]:

Отсюда видно, что при условии

система (0.1) с матрицами (0.2) полностью управляема, а индекс ее управляемости [11] равен двум. При этом матрица (1.3) обратима, а обратная к ней матрица, рассчитанная с помощью формулы Фробениуса обращения блочных матриц [13], имеет вид

Сформируем первые три блочных строки матрицы наблюдаемости Калмана [12]

Отсюда видно, что при условии

где ${{{\mathbf{0}}}_{{2 \times 1}}}$ – нулевая матрица размерности 2 × 1, система (0.1) с матрицами (0.2) полностью наблюдаема, а индекс ее наблюдаемости [11] равен трем.

Таким образом, у рассматриваемой полностью управляемой и полностью наблюдаемой четырехмерной динамической системы индексы управляемости и наблюдаемости не равны между собой. Для такого класса систем решение задачи модального управления по выходу (за редкими исключениями конкретных желаемых спектров) существует, единственно и определяется следующей теоремой.

Теорема. Для четырехмерной системы вида (0.1) с индексом управляемости два и индексом наблюдаемости три регулятор по выходу, обеспечивающий желаемый характеристический полином (0.4), описывается матрицей

Двумерные вектор-столбцы d₁, d₂ и ${{{\mathbf{r}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{r}}}_{2}}$ рассчитываются из соотношений

где а ${{{\mathbf{N}}}^{R}}$ – произвольный правый аннулятор [14] матрицы N.

Доказательство данной теоремы основано на получении полных параметризованных множеств решений соответствующих задач модального управления по состоянию (множество матриц ${\mathbf{K}}$: $\operatorname{poly} \left( {{\mathbf{A}} - {\mathbf{BK}}} \right) = p{\kern 1pt} {\text{*}}\left( \lambda \right)$) и модального наблюдения (множество матриц ${\mathbf{L}}$: $\operatorname{poly} ({\mathbf{A}} - {\mathbf{LC}})$ = = p*(λ)), а также на обеспечении разрешимости и решении односторонних матричных уравнений (${\mathbf{FC}} = {\mathbf{K}}$ и ${\mathbf{BF}} = {\mathbf{L}}$) относительно искомой матрицы регулятора по выходу F.

Ввиду существенного объема выкладок в статье доказательство самой теоремы не приводится. Однако достоверность результата, полученного на ее основе для рассматриваемого примера, подтверждена ниже проверкой характеристического полинома замкнутой системы объект – регулятор по выходу.

2. Основной результат. Рассчитаем по формуле (1.6) матрицу регулятора ${\mathbf{F}}$, обеспечивающую желаемый характеристический полином (0.4) замкнутой системе управления, состоящей из объекта (0.1) с матрицами (0.2) и регулятора (0.3).

Согласно записи (1.5), первые две блочные строки матрицы наблюдателя и их правый аннулятор имеют соответственно вид

Возведя матрицу состояния ${\mathbf{\tilde {A}}}$ в различные степени от 0 до 4, составим все необходимые для формул (1.7) произведения этих степеней справа на аннулятор N^R:

где ${{{\mathbf{\tilde {a}}}}_{b}} = {{a}_{{1,4}}}{{{\mathbf{a}}}_{b}}$, ${{z}_{c}} = {\mathbf{a}}_{c}^{T}{{{\mathbf{a}}}_{b}}$, ${{z}_{d}} = {\mathbf{a}}_{d}^{T}{{{\mathbf{a}}}_{b}}$. Тогда произведение ${\mathbf{D}}{{{\mathbf{N}}}^{R}}$ будет иметь вид где $s = a_{{1,1}}^{2} + p_{1}^{*}{{a}_{{1,1}}} + p_{2}^{*} + {{z}_{c}}$.

Используя левую формулу из записи (1.7) и значение матрицы (1.4), сформируем первый множитель расчетного произведения (1.6):

где

Используя правую формулу из записи (1.7), сформируем второй множитель расчетного произведения (1.6):

Объединив полученные соотношения (2.1) и (2.2), применим общий результат теоремы – формулу (1.6) – для расчета искомой матрицы регулятора по выходу:

Далее выполним проверку полученной матрицы (2.3) на соответствие равенству (0.4) с желаемым характеристическим полиномом.

3. Проверка характеристического полинома. Над матрицей замкнутой системы объект (0.2) – регулятор по выходу (2.3)

выполним преобразование [13] подобия с матрицей преобразования

Получим матрицу с тем же характеристическим полиномом:

Находя соответствующие определители (например, по первому столбцу), нетрудно показать, что характеристический полином данной матрицы совпадает с желаемым характеристическим полиномом (0.4):

4. Пример численного моделирования. Для подтверждения применимости синтезированного закона (0.3) с матрицей регулятора по выходу (2.3) к управлению боковым движением гипотетического воздушного судна воспользуемся следующими числовыми значениями матриц (0.2) [1]:

Назначим желаемые полюса матрицы замкнутой системы ${\mathbf{A}} - {\mathbf{BFC}}$, сходные по порядку величин c полюсами, выбранными в работах [1, 3]:

Этим полюсам соответствуют коэффициенты характеристического полинома (0.4)

Матрица регулятора (2.3) для объекта (4.1) и коэффициентов (4.2) принимает значение

В начальный момент времени t = 0 зададим вектор начальных условий

которому соответствуют типовые начальные значения углов и угловых скоростей:

Решение матрично-векторного дифференциального уравнения (0.1) с управлением (0.3), характеризующее процесс стабилизации объекта, имеет вид [15]

где expm – функция матричной экспоненты [16].

В среде MATLAB [17] был промоделирован переходный процесс длительностью 10 c стабилизации объекта (4.1), (4.3), описываемый функциями (4.5) при начальных условиях (4.4). Графики изменения параметров движения приведены на рис. 1–3.

Из представленных графиков видно, что предлагаемый закон управления по выходу, несмотря на отсутствие информации об углах скольжения и крена, позволяет в течение 10 с стабилизировать боковое движение воздушного судна по всем компонентам вектора состояния при допустимых значениях (в пределах $ \pm 25^\circ $) [2] отклонений управляющих органов (рис. 3). Значения угловых координат (рис. 1) и угловых скоростей (рис. 2) воздушного судна в процессе стабилизации также находятся в допустимых пределах $ \pm 20^\circ $ по углам и $ \pm 10$ град/c по угловым скоростям (из условий линеаризации) [2].

Заключение. Показано, что при отсутствии измерений углов скольжения и крена можно стабилизировать боковое движение воздушного судна по информации только об угловых скоростях крена и рысканья. При этом не требуется построения дополнительных динамических звеньев в виде наблюдателей состояния. Предложен качественно новый подход к аналитическому синтезу управления по выходу системой четвертого порядка с двумя входами и двумя выходами (сумма входов и выходов равна размерности системы), описывающей боковое движение воздушного судна. Показано, что для такой системы с неравными индексами управляемости и наблюдаемости решение задачи управления по выходу существует, но единственно для каждого конкретного желаемого размещения полюсов. Числовая настройка предлагаемого аналитического закона управления возможна лишь за счет выбора конкретных значений полюсов из области устойчивости.

Достоверность подхода применительно к рассматриваемой модели подтверждена совпадением характеристического полинома замкнутой системы управления с заданным полиномом. Приведен пример моделирования процесса стабилизации для числовой модели бокового движения гипотетического воздушного судна. Моделирование подтвердило работоспособность предлагаемого алгоритма управления и показало, что за счет выбора конкретных значений желаемых полюсов соблюдаются ограничения на отклонения управляющих органов и на допустимые изменения компонент вектора состояния в процессе полета.