Теоретические основы химической технологии, 2020, T. 54, № 1, стр. 91-96
Оценка технологических показателей непрерывного процесса ферментативного получения молочной кислоты. Оптимальные условия
Ю. Л. Гордеева a, *, А. Г. Бородкин b, Е. Л. Гордеева b
a Московская государственная академия ветеринарной медицины и биотехнологии им. К.И. Скрябина
Москва, Россия
b Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева
Москва, Россия
* E-mail: l.s.gordeev@yandex.ru
Поступила в редакцию 05.03.2019
После доработки 03.09.2019
Принята к публикации 30.09.2019
Аннотация
Получены соотношения и приведен алгоритм расчета технологических показателей процесса получения молочной кислоты – концентрации основного субстрата, поступающего в ферментер (S0, г/л), концентрации компонента сырья, воспроизводящего субстрат в процессе ферментации (M0, г/л) и величины протока (D, ч–1), обеспечивающих оптимальные условия в непрерывном режиме. В качестве критерия оптимальности использовался показатель продуктивности по молочной кислоте QP, г/(л ч). В основу расчетов положены уравнения обобщенной математической модели, включающие материальный баланс по биомассе, субстрату, продукту, побочному продукту и компоненту сырья, воспроизводящего субстрат. Удельная скорость роста учитывает максимальное значение по биомассе Xmax, г/л и максимальное значение по продукту Pmax, г/л. Получено уравнение оценки максимального значения продуктивности max QP и соответствующего значения протока Dopt, решение которого использовано для оценки показателей процесса в потоке, покидающем ферментер – X, г/л; S, г/л; P, г/л; B, г/л. Результат расчета позволил оценить количество субстрата, обеспечивающего оптимальный режим. Выявлена особенность процесса и получено выражение, показывающее, что для реализации оптимального режима возможен выбор значения технологических показателей $S_{0}^{{{\text{opt}}}}$ и $M_{0}^{{{\text{opt}}}}$. Определена область значений, допускающих указанный выбор, т.е. область множественности. Получена оценка эффективности использования субстрата, определяющая количество субстрата, идущего на образование биомассы как компонента, синтезирующего продукт. Приведены численные расчеты с использованием базовых значений констант уравнений для математической модели, сформированные по литературным исследованиям при решении частных задач. Рекомендовано использовать полученные результаты исследования для формирования практической технологии и выбора штамма микроорганизмов.
ВВЕДЕНИЕ
Молочная кислота является одним из наиболее востребованных продуктов микробиологического синтеза [1–5]. Научные публикации, посвященные ферментативному синтезу, изучение штаммов, продуцирующих молочную кислоту, и отдельные технологические разработки сформировали математические модели, позволяющие прогнозировать основные показатели технологического синтеза [6, 7].
При этом анализ математических моделей [8–12] показал, что для решения одной и той же технологической задачи может существовать несколько альтернативных вариантов ее реализации. Поэтому выбор того или иного варианта требует учета ряда факторов или показателей, определяющих возможные существующие ограничения как по сырьевым источникам, так и по показателям, учитывающим затраты на выделение целевого продукта, очистку и выделение непревращенных компонентов сырья, выделение побочных продуктов. Наиболее полно подобный учет можно выполнить, базируясь на обобщенной математической модели, отражающей и учитывающей большинство частных технологических вариантов [13].
Технологические условия ферментации представлены следующим образом. Процесс осуществляется в аппарате с перемешиванием объемом заполнения V (м3). В аппарат непрерывно подается гомогенный поток объемной скоростью $v$ (м3/ч), содержащий основной компонент синтеза – субстрат с концентрацией S0 и компонент сырья, воспроизводящий дополнительное количество субстрата в процессе синтеза – концентрации компонента M0.
В процессе синтеза аппарат непрерывно покидает поток, содержащий продукт синтеза концентрацией P, микроорганизмы концентрацией X, непревращенный субстрат концентрацией S, побочный продукт концентрацией B, непревращенный компонент сырья концентрацией M. Побочный продукт включает совокупность отходов синтеза, в том числе и возможные ценные компоненты.
Процесс проводится при постоянной температуре, соответствующей развитию конкретного штамма, воспроизводящего продукт P.
Таким образом, технологическими показателями, обеспечивающими условия синтеза, являются: величина протока D (D = V/$v$); концентрации S0 и М0.
Так как целевым продуктом является молочная кислота, основное требование к технологической организации процесса – обеспечение высокой продуктивности по целевому продукту. Величина продуктивности оценивается по показателю QP:
В зависимости от величины продуктивности могут получаться различные количества побочных продуктов остаточного субстрата, биомассы, остаточного компонента, воспроизводящего субстрат. Эти количества могут определить последующую технологию (разделение, выделение, извлечение и т.д.). Эта часть в данной работе не рассматривается.
ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Система уравнений обобщенной математической модели имеет следующий вид:
(5)
$D\left( {{{S}_{0}} - S} \right) - \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\mu X + {{k}_{M}}M = 0,$(7)
$\begin{gathered} \mu = {{\mu }_{{{\text{max}}}}}{{\left( {1 - \frac{X}{{{{X}_{{{\text{max}}}}}}}} \right)}^{{{{n}_{1}}}}}{{\left( {1 - \frac{P}{{{{P}_{{{\text{max}}}}}}}} \right)}^{{{{n}_{2}}}}} \times \\ \times \,\,\frac{S}{{{{K}_{m}} + S + {{{{S}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{S}^{2}}} {{{K}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{K}_{i}}}}}}. \\ \end{gathered} $Соотношение (7) преобразуем следующим образом. Используя (2), получаем уравнение
(8)
$\frac{D}{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}} = A\left( D \right)\frac{{{{K}_{i}}S}}{{{{K}_{m}}{{K}_{i}} + {{K}_{i}}S + {{S}^{2}}}},$(9)
$A\left( D \right) = {{\left( {1 - \frac{X}{{{{X}_{{{\text{max}}}}}}}} \right)}^{{{{n}_{1}}}}}{{\left( {1 - \frac{P}{{{{P}_{{{\text{max}}}}}}}} \right)}^{{{{n}_{2}}}}}.$В (9), используя (1) и (3), получим
(10)
$A\left( D \right) = {{\left( {1 - \frac{{{{Q}_{P}}}}{{{{X}_{{{\text{max}}}}}\left( {\alpha D + \beta } \right)}}} \right)}^{{{{n}_{1}}}}}{{\left( {1 - \frac{{{{Q}_{P}}}}{{{{P}_{{{\text{max}}}}}D}}} \right)}^{{{{n}_{2}}}}}.$Отметим, что для всех значений констант в опубликованных работах [1–5] выполняется неравенство
Решение уравнения (8) получаем в виде
(12)
$\begin{gathered} S = \frac{{{{K}_{i}}}}{2}\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right] \pm \\ \pm \,\,\sqrt {{{{\left( {\frac{{{{K}_{i}}}}{2}} \right)}}^{2}}{{{\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right]}}^{2}} - {{K}_{m}}{{K}_{i}}} . \\ \end{gathered} $Ограничением в (12) является условие
(13)
${{\left( {\frac{{{{K}_{i}}}}{2}} \right)}^{2}}{{\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right]}^{2}} - {{K}_{m}}{{K}_{i}} \geqslant 0.$Значение S с использованием (1), (3), (5) и (6):
(14)
$S = {{S}_{0}} + \frac{{{{k}_{M}}{{M}_{0}}}}{{D + {{k}_{M}}}} - \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha D + \beta } \right)}}.$В соотношении (14) выделим слагаемые, включающие технологические показатели S0 и M0:
Уравнение (12) с учетом (14) и (15) примет вид
(16)
$\begin{gathered} S{\kern 1pt} ' = \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha D + \beta } \right)}} + \frac{{{{K}_{i}}}}{2}\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right] \pm \\ \pm \,\,\sqrt {{{{\left( {\frac{{{{K}_{i}}}}{2}} \right)}}^{2}}{{{\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right]}}^{2}} - {{K}_{m}}{{K}_{i}}} \\ \end{gathered} $или
(17)
$\begin{gathered} S_{1}^{'} = \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha D + \beta } \right)}} + \frac{{{{K}_{i}}}}{2}\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right] + \\ + \,\,\sqrt {{{{\left( {\frac{{{{K}_{i}}}}{2}} \right)}}^{2}}{{{\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right]}}^{2}} - {{K}_{m}}{{K}_{i}}} , \\ \end{gathered} $(18)
$\begin{gathered} S_{2}^{'} = \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha D + \beta } \right)}} + \frac{{{{K}_{i}}}}{2}\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right] - \\ - \,\,\sqrt {{{{\left( {\frac{{{{K}_{i}}}}{2}} \right)}}^{2}}{{{\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right]}}^{2}} - {{K}_{m}}{{K}_{i}}} . \\ \end{gathered} $Полученные соотношения вместе с (1)–(7) используются для получения оценок технологических показателей, обеспечивающих реализацию процесса синтеза молочной кислоты.
ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
В технологические показатели для условий оптимальности входят три определяющие величины: $S_{0}^{{{\text{opt}}}}$; $M_{0}^{{{\text{opt}}}}$ и ${{D}^{{{\text{opt}}}}}$.
Вычислим верхнюю оценку для величины D: D = Dпред, где Dпред – величина протока, при котором синтез “не успевает” произойти.
В этом случае имеем: X = 0.0; P = 0.0; B = 0.0; QP = 0.0.
Значение S для Dпред по (14) и (15) будет
(19)
${\text{S}} = S{\kern 1pt} ' = {{{\text{S}}}_{{\text{0}}}} + \frac{{{{k}_{M}}{{M}_{0}}}}{{{{D}_{{{\text{пред}}}}} + {{k}_{M}}}}.$С учетом (7) и (2) запишем
(20)
${{D}_{{{\text{пред}}}}} = {{\mu }_{{{\text{max}}}}}\frac{{{{K}_{i}}S}}{{{{K}_{m}}{{K}_{i}} + {{K}_{i}}S + {{S}^{2}}}},$Вычисляется максимальное значение Dпред – ‒ $D_{{{\text{пред}}}}^{{{\text{max}}}}$ по S, используя необходимое условие экстремума функции одной переменной:
(21)
$\frac{{d{{D}_{{{\text{пред}}}}}}}{{dS}} = \frac{d}{{dS}}\left( {{{\mu }_{{{\text{max}}}}}\frac{{{{K}_{i}}S}}{{{{K}_{m}}{{K}_{i}} + {{K}_{i}}S + {{S}^{2}}}}} \right) = 0.$Откуда получаем
(22)
${{D}_{{{\text{пред}}}}} = \frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{{2{{{\left( {\frac{{{{K}_{m}}}}{{{{K}_{i}}}}} \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1}}.$Величина $D_{{{\text{пред}}}}^{{{\text{max}}}}$ определяется только константами µmax, Km и Ki.
Далее условие равенства в (13) формируется соотношением двух величин QP и D. Последнее дает возможность вычислить maxQP и соответствующее ему значение $D_{{{\text{max}}}}^{{{\text{opt}}}}$.
Для вычисления maxQP и Dopt решается задача максимизации QP по D, используя уравнение
(23)
${{\left( {\frac{{{{K}_{i}}}}{2}} \right)}^{2}}{{\left[ {A\left( D \right)\frac{{{{\mu }_{{{\text{max}}}}}}}{D} - 1} \right]}^{2}} - {{K}_{m}}{{K}_{i}} = 0.$Численное решение задачи оптимизации дает maxQP и Dopt.
Для оптимальных условий (16) и (23) получаем
(24)
$S_{{{\text{opt}}}}^{'} = \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha {{D}^{{{\text{opt}}}}} + \beta } \right)}} + {{\left( {{{K}_{m}}{{K}_{i}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$Значение S при оптимальных условиях по (12) и (23) будет
(25)
${{S}^{{{\text{opt}}}}} = {{\left( {{{K}_{m}}{{K}_{i}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$Значение $S_{{{\text{opt}}}}^{'}$ с учетом (15) запишем как
(26)
$S_{{{\text{opt}}}}^{'} = S_{0}^{{{\text{opt}}}} + \frac{{{{k}_{M}}M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}}}{{{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{k}_{M}}}}.$Используя (24) и (26), получаем
(27)
$S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} + \frac{{{{k}_{M}}M_{0}^{{{\text{opt}}}}}}{{{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{k}_{M}}}} = \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha {{D}^{{{\text{opt}}}}} + \beta } \right)}} + {{\left( {{{K}_{m}}{{K}_{i}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$По значениям $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}},$ $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}},$ ${{D}^{{{\text{opt}}}}}$, maxQP вычисляются показатели процесса:
(28)
${{P}^{{{\text{opt}}}}} = \frac{{{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{{{D}^{{{\text{opt}}}}}}}\,\,\,\,{\text{по}}\,\,(1),$(29)
${{X}^{{{\text{opt}}}}} = \frac{{{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{\alpha {{D}^{{{\text{opt}}}}} + \beta }}\,\,\,\,{\text{по}}\,\,(3),$(30)
${{B}^{{{\text{opt}}}}} = \frac{{\left( {{{\alpha }_{B}}{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{\beta }_{B}}} \right){{X}^{{{\text{opt}}}}}}}{{{{D}^{{{\text{opt}}}}}}}\,\,\,\,{\text{по}}\,\,(4),$(31)
${{S}^{{{\text{opt}}}}} = {{\left( {{{K}_{m}}{{K}_{i}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\,\,\,\,{\text{по}}\,\,(25),$(32)
${{M}^{{{\text{opt}}}}} = \frac{{{{D}^{{{\text{opt}}}}}M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}}}{{{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{k}_{M}}}}\,\,\,\,{\text{по}}\,\,(6).$Получены соотношения для оценок показателей процесса при оптимальных условиях.
Уравнение (27) дает возможность подбора различных значений $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ и $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$, обеспечивающих равенство (27).
Выбор значений $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ и $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ограничен условиями:
при $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 0$ максимальное значение $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ будет
(33)
$\begin{gathered} {\text{max}}M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = \frac{{{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{k}_{M}}}}{{{{k}_{M}}}} \times \\ \times \,\,\left[ {{{{\left( {{{K}_{m}}{{K}_{i}}} \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha {{D}^{{{\text{opt}}}}} + \beta } \right)}}} \right]; \\ \end{gathered} $при $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 0$ максимальное значение $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ будет
(34)
${\text{max}}S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = {{\left( {{{K}_{m}}{{K}_{i}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha {{D}^{{{\text{opt}}}}} + \beta } \right)}}.$ВЫЧИСЛЕНИЕ ОЦЕНОК ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Как отмечалось ранее, к технологическим показателям относятся три величины: начальная концентрация основного субстрата $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$; начальная концентрация компонента сырья, воспроизводящего основной субстрат в процессе синтеза $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$; оптимальная величина протока ${{D}^{{{\text{opt}}}}}$. По $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$, $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ и ${{D}^{{{\text{opt}}}}}$ вычисляются остальные показатели процесса (28)–(32).
Последовательность вычислений приведена в табл. 1.
Таблица 1.
Блок-схема последовательности вычислений
| 1 | Ввод значений констант уравнений (2)–(7) |
| 2 | Вычисление максимального значения предельной величины протока $D_{{{\text{пред}}}}^{{{\text{max}}}}$ по (22) |
| 3 | Вычисление максимального значения продуктивности maxQP и величины Dopt по (23) |
| 4 | Вычисление показателей процесса при оптимальных условиях: Xopt по (3); Sopt по (31); Bopt по (4); Popt по (1) |
| 5 | Вычисление $S_{{{\text{opt}}}}^{'}$ для оптимальных условий по (24) |
| 6 | Вычисление оценки ограничений для оптимальных значений $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ по (33) и $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ по (34) |
| 7 | Выбор пользователем оценки для технологических показателей $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ и $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ по (26), используя $S_{{{\text{opt}}}}^{'}$ из блока 5. Вычисление $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$по (32) |
| 8 | Вывод результатов: maxQP; Dopt; $D_{{{\text{пред}}}}^{{{\text{max}}}}$; Xopt; Sopt; Bopt; Popt; Mopt;$S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$;$M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ |
Ниже приведены комментарии к блок-схеме с результатами вычислений для базового варианта численных значений констант.
Блок 1. В блок 1 заносится информация по константам уравнений системы (2)–(7). Информация представлена в табл. 2 численными значениями констант “базового варианта”. Получить информацию по константам для реальных условий организации процесса можно в результате экспериментального изучения конкретного штамма микроорганизмов.
Таблица 2.
Численные значения констант для базового варианта
| Km, г/л | Ki, г/л | µmax, ч–1 | Xmax, г/л | Pmax, г/л | n1 | n2 | YX/S, г/г | kM, ч–1 | α, г/г | β, ч–1 | αB, г/г | βB, ч–1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.2 | 164 | 0.48 | 30 | 98.0 | 0.5 | 0.5 | 0.4 | 0.035 | 2.2 | 0.02 | 1.1 | 0.01 |
Блок 2. В блоке 2 вычисляется максимальное предельное значение протока $D_{{{\text{пред}}}}^{{{\text{max}}}}$ по соотношению (22). Для констант базового варианта получили $D_{{{\text{пред}}}}^{{{\text{max}}}} = 0.41$ ч–1.
Блок 3. Вычисляется максимальное значение продуктивности maxQP и соответствующее ему значение величины протока Dopt.
Вычисление этих показателей осуществляется численным решением задачи поиска maxQP по D из уравнения (23), где A(D) вычисляется по формуле (10). Численный расчет дал следующие значения: maxQP = 8.1718 г/(л ч); D = Dopt = 0.205 ч–1. Получили два показателя, определяющие оптимальные условия.
Блок 4. Вычисляются показатели процесса при оптимальных условиях, т.е. при maxQP и Dopt: Xopt по (3); Sopt по (31); Popt по (1); Bopt по (4). Получили: Xopt = 17.35 г/л; Sopt = 14.03 г/л; Popt = 39.86 г/л; Bopt = 19.93 г/л.
Блок 5. Вычисляется $S_{{{\text{opt}}}}^{'}$ по (24). Получили $S_{{{\text{opt}}}}^{'} = 57.404$ г/л.
Блок 6. В блоке 6 вычисляются $1$предельные значения $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ и $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$для оптимальных условий с использованием соотношений (33) и (34):
по (33): ${\text{max}}M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 393.62$ г/л;
по (34): ${\text{max}}S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 57.4$ г/л.
Блок 7. В блоке 7 пользователь выбирает оценки для $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ и $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ по (26); вычисляется Mopt по (32). Для расчета выбраны три значения $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$:
1) $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 10$ г/л; $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 325.05$ г/л; Mopt = = 277.65 г/л;
2) $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 30$ г/л; $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 187.91$ г/л; Mopt = = 160.50 г/л;
3) $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 50$ г/л; $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 50.76$ г/л; Mopt = 43.36 г/л.
Блок 8. Вывод результатов: maxQP = 8.1718 г/(л ч); Dopt = 0.205 ч–1; $D_{{{\text{пред}}}}^{{{\text{max}}}} = 0.41$ ч–1; Xopt = 17.35 г/л; Sopt = 14.03 г/л; Popt = 39.86 г/л; Bopt = 19.93 г/л; значения $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$, $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$, ${{M}^{{{\text{opt}}}}}$ по блоку 7. Расчет закончен.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение отметим следующее. Оптимальные условия процесса могут быть реализованы множеством начальных значений S0 и M0 по (26), хотя выбор этих значений ограничен в соответствии с (33) и (34).
Далее, численные значения переменных, характеризующих технологию, не зависят от выбранных начальных значений S0 и M0 для показателей (28)–(31) и только значение Mopt зависит от выбранного $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ и, следовательно, от выбранного $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$, соответствующему значению $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$.
Вычислим количество субстрата, обеспечивающего оптимальные условия.
Вводимый субстрат в соответствии с (5) составляет величину
или с учетом (6):
(35)
${{D}^{{{\text{opt}}}}}S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} + {{k}_{M}}\frac{{{{D}^{{{\text{opt}}}}}M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}}}{{{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{k}_{M}}}}.$Значение $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ по (27) будет
(36)
$S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = \frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha {{D}^{{{\text{opt}}}}} + \beta } \right)}} + {{\left( {{{K}_{m}}{{K}_{i}}} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} - \frac{{{{k}_{M}}M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}}}{{{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{k}_{M}}}}.$Подставляя $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ в (35), получаем
(37)
$\begin{gathered} {{D}^{{{\text{opt}}}}}\left[ {\frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha {{D}^{{{\text{opt}}}}} + \beta } \right)}} + {{{\left( {{{K}_{m}}{{K}_{i}}} \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} - \frac{{{{k}_{M}}M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}}}{{{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{k}_{M}}}}} \right] + \\ + \,\,{{D}^{{{\text{opt}}}}}\frac{{{{k}_{M}}M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}}}{{{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{k}_{M}}}} = \\ = {{D}^{{{\text{opt}}}}}\left[ {\frac{1}{{{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}}\frac{{{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{\left( {\alpha {{D}^{{{\text{opt}}}}} + \beta } \right)}} + {{{\left( {{{K}_{m}}{{K}_{i}}} \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \right] = G, \\ \end{gathered} $Величина G не зависит от численных значений $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ и $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$, отвечающих условию (26).
Численное значение G для констант базового варианта: G = 11.7677 г/л.
Обозначим долю субстрата в G от вводимого $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ через ${{\gamma }_{{{{S}_{0}}}}}$ и долю в G от субстрата, образуемого от $M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ через ${{\gamma }_{{{{M}_{0}}}}}$. Получаем
(38)
${{\gamma }_{{{{S}_{0}}}}} = \frac{{{{D}^{{{\text{opt}}}}}S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}}}{G};\,\,\,\,{{\gamma }_{{{{M}_{0}}}}} = {{k}_{M}}\frac{{{{D}^{{{\text{opt}}}}}M_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}}}{{G\left( {{{D}^{{{\text{opt}}}}} + {{k}_{M}}} \right)}}.$Численные значения ${{\gamma }_{{{{S}_{0}}}}}$ и ${{\gamma }_{{{{M}_{0}}}}}$ для трех принятых значений $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}}$ в описанном ранее алгоритме, т.е. для $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 10$ г/л; $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 30$ г/л; $S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 50$ г/л:
1) ${{\gamma }_{{{{S}_{0}}}}} = 0.1742$; ${{\gamma }_{{{{M}_{0}}}}} = 0.8258$ ($S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 10$ г/л);
2) ${{\gamma }_{{{{S}_{0}}}}} = 0.5226$; ${{\gamma }_{{{{M}_{0}}}}} = 0.4774$ ($S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 30$ г/л);
3) ${{\gamma }_{{{{S}_{0}}}}} = 0.8710$; ${{\gamma }_{{{{M}_{0}}}}} = 0.1290$ ($S_{{\text{0}}}^{{{\text{opt}}}} = 50$ г/л).
Аналогичное распределение можно принять и для субстрата, покидающего ферментер.
Введем понятие показателя эффективности использования субстрата – Э. Величина Э есть отношение количества субстрата, потребляемого на образование биомассы, к количеству введенного субстрата:
(39)
${\text{Э}} = \frac{{G - {{D}^{{{\text{opt}}}}}{{S}^{{{\text{opt}}}}}}}{G} = 1 - \frac{{{{D}^{{{\text{opt}}}}}{{S}^{{{\text{opt}}}}}}}{G}.$С другой стороны, эта величина может быть вычислена по следующему соотношению, используя (5):
(40)
${\text{Э}} = \frac{{{{D}^{{{\text{opt}}}}}{{X}^{{{\text{opt}}}}}}}{{G{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}}} = \frac{{{{D}^{{{\text{opt}}}}}{\text{max}}{{Q}_{P}}}}{{G{{Y}_{{{X \mathord{\left/ {\vphantom {X S}} \right. \kern-0em} S}}}}\left( {\alpha {{D}^{{{\text{opt}}}}} + \beta } \right)}}.$При этом количество субстрата на образование биомассы будет
Эффективность по (40) будет Э = 0.7556.
Таким образом, полученные соотношения в заключительной части могут быть рекомендованы для разработки эффективной технологии по выбору видов и количества сырья с учетом ее стоимости, выбору типа штамма микроорганизмов.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
| B | концентрация суммарного количества побочных продуктов, г/л |
| D | величина протока, ч–1 |
| Ki | константа ингибирования, г/л |
| Km | константа насыщения субстрата, г/л |
| kM | константа, определяющая количество воспроизведенного субстрата, ч–1 |
| M | концентрация сырья, дополнительно воспроизводящего субстрат, г/л |
| P | концентрация продукта, г/л |
| QP | продуктивность, г/(л ч) |
| S | концентрация субстрата, г/л |
| X | концентрация биомассы, г/л |
| YX/S | стехиометрический коэффициент, г/г |
| α, αB, β, βB | константы |
| µ | удельная скорость роста микроорганизмов, ч–1 |
ИНДЕКСЫ
Список литературы
Hofvendahl K., Hahn-Hägerdel B. Factors affecting the fermentative lactic acid production from renewable resources // Enzyme Microb. Technol. 2000. V. 26. P. 87.
Wee Y.-J., Kim J.-N., Ryu H.-W. Biotechnological production of lactic acid and its recent applications // Food Technol. Biotechnol. 2006. V. 44. P. 163.
Datta R., Henry M. Lactic acid: recent advances in products, processes and technologies – a review // J. Chem. Technol. Biotechnol. 2006. V. 81. P. 1119.
Bouguettoucha A., Balannec B., Amrane A. Unstructured models for lactic acid fermentation – a review // Food Technol. Biotechnol. 2011. V. 49. P. 3.
Abdel-Rahman M.A., Tashiro Y., Sonomoto K. Recent advances in lactic acid production by microbial fermentation processes // Biotechnol. Adv. 2013. V. 31. № 6. P. 877.
Gordeev L.S., Koznov A.V., Skichko A.S., Gordeeva Yu.L. Unstructured mathematical models of lactic acid biosynthesis kinetics: A review // Theor. Found. Chem. Eng. 2017. V. 51. № 2. P. 175. [Гордеев Л.С., Кознов А.В., Скичко А.С., Гордеева Ю.Л. Неструктурированные математические модели кинетики биосинтеза молочной кислоты. Обзор // Теор. осн. хим. технол. 2017. Т. 51. № 2. С. 8.]
Gordeeva Yu.L., Rudakovskaya E.G., Gordeeva E.L., Borodkin A.G. Mathematical modeling of biotechnological process of lactic acid production by batch fermentation: A review // Theor. Found. Chem. Eng. 2017. V. 51. № 3. P. 282. [Гордеева Ю.Л., Рудаковская Е.Г., Гордеева Е.Л., Бородкин А.Г. Математическое моделирование биотехнологического процесса периодической ферментации получения молочной кислоты. Обзор // Теор. осн. хим. технол. 2017. Т. 51. № 3. С. 270.]
Kumar P., Subrahmanya J.V.K., Chidambaram M. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities // Can. J. Chem. Eng. 1993. V. 71. P. 766.
Gordeeva Yu.L., Ivashkin Yu.A., Gordeev L.S. Steady states of a biotechnological process for producing lactic acid at a given dilution rate // Theor. Found. Chem. Eng. 2013. V. 47. № 2. P. 149. [Гордеева Ю.Л., Ивашкин Ю.А., Гордеев Л.С. Стационарные состояния биотехнологического процесса получения молочной кислоты при заданной величине протока // Теор. осн. хим. технол. 2013. Т. 47. № 2. С. 1.]
Gordeeva Yu.L., Gordeev L.S. Steady States of a Biotechnological Process for Producing Lactic Acid at a Given Substrate Concentration in the Inlet Stream // Theor. Found.Chem. Eng. 2014. V. 48. № 3. P. 262. [Гордеева Ю.Л., Гордеев Л.С. Стационарные состояния биотехнологического процесса получения молочной кислоты при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке // Теорет. основы хим. технологии. 2014.Т. 48. № 3. С. 282.]
Гордеева Ю.Л., Щербинин М.Ю., Гордеев Л.С. Стационарные состояния биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов. Множественность при заданной величине протока // Энцикл. инж.-хим. 2012. № 8. С. 23.
Гордеева Ю.Л., Гордеев Л.С. Алгоритмы оценки множественности стационарных состояний биотехнологического процесса получения молочной кислоты // Вестн. Астрах. гос. тех. унив. Сер.: упр., вычисл. тех. инф. 2014. № 1. С. 7.
Gordeeva Yu.L., Borodkin A.G., Gordeeva E.L., Rudakovskaya E.G. Mathematical modeling of the fermentation process for lactic acid production: A generalized model // Theor. Found. Chem. Eng. 2019. V. 53. № 1. P. 43. [Гордеева Ю.Л., Бородкин А.Г., Гордеева Е.Л., Рудаковская Е.Г. Математическое моделирование ферментативного процесса получения молочной кислоты. Обобщенная модель // Теор. осн. хим. технол. 2019. Т. 53. № 1. С. 1.]
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Теоретические основы химической технологии
Пн.-пт.: 10.00-19.00