Теоретические основы химической технологии, 2023, T. 57, № 1, стр. 81-90

ВВЕДЕНИЕ

Результаты расчетов по критериальным моделям конвективного теплообмена, например, как хорошо известные модели Б.С. Петухова, С.С. Кутателадзе, В. Нуссельта и М.А. Михеева различаются, как между собой, так и с экспериментальными данными.

Поскольку критериальные модели являются моделями эмпирическими и полуэмпирическими, приближающие коэффициенты для которых находятся из некоторых наборов экспериментальных данных, различия между моделями можно было бы объяснить различиями в этих наборах экспериментальных данных, а также качеством и надежностью получаемых в экспериментах результатов.

По существующим представлениям погрешности критериальных моделей при исследованиях теплообмена в различных теплообменниках, составляющие величину в среднем порядка 15–20%, считаются вполне допустимыми и приемлемыми. И связывается это обычно с разными условиями работы этих теплообменников, например, такими, как способ подачи теплоносителей, длина начального участка теплообменного канала, состояние теплообменной поверхности и т.п.

Однако, как было показано в [1] по результатам экспериментов с трубчатыми водо-водяными теплообменниками, расхождения между экспериментальными данными и результатами расчетов по критериальным моделям носят отнюдь не случайный, а систематический характер, и зависят от значений чисел Рейнольдса Re и Прандтля Pr, являющихся определяющими параметрами критериальных моделей. Для некоторых из рассмотренных там критериальных моделей, эти расхождения, даже в среднем, могут превышать величину и в 40%, а при сравнительно больших значениях чисел Re – 50%.

Поэтому целью настоящей работы является проведение анализа влияния изменений определяющих критериев конвективного теплообмена, т.е., чисел Рейнольдса Re и Прандтля Pr, на определяемый в критериальных моделях критерий Нуссельта Nu по результатам экспериментов с трубчатым водо-водяным теплообменником, проводимых при разных экспериментальных режимах (разные входные температуры теплоносителей и разные их расходы).

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Эксперименты проводились на лабораторном трубчатом теплообменнике типа “труба в трубе” с гладкими медными трубками. Длина теплообменных каналов составляла L = 1.524 м, греющим и нагреваемым теплоносителями для которого служила вода. Внутренний диаметр трубного канала составлял D = 0.2 м, наружный – D_н = 0.24 м, внутренний диаметр кожуха – D_к = 0.35 м. Безразмерная длина трубного канала составляла L/D = 76.2, межтрубного – L/(D_к − D_н) = 138.5.

И трубный и межтрубный каналы могли быть как греющими, так и нагреваемыми. Входные температуры t_вх греющего теплоносителя задавались, и в процессе проведения эксперимента поддерживались постоянными, нагреваемого – определялись температурой воды в водопроводной сети, и в процессе проведения эксперимента также оставались практически постоянными. Рассматривались шесть различных режимов проведения эксперимента, различающихся как входными температурами, так и расходами теплоносителей.

Эксперименты проводили по разработанной нами ранее методике, сущность которой, заключается, вкратце, в следующем. Зафиксировав две из четырех независимых переменных теплообмена (входные температуры теплоносителей), для двух других (расходы теплоносителей) посредством измерений экспериментальных параметров в узлах задаваемой двумерной сетки экспериментальных расходов, для теплового потока можно построить зависимость Q = Q(G_тр, G_мт). Анализ этой зависимости для задаваемых значений расходов трубного и межтрубного каналов позволяет найти как средние значения теплотехнических параметров каналов теплообменника, так и их распределения по длине каналов (точнее, приближения их некоторой заданной функцией, коэффициенты для которой находятся из полученных экспериментальных данных). Более подробно см. в [2].

Конструктивные параметры теплообменника, режимные параметры проведения экспериментов, а также диапазоны изменения расходов для определения расчетных теплотехнических характеристик трубного канала в турбулентном и переходном режимах течения теплоносителя приведены в табл. 1, а зависимость теплового потока от расходов трубного и межтрубного каналов – на рис. 1.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В каждом из осуществленных режимов проведения эксперимента из общей области изменения расходов трубного канала были выделены области, соответствующие турбулентному и переходному режимам течения теплоносителя в трубном канале теплообменника (см. табл. 1). Которые, в свою очередь, покрывались сетками задаваемых расходов G_тр × G_мт, состоявших из 5 × 5, с целью не слишком большого увеличения объема рассматриваемых данных, равноотстоящих узлов.

Продольные профили теплотехнических параметров трубного канала рассчитывались из предположения, что продольный профиль теплоотдачи может быть приближен линейной функцией, средние же их значения определялись осреднением соответствующих профилей. Рассчитывались также значения параметра (Pr/Pr_w)^0.25, который, как это предполагается (напр., в [3]), достаточно хорошо учитывает зависимость теплоотдачи от направления теплового потока. Полученные результаты для случаев минимальных и максимальных расходов теплоносителей при турбулентном режиме течения в трубном канале представлены, в качестве иллюстрации, табл. 2.

Найденные по экспериментальным данным значения критериальных чисел Нуссельта Nu = = Nu(Re, Pr) соотносились с соответствующими результатами расчетов по критериальным моделям Nu_км = Nu_км(Re, Pr), в качестве которых рассматривались следующие.

Критериальная модель 1 (КМ1) – модель Б.С. Петухова–В.В. Кириллова:

Модель КМ1 применима в диапазонах – 4 × 10³ < < Re < 5 × 10⁶ и 0.5 < Pr < 5 × 10⁵ [см., напр., 4].

Критериальная модель 2 (КМ2) – модель С.С. Кутателадзе:

где функция f(Pr) может быть представлена графически. Модель КМ2 применима для газов и неметаллических жидкостей при Pr > 0.5 [5].

Критериальная модель 3 (КМ3) – модель Нуссельта–Кроуссольда:

Модель КМ3 дает неплохие результаты при 0.5 < Pr < 5 [5].

Критериальная модель 4 (КМ4) – модель академика М.А. Михеева:

Модель КМ4 получила ныне, пожалуй, наиболее широкое распространение для проведения теплотехнических расчетов (см., напр., [4–6]).

Кроме того, значения Nu, найденные из экспериментов, мы непосредственно аппроксимировали функцией:

той же степенной функцией, которая послужила основой для двух последних, эмпирических моделей (3)–(4). Коэффициенты a, b и с для которой находились с точностью до 2-х, и с точностью до 5-ти значащих цифр. Эти аппроксимации мы обозначили как аппроксимационные модели 2 (АМ2), и аппроксимационная модель 5 (АМ5), соответственно.

Кроме того, найденные из эксперимента числа Nu = f(Re, Pr) мы аппроксимировали непосредственно двумерным полиномом второй степени, обозначив полученную зависимость как аппроксимационную модель Nu (ANu).

Полученные результаты Nu/Nu_км = Nu/Nu_км(Re, Pr), рассчитанные как по средним значениям теплотехнических параметров, так и по их продольным распределениям, представлены в табл. 3.

Использование продольных распределений параметров может значительно увеличить (в разы) число учитываемых точек Nu/Nu_км = f(Re, Pr), а также область их определения (Re_min ≤ Re ≤ Re_max)–(Pr_min ≤ Pr ≤ Pr_max), особенно в тех случаях, когда, в отличие от нашего, L/D достаточно велико, и может составлять величину порядка нескольких сотен.

Однако некоторое изменение области определения Re–Pr теплотехнических параметров при расчетах по значениям продольных профилей имеет место и в нашем случае. Так диапазон изменения числа Re увеличивается на 9.6%, числа Pr – на 8.3%, а число учитываемых точек Nu/Nu_км – возрастает в 5 раз. При этом результаты расчетов оказываются достаточно близкими (табл. 3).

В табл. 3 приведены вычисленные и по средним значениям параметров теплообмена, и по их продольным распределениям средние значения Sr для зависимости Nu/Nu_км = f(Re, Pr) среднеквадратичные отклонения oS от среднего значения Sr, среднеквадратичные отклонения o1 от значения, равного 1, а также среднеквадратичные отклонения oa аппроксимации двумерной параболой значений Nu/Nu_км = f(Re, Pr) для всех проведенных экспериментов. Эти аппроксимации в виде контурных графиков показаны на рисунках (2a)–(2g) и (3a)–(3g). На рисунках (2h) и (3h) показаны также аппроксимации экспериментальных зависимостей Nu = f(Re, Pr) полиномом второй степени.

Таким образом, из результатов, приводимых на рис. (2a)–(2d), (3a)–(3d) и в табл. 3 следует, что среди критериальных моделей КМ1–КМ4 наиболее близкими к эксперименту при турбулентном режиме течения теплоносителя оказываются результаты расчетов по модели КМ1. Результаты же расчетов по модели КМ4 демонстрируют наихудшее совпадение с результатами эксперимента, значительно уступая при этом даже сопоставлению эксперимента с расчетами по модели КМ3 Нуссельта–Кроуссольда (см. табл. 3).

Вместе с тем, даже для модели КМ4 средние по соответствующим областям определения параметров Re–Pr рассхождения между экспериментом и критериальными моделями при расчетах как по средним значениям параметров (o1 = 0.181, см, табл. 3), так и по их продольным профилям (o1 = 0.191, см. табл. 3), не превышают считающеюся вполне допустимой и приемлемой ошибку величиной в 20%.

Однако, эти же результаты демонстрируют и зависимость несоответствия между экспериментом и критериальными моделями от чисел Рейнольдса Re и Прандтля Pr, рис. (2a)–(2d) и (3a)–(3d). Более наглядно это проиллюстрировано на рис. 4, на котором показаны несколько сечений зависимости Nu/Nu_км = f(Re, Pr) по Re и Pr. С целью не слишком перегружать рисунок, приведены данные лишь для критериальных моделей KM1, KM3, KM4, и аппроксимационных – AM2 и ANu.

Приведенные на рис. (2a)–(2d) и (3a)–(3d), а также рис. (4a)–(4c) данные показывают, что для критериальных моделей КМ1–КМ4 возрастание числа Рейнольдса Re, практически при любых значениях числа Прандтля Pr, приводит к росту расхождения между экспериментом и критериальными моделями. Этот рост означает, что в эксперименте теплоотдача растет быстрее, чем это следует из любой рассмотренной нами критериальной модели. Эти данные указывают на то, что, ошибка, по крайней мере для модели КМ4, может превышать величину в 20% и достигать величины порядка 40% уже при 10^–3 Re ≅ 40 и Pr ≥ 6, см. рис. (4a)–(4c).

Возрастание же числа Pr при фиксированном числе Re в эксперименте приводит к более быстрому росту теплоотдачи в при малых значениях чисел Pr, и наоборот – менее быстрому при больших его значения, чем это следует из критериальных КМ1–КМ4, это же относится и к аппраксимационным моделям АМ2, АМ5, рис. (2a)–(2g), (2a)–(2g) и (4d)–(4e). Таким образом, полученные нами данные указывают, что зависимость Nu/Nu_км = f(Re = const,Pr) имеет экстремум при значениях числа Прандтля, равных приблизительно Pr ≅ 6–7.

Непосредственная аппроксимация экспериментальной теплоотдачи, как с помощью степенной функции (5) с нахождением двузначных коэффициентов, модель АМ2, и пятизначных – модель АМ5, так и полиномом второй степени – модель ANu, с последующим использованием этих моделей для проведения расчетов, приводит к более точным результатам, лучшему совпадению с экспериментом, чем это имеет место для критериальных моделей (табл. 3). Среди же аппроксимационных моделей наилучшее совпадение с экспериментом демонстрирует модель ANu, что означает, что экспериментальная теплоотдача точнее аппроксимируется этим полиномом, чем степенной функцией (5), см., табл. 3.

Коэффициенты модели АМ2 мало отличаются от соответствующих коэффициентов моделей КМ3–КМ4, тогда как коэффициенты модели АМ5 – существенно. Однако, это приводит лишь к незначительному увеличению точности расчетов (табл. 3), что связано, во-видимому, с не монотонностью функции Nu/Nu_км = f(Re = const, Pr). В отличие от данных, приводимых в [1], где эти модели АМ2 и АМ5 рассматривались в узких диапазонах изменения числа Pr в соответствующих областях определения Re–Pr, составляющих, приблизительно, Pr = 2.5–3.5 и Pr = 7.2–10.4, и в которых не монотонность упомянутой выше функции отсутствовала. В этих случаях точность расчетов по моделям АМ2 и АМ5 отличались на порядок и более (см. [1], табл. 3).

Учитывая все вышеизложенное, некоторое отличие в результатах расчетов по средним значениям теплообменных параметров, и по их продольным распределениям, по-видимому, можно было бы объяснить также и некоторым различием в областях определения Re–Pr (табл. 3).

Отметим также относительно высокую точность расчетов теплообменных параметров переходного режима течения теплоносителя по моделям, построенным для турбулентного режима (табл. 3). Связано это вероятно, с относительно небольшим диапазоном изменения числа Re. Так в переходном режиме изменения числа Re при расчетах по средним значениям составляют 10^–3(Re_max – Re_min) = 4.3 и при расчетах по продольным профилям – 10^–3(Re_max – Re_min) = 5.4, в то время как в туурбулентном режиме, соответственно – 26.2 и 28.7.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ проведенных нами экспериментов с трубчатым водо-водяным теплообменником и сопоставление их результатов с результатами расчетов по некоторым критериальным моделям показал, что Nu/Nu_км ≠ const со случайными ошибками и ошибками, связанными с условиями провидения эксперимента, а есть функция чисел Re и Pr – Nu/Nu_км = f(Re, Pr). И потому коэффициенты критериальных моделей, определяемые из опытных данных, должны зависеть от набора этих самых опытных данных. Что, помимо всего прочего, и определяет различия различных критериальных моделей.

Степенная функция Nu_км(a, b, c) = aRe^bPr^c с постоянными коэффициентами a, b и c является, вероятно, не вполне подходящей основой для построения эмпирических моделей конвективного теплообмена. Использование же для этих коэффициентов функциональных зависимостей, например, a = a(Re, Pr), b = b(Re, Pr) и c = c(Re, Pr), возможно, значительно улучшит точность теплотехнических расчетов.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ИНДЕКСЫ