Водные ресурсы, 2020, T. 47, № 4, стр. 363-367
Двухмерный закон распределения случайных величин, имеющих трехпараметрические гамма-распределения С.Н. Крицкого и М.Ф. Менкеля (симметричный случай)
М. В. Болгов a, *, И. О. Сарманов a
a Институт водных проблем РАН
119333 Москва, Россия
* E-mail: bolgovmv@mail.ru
Поступила в редакцию 15.02.2019
После доработки 15.02.2019
Принята к публикации 11.04.2019
Аннотация
Рассмотрен метод построения двухмерного закона распределения в симметричном случае для трехпараметрического распределения С.Н. Крицкого и М.Ф. Менкеля, а также обсуждаются некоторые результаты применения рекомендуемой модели в прикладных гидрологических исследованиях. Для получения линейной корреляции трехпараметрических величин предложена система ортогональных функций с весовой функцией в виде трехпараметрического гамма-распределения. На основе метода ортогонализации получено выражение для двумерной симметричной плотности, которая удовлетворяет уравнению Маркова и характеризуется линейным уравнением регрессии. Результаты стохастического моделирования колебаний уровня воды бессточного оз. Чаны, выполненные на основе рекомендуемой модели, показали, что использование линейной корреляции приводит к величине асимметрии распределения уровня, которое хорошо согласуется с выборочными оценками этого параметра по данным наблюдений.
ВВЕДЕНИЕ
Специфика вероятностных гидрологических задач заключается в том, что величины речного стока – положительные случайные величины, распределения вероятностей которых асимметричны. В силу этого нормальное распределение вероятностей и связанное с ним двуxмерное нормальное распределение (нормальная корреляция) во многих случаях неприменимы в гидрологических исследованиях. Возникает необходимость разработки специальных приемов для анализа асимметричных распределений. Наиболее широко распространенное в гидрологических исследованиях распределение – трехпараметрическое гамма-распределение.
Метод построения двухмерной плотности распределения (двухмерного закона распределения), определяющей стационарный Марковский процесс, – в симметричном случае для трехпараметрических распределений С.Н. Крицкого и М.Ф. Менкеля, результат его применения в прикладных гидрологических исследованиях – применен к описанию многолетних колебаний уровня воды бессточного озера Чаны.
В стохастической гидрологии проблема построения двухмерного закона распределения с произвольными маргинальным распределениями рассматривалась различными авторами. Наиболее распространен подход, основанный на нормализации, а именно – на преобразовании классического нормального закона распределения в совместную плотность равномерно-распределенных случайных величин, а затем в совместное распределение случайных величин с заданным асимметричным распределением. Другой, более простой метод – замена переменной в совместном распределении равномерно-распределенных случайных величин, построенном на основе известного разложения по ортогональным полиномам Лежандра. Предлагались и другие подходы, подробно исследованные Д.Я. Ратковичем, А.Ш. Резниковским, М.В. Болговым и др. Все методы при корректном построении дают двухмерную плотность распределения, позволяющую решать водохозяйственные задачи. Проблема заключается в том, что модель обладает различными свойствами в зависимости от метода построения получаемая вероятностная. Так, например, нелинейная замена переменной в двухмерной плотности, обладающей линейным уравнением регрессии, приводит к совместному распределению случайных величин уже с нелинейным уравнением регрессии.
Данная работа основана на идеях, многие годы разрабатывавшихся в области теории вероятностей И.О. Сармановым. Основные сложности в реализации предлагаемого подхода были связаны с вычислительными трудностями при использовании распределения Крицкого и Менкеля. Развитие вычислительной техники позволило преодолеть некоторые из них.
ДВУХМЕРНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть случайные величины ξ и η распределены по трехпараметрическому закону Крицкого и Менкеля и имеют соответствующие плотности распределения ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{2}}$:
(1)
$\begin{gathered} {{p}_{1}}(x) = {{\left[ {\frac{{\Gamma ({{\gamma }_{1}} + {{b}_{1}})}}{{\Gamma ({{\gamma }_{1}})}}} \right]}^{{\frac{{{{\gamma }_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}}}}\frac{1}{{\Gamma ({{\gamma }_{1}})\left| {{{b}_{1}}} \right|{{x}_{0}}}}{{\left( {\frac{x}{{{{x}_{0}}}}} \right)}^{{\frac{{{{\gamma }_{1}}}}{{{{b}_{1}}}} - 1}}} \times \\ \times \,\,\exp \left\{ { - {{{\left[ {\frac{x}{{{{x}_{0}}}}\frac{{\Gamma ({{\gamma }_{1}} + {{b}_{1}})}}{{\Gamma ({{\gamma }_{1}})}}} \right]}}^{{\frac{1}{{{{b}_{1}}}}}}}} \right\},\,\,\,\,x \geqslant 0, \\ \end{gathered} $(2)
$\begin{gathered} {{p}_{2}}(y) = {{\left[ {\frac{{\Gamma ({{\gamma }_{2}} + {{b}_{2}})}}{{\Gamma ({{\gamma }_{2}})}}} \right]}^{{\frac{{{{\gamma }_{2}}}}{{{{b}_{2}}}}}}}\frac{1}{{\Gamma ({{\gamma }_{2}})\left| {{{b}_{2}}} \right|{{y}_{0}}}}{{\left( {\frac{y}{{{{y}_{0}}}}} \right)}^{{\frac{{{{\gamma }_{2}}}}{{{{b}_{2}}}} - 1}}} \times \\ \times \,\,\exp \left\{ { - {{{\left[ {\frac{y}{{{{y}_{0}}}}\frac{{\Gamma ({{\gamma }_{2}} + {{b}_{2}})}}{{\Gamma ({{\gamma }_{2}})}}} \right]}}^{{\frac{1}{{{{b}_{2}}}}}}}} \right\},\,\,\,\,y \geqslant 0, \\ \end{gathered} $(3)
${{\alpha }_{k}} = \mathop \smallint \limits_0^\infty {{x}^{k}}{{p}_{1}}\left( x \right)dx = \frac{{\Gamma \left( {{{\gamma }_{1}} + {{b}_{1}}k} \right)}}{{\Gamma \left( {{{\gamma }_{1}}} \right)}}{{\left[ {\frac{{\Gamma \left( {{{\gamma }_{1}}} \right){{x}_{0}}}}{{\Gamma \left( {{{\gamma }_{1}} + {{b}_{1}}} \right)}}} \right]}^{k}},$(4)
${{\beta }_{k}} = \mathop \smallint \limits_0^\infty {{y}^{k}}{{p}_{2}}\left( y \right)dy = \frac{{\Gamma \left( {{{\gamma }_{2}} + {{b}_{2}}k} \right)}}{{\Gamma \left( {{{\gamma }_{2}}} \right)}}{{\left[ {\frac{{\Gamma \left( {{{\gamma }_{2}}} \right){{y}_{0}}}}{{\Gamma \left( {{{\gamma }_{2}} + {{b}_{2}}} \right)}}} \right]}^{k}}.$Будем говорить, что между неотрицательными случайными величинами ξ и η существует линейная корреляция, если эти величины имеют совместную плотность распределения
(5)
$p\left( {x,y} \right) = {{p}_{1}}\left( x \right){{p}_{2}}\left( y \right)\left[ {1 + \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty {{R}^{k}}{{P}_{k}}\left( x \right){{P}_{k}}\left( y \right)} \right]$Вычисление требуемых ортонормированных полиномов выполняется методом ортогонализации Грама–Шмидта с использованием их явного выражения через моменты весовой функции [5]. В данном случае весовой функцией является трехпараметрическая плотность распределения, описываемая уравнением (1) для полиномов ${{P}_{n}}(x)$ и уравнением (2) для полиномов ${{P}_{n}}(y)$. Таким образом, ортонормированные полиномы ${{P}_{n}}(x)$ определяются следующими формулами:
(6)
$\begin{gathered} {{P}_{n}}(x) = {{K}_{n}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\alpha }_{0}}}&{{{\alpha }_{1}}}&\Lambda &{{{\alpha }_{n}}} \\ {{{\alpha }_{1}}}&{{{\alpha }_{2}}}&\Lambda &{{{\alpha }_{{n + 1}}}} \\ \begin{gathered} \,\,\Lambda \hfill \\ {{\alpha }_{{n - 1}}} \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} \Lambda \hfill \\ {{\alpha }_{n}} \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} \Lambda \hfill \\ \Lambda \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} \Lambda \hfill \\ {{\alpha }_{{2n - 1}}} \hfill \\ \end{gathered} \\ 1&x&\Lambda &{{{x}^{n}}} \end{array}} \right|, \\ {{K}_{n}} = {{\left( {{{D}_{{n - 1}}}{{D}_{n}}} \right)}^{{ - \frac{1}{2}}}},\,\,\,\,n = 1,\,\,2,\,\,..., \\ \end{gathered} $(7)
${{P}_{n}}(x) = {{K}_{n}}\left( {{{A}_{{n + 1,n + 1}}}{{x}^{n}} + {{A}_{{n + 1,n}}}{{x}^{{n - 1}}} + \Lambda + {{A}_{{n + 1,1}}}} \right),$Покажем, что корреляция случайных величин $\xi $ и $\eta $, задаваемая формулой (5), линейная, для чего вычислим первый момент условного распределения (условное математическое ожидание) величины $\eta $ при фиксированном значении $\xi = x$:
Таким образом, функция регрессии $\bar {y}(x)$ – линейная функция x.
Вычислим моменты условного распределения случайной величины $\eta $ более высокого порядка. Условный момент k-го порядка ${{m}_{{0k}}}$ выражается так:
(10)
${{m}_{{0k}}} = \int\limits_0^\infty {{{y}^{k}}{{p(x,y)} \mathord{\left/ {\vphantom {{p(x,y)} {{{p}_{1}}(x)dy}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{1}}(x)dy}}} .$(11)
${{y}^{k}} = {{C}_{{1,k}}}{{P}_{1}}(y) + {{C}_{{2,k}}}{{P}_{2}}(y) + \Lambda + {{C}_{{k,k}}}{{P}_{k}}(y).$(12)
${{C}_{{i,k}}} = {{K}_{i}}\sum\limits_{j = 1}^{i + 1} {{{A}_{{i + 1,j}}}{{\beta }_{{k + j - 1}}}} .$С учетом соотношений (11)–(12) выражение (10) для моментов условного распределения k-го порядка преобразуется к виду:
(13)
${{m}_{{ok}}}(x) = {{\beta }_{k}} + \sum\limits_{i = 1}^k {{{C}_{{i,k}}}{{P}_{i}}(x){{R}^{i}}} ,$Таким образом, на основе системы ортогональных функций с весовой функцией в виде трехпараметрического гамма-распределения получена симметричная плотность, которая удовлетворяет уравнению Маркова и характеризуется линейным уравнением регрессии (9).
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ МНОГОЛЕТНИХ КОЛЕБАНИЙ УРОВНЯ ОЗЕРА ЧАНЫ
В качестве приложения полученных результатов рассмотрим эффекты, возможные при стохастическом моделировании колебаний уровня воды бессточного оз. Чаны.
Озеро Чаны находится в пределах Обь-Иртышского междуречья и обладает своеобразным водным режимом с внутривековыми циклическими (пульсационными) колебаниями с периодами различной продолжительности. Управление уровенным режимом озера требует знания закономерностей формирования его водного баланса в вероятностной форме. Колебания уровня воды h бессточного водоема могут быть описаны с помощью уравнения водного баланса:
(14)
$\frac{{dh}}{{dt}} = {{{v}(t)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{v}(t)} {S(h)}}} \right. \kern-0em} {S(h)}} - e(t),$Моделирование искусственных последовательностей компонентов водного баланса озера основывается на схеме простой цепи Маркова, для чего необходимо располагать условным распределением, которое является функцией перехода, определяющей процесс моделирования искусственных реализаций исследуемых процессов:
(15)
$F({y \mathord{\left/ {\vphantom {y x}} \right. \kern-0em} x}) = \int\limits_0^y {{{p}_{2}}(y)\left[ {1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{R}^{k}}{{P}_{k}}(x){{P}_{k}}(y)} } \right]} dy.$Варианты расчета уровня воды | Средний уровень, м БС | Коэффициент асимметрии ${{C}_{s}}$ |
---|---|---|
Моделирование притока по модели 1 с линейным уравнением регрессии | 106.14 | 0.08 |
Моделирование притока по модели 2 с нелинейным уравнением регрессии [5] | 106.16 | –0.32 |
Последовательность наблюденных уровней воды | 106.2 | 0.85 |
Для моделирования искусственных рядов входного случайного процесса речного притока использовались две стохастические модели: модель 1 – на основе полученной авторами статьи симметричной плотности распределения с линейной регрессией (9) между случайными величинами, имеющими трехпараметрические гамма-распределения (2); модель 2 – с линейной корреляцией между равномерно распределенными значениями случайных величин (между их обеспеченностями), но с нелинейной регрессией между исходными случайными величинами [4]. Обе модели достаточно точно воспроизводят статистические характеристики моделируемых рядов по отношению к безусловным выборочным характеристикам случайного процесса, но характер условных распределений различается существенно. Результаты моделирования колебаний уровня воды в оз. Чаны по уравнению (14) приведены в таблице, данные которой показывают, что использование линейной корреляции (5) приводит к заметно большей величине асимметрии распределения уровня воды в озере, что лучше соответствует оценке этого параметра, полученной по данным наблюдений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрен вариант двухмерного распределения вероятностей, отражающего специфику вероятностных задач, решаемых в прикладной гидрологии, и задающего линейный марковский процесс. Этот результат позволяет рассматривать широкий круг практических задач, оставаясь в рамках марковского приближения, в рамках корреляционной теории случайных процессов.
Дальнейшая задача исследований в данной области – задание процесса Маркова в форме уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова для одномерных трехпараметрических распределений Крицкого и Менкеля, что позволит перейти к вычислению разнообразных вероятностных характеристик процесса стока без трудоемких имитационных расчетов.
Статья посвящена памяти Ибрагима Олеговича Сарманова, крупнейшего специалиста, внесшего серьезный вклад в развитие российской стохастической гидрологии, учителя и старшего товарища.
Список литературы
Болгов М.В., Сарманов И.О., Сарманов О.В. Марковские процессы в гидрологии. М.: ИВП РАН, 2009. 211 с.
Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматлит, 1962. 883 с.
Пульсирующее озеро Чаны. Л.: Наука, 1982. 304 с.
Раткович Д.Я. Стохастическая модель колебаний годового стока рек // Вод. ресурсы. 1972. № 1. С. 52–94.
Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Водные ресурсы