Водные ресурсы, 2023, T. 50, № 1, стр. 39-52

Вывод формулы для нормализованного ущерба от затопления селитебной территории

Рассмотрим сначала типичную ситуацию с расположением населенного пункта вдоль водотока частично на плоской пойме, частично на береговом откосе (рис. 1). На самом деле на пойме может быть неровный рельеф (возвышения, впадины), но эти случаи соответствуют рассматриваемой схеме, если рельеф расчленить на отдельные участки.

Предположим, что средняя ширина плоской части поймы по нормали к руслу – B, средний угол наклона берегового откоса к горизонту в ортогональном руслу направлении – α, глубина воды на данной вертикали – h, отметка поймы (или нижняя отметка застроенной территории) – Z0, глубина затопления от этой отметки – H, протяженность населенного пункта вдоль русла – L (рис. 1).

Основные ущербы от затопления в локальной области на местности связаны с двумя определяющими факторами [8] – динамическим и статическим.

1. Динамический фактор характеризуется кинетической энергией столба воды высотой h с единичной площадью основания, которая преобразуется в разрушающий динамический напор при взаимодействии с сооружениями (либо людьми, транспортными средствами и т. п.) и выражается формулой

где ρ – плотность жидкости, v – средняя по глубине скорость на данной вертикали.

2. Статический фактор характеризуется глубиной затопления и временем затопления T (временем стояния высоких вод). Определенная глубина затопления может привести к всплытию легких деревянных строений за счет Архимедовой силы даже при незначительных или нулевых скоростях течения, а также может быть причиной гибели людей, порчи интерьеров, мебели, автомобилей, сельхозугодий и пр.

Оба перечисленных фактора приводят как к разрушению или повреждению жилого фонда, промышленных зданий и сооружений, инфраструктурных и сельскохозяйственных объектов, так и к травмам или гибели людей.

Учитывая уравнение Шези

(g – ускорение свободного падения, I – продольный уклон водной поверхности на пойме, λ – коэффициент гидравлического сопротивления поймы), получим из (1), (2) здесь К₁ – коэффициент, слабо зависящий от глубины потока в данном месте (через коэффициент гидравлического сопротивления).

Далее, предполагая, что время стояния высоких вод в первом приближении пропорционально глубине стояния (чем больше глубина затопления, тем обычно дольше продолжается и само затопление), получим выражение для статического фактора

К₂ – коэффициент, не зависящий (или слабо зависящий) от глубины потока в данном месте.

Вводя стоимостные коэффициенты А₁ и А₂ (которые зависят от вида, этажности и стоимости 1 м² жилья, стоимости объектов инфраструктуры, стоимости сельхозпродукции на затапливаемых территориях, ущерба экологии и т. п.), из (3) и (4) получим выражение для локального (на единицу площади в конкретной точке населенного пункта) ущерба в стоимостном выражении

где величиной $A{\kern 1pt} {\text{'}}$ обозначена сумма стоимостных коэффициентов (в круглых скобках), слабо зависящая от h.

Подчеркнем, что физическая природа коэффициентов К₁, К₂ разная, и также принципиально будут различаться стоимостные коэффициенты А₁, А₂. Например, для многоэтажного железобетонного здания А₁ будет близким к нулю, потому что оно паводком не разрушится, а А₂ может быть значительным, поскольку высоким уровнем воды будет повреждена отделка здания, интерьеры, мебель, товары в расположенных на первых этажах магазинах и т. п. С другой стороны, для 1–2-этажных деревянных зданий соответствующий динамический напор может привести к сносу их с фундамента и полному разрушению, т. е. в этом случае коэффициент А₁ окажется определяющим.

Интегрируя выражение (5) по площади затапливаемой городской территории при максимальной глубине затопления Н с учетом того, что ширина полосы затопления плоской поймы будет равна В, ширина полосы затопления откоса будет, согласно схеме, пропорциональна глубине Н, – получим

здесь D – суммарный ущерб от затопления рассматриваемой территории в стоимостном выражении; H – максимальная глубина затопления; C₁, C₂ – интегральные стоимостные коэффициенты, не зависящие (или слабо зависящие) от глубины затопления.

Таким образом, суммарный ущерб от затопления селитебной территории пропорционален линейной комбинации квадрата и куба максимальной глубины затопления. Обобщенные стоимостные коэффициенты могут быть определены на основе имеющихся нормативных документов по расчету вероятного вреда (например, [8]), а также на основе дополнительных исследований.

Для упрощения дальнейших выкладок запишем формулу (6) в приближенном виде:

здесь $2 \leqslant \gamma \leqslant 3~$, причем значение γ конкретизируется в зависимости от топографии затапливаемой области.

Вывод формулы для расчета нормализованного ущерба от затопления ОПО

В случае ОПО в силу их специфики суммарный ущерб будет определяться не степенной, а показательной функцией вида

С₃ – стоимостной коэффициент; Н – глубина затопления, отсчитываемая не от поверхности поймы, а от горизонтальной плоскости верха промышленной площадки (АЭС, нефтехимического предприятия и т. п.), на которой по проекту в одной отметке расположены все сооружения объекта (рис. 2); d – коэффициент, имеющий размерность длины. Подберем его исходя из условия, чтобы ущерб от затопления промплощадки на каждый последующий метр увеличивался в 10 раз. Тогда d = 0.44 м.

Показательная функция в нужном диапазоне изменения (0 < Н/d < 9) может быть с приемлемой для решаемых задач погрешностью аппроксимирована степенными функциями вида (рис. 3):

Таким образом, суммарный ущерб от затопления селитебной территории или ОПО пропорционален максимальной глубине затопления для рассматриваемого сценария в степени $2 \leqslant \gamma \leqslant 4$ и может быть рассчитан по формуле (7) с повышенным до 3.5–4.0 значением коэффициента $\gamma $ для ОПО.

Определение нормализованного риска однократного затопления селитебных территорий и объектов повышенной опасности

Запишем вероятность затопления согласно подобранным выше логарифмическим аппроксимациям этих кривых в виде

При $z = b,P = 1$ производная вероятности по z имеет вид

Для величины риска затопления с учетом формулы (7) получим

где показатель степени $\gamma $ может принимать значения от 2 до 4 согласно формуле (7) с учетом корректировки (увеличения до 3.5–4.0) для объектов повышенной опасности. Из условия экстремума $R{\kern 1pt} {\kern 1pt} ' = 0$ с учетом (11) следует или после сокращения Обратим внимание, что $z - {{z}_{0}} = H~$ – глубина затопления поймы.

В формулах (10), (11), (13) примем $\beta = 2$, что, с одной стороны, дает хорошую аппроксимацию кривых вероятности, а с другой стороны – позволяет получить простые аналитические зависимости. Тогда из (13) получается квадратное уравнение

$z - b = H + {{z}_{0}} - b$ подставляем в (14)                          $\mathop \Rightarrow \limits_{} \frac{{H + {{z}_{0}} - b}}{a}$ $\frac{H}{a} = \frac{\gamma }{2}.$

Обозначим $\frac{H}{a} = {{H}_{N}}$ – нормированная глубина затопления, тогда

Обозначив ${{\Delta }_{N}} = \frac{{{{z}_{0}} - b}}{a} \geqslant 0$ (иначе $P\left( {{{z}_{0}}} \right) > 1)$, получим Если ${{\Delta }_{N}} = 0$ (частный случай: ${{z}_{0}} = b$), то ${{H}_{{{{N}_{*}}}}} = \sqrt {\frac{\gamma }{2}} $, здесь нормированная глубина со звездочкой ${{H}_{{{{N}_{*}}}}}$ – корень квадратного уравнения, обозначает глубину затопления, которой соответствует наибольший риск.

В общем случае наихудшая (в смысле максимизации риска затопления) нормированная глубина находится по формуле (16) для корней квадратного уравнения (15)

Нормализованный (безразмерный) риск при $2 \leqslant \beta \leqslant 4$ выражается формулой По формуле (17) могут быть рассчитаны нормализованные риски затопления при подстановке в нее фактических параметров, представленных для анализируемых створов в табл. 2. Нормализованный риск зависит от трех параметров: $\gamma ,{{\Delta }_{N}},\beta $, которые определяются условиями местности, типом застройки и видом кривой вероятности.

По данным табл. 2 и по формуле (17) построены графики на рис. 7 для исследуемых створов (за исключением Великого Устюга, график для которого расположен на порядок выше по оси ординат). Видно, что все кривые имеют выраженные максимумы, а при больших ${{H}_{N}}$ быстро убывают до нуля.

Например, для г. Ростов-на-Дону ${{H}_{{{{N}_{*}}}}}$ = 0.66; это означает, что размерная глубина ${{H}_{*}}$, соответствующая максимальному риску от затопления, равна 0.66 × 2.66 м = 1.76 м над нижней отметкой застроенной поймы Z 0 = 2.0 м БС (табл. 2). Соответственно, опасная (в смысле максимального риска) отметка затопления равна 3.76 м БС, что приблизительно соответствует 2–3%-му затоплению и на 0.7 м ниже отметки 1%-го затопления 4.45 м БС (рис. 4).

Для ст. Раздорской с тем же ${{H}_{{{{N}_{*}}}}}$ = 0.66 размерная глубина ${{H}_{*}}$, соответствующая максимальному риску от затопления, равна 0.66 × 4.04 м = 2.67 м над нижней отметкой застроенной поймы Z0 = = 6.0 м БС (табл. 2). Соответственно, опасная отметка затопления равна 8.7 м БС, что также приблизительно соответствует 2–3%-му затоплению и на 1.0 м ниже отметки 1%-го затопления.

Для г. Тулуна ${{H}_{{{{N}_{*}}}}}$ = 0.63, размерная глубина ${{H}_{*}}$, соответствующая максимальному риску от затопления, равна 0.63 × 5.28 м = 3.33 м над нижней отметкой застроенной поймы Z 0 = 458.0 м БС (табл. 2). Соответственно, опасная отметка затопления равна 461.3 м БС, что также приблизительно соответствует 2–3%-му затоплению и на 0.9 м ниже отметки однопроцентного затопления.

Таким образом, в рассмотренных примерах уровень максимального риска единичного затопления находится в диапазоне отметки затопления 2–3%, а уровень 1%-го затопления – на 0.7–1.0 м выше. Если введем в формулу для вероятности затопления (10) при $\beta = 2$ выражение для наихудшей нормированной глубины (16) и подставим в эту формулу характерные значения $\gamma = 2.5~$ и ${{\Delta }_{N}}~ = 1.3$ (табл. 2), то получим вероятность достижения наихудшей нормированной глубины, равную 0.023, или 2.3%, что хорошо согласуется с приведенным выше диапазоном 2–3%, полученным по натурным данным.

На основе кривой рисков можно планировать мероприятия по защите населенного пункта от затопления. Очевидно, что необходима по крайней мере защита (дамбы обвалования, подсыпка территории при новой застройке) не ниже отметки затопления с максимальным уровнем риска единичного затопления.

Для г. Ростов-на-Дону для снижения риска затопления в 10 раз по сравнению с максимальным необходима защита территории на глубину 4.5 м (на 1.7 нормированной глубины), или до абсолютной отметки 6.5 м БС, что приближается к вероятности затопления 2 × 10^–4 1/год (рис. 4). Для ст. Раздорской для снижения риска единичного затопления в 10 раз по сравнению с максимальным необходима защита территории на глубину 6.9 м (на 1.7 нормированной глубины), или до абсолютной отметки 12.9 м БС, что тоже приближается к вероятности затопления 2 × 10^–4 1/год. Для г. Тулуна для снижения риска единичного затопления в 10 раз по сравнению с максимальным необходима защита пойменной территории на глубину 9.0 м (на 1.7 нормированной глубины), или до абсолютной отметки 467.0 м БС, что соответствует вероятности затопления 10^–4 1/год.

Таким образом, видно, что на разных реках и в разных створах высокая степень защиты селитебных территорий с маленьким риском будет обеспечена при подъеме отметок защитных сооружений на уровень затопления вероятностью порядка 10^–3–10^–4 1/год, но уж никак не 10^–2 1/год, которая принята в настоящее время в Российской Федерации по нормативным документам.

Для ОПО (АЭС Руппур и Балаково) функция риска затопления строилась по тем же формулам с повышенным коэффициентом γ при конкретных значениях коэффициентов, полученных для этих станций. Фактические значения для АЭС Руппур: a = 1.5 м, c = 0.4 м, ${{\Delta }_{N}}~$ = 1.39, ${{H}_{{{{N}_{*}}}}}$ = 0.7, ${{H}_{*}}$ = 1.05 м, 3${{H}_{*}}$ = 3.15 м. Максимум единичного риска для АЭС Руппур наступает при отметке затопления 15.05 мPWD, а уменьшенный в 10 раз риск – при отметке 17.15 мPWD, что соответствует вероятности затопления 2 × 10^–6 1/год (рис. 6).

Для Балаковской АЭС имеем ${{H}_{{{{N}_{*}}}}}$ = 0.6, ${{H}_{*}}$ = = 0.72 м, 3${{H}_{*}}$ = 2.16 м. Поэтому максимум риска наступает при отметке затопления 31.72 м БС, а уменьшенный в 10 раз риск – при отметке 33.16 м БС, что на 1 м ниже фактической отметки промплощадки. Таким образом, Балаковская АЭС построена на высоких отметках, надежно обеспечивающих ее защиту от наводнений и волн прорыва.

Построение интегральных кривых рисков затопления при разных значениях параметров

Выше рассмотрены риски единичного затопления, т.е. когда сразу для всей данной территории единовременно вдруг возникла угроза или произошло катастрофическое затопление. Однако если ставить вопрос о долговременной защите какой-то территории от возможного затопления, то необходимо оценить остаточный риск, который возникнет только после того, как критический уровень воды превысит уровень защитных сооружений, а при меньших уровнях никаких рисков не будет, поскольку не будет затоплений селитебных территорий или ОПО (конечно, при условии обеспечения надежности работы этих сооружений).

Для решения этой задачи надо рассчитать нормализованный интегральный риск, который возникает при достижении заданной отметки затопления (совпадающей, по-видимому, с отметкой верха защитных сооружений). В общем случае в соответствии с формулой (17) он выражается величиной интеграла

где для упрощения записи принимаем x = H_N – нормированная глубина затопления.

Введем обозначения: ${\text{erf}}\left( z \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int_0^z {{{{\text{e}}}^{{ - {{t}^{2}}}}}dt} $ – функция ошибок (интеграл вероятности) – интеграл распределения Гаусса; ${\text{erfс}}\left( z \right) = 1 - {\text{erf}}\left( z \right) = $ $ = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int_z^\infty {{{{\text{e}}}^{{ - {{t}^{2}}}}}dt} $ – дополнительная функция ошибок.

Тогда получаются следующие выражения для интегралов:

при $\gamma = 2$, $\Delta = 0$

${{I}_{{20}}}\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_0^x {{x}^{2}}{{{\text{e}}}^{{ - {{x}^{2}}}}}dx$ $ = \frac{1}{4}\left( {\sqrt \pi {\text{\;erf}}\left( x \right) - 2{{{\text{e}}}^{{ - {{x}^{2}}}}}x} \right),$

при $\gamma = 3$, $\Delta = 0$

${{I}_{{30}}}\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_0^x {{x}^{3}}{{{\text{e}}}^{{ - {{x}^{2}}}}}dx$ $ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}{{{\text{e}}}^{{ - {{x}^{2}}}}}\left( {{{x}^{2}} + 1} \right)$,

при $\gamma = 4$, $\Delta = 0$

${{I}_{{40}}}\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_0^x {{x}^{4}}{{{\text{e}}}^{{ - {{x}^{2}}}}}dx = \frac{3}{8}\sqrt \pi {\text{\;erf}}\left( x \right) - \frac{1}{4}{{e}^{{ - {{x}^{2}}}}}x\left( {2{{x}^{2}} + 3} \right),$

Графики этих функций представлены на рис. 8.

Приведем полученные интегралы к нормальному виду, поделив их на соответствующие максимальные значения:

и решим в численном виде для ${{\Phi }_{{\gamma \Delta }}} = 0.9,~0.99$ при $\gamma = 2,~3,~4,~~\Delta = 0$ и при $\gamma = 3,~~\Delta = 0,~1,~2.$ Выше приведены значения аргумента x (безразмерной глубины), при которых интегральная двухпараметрическая функция распределения нормализованного (безразмерного) риска при $\Delta = 0~$ принимает значения 0.9 и 0.99, т. е. при этих значениях отсекается 90 и 99% риска. Для 90% значение x близко к 2, а для 99% к 2.5. Наибольшее значение – x = 2.75 получается при показателе степени $\gamma = 4,$ т. е. для объектов повышенной опасности.

Однако, как видно из табл. 2, значения $\Delta ,$ близкие к нулю, довольно редки, а наиболее часто встречающиеся значения – в диапазоне 1.1–1.5. При этом характерное значение – $\gamma $ = 3 (среднее предельных значений 2 и 4). Выпишем решения интегральных уравнений для этих значений.

Видно, что в этих наиболее характерных случаях x – в диапазоне от 1.5 до 2.0. Графики этих функций приведены на рис. 9.

Если эти безразмерные глубины, нормированные на параметр а (табл. 1, 2), пересчитать в доли характерных опасных глубин ${{H}_{{{{N}_{*}}}}}$, которые соответствуют максимальным ущербам при одноразовом затоплении, то получим приближенную оценку, согласно которой минимизация рисков на 90% достигается при удвоенной опасной глубине затопления, а минимизация на 99% – при утроенной опасной глубине. Это в некоторой степени напоминает правило 3σ для нормального распределения Гаусса. Напомним, что опасная глубина соответствует вероятности затопления ~2%.