Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 8, стр. 1410-1418
Один подход к численному решению основного уравнения магнитостатики для плоскопараллельной пластины с инородным включением произвольной формы
В. В. Дякин 1, *, О. В. Кудряшова 1, В. Я. Раевский 1
1 Институт физики металлов им. М.Н. Михеева
Уральского отделения РАН (ИФМ УрО РАН)
620108 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18, Россия
* E-mail: physics@imp.uran.ru
Поступила в редакцию 16.12.2018
После доработки 29.01.2019
Принята к публикации 10.04.2019
Аннотация
Рассмотрена конфигурация магнетиков в виде однородной пластины с дефектом типа внутренней полости или инородного вкрапления произвольной формы. Исходя из основного интегро-дифференциального уравнения магнитостатики для внешнего поля произвольной конфигурации получено выражение напряженности результирующего магнитного поля через значение ее нормальной составляющей только на граничной поверхности дефекта. Получено уравнение для определения этой составляющей. Указана предыдущая работа авторов, в которой для частного случая рассматриваемой ситуации на основе указанного уравнения реализован численный алгоритм и построены графики зависимости компонент результирующего поля от физических и геометрических параметров рассмотренной конфигурации. Библ. 16. Фиг. 2.
1. ВВЕДЕНИЕ
Для решения многих практических задач из области магнетизма, например, задач неразрушающего магнитного контроля, актуальной является проблема создания обоснованных алгоритмов аналитического или численного решения задач магнитостатики применительно к магнитным телам различной формы с возможными инородными включениями. Обоснованные эффективные методы решения такого рода задач имеются по большей части для безграничных модельных осесимметричных тел относительно простой геометрической формы с бесконечно протяженными дефектными включениями в виде цилиндра с эллипсоидальным сечением, помещенных в постоянное внешнее магнитное поле определенного (удобного для исследования) направления, что позволяло во многих случаях свести задачу к двумерной (см., например, [1]–[4]). Такие ограничения в основном связаны с достаточно серьезными математическими проблемами, возникающими при исследовании и выработке оптимального аналитического (или численно-аналитического) алгоритма решения получающихся из системы уравнений Максвелла дифференциальных или интегральных уравнений на многообразиях сложной формы. Однако большой теоретический и практический интерес представляют задачи для тел с включениями конечных размеров в произвольном внешнем поле. Например, в [5] в этом направлении исследуется шаровой дефект в магнетике шаровой формы. В настоящей работе получены формулы для расчета напряженности результирующего магнитного поля для однородной магнитной пластины конечной толщины с произвольным дефектом (типа полости или инородного вкрапления) конечных размеров, помещенной в произвольное внешнее магнитное поле. Подобного рода задачи решались, например, в работах [6]–[8]. В работе [6] получены аналитические формулы для оценивания магнитостатических полей при намагничивании тонкой однородной ферромагнитной пластины, но при отсутствии дефектов в ней. В работе [7] получены формулы для расчета напряженности результирующего магнитного поля для однородного магнитного полупространства с конечным дефектом в виде полости, помещенного в произвольное внешнее магнитное поле. В работе [8] тоже исследуется поле от пластины с конечным дефектом, однако рассмотрен дефект только в виде воздушной полости и при специальной конфигурации внешнего поля.
2. ОБЩАЯ СХЕМА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОСТИ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Для решения указанных выше задач мы исходим из так называемого основного уравнения магнитостатики (см., например, [9, с. 16])
(2.1)
${\mathbf{H}}({\mathbf{r}}) - \nabla {\text{div}}\int\limits_\Omega {\frac{{(\mu - 1){\mathbf{H}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{4\pi {\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}}}}} {\kern 1pt} d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ' = {{{\mathbf{H}}}^{0}}({\mathbf{r}}),\quad {\mathbf{r}} \in {{R}^{3}}{\backslash }S.$Напряженность результирующего поля ${\mathbf{H}}({\mathbf{r}})$ внутри и вне магнетика определяется из (2.1) по следующей схеме. Полагая ${\mathbf{r}} \in \Omega $ в (2.1), получают интегро-дифференциальное уравнение относительно напряженности поля ${\mathbf{H}}({\mathbf{r}})$ внутри магнетика. Доказано (см., например, [10]–[13]), что это уравнение, рассматриваемое в вещественном гильбертовом пространстве ${{{\mathbf{L}}}_{2}}(\Omega )$ вектор-функций ${\mathbf{M}}({\mathbf{r}})$ с (конечной) нормой
(2.2)
${\mathbf{H}}({\mathbf{r}}) = {{{\mathbf{H}}}^{0}}({\mathbf{r}}) + \nabla {\text{div}}\int\limits_\Omega {\frac{{(\mu - 1){\mathbf{H}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{4\pi {\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\text{|}}}}} {\text{ }}d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ',\quad {\mathbf{r}} \in {{R}^{3}}{\backslash }\bar {\Omega }.$Понятно, что основная сложность при реализации описанной схемы заключается в ее первой части, т.е. получении решения уравнения (2.1) для ${\mathbf{r}} \in \Omega $.
3. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПОЛЯ МАГНИТНОЙ ПЛАСТИНЫ С ВНУТРЕННИМ ДЕФЕКТОМ
Рассмотрим ситуацию, когда магнетик, занимающий область $\Omega $ (конечную или нет) является неоднородным в том смысле, что внутри $\Omega $ есть конечная подобласть ${{\Omega }_{d}} \subset \Omega $, в которой постоянная магнитная проницаемость ${{\mu }_{d}}$ отлична от постоянной магнитной проницаемости $\mu $ остальной части магнетика ${{\Omega }_{1}}: = \Omega {\backslash }{{\Omega }_{d}}$ (см. фиг. 1). Такую область ${{\Omega }_{d}}$ можно интерпретировать как дефект (инородное включение или воздушная полость), обнаружение и описание которого являются основной задачей неразрушающего контроля изделий методами магнитной дефектоскопии. Для такой конфигурации магнетиков соотношение (2.1) может быть приведено к виду (см., например, [7], [13, с. 257]):
(3.1)
${\mathbf{H}}({\mathbf{r}}) + \frac{{\mu - 1}}{{4\pi }}\nabla \int\limits_{{{S}_{1}}} {\frac{{{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} {\text{'}} - \frac{{\mu - {{\mu }_{d}}}}{{4\pi {{\mu }_{d}}}}\nabla \int\limits_S {\frac{{{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\text{|}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} ' = {{{\mathbf{H}}}^{0}}({\mathbf{r}}),\quad {\mathbf{r}} \in {{R}^{3}}{\backslash }(S \cup {{S}_{1}}),$Пусть область $\Omega $, занятая магнетиком с постоянной магнитной проницаемостью μ, заключена между двумя параллельными плоскостями ${{S}_{1}}$ и ${{S}_{2}}$. Внутри имеется произвольная “дефектная” область ${{\Omega }_{d}} \subset \Omega $, ограниченная поверхностью $S$ и занятая магнетиком с постоянной проницаемостью ${{\mu }_{d}}$ (случай ${{\mu }_{d}} = 1$ соответствует воздушной полости, а ${{\mu }_{d}}$>$1$ соответствует инородному вкраплению). Введем пространственную декартову систему координат, начало которой выберем внутри ${{\Omega }_{d}}$, а ось $z$ направим перпендикулярно параллельным плоскостям ${{S}_{1}}$ и ${{S}_{2}}$ (см. фиг. 2). Пусть параметры ${{d}_{1}}$ и ${{d}_{2}}$ имеют смысл расстояния от начала координат до плоскостей ${{S}_{1}}$ и ${{S}_{2}}$ соответственно, а потому соотношения $z = - {{d}_{1}}$ и $z = {{d}_{2}}$ суть уравнения этих плоскостей. Для такой конфигурации магнетиков уравнение (3.1) имеет вид
(3.2)
$\begin{gathered} {\mathbf{H}}({\mathbf{r}}) + \frac{{\mu - 1}}{{4\pi }}\nabla \int\limits_{z' = {{d}_{2}}} {\frac{{{{H}_{z}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} {\text{'}} - \frac{{\mu - 1}}{{4\pi }}\nabla \int\limits_{z' = - {{d}_{1}}} {\frac{{{{H}_{z}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} {\text{'}} - \\ - \;\frac{{\mu - {{\mu }_{d}}}}{{4\pi {{\mu }_{d}}}}\nabla \int\limits_S {\frac{{{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} ' = {{{\mathbf{H}}}^{0}}({\mathbf{r}}),\quad {\mathbf{r}} \in {{R}^{3}}{\backslash }({{S}_{1}} \cup {{S}_{2}} \cup S), \\ \end{gathered} $(3.3)
${\mathbf{H}}({\mathbf{r}}) + \frac{{\mu - 1}}{{4\pi }}\nabla \left[ {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{\psi }_{2}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '}}{{\sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{(z - {{d}_{2}})}}^{2}}} }} - \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{\psi }_{1}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '}}{{\sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{(z + {{d}_{1}})}}^{2}}} }}} } } } } \right] = {\mathbf{G}}({\mathbf{r}}),$(3.4)
$\rho \equiv \rho (x,y,x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '): = \sqrt {{{{(x - x{\kern 1pt} ')}}^{2}} + {{{(y - y{\kern 1pt} ')}}^{2}}} ,$(3.5)
${{\psi }_{1}}(x,y): = {{H}_{z}}(x,y, - {{d}_{1}}),\quad {{\psi }_{2}}(x,y): = {{H}_{z}}(x,y,{{d}_{2}}),$(3.6)
${\mathbf{G}}({\mathbf{r}}): = {{{\mathbf{H}}}^{0}}({\mathbf{r}}) + \frac{{\mu - {{\mu }_{d}}}}{{4\pi {{\mu }_{d}}}}\nabla \int\limits_S {\frac{{{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} '.$Наша дальнейшая цель – избавиться в (3.3) от функций ${{\psi }_{1}}(x,y)$, ${{\psi }_{2}}(x,y)$ (т.е. от ${{H}_{z}}(x,y, - {{d}_{1}})$, ${{H}_{z}}(x,y,{{d}_{2}})$) и в результате получить выражение для вектора ${\mathbf{H}}({\mathbf{r}})$ только через его нормальную составляющую ${{H}_{n}}({\mathbf{r}})$ на поверхности $S$ дефекта ${{\Omega }_{d}}$. В следующем разделе получим систему уравнений относительно ${{\psi }_{1}}(x,y)$ и ${{\psi }_{2}}(x,y)$.
4. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НОРМАЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПОЛЯ НА ГРАНИЦАХ ПЛАСТИНЫ
Перейдем к z-компоненте векторов в правой и левой части (3.3). При этом градиент перейдет в производную ${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}}$, после внесения которой под знак интеграла получим
(4.1)
${{H}_{z}}({\mathbf{r}}) - \frac{{\mu - 1}}{{4\pi }}\left[ {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{\psi }_{2}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')(z - {{d}_{2}})dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '}}{{{{{[{{\rho }^{2}} + {{{(z - {{d}_{2}})}}^{2}}]}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}} - \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{\psi }_{1}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')(z + {{d}_{1}})dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '}}{{{{{[{{\rho }^{2}} + {{{(z + {{d}_{1}})}}^{2}}]}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}} } } } } \right] = {{G}_{z}}({\mathbf{r}}),$(4.2)
${{G}_{z}}({\mathbf{r}}) = H_{z}^{0}({\mathbf{r}}) - \frac{{\mu - {{\mu }_{d}}}}{{4\pi {{\mu }_{d}}}}\int\limits_S {\frac{{{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')(z - z{\kern 1pt} ')}}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{{{\text{|}}}^{3}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} '.$(4.3)
${\text{ }}\begin{array}{*{20}{c}} {{{\psi }_{1}}(x,y) + \frac{{\lambda d}}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{\psi }_{2}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '}}{{{{{[{{{{\text{(}}x - x{\kern 1pt} ')}}^{2}} + {{{(y - y')}}^{2}} + {{d}^{2}}]}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}} = \frac{2}{{\mu + 1}}{{G}_{1}}(x,y),} } } \\ {{{\psi }_{2}}(x,y) + \frac{{\lambda d}}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{\psi }_{1}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')dx{\kern 1pt} {\text{'}}dy{\kern 1pt} '}}{{{{{[{{{{\text{(}}x - x{\kern 1pt} ')}}^{2}} + {{{(y - y{\kern 1pt} ')}}^{2}} + {{d}^{2}}]}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}} = \frac{2}{{\mu + 1}}{{G}_{2}}(x,y),} } } \end{array}\quad (x,y) \in {{R}^{2}},$(4.5)
${{G}_{1}}(x,y): = {{G}_{z}}(x,y, - {{d}_{1}}),\quad {{G}_{2}}(x,y): = {{G}_{z}}(x,y,{{d}_{2}}).$(4.6)
${{G}_{1}}(x,y) = H_{z}^{0}(x,y, - {{d}_{1}}) + \frac{{\mu - {{\mu }_{d}}}}{{4\pi {{\mu }_{d}}}}\int\limits_S {\frac{{{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')(z{\kern 1pt} {\text{'}} + {{d}_{1}})}}{{{{{[{{\rho }^{2}} + {{{(z{\kern 1pt} {\text{'}} + {{d}_{1}})}}^{2}}]}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} ',$(4.7)
${{G}_{2}}(x,y) = H_{z}^{0}(x,y,{{d}_{2}}) - \frac{{\mu - {{\mu }_{d}}}}{{4\pi {{\mu }_{d}}}}\int\limits_S {\frac{{{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')({{d}_{2}} - z{\kern 1pt} ')}}{{{{{[{{\rho }^{2}} + {{{({{d}_{2}} - z{\kern 1pt} ')}}^{2}}]}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} '.$5. ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ ФУНКЦИЙ ${{\psi }_{1}}(x,y)$ И ${{\psi }_{2}}(x,y)$
Поскольку система уравнений (4.3), из которой ищутся функции ${{\psi }_{1}}(x,y)$ и ${{\psi }_{2}}(x,y)$, содержит свертки искомых функций с функцией вида
(5.1)
$g_{a}^{b}(x,y): = \frac{1}{{{{{({{x}^{2}} + {{y}^{2}} + {{b}^{2}})}}^{a}}}},\quad b{\text{ }} > {\text{ }}0$(5.2)
$\hat {g}_{a}^{b}({{k}_{1}},{{k}_{2}}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{e}^{{ - bk}}}}}{k},\quad a = 1{\text{/}}2,} \\ {\frac{{{{e}^{{ - bk}}}}}{b},\quad a = 3{\text{/}}2,} \end{array}} \right.\quad k: = \sqrt {k_{1}^{2} + k_{2}^{2}} .$(5.3)
$\hat {f}({{k}_{1}},{{k}_{2}}): = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\text{ }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x,y){{e}^{{ - i({{k}_{1}}x + {{k}_{2}}y)}}}} } {\text{ }}dxdy.$(5.4)
$f(x,y) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\text{ }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\hat {f}({{k}_{1}},{{k}_{2}}){{e}^{{i({{k}_{1}}x + {{k}_{2}}y)}}}} } {\text{ }}d{{k}_{1}}d{{k}_{2}}.$(5.5)
${{\hat {\psi }}_{1}}({{k}_{1}},{{k}_{2}}) = \frac{1}{{1 - {{\lambda }^{2}}{{e}^{{ - 2dk}}}}}\frac{2}{{\mu + 1}}[{{\hat {G}}_{1}}({{k}_{1}},{{k}_{2}}) - \lambda {{e}^{{ - dk}}}{{\hat {G}}_{2}}({{k}_{1}},{{k}_{2}})],$(5.6)
${{\hat {\psi }}_{2}}({{k}_{1}},{{k}_{2}}) = \frac{1}{{1 - {{\lambda }^{2}}{{e}^{{ - 2dk}}}}}\frac{2}{{\mu + 1}}[{{\hat {G}}_{2}}({{k}_{1}},{{k}_{2}}) - \lambda {{e}^{{ - dk}}}{{\hat {G}}_{1}}({{k}_{1}},{{k}_{2}})].$(5.7)
$D({\mathbf{r}}): = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{\psi }_{2}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '}}{{\sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{(z - {{d}_{2}})}}^{2}}} }} - \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{\psi }_{1}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '}}{{\sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{(z + {{d}_{1}})}}^{2}}} }}} } } } ,$(5.8)
${\mathbf{H}}({\mathbf{r}}) + \frac{{\mu - 1}}{{4\pi }}\nabla D({\mathbf{r}}) = {\mathbf{G}}({\mathbf{r}}),\quad {\mathbf{r}} \in {{R}^{3}}{\backslash }({{S}_{1}} \cup {{S}_{2}} \cup S).$6. ВЫРАЖЕНИЕ НАПРЯЖЕННОСТИ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ЕЕ НОРМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ДЕФЕКТА
Для достижения поставленной цели используем тот факт, что для любой квадратично суммируемой в ${{R}^{2}}$ функции $f(x,y)$ и произвольных чисел p, q и b (b > 0) выполнено
(6.1)
$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x,y)g_{a}^{b}} } (x - p,y - q){\text{ }}dxdy = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\hat {f}({{k}_{1}},{{k}_{2}})\hat {g}_{a}^{b}({{k}_{1}},{{k}_{2}})} } {\text{ }}{{e}^{{i({{k}_{1}}p + {{k}_{2}}q)}}}{\text{ }}d{{k}_{1}}d{{k}_{2}},$(6.2)
$D({\mathbf{r}}) = \frac{2}{{\mu + 1}}\left[ {{{P}_{2}}({\text{|}}z - {{d}_{2}}{\text{|}}) - {{P}_{1}}({\text{|}}z + {{d}_{1}}{\text{|}}) + \lambda \left( {{{P}_{2}}({\text{|}}z + {{d}_{1}}{\text{|}} + d) - {{P}_{1}}({\text{|}}z - {{d}_{2}}{\text{|}} + d)} \right)} \right],$(6.3)
${{P}_{j}}(a) \equiv {{P}_{j}}(a;x,y): = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{{{\hat {G}}}_{j}}({{k}_{1}},{{k}_{2}})}}{{1 - {{\lambda }^{2}}{{e}^{{ - 2dk}}}}}{\text{ }}} } {{e}^{{ - ak}}}\frac{1}{k}{{e}^{{i({{k}_{1}}x + {{k}_{2}}y)}}}d{{k}_{1}}d{{k}_{2}},\quad j = 1,2;\quad a > 0.$(6.5)
$P_{j}^{{(m)}}(a) \equiv P_{j}^{{(m)}}(a;x,y): = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{{\hat {G}}}_{j}}({{k}_{1}},{{k}_{2}})} } {\text{ }}{{e}^{{ - (a + 2md)k}}}\frac{1}{k}{\text{ }}{{e}^{{i({{k}_{1}}x + {{k}_{2}}y)}}}d{{k}_{1}}d{{k}_{2}}.$(6.6)
$P_{j}^{{(m)}}(a) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{{G}_{j}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ')dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '}}{{\sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{(a + 2md)}}^{2}}} }}} } ,\quad j = 1,2,\quad m = 0,1,2,\; \ldots \;.$(6.7)
$P_{1}^{{(m)}}(a) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{H_{z}^{0}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ', - {{d}_{1}}){\text{ }}dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '}}{{\sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{(a + 2md)}}^{2}}} }}} } + \frac{{\mu - {{\mu }_{d}}}}{{4\pi {{\mu }_{d}}}}{\text{ }}\int\limits_S {{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')} (z{\kern 1pt} {\text{'}} + {{d}_{1}}){{J}_{m}}(a;x,y;x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ',z{\kern 1pt} ')dS{\kern 1pt} ',$(6.8)
$D({\mathbf{r}}) = \frac{2}{{\mu + 1}}F({\mathbf{r}}) - \frac{{\mu - {{\mu }_{d}}}}{{(\mu + 1){{\mu }_{d}}}}{\text{ }}\sum\limits_{m = 0}^\infty {{{\lambda }^{{2m}}}\int\limits_S {{{H}_{n}}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ',z{\kern 1pt} ')\left( {\frac{1}{{R_{m}^{{(3)}}}} + \frac{1}{{R_{m}^{{(1)}}}} + \frac{\lambda }{{R_{m}^{{(2)}}}} + \frac{\lambda }{{R_{m}^{{(4)}}}}} \right)dS{\kern 1pt} '} } ,$(6.9)
$R_{m}^{{(1)}} \equiv R_{m}^{{(1)}}(x,y,z;x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ',z{\kern 1pt} '): = \sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{\left( {z{\kern 1pt} {\text{'}} + {{d}_{1}}\; + \;{\text{|}}z + {{d}_{1}}{\text{|}} + 2md} \right)}}^{2}}} ,$(6.10)
$R_{m}^{{(2)}} \equiv R_{m}^{{(2)}}(x,y,z;x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ',z{\kern 1pt} '): = \sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{\left( {{{d}_{2}} - z{\kern 1pt} {\text{'}}\; + \;{\text{|}}z + {{d}_{1}}{\text{|}} + (2m + 1)d} \right)}}^{2}}} ,$(6.11)
$R_{m}^{{(3)}} \equiv R_{m}^{{(3)}}(x,y,z;x{\kern 1pt} {\text{'}},y{\kern 1pt} {\text{'}},z{\kern 1pt} {\text{'}}): = \sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{\left( {{{d}_{2}} - z{\kern 1pt} {\text{'}}\; + \;{\text{|}}z - {{d}_{2}}{\text{|}} + 2md} \right)}}^{2}}} ,$(6.12)
$R_{m}^{{(4)}} \equiv R_{m}^{{(4)}}(x,y,z;x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ',z{\kern 1pt} '): = \sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{\left( {z{\kern 1pt} {\text{'}} + {{d}_{1}}\; + \;{\text{|}}z - {{d}_{2}}{\text{|}} + (2m + 1)d} \right)}}^{2}}} ,$(6.13)
$F({\mathbf{r}}): = {\text{ }}\left[ {\sum\limits_{m = o}^\infty {{{\lambda }^{{2m}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_{z}^{0}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ',{{d}_{2}})\left( {\frac{1}{{Q_{m}^{{(3)}}}} + \frac{\lambda }{{Q_{m}^{{(2)}}}}} \right)dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} {\text{'}}} - } } \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_{z}^{0}(x',y', - {{d}_{1}})\left( {\frac{1}{{Q_{m}^{{(1)}}}} + \frac{\lambda }{{Q_{m}^{{(4)}}}}} \right)dx{\kern 1pt} 'dy{\kern 1pt} '} } } \right],$(6.14)
$Q_{m}^{{(1)}} \equiv Q_{m}^{{(1)}}(x,y,z;x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '): = \sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{\left( {{\text{|}}z + {{d}_{1}}{\text{|}} + 2md} \right)}}^{2}}} ,$(6.15)
$Q_{m}^{{(2)}} \equiv Q_{m}^{{(2)}}(x,y,z;x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '): = \sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{\left( {{\text{|}}z + {{d}_{1}}{\text{|}} + (2m + 1)d} \right)}}^{2}}} ,$(6.16)
$Q_{m}^{{(3)}} \equiv Q_{m}^{{(3)}}(x,y,z;x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '): = \sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{\left( {{\text{|}}z - {{d}_{2}}{\text{|}} + 2md} \right)}}^{2}}} ,$(6.17)
$Q_{m}^{{(4)}} \equiv Q_{m}^{{(4)}}(x,y,z;x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '): = \sqrt {{{\rho }^{2}} + {{{\left( {{\text{|}}z - {{d}_{2}}{\text{|}} + (2m + 1)d} \right)}}^{2}}} .$(6.18)
$\begin{gathered} {\mathbf{H}}({\mathbf{r}}) - \frac{{{{\lambda }_{d}}}}{{2\pi (1 - {{\lambda }_{d}})}}\nabla \int\limits_S {\frac{{{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} {\text{'}})}}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} {\text{'|}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} {\text{'}} - \frac{{\lambda {{\lambda }_{d}}}}{{2\pi (1 - {{\lambda }_{d}})}}\nabla \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{\lambda }^{{2m}}}\int\limits_S {{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} {\text{'}})\left( {\frac{1}{{R_{m}^{{(3)}}}} + \frac{1}{{R_{m}^{{(1)}}}} + \frac{\lambda }{{R_{m}^{{(2)}}}} + \frac{\lambda }{{R_{m}^{{(4)}}}}} \right)dS{\kern 1pt} {\text{'}}} } = \\ = {{{\mathbf{H}}}^{0}}({\mathbf{r}}) - \frac{\lambda }{{2\pi }}\nabla F({\mathbf{r}}), \\ \end{gathered} $7. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НОРМАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ДЕФЕКТА
Для получения такого уравнения зафиксируем единичный вектор внешней нормали ${\mathbf{n}}$ в произвольной точке на поверхности $S$ и умножим (скалярно) на этот вектор обе части (6.18). Затем в полученном соотношении устремим ${\mathbf{r}} \in {{\Omega }_{{{\text{ }}1}}}$ к той точке поверхности $S$, в которой был взят вектор ${\mathbf{n}}$. Тогда, учитывая формулу предельного значения нормальной производной потенциала простого слоя [16, с. 267], получаем следующее уравнение для определения ${{H}_{n}}({\mathbf{r}})$:
(7.1)
$\begin{gathered} {{H}_{n}}({\mathbf{r}}) - \frac{{{{\lambda }_{d}}}}{{2\pi }}\int\limits_S {{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')\frac{\partial }{{\partial n}}} \frac{1}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}}}}dS{\kern 1pt} {\text{'}} - \frac{{\lambda {{\lambda }_{d}}}}{{2\pi }}\sum\limits_{m = 0}^\infty {{{\lambda }^{{2m}}}\int\limits_S {{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} {\text{'}})\frac{\partial }{{\partial n}}\left( {\frac{1}{{R_{m}^{{(3)}}}} + \frac{1}{{R_{m}^{{(1)}}}} + \frac{\lambda }{{R_{m}^{{(2)}}}} + \frac{\lambda }{{R_{m}^{{(4)}}}}} \right)dS{\kern 1pt} '} } = \\ = (1 - {{\lambda }_{d}})H_{n}^{0}({\mathbf{r}}) - \frac{{\lambda (1 - {{\lambda }_{d}})}}{{2\pi }}\frac{\partial }{{\partial n}}F({\mathbf{r}}),\quad {\mathbf{r}} \in S. \\ \end{gathered} $8. ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ. СРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМ СЛУЧАЕМ
Таким образом, из (6.18) следует, что вне границ раздела сред ${\mathbf{r}} \in {{R}^{3}}{\backslash }({{S}_{1}} \cup {{S}_{2}} \cup S)$ напряженность результирующего поля ${\mathbf{H}}({\mathbf{r}})$ вычисляется по формуле
(8.1)
$\begin{gathered} {\mathbf{H}}({\mathbf{r}}) = {{{\mathbf{H}}}^{0}}({\mathbf{r}}) - \frac{\lambda }{{2\pi }}\nabla F({\mathbf{r}}) + \frac{{{{\lambda }_{d}}}}{{2\pi (1 - {{\lambda }_{d}})}}\nabla \int\limits_S {\frac{{{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')}}{{{\text{|}}{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}}}}} {\text{ }}dS{\kern 1pt} {\text{'}} + \\ + \;\frac{{\lambda {{\lambda }_{d}}}}{{2\pi (1 - {{\lambda }_{d}})}}\nabla \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{\lambda }^{{2m}}}\int\limits_S {{{H}_{n}}({\mathbf{r}}{\kern 1pt} ')\left( {\frac{1}{{R_{m}^{{(3)}}}} + \frac{1}{{R_{m}^{{(1)}}}} + \frac{\lambda }{{R_{m}^{{(2)}}}} + \frac{\lambda }{{R_{m}^{{(4)}}}}} \right)dS{\kern 1pt} '} } . \\ \end{gathered} $Отметим, что аналогичные формулы были получены в [8] для частного случая, когда дефект является воздушной полостью (т.е. ${{\mu }_{d}} = 1$), а внешнее поле ${{{\mathbf{H}}}^{0}}({\mathbf{r}})$ является плоским и направленным параллельно границам ${{S}_{1}}$ и ${{S}_{2}}$ пластины (т.е. $H_{z}^{0}({\mathbf{r}}) \equiv 0$). Если в формулах (8.1) и (7.1) положить ${{\mu }_{d}} = 1$ и $H_{z}^{0}({\mathbf{r}}) \equiv 0$, то они в точности переходят в формулы, полученные в указанной выше работе, что является дополнительной проверкой выведенных соотношений.
Для получения из (8.1) и (7.1) расчетных формул для составления соответствующих компьютерных программ необходимо конкретизировать форму поверхности дефекта $S$. В упомянутой работе [8] такие формулы были выведены для сферической формы поверхности $S$ в указанном выше случае дефекта в виде полости и внешнего поля, параллельного плоским границам пластины. В этой же работе проведены соответствующие расчеты и построены графики зависимости компонент напряженности результирующего поля от геометрических параметров пластины и дефекта в ней.
Список литературы
Сапожников А.Б. Теоретические основы магнитной дефектоскопии металлических тел. Томск: Изд-во ТГУ, 1980.
Дякин В.В., Кудряшова О.В. Дефект в цилиндре // Дефектоскопия. 2012. № 4. С. 41–55.
Дякин В.В., Кудряшова О.В. Дефект в трубе // Дефектоскопия. 2012. № 10. С. 3–17.
Дякин В.В., Кудряшова О.В., Раевский В.Я. Точное решение одной задачи магнитостатики в биполярных координатах (продолжение) // Дефектоскопия. 2016. № 7 . С. 68–78.
Дякин В.В., Кудряшова О.В. Дефект в шаре (продолжение) // Дефектоскопия. 2010. № 11. С. 41–52.
Печенков А.Н., Щербинин В.Е., Смородинский Я.Г. Аналитическая модель точечного намагничивания тонкой ферромагнитной пластины // Дефектоскопия. 2011. № 12. С. 19–26.
Дякин В.В., Раевский В.Я., Умергалина О.В. Об одном подходе к решению магнитостатической задачи для тел с инородными включениями в неоднородном внешнем поле // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 1. С. 178–188.
Дякин В.В., Раевский В.Я., Кудряшова О.В. Поле конечного дефекта в пластине // Дефектоскопия. 2009. № 3. С. 67–79.
Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наук. думка, 1986.
Friedman M.J. Mathematical study of the nonlinear singular integral magnetic field equation // SIAM J. Appl. Math. 1980. T. 39. № 1. C. 14–20.
Раевский В.Я. О свойствах квазиэрмитовых операторов и их применении к исследованию операторов теории потенциала и основного уравнения электро- и магнитостатики. Екатеринбург: ИФМ УрО РАН. Препринт 24/48(01), 2001.
Дякин В.В., Умергалина О.В. К расчету поля дефекта в трехмерном полупространстве // Дефектоскопия. 2003. № 4 . С. 52–66.
Дякин В.В. Математические основы классической магнитостатики. Екатеринбург: РИО УрО РАН, 2016.
Дякин В.В., Кудряшова О.В., Раевский В.Я. Применение основного уравнения магнитостатики к задачам магнитной толщинометрии. Часть 1 // Дефектоскопия. 2014. № 9. С. 11–21.
Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1. М.: Физматлит, 2002.
Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. школа, 1977.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики