Известия РАН. Теория и системы управления, 2023, № 6, стр. 3-32

Введение. При исследовании динамических систем зачастую приходится учитывать различные ограничения, наложенные на управляющие воздействия, что приводит к тому, что далеко не все терминальные состояния являются достижимыми из заданного начального даже за бесконечное время. В результате классических условий управляемости Калмана оказывается недостаточно, чтобы сделать вывод о достижимости того или иного терминального состояния. В связи с чем представляется актуальной разработка методов, позволяющих формировать конструктивное описание множеств достижимости, т.е. множеств терминальных состояний, в которые можно перевести систему из начала координат, и 0-управляемости, т.е. множеств начальных состояний, из которых систему можно перевести в начало координат, за конечное число шагов, а также оценки предельных множеств достижимости и 0-управляемости [1]. Процедура построения произвольных множеств управляемости, для которых терминальное состояние не фиксировано, может быть за счет сдвига системы координат сведена к задаче построения множеств 0-управляемости. Множества 0-управляемости и достижимости могут быть использованы в ряде задач оптимального управления для формирования позиционного управления для систем с дискретным временем [2–4].

На данный момент известны результаты построения множеств достижимости и 0-управляемости для линейных систем с дискретным временем и ограничениями на функцию управления в смысле ${{l}_{\infty }}$-нормы. В частности, доказано, что в случае линейных ограничений на управление множества достижимости и 0-управляемости за конечное число шагов представляют собой многогранники [2]. Для их предельных аналогов сформулированы необходимые и достаточные условия ограниченности [5], а в ряде частных случаев предложены конструктивные методы формирования внешних оценок на основе аппарата опорных полупространств [6, 7] или принципа максимума [8]. Также к новым результатам относится описание предельных множеств достижимости и 0-управляемости в виде многогранников для систем с ограничениями на функцию управления в смысле ${{l}_{1}}$-нормы [9].

Однако для более общего случая l_p-нормы с произвольным значением параметра $p \in (1; + \infty )$ известные результаты являются неприменимы, что связано в первую очередь со строгой выпуклостью ограничений и невозможностью представления искомых множеств в полиэдральной форме. Напротив, эффективным оказывается их описание на основе аппарата суперэллипсоидальных множеств конечной [10, 11] и бесконечной размерностей, что тесно связано со строго выпуклым анализом [12, 13], выпуклым программированием [14], теорией нормированных пространств [15] и линейных операторов [16].

В статье изучаются вопросы построения множеств достижимости и 0-управляемости с суммарным ограничением на управление в смысле l_p-нормы. Удается в явном виде описать опорное полупространство и точку касания для произвольного множества достижимости или 0-управляемости за конечное или бесконечное число шагов. Это позволяет применить аппарат полиэдральной аппроксимации [17–19] для описания внутренних и внешних оценок искомых множеств в виде многогранников и использовать их для решения различных задач управления дискретными системами.

В разд. 1 производится постановка задачи. В разд. 2 изучаются различные свойства образов конечномерных и бесконечномерных суперэллипсоидальных множеств при линейном отображении в ${{\mathbb{R}}^{n}}$. В разд. 3 доказывается, что каждое множество 0-управляемости и достижимости представимо в виде образа суперэллипсоидального множества при линейном невырожденном преобразовании, что позволяет сформулировать их свойства на основе результатов разд. 2 и конструктивно описать опорную гиперплоскость для произвольного опорного вектора. Существенным является доказательство необходимых и достаточных условий ограниченности предельных множеств достижимости и 0-управляемости. В разд. 4 для частного случая евклидовых пространств описание множеств достижимости и 0-управляемости построено явно в виде эллипсоидальных множеств. В разд. 5 приведены примеры, демонстрирующие полученные теоретические результаты. В разд. 6 рассмотрена система управления движением спутника на околокруговой орбите, для которой построены множества достижимости на основе разработанных методов.

1. Постановка задачи. Рассматривается линейная система с дискретным временем и ограниченным скалярным управлением:

где ${{\mathbb{Z}}_{ + }} = \mathbb{N} \cup \{ 0\} $, $x(k) \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ – вектор состояния системы, $u(k) \in \mathbb{R}$ – скалярное управление, $A \in {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$, $b \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ – матрицы системы, $p \in (1; + \infty )$ – параметр, определяющий тип суммарного ограничения на управление.

В ряде случаев будет использовано предположение о том, что система (1.1) управляема по Калману, т.е. выполнено условие

Хотя некоторые свойства будут также справедливы и для систем (1.1), не удовлетворяющих (1.2).

Обозначим для произвольного $N \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$ через ${{\mathcal{Y}}_{p}}(N)$ множество достижимости системы (1.1), т.е. множество тех состояний, в которые можно перевести систему (1.1) за N шагов из 0 посредством выбора допустимого управления:

Аналогично для произвольного $N \in {{\mathbb{Z}}_{ + }}$ через ${{\mathcal{X}}_{p}}(N)$ обозначим множество 0-управляемости системы (1.1), т.е. множество тех начальных состояний, из которых можно перевести систему (1.1) за N шагов в 0 посредством выбора допустимого управления:

Цель статьи – построить множества (1.3) и (1.4) и описать их свойства. В том числе интерес представляют предельные свойства множеств (1.3) и (1.4), т.е. необходимо изучить свойства предельных множеств ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}},{{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ достижимости и 0-управляемости системы (1.1) соответственно. Здесь ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$ – множество тех состояний, в которые можно перевести систему (1.1) за конечное число шагов из 0 посредством выбора допустимого управления:

Аналогично ${{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$ – множество тех начальных состояний, из которых можно перевести систему (1.1) за конечное число шагов в 0 посредством выбора допустимого управления:

2. Дополнительные построения. Предельные множества ${{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$ и ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$ могут быть представлены с точностью до замыкания в виде проекции шара из нормированного пространства l_p на конечномерное подпространство ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Пространство числовых последовательностей l_p и норма в нем определяются следующим образом [15, разд. 1, §2, Гл. III]:

Числа p и q являются двойственными по Гельдеру:

Пространство ${{\mathbb{R}}^{N}}$ будем полагать евклидовым, наделенным скалярным произведением по формуле:

Линейную, выпуклую и коническую оболочки произвольного множества $\mathcal{U} \subset {{\mathbb{R}}^{N}}$ обозначим через ${\text{Lin}}\mathcal{U}$, ${\text{conv}}\mathcal{U}$ и ${\text{cone}}\mathcal{U}$ соответственно. Под $\dim \mathcal{U}$, $\partial{ \mathcal{U}}$, ${\text{int}}\mathcal{U}$ и будем понимать размерность, множество граничных точек, множество внутренних точек и замыкание $\mathcal{U}$. Для произвольного линейного подпространства $\mathbb{L} \subset {{\mathbb{R}}^{N}}$ обозначим через ${{\mathbb{L}}^{ \bot }}$ его ортогональное дополнение, т.е. множество всех векторов из ${{\mathbb{R}}^{N}}$, ортогональных каждому вектору из $\mathbb{L}$. Также для произвольной матрицы $A \in {{\mathbb{R}}^{{n \times N}}}$ под $\ker A \subset {{\mathbb{R}}^{N}}$ будем понимать ее ядро:

Обозначим через ${{\mathcal{E}}_{p}}(N) \subset {{\mathbb{R}}^{N}}$ суперэллипсоидальное множество размерности N:

Для произвольной последовательности ${{\{ {{b}_{N}}\} }_{{N \in \mathbb{N}}}} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ и произвольного $N \in \mathbb{N}$ определим матрицу ${{B}_{N}} = ({{b}_{1}},...,{{b}_{N}}) \in {{\mathbb{R}}^{{n \times N}}}$ и множество ${{\mathcal{U}}_{p}}({{B}_{N}}) \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$:

Лемма 1. Пусть ${{p}_{2}} > {{p}_{1}} > 1$. Тогда

Доказательство леммы 1 и всех последующих утверждений приведено в Приложении.

По построению ${{\mathcal{U}}_{p}}({{B}_{N}}) \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ представляет собой образ ${{\mathcal{E}}_{p}}(N)$ при воздействии линейного отображения ${{B}_{N}}:{{\mathbb{R}}^{N}} \to {{\mathbb{R}}^{n}}$:

Лемма 2. ${{\mathcal{U}}_{p}}({{B}_{N}})$ – выпуклое, замкнутое и ограниченное множество. Если ${\text{rank}}{{B}_{N}} = n$, то ${{\mathcal{U}}_{p}}({{B}_{N}})$ строго выпукло.

Лемма 2 является следствием более общего свойства выпуклых множеств: при любом линейном преобразовании относительно внутренние точки выпуклого множества преобразуются в относительно внутренние точки образа выпуклого множества. В случае если линейное отображение является сюръекцией (т.е. описывается матрицей полного ранга), а исходное множество имеет непустую внутренность, то относительно внутренние точки заменяются в утверждении на внутренние [12, теорема 6.6].

Вектор $f \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\{ 0\} $ называется опорным к выпуклому множеству $\mathcal{U} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ в точке $x \in \partial{ \mathcal{U}}$ [13, 1.8, Гл. 1], если

Нормальным конусом $\mathcal{N}(x,\mathcal{U})$ выпуклого множества $\mathcal{U} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ в точке $x \in \partial{ \mathcal{U}}$ называется множество всех векторов, опорных к $\mathcal{U}$ в $x$:

Для произвольной внутренней точки $x \in {\text{int}}\mathcal{U}$ нормальный конус представляет собой пустое множество:

Согласно определению нормального конуса, справедлив критерий принадлежности некоторой точки $x \in \mathcal{U}$ внутренности выпуклого множества $\mathcal{U} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$: включение $x \in {\text{int}} \mathcal{U}$ верно тогда и только тогда, когда $\mathcal{N}(x,\mathcal{U}) = \emptyset $.

Лемма 3. Пусть ${\text{rank}}{{B}_{N}} = n$. Тогда для любого $x \in \partial {{\mathcal{U}}_{p}}({{B}_{N}})$ верно, что:

1) $\dim \mathcal{N}(x,{{\mathcal{U}}_{p}}({{B}_{N}})) = 1$;

2) для произвольного $f \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\{ 0\} $ справедливы соотношения

Леммы 1–3 определяют основные свойства множеств достижимости (1.3) и 0-управляе-мости (1.4), такие, как строгая выпуклость, гладкость границы и монотонность. Более того, при помощи леммы 3 можно восстановить произвольную точку на границе множества и гиперплоскость, опорную к множеству в данной точке, чего достаточно для построения сколь угодно точных внутренних и внешних полиэдральных оценок исследуемого множества [17]. Однако в случае описания предельных множеств достижимости и 0-управляемости данные утверждения оказываются неэффективны. Принципиальным вопросом в изучении множеств (1.5) и (1.6) являются необходимые и достаточные условия их ограниченности.

Пусть ${{\mathcal{E}}_{p}}(\infty )$ – шар радиуса 1 с центром в 0 в l_p:

Рассмотрим последовательность векторов $B{\kern 1pt} ' = ({{b}_{1}},{{b}_{2}}, \ldots )$ из ${{\mathbb{R}}^{n}}$ в качестве линейного оператора $B{\kern 1pt} ':{{l}_{p}} \to {{\mathbb{R}}^{n}}$:

Вообще говоря, оператор $B{\kern 1pt} '$ может быть определен не на всем пространстве l_p. Через ${{\mathcal{D}}_{{B{\kern 1pt} '}}} \subset {{l}_{p}}$ обозначим множество всех векторов, на которых $B{\kern 1pt} '$ определен. В ряде случаев будет существенно наличие свойства сюръекции $B{\kern 1pt} '$, для выполнения которого достаточно предположить аналогичное условию (1.2) равенство

Последовательность $B{\kern 1pt} '$ можно рассмотреть в качестве упорядоченного набора n числовых последовательностей ${{y}^{i}} = ({{b}_{{i1}}},{{b}_{{i2}}}, \ldots )$, $i = \overline {1,n} $:

Поэтому $B{\kern 1pt} '$ является элементом пространства ${{\mathbb{R}}^{\infty }} \times \ldots \times {{\mathbb{R}}^{\infty }}$. Исследование ограниченности оператора $B{\kern 1pt} '$ связано со свойствами последовательностей ${{y}^{1}}, \ldots ,{{y}^{n}}$, его формирующих. В частности, важнен класс всех $B{\kern 1pt} '$, удовлетворяющих представлению (2.3), в котором для каждого $i = \overline {1,n} $ справедливо условие ${{y}^{i}} \in {{l}_{q}}$. Такой класс обозначим через $l_{q}^{n}$, а через ${{\mathcal{U}}_{p}}(B{\kern 1pt} ')$ – образ шара ${{\mathcal{E}}_{p}}(\infty )$ при воздействии отображения $B{\kern 1pt} '$:

Лемма 4. Допустим, что ${{\mathcal{U}}_{p}}(B{\kern 1pt} ')$ определяется соотношениями (2.4). Тогда множество ${{\mathcal{U}}_{p}}(B{\kern 1pt} ')$ ограничено тогда и только тогда, когда верно включение $B{\kern 1pt} ' \in l_{q}^{n}$.

Лемма 5. Пусть $B{\kern 1pt} ' \in l_{q}^{n}$. Тогда справедливо включение

В общем случае множества ${{\mathcal{U}}_{p}}(B{\kern 1pt} ')$ и $\bigcup\limits_{N = 1}^\infty {{\mathcal{U}}_{p}}({{B}_{N}})$ не совпадают. Покажем это на следующем примере.

Пример 1. Пусть n = 1, $B{\kern 1pt} ' = ({{b}_{1}},{{b}_{2}}, \ldots ) \in {{l}_{q}}$ – произвольная нефинитная последовательность. Рассмотрим $x = {\text{||}}B{\kern 1pt} '{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{l}_{q}}}}}$. Тогда

В силу неравенства Гельдера гиперплоскость ${{(B{\kern 1pt} ')}^{{ - 1}}}(\{ x\} )$ является опорной к ${{\mathcal{E}}_{p}}(\infty )$. Так как ${{\mathcal{E}}_{p}}(\infty )$ представляет собой строго выпуклое множество, то существует единственная точка касания $\tilde {u} \in {{(B{\kern 1pt} ')}^{{ - 1}}}(\{ x\} ) \cap {{\mathcal{E}}_{p}}(\infty )$:

Действительно,

Тогда $x \in {{\mathcal{U}}_{p}}(B{\kern 1pt} ')$, но при этом не существует $N \in \mathbb{N}$, такого, что $x \in {{\mathcal{U}}_{p}}({{B}_{N}})$, так как последовательности $B{\kern 1pt} '$ и $\tilde {u}$ по построению не являются финитными. Окончательно получим, что

Существенным в примере 1 является свойство строгой выпуклости множества ${{\mathcal{E}}_{p}}(\infty )$, из которого следует единственность точки касания любой опорной к ${{\mathcal{E}}_{p}}(\infty )$ гиперплоскости. Аналогичные рассуждения для $p \in \{ 1,\infty \} $ некорректны.

Результат примера 1 справедлив для произвольного $n \in \mathbb{N}$.

Лемма 6. Пусть

Тогда для всех $i = \overline {1,n} $, таких, что ${{y}^{i}} \in {{l}_{q}}$ не финитна, верно включение

Следствие 1. Пусть справедливы предположения леммы 6. Тогда равенство

верно тогда и только тогда, когда последовательности ${{y}^{1}}, \ldots ,{{y}^{n}} \in {{l}_{q}}$ финитны.

Лемма 7. Допустим, что $B{\kern 1pt} ' \in l_{q}^{n}$. Тогда равенство

верно тогда и только тогда, когда для всех $N \in \mathbb{N}$

Лемма 8. Пусть выполнено условие (2.2), $B{\kern 1pt} ' \in l_{q}^{n}$. Тогда для любого $x \in \partial {{\mathcal{U}}_{p}}(B{\kern 1pt} ')$ верно, что:

1) $\dim \mathcal{N}(x,{{\mathcal{U}}_{p}}(B{\kern 1pt} ')) = 1$;

2) для произвольного $f \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\{ 0\} $ справедливы соотношения

Лемма 4 определяет необходимые и достаточные условия того, чтобы предельное множество $\bigcup\limits_{N = 1}^\infty {{\mathcal{U}}_{p}}({{B}_{N}})$ оказалось ограниченным. Следствие 1 и лемма 7 вместе предлагают необходимые и достаточные условия, которые надо наложить на последовательность $B{\kern 1pt} '$, чтобы данное предельное множество оказалось замкнутым или открытым. При этом лемма 5 гарантирует, что с точностью до замыкания оно будет совпадать с ${{\mathcal{U}}_{p}}(B{\kern 1pt} ')$, а лемма 8 позволяет восстановить произвольную точку на границе этого множества и гиперплоскость, опорную к нему в данной точке, чего достаточно для построения внутренних и внешних полиэдральных аппроксимаций ${{\mathcal{U}}_{p}}(B{\kern 1pt} ')$.

3. Свойства множеств достижимости и 0-управляемости. На основе результатов разд. 0 имеется возможность описать структуру множеств достижимости (1.3) и 0-управляемости (1.4).

Лемма 9. Пусть семейства множеств $\{ {{\mathcal{Y}}_{p}}(N)\} _{{N = 0}}^{\infty }$ и $\{ {{\mathcal{X}}_{p}}(N)\} _{{N = 0}}^{\infty }$ для системы (1.1) определяются соотношениями (1.3) и (1.4) соответственно, $N \in \mathbb{N}$. Тогда:

1) если ${{B}_{N}} = (b,Ab, \ldots ,{{A}^{{N - 1}}}b) \in {{\mathbb{R}}^{{n \times N}}}$, то справедливо равенство

2) если $\det A \ne 0$, ${{B}_{N}} = ({{A}^{{ - 1}}}b,{{A}^{{ - 2}}}b, \ldots ,{{A}^{{ - N}}}b) \in {{\mathbb{R}}^{{n \times N}}}$, то верно равенство

Теорема 1. Пусть семейства множеств $\{ {{\mathcal{Y}}_{p}}(N)\} _{{N = 0}}^{\infty }$ и $\{ {{\mathcal{X}}_{p}}(N)\} _{{N = 0}}^{\infty }$ для системы (1.1) определяются, согласно (1.3) и (1.4) соответственно: Тогда:

1) если ${{N}_{2}} > {{N}_{1}}$, то ${{\mathcal{Y}}_{p}}({{N}_{1}}) \subset {{\mathcal{Y}}_{p}}({{N}_{2}})$;

2) если ${{p}_{2}} > {{p}_{1}}$, то ${{\mathcal{Y}}_{{{{p}_{1}}}}}(N) \subset {{\mathcal{Y}}_{{{{p}_{2}}}}}(N)$, $N \in \mathbb{N}$;

3) ${{\mathcal{Y}}_{p}}(N)$ – выпуклое, замкнутое и ограниченное множество;

4) если выполнено условие (1.2) и $N \geqslant n$, то для любых $x \in \partial {{\mathcal{Y}}_{p}}(N)$ и $f \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\{ 0\} $ верны соотношения:

5) если $\det A \ne 0$, то пункты 1–4 также справедливы и для семейства множеств $\{ {{\mathcal{X}}_{p}}(N)\} _{{N = 0}}^{\infty }$. В п. 4 граничная точка $x{\kern 1pt} *(f) \in \partial {{\mathcal{X}}_{p}}(N)$ определяется соотношениями

Жордановым базисом матрицы A называется набор линейно независимых векторов h₁, ..., ${{h}_{n}} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$, который задает преобразование подобия матрицы A в ее вещественную жорданову каноническую форму [20, разд. 3.4, Гл. 3]. Такой базис единственен с точностью до ненулевых сомножителей и порядка векторов ${{h}_{1}}, \ldots ,{{h}_{n}}$, и каждый базисный вектор соответствует некоторой жордановой клетке, т.е. некоторому собственному значению матрицы A. Если разбить элементы жорданова базиса на три множества по критерию того, соответствуют ли они собственному значению матрицы A большему, равному или меньшему 1 по модулю, то получится определить следующие три инвариантных подпространства:

Теорема 2. Пусть множество ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$ определяется соотношением (1.5). Тогда ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$ ограничено тогда и только тогда, когда

Если ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$ ограничено и справедливо условие (1.2), то:

1) ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$ строго выпукло;

2) для любых $x \in \partial {{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$

3) для любых $f \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\{ 0\} $ верны соотношения:

4) опорная функция ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$ иммет вид

Теорема 3. Пусть множество ${{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$ определяется соотношением (1.6). Тогда ${{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$ ограничено тогда и только тогда, когда

Если ${{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$ ограничено и справедливо условие (1.2), то:

1) ${{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$ строго выпукло;

2) для любых $x \in \partial {{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$

3) для любых $f \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\{ 0\} $ верны соотношения:

4) опорная функция ${{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$ иммет вид

Следствие 2. Пусть множества ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$, ${{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$ определяются соотношениями (1.5) и (1.6) соответственно. Тогда:

1) если все собственные значения матрицы A меньше по модулю, чем 1, то ${{\mathcal{Y}}_{{p,\infty }}}$ ограничено;

2) если все собственные значения матрицы A больше по модулю, чем 1, то ${{\mathcal{X}}_{{p,\infty }}}$ ограничено.

Хотя теоремы 2 и 3 предлагают необходимые и достаточные условия ограниченности множеств (1.5) и (1.6), использование данных утверждений может быть затруднено в связи с необходимостью построения жорданова базиса A. В свою очередь следствие 2, будучи лишь достаточным условием ограниченности, позволяет обойтись исключительно вычислением собственных значений матрицы A. Также применение теорем 2 и 3 для построения опорных полупространств к множествам (1.5) и (1.6) проблематично в общем случае, так как требует вычисления точной суммы ряда. С другой стороны, теоремы 2 и 3 определяют опорные функции множеств (1.5) и (1.6) в случае их ограниченности явным образом.

4. Частный случай евклидовых пространств. Рассмотрим случай p = 2. Данное допущение позволяет описать множества ${{\mathcal{U}}_{2}}({{B}_{N}})$ и ${{\mathcal{U}}_{2}}(B{\kern 1pt} ')$ в терминах скалярного произведения. С учетом (2.1) и (2.4) верно равенство ${{\mathcal{U}}_{2}}({{B}_{N}}) = ({{B}_{N}},0, \ldots ){{\mathcal{E}}_{2}}(\infty )$, откуда в силу леммы 9 следует, что каждое из множеств (1.3)–(1.6) является линейным преобразованием шара ${{\mathcal{E}}_{2}}(\infty ) \subset {{l}_{2}}$, что позволяет явным образом описать их структуру.

Лемма 10. Пусть справедливо (2.2), $N \geqslant n$, ${{H}_{N}} = {{({{B}_{N}}B_{N}^{{\text{T}}})}^{{ - 1}}}$. Тогда верно представление

С учетом леммы 9 лемма 10 позволяет описать множества достижимости ${{\mathcal{Y}}_{2}}(N)$ и 0-управляемости ${{\mathcal{X}}_{2}}(N)$ системы (1.1), удовлетворяющей условию (1.2), явно в виде эллипсоидальных множеств для любого $N \geqslant n$. Также процедуру их построения благодаря лемме 9 можно проводить рекуррентно.

Лемма 11. Пусть $\det A \ne 0$, выполнено условие (1.2) и $N \geqslant n$. Тогда существуют положительно определенные и симметрические матрицы ${{H}_{{\mathcal{X},N}}},{{H}_{{\mathcal{Y},N}}} \in {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$, такие, что

где

Согласно леммам 9 и 5, множества (1.5) и (1.6) в случае их ограниченности, необходимые и достаточные условия которой определяются теоремами 2 и 3, с точностью до замыкания совпадают с образом шара ${{\mathcal{E}}_{2}}(\infty ) \subset {{l}_{2}}$ при некотором линейном преобразовании, т.е. являются эллипсоидальными множествами. При этом их структура может быть вычислена в результате решения алгебраического дискретного уравнения Риккати [21].

Теорема 4. Пусть $\det A \ne 0$ и выполнено условие (1.2). Тогда:

1) если ${{\mathcal{Y}}_{{2,\infty }}}$ ограничено, то

где положительно определенная и симметрическая матрица ${{H}_{{\mathcal{Y},\infty }}} \in {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$ удовлетворяет матричному уравнению

2) если ${{\mathcal{X}}_{{2,\infty }}}$ ограничено, то

где положительно определенная и симметрическая матрица ${{H}_{{\mathcal{X},\infty }}} \in {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$ удовлетворяет матричному уравнению

5. Примеры. В данном разделе приведены примеры множеств 0-управляемости и достижимости для различных систем. В качестве иллюстраций множеств используются их внутренние полиэдральные оценки, построенные на основе п. 4, 5 теоремы 1:

В случае pn = 2 искомые множества будут построены точно при помощи лемм 10 и 11.

Пример 2. Рассмотрим систему (1.1) размерности n = 2 со следующими матрицами:

На базе п. 4 теоремы 1 построим множества достижимости для различных значений $N \in \mathbb{N}$ и $p \in (1; + \infty )$. Графически результаты проиллюстрированы на рис. 1–4.

Пример 3. Рассмотрим систему (1.1) размерности n = 2 со следующими матрицами:

Согласно п. 4 теоремы 1, построим множества достижимости для различных значений $N \in \mathbb{N}$ и $p \in (1; + \infty )$. Графически результаты представлены на рис. 5–8.

Пример 4. С учетом леммы 9 и условий (5.1) на рис. 1–4 приведены множества 0-управляемости системы (1.1) c матрицами

Аналогично, в силу леммы 9 и условий (5.2), на рис. 5–8 изображены множества 0-управляемости системы (1.1) c матрицами

6. Система управления спутником. Рассмотрим систему управления движением спутника, расположенного на околокруговой орбите, представленную в [22]. Предполагается, что коррекция орбиты осуществляется посредством двигателей импульсной тяги. Корректирующие импульсы направлены по касательной к траектории движения и исполняются без ошибок через равные промежутки времени. На энергетические ресурсы двигателей наложены суммарные ограничения.

Круговая орбита, на которой должен находиться спутник, описывается значениями радиуса орбиты r₀, радиальной скорости ${{v}_{{R0}}}$ и трансверсальной скорости ${{{v}}_{{T0}}}$. Обозначим отклонения реальных значений радиуса орбиты и составляющих скорости от номинальных параметров движения следующим образом:

Линеаризованная система дифференциальных уравнений, представляющая движение спутника, согласно [22], имеет вид

Поскольку управление подается импульсно через равные промежутки времени ${{t}_{0}} > 0$, то можно рассматривать в качестве наблюдаемых параметров системы вектор состояния x(k) = = ${{(\Delta r(k{{t}_{0}}),\Delta {{v}_{R}}(k{{t}_{0}}),\Delta {{v}_{T}}(k{{t}_{0}}))}^{{\text{T}}}}$ в моменты времени $k{{t}_{0}}$, т.е. непосредственно перед выполнением $(k + 1)$-го корректирующего импульса, $k \in \mathbb{N} \cup \{ 0\} $. Данное предположение позволяет решить систему линейных дифференциальных уравнений (6.1) явно и перейти к конечно-разностным соотношениям вида (1.1) с матрицами системы:

Для исследования на ограниченность предельных множеств управляемости и достижимости построим жорданов базис матрицы A и вычислим ее собственные значения:

Отсюда следует, что $b \in {{\mathbb{L}}_{{ = 1}}} = {{\mathbb{R}}^{3}}$, и, согласно теоремам 2 и 3, рассматриваемая система управления обладает неограниченными предельными множествами достижимости и управляемости. Если предположить, что на мощность корректирующих импульсов наложены суммарные квадратичные ограничения, т.е. p = 2, то возможно построить множество достижимости, согласно леммам 9 и 10. При выборе $N = 20$ и ${{t}_{0}} = 0.25$ множество ${{\mathcal{Y}}_{2}}(20)$, изображенное на рис. 9, представляет собой эллипсоид, описываемый следующей матрицей квадратичной формы:

Заключение. Обсуждаются некоторые свойства множеств достижимости и 0-управляемости для стационарной линейной дискретной системы с суммарным ограничением на управление.

Представлены общие свойства образов суперэллипсоидальных множеств при линейных преобразованиях. В частности, получено конструктивное описание этих множеств через аппарат опорных полупространств в виде леммы 3. Сформулированы необходимые и достаточные условия ограниченности, замкнутости или открытости предельных множеств достижимости и 0‑управляемости (леммы 4–7).

Продемонстрировано, что множества достижимости и 0-управляемости за конечное число шагов могут быть описаны в виде образа суперэллипсоидального множества при фиксированном линейном преобазовании, а их предельные аналоги представляют собой с точностью до замыкания образ шара из l_p при линейном отображении в ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Данный факт позволяет воспользоваться общими свойствами для описания множеств достижимости и 0-управляемости. Приведено точное описание множеств достижимости и 0-управляемости в виде эллипсоидальных множеств.