Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 11, стр. 1881-1897

2.1. Общий вид тождества для меры ошибки

Рассмотрим функциональные пространства

и $N: = {{L}^{2}}(\Omega ,M_{{{\text{Sym}}}}^{{d \times d}})$, где $M_{{{\text{Sym}}}}^{{d \times d}}$ – пространство симметричных матриц размера $d \times d$. Соответствующие сопряженные (двойственные) пространства имеют вид $V{\kern 1pt} * = {{H}^{{ - 2}}}(\Omega )$ и $N{\kern 1pt} * = N$.

Нетрудно видеть, что функционал $J$ в задаче (1.1) представим в виде

где оператор $\Lambda $ и функционалы $G$ и $F$ определяются следующим образом: Это дает возможность воспользоваться общей теорией, изложенной в [27] и в [28]. Далее, через $p{\kern 1pt} *$ мы обозначим точное решение двойственной вариационной задачи, которая состоит в отыскании наибольшего значения двойственного функционала (см. [29]) на множестве $N{\kern 1pt} *$. Здесь оператор $\Lambda {\kern 1pt} *$ определяется в виде а функционалы $G{\kern 1pt} *:N{\kern 1pt} * \to \mathbb{R}$ и $F{\kern 1pt} *:V{\kern 1pt} * = {{H}^{{ - 2}}}(\Omega ) \to \mathbb{R}$ являются преобразованиями Юнга–Фенхеля от $G$ и $F$ соответственно.

Учитывая соотношение двойственности $J(u) = I{\kern 1pt} {\text{*}}(p{\kern 1pt} {\text{*}})$ (которое выполнено для данной вариационной задачи) и тождества (7.2.13)–(7.2.14) из [28], получаем для любых $v \in \mathbb{K}$ и $n{\kern 1pt} * \in N{\kern 1pt} *$ следующие соотношения:

Здесь и обозначают так называемые составные функционалы (compound functionals), которые определяются соотношениями где $\left\langle {v{\kern 1pt} *,v} \right\rangle $ обозначает линейный функционал (спаривание элементов $v \in V$ и $v{\text{*}} \in V{\text{*}}$). Из определения сопряженного функционала следует, что составной функционал всегда отрицателен.

Из соотношений (2.3), (2.4) следует тождество (“error identity”, см. подробное изложение в [27])

которое справедливо для любых ${v} \in \mathbb{K}$ и $n{\kern 1pt} * \in N{\kern 1pt} *$. Левая часть (2.7) содержит четыре слагаемых, которые можно рассматривать как меры отклонения функций $v$ и $n{\kern 1pt} *$ от $u$ и $p{\kern 1pt} *$ соответственно. Первые два слагаемых можно рассматривать как меру $\mu (v)$, характеризующую погрешность аппроксимации $v$, а два других как меру $\mu {\kern 1pt} {\text{*}}(n{\kern 1pt} {\text{*}})$ погрешности аппроксимации двойственной переменной $n{\kern 1pt} *$. Правая часть состоит из двух слагаемых, которые не содержат неизвестных точных решений $u$ и $p{\kern 1pt} *$ и поэтому может быть явно вычислена. Кроме того, из (2.3) и (2.4) следует, что правая часть (2.7) равна величине так называемого двойственного зазора (duality gap) $J(v) - I{\kern 1pt} {\text{*}}(p{\kern 1pt} {\text{*}})$. Заметим, что последовательности приближенных решений $\{ {{{v}}_{k}}\} $, $\{ n_{k}^{*}\} $, которые строятся с помощью любых вариационных методов, должны минимизировать этот зазор. Поэтому тождество (2.7) показывает, что если они построены правильно и сходятся к точным решениям, то мера в левой части (2.7) обязана стремиться к нулю и, следовательно, является адекватной характеристикой качества приближенных решений.

Тождество (2.7) выполняется для любой вариационной задачи с функционалом вида (2.1). Установим его вид в терминах рассматриваемой задачи. Нетрудно видеть, что $G{\kern 1pt} *:N{\kern 1pt} * \to \mathbb{R}$ определяется равенством $G{\kern 1pt} {\text{*}}(n{\kern 1pt} {\text{*}}): = \tfrac{1}{2}{{\left\| {n{\kern 1pt} *} \right\|}^{2}}$ (здесь и далее $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ обозначает норму в пространствах ${{L}_{2}}(\Omega )$ для скалярных, векторных и матричных функций). Поэтому первые слагаемые, стоящие в правых частях (2.3) и (2.4), вычисляются довольно просто:

Вычисление вторых слагаемых в правых частях (2.3) и (2.4) потребует значительных усилий.

Для вычисления $\left\langle {v{\kern 1pt} *,v} \right\rangle $ необходимо ввести промежуточное гильбертовое пространство $\mathcal{V}: = {{L}^{2}}(\Omega )$. Очевидно, что $\mathcal{V}$ обладает свойством $V \subset \mathcal{V} \subset V{\kern 1pt} *$. Если $v{\kern 1pt} * \in \mathcal{V}$, то произведение $\left\langle {v{\kern 1pt} *,v} \right\rangle $ отождествляется со скалярным произведением в пространстве $\mathcal{V}$, т.е.

Заметим, что этот интеграл определен для любого $v{\kern 1pt} * \in \mathcal{V}$ и $v \in V$.

В соответствии с определением сопряженного функционала для $n{\kern 1pt} * \in N$ мы имеем

Предположим, что функция $n{\kern 1pt} *$ удовлетворяет дополнительному условию

Принимая во внимание условие ${{\left. {\tfrac{{\partial v}}{{\partial \nu }}} \right|}_{{\partial \Omega }}} = 0$ и используя интегрирование по частям, мы заключаем, что Следовательно, Объединяя (2.11) с формулой приходим к равенству

Таким образом,

Пусть $\hat {v} \in \mathbb{K}$ – заданная функция, тогда функция $\hat {v} + w$, где также принадлежит $\mathbb{K}$. Нетрудно видеть, что Поэтому это выражение конечно только в том случае, когда $n{\kern 1pt} * \in Q_{ \ominus }^{*}$, где Интегральное условие в определении $Q_{ \ominus }^{*}$ означает, что $f - \operatorname{div} \operatorname{Div} n{\kern 1pt} * \leqslant 0$ почти всюду в $\Omega $. Действительно, предположим что $n{\kern 1pt} * \in Q{\kern 1pt} *$ и при этом $f - \operatorname{div} \operatorname{Div} n{\kern 1pt} * > 0$ на некотором открытом множестве ненулевой меры $\omega $, так что существует шар $B({{x}_{0}},\rho ) \subset \omega $, на котором выполнено это неравенство. Выберем гладкую финитную функцию $w \in {{V}^{ + }}(\Omega )$ с носителем в этом шаре. Функция $w$ положительна в точках внутри шара и поэтому оказывается, что Мы пришли к противоречию, которое доказывает справедливость утверждения. Пусть $n{\kern 1pt} * \in Q_{ \ominus }^{*}$. Ясно, что При этом существует последовательность функций ${{{v}}_{k}} \in \mathbb{K}$ такая, что ${{{v}}_{k}} \to \varphi $ в ${{L}^{2}}(\Omega )$. Мы приходим к заключению, что

Поэтому составной функционал ${{\mathcal{D}}_{F}}({v}, - \Lambda {\kern 1pt} *{\kern 1pt} n{\kern 1pt} *{\kern 1pt} )$ конечен тогда и только тогда, когда условие

выполняется почти везде в $\Omega $.

Следовательно, для $n{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} \operatorname{Div} )$, удовлетворяющего условию (2.15), функционал ${{\mathcal{D}}_{F}}({v}, - \Lambda {\kern 1pt} *{\kern 1pt} n{\kern 1pt} *{\kern 1pt} )$ принимает вид

Теперь необходимо вычислить ${{\mathcal{D}}_{F}}({v}, - \Lambda {\kern 1pt} *{\kern 1pt} p{\kern 1pt} *{\kern 1pt} )$ для любой функции ${v} \in \mathbb{K}$. Мы не можем воспользоваться предыдущей формулой, поскольку $p{\kern 1pt} *$, вообще говоря, не удовлетворяет условию (2.10). Действительно, согласно (1.3) мы знаем только, что $\operatorname{div} \operatorname{Div} p{\kern 1pt} *$ является интегрируемой с квадратом функцией на множестве ${{\Omega }_{0}}$ (где $u > \varphi $ и выполняется условие $\operatorname{div} \operatorname{Div} p{\kern 1pt} * = f$) и на коинцедентном множестве ${{\Omega }_{\varphi }} = \{ u = \varphi \} = \Omega {\backslash }{{\Omega }_{0}}$. Для всей области это, вообще говоря, неверно. Поэтому мы используем другой метод. Положив $v = u$ в соотношении (2.3), получим равенство

из которого следует, что Теперь, используя последнее равенство и рассуждая так же, как и при выводе (2.11), мы заключаем, что Мы имеем Обозначим через ${{\nu }_{{{{\Gamma }_{u}}}}}$ единичный вектор внешней нормали к $\partial {{\Omega }_{\varphi }}$ и положим $e: = u - v$. Поскольку и мы получаем где $[\Upsilon ]: = {{\Upsilon }_{{{{\Gamma }_{u}}}}}({{\Omega }_{\varphi }}) - {{\Upsilon }_{{{{\Gamma }_{u}}}}}({{\Omega }_{0}})$ обозначает скачок величины $\Upsilon $ при переходе через свободную границу ${{\Gamma }_{u}}: = \partial {{\Omega }_{\varphi }}$ (в нашем случае $\Upsilon = \operatorname{Div} p{\kern 1pt} {\text{*}} \cdot {{\nu }_{{{{\Gamma }_{u}}}}}$). Таким образом, на свободной границе ${{\Gamma }_{u}}$ возникает дополнительное интегральное слагаемое, которое необходимо учитывать.

Объединяя (2.3)–(2.9) и (2.16), (2.17), мы получаем конкретные выражения для мер, стоящих в левой части (2.7). Для любой функции $v \in \mathbb{K}$ имеем

где Первое слагаемое в (2.18) контролирует отклонение от $u$ в метрике ${{H}^{2}}$ при помощи стандартной нормы. Второе слагаемое ${{\mu }_{\varphi }}(v)$, определенное формулой (2.19), является дополнительной (нелинейной) мерой разности $v - u$. Эта величина неотрицательна и обращается в ноль, если $v = u$. Действительно, хорошо известно, что задача ($\mathcal{P}$) эквивалентна бигармоническому вариационному неравенству: найти функцию $u \in \mathbb{K}$ такую, что Применяя два раза интегрирование по частям и рассуждая так же, как и при выводе (2.17), мы приводим неравенство (2.20) к виду Отметим, что первое слагаемое в ${{\mu }_{\varphi }}(v)$ аналогично соответствующему члену, возникающему в классической задаче с препятствием (см. [25]). Выражение $\operatorname{div} \operatorname{Div} p{\kern 1pt} {\text{*}} - f$ играет роль “весовой” функции и является неотрицательным, поэтому весь интеграл больше или равен нулю. Второе слагаемое в ${{\mu }_{\varphi }}(v)$ представляет собой дополнительный член нового типа, который обращается в ноль, если $v = u$ на ${{\Gamma }_{u}}$.

Нетрудно видеть, что ${{\mu }_{\varphi }}(v) = 0$, если ${{\Omega }_{\varphi }} \subset \{ x \in \Omega \,|\,v(x) = \varphi (x)\} $, т.е. если точное коинцедентное множество содержится внутри приближенного, определенного при помощи функции $v$. В других случаях эта мера будет положительной. Таким образом, меру ${{\mu }_{\varphi }}(v)$ можно рассматривать, как некоторую характеристику того, насколько точно множество $\{ v = \varphi \} $ аппроксимирует коинцидентное множество ${{\Omega }_{\varphi }}$. Конечно, эта характеристика весьма слабая и не дает желаемой информации о границе ${{\Gamma }_{u}}$. Однако в рамках стандартного вариационного подхода получить более подробную информацию о свободной границе не представляется возможным. Действительно, в силу равенства $\mu (v) = J(v) - J(u)$ мера $\mu (v)$ стремится к нулю на любой минимизирующей последовательности и является наиболее сильной среди всех мер, которые обладают таким свойством.

Аналогичным образом получаем, что если $p{\kern 1pt} *$ – максимайзер двойственной вариационной задачи (2.2), а $n{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$ – его аппроксимация, удовлетворяющая условию (2.15), то соответствующая мера отклонения имеет вид

где Интеграл в (2.22) неотрицателен. Его можно рассматривать в качестве меры, указывающей (в слабом интегральном смысле) на неверное поведение двойственной переменной на множестве ${{\Omega }_{0}}$ (где $n{\kern 1pt} *$ должно удовлетворять дифференциальному уравнению). В заключение заметим, что $\mu {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (n{\kern 1pt} *{\kern 1pt} ) = I{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (p) - I{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (n{\kern 1pt} *{\kern 1pt} )$. Поэтому любая последовательность $n_{k}^{*}$ является максимизирующей в двойственной задаче тогда и только тогда, когда эта мера погрешности стремится к нулю. К сожалению, обе меры ${{\mu }_{\varphi }}$ и $\mu _{\varphi }^{*}$ оказываются слишком слабыми для того, чтобы оценить, насколько точно свободная граница ${{\Gamma }_{u}}$ воспроизводится приближенным решением. Этот факт показывает ограниченность прямых вариационных методов в отношении реконструкции свободных границ (см. также [25]).

Равенства (2.7), (2.13), (2.16), (2.18) и (2.21) приводят к следующему результату:

Теорема 2.1. Для любой функции $n{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,{\text{div}}\,{\text{Div}})$, удовлетворяющей условию (2.15), и для любой функции $v \in \mathbb{K}$ выполняется тождество

левая часть которого представляет собой меру отклонения $v$ от $u$ и $n{\kern 1pt} *$ от $p{\kern 1pt} *$, а правая является полностью вычисляемым выражением.

2.2. Расширение допустимого множества для $n{\kern 1pt} *$

Тождество (2.23) дает простое выражение для вычисления полной меры ошибки, но оно выполняется лишь для функций $n{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$, удовлетворяющих условию (2.15). Это функциональное множество является довольно узким и неудобным для практического использования. Покажем, как можно преодолеть этот недостаток и расширить допустимое множество для $n{\kern 1pt} *$.

Лемма 2.1. Для любой функции $\tilde {n}{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$ выполняется проекционное неравенство

где ${{C}_{{{{F}_{\Omega }}}}}$ – константа, определяемая в (2.27), а множество $Q_{ \ominus }^{*}$ определено в (2.14).

Доказательство. Для любой функции ${{m}^{*}} \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$ выполняется равенство

Поэтому имеем Лагранжиан, определяющий минимаксную формулировку (2.25) линеен относительно переменной $w$ и выпукл по $n{\kern 1pt} *$. При $w = 0$ он коэрцитивнен относительно двойственной переменной. Пространство $N{\kern 1pt} *$ является гильбертовым, а ${{V}^{ + }}(\Omega )$ является выпуклым замкнутым подмножеством рефлексивного пространства $V$. Используя известные достаточные условия, гарантирующие возможность перестановки inf и sup (см., например, [29, § 2, гл. IV]), мы можем переписать (2.25) в виде

Поиск инфимума по $n{\kern 1pt} * \in N{\kern 1pt} {\text{*}}$ сводится к алгебраической задаче, решение которой почти везде в $\Omega $ удовлетворяет уравнению $n{\kern 1pt} * = \tilde {n}{\kern 1pt} {\text{*}} + \nabla \nabla w$. Используя его и интегрируя по частям, мы получаем

Применение неравенства типа неравенства Фридрихса позволяет оценить последний интеграл следующим образом:

Вводя обозначение $t: = \left\| {\nabla \nabla w} \right\|$ и объединяя (2.26) с (2.28), мы видим, что супремум в (2.26) можно оценить сверху величиной

что приводит к (2.24).

2.3. Мажоранта меры отклонения от точного решения

Теперь мы используем лемму 2.1 и тождество (2.23) для получения оценки, которая выполняется для $\tilde {n}{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$. Прежде всего надо преобразовать выражения для меры $\mu {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (n{\kern 1pt} *{\kern 1pt} )$, определенной соотношением (2.21). При помощи неравенства Юнга (с параметром $\beta $) получаем следующую оценку снизу для $\mu {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (n{\kern 1pt} *{\kern 1pt} )$:

где Обратимся к (2.23). Для правой части мы получаем оценку сверху Оценки (2.29) и (2.30) справедливы для любой функции $\tilde {n}{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,\operatorname{div} {\text{Div}})$.

Объединяя выражения (2.29) и (2.30), перенося члены

на противоположную сторону и приводя подобные слагаемые, получаем

Последовательное применение неравенства Гёльдера и неравенства Юнга (с параметром $\beta $) к последнему слагаемому в правой части (2.31) приводит к неравенству

Соотношения (2.31), (2.32) и (2.24) дают требуемую оценку (2.33), правая часть которой содержит только известные функции и может быть явно вычислена.

Теорема 2.2. Для любых ${v} \in \mathbb{K}$ и $\tilde {n}{\kern 1pt} * \in H(\Omega ,{\text{div}}\,{\text{Div}})$ полная мера отклонения этих функций от точных решений прямой и двойственной задач ($u$ и $p{\kern 1pt} *$ соответственно) удовлетворяет оценке

гдепараметр $\beta \in (0,1]$, а ${{C}_{{{{F}_{\Omega }}}}}$ – константа из леммы 2.1.

Замечание 2.1. В (2.29)–(2.32) мы использовали неравенство Юнга с одной и той же постоянной $\beta $. Вообще говоря, в разных оценках можно использовать разные положительные постоянные. При этом получится более точное (но и более громоздкое) выражение для мажоранты $\mathfrak{M}$, которое мы здесь не приводим.

3.1. Модельная одномерная задача

Пусть $\Omega = ( - 1,1)$, $\varphi \equiv - 1$ и $f \equiv c$. Если положить $c = - 1152$, то минимайзер задачи (1.1) имеет вид

Эта функция удовлетворяет краевым условиям $u( \pm 1) = u{\kern 1pt} '( \pm 1) = 0$ и уравнению ${{u}^{{IV}}} + c = 0$ в ${{\Omega }_{0}} = ( - 1, - 0.5) \cup (0.5,1)$. При этом поток не удовлетворяет условию (2.10), которое в данном случае сводится к $(n{\kern 1pt} *){\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in {{L}^{2}}( - 1,1)$. Функция $p{\kern 1pt} *$ и ее производная изображены на фиг. 1. Нетрудно видеть, что .

Рассмотрим функцию

Очевидно, что ${{v}_{1}} \in \mathbb{K}$ и $\{ x \in \Omega \,{\text{|}}\,{{v}_{1}}(x) = - 1\} \subset {{\Omega }_{\varphi }}$ (см. фиг. 2).

В качестве аппроксимации потока выберем сначала функцию

Заметим, что $n{\kern 1pt} *$ удовлетворяет условиям (2.10) и (2.15) (см. фиг. 3). Согласно (2.18) и (2.19) мера $\mu ({{v}_{1}})$ состоит из двух слагаемых. В данном примере их можно вычислить: и Здесь $[u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(a)]: = \{ u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(a - 0) - u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(a + 0)\} $ обозначает скачок в точке $a$.

Мера $\mu {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (n{\kern 1pt} *{\kern 1pt} )$ вычисляется в соответствии с (2.21) и (2.22):

Объединение (3.1)–(3.4) дает следующее значение для величины полной меры отклонения функций ${{v}_{1}}$ и $n{\kern 1pt} *$ от точных решений прямой и двойственной задач соответственно. Мы получаем Рассмотрим правую часть тождества (2.23) (поскольку выбранная функция $n{\kern 1pt} *$ удовлетворяет условию (2.15) это тождество должно выполняться точно). Непосредственный подсчет дает и Таким образом, сумма этих слагаемых дает то же самое значение 509.58, что сумма мер (3.5).

Теперь мы выберем $\tilde {n}{\kern 1pt} *$ так, чтобы эта функция удовлетворяла условию (2.10), но $\tilde {n}{\kern 1pt} *$ не удовлетворяла условию (2.15). Зададим $\tilde {n}{\kern 1pt} *$ в виде

На множестве $x \in \left( { - 1, - \tfrac{{17}}{{18}}} \right] \cup \left[ {\tfrac{{17}}{{18}},1} \right)$ условие (2.15) не выполняется. Поэтому мы не можем применять тождество (2.23), но можем использовать оценку (2.33). Проверим точность выполнения этой оценки.

Непосредственные вычисления показывают, что

Напомним, что для $\Omega = ( - 1,1)$ имеем ${{C}_{{{{F}_{\Omega }}}}} = 4{\text{/}}{{\pi }^{2}}$. Таким образом, согласно (2.33) для любого $\beta \in (0,1]$ мажоранта $\mathfrak{M}({{v}_{1}},\tilde {n}{\kern 1pt} *,f,\varphi ,\beta )$ принимает вид

Принимая во внимание (3.1) и (3.2), для левой части неравенства (2.33) получаем выражение $524.95 - 150.06\beta $. Таким образом, это неравенство приобретает вид (для $\beta \in (0,1]$)

В частности, при $\beta = 0.5$ и $\beta = 1$ отношение мажоранты (правая часть (3.6)) к мере отклонения (левая часть (3.6)) характеризуются значениями 1.66 и 1.53 соответственно.

Далее мы рассмотрим серию приближенных решений (см. фиг. 4)

где $\varepsilon $ – параметр, удовлетворяющий условию $0 \leqslant \varepsilon \leqslant 1{\text{/}}2$. Для этих аппроксимаций $\{ x \in \Omega \,|\,{{v}_{\varepsilon }} = - 1\} \subset {{\Omega }_{\varphi }}$. Отметим, что аппроксимация коинцидентного множества $\{ x \in \Omega \,|\,u = - 1\} $ улучшается, если $\varepsilon \to 0$, так что функция ${{v}_{0}}$ соприкасается с $\varphi $ на точном коинцедентном множестве (при этом эта функция не совпадает с $u$).

Аппроксимации $n_{\varepsilon }^{*}$ потока точного решения $p{\kern 1pt} *$ строится путем сглаживания второй производной функции ${{v}_{\varepsilon }}$ (которая заменяет $\nabla \nabla {{v}_{\varepsilon }}$) так, чтобы $(n_{\varepsilon }^{*}){\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in {{L}^{2}}( - 1,1)$ (что соответствует условию $n_{\varepsilon }^{*} \in H({\text{div}}\,{\text{Div}},\Omega )$). В частности, если взять

то условие (2.15) выполнено, и мы можем использовать тождество (2.23).

В табл. 1 приведены результаты расчетов для слагаемых, входящих в состав $\mu ({{v}_{\varepsilon }})$, которые были вычислены для $\varepsilon = 0.05j$, $j = 7,5,3,1$ и $0$. Оба слагаемых (квадратичное и нелинейное) убывают при $\varepsilon \to 0$, однако первое остается положительным (поскольку последовательность приближенных решений не стремится к точному решению $u$), а второе стремится к нулю (потому что соответствующая последовательность приближенных коинцедентных множеств стремится к точному множеству ${{\Omega }_{\varphi }}$). Нетрудно видеть, что сумма этих двух слагаемых (которая составляет меру $\mu ({{v}_{\varepsilon }})$) в точности равна отклонению $J({{v}_{\varepsilon }})$ от точного минимума прямой вариационной задачи. В последнем столбце табл. 1 показан относительный вклад в ошибку нелинейной меры ${{\mu }_{\varphi }}({{v}_{\varepsilon }})$, который определяется формулой

Табл. 2 содержит аналогичные данные, относящиеся к мере $\mu {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (n_{\varepsilon }^{*})$. Как и в случае меры ${{\mu }_{\varphi }}({{v}_{\varepsilon }})$ и квадратичный и нелинейный члены убывают при $\varepsilon \to 0$. Однако здесь нелинейная мера не стремится к нулю. Эта мера контролирует нарушение уравнения $\operatorname{div} \operatorname{Div} n{\kern 1pt} * = f$ на множестве ${{\Omega }_{0}}$. Функция $n_{\varepsilon }^{*}$ не удовлетворяет этому уравнению ни при каком $\varepsilon $, поэтому $\mu {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (n_{\varepsilon }^{*}) > 0$. Более того, в этом случае мера $\mu _{\varphi }^{*}(n_{\varepsilon }^{*})$ существенно превышает первое слагаемое, что видно по коэффициенту

приведенному в последнем столбце таблицы.

Табл. 3 иллюстрирует  тождество (2.23).  Первые  две  колонки  соответствуют  двум слагаемым, образующим правую часть (2.23). Здесь, через $\mathcal{N}({{v}_{\varepsilon }},n_{\varepsilon }^{*})$ обозначается член $\int_{ - 1}^1 \,(f - (n_{\varepsilon }^{*}){\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')(\varphi - {{v}_{\varepsilon }})dx$ (который соответствует слагаемому $\int_\Omega \,(f - \operatorname{div} \operatorname{Div} n_{\varepsilon }^{*})(\varphi - {{v}_{\varepsilon }})dx$ в тождестве). Сумма этих слагаемых приведена в третьем столбце. Она в точности совпадает с суммой мер (которые приведены в табл. 1, 2). Отметим, что величины, стоящие в первых двух столбцах табл. 3, вычисляются непосредственно по функциям ${{v}_{\varepsilon }}$ и $n_{\varepsilon }^{*}$. Эти функции можно рассматривать, как приближенные решения, построенные при помощи какой-либо вычислительной процедуры. Таблица показывает, что сумма

является хорошей и легко вычисляемой характеристикой качества приближенных решений.

3.2. Изгиб круглой пластины

Пусть $\Omega = {{B}_{3}} \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$, где ${{B}_{3}}$ обозначает открытый шар с центром в начале координат и радиусом $3$. В этом случае задачу $\mathcal{P}$ можно рассматривать как упрощенный вариант задачи об изгибе упругой круглой пластины, жестко закрепленной по краям над плоским препятствием $\varphi \equiv - 1$ под действием внешней силы $f$. Упрощение заключается в том, что мы заменяем тензор упругих постоянных на единичный тензор, что в контексте рассматриваемых вопросов не играет существенной роли. Положим

Отметим, что для выбранных данных можно явно определить точное решение задачи. В полярных координатах $(r,\theta )$ минимайзер имеет следующий вид:

Очевидно, что ${{\Delta }^{2}}u = {{f}_{0}}$ в ${{B}_{3}}{\backslash }{{B}_{1}}$, $u \geqslant - 1$ в ${{B}_{3}}$ и $u(3,\theta ) = \tfrac{{\partial u}}{{\partial r}}(3,\theta ) = 0$ для всех $\theta \in [0,2\pi )$. Простые вычисления показывают, что

где $p_{{11}}^{*} = p_{{12}}^{*} = p_{{21}}^{*} = p_{{22}}^{*} = 0$ в шаре ${{B}_{1}}$, а при $(r,\theta ) \in {{B}_{3}}{\backslash }{{B}_{1}}$ компоненты ${{p}^{*}}$ задаются формулами Нетрудно убедиться, что ${\text{div}}\,{\text{Div}}\,p{\kern 1pt} * \notin {{L}^{2}}({{B}_{3}})$ и $\operatorname{div} \operatorname{Div} p{\kern 1pt} * = {{f}_{0}}$ на множестве ${{B}_{3}}{\backslash }{{B}_{1}} = \Omega {\backslash }\{ u = \varphi \} $.

В качестве $v$ зададим функцию

Нетрудно видеть, что ${{v}_{2}} \in \mathbb{K}$ и ${{v}_{2}} \geqslant u$ в $\Omega $ и ${{v}_{2}} = u$ в ${{B}_{1}}$, так что ${{v}_{2}}$ имеет такое же коинцидентное множество ${{B}_{1}}$, что и минимайзер $u$ (см. фиг. 5).

После проведения непосредственных вычислений меры (2.18) мы получаем

Заметим, что ${{\mu }_{\varphi }}({{v}_{2}}) = 0$, поскольку $\{ x \in \Omega \,{\text{|}}\,{{v}_{2}} = - 1\} = {{\Omega }_{\varphi }}$.

Положим

где Функция $\hat {n}{\kern 1pt} *$ удовлетворяет условию (2.15) и мы можем проверить выполнение тождества (2.23).

Вычисляя меру ошибки $\mu {\kern 1pt} *(\hat {n}{\kern 1pt} *)$, определяемую выражениями (2.21) и (2.22), получаем

Объединение (3.7) и (3.8) дает следующее значение для полной меры ошибки (результат округлен с точностью двух знаков после запятой)

При вычислении слагаемых в правой части тождества (2.23) мы используем только функции ${{v}_{2}}$ и $\hat {n}{\kern 1pt} *$ (известные аппроксимации точных решений). Сумма этих слагаемых дает такое же значение, как и (3.9):