Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 3, стр. 413-427

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе изучаются вопросы однозначной разрешимости обратных задач определения коэффициента $\gamma (t)$ в параболическом уравнении

с начальным и граничными условиями и дополнительным условием интегрального наблюдения Здесь $Q = [0,T] \times [0,l],$ $T,l$ – некоторые числа, $a(t,x),$ $b(t,x),$ $c(t,x),$ $f(t,x),$ ${{u}_{0}}(x),$ $\omega (x),$ $\varphi (t)$ – известные функции.

Обратная задача (1.1)–(1.4) рассматривается в двух вариантах постановки.

Постановка 1. Неизвестный коэффициент $\gamma (t)$ ищется в классе функций из ${{L}_{\infty }}(0,T)$.

Постановка 2. Неизвестный коэффициент $\gamma (t)$ ищется в классе неотрицательных функций из ${{L}_{\infty }}(0,T)$.

Особенностью рассматриваемых постановок обратных задач является предположение о том, что уравнение (1.1) является вырожденным, а именно, выполнены условия

Для случая равномерно параболических уравнений обратные задачи восстановления коэффициента поглощения с интегральным наблюдением вида (1.4) рассматривались при различных предположениях и для различных видов параболических уравнений (второго и высокого порядка, с дивергентной и недивергентной главной частью) в работах ряда авторов (см., например, [1]–[6] и др.). Отметим также работы [7]–[9] и др., где изучались обратные задачи определения младшего коэффициента в невырождающихся параболических уравнениях с другими, нежели (1.4), дополнительными условиями.

Ранее автором при предположении (1.5) и дополнительном условии (1.4) были исследованы обратные задачи восстановления зависящего от $t$ источника в правой части вырождающегося параболического уравнения вида (1.1) (см. [10], [11]). Отметим еще работу [12], где при предположении типа (1.5) была рассмотрена обратная задача определения неизвестного, но зависящего от $x$ источника в правой части неравномерно параболического уравнения. Наконец, в недавней работе [13] была рассмотрена обратная задача определения младшего коэффициента в параболическом уравнении (1.1) с условием интегрального наблюдения (1.4), но в случае, когда старший коэффициент уравнения (1.1) сильно вырождается при $x = 0$: вместо условия (1.5) предполагается, что $a(t,x) \sim {{a}_{0}}{{x}^{\alpha }},$ $x \to 0,$ $\alpha = {\text{const}} \geqslant 2$.

Отметим, что изучение как прямых, так и обратных задач для вырождающихся параболических уравнений имеет важные применения в различных прикладных задачах гидродинамики, климатологии, задачах изучения пористых сред, а также в финансовой математике (см., например, [14], [15] и дальнейшие ссылки в [14]). В связи с этим укажем еще работы [16]–[21] и др., где также рассматривались обратные задачи для вырождающихся параболических уравнений, но в постановках, отличных от представленных в данной работе.

Перейдем к точным формулировкам.

Все равенства и неравенства предполагаются выполненными почти всюду, все рассматриваемые в работе функции предполагаются, как минимум, измеримыми, производные понимаются в обобщенном смысле по Соболеву.

Используемые в работе пространства Лебега и Соболева с соответствующими нормами будем понимать в общепринятом смысле (см., например, [22], [23]). При этом для удобства будем использовать обозначения нормы: ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,l)}}} \equiv {{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{2}}.$

Через ${{C}^{{0,\alpha }}}(Q)$, $\alpha = {\text{const}} \in (0,1)$, будем обозначать пространство Гёльдера непрерывных в $Q$ функций, имеющих конечную норму

Положим

Нам понадобятся хорошо известные неравенства: арифметическое неравенство Коши

а также неравенство Пуанкаре–Стеклова, которое при $n = 1$ может быть записано в виде

Во всех дальнейших рассуждениях мы будем предполагать, что функции, входящие в исходные данные задачи (1.1)–(1.4), измеримы и удовлетворяют следующим условиям:

здесь ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{K}_{\omega }},K_{\omega }^{*},{{K}_{\varphi }},{{\varphi }_{0}} = {\text{const}} > 0,$ $K_{a}^{*},{{K}_{{b,a}}},{{K}_{{c,a}}},{{K}_{{f,a}}},K_{\phi }^{*} = {\text{const}} \geqslant 0$.

Замечание 1.1. Из условий $(A)$ и $(B)$ следует, что $b(t,x),c(t,x) \in {{L}_{\infty }}(Q)$, причем

Как было отмечено выше, обратная задача (1.1)–(1.4) рассматривается в двух постановках.

Обратная задача 1 (ОЗ.1).

Определение 1.1. Обобщенным решением задачи (ОЗ.1) будем называть пару функций $\{ u(t,x),\gamma (t)\} $ таких, что

эти функции удовлетворяют уравнению (1.1) п.в. в $Q$, а функция $u(t,x)$ удовлетворяет условиям (1.2)–(1.4) в классическом смысле.

Обратная задача 2 (ОЗ.2).

Определение 1.2. Обобщенным решением задачи (ОЗ.2) будем называть пару функций $\{ u(t,x),\gamma (t)\} $ таких, что

эти функции удовлетворяют уравнению (1.1) п.в. в $Q$, а функция $u(t,x)$ удовлетворяет условиям (1.2)–(1.4) в классическом смысле.

Структура работы следующая. В разд. 3 и 4 доказываются теоремы существования и единственности решений задач (ОЗ.1) и (ОЗ.2) соответственно. Эти результаты базируются на доказательстве однозначной разрешимости прямой задачи (1.1)–(1.3) (функция $\gamma (t)$ в уравнении (1.1) предполагается известной) и явно выписанных оценках решения этой задачи. Соответствующие результаты получены в разд. 2. Наконец, в разд. 5 проводится обсуждение полученных результатов и приводятся примеры обратных задач (ОЗ.1) и (ОЗ.2), для которых справедливы доказанные в разд. 3 и 4 теоремы.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

Рассмотрим прямую задачу (1.1)–(1.3). Будем предполагать, что коэффициент $\gamma (t) \in {{L}_{\infty }}(0,T)$ известен и

Решение $u(t,x)$ прямой задачи (1.1)–(1.3) будем понимать в смысле определения 1.1.

Докажем теоремы существования и единственности решения задачи (1.1)–(1.3), при этом воспользуемся идеями доказательства аналогичных теорем из работы [12].

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (A)–(D) и (2.1). Тогда обобщенное решение задачи (1.1)–(1.3) единственно.

Доказательство. Предположим, что существуют два решения ${{u}^{{(1)}}}(t,x)$ и ${{u}^{{(2)}}}(t,x)$ этой задачи. Положим $v(t,x) = {{u}^{{(1)}}}(t,x) - {{u}^{{(2)}}}(t,x)$. Тогда функция $v(t,x)$ является решением уравнения

с однородными краевыми условиями

Умножим уравнение (2.2) на ${{e}^{{ - \lambda t}}}v$ (где $\lambda = {\text{const}} > 0$ будет выбрана ниже) и проинтегрируем получившееся равенство по $Q$. Учитывая условие (2.3), после интегрирования по частям приходим к неравенству

Для оценки первых двух слагаемых в правой части этого неравенства применим неравенство (1.6), относя $\varepsilon = 1{\text{/}}2$ к множителям ${{e}^{{ - \lambda t/2}}}{\text{|}}\sqrt a {{v}_{x}}{\kern 1pt} {\text{|}}$. Тогда приходим к соотношению

откуда с учетом условий (A), (B), (2.1) и (1.8) получим неравенство где $C = {\text{const}} > 0$ не зависит от $\lambda $.

Выбирая $\lambda > C$, получаем, что $\int_Q \,{{e}^{{ - \lambda t}}}{{{v}}^{2}}dxdt \leqslant 0$, откуда следует, что ${v}(t,x) = 0$ в $Q$, т.е. ${{u}^{{(1)}}}(t,x) = {{u}^{{(2)}}}(t,x)$. Теорема доказана.

Теперь докажем теорему существования обобщенного решения задачи (1.1)–(1.3) и установим ряд оценок для такого решения, которые будут использованы в следующих разделах при исследовании обратных задач (ОЗ.1) и (ОЗ.2). В этих оценках через $C$ с индексом будем обозначать положительные константы, зависящие только от $l,\;T,$ ${{a}_{1}},\;{{a}_{2}},$ $K_{a}^{*},\;{{K}_{{b,a}}},$ ${{K}_{{c,a}}},\;{{K}_{\gamma }},\;{{K}_{{f,a}}}$ и ${{M}_{1}}$.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (A)–(D) и (2.1). Положим

Тогда существует обобщенное решение $u(t,x)$ прямой задачи (1.1)–(1.3) при $s = q{\kern 1pt} *$ и выполнены оценки

Доказательство. Используем схему доказательства теоремы 2.2 из [13]. Положим ${{a}_{n}}(t,x) = a(t,x) + 1{\text{/}}n$, $n = 1,2, \ldots $, $h = 1{\text{/}}n$ и введем средние функции ${{(b{\text{/}}\sqrt a )}^{h}}$, ${{(c{\text{/}}\sqrt a )}^{h}}$, ${{(f{\text{/}}\sqrt a )}^{h}}$ для функций $b{\text{/}}\sqrt a $, $c{\text{/}}\sqrt a $, $f{\text{/}}\sqrt a $ соответственно (продолжив предварительно эти функции вне $Q$, например, нулем).

Отметим, что из известных свойств средних функций и предположений (B), (D) следует, что

Рассмотрим в $Q$ первую краевую задачу для уравнения

с краевыми условиями

Уравнение (2.11) является равномерно параболическим, поэтому в силу [22] первая краевая задача (2.11), (2.12) имеет единственное решение ${{u}^{n}}(t,x) \in {{L}_{\infty }}(0,T;\mathop W\limits^0 {\kern 1pt} _{2}^{1}(0,l)) \cap W_{2}^{{1,2}}(Q).$

Выведем для ${{u}^{n}}(t,x)$ ряд равномерных по $n$ оценок. Для этого умножим уравнение (2.11) на $ - {{e}^{{ - {{\lambda }_{1}}t}}}u_{{xx}}^{n}$, где ${{\lambda }_{1}}$ определена в (2.4), и проинтегрируем результат по ${{Q}_{\tau }},0 < \tau \leqslant T.$ В результате после интегрирования по частям получим соотношение

Для оценки второго, третьего и пятого слагаемых в правой части соотношения (2.13) применим неравенство (1.6), относя множитель $\varepsilon = 1{\text{/}}3$ к слагаемым $\int_{{{Q}_{\tau }}} \,{{e}^{{ - {{\lambda }_{1}}t}}}{{a}_{n}}{{\left| {u_{{xx}}^{n}} \right|}^{2}}dxdt$. В результате с учетом условий $(B)$, (2.1), оценок (2.10) и неравенства Пуанкаре–Стеклова (1.7) находим, что Принимая во внимание определение ${{\lambda }_{1}}$ в (2.4) и оценку (2.10), из (2.14) получаем равномерную по $n$ оценку

В силу неравенства Гёльдера с учетом определения $q{\kern 1pt} *$ в (2.4) и условия (A), получаем (подробнее см. [11]):

откуда в силу (2.15) получаем оценку

Из уравнения (2.11) имеем

а тогда, применяя уже доказанную оценку (2.15), условия (A)–(D), (2.1) и оценки (2.10), получаем оценку где константа ${{C}_{1}} > 0$ не зависит от $n$.

На основании оценок (2.15), (2.17) и оценки (2.9) из [23, с. 79] получаем равномерную по $n$ оценку

где ${{C}_{2}},{{C}_{3}} > 0$ не зависят от $n$. Подробное доказательство приведено в [13], теорема 2.2.

В силу оценок (2.15)–(2.18) найдутся подпоследовательность ${{n}_{k}} \to \infty ,$ $k \to \infty $, а также функция $u(t,x) \in {{L}_{\infty }}(0,T;\mathop W\limits^0 {\kern 1pt} _{2}^{1}(0,l)) \cap W_{{q*}}^{{1,2}}(Q) \cap {{C}^{{0,1/3}}}(Q),$ такие, что при $k \to \infty $

Пусть $\psi (t,x) \in {{C}^{\infty }}(Q)$ – пробная функция, ${{h}_{k}} = 1{\text{/}}{{n}_{k}}$. Тогда в силу (2.11) справедливо интегральное тождество

В силу соотношений (2.19)–(2.22) в этом интегральном тождестве можно перейти к пределу при $k \to \infty $. В результате получим, что $u(t,x)$ удовлетворяет уравнению (1.1) п.в. в $Q$.

На основании оценок (2.15)–(2.18) и условий (2.19)–(2.22) получаем, что для $u(t,x)$ справедливы оценки (2.5)–(2.9). Кроме того, в силу (2.19) функция $u(t,x)$ удовлетворяет краевым условиям (1.2), (1.3).

Таким образом, $u(t,x)$ – обобщенное решение прямой задачи (1.1)–(1.3). Теорема 2.2 доказана.

Следствие. Пусть в условиях теоремы 2.2 дополнительно известно, что $\gamma (t) \geqslant 0$. Положим

Тогда решение $u(t,x)$ задачи (1.1)–(1.3) удовлетворяет оценкам

Доказательство. Будем проводить те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 2.2, но вместо умножения уравнения (2.11) на $ - {{e}^{{ - {{\lambda }_{1}}t}}}u_{{xx}}^{n}$ умножим его на $ - {{e}^{{ - {{\lambda }_{2}}t}}}u_{{xx}}^{n}$. Поскольку $\gamma (t) \geqslant 0$, то

Поэтому вместо соотношения (2.13) мы получим неравенство

Далее дословно повторяем доказательство теоремы 2.2 и получаем, что решение $u(t,x)$ задачи (1.1)–(1.3) удовлетворяет оценкам (2.24)–(2.26), которые отличаются от оценок (2.5)–(2.7) заменой ${{\lambda }_{1}}$ на ${{\lambda }_{2}}$.

Замечание 2.1. Величина ${{\lambda }_{2}}$, в отличие от ${{\lambda }_{1}}$, не зависит от $\gamma $.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ (ОЗ.1)

В данном разделе в дополнение к условиям (A)–(G) будем предполагать, что

Введем обозначения

где ${{K}_{\omega }}$ из $(E)$, $K_{a}^{*},\;{{a}_{1}}$ из $(A)$, ${{K}_{{b,a}}},\;{{K}_{{c,a}}}$ из $(B)$.

Рассмотрим обратную задачу (ОЗ.1) и выведем операторное уравнение для нахождения неизвестной функции $\gamma (t) \in {{L}_{\infty }}(0,T)$. Для этого умножим уравнение (1.1) на $\omega (x)$ и проинтегрируем по отрезку $[0,l]$. Учитывая условие наблюдения (1.4) и предположения (A), (E), (F), после интегрирования по частям получим равенство

Введем оператор $\mathcal{A}\,:{{L}_{\infty }}(0,T) \to {{L}_{\infty }}(0,T)$ по формуле

где $\gamma (t)$ – произвольная функция из ${{L}_{\infty }}(0,T)$, а $u(t,x) \equiv u(t,x;\gamma )$ – решение прямой задачи (1.1)–(1.3) с данной $\gamma (t)$ в уравнении (1.1). Такое решение существует и единственно в силу теорем 2.1 и 2.2 из предыдущего раздела.

Тогда соотношение (3.3) может быть записано в виде

Замечание 3.1. В силу условий (A)–(F), (3.1) и теорем 2.1, 2.2 оператор $\mathcal{A}$ определен корректно и действует из ${{L}_{\infty }}(0,T)$ в ${{L}_{\infty }}(0,T)$.

Лемма 3.1. Пусть выполнены условия (A)–(G) и (3.1). Тогда операторное уравнение (3.5) эквивалентно обратной задаче (ОЗ.1) в следующем смысле. Если пара $\{ u(t,x),\gamma (t)\} $ является решением обратной задачи, то $\gamma (t)$ удовлетворяет соотношению (3.5). Обратно, если $\gamma {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t) \in {{L}_{\infty }}(0,T)$ является решением операторного уравнения (3.5), а $u{\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t,x)$ – решение прямой задачи (1.1)–(1.3) с данной $\gamma {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t)$ в уравнении (1.1), то пара $\{ u{\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t,x),\gamma {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t)\} $ является обобщенным решением обратной задачи (ОЗ.1).

Доказательство. Первое утверждение леммы доказано выше при выводе соотношения (3.3).

Докажем второе утверждение. Пусть $\gamma {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t) \in {{L}_{\infty }}(0,T)$ является решением уравнения (3.5). Рассмотрим функцию $u{\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t,x)$ как единственное обобщенное решение прямой задачи (1.1)–(1.3) с выбранной функцией $\gamma (t) \equiv \gamma {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t)$ в уравнении (1.1). Положим

Тогда $\varphi {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t) \in W_{2}^{1}(0,T)$. Повторяя рассуждения, приведенные выше при выводе (3.3) (в этих рассуждениях достаточно, чтобы $\varphi {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t) \in W_{2}^{1}(0,T)$), приходим к соотношению

Поскольку $\gamma {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t)$ – решение уравнения (3.5), то в силу определения оператора $\mathcal{A}$ в (3.4), получаем, что справедливо также соотношение

Вычитая (3.8) из (3.7), получаем, что

В силу определения $\varphi {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t)$ в (3.6) и условия $(G)$ имеем

Из (3.9), (3.10) получаем, что $\varphi (t) = \varphi {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t)$ на $[0,T]$, а следовательно, пара $\{ u{\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t,x),\gamma {\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (t)\} $ является обобщенным решением обратной задачи (ОЗ.1). Лемма 3.1 доказана.

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (A)–(G) и (3.1). Положим

и предположим, что справедливо неравенствоТогда оператор $\mathcal{A}$, определенный формулой (3.4), переводит шар ${{B}_{{{{R}_{\gamma }}}}}$ из пространства ${{L}_{\infty }}(0,T)$ в себя.

Доказательство. Пусть $\gamma (t) \in {{B}_{{{{R}_{\gamma }}}}}$. Тогда в силу определения $\mathcal{A}(\gamma )$ имеем

Воспользовавшись оценкой (2.5), определением ${{\lambda }_{1}}$ в (2.4) и неравенством (1.7), из последнего неравенства получаем, что

откуда в силу определения ${{R}_{\gamma }}$ в (3.11) и условия (3.12), получаем, что Лемма 3.2 доказана.

Замечание 3.2. Условие (3.12) заведомо выполняется при малых $T$.

Лемма 3.3. Пусть выполнены условия леммы 3.2, величина ${{R}_{\gamma }}$ определена в (3.11). Тогда существует натуральное число $k$ такое, что оператор ${{\mathcal{A}}^{k}}$ ($k$-я степень оператора $\mathcal{A}$) является сжимающим на шаре ${{B}_{{{{R}_{\gamma }}}}}$.

Доказательство. Положим

Пусть ${{\gamma }^{{(1)}}}(t),{{\gamma }^{{(2)}}}(t) \in {{B}_{{{{R}_{\gamma }}}}}$, где ${{R}_{\gamma }}$ определено в (3.11). Пусть ${{u}^{{(i)}}}(t,x),$ $i = 1,2$ – решения прямой задачи (1.1)–(1.3) с коэффициентами ${{\gamma }^{{(i)}}}(t)$ в уравнении (1.1) соответственно. Положим ${v}(t,x) = {{u}^{{(1)}}}(t,x) - {{u}^{{(2)}}}(t,x),$ $\sigma (t) = {{\gamma }^{{(1)}}}(t) - {{\gamma }^{{(2)}}}(t)$. Тогда справедливы соотношения

Учитывая условия леммы и определение оператора $\mathcal{A}$, имеем

Поскольку функция $v(t,x)$ удовлетворяет соотношениям (3.13), (3.14), а коэффициент ${{\gamma }^{{(1)}}}(t)$ удовлетворяет оценке ${{\gamma }^{{(1)}}}(t) \leqslant 2{\text{/}}T$ (см. (3.11)), то оценка (2.5), примененная к $v(t,x)$, имеет вид

Из (2.5) также вытекает оценка

Подставляя (3.16), (3.17) в (3.15), получаем, что

где константа ${{m}_{1}} > 0$ не зависит от $t$.

Заметим, что из оценки (3.18) следует непрерывность оператора $\mathcal{A}$ на ${{B}_{{{{R}_{\gamma }}}}}$.

Используя неравенство Гёльдера и условие $(A)$, находим, что

а следовательно, из (3.18) получаем оценку

На основании оценки (3.19) по индукции доказывается оценка

а следовательно, справедлива оценка

Из (3.20), очевидно, следует, что при достаточно большом $k$ оператор ${{\mathcal{A}}^{k}}$ будет сжимающим на шаре ${{B}_{{{{R}_{\gamma }}}}}$. Лемма 3.3 доказана.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (A)–(G), (3.1), (3.12), а ${{R}_{\gamma }}$ определена в (3.11). Тогда существует решение $\{ u(t,x),\gamma (t)\} $ обратной задачи (ОЗ.1), для него справедлива оценка

а также оценки (2.5)–(2.9) с ${{\lambda }_{1}} = 3{{K}_{{b,a}}} + 3\tfrac{{{{l}^{2}}}}{{{{\pi }^{2}}}}{{K}_{{c,a}}} + \tfrac{2}{T}.$ При этом не существует двух различных решений $\{ {{u}^{{(1)}}},{{\gamma }^{{(1)}}}\} $ и $\{ {{u}^{{(2)}}},{{\gamma }^{{(2)}}}\} $ этой задачи, для которых одновременно выполнена оценка (3.21).

Доказательство. В силу лемм 3.2 и 3.3 оператор $\mathcal{A}$ является непрерывным на шаре ${{B}_{{{{R}_{\gamma }}}}}$ и отображает этот шар в себя. Кроме того, некоторая степень оператора $\mathcal{A}$ является сжимающим оператором на шаре ${{B}_{{{{R}_{\gamma }}}}}$. Поэтому в силу обобщенного принципа сжатых отображений (см., например, [24], с. 82) уравнение (3.5) имеет единственное решение $\gamma (t)$, причем оно удовлетворяет оценке (3.21).

Пусть $u(t,x)$ – решение прямой задачи (1.1)–(1.3) с полученным $\gamma (t)$ в уравнении (1.1). Тогда в силу леммы 3.1 пара $\{ u(t,x),\gamma (t)\} $ будет обобщенным решением обратной задачи (ОЗ.1), причем в силу теоремы 2.1 справедливы оценки (2.5)–(2.9) с ${{\lambda }_{1}} = 3{{K}_{{b,a}}} + 3\tfrac{{{{l}^{2}}}}{{{{\pi }^{2}}}}{{K}_{{c,a}}} + \tfrac{2}{T}$.

Если предположить, что существует два различных решения $\{ {{u}^{{(1)}}},{{\gamma }^{{(1)}}}\} $ и $\{ {{u}^{{(2)}}},{{\gamma }^{{(2)}}}\} $ обратной задачи (ОЗ.1), для которых функции ${{\gamma }^{{(1)}}}(t)$ и ${{\gamma }^{{(2)}}}(t)$ одновременно удовлетворяют оценке (3.21), то обязательно ${{\gamma }^{{(1)}}}(t) \ne {{\gamma }^{{(2)}}}(t)$, поскольку если ${{\gamma }^{{(1)}}}(t) = {{\gamma }^{{(2)}}}(t)$, то и ${{u}^{{(1)}}}(t,x) = {{u}^{{(2)}}}(t,x)$ в силу теоремы 2.1. Однако соотношение ${{\gamma }^{{(1)}}}(t) \ne {{\gamma }^{{(2)}}}(t)$ противоречит доказанной выше единственности решения уравнения (3.5) в шаре ${{B}_{{{{R}_{\gamma }}}}}$.

Теорема 3.1 доказана.

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (A)–(G). Тогда обратная задача (ОЗ.1) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что существует два различных решения $\{ {{u}^{{(1)}}},{{\gamma }^{{(1)}}}\} $ и $\{ {{u}^{{(2)}}},{{\gamma }^{{(2)}}}\} $ этой обратной задачи. Предположим, что

Ниже в доказательстве этой теоремы через $C$ с индексом будем обозначать любые положительные константы, зависящие от $T,l$, констант, входящих в условия (A)–(F), а также от ${{K}_{u}}$ и ${{K}_{\gamma }}$.

Положим $v(t,x) = {{u}^{{(1)}}}(t,x) - {{u}^{{(2)}}}(t,x),$ $\sigma (t) = {{\gamma }^{{(1)}}}(t) - {{\gamma }^{{(2)}}}(t)$. Тогда для пары $\{ v,\sigma \} $ справедливы соотношения (3.13), (3.14), а также соотношение

Умножим (3.13) на $\omega (x)$ и проинтегрируем результат по $[0,l]$. Учитывая соотношения (3.23) и (1.4), после интегрирования по частям получаем, что

Подставляя (3.24) в (3.13), придем к соотношению

Умножим (3.25) на ${{e}^{{ - \lambda t}}}{v}(t,x)$, где $\lambda = {\text{const}} > 0$ будет выбрана ниже, и проинтегрируем по прямоугольнику $Q$. После несложных преобразований придем к соотношению

Применяя для оценки первых двух слагаемых в правой части (3.26) неравенство (1.6) при $\varepsilon = 1{\text{/}}2$, и учитывая условия (A), (B), (3.22), получаем, что

Оценим слагаемые ${{J}_{1}}$ и ${{J}_{2}}$. Используя неравенство (1.5), имеем

Аналогично,

Полагая в (3.28) $\varepsilon = \tfrac{1}{{2{{C}_{8}}}}$ и подставляя затем оценки (3.28), (3.29) в (3.27), получаем, что

Выбирая теперь в (3.30) $\lambda > 2{{C}_{{11}}}$, получаем, что ${v}(t,x) \equiv 0$ в $Q$. Но тогда из (3.24) следует, что и $\sigma (t) \equiv 0$ на $[0,T]$, т.е. решения $\{ {{u}^{{(1)}}},{{\gamma }^{{(1)}}}\} $ и $\{ {{u}^{{(2)}}},{{\gamma }^{{(2)}}}\} $ обратной задачи (ОЗ.1) совпадают. Теорема 3.2 доказана.

Замечание 3.3. Теорема единственности 3.2, в отличие от теоремы 3.1, не содержит условий малости типа (3.11), (3.12), т.е. носит глобальный характер.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ (ОЗ.2)

В данном разделе будем предполагать выполненными условия (A)–(G), (3.1), а также дополнительно условие

Для функции $F(t)$ (см. (3.2)) будем предполагать выполненным условие

Как и в предыдущем разделе, рассмотрим оператор $\mathcal{A}$, заданный по формуле (3.4), однако, в данном разделе будем его рассматривать как оператор, действующий из $L_{\infty }^{ + }(0,T)$ в ${{L}_{\infty }}(0,T)$.

В соответствии с леммой 3.1 обратная задача (ОЗ.2) эквивалентна операторному уравнению (3.5).

Лемма 4.1. Пусть выполнены условия (A)–(G), (3.1), (4.1), (4.2), ${{\lambda }_{2}}$ определена в (2.23). Предположим, что

Тогда для любой функции $\gamma (t) \in L_{\infty }^{ + }(0,T)$ имеем $\mathcal{A}(\gamma )(t) \geqslant 0$.

Доказательство. Пусть $\gamma (t) \in L_{\infty }^{ + }(0,T)$, а $u(t,x) \equiv u(t,x;\gamma )$ – соответствующее решение прямой задачи (1.1)–(1.3). Тогда в силу условий леммы, оценки (2.24) и неравенства (1.7) имеем для любого $t \in [0,T]$, что

С другой стороны, в силу (4.1), (4.2)

Из (4.4), (4.5), определения оператора $\mathcal{A}(\gamma )$ и условия (4.3), очевидно, следует, что $\mathcal{A}(\gamma )(t) \geqslant 0$. Лемма доказана.

Лемма 4.2. Пусть выполнены условия (A)–(G), (3.1), константа ${{\lambda }_{2}}$ определена в (2.23). Тогда для любой функции $\gamma (t) \in L_{\infty }^{ + }(0,T)$ имеем

Доказательство. Оценка (4.6) есть прямое следствие определения оператора $\mathcal{A}$ и оценки (2.24).

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (A)–(G), (3.1), (4.1)–(4.3). Тогда существует решение $\{ u(t,x),\gamma (t)\} $ обратной задачи (ОЗ.2) и для него справедлива оценка

где $R_{\gamma }^{*}$ определена в (4.6), а также оценки (2.24)–(2.26). При этом не существует двух различных решений $\{ {{u}^{{(1)}}},{{\gamma }^{{(1)}}}\} $ и $\{ {{u}^{{(2)}}},{{\gamma }^{{(2)}}}\} $ этой задачи, для которых одновременно выполнена оценка (4.7).

Доказательство. В силу лемм 4.1 и 4.2 оператор $\mathcal{A}$ отображает множество ${{B}_{{R_{\gamma }^{ * }}}}$ в себя. Так же, как в лемме 3.3 доказывается, что оператор $\mathcal{A}$ непрерывен на ${{B}_{{R_{\gamma }^{ * }}}}$ и некоторая его степень ${{\mathcal{A}}^{k}}$ является сжимающим оператором на множестве ${{B}_{{R_{\gamma }^{ * }}}}$.

Дальнейшее доказательство теоремы 4.1 дословно повторяет доказательство теоремы 3.1. Оценки (2.24)–(2.26) для функции $u(t,x)$ вытекают из следствия к теореме 2.2.

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия (A)–(G). Тогда обратная задача (ОЗ.2) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Данное утверждение есть прямое следствие теоремы 3.2 из предыдущего раздела.

5. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ И НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ

Обсудим выполнение наложенных в работе условий и приведем примеры конкретных обратных задач, для которых применимы доказанные теоремы.

Условия $a_{x}^{2}{\text{/}}a,{{b}^{2}}{\text{/}}a,{{c}^{2}}{\text{/}}a \in {{L}_{\infty }}(Q),$ ${{f}^{2}}{\text{/}}a \in {{L}_{1}}(Q)$ означают подчинение вырождаемости функций ${{a}_{x}},\;b,\;c,\;f$ вырождаемости старшего коэффициента $a$, и, очевидно, выполняются для широкого класса функций. В частности, условие $a_{x}^{2}{\text{/}}a \in {{L}_{\infty }}(Q)$ заведомо выполняется, если $a(t,x) \equiv a(t)$ не зависит от $x$.

Таким образом, теоремы единственности 3.2 и 4.2 справедливы для широкого класса рассматриваемых обратных задач.

Как было отмечено в замечании 3.2, условие (3.12) из теоремы 3.1 заведомо выполняется при малых $T$, поэтому и существование решения при малых $T$ справедливо для широкого класса задач вида (ОЗ.1).

Приведем пример конкретной обратной задачи (ОЗ.1), для которой теорема 3.1 справедлива при произвольных значениях $T$ (и при достаточно больших $l$).

Пример 5.1. Рассмотрим в $Q$ обратную задачу (ОЗ.1):

Здесь $\beta \in (0,1),$ $\nu \geqslant \beta $, ${\text{|}}{{b}_{1}}(t,x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant K_{b}^{*},$ ${\text{|}}f(t,x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant K_{f}^{*}$, где константы $\beta ,\;\nu ,\;K_{b}^{*},\;K_{f}^{*}$ не зависят от $l$ и $T$. Кроме того, имеем $\omega (x) = x(l - x),$ $\varphi (t) = {{l}^{5}}{\text{/}}30$.

Нетрудно проверить, что для задачи (5.1)–(5.4) выполнены условия (A)–(G) и (3.1). Таким образом, для задачи (5.1)–(5.4) справедлива теорема единственности 3.2.

Непосредственными вычислениями получаем, что константы, входящие в условия (A)–(F), (3.1), (3.2), можно выбрать следующими:

Тогда условие (3.12) для задачи (5.1)–(5.4) имеет вид

Легко видеть, что условие (5.5) будет выполнено при достаточно больших $l$ (и фиксированном $T$). Таким образом, в этом случае применима теорема 3.1 и обратная задача (5.1)–(5.4) имеет решение $\{ u(t,x),\gamma (t)\} $, причем справедлива оценка ${\text{|}}\gamma (t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \tfrac{2}{T}$. Кроме того, как было отмечено выше, данное решение будет единственным в силу теоремы 3.2.

Приведем теперь пример обратной задачи (ОЗ.2), для которой справедливы теоремы 4.1 и 4.2.

Пример 5.2. Рассмотрим в $Q$ обратную задачу (ОЗ.2) для уравнения

с краевыми условиями (5.2), (5.3) и условием интегрального наблюдения Здесь $\beta \in (0,1),$ $\nu \geqslant \beta ,$ $\delta \geqslant \beta $, ${\text{|}}{{b}_{1}}(t,x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant K_{b}^{*},$ ${\text{|}}{{c}_{1}}(t,x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant K_{c}^{*},$ ${\text{|}}f(t,x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant K_{f}^{*}$, где константы $\beta ,\;\nu ,\;\delta ,$ $K_{b}^{*},\;K_{c}^{*},\;K_{f}^{*}$ не зависят от $l$ и $T$. Кроме того, имеем $\omega (x) = x(l - x),$ $\varphi (t) = \frac{{(2T - t){{l}^{5}}}}{{60T}}$.

Как и в случае задачи (5.1)–(5.4) из примера 5.1, нетрудно проверить, что для задачи (5.6), (5.2), (5.3), (5.7) выполнены условия (A)–(G) и (3.1). Таким образом, для задачи (5.6), (5.2), (5.3), (5.7) справедлива теорема единственности 4.2.

Нетрудно проверить, что условия (4.1), (4.2) для рассматриваемой задачи также выполнены.

Снова непосредственными вычислениями получаем, что константы, входящие в условия (A)–(F), (3.1), (3.2), (4.1), (4.2), можно выбрать следующими:

Тогда условие (4.3) для задачи (5.6), (5.2), (5.3), (5.7) имеет вид

1. Если $l > 0$ фиксировано, то, очевидно, условие (5.8) выполнено при малых $T$. В этом случае в силу теоремы 4.1 будет существовать решение задачи (5.6), (5.2), (5.3), (5.7).

2. Предположим теперь, что в уравнении (5.6) ${{c}_{1}}(t,x) \equiv 0$ (т.е. уравнение (5.6) совпадает с уравнением (5.1)). Тогда условие (5.8) будет иметь вид

Если фиксировать $T$, то условие (5.9) будет выполнено, если выбрать $l$ достаточно большим. Таким образом, в этом случае в силу теоремы 4.1 решение обратной задачи также будет существовать.

Как было уже отмечено выше, в обоих рассмотренных случаях решение задачи (5.6), (5.2), (5.3), (5.7) будет единственным.