Известия РАН. Теория и системы управления, 2023, № 6, стр. 50-59

СИНТЕЗ РАЗРЫВНОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПОНИЖАЮЩЕГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ

С. А. Кочетков^a, *, О. С. Ткачева^a, **, А. В. Уткин^a, ***

^a ИПУ РАН
Россия, Москва

^* E-mail: kos@ipu.ru
^** E-mail: tkolga17@gmail.com
^*** E-mail: utkin-av@rambler.ru

Поступила в редакцию 18.01.2023
После доработки 21.06.2023
Принята к публикации 31.07.2023

EDN: GRRYVZ
DOI: 10.31857/S0002338823060070

Аннотация

Разработан нелинейный разрывный закон управления, позволяющий стабилизировать выходное напряжение понижающего преобразователя напряжения в условиях, когда входное напряжение и ток нагрузки неизвестны. Основная идея базируется на использовании так называемых вихревых алгоритмов, обеспечивающих инвариантность по отношению к внешним несогласованным возмущениям. Эффективность разработанных алгоритмов показана с помощью численного моделирования.

Введение. Преобразователи напряжения широко применяются в технике в качестве источников питания и стабилизаторов напряжения [1–5]. С развитием современных технологий производства электроэнергии на основе ветрогенераторов, солнечных батарей, приливных электростанций их эволюция получила новый виток. Конструкция преобразователя напряжения состоит из накопителя реактивной энергии (индуктивные и емкостные элементы) и коммутационного устройства. С развитием полупроводниковой техники можно исключить механические коммутационные устройства и использовать полупроводниковые диоды, транзисторы и тиристоры с частотой коммутации до нескольких сотен килогерц [1, 6].

Основной проблемой, связанной с управлением полупроводниковыми преобразователями напряжения, является стабилизация выходного напряжения в зависимости от входного напряжения и переменной потребляемой мощности нагрузки [1].

В статье приводится проблема управления выходным напряжением понижающего преобразователя в указанных условиях. Следует отметить, что управляющий вход преобразователя может принимать только два дискретных значения, что соответствует включенному/выключенному состоянию переключающего элемента. Кроме того движения токов в разных контурах в подобных устройствах имеют разнотемповый характер. По этим причинам при синтезе алгоритмов управления можно использовать теорию разрывного управления и принципы разделения движений [7, 8].

Рассматривается синтез нелинейного разрывного закона управления. Разработанный алгоритм управления обеспечивает стабилизацию выходного напряжения при воздействии неизвестных входного напряжения и выходного тока нагрузки. Главная идея основана на так называемом вихревом алгоритме, обеспечивающем свойство инвариантности по отношению к внешним несогласованным возмущениям. Теоретические результаты могут быть реализованы с использованием современных преобразователей широтно-импульсной модуляции. Результаты моделирования показывают эффективность представленных алгоритмов.

Статья организована следующим образом. В разд. 1 приводится математическая модель объекта управления и формализуется постановка задачи. Раздел 2 посвящен синтезу нелинейного закона управления, позволяющий стабилизировать выходное напряжение в условиях неизвестных входного напряжения и выходного тока нагрузки. В разд. 3 описываются результаты численного моделирования в среде MATLAB/Simulink, демонстрирующие работоспособность предложенных алгоритмов.

1. Математическая модель объекта управления. Постановка задачи. Основные конструктивные элементы понижающего преобразователя показаны на рис. 1, где L – индуктивность преобразователя, C – конденсатор, r – электрическое сопротивление обмотки индуктивности, U(t) – входное напряжение (в общем случае функция времени), ${{x}_{1}}$ – ток в обмотке индуктивности, x₂ – выходное напряжение, R(t) – неизвестная переменная величина электрического сопротивления нагрузки, VD – “защелкивающийся диод”, с помощью которого предотвращается разряд конденсатора через катушку индуктивности и обеспечивается ток только в направлении, указанном на рис. 1.

Рис. 1.

Упрощенная схема понижающего преобразователя

Математическая модель преобразователя описывается следующей системой дифференциальных уравнений [9]:

(1.1)

${{\dot {x}}_{1}} = - \frac{r}{L}{{x}_{1}} - \frac{1}{L}{{x}_{2}} + \frac{{U(t)}}{L}u,\quad {{\dot {x}}_{2}} = \frac{1}{C}{{x}_{1}} - \frac{1}{{R(t)C}}{{x}_{2}},$

где управление $u(t)$ может принимать значения из дискретного множества {0, 1}.

В статье для объекта управления сделаны нижеперичисленные допущения.

1. Для неизвестной функции сопротивления нагрузки и ее первых двух производных справедливы следующие ограничения:

(1.2)

$R(t) \geqslant {{R}_{0}},\quad {\text{|}}\dot {R}(t){\text{|}} \leqslant {{R}_{1}},\quad {\text{|}}\ddot {R}(t){\text{|}} \leqslant {{R}_{2}},$

где здесь и далее $| \cdot |$ означает абсолютное значение числа, ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ – известные положительные константы.

2. Для входного и желаемого выходного напряжений выполняются неравенства:

(1.3)

${{U}_{0}} \leqslant U \leqslant {{U}_{1}},\quad {\text{|}}\dot {U}(t){\text{|}} \leqslant \bar {U},\quad {{x}_{{2d}}} < \frac{{{{U}_{0}}}}{{1 + \left( {r{\text{/}}{{R}_{0}}} \right)}},$

где ${{U}_{0}}$, ${{U}_{1}}$, $\bar {U}$ – известные положительные константы.

3. Помимо защиты от обратного тока имеется схема защиты, принудительно ограничивающая значение тока в катушке преобразователя, и для переменной ${{x}_{1}}(t)$ можно записать неравенство:

(1.4)

$0 \leqslant {{x}_{1}} \leqslant {{x}_{{1max}}}, \quad {{x}_{{1max}}} > \frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{{{R}_{0}}}}.$

В предположении, что переменная ${{x}_{2}}(t)$ доступна для измерения, в статье ставится задача стабилизации невязки (рассогласования) по выходному напряжению:

(1.5)

$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\text{|}}{{\bar {x}}_{2}}(t)| = 0, \quad {{\bar {x}}_{2}}(t) = {{x}_{2}}(t) - {{x}_{{2d}}}, $

где ${{\bar {x}}_{2}}(t)$ – невязка по напряжению, ${{x}_{{2d}}} = {\text{const}} > 0$ – желаемое значение выходного напряжения.

2. Синтез алгоритма управления. Параметры полупроводникового преобразователя выбираются таким образом, чтобы в системе (1.1) происходило разделение движений по скоростям сходимости. Так, ток в дросселе можно достаточно быстро изменить до нужных значений в отличие от величины выходного напряжения конденсатора, который является достаточно инертным элементом, предназначенным для фильтрации пульсаций выходного напряжения. В силу этих особенностей поставленная задача может быть решена соответствующим изменением тока в обмотке индуктивности. Необходимо отметить, что такой подход используется в связи с проблемой несогласованных возмущений [10].

Согласно (1.1), (1.5), можно записать уравнения системы относительно ошибок:

${{\dot {\bar {x}}}_{2}} = - \frac{{{{{\bar {x}}}_{2}}}}{{R(t)C}} + \frac{1}{C}{{x}_{1}} - \frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{R(t)C}},\quad {{\dot {x}}_{1}} = - \frac{r}{L}{{x}_{1}} - \frac{1}{L}{{\bar {x}}_{2}} - \frac{1}{L}{{x}_{{2d}}} + \frac{U}{L}u.$

Для дальнейшего синтеза закона управления рассмотрим новые координаты, в которых удобно исследовать процесс при максимальной нагрузке. Введем новую переменную ${{\bar {x}}_{1}}\, = \,\frac{1}{C}{{x}_{1}}\, - \,\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{R(t)C}}.$

Подставив ее в последнюю систему, получим следующие уравнения:

(2.1)

$\begin{gathered} {{{\dot {\bar {x}}}}_{2}} = - \frac{{{{{\bar {x}}}_{2}}}}{{R(t)C}} + {{{\bar {x}}}_{1}}, \\ {{{\dot {\bar {x}}}}_{1}} = - \frac{r}{L}{{{\bar {x}}}_{1}} - \frac{{{{{\bar {x}}}_{2}}}}{{LC}} - \left( {1 + \frac{r}{{{{R}_{0}}}}} \right)\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{LC}} + \frac{U}{{LC}}u + \xi (t), \\ \end{gathered} $

где

$\xi (t) = \left( {L\frac{{\dot {R}}}{{{{R}^{2}}(t)}} + \frac{r}{{{{R}_{0}}}} - \frac{r}{{R(t)}}} \right)\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{LC}}.$

Для реализации одного из вариантов “вихревого алгоритма” [11, 12] выбираем управляющий вход в виде разрывной функции:

(2.2)

$u = \frac{1}{2}\left[ {1 - {\text{sign }}{{{\bar {x}}}_{2}}} \right].$

Уравнения замкнутой системы, согласно (2.1), (2.2), имеют вид

(2.3)

Теорема. Пусть параметры преобразователя, нагрузки, входного и выходного напряжения выбраны так, что выполняются неравенства:

(2.4)

$\begin{gathered} {{M}^{ - }} - \left( {1 + \frac{1}{{\alpha {{R}_{0}}C}}} \right)\Sigma - \frac{{\overline \Sigma }}{\alpha } > 0, \\ {{M}^{ + }} - \frac{{\bar {U}}}{{\alpha LC}} - \left( {1 + \frac{1}{{\alpha {{R}_{0}}C}}} \right)\Sigma - \frac{{\overline \Sigma }}{\alpha } > 0, \\ \alpha > \frac{1}{{2\gamma {{R}_{0}}C}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }} - \gamma } \right),\quad \frac{1}{{LC}} - \frac{{{{r}^{2}}}}{{4{{L}^{2}}}} > 0. \\ \end{gathered} $

Здесь

$\begin{gathered} {{M}^{ - }} = \left( {1 + \frac{r}{{{{R}_{0}}}}} \right)\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{LC}},\quad {{M}^{ + }} = \frac{{{{U}_{0}}}}{{LC}} - \left( {1 + \frac{r}{{{{R}_{0}}}}} \right)\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{LC}},\quad \Sigma = \left( {L\frac{{{{R}_{1}}}}{{R_{0}^{2}}} + \frac{r}{{{{R}_{0}}}}} \right)\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{LC}}, \\ \overline \Sigma = \left( {L\frac{{{{R}_{2}} + 2R_{1}^{2}}}{{R_{0}^{3}}} + \frac{{{{R}_{1}}r}}{{R_{0}^{2}}}} \right)\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{LC}},\quad \alpha = \frac{r}{{2L}},\quad \gamma = \sqrt {\frac{1}{{LC}} - \frac{{{{r}^{2}}}}{{4{{L}^{2}}}}} . \\ \end{gathered} $

Тогда переменные замкнутой системы (2.3) асимптотически стремятся к нулю, что гарантирует решение поставленной задачи (1.5).

Доказательство. Введем замену переменных

(2.5)

${{y}_{1}} = \gamma \,{{\bar {x}}_{2}}, \quad {{y}_{2}} = \alpha \,{{\bar {x}}_{2}} + {{\bar {x}}_{1}},$

с помощью которой систему (2.3) можно представить как

(2.6)

$\begin{gathered} {{{\dot {y}}}_{1}} = - \left( {\frac{1}{{R(t)C}} + \alpha } \right){{y}_{1}} + \gamma {{y}_{2}}, \\ {{{\dot {y}}}_{2}} = - \left( {\gamma + \frac{\alpha }{{R(t)C\gamma }}} \right){{y}_{1}} - \alpha {{y}_{2}} - \left( {1 + \frac{r}{{{{R}_{0}}}}} \right)\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{LC}} + \frac{U}{{2LC}}[1 - {\text{sign}}({{y}_{1}})] + \xi (t). \\ \end{gathered} $

Используя выражения (1.2), (2.1), запишем ограничения для возмущения $\xi (t)$ и его производную:

${\text{|}}\xi (t){\text{|}} \leqslant \Sigma ,\quad {\text{|}}\dot {\xi }(t){\text{|}} \leqslant \bar {\Sigma }.$

Согласно условиям теоремы, ${{M}^{ + }} > \Sigma , \,{{M}^{ - }} > \Sigma \,$. Рассматривая уравнения замкнутой системы (2.6), получим фазовый портрет, изображенный на рис. 2. Каждой полуплоскости графика (справа и слева от вертикальной оси) соответствует разный знак переменной y₁. Необходимо отметить, что траектории системы не могут принадлежать многообразию ${{y}_{1}}(t) = 0$, так как на этой поверхности не выполняются условия существования скользящего режима [13, 14]. Обозначив t₀ в качестве начального момента времени, без ограничения общности в доказательстве приведем случай, когда ${{y}_{1}}({{t}_{0}}) > 0$. Учитывая, что точки разрыва правой части дифференциальных уравнений (2.6) принадлежат множеству нулевой меры, то его решение понимается в смысле Каратеодори [15].

Рис. 2.

Фазовый портрет замкнутой системы

Для анализа сходимости переменных замкнутой системы используется метод на основе функций Ляпунова совместно с анализом фазового портрета системы (2.6). Введем в рассмотрение моменты времени t_i, $i = \overline {1,{\kern 1pt} \infty } ,$ такие, что ${{y}_{1}}({{t}_{i}}) = 0$, а интервал между ними обозначим как ${{\Delta }_{i}}\, = \,{{t}_{{i + 1}}}\, - \,{{t}_{i}}$.

Рассмотрим сначала движение в первом и четвертом квадранте фазового портрета (см. рис. 2). Зададим положительную полуопределенную функцию

(2.7)

${{V}_{1}} = {{M}^{ - }}\frac{{{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}}}}{\gamma } - \frac{\xi }{\gamma }{{y}_{1}} + \frac{{y_{1}^{2}}}{2} + \frac{{y_{2}^{2}}}{2},\quad {{y}_{1}} > 0.$

Для ее производной можем записать следующие неравенства:

(2.8)

$\begin{gathered} {{{\dot {V}}}_{1}} = - \frac{{{{M}^{ - }}}}{\gamma }\left( {\alpha + \frac{1}{{R(t)C}}} \right){\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} - \left( {\alpha + \frac{1}{{R(t)C}}} \right)\frac{\xi }{\gamma }{{y}_{1}} - \frac{{\dot {\xi }}}{\gamma }{{y}_{1}} - \left[ {\left( {\alpha + \frac{1}{{R(t)C}}} \right)y_{1}^{2} + \frac{\alpha }{{R(t)C\gamma }}{{y}_{1}}{{y}_{2}}} \right] - \alpha y_{2}^{2} \leqslant \\ \, - \frac{{\alpha {{M}^{ - }}}}{\gamma }{\text{|}}{{y}_{{\text{1}}}}{\text{|}} + \left( {\alpha + \frac{1}{{{{R}_{0}}C}}} \right)\frac{\Sigma }{\gamma }{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} + \frac{{\bar {\Sigma }}}{\gamma }{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} - {{y}^{{\text{T}}}}Q(t)y \leqslant - {{{\bar {\alpha }}}_{1}}|{{y}_{1}}{\text{|}} - \frac{1}{{{{M}^{ - }}}}{{\lambda }_{{min{\kern 1pt} Q(t)}}}[y_{1}^{2} + y_{2}^{2}]{\kern 1pt} , \\ \end{gathered} $

где

${{\bar {\alpha }}_{1}} = \frac{\alpha }{\gamma }\left( {{{M}^{ - }} - \left( {1 + \frac{1}{{\alpha {{R}_{0}}C}}} \right)\Sigma - \frac{{\bar {\Sigma }}}{\alpha }} \right),\quad {{y}^{{\text{T}}}} = ({{y}_{1}}, {{y}_{2}}),\quad Q(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha + \frac{1}{{R(t)C}}}&{\frac{\alpha }{{2R(t)C\gamma }}} \\ {\frac{\alpha }{{2R(t)C\gamma }}}&\alpha \end{array}} \right),$

а ${{\lambda }_{{min{\kern 1pt} Q(t)}}}$ – минимальное собственное значение матрицы Q(t).

Выражение для минимального собственного значения матрицы Q(t) равно

${{\lambda }_{{min{\kern 1pt} Q(t)}}} = \alpha + \frac{1}{{2\gamma R(t)C}}(\gamma - \sqrt {{{\gamma }^{2}} + {{\alpha }^{2}}} ) = \alpha + \frac{1}{{2\gamma R(t)C}}\left( {\gamma - \frac{1}{{\sqrt {LC} }}} \right),$

а нижняя граница минимального собственного значения –

(2.9)

${{\lambda }_{{min{\kern 1pt} Q(t)}}} \geqslant \alpha - \frac{1}{{2\gamma {{R}_{0}}C}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }} - \gamma } \right) = {{\lambda }_{0}}.$

Согласно последнему из условий (2.4) теоремы и (2.9), гарантируется выполнение неравенства

${{\lambda }_{{min{\kern 1pt} Q(t)}}} = {{\lambda }_{0}} > 0$

при движении системы (2.6) в первом и четвертом квадрантах фазового портрета (см. рис. 2).

Согласно (2.7), выпишем следующее неравенство:

(2.10)

$\begin{array}{*{20}{l}} {{{V}_{1}} \leqslant {\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}}\frac{{{{M}^{ - }} + \Sigma }}{\gamma } + \frac{1}{2}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) \leqslant {{c}_{{01}}}({\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}),} \end{array}$

где

${{c}_{{01}}} = max\left\{ {\frac{{{{M}^{ - }} + \Sigma }}{\gamma },\frac{1}{2}} \right\}.$

Используя соотношения (2.9), (2.10), можно переписать (2.8) в виде:

(2.11)

$\begin{array}{*{20}{l}} {{{{\dot {V}}}_{1}} \leqslant - {{{\bar {\alpha }}}_{1}}{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} - {{\lambda }_{0}}[y_{1}^{2} + y_{2}^{2}] \leqslant - {{c}_{{11}}}({\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) \leqslant - {{\nu }_{1}}{{V}_{1}},} \end{array}$

где ${{\nu }_{1}} = \frac{{{{c}_{{11}}}}}{{{{c}_{{01}}}}}$, ${{c}_{{11}}} = min\left\{ {{{{\bar {\alpha }}}_{1}}, {{\lambda }_{0}}} \right\}$.

Для анализа движения во втором и третьем квадранте (см. рис. 2) рассмотрим положительную полуопределенную функцию

(2.12)

${{V}_{2}} = \bar {M}\frac{{{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}}}}{\gamma } - \frac{\xi }{\gamma }{{y}_{1}} + \frac{{y_{1}^{2}}}{2} + \frac{{y_{2}^{2}}}{2},\quad {{y}_{1}} < 0,$

где

$\bar {M} = \frac{U}{{LC}} - \left( {1 + \frac{r}{{{{R}_{0}}}}} \right)\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{LC}}.$

По аналогии, приводя случай ${{y}_{1}} < 0$, получим производную функции V₂ в силу системы с учетом (1.3), (2.9):

(2.13)

$\begin{gathered} {{{\dot {V}}}_{2}} = - \frac{{\bar {M}}}{\gamma }\left( {\alpha + \frac{1}{{R(t)C}}} \right){\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} - \bar {M}{{y}_{2}} + \frac{{\dot {U}}}{{LC\gamma }}{\text{|}}{{y}_{{\text{1}}}}{\text{|}} - \left( {\alpha + \frac{1}{{R(t)C}}} \right)\frac{\xi }{\gamma }{{y}_{1}} - {{y}_{2}}\xi - \frac{{\dot {\xi }}}{\gamma }{{y}_{1}} + \\ \, + {{y}_{1}}\left( { - \left( {\alpha + \frac{1}{{R(t)C}}} \right){{y}_{1}} + \gamma {{y}_{2}}} \right) + {{y}_{2}}\left( { - \left( {\gamma + \frac{\alpha }{{R(t)C\gamma }}} \right){{y}_{1}} - \alpha {{y}_{2}} + \bar {M} + \xi } \right) \leqslant - \frac{{{{M}^{ + }}}}{\gamma }\left( {\alpha + \frac{1}{{R(t)C}}} \right){\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} + \\ \, + \frac{{\bar {U}}}{{LC\gamma }}{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} + \left( {\alpha + \frac{1}{{{{R}_{0}}C}}} \right)\frac{\Sigma }{\gamma }{\text{|}}{{y}_{{\text{1}}}}{\text{|}} + \frac{{\bar {\Sigma }}}{\gamma }{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} - {{y}^{{\text{T}}}}Q(t)y \leqslant - {{{\bar {\alpha }}}_{2}}{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} - {{\lambda }_{0}}[y_{1}^{2} + y_{2}^{2}], \\ \end{gathered} $

где

${{\bar {\alpha }}_{2}} = \frac{\alpha }{\gamma }\left( {{{M}^{ + }} - \frac{{\bar {U}}}{{\alpha LC}} - \left( {1 + \frac{1}{{\alpha {{R}_{0}}C}}} \right)\Sigma - \frac{{\bar {\Sigma }}}{\alpha }} \right).$

Согласно (1.3), (2.12), для ${{V}_{2}}$ можем записать:

(2.14)

$\begin{array}{*{20}{l}} {{{V}_{2}} \leqslant \frac{{{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}}}}{\gamma }\left( {{{M}_{{\max }}} + \Sigma } \right) + \frac{1}{2}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) \leqslant {{c}_{{02}}}({\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}),} \end{array}$

где

${{M}_{{\max }}} = \frac{{{{U}_{1}}}}{{LC}} - \left( {1 + \frac{r}{{{{R}_{0}}}}} \right)\frac{{{{x}_{{2d}}}}}{{LC}},\quad {{c}_{{02}}} = max\left\{ {\frac{{{{M}_{{\max }}} + \Sigma }}{\gamma },\frac{1}{2}} \right\}.$

Используя выражения (2.15), соотношение (2.14) можно записать в виде

(2.15)

${{\dot {V}}_{2}} \leqslant - {{\bar {\alpha }}_{2}}{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} - {{\lambda }_{0}}[y_{1}^{2} + y_{2}^{2}] \leqslant - {{c}_{{12}}}({\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} + y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) \leqslant - {{\nu }_{2}}{{V}_{2}},$

где

${{\nu }_{2}} = \frac{{{{c}_{{12}}}}}{{{{c}_{{02}}}}},\quad {{c}_{{12}}} = min\left\{ {{{{\bar {\alpha }}}_{2}}, {{\lambda }_{0}}} \right\}.$

Рассматривая фазовый портрет (см. рис. 2), с помощью (2.10)–(2.11), (2.14)–(2.15) получим следующие оценки:

${{V}_{1}}({{t}_{1}}) = \frac{{y_{2}^{2}({{t}_{1}})}}{2} \leqslant {{V}_{1}}({{t}_{0}}){{e}^{{ - {{\nu }_{1}}{{\Delta }_{0}}}}} \leqslant {{c}_{0}}[{\text{|}}{{y}_{1}}({{t}_{0}}){\text{|}} + y_{1}^{2}({{t}_{0}}) + y_{2}^{2}({{t}_{0}})]{{e}^{{ - {{\nu }_{1}}{{\Delta }_{0}}}}} \Rightarrow y_{2}^{2}({{t}_{1}}) \leqslant {{Y}_{0}}{{e}^{{ - \nu {{\Delta }_{0}}}}},$

где ${{c}_{0}} = max\left\{ {{{c}_{{01}}},{\kern 1pt} {{c}_{{02}}}} \right\} = {{c}_{{02}}}$, $\nu = min\left\{ {{{\nu }_{1}},{\kern 1pt} {{\nu }_{2}}} \right\}$, ${{\Delta }_{0}} = {{t}_{1}} - {{t}_{0}}$, ${{Y}_{0}} = 2{{с}_{0}}\,{\text{|}}{{y}_{1}}({{t}_{0}}){\text{|}} + y_{1}^{2}({{t}_{0}}) + y_{2}^{2}({{t}_{0}})$.

После исследования фазового портрета во втором квадранте с помощью функции ${{V}_{2}}(t)$ из (2.12), (2.15) запишем мажоранту:

${{V}_{2}}({{t}_{2}}) = \frac{{y_{2}^{2}({{t}_{2}})}}{2} \leqslant {{V}_{2}}({{t}_{1}}){{e}^{{ - {{\nu }_{2}}{{\Delta }_{1}}}}} \leqslant \frac{{y_{2}^{2}({{t}_{1}})}}{2}{{e}^{{ - \nu {{\Delta }_{1}}}}} \Rightarrow y_{2}^{2}({{t}_{2}}) \leqslant y_{2}^{2}({{t}_{1}}){{e}^{{ - \nu {{\Delta }_{1}}}}} \leqslant {{Y}_{0}}{{e}^{{ - \nu \left( {{{\Delta }_{0}} + {{\Delta }_{1}}} \right)}}}.$

Зададим неравенство по аналогии в некоторый момент времени ${{t}_{i}}$:

$y_{2}^{2}({{t}_{i}}) \leqslant {{Y}_{0}}{{e}^{{ - \nu \sum\limits_{k = 0}^{i - 1} {{{\Delta }_{k}}} }}}.$

Учитывая колебательный характер переходного процесса и последнее соотношение, можно сделать вывод, что переменная ${{y}_{2}}(t)$ ограничена мажорантой

(2.16)

${\text{|}}{{y}_{2}}(t){\text{|}} \leqslant \sqrt {{{Y}_{0}}} {{e}^{{ - \frac{\nu }{2}(t - {{t}_{0}})}}}, \quad t \geqslant {{t}_{0}}.$

Очевидно, что колебания переменной ${\text{|}}{{y}_{1}}(t){\text{|}}$ достигают максимума при условии ${{\dot {y}}_{1}}(t) = 0$ в моменты времени t, для которых

${{y}_{1}}(t) = \gamma {{\left( {\frac{1}{{R(t)C}} + \alpha } \right)}^{{ - 1}}}{\kern 1pt} {{y}_{2}}(t).$

Пусть это равенство выполняется в моменты времени $t_{i}^{'} ({{t}_{i}} < t_{1}^{'} < {{t}_{{i + 1}}})$ (см. рис. 2). Тогда для значения ${{y}_{1}}(t_{i}^{'})$ с учетом (1.2) справедливы оценки:

${\text{|}}{{y}_{1}}(t_{i}^{'}){\text{|}} \leqslant \frac{\gamma }{\alpha }{\text{|}}{{y}_{2}}({{t}_{i}}){\text{|}}\,.$

Таким образом, с учетом выражения (2.16) амплитуда колебаний (максимумы) переменной ${\text{|}}{{y}_{1}}(t){\text{|}}$ затухают экспоненциально, а переменные системы (2.6) стремятся к нулю со временем, стремящимся к бесконечности:

$\mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to \infty } {\text{|}}{{y}_{2}}(t){\text{|}} = 0,\quad \mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to \infty } {\text{|}}{{y}_{1}}(t){\text{|}} = 0.$

Из последних соотношений и выражений (2.5) следует

$\mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to \infty } {\text{|}}{{\bar {x}}_{2}}(t){\text{|}} = 0.$

Теорема доказана.

Отметим, что переходный процесс для замкнутой системы (2.3) может происходить, в общем случае, при отрицательных значениях тока x₁ через индуктор. Модель системы не учитывает физические ограничения, которые были предусмотрены в предположении (1.4). В соответствии с этими ограничениями в переходном процессе ток будет ограничен определенным диапазоном, который задается при проектировании. Однако даже если траектории системы дойдут до указанных ограничений, через некоторый промежуток времени они попадут в область, где справедливо приведенное выше доказательство. Кривая переходного процесса в реальном устройстве в этом случае будет другой, и фазовый портрет, показанный на рис. 2, будет “обрезан” по величинам, входящим в неравенство (1.4).

3. Численное моделирование. Рассмотрим результаты моделирования для следующих параметров полупроводникового преобразователя: L = 2 × 10^–5, Гн, C = 3 × 10^–4, Ф, r = 0.2, Ом. Входное напряжение и ограничения для него, согласно (1.3), равны

$U(t) = 90 + 10\cos (10t),\quad {\text{В,}}\quad {{U}_{0}} = 80,\quad {\text{В,}}\quad {{U}_{1}} = 100,\quad {\text{В,}}\quad \bar {U} = 100,\quad ~{\text{В/с}}{\text{.}}$

Значение желаемого выходного напряжения x_2d = 63, В. Неизвестная нагрузка моделируется периодической функцией

$R(t) = 6 - 4\sin (100t),\;{\text{Ом}}.$

Согласно постановке задачи, для этой неизвестной функции известны только ограничения, указанные в (1.2). Проведя несложные вычисления, можно получить

(3.1)

${{R}_{0}} = 2,\;{\text{Ом,}}\quad {{R}_{1}} = 400,\;{\text{Ом/с,}}\quad {{R}_{2}} = 4 \times {{10}^{4}},\;{\text{Ом/}}{{{\text{с}}}^{{\text{2}}}}.$

Для численного моделирования согласно неравенству (1.4) были выбраны следующие физические ограничения на ток: 0 ≤ x₁ ≤ 35, A. Рассчитывая приведенные в теореме значения в соответствии с параметрами преобразователя и функцией нагрузки (3.1), можно получить следующие константы:

$\begin{gathered} {{M}^{ - }} = 1.155 \times {{10}^{{10}}},\;{\text{В/(Гн}} \cdot {\text{Ф),}}\quad {{M}^{ + }} = 1.783 \times {{10}^{9}},\;{\text{В/(Гн}} \cdot {\text{Ф),}}\quad \Sigma = 1.071 \times {{10}^{9}},\;{\text{В/(Гн}} \cdot {\text{Ф),}} \\ \overline \Sigma = 1.155 \times {{10}^{{10}}},\;{\text{В/(Гн}} \cdot {\text{Ф}} \cdot {\text{с),}}\quad \gamma = 1.19 \times {{10}^{4}},\;{\text{рад/с,}}\quad \alpha = 5 \times {{10}^{3}},\;{{{\text{с}}}^{{ - {\text{1}}}}}. \\ \end{gathered} $

Справедливость параметров закона управления согласно условиям теоремы, можно проверить следующими вычислениями:

$\begin{gathered} {{M}^{ - }} - \left( {1 + \frac{1}{{\alpha {{R}_{0}}C}}} \right)\Sigma - \frac{{\overline \Sigma }}{\alpha } = {{10}^{{10}}},\;{\text{В/(Гн}} \cdot {\text{Ф)}}, \\ {{M}^{ + }} - \frac{{\bar {U}}}{{\alpha LC}} - \left( {1 + \frac{1}{{\alpha {{R}_{0}}C}}} \right)\Sigma - \frac{{\overline \Sigma }}{\alpha } = 3.077 \times {{10}^{8}},\;{\text{В/(Гн}} \cdot {\text{Ф)}}, \\ \alpha > \frac{1}{{2\gamma {{R}_{0}}C}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {LC} }} - \gamma } \right) = 70.54,\;{{{\text{с}}}^{{ - {\text{1}}}}},\quad \frac{1}{{LC}} - \frac{{{{r}^{2}}}}{{4{{L}^{2}}}} = 1.42 \times {{10}^{8}}\;{\text{ра}}{{{\text{д}}}^{{\text{2}}}}{\text{/}}{{{\text{с}}}^{{\text{2}}}} > 0. \\ \end{gathered} $

Для демонстрации медленной составляющей закона управления (2.2), соответствующей скважности переключающего элемента [1], вводится новая переменная, фактически являющаяся выходом фильтра нижних частот:

$\mu \dot {\tau } = - \tau + u(t),$

где $\mu $ – постоянная времени фильтра.

На рис. 3, 4 представлены результаты моделирования разработанного закона управления в среде MATLAB/Simulink. В первом эксперименте для численного интегрирования используется метод Дормана-Принса (ode5) с фиксированным шагом интегрирования t_s = 10^–7, с.

Рис. 3.

Результаты моделирования первого эксперимента

Рис. 4.

Переходная характеристика системы

Во втором эксперименте, результаты которого приведены на рис. 5, 6 , используется несколько шагов интегрирования:

${{t}_{s}} = {{10}^{{--6}}},{\text{c,}}\quad {{t}_{s}} = {{10}^{{--7}}},{\text{c}}\quad {\text{и}}\quad {{t}_{s}} = {{10}^{{--8}}},{\text{c}}.$

Рис. 5.

Установившаяся ошибка на различных шагах интегрирования

Рис. 6.

Графики тока на различных шагах интегрирования

Следствием доказанного теоретического результата является то, что частота переключения управляющего входа со временем стремится к бесконечности. На практике частота коммутации ограничена, что приводит к установившейся ошибке управления. Из рис. 5, 6 видно, что эта ошибка зависит от частоты коммутации (шага интегрирования): чем выше частота, тем меньше ошибка и наоборот. Такие ограничения необходимо учитывать при реализации описанного подхода на практике, однако этот вопрос требует дальнейшего изучения и в данной статье этот случай не рассматривается.

Заключение. Изучен новый алгоритм управления полупроводниковым понижающим преобразователем. В предположении, что функция нагрузки может быть описана непрерывной ограниченной функцией с двумя ограниченными первыми производными, решалась задача стабилизации заданного выходного напряжения. Для практической реализации разработанного алгоритма в дальнейших исследованиях необходимо изучить адаптацию полученного закона управления для работы с преобразователями с широтно-импульсной модуляцией.

Работоспособность предложенного алгоритма подтверждена как аналитически, так и с помощью моделирования в среде MATLAB–Simulink.

Список литературы

Ромаш Э.М., Драбович Ю.И., Юрченко Н.Н., Шевченко П.Н. Высокочастотные транзисторные преобразователи. М.: Радио и связь, 1988, 288 с.

Shtessel Y.B., Zinober A., Shkolnikov I. Sliding Mode Control of Boost and Buck-boost Power Converters Using Method of Stable System Center // Automatica. 2003. V. 39. № 6. P. 1061–1067.

Olm J., Ros-Oton X., Shtessel Y. Stable Inversion of Abel Equations: Application to Tracking Control in DC–DC Non-minimum Phase Boost Converters // Automatica. 2011. V. 47. № 1. P. 221–226.

Stefanutti W., Mattavelli P., Saggini S., Ghioni M. Autotuning of Digitally Controlled DC-DC Converters Based on Relay Feedback // IEEE Transactions on Power Electronics. 2007. V. 22. № 1. P. 199–207.

Kapat S. Improved Time Optimal Control of a Buck Converter Based on Capacitor Current, // IEEE Trans. Power Electron. 2012. № 3 (27). P. 1444–1454.

Kim B., Jrvenhaara J.K. A Rapid Switch Bridge Selection Method for Fully Integrated DC-DC Buck Converters // IEEE Transactions on Power Electronics. 2015. V. 30. № 8. P. 4048–4051.

Giaouris D., Banerjee S., Zahawi B., Pickert P. Stability Analysis of the Continuous-conduction-mode Buck Converter Cia Filippov’s Method // IEEE Transactions on Circuits and Systems. 2008. V. 55. № 4. P. 1084–1096.

Utkin V.A. Invariance and Independence in Systems with Separable Motion // Automation and Remote Control. 2001. V. 62. № 11. P. 1825–1843.

Демирчан К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Т. 1. 4-е изд. СПб.: Питер, 2004. 463 с.

Wonham W.M. Linear Multivariable Control: A Geometric Approach. N.-Y.: Springer Verlag, 1974.

Kochetkov S.A., Utkin V.A. Invariance in Systems with Unmatched Perturbations // Automation and Remote Control. 2013. V. 74. № 7. P. 1097–1127.

Kochetkov S.A., Utkin V.A. Providing the Invariance Property on the Basis on Oscillation Modes // Doklady Mathematics. 2013. V. 88. № 2. P. 618–623.

Utkin V.I. Sliding Mode Control in Electromechanical Systems. London: Tailor and Francis, 2009. 328 p.

Sabanovic A., Sabanovic N., Ohnishi K. Sliding Mode in Power Converters and Motion Control Systems // Intern. J. Control. 1993. V. 57. № 5. P. 1237–1259.

Filippov A.F. Differential Equations with Discontinuous Right Hand Sides. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1988.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Теория и системы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал