Известия РАН. Теория и системы управления, 2023, № 5, стр. 78-90

Введение. Известно, что при определенных условиях тела “плохообтекаемой” формы (типа призмы, цилиндра и т.п.) могут совершать поступательные колебания в направлении поперек набегающего потока. Это явление получило название галопирования. Его возникновение связано с тем, что при определенной ориентации плохообтекаемого тела относительно набегающего потока аэродинамические силы создают отрицательное демпфирование.

В отличие от колебаний, индуцированных сходом вихрей с поверхности тела, галопирование достаточно эффективно описывается в рамках квазистатического подхода, когда аэродинамические силы считаются зависящими только от текущих значений фазовых координат и скоростей тела. С помощью этого подхода в [1] был получен критерий возникновения галопирующих колебаний обледеневших проводов. В работах [2, 3] было показано, что квазистатический подход позволяет обеспечить достаточно точное описание данного явления для прямоугольного параллелепипеда. Вообще говоря, галопированию подвержены плохообтекаемые тела с разной формой поперечного сечения. В этом обзоре мы ограничимся только работами, в которых рассматриваются тела, имеющие острые кромки (призмы и т.п.).

В [3, 4] показано, что в определенном диапазоне скоростей набегающего потока существуют два притягивающих цикла (имеет место гистерезис амплитуды колебаний). Эти результаты согласуются с экспериментами. Следует отметить, что аэродинамические характеристики исследуемых в этих работах призм таковы, что возникновение галопирования сопровождается мягкой потерей устойчивости. В [5] исследована взаимосвязь между характером зависимости коэффициента поперечной аэродинамической силы от угла атаки и количеством притягивающих предельных циклов, а также размером зоны гистерезиса. Установлено, что при определенных формах зависимости возможна “жесткая” потеря устойчивости. В [6] проведено исследование зависимости амплитуд предельных циклов при галопировании от скорости потока для прямоугольных параллелепипедов разного удлинения.

Аэродинамические силы, действующие на прямоугольные параллелепипеды, изучались в целом ряде экспериментальных работ. В частности, в [7, 8] приведены результаты измерений аэродинамических сил, действующих на параллелепипеды с квадратным сечением, в зависимости от угла атаки (причем в [8] исследуется также конфигурация, в которой к параллелепипеду прикреплена плоская пластина). В [9] описаны эксперименты, в которых измерялась непосредственно нестационарная аэродинамическая сила, возникающая при галопировании прямоугольного параллелепипеда, и предложен эмпирический подход для моделирования этой силы.

С точки зрения обеспечения прочности конструкций и снижения их износа, необходимо предотвращать возникновение галопирования или, по крайней мере, уменьшать его интенсивность. В ряде работ рассматриваются различные способы достижения этой цели, например, [10–12].

Однако уже достаточно давно было предложено (в частности, в [13]) использовать галопирование тел для преобразования энергии потока в электричество. Растущий интерес к различным системам, основанным на использовании возобновляемой энергии, привел к появлению исследований, рассматривающих различные варианты таких ветроэнергетических установок. В [14, 15] рассматриваются системы, в которых галопирующее тело (призма) соединено с линейным генератором на постоянном магните, и исследуется влияние параметров (в частности, ориентации призму относительно потока) на характеристики колебаний. В других работах (например, [16–19]) изучаются системы, в которых электричество вырабатывается с помощью пьезоэлементов. Так, для прямоугольного параллелепипеда, консольно закрепленного в потоке с помощью упругой балки, в [17] предложено аналитическое решение, приближенно описывающее колебания в системе, а в [18] анализируется влияние формы балки на характеристики колебаний. В [19] проведено экспериментальное исследование влияния формы поперечного сечения призмы на выходную мощность и отмечено, что максимальная мощность была достигнута в случае, когда это сечение имеет воронкообразную форму. В [20] обсуждается влияние закруглений углов призмы с квадратным сечением и угла атаки на мощность, получаемую при галопировании, и отмечается, что закругление углов приводит к некоторому уменьшению мощности, но делает систему менее чувствительной к изменению угла атаки.

В [21–23] рассматриваются системы, в которых к плохообтекаемому телу, совершающему галопирующие колебания в потоке, прикреплено еще одно тело, которое не взаимодействует с потоком. Показано, что при определенных схемах соединения тел можно обеспечить уменьшение критической скорости потока (при которой теряется устойчивость равновесия) и увеличить выходную мощность.

В работе исследуется динамика галопирующей ветроэнергетической установки, содержащей несколько последовательно соединенных пружинами подвижных масс и линейный генератор. Анализируется влияние параметров системы на область устойчивости равновесия. Проводится численное и аналитическое исследование периодических режимов. Изучается влияние количества звеньев, скорости потока и внешнего сопротивления на выходную мощность системы. Обсуждается возможность регулирования нагрузки с целью максимизации мощности, отбираемой у потока.

1. Постановка задачи. Рассмотрим цепочку из n тел ${{M}_{1}}$, …, ${{M}_{n}}$ (рис. 1), которые могут двигаться поступательно вдоль некоторой неподвижной горизонтальной прямой $\ell $. Все тела, кроме n-го, представляют собой материальные точки, а тело ${{M}_{n}}$ – прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат. Боковые грани параллелепипеда вертикальны, причем две из них перпендикулярны прямой $\ell $. Соседние тела в цепочке соединены друг с другом линейно-упругими пружинами. Тело ${{M}_{1}}$ соединено пружиной с некоторой неподвижной точкой O, лежащей на прямой $\ell $. К телу ${{M}_{n}}$ жестко прикреплен постоянный магнит, который расположен внутри катушки индуктивности. Катушка включена в электрическую цепь, которая содержит также нагрузочное сопротивление $R$. При перемещении тела ${{M}_{n}}$ магнит двигается внутри катушки, и в цепи индуцируется электрический ток.

Система помещена в стационарный поток среды, скорость которого на бесконечности равна $V$, горизонтальна и перпендикулярна прямой $\ell $. Будем считать, что поток воздействует только на тело ${{M}_{n}}$.

Введем в горизонтальной плоскости неподвижную систему координат $OXY$, ось абсцисс $OX$ которой направим вдоль скорости набегающего потока, а ось ординат – вдоль прямой $\ell $. Выберем в качестве обобщенных координат ординаты ${{Y}_{1}}$, …, ${{Y}_{{n - 1}}}$ точек ${{M}_{1}}$, …, ${{M}_{{n - 1}}}$ и ординату ${{Y}_{n}}$ центра масс параллелепипеда ${{M}_{n}}$.

Будем предполагать, что поток действует только на параллелепипед, причем это воздействие сводится к силе лобового сопротивления ${\mathbf{D}}$ и боковой силе ${\mathbf{L}}$, приложенным в геометрическом центре $G$ параллелепипеда. Сила ${\mathbf{D}}$ направлена против воздушной скорости ${{{\mathbf{V}}}_{a}}$  точки $G$ (т.е. скорости относительно набегающего потока), сила ${\mathbf{L}}$ – перпендикулярно ей. Воспользуемся квазистатическим подходом, т.е. будем считать, что аэродинамические силы зависят только от мгновенных значений фазовых координат и скоростей тела (применимость этого подхода для широкого спектра задач движения тела в среде обсуждается, в частности, в [24, 25]). Тогда величины сил ${\mathbf{D}}$ и ${\mathbf{L}}$ определяются следующими соотношениями:

Здесь $\rho $ – плотность среды, $S$ – площадь боковой грани параллелепипеда, ${{C}_{d}}$ и ${{C}_{l}}$ – безразмерные коэффициенты, которые считаются зависящими только от мгновенного угла атаки $\alpha $ – угла между вектором ${{{\mathbf{V}}}_{a}}$ и внешней нормалью к соответствующей грани параллелепипеда.

Процессы в электрической цепи будем описывать аналогично [14, 26]:

где $I$ – ток в цепи, ${{L}_{c}}$ и ${{R}_{c}}$ – индуктивность и внутреннее сопротивление катушки, C – коэффициент электромеханического взаимодействия.

С учетом соотношений (1.1) и (1.2) полную систему уравнений динамики рассматриваемой электромеханической системы можно записать следующим образом:

Здесь ${{m}_{i}}$ – масса тела ${{M}_{i}}$, ${{K}_{i}}$ и ${{H}_{i}}$ – коэффициенты жесткости и демпфирования пружины, соединяющей тела ${{M}_{i}}$ и ${{M}_{{i + 1}}}$. Кроме того, ${{Y}_{0}} \equiv 0$.

Для сокращения записи введем следующее обозначение:

Зависимости коэффициента ${{C}_{y}}$ поперечной аэродинамической силы от угла атаки определялись для разных прямоугольных параллелепипедов в целом ряде экспериментальных работ. На рис. 2 точками показаны экспериментальные данные из работы [8]. Будем аппроксимировать функцию ${{C}_{y}}$ полиномом пятой степени от величины ${{{{{\dot {Y}}}_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\dot {Y}}}_{n}}} V}} \right. \kern-0em} V}$:

где ${{C}_{{y1}}} > 0$, ${{C}_{{y5}}} < 0$.

Сплошной линией на рис. 2 изображена аппроксимационная кривая (1.4) при следующих значениях коэффициентов:

Из рис. 2 видно, что качество аппроксимации достаточно хорошее. В дальнейшем будем считать, что ${{C}_{{y3}}} > 0$, а при численном моделировании будем пользоваться значениями (1.5).

Введем безразмерные величины следующим образом:

Здесь $M = {{m}_{1}} + {{m}_{2}} + \ldots + {{m}_{n}}$ – масса всей системы, $b$ – характерный размер параллелепипеда (например, длина стороны основания). Параметр $\mu $ характеризует относительную плотность среды.

С учетом (1.6), уравнения динамики системы в безразмерном виде будут выглядеть так:

Здесь штрихом обозначена производная по безразмерному времени, а ${{k}_{n}} = 1$.

Чтобы несколько упростить параметрический анализ системы (1.7), будем в дальнейшем считать, что массы всех материальных точек равны (т.е. ${{\mu }_{1}} = \ldots = {{\mu }_{{n - 1}}} = {{\mu }_{0}}$), а все пружины между материальными точками и между точками O и ${{M}_{1}}$ одинаковы: ${{k}_{1}} = \ldots = {{k}_{{n - 1}}} = {{k}_{0}}$ и ${{h}_{1}} = \ldots = {{h}_{{n - 1}}} = {{h}_{0}}$.

Будем считать, что индуктивность весьма мала. Тогда в последнем уравнении возникает малый параметр при старшей производной. В дальнейшем ограничимся рассмотрением вырожденной в смысле Тихонова системы:

Система (1.8), очевидно, имеет единственную неподвижную точку, а именно тривиальную.

2. Устойчивость и периодические решения. Линеаризуем систему (1.8) в окрестности тривиального равновесия. Получим

где

Здесь $\tilde {\chi } = {\chi \mathord{\left/ {\vphantom {\chi {(r + 1)}}} \right. \kern-0em} {(r + 1)}}$.

Легко показать (например, методом математической индукции), что главные миноры ${{A}_{i}}$ и ${{B}_{i}}$, $i = \overline {1,n} $, матриц ${\mathbf{A}}$ и ${\mathbf{B}}$ определяются следующими формулами:

Заметим, что все ${{A}_{i}} > 0$, а если

то и все ${{B}_{i}} > 0$, значит, имеет место полная диссипация, и тривиальное равновесие асимптотически устойчиво. Отметим, что ${{C}_{{y1}}} > 0$, следовательно, ${{{v}}_{1}}$ растет с ростом $\tilde {\chi }$.

Характеристический полином системы (2.1) имеет вид

причем ${{p}_{0}} = \det {\mathbf{A}} = k_{0}^{{n - 1}}$ и, кроме того, и

Формулы для остальных коэффициентов ${{p}_{i}}$ достаточно громоздки при n > 1 и здесь не приводятся.

Из выражения для свободного члена видно, что при $k_{0}^{{}} \ne 0$ характеристический полином не имеет нулевых корней и поэтому возможна только потеря устойчивости колебательного типа. Заметим также, что если скорость потока достаточно велика, так что

то ${{p}_{1}} < 0$ и имеет место неустойчивость.

Видно, что ${{{v}}_{1}}(\tilde {\chi }) \leqslant {{{v}}_{2}}(\tilde {\chi })$, причем равенство достигается только в случае n = 1. Соответственно существует такое ${{{v}}_{1}}(0) \leqslant {{{v}}_{0}} \leqslant {{{v}}_{2}}(0)$, что при $\tilde {\chi } = 0$ и ${v} < {{{v}}_{0}}$ равновесие асимптотически устойчиво, а при ${v} > {{{v}}_{0}}$ – неустойчиво.

Рассмотрим ситуацию, когда коэффициенты демпфирования пружин, плотность среды и коэффициент электромеханического взаимодействия малы:

Предположим, кроме того, что

Будем считать, что остальные параметры являются величинами порядка единицы. Введем вспомогательный малый параметр $\varepsilon = \sqrt \mu $ и найдем периодические решения системы следующего вида:

Воспользовавшись методом гармонического баланса, составим уравнения для определения неизвестных коэффициентов ${{a}_{i}}$, ${{b}_{i}}$ и частоты $\omega $:

Здесь принято ${{a}_{0}} = {{b}_{0}} = {{b}_{n}} = 0$.

Первые n – 1 уравнений системы (2.5) образуют замкнутую систему линейных уравнений относительно величин ${{a}_{i}}$, $i = \overline {1,n - 1} $. Разрешив ее и подставив результат в $n$-е уравнение (2.5), как нетрудно видеть, получим уравнение относительно частоты $\omega $, не содержащее величины ${{a}_{n}}$. Из структуры уравнений ясно также, что это уравнение будет совпадать с уравнением на собственные частоты рассматриваемой системы в случае, когда все силы, кроме потенциальных, равны нулю. Отметим, что величины ${{b}_{i}}$ не зависят от скорости потока ${v}$, поскольку она входит только в последнее уравнение (2.5).

Таким образом, величины $\omega $, найденные из этого уравнения (левая часть которого представляет собой полином степени $n$ от ${{\omega }^{2}}$), зависят только от параметров ${{\mu }_{0}}$, ${{\mu }_{n}}$ и ${{k}_{0}}$. Соответственно частоты циклов рассматриваемого типа не будут изменяться, в частности, при изменении параметров ${v}$ и $r$ (или $\tilde {\chi }$).

Для каждого положительного значения $\omega $ из уравнений с номерами $n + 1,...,2n - 1$ системы (2.5) можно найти коэффициенты ${{b}_{1}}$, …, ${{b}_{{n - 1}}}$ и подставить эти величины в последнее уравнение (2.5). В результате получим биквадратное уравнение относительно ${{a}_{n}}$, имеющее следующую структуру:

Здесь $X$ имеет порядок $\mu $ и зависит от частоты $\omega $ и параметров системы, но не зависит от величин $\tilde {\chi }$ и ${v}$.

Будем считать, что ${{C}_{{y1}}} > 0$, ${{C}_{{y3}}} > 0$, ${{C}_{{y5}}} < 0$ (такая ситуация имеет место, в частности, для параллелепипеда, исследованного в [8]).

В случае, когда у характеристического полинома имеется пара корней с нулевой вещественной частью, свободный член в левой части (2.6) равен нулю. Заметим, что этот член зависит от $\tilde {\chi }$ и ${v}$ линейно. Таким образом, он может обратиться в нуль при изменении одного из этих параметров только один раз, поэтому смена характера устойчивости при этом может произойти лишь однажды (разумеется, при условии, что соблюдаются соотношения (2.2), (2.3)). Отметим, что с увеличением $\tilde {\chi }$ свободный член возрастает, а с ростом ${v}$ – убывает.

Выберем такую скорость потока, что при $\tilde {\chi } = 0$ имеет место неустойчивость (например, ${v} > {{{v}}_{2}}(0)$). При достаточно больших значениях $\tilde {\chi }$ (таких, что выбранное значение ${v}$ меньше ${{{v}}_{1}}(\tilde {\chi })$) равновесие асимптотически устойчиво. Следовательно, при некотором значении $\tilde {\chi }_{*}^{{}}$ происходит потеря устойчивости, и вещественная часть одной из пар комплексно-сопряженных корней характеристического полинома обращается в ноль (поскольку потеря устойчивости, как было отмечено выше, может быть только колебательной). Пусть модуль мнимой части этой пары корней при $\tilde {\chi } = \tilde {\chi }_{*}^{{}}$ равен $\omega _{*}^{{}}$. В этой ситуации имеет место бифуркация Андронова–Хопфа, так что уравнение (2.6) должно иметь нулевой корень.

При $\tilde {\chi } < \tilde {\chi }{\kern 1pt} _{*}^{{}}$ свободный член (2.5) отрицателен, поэтому это уравнение имеет единственный положительный корень. Этому корню отвечает некоторый цикл рассматриваемого типа с частотой ${{\omega }_{*}}$ (назовем его цикл 1). При $\tilde {\chi } = \tilde {\chi }_{*}^{{}}$ происходит бифуркация Андронова–Хопфа, и из равновесия рождается цикл (цикл 2). Но характер устойчивости равновесия меняется с неустойчивости на асимптотическую устойчивость, поэтому цикл 2 является отталкивающим (за исключением вырожденных случаев, требующих отдельного рассмотрения). При величинах $\tilde {\chi }$, больших $\tilde {\chi }_{*}^{{}}$, но достаточно близких к этому значению, уравнение (2.5) имеет два положительных корня, так что в системе имеется два цикла данного типа. Очевидно, что при некотором $\tilde {\chi } = {{\tilde {\chi }}_{{**}}} > \tilde {\chi }_{*}^{{}}$ дискриминант уравнения (2.6) обратится в нуль. При этом циклы 1 и 2 сольются. Соответственно цикл 1 в общем случае должен быть притягивающим. При дальнейшем увеличении $\tilde {\chi }$ дискриминант уравнения (2.6) станет отрицательным, так что циклы рассматриваемого типа с частотой ${{\omega }_{*}}$ исчезнут.

Таким образом, бифуркация Андронова–Хопфа является субкритической. С точки зрения отбора энергии потока, это представляется благоприятным ввиду расширения диапазона значений скорости, в котором существует притягивающий цикл. Заметим, что для тел с другими аэродинамическими характеристиками (например, такими, что ${{C}_{{y3}}} < 0$) бифуркация будет суперкритической и эволюция циклов при изменении параметра $\tilde {\chi }$ окажется несколько иной.

3. Численное моделирование. Проведем численное исследование влияния параметров системы на устойчивость положения равновесия и на характеристики циклов. При расчетах будем варьировать количество тел $n$, скорость потока ${v}$ и нагрузочное сопротивление $r$, а для остальных безразмерных параметров будем использовать следующие значения:

На рис. 3 представлены границы области неустойчивости тривиального равновесия на плоскости параметров $(r,{v})$ для систем с различным числом тел (область неустойчивости расположена выше соответствующей кривой).

Видно, что с увеличением внешнего сопротивления (т.е. с уменьшением нагрузки) критическое значение скорости, при котором происходит потеря устойчивости, монотонно уменьшается. Кроме того, монотонное уменьшение критической скорости происходит с ростом количества тел в системе. Таким образом, увеличение количества тел в цепочке позволяет расширить диапазон скоростей потока, в котором равновесие неустойчиво и можно ожидать существования колебательных режимов.

Заметим, что для любого $n$ существуют такие значения ${v}{\text{*}}$ и ${v}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} *$ скорости потока (такие, что ${v}* < {v}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} *$), что при ${v} < {v}{\kern 1pt} *$ равновесие асимптотически устойчиво при всех r, а при ${v} > {v}{\text{*}}{\kern 1pt} {\text{*}}$ – неустойчиво при всех $r$. Для всех ${v}$ из интервала $\left( {{v}{\kern 1pt} *,{v}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} *} \right)$ равновесие неустойчиво для всех $r$, больших некоторого критического значения ${{r}_{c}}$, и асимптотически устойчиво при $r < {{r}_{c}}$.

Для изучения влияния параметров на характеристики периодических движений, возникающих в системе, было проведено численное интегрирование безразмерных уравнений движения (1.8). На рис. 4 представлены зависимости амплитуды колебаний параллелепипеда от величины сопротивления $r$ при разных значениях скорости потока и разном числе тел в цепочке. Неустойчивые циклы обозначены серыми квадратиками. Линиями изображены приближенные решения, полученные из системы (2.5).

Как следует из рис. 4, при достаточно малых значениях ${v}$ и $r$ периодические решения отсутствуют. Однако увеличение скорости потока приводит к тому, что циклы существуют при всех значениях сопротивления. Потеря устойчивости (в тех случаях, когда она имеет место) оказывается “жесткой”. Отметим также, что амплитуда параллелепипеда на притягивающих циклах монотонно растет с ростом $r$, стремясь к некоторому предельному значению, зависящему от скорости потока (это нетрудно видеть и из уравнения (2.6)).

Таким образом, качественные выводы, полученные на основе приближенных уравнений для периодических движений, отражают особенности поведения периодических решений, найденных путем численного интегрирования уравнений движения.

В то же время приближенное решение дает несколько заниженное значение амплитуды по сравнению с результатами численного интегрирования уравнений движения. Это рассогласование возрастает с увеличением скорости потока и числа тел в цепочке. Данное обстоятельство, по-видимому, связано с тем, что при сравнительно больших ${v}$ и $n$ необходимо учитывать члены следующего порядка малости.

Зависимость амплитуды ${{A}_{n}}$ колебаний параллелепипеда от скорости потока для цепочек, состоящих из 1, 3 и 5 тел, и разных величин сопротивления приведена на рис. 5. Притягивающие циклы изображены черным цветом, отталкивающие – серым. Амплитуда колебаний параллелепипеда увеличивается с увеличением количества тел в цепочке, что представляется вполне естественным.

Отметим, что вне достаточно узкого интервала вблизи значения скорости потока, при котором происходит слияние притягивающего и отталкивающего циклов, амплитуда колебаний параллелепипеда на притягивающем цикле практически линейно растет с увеличением скорости (это согласуется, в частности, с результатами [6]).

4. Средняя мощность и регулирование нагрузки. Одной из важнейших характеристик ветроэнергетической установки является средняя за период мощность, которую она может вырабатывать. В данном случае будем рассчитывать эту мощность (безразмерную) по следующей формуле:

Здесь T – период колебаний.

Добиться максимизации мощности при фиксированной скорости потока можно за счет надлежащего регулирования величины нагрузочного сопротивления. Такой подход представляется достаточно перспективным для малых ветроэнергетических установок различных типов (например, [27]).

Поскольку ${{P}_{{av}}} = 0$ при $r = 0$ и ${{P}_{{av}}} \to 0$ при $r \to \infty $, то существует значение сопротивления (обозначим его ${{r}_{{opt}}}$), при котором мощность достигает максимума. Оценим величину ${{r}_{{opt}}}$. Из (2.4) и (3.1) имеем

Обозначим $a_{n}^{2} = z$. Продифференцировав (2.6) по $r$, получим

Отсюда

Для притягивающего цикла (который отвечает большему из корней (2.6)) имеем $z_{r}^{'} > 0$. Нетрудно показать, используя аналогичные выкладки и соображения, что $z_{r}^{{''}} < 0$.

Продифференцируем теперь ${{P}_{{av}}}$ по $r$:

Отсюда видно, что максимум ${{P}_{{av}}}$  достигается при $r = {{r}_{{opt}}} > 1$. При этом чем меньше $z_{r}^{'}{{{\text{|}}}_{{r = 1}}}$, тем ближе оптимальное значение сопротивления ${{r}_{{opt}}}$ к 1 (т.е. к внутреннему сопротивлению катушки).

Из (2.6) следует, что при больших значениях ${v}$ имеем $z\sim {{{v}}^{2}}$, а из (4.2) вытекает, что $z_{r}^{'}\sim {v}$. Поэтому с ростом скорости потока величина ${{r}_{{opt}}}$ будет уменьшаться, стремясь к 1.

Вычислим теперь ${{P}_{{av}}}$, используя результаты численного интегрирования уравнений движения системы при разных значениях параметров $r$, $n$ и ${v}$. Результаты расчетов приведены на рис. 6.

Рисунок 6 показывает, что величина ${{r}_{{opt}}}$ практически не зависит от количества тел в цепочке. Кроме того, она достаточно слабо зависит от скорости потока и близка к единице, причем ее отличие от единицы уменьшается с ростом ${v}$.

При этом для всех рассмотренных значений скорости потока разница между ${{P}_{{av}}}({{r}_{{opt}}}) = {{P}_{{max}}}$ и ${{P}_{{av}}}(r)$ на интервале $1 \leqslant r \leqslant 1.25$ не превышает 2% от P_max. Поэтому для практических целей, по-видимому, можно полагать ${{r}_{{opt}}} = 1$.

На рис. 7 представлена зависимость ${{P}_{{\max }}}$ от числа тел в цепочке при разных скоростях потока (${v} = 1,2,3$).

Из рис. 7 следует, что система с тремя телами позволяет получить существенный выигрыш по мощности (порядка 50% для ${v} = 1$ и 30% для ${v} = 3$) по сравнению с системой с одним телом. Однако при дальнейшем увеличении n рост ${{P}_{{\max }}}$ заметно замедляется. Поэтому использовать длинные цепочки нецелесообразно (особенно в связи с возможными техническими сложностями, связанными с поддержанием работы длинной цепочки).

С учетом вышеизложенного регулирование нагрузочного сопротивления, направленное на максимизацию ${{P}_{{av}}}$, по-видимому, целесообразно осуществлять следующим образом. Если скорость потока находится в диапазоне от ${v}{\kern 1pt} *$ до ${v}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} *$ и система уже совершает колебания, то следует выбирать сопротивление равным $\max ({{r}_{{opt}}},{{r}_{c}})$, где ${{r}_{c}}$ – значение сопротивления, при котором равновесие теряет устойчивость. Если ${v} > {v}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} *$, то можно задавать $r = {{r}_{{opt}}}$.

Чтобы обеспечить как можно более быстрый переход в колебательный режим из состояния покоя в случае, когда ${v}{\kern 1pt} * < {v} < {v}{\text{*}}{\kern 1pt} *$, следует выбрать максимально возможное значение $r$ (например, разомкнуть цепь). После того, как система выйдет на режим, нужно уменьшить сопротивление до указанного выше значения.

Заключение. Проведено исследование динамики ветроэнергетической установки, работающей за счет галопирующих колебаний цепочки тел в потоке среды. Проанализировано влияние числа тел в цепочке, скорости потока и нагрузочного сопротивления на выходную мощность. Показано, что увеличение числа тел в цепочке позволяет уменьшить критическую скорость потока, при которой в системе возникают колебания, а также повысить максимальную вырабатываемую мощность. Предложена схема регулирования нагрузочного сопротивления для получения максимальной мощности.