Вестник РАН, 2021, T. 91, № 1, стр. 69-81

С 1 февраля 1958 г. и по сей день моя трудовая книжка неизменно находится в отделе кадров Института физики атмосферы РАН (с 1995 г. носит имя его основателя и первого директора академика Александра Михайловича Обухова). За долгую научную жизнь (моя первая научная статья, написанная в соавторстве с К.П. Станюковичем, была опубликована в 1957 г. в “Журнале экспериментальной и теоретической физики” [1], и специалисты её помнят до сих пор) мне довелось заниматься многими предметами: вопросами магнитной гидродинамики, распространением различных волн в турбулентных средах, планетными атмосферами, конвекцией в разнообразных, в том числе вращающихся, средах, спектром космических лучей, теорией землетрясений, теорией морских ветровых волн и их ролью в распространении загрязнений на водной поверхности, теорией ураганов, объяснением экспериментальных результатов изучения статистической структуры рельефа планетных поверхностей, наконец, постановкой и руководством природными экспериментами, в том числе международными. Однако пора перейти к описанию основных научных результатов.

Атмосферы планет: модели и реальность. Большая часть этих результатов описана в монографии 2012 г. [2], подготовленной на основе лекций в МГУ им. М.В. Ломоносова и МФТИ. Первый из них – теория подобия для планетных атмосфер [3], предложенная в 1969 г., когда ещё не существовало глобальных численных моделей циркуляции земной атмосферы. Путём анализа уравнений динамики с учётом расстояния до Солнца, размера и скорости вращения планеты, состава её атмосферы были найдены параметры подобия, определяющие режим циркуляции для планет земной группы, оценены скорости ветра и разности температур, его вызывающие.

В 1960-х годах СССР и США приступили к реализации космических программ исследования ближайших к Земле планет – Венеры (с 1961 по 1983 г. в Советском Союзе были осуществлены запуски 16 автоматических межпланетных станций серии “Венера”) и Марса. Уже к концу 1960-х годов удалось выяснить, что атмосфера на Венере примерно в 100 раз плотнее земной. Предсказанные в работе [3] ветры у поверхности (их расчётная скорость около 1 м/с) и разности дневных и ночных температур (порядка 1 K) были подтверждены последующими исследованиями. В этой связи приведу такой факт. В 1969 г. на международной астрономической конференции, проходившей в Техасе, я изложил в своём докладе предполагаемые характеристики атмосферы Венеры, в частности указал на малый контраст дневных и ночных температур. В тот же день на конференции был зачитан доклад американских учёных, в котором сообщалось о данных измерений перепада ночных и дневных температур у поверхности Венеры, буквально накануне полученных американскими астрономами: контраст температур оказался менее 10^K.

По предложению тогдашнего президента АН СССР и председателя межведомственного совета по космосу академика М.В. Келдыша директор нашего института А.М. Обухов (тогда член-корреспондент АН СССР) принимал участие в обработке данных измерений, полученных с помощью автоматической межпланетной станции “Венера-4”, выполнившей 18 октября 1967 г. благополучную посадку на поверхность Венеры и производившей в течение 1.5 ч комплекс измерений в её атмосфере. В частности, были проведены измерения газового состава, температуры, давления и плотности. Александр Михайлович заметил, что, зная коэффициент сопротивления парашюта, на котором достиг поверхности планеты спускаемый аппарат, можно согласовать временные изменения измеряемых параметров. Такая работа была проведена. Итогом исследования стала статья [4]. В ней также содержалась оценка нижней границы и толщины облачного слоя на Венере – при наличии данных о температуре и процентной концентрации водяного пара.

Эти результаты в течение полутора десятилетий входили в технические задания на полёты наших станций “Венера”. Данные о скорости ветров на Венере и Марсе использовались в ОКБ им. С.А Лавочкина при проектировании посадочных модулей советских автоматических межпланетных станций серий “Венера” и “Марс”. В 1973 г. вышла моя монография [5]. Переведённая на английский язык она использовалась американским Национальным агентством по аэронавтике и исследованию космического пространства в качестве рабочего документа.

Идейным руководителем ряда космических программ США по изучению планет был астроном, астрофизик и одновременно популяризатор науки Карл Саган, с которым у меня установились тесные дружеские отношения. Тогда ещё не было Интернета, и он время от времени посылал мне телеграммы с просьбами высказать своё мнение по тем или иным научным вопросам. В ноябре 1971 г. на орбиту Марса вышли две автоматические межпланетные станции – советская “Марс-3” и американская “Маринер-9”. Передаваемая ими информация позволила оценить масштабы глобальной пыльной бури, бушевавшей в те недели на планете (буря закончилась только в феврале 1972 г.). Судя по полученным снимкам, облако пыли не достигало лишь вершин трёх самых высоких марсианских гор – древних вулканов. При этом было установлено, что температура на поверхности планеты ниже температуры облаков пыли. Саган попросил меня оценить это явление [6]. Я дал своё объяснение причин образования пыльных бурь и разрастания их до глобальных масштабов. Моя идея состояла в том, что это саморазвивающийся конвективный процесс на вращающейся планете. Спустя три десятилетия я использовал эту же идею для объяснения происхождения земных ураганов и других интенсивных вихрей [2, 7].

Аппаратура американских орбитальных аппаратов позволила измерить температуру и состав пылевых облаков. Пыль оказалась микронного размера, то есть она хорошо задерживала солнечное излучение, но свободно пропускала длинноволновое тепловое излучение марсианской поверхности, которая во время бури значительно охлаждалась. Это типичные проявления антипарникового эффекта: нижний слой атмосферы очень устойчив, что препятствует образованию циклонов и осаждению пыли. Простая аналитическая модель такого явления была предложена моим коллегой, сотрудником Института физики атмосферы А.С. Гинзбургом в 1972 г. (позднее доктором физико-математических наук) [8].

“Ядерная зима”. В начале 1980-х годов значительно усилилась международная напряжённость, возросла угроза войны с применением ядерного оружия. Учёные раньше политиков начали информировать мировую общественность о её катастрофичности. В апреле 1982 г. на стокгольмской международной конференции по оценке последствий крупномасштабного ядерного конфликта будущий лауреат Нобелевской премии по химии П. Крутцен [9] и Дж. Биркс представили доклад с оценкой массы дыма и пыли от взрывов и пожаров, говорящей о возможности такого замутнения атмосферы, что полдень может превратиться в сумерки [10]. (О наших совместных с Паулем Крутценом работах я упомяну ниже.)

В мае 1983 г. в Москве проходила Всесоюзная конференция учёных за избавление человечества от угрозы ядерной войны, за разоружение и мир. На ней я представил доклад (он зачитывался и от имени академика А.М. Обухова) о климатических последствиях ядерной войны, использовав в нём в качестве природного аналога марсианскую глобальную пыльную бурю [6–8, 11]. В докладе говорилось о последствиях резкого сокращения количества озона в атмосфере, её задымлении вследствие пожаров и нагреве вследствие поглощения солнечной радиации, похолодании земной поверхности из-за недостатка радиации; уменьшении испарения, следовательно и осадков, изменении режима циркуляции и т.д. Подробное изложение этих результатов было опубликовано в сентябрьском номере журнала “Вестник АН СССР” за 1983 г. [12]. Статья Р.П. Турко, О.Б. Туна, Т.Р. Аккермана, Дж. Б. Поллака и К. Сагана, в которой обсуждалась та же проблема и был введён термин “ядерная зима”, вышла в журнале “Science” позднее, в декабре 1983 г. [13]. Близкое по времени появление двух этих публикаций – свидетельство того, что проблема вероятных последствий ядерной войны рассматривалась параллельно советскими и американскими учёными. Неслучайно, когда в Вашингтоне в октябре того же года К. Саган представил свою с коллегами работу, в которой за основу была взята радиационно-конвективная модель, туда же были приглашены член-корреспондент АН СССР Н.Н. Моисеев (академик с 1984 г.) и сотрудник Вычислительного центра АН СССР кандидат физико-математических наук В.В. Александров, основывавшие расчёты климатических последствий ядерной катастрофы на двуслойной численной модели атмосферы. С середины 1980-х годов несколько исследовательских групп в США стали использовать полномасштабные многослойные модели изменений климата для более реалистичного воспроизведения деталей последствий ядерной войны.

В Институте физики атмосферы мы провели серию лабораторных экспериментов, позволивших установить чёткую корреляцию плотности дыма и температуры поверхности. А в Таджикистане собрали сведения об изменении температурного режима до пыльных бурь, во время их прохождения и после. Выяснилось, что пыльная буря ведёт к понижению температуры поверхности хотя бы на пару градусов. Мы начали более широкие исследования, изучили поглощение различными дымами, а также пылью солнечной радиации и теплового излучения поверхности Земли и нижних слоев атмосферы. В 1984–1990 гг. усилиями ряда организаций (наш институт активно сотрудничал с Научно-исследовательским физико-химическим институтом им. Л.Я. Карпова и Всесоюзным научно-исследовательским институтом гражданской обороны) была проведена большая серия экспериментов по количественному изучению выхода дыма при различных режимах горения самых разнообразных материалов, в том числе нефти и угля различных сортов, и даже так называемых городских смесей, то есть всего того, что способно гореть при масштабных пожарах в городах, по определению оптических и микрофизических характеристик дымовых частиц, измерению поглощения и рассеяния на них солнечного и теплового излучения в диапазоне 0.3–20 мк. Эти результаты изложены в монографии, переведённой на английский и японский языки [14]. Отмечу, что интерес к этим работам проявлялся и за рубежом, о чём говорит тот факт, что в особенно трудные для нашей науки 1990-е годы Институт физики атмосферы, где я на протяжении 19 лет, с начала 1990 по конец 2008 г., был директором, получал на проведение экспериментов гранты Министерства энергетики США.

С 1982 г. я входил в международный комитет, координировавший работы по исследованию климата Земли. Мне поручили изучение взаимосвязи “ядерной зимы” и климата. Двенадцать учёных разных стран объединились в группу при ООН, которая начала обобщать все известные данные. Я представлял в ней Советский Союз. Свои отчёты мы посылали во Всемирную метеорологическую организацию и в ООН. Итогом нашей работы стал доклад “Климатические и другие последствия крупномасштабного ядерного конфликта”. В 1988 г. была принята специальная резолюция 44-й Генеральной ассамблеи ООН о катастрофических последствиях ядерной войны, её недопустимости. В последние годы в США, да и в других странах слышны голоса тех, кто считает возможным локальное применение ядерного оружия. При этом они не говорят о тяжелейших последствиях такого применения не только для населения, но и природной среды планеты.

Грани международного сотрудничества. В 1967 и 1974 гг. в пригороде Стокгольма прошли международные исследовательские конференции учёных, первая из которых была посвящена улучшению глобального прогноза погоды, вторая – климату и его изменениям. На каждой из них присутствовало около 50 экспертов, призванных сформулировать, что требуется для прогресса в этих областях знаний. Советские делегации возглавлял директор Института океанологии АН СССР А.С. Монин (позднее академик РАН). Участие в этих конференциях позволило мне познакомиться с ведущими учёными мира, чётче представить пути развития науки о климате. Международный совет научных союзов (наша академия – его член) и Всемирная метеорологическая организация образовали Научный комитет, организующий исследовательскую деятельность в этой области знания. В 1977–1981 гг. в состав комитета от нашей страны входили академики А.М. Обухов, директор ИФА, и Е.К. Фёдоров, начальник Гидрометеорологической службы СССР. В 1982–1987 и 1992–1997 гг. членом Научного комитета от АН СССР, а затем РАН довелось быть мне. Комитет ставил своей целью разработку и руководство Всемирной программой исследований климата, предполагающих углубление понимания определяющих его процессов, установления роли человека в его изменениях. В заседаниях участвовали ведущие учёные в области изучения атмосферы и океана. Вспоминаю, как на заседании комитета в 1992 г. ко мне подошёл директор Европейского центра среднесрочных прогнозов погоды и с благодарностью сказал, что его сотрудники внедрили в оперативную модель предложенную мной схему тепловлагообмена между океаном и атмосферой при слабых ветрах, что заметно улучшило глобальный прогноз погоды [2]. Вероятно, это наилучшая похвала моей научной деятельности, полезности её для практики, что я осознал лишь недавно.

В 1980-х годах одной из основных проблем теории климата стало выяснение роли облачности и аэрозолей в процессах переноса солнечной и тепловой радиации. С этой целью в ИФА началась реализация первых в мире комплексных проектов с участием ряда институтов Академии наук СССР и Гидрометеорологической службы (конкретное руководство этими проектами осуществляла ведущий научный сотрудник ИФА доктор физико-математических наук Е.М. Фейгельсон). По результатам исследований 1985–1987 гг. был выпущен сборник трудов, переведённый в 1988 г. сотрудниками Университета штата Колорадо на английский язык. В 1990-х годах Министерство энергетики США, озабоченное изменениями климата, инициировало программу Atmospheric Radiation Measurements (ARM), по своему содержанию сходную с нашей, но гораздо более полную и обширную. С 1994 по 2004 г. ИФА РАН, а с конца 1990-х и Институт оптики атмосферы СО РАН участвовали в этой программе, правда, с очень скромным по американским меркам финансированием до 100 тыс. долл. в год, но всё-таки позволявшем удерживать группу порядка 10–15 человек для производства измерений, оформления результатов и для поездок в США нескольких научных сотрудников на ежегодные конференции ARM. Эти гранты, а впоследствии и гранты Международного научно-технического центра позволили в трудные годы продолжить важные исследования и в целом сохранить основной научный состав института.

Конечно, международное научное сотрудничество предполагает и личное знакомство с иностранными учёными – оно не только обогащает новыми знаниями, но и нередко даёт импульс новым исследованиям. В этой связи расскажу о тесных научных контактах с нобелевским лауреатом Паулем Крутценом – у нас с ним 6 совместных статей. Мы познакомились в июле 1967 г. на уже упоминавшейся конференции по глобальным атмосферным исследованиям [15]. Пауль был тогда аспирантом Стокгольмского университета, а уже спустя несколько лет, в 1974 г., вышла его статья [16], в немалой степени изменившая науку о химии атмосферы: её автор отметил роль человека в химических процессах, увеличивающих риски разрушения озонового слоя. В этой статье и в последующей работе 1977 г. [17] эти риски связывались с нарастанием в атмосфере количества реакций с участием молекулярного азота (NO₂, NO, N₂O и др.), возникающих вследствие полётов сверхзвуковых самолётов, роста концентрации хлорфторуглеродов (CFC) в результате ядерных испытаний. Эти две статьи (вместе со статьями других авторов) вызвали такой общественный резонанс, что привели к заключению в 1987 г. Монреальского протокола по веществам, разрушающим озоновый слой, – Международного протокола к Венской конвенции о защите озонового слоя 1985 г. П. Крутцен был инициатором широкомасштабных исследований влияния на атмосферу продуктов горения биомассы (лесные пожары, сжигание остатков сельскохозяйственных отходов, особенно широко практикующееся в тропиках). Эти работы подтолкнули изучение химических процессов не только в стратосфере, но и в тропосфере вплоть до приповерхностных слоёв.

В 1990-х годах по ряду европейских грантов я привлекался к работам по изучению приповерхностных слоёв и не раз заезжал для обсуждения рабочих вопросов к Паулю в Майнц, в Институт химии Общества Макса Планка, где он возглавлял отдел химии атмосферы. В одну из встреч (она проходила в феврале 1995 г.) я спросил его, какие проблемы химии атмосферы мы в ИФА могли бы исследовать с ним совместно? Так, с бокалами белого вина в садике его дома, мы договорились о начале работ по приземному озону (ситуация с приземным озоном над всем обширным пространством Евразии была тогда для Крутцена белым пятном). В итоге родился проект, названный Крутценом Tropospheric Investigation of Chemistry of Atmospherе (TROICA). Спустя два десятилетия он посчитал его самым успешным и важным в своей жизни.

Аналитическую аппаратуру для измерения малых примесей в атмосфере мы разместили в специально оборудованном вагоне, который прицеплялся к обычным пассажирским поездам [18]. Первая экспедиция (от Москвы до Хабаровска) отправилась в путь уже в ноябре 1995 г. (институт в Майнце оплатил командировочные расходы, а эксплуатационные взяло на себя Министерство путей сообщения РФ). За почти 20 лет реализации проекта было совершено 12 поездок вдоль Транссибирской магистрали, 3 – с севера на юг, от Мурманска до Кисловодска и Сочи, а в одной экспедиции наш вагон по большой кольцевой дороге трижды обошёл вокруг Москвы, и мы узнали состав веществ, приносимых воздушными потоками в столицу и выносимых из неё. Реализация проекта позволила развеять разного рода домыслы. В те годы в адрес Российской Федерации слышались упрёки по поводу физического состояния её газопроводов (якобы они дырявые), но изотопный анализ углерода тех регионов, где наблюдался избыток метана, показал, что содержание ¹⁴С в норме, а в добываемом газе его нет, так как этот изотоп имеет период полураспада около 6 тыс. лет.

Проект получил мировую известность, в нём участвовали учёные Германии, Австрии, США, Финляндии. О признании полезности наших исследований говорит тот факт, что организатор работ по проекту TROICA сотрудник ИФА Н.Ф. Еланский (с 2011 г. – член-корреспондент РАН) получил в США звание героя окружающей среды (hero of environment). Такое звание Национальное управление по океанам и атмосфере (NOAA) присуждает ежегодно только одному человеку.

Важным фактором в жизни Института физики атмосферы РАН стала многолетняя связь с аналогичным институтом в Пекине. С 1984 г. Научный комитет по Всемирной программе исследований климата приглашает в свой состав представителей КНР. Первым из них был Е Дучжэн, директор указанного института, а затем сменивший его на этом посту Цзян Циньсунь (иностранный член нашей Академии). С обоими у меня сложились тёплые и дружеские отношения. С начала 1990-х годов коллективы двух институтов проводили совместные исследования по мониторингу состава атмосферы, теории климата, динамической метеорологии и др. В итоге в 2006 г. была образована совместная лаборатория, открытая в Москве президентом Академии наук КНР Лу Сяньнянем. Годом ранее такая совместная лаборатория была открыта в Пекине. Уже более 20 лет мы согласовываем совместные программы исследований, устраиваем ежегодные научные конференции, обмениваемся научными сотрудниками. В последние годы совместные работы распространились на исследования акустических и внутренних волн, их связь с метеорологией, на изучение ветрового волнения в океане. Результаты публикуются в российских и китайских журналах.

Конвекция с вращением. С конца 1970-х до середины 1990-х годов в своих исследованиях я уделял значительное внимание вопросам конвекции в жидкости, в том числе с учётом вращения. Удалось получить формулу для эффективности конвекции – выяснить, какая часть подводимого тепла переходит в кинетическую энергию.

Практически все природные системы вращаются: в атмосфере возникают ураганы, торнадо, в океане – вихри (рис. 1, 2). Каковы их причины? Вопрос этот настолько важен, что ООН объявила 1990-е годы десятилетием познания и борьбы с природными катастрофами. В связи с этим был организован Международный научный комитет под председательством известного английского учёного сэра Дж. Лайтхилла (члена многих академий мира, в том числе и нашей). На одном из заседаний этого комитета Лайтхилл заявил, что остаётся загадкой, как тропические ураганы достигают энергий порядка тысяч водородных бомб. Заметим, что взрыв 1 Мт тринитротолуола даёт энергию 1.6 × 10¹⁵ Дж, а кинетическая энергия ураганов порядка 10¹⁸–10¹⁹ Дж. Наша обширная теоретическая и экспериментальная программа по конвекции с вращением позволила легко объяснить эту энергетику с точки зрения теории подобия и размерности, что ещё строже было объяснено в 2018 г. как следствие вероятностных законов, описанных А.Н. Колмогоровым в 1934 г. (к этой работе выдающегося математика я ещё вернусь) [2, 7, 14, 19–21].

Рис. 1.

Ураган на Чёрном море 25.01.2005

Источник: ESA.

Рис. 2.

Спиральные вихри на поверхности Балтики по данным ESA (а), вихри в лабораторной посуде D = 17 см (б)

Масса природных объектов вращается, но и в этих вращениях есть элементы случайности. Масштабы Колмогорова действуют и здесь, хотя период вращения (Т) связан со временем. С применением указанной теории легко объясняются причины возникновения ураганов и других вихрей на поверхности океана и в атмосфере под действием силы Кориолиса, задаваемой параметром $l = 2\omega {\text{sin}}\theta = (4\pi {\text{/}}T){\text{sin}}\theta $, где T – период, θ – широта, поэтому в поясе ±5° вокруг экватора ураганов нет. В итоге, согласно Колмогорову, площадь урагана $S \approx \varepsilon {{l}^{{ - 3}}}$, квадрат скорости ${{u}^{2}} \approx \varepsilon {{l}^{{ - 1}}}$, и их произведение на массу атмосферы над площадью S и даёт полную энергию урагана 10¹⁸–10¹⁹ Дж, что эквивалентно энергии взрыва тысяч мегатонных бомб.

Энергетический спектр космических лучей. Начиная с середины 1990-х годов мною была объяснена статистическая природа ряда природных процессов и явлений, десятки лет остававшихся эмпирическими, но непонятыми теоретически. Первым успехом было установление формы энергетического спектра космических лучей (КЛ), которые возникают при взрывах сверхновых звёзд и ускоряются в межзвёздном газе на случайных ударных волнах, порождённых взрывом. В Галактике происходят 2–3 таких взрыва в столетие, в разных её местах на протяжённости порядка 10²⁰ м ~ сотни тысяч световых лет. Ускорение КЛ – вполне случайный процесс. Спектр – число частиц КЛ, регистрируемых в единицу времени на единицу площади [22]. Рисунок 3 представляет этот спектр в зависимости от энергии частиц. При энергии 3 × 10¹⁶ эВ магнитное поле Галактики перестаёт удерживать частицы в своих пределах, и их число падает далее быстрее. Общий баланс энергии даёт оценку плотности их энергии порядка 0.5 эВ см^-3. Величина пропорциональна числу частиц, то есть их концентрации, но это позволяет оценить расстояние между частицами, иными словами, ввести единицу площади. В результате энергетический спектр оказывается степенной функцией энергии ${{E}^{{ - n}}}$. Теория даёт $n = 8{\text{/}}3 = 2 + 2{\text{/}}3$ [2, 23]. Многолетний эксперимент “ПАМЕЛА”, проводимый с помощью космического аппарата “Ресурс ДК-1” специалистами из России и стран Европы, в 2014 г. позволил получить [23] $n = 2.67 \pm 0.02$. Такое точное совпадение эксперимента с теоретическими предсказаниями, опубликованными в 1997 г., встречается весьма редко.

Рис. 3.

Энергетический кумулятивный спектр космических лучей: число частиц на единицу площади в единицу времени

Источник: Википедия.

Закон Гутенберга–Рихтера. В 1995 г. мне удалось обосновать сейсмологический эмпирический закон Гутенберга–Рихтера, описывающий зависимость между магнитудой и общим числом землетрясений для любого заданного региона и промежутка времени [2, 22]. Этот закон также степенной, причём показатель степени может быть двух видов в зависимости от толщины земной коры. Для наиболее частых событий $n \approx 2{\text{/}}3$ внутри коры толщиной в среднем 30 км. Вблизи срединно-океанических хребтов, у которых образуется новая молодая кора толщиной порядка 1 км и более в сторону от хребтов, n ≈ 1, и там при землетрясении трескается вся кора, в то время как в толстой коре разломы пронизывают лишь её часть. Анализ ситуации с точки зрения теории подобия и размерности был дан в публикации 1996 г. и уточнён в работах [2, 22] (рис. 4). Закон Гутенберга–Рихтера есть также следствие вероятностных законов А.Н. Колмогорова и его школы.

Рис. 4.

Кумулятивные спектры землетрясений. Закон Гутенберга–Рихтера для ряда мест в Калифорнии и для нейтронной звезды

Источник: [24].

В 2003 г. коллеги-сейсмологи сообщили мне об удивительном тогда для них и для меня распределении кумулятивного числа литосферных плит в зависимости от их площади S: $N( \geqslant S)$ ~ ${{S}^{{ - n}}}$, n = 0.33 для 42 плит размерами от 0.002 до 1 стерадиана (рис. 5) (один стерадиан – телесный угол, ограничивающий для земной поверхности площадь в 40.6 млн км² при площади всей Земли $4\pi $ стр = 510 млн км²). Мне понадобилось 5 лет, чтобы с использованием начальных идей Колмогорова–Обухова о турбулентности получить, что здесь $n = 1{\text{/}}3$. Я провёл простые опыты по расчерчиванию в случайных направлениях листов клетчатой бумаги (в этом мне помогали жена и внучка), а также опыты (как это ни покажется комичным) по разбиванию скорлупы вкрутую сваренных яиц и по расчёту кумулятивных распределений полученных случайных площадей. Убедившись, что эти распределения по форме похожи на таковые для плит, я в 2008 г. отправил в печать свою статью [25]. Лишь в 2017 г. я вспомнил о работе А.Н. Колмогорова 1934 г., из которой сразу следует, что n = 1/3 [21].

Рис. 5.

Кумулятивные распределения числа литосферных плит по площадям

Источник: [2].

Пятна в океане. Идеи классиков исследования турбулентности были использованы мною в 2010 г. [26] для теоретического объяснения результатов экспериментов по расплыванию по поверхности океана пятен примеси, полученных в США А. Окубо [27] в 1971 г. Для этого использовались теория и эксперименты по морскому волнению в зависимости от возраста ветровых волн. Экспериментальные данные А. Окубо позволили ему оценить коэффициент диффузии в зависимости от размера пятен и их площадь – от времени. Обе зависимости степенные – K ~ ${{r}^{m}}$ и ${{t}^{n}}$. Для молодых волн $m = 4{\text{/}}3$ против экспериментального 1.32, для волн близких к насыщению $m = 1.15$ ± 0.05 против теоретического $7{\text{/}}6 \approx 1.167$ [2]. Рисунок 6 демонстрирует экспериментальные зависимости для развитых волн, когда $n = 2.33 \pm 0.11$ против теоретического значения $12{\text{/}}5 = 2.4$. Таким образом, теория через 40 лет после экспериментов, описанных в работе [27], в обоих случаях объяснила данные измерений, согласуясь с ними в пределах статистических ошибок.

Рис. 6.

Зависимость коэффициента турбулентной диффузии от размера пятна загрязнения на водной взволнованной поверхности для r < 100 м (а), для r > 100 м (б); зависимость площади пятна загрязнения поверхности океана от времени (в) (по данным А. Окубо)

Различные значки означают данные разных измерений

Источник: [2].

“Случайные движения”. В 2002–2003 гг. за рубежом были опубликованы работы по структуре турбулентности во вращающейся жидкости. В этом случае спектр флуктуаций скорости спадает с волновым числом k быстрее, чем в отсутствие вращения: k^–2 против ${{k}^{{ - 5/3}}}$. Эти результаты дали толчок началу работы по аналитической теории ураганов, спиралей на поверхности морей и океанов, огненных смерчей, схожих с теми, которые наблюдались при пожарах в результате бомбардировок Гамбурга в 1943 г., Дрездена и Хиросимы в 1945 г. Но об этом направлении исследований речь пойдёт после изложения теории А.Н. Колмогорова и его школы.

В начале 1930-х годов А.Н. Колмогоров опубликовал несколько статей по аналитическим методам теории вероятности. Их венцом явилась двухстраничная работа 1934 г. под названием “Случайные движения” [20]. В ней рассмотрен ансамбль частиц, в котором все они подвергаются некоррелированным (марковским) ускорениям по времени и между собой. Численное моделирование траекторий частиц по времени позволяет выяснить случайные скорости этих частиц, а второе интегрирование – случайные их положения. Далее осредняются квадраты относительных скоростей всех возможных пар частиц, а затем квадраты относительных расстояний между всеми парами. Момент для скоростей оказывается пропорциональным времени и коэффициенту диффузии ε частиц в пространстве скоростей. Квадрат относительных расстояний пропорционален $\varepsilon {{t}^{3}}$. Математическая сторона дела нетривиальна, но достаточно кратко и просто объяснена в работе [21]. Подробное объяснение можно найти в фундаментальной книге А.С. Монина и А.М. Яглома, бывших аспирантов Колмогорова [28]. Однако до того А.М. Обухов, с которым А.Н. Колмогоров в 1941 г. развил теорию турбулентности, разработав её спектральный вариант, обосновал присутствие в случайных движениях трёх масштабов, инвариантов [29] $\langle {{v}^{2}}{{u}^{2}}(t)\rangle = \varepsilon t$, $\langle {{x}^{2}}(t)\rangle $ = εt³, $\left\langle {{{u}_{i}}{{x}_{i}}} \right\rangle = \varepsilon {{t}^{2}}$.

Рисунок 7 из работы [21] демонстрирует поведение со временем этих масштабов в зависимости от величины ансамбля N, числа случайных частиц, на которые действуют случайные силы по законам Ньютона. Видно, что даже для N = 10 первый масштаб реализуется уже вполне удовлетворительно, а второй, благодаря интегрированию первичного процесса, эквивалентному осреднению, выполняется практически точно. Ансамбль с N = 100 имеет оба момента, не отличающиеся от теоретических с $N \to \infty $. Для распределений эйлеровых характеристик, в отличие от предыдущих лагранжевых, нужен ансамбль с N > 100.

Рис. 7.

Вторые моменты скорости и относительных смещений частиц в теории А.Н. Колмогорова, 1934

Источник: [2].

Моменты, пропорциональные времени, являются случайными нестационарными процессами, но со стационарными приращениями первого или второго порядка, теория и анализ которых развиты в 1955 г. А.М. Ягломом [28]. Для них также можно определить спектральные разложения, когда интегральная сумма их гармоник будет представлять их энергию. На рисунке 8 показано, как спектры флуктуаций скорости в атмосфере, в аэродинамической трубе, в морских приливах и т.д. в безразмерных координатах не отличаются один от другого, то есть подобны друг другу. Также используются степенные закономерности для коэффициентов диффузии пятен загрязнений на морской поверхности и для роста площади этих пятен со временем [2, 26].

Теория подобия и размерности бурно развивалась в ХХ веке. Выяснилось, что подобие наблюдается лишь в ограниченных интервалах действия так называемых критериев подобия. Внешне простая, но полная глубокого смысла теория наиболее полно развита трудами Г.И. Баренблатта [30] – в них описывается так называемая промежуточная асимптотика. На рисунке 8 такая асимптотика наблюдается для безразмерных масштабов от 10^–4 до 10^–1. Слева она ограничена отсутствием универсальности в области возникновения неустойчивости потока, справа – областью вязкой диссипации флуктуаций скорости, подавляющей эти флуктуации. В областях таких асимптотик движения автомодельны, то есть такие же, как в других масштабах, но при соответствующем изменении координат [30].

Рис. 8.

Нормированный спектр флуктуаций скорости (а) и спектры температуры (б). Различные значки обозначают данные разных экспериментов. Верхние ряды точек – измерения днём, конвекция, нижние ряды – ночные измерения

Источник: [2].

Зависящие от времени масштабы А.Н. Колмогорова могут рассматриваться как структурные функции и могут быть разложены в частотные степенные спектры, показатели степени которых на единицу меньше показателей времени у этих функций [28, 2 ]. Так процессам с масштабом $\varepsilon t$ соответствуют спектры $\varepsilon {{\omega }^{{ - 2}}}$, а процессам со стационарными приращениями второго порядка, когда $\langle {{x}^{2}}\rangle $ ~ $\varepsilon t$ отвечает спектр $\varepsilon {{\omega }^{{ - 4}}}$. Но это есть частотный спектр флуктуаций положений водной поверхности для морских ветровых волн. На самом деле этот спектр эволюционирует с возрастом волнения, безразмерной характеристикой, так что $n = 4 \pm 1{\text{/}}3$: молодые волны более крутые, так что $n = 13{\text{/}}3$, а волны развитые более пологие, и для них $n = 11{\text{/}}3$. Эти значения n объясняют распространение пятен загрязнений на водной поверхности до тысяч километров в течение нескольких месяцев [26] и на малых расстояниях до 100 м (о чём свидетельствуют публикации, появившиеся через 40 лет после данных измерений).

Кумулятивное распределение событий имеет размерность обратного времени. Если это распределения по геометрическим размерам, например, площадь S, тогда, согласно второму инварианту Колмогорова, это распределение будет ~S^–1/3, а если по интенсивности (энергии), то степень будет –1. Конечно, при этом могут подключаться другие процессы, как при землетрясениях, но если процессы более или менее однородны во времени и пространстве, то близость к указанным степеням сохраняется. Кто летал на самолётах вдоль берегов в хорошую погоду, замечал на водной поверхности “грибы” загрязнений при впадении рек. Их размер P сопоставлялся с площадями водосборов А. В работе [31] найдено, что P ~ A^b, а число “грибов” $N( \geqslant P)$ ~ ${{P}^{{ - \beta }}}$, при этом $b = 0.63$ ± 0.15 для 130 рек Калифорнии, а показатель $\beta = 1.02 \pm 0.03$. Для гидрологических процессов характерно, что кумулятивные распределения площадей затоплений и ущербов от них пропорциональны ${{A}^{{ - b}}}$, где $b \approx 2{\text{/}}3$ [33].

Многие подобные результаты можно получать, используя только методы теории подобия и размерности, но для их восприятия слушатели, как правило, просят представить дополнительную аргументацию, требуют модели. Работы А.Н. Колмогорова и его школы по методам практического их использования можно считать вероятностным обоснованием для применения такой теории, которая сама имеет ряд глубоких и тонких моментов [21].

Самым недавним успехом идей А.Н. Колмогорова и его школы стало объяснение и физическое обоснование так называемого правила Каулы [31], остававшегося загадкой с начала космической эры, то есть около 60 лет. Часто его называют “правилом большого пальца” как эмпирически найденное, но названное правилом по традиции и неясно на каких основаниях (рис. 9). Это правило гласит, что флуктуации гравитационного поля небесных тел, найденные сначала для Земли, потом для Луны, Венеры, Марса, а недавно и для астероидов, больших и малых, будучи разложенными по сферическим гармоникам, начиная с их небольшого номера, убывают как квадрат номера гармоники. Та же закономерность обнаружена и для рельефа поверхности названных выше тел. Это обстоятельство было объяснено тем, что рельеф образуется силой тяжести, действующей по углу случайной двумерной функции рельефа, а случайные углы не коррелированы друг с другом, начиная с некоторых масштабов порядка километра, что и ведёт к спектру k^–2 [32] (рис. 10).

Рис. 9.

Дискретные спектры (амплитуды сферических гармоник) рельефа поверхностей Земли (а) и Венеры (б)

Источник: [32].

Рис. 10.

Сплошные спектры рельефов Луны, Марса и Земли с двумя асимптотами ${{k}^{{ - 2}}}$ и ${{k}^{{ - 4}}}$

                         Источник: [32].