Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 12, стр. 2002-2017
Численное исследование свойств остаточного члена в проблеме круга
Д. А. Попов 1, *, Д. В. Сушко 2, **
1 НИИ ФХБ им. А.Н. Белозерского
119992 Москва, Ленинские горы, 1, стр. 40, Россия
2 ФИЦ ИУ РАН
119333 Москва, Вавилова, 44, кор. 2, Россия
* E-mail: popov-kupavna@yandex.ru
** E-mail: dsushko@ipiran.ru
Поступила в редакцию 22.04.2022
После доработки 22.04.2022
Принята к публикации 04.06.2022
- EDN: OXHUPM
- DOI: 10.31857/S0044466922120122
Аннотация
Приводятся результаты численного эксперимента по исследованию свойств остаточного члена в задаче о числе целых точек в круге. Сформирована картина поведения больших отклонений величины остаточного члена от нуля. Получено численное подтверждение гипотезы о ширинах максимумов, согласно которой все большие локальные максимумы остаточного члена являются достаточно широкими, и построена гипотетическая оценка величины остаточного члена. Приведено доказательство теоремы, позволяющей связать высоту (значение) максимума остаточного члена с шириной этого максимума. Библ. 19. Фиг. 3. Табл. 7.
1. ВВЕДЕНИЕ
Остаточный член в проблеме круга (в проблеме Гаусса) определяется равенством
где $R(x)$ – число целых точек в круге радиуса $\sqrt x $ . Функция $P(x)$ – кусочно-линейная функция с разрывами I рода в ряде целых точек, где она непрерывна справа.Проблема круга заключается в доказательстве оценки
для любого $\varepsilon > 0$.Доказательству оценок вида
посвящено большое количество работ (см. [1], [2]). В настоящее время оценка (3) доказана при $\theta = 517{\text{/}}1648 = 0.31371 \ldots $ (см. [3]).Кроме асимптотических оценок вида (3) представляют интерес и другие свойства функции $P(x)$. Это связано, в частности, с тем, что задача о числе целых точек в круге имеет спектральную интерпретацию. С точки зрения спектральной теории величина $P(x)$ – это второй член в формуле Вейля для функции распределения собственных значений оператора Лапласа на плоском торе, и свойства $P(x)$ интересны в связи с теорией “квантового хаоса”. Обзор теоретических работ, посвященных исследованию свойств $P(x)$, представлен в [4].
Функция $P(x)$ исследовалась также и численно [5]–[9]. В [5] рассматривался вопрос об определении величины $\theta $, такой что
Из теоретических результатов (см. разд. 2) следует, что в интервале $[T,2T]$, $T \gg 1$, существуют непересекающиеся интервалы длины $ \sim {\kern 1pt} {{T}^{{1/2}}}{{(\ln T)}^{{ - 3}}}$, в каждом из которых
Выше и везде далее символы $C,{{C}_{1}},{{C}_{2}}, \ldots $ используются для обозначения абсолютных (не зависящих от параметров) положительных констант, которые могут быть разными в разных формулах. Если такие константы входят в условия применимости некоторого утверждения или в его формулировку, то это означает, что они существуют и могут быть указаны явно.
Рассмотрим максимум (точную верхнюю грань) функции ${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}}$ в интервале ${{X}_{\alpha }} \subset [T,2T]$, $T \gg 1$. Пусть ${{h}_{\alpha }}$ – высота (значение) максимума:
В [4], [10] была выдвинута гипотеза о ширинах максимумов, согласно которой все большие максимумы являются достаточно широкими, именно, существует $\rho > 0$ такое, что неравенство (4) выполнено для всех максимумов, таких что ${{h}_{\alpha }} \geqslant \eta {{T}^{{1/4}}}$, $\eta > 0$. Доказательство этой гипотезы означает решение проблемы круга.
Задача численного эксперимента состояла в исследовании характера поведения функции $P(x)$ в области больших отклонений этой функции от нуля (${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant 2{{x}^{{1/4}}}$, $x \gg 1$) и, в частности, в проверке сформулированной выше гипотезы. Для этого во всех целых точках $x$ некоторого множества ${{I}^{ \cup }}{{:[10}^{7}},3.2 \times {{10}^{8}}] \subset {{I}^{ \cup }} \subset {{[10}^{7}}{{,10}^{{12}}} + {{10}^{8}}]$ были вычислены значения функции $P(x)$, найдены области больших отклонений $P(x)$ от нуля, вычислены ширины максимумов ${{u}_{\alpha }}$ и ряд других величин, характеризующих поведение $P(x)$. Полученные результаты позволяют составить достаточно полную картину поведения функции $P(x)$ в указанных областях. В части ширин максимумов результаты показывают, что для самых высоких максимумов оценка (4) имеет место с $\rho = 1.2$. Отсюда следует, что
Работа имеет следующую структуру. В разд. 2 приведены теоретические результаты, определяющие постановку вопросов и характер величин, рассматриваемых в численном эксперименте. В разд. 3 дано описание численного эксперимента и приведены полученные результаты. В разд. 4 представлены соответствующие выводы относительно поведения функции $P(x)$ в области больших отклонений от нуля. Доказательство теоремы, следствием которой является связь между шириной и высотой максимума, приведено в Приложении.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Число целых точек $R(x)$ в круге радиуса $\sqrt x $, $x \geqslant 0$, может быть представлено в виде
где $r(n)$ – число представлений целого числа $n$ в виде суммы квадратов двух целых чисел. Заметим, что если $r(n) \ne 0$, то $r(n) \geqslant 4 > \pi $. Асимптотика величин $r(n)$ имеет вид [11](7)
$r(n) \leqslant \exp \left\{ {\ln 2\frac{{\ln n}}{{\ln \ln n}} + O\left( {\frac{{\ln n \cdot \ln \ln \ln n}}{{{{{(\ln \ln n)}}^{2}}}}} \right)} \right\},\quad n \to \infty .$В [5] доказано, что
(8)
$R(x) = 1 + 4[\sqrt x ] + 4[\sqrt {x{\text{/}}2} {{]}^{2}} + 8\sum\limits_{i = [\sqrt {x/2} ] + 1}^{[\sqrt x ]} {\kern 1pt} [\sqrt {x - {{i}^{2}}} ];$Из представления (6) следует, что определенная формулой (1) функция $P$ есть кусочно-линейная функция с разрывами I рода в целых точках $x = n$ таких, что $r(n) \ne 0$. В точках разрыва функция $P$ непрерывна справа, $P(x + 0) = P(x)$, $P(x - 0) = P(x - 1) - \pi $. В точках непрерывности $P{\kern 1pt} '(x) = - \pi $. Для любого $x$ справедливо равенство $P(x) = P([x]) - \pi (x - [x])$, поэтому вычисление функции $P$ в некотором интервале сводится к вычислению этой функции в целых точках этого интервала.
$\Omega $-оценки. Напомним определение символов Харди $\Omega $, ${{\Omega }_{ + }}$:
Перемены знака с выходом за барьер. Уточняя результаты работы [14], нетрудно доказать, что функция $P(x) \pm a{{x}^{{1/4}}}$ по крайней мере один раз меняет знак в любом интервале $[x,x + \Delta x]$ ($x \gg 1$) при $\Delta x \geqslant 2b\sqrt x $ для любых $a$, $b$ таких, что
гдеБольшие отклонения функции ${\text{|}}P{\kern 1pt} {\text{|}}$ от нуля. Используя метод работы [14], можно доказать, что в интервале $[T,2T]$, $T \gg 1$, существуют непересекающиеся интервалы $W_{\alpha }^{ \pm }$ длины
(11)
$P(x_{\alpha }^{ + }) > {{C}_{ + }}{{T}^{{1/4}}},\quad P(x_{\alpha }^{ - }) < - {{C}_{ - }}{{T}^{{1/4}}},\quad {\text{|}}P(x) - P(x_{\alpha }^{ \pm }){\kern 1pt} {\text{|}} < \frac{1}{2}{\text{|}}P(x_{\alpha }^{ \pm }){\kern 1pt} {\text{|}}\quad (x \in W_{\alpha }^{ \pm }),$(12)
$\mu \left\{ {\bigcup\limits_\alpha \,W_{\alpha }^{ \pm }} \right\} > {{C}^{ \pm }}T,\quad {{C}^{ \pm }} < \frac{1}{2}.$Распределение значений величины $P(x){{x}^{{ - 1/4}}}$. В работе [15] доказано, что величина Q(x) = $ = P(x){{x}^{{ - 1/4}}}$ имеет функцию распределения $F$ с плотностью $f$:
Это означает, что имеет место равенство(13)
$\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {{T}^{{ - 1}}}\mu \{ x \in [1,T],\;Q(x) \in [a,b]\} = \int\limits_a^b \,f(\xi )d\xi .$Пики (большие отклонения) функции $P$. Дадим ряд необходимых определений. Рассмотрим функцию $P$ в интервале $[T,2T]$, $T \gg 1$. Множество $X$ точек $x$, в которых ${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant {{T}^{{1/4}}}$, представляет собой объединение конечного числа непересекающихся интервалов:
(14)
${{h}_{\alpha }} \doteq \mathop {\sup }\limits_{x \in {{X}_{\alpha }}} {\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant 2{{T}^{{1/4}}},$Пусть – замыкание графика ${{\mathcal{P}}_{\alpha }}$. Множество содержит конечное число точек (как правило, одну точку). Вершиной пика назовем ту точку указанного множества, координата $x$ которой минимальна, т.е.
при этом ${{x}_{\alpha }} \equiv x({{\mathcal{P}}_{\alpha }})$ – координата вершины.Пусть ${{U}_{\alpha }} \subset {{X}_{\alpha }}$ – наибольшая полуокрестность (левая или правая) координаты вершины пика ${{x}_{\alpha }}$, такая что ${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant {{h}_{\alpha }}{\text{/}}2$, $x \in {{U}_{\alpha }}$. Определим ширину пика ${{u}_{\alpha }} \equiv u({{\mathcal{P}}_{\alpha }})$ (одностороннюю ширину) как размер этой окрестности: ${{u}_{\alpha }} \doteq {\text{|}}{{U}_{\alpha }}{\kern 1pt} {\text{|}}$.
Пусть ${{W}_{\alpha }} \subset {{X}_{\alpha }}$ – наибольший интервал, содержащий координату вершины пика ${{x}_{\alpha }}$, такой что ${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant {{h}_{\alpha }}{\text{/}}2$, $x \in {{W}_{\alpha }}$. Определим полную ширину пика ${{w}_{\alpha }} \equiv w({{\mathcal{P}}_{\alpha }})$ (двустороннюю ширину пика) как длину этого интервала: ${{w}_{\alpha }} \doteq {\text{|}}{{W}_{\alpha }}{\kern 1pt} {\text{|}}$.
Определим знак пика ${{\mathcal{P}}_{\alpha }}$ следующим образом: ${\kern 1pt} {\text{sgn}}{\kern 1pt} ({{\mathcal{P}}_{\alpha }}) = 1$, если $P(x) \geqslant {{T}^{{1/4}}}$, $x \in {{X}_{\alpha }}$, и ${\kern 1pt} {\text{sgn}}{\kern 1pt} ({{\mathcal{P}}_{\alpha }}) = - 1$, если $P(x) \leqslant - {{T}^{{1/4}}}$, $x \in {{X}_{\alpha }}$. В зависимости от знака будем называть пики положительными и отрицательным.
Расстоянием $D({{\mathcal{P}}_{{{{\alpha }_{1}}}}},{{\mathcal{P}}_{{{{\alpha }_{2}}}}})$ между пиками ${{\mathcal{P}}_{{{{\alpha }_{1}}}}}$ и ${{\mathcal{P}}_{{{{\alpha }_{2}}}}}$ будем считать расстояние между координатами их вершин: $D({{\mathcal{P}}_{{{{\alpha }_{1}}}}},{{\mathcal{P}}_{{{{\alpha }_{2}}}}}) \doteq {\text{|}}x({{\mathcal{P}}_{{{{\alpha }_{1}}}}}) - x({{\mathcal{P}}_{{{{\alpha }_{2}}}}}){\kern 1pt} {\text{|}}$.
Используем обозначение ${{\mathfrak{P}}_{T}}$ для множества всех пиков в интервале $[T,2T]$, $T \gg 1$.
Связь высот и ширин пиков. Рассмотрим некоторый пик ${{\mathcal{P}}_{\alpha }} \in {{\mathfrak{P}}_{T}}$. С учетом данных выше определений результат работы [10], устанавливающий связь высоты и ширины максимума, можно сформулировать следующим образом: если ширина пика достаточно велика, т.е. выполнено неравенство
где $\rho = \rho (\alpha ,T) > 0$, то для высоты пика справедливо неравенство Из приведенных в Приложении результатов вытекает, что для константы $C$ в (16) имеет место следующая оценка сверху: $C \leqslant \bar {C} = 20$.Пусть ${{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}} \subseteq {{\mathfrak{P}}_{T}}$, $\eta \geqslant 2$, множество пиков, таких что ${{h}_{\alpha }} \geqslant \eta {{T}^{{1/4}}}$, ${{\mathcal{P}}_{\alpha }} \in {{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}}$. В случае $\eta = 2$ имеем все множество пиков (${{\mathfrak{P}}_{{2,T}}} = {{\mathfrak{P}}_{T}}$), поскольку по определению высота любого пика удовлетворяет неравенству ${{h}_{\alpha }} \geqslant 2{{T}^{{1/4}}}$. В случае $\eta = {{\sup }_{{x \in [T,2T]}}}{\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}}{{T}^{{ - 1/4}}}$ множество ${{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}}$ состоит из одного самого высокого пика.
Рассмотрим множество ${{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}}$. Если это множество не пустое и существует $\rho = \rho (\eta ,T) > 0$, такое что неравенство (15) выполняется для всех пиков ${{\mathcal{P}}_{\alpha }} \in {{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}}$, то для всех пиков выполняется неравенство (16) и, следовательно, имеет место оценка
(17)
${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant C{{x}^{{1/4}}}{{(\ln x)}^{{\rho (\eta ,T)/2}}},\quad x \in [T,2T].$Если ${{\rho }_{h}}(T) > 0$ такое, что неравенство (15) выполняется для самого высокого пика, то для этого пика выполняется и неравенство (16) и, следовательно, имеет место оценка
(18)
${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant C{{x}^{{1/4}}}{{(\ln x)}^{{{{\rho }_{h}}(T)/2}}},\quad x \in [T,2T].$Гипотеза о ширинах максимумов. Выдвинутая в [4], [10] гипотеза о ширинах максимумов может быть переформулирована в терминах пиков следующим образом: существуют константы $\eta \geqslant 2$ и $\rho > 0$, такие что для любого $T \gg 1$ ширины всех пиков ${{\mathcal{P}}_{\alpha }} \in {{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}}$ удовлетворяют неравенству (15), т.е. все достаточно высокие пики являются достаточно широкими. Если гипотеза справедлива, то из (17) следует
(19)
${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant C{{x}^{{1/4}}}{{(\ln x)}^{{\rho /2}}},\quad x \gg 1,$3. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Значения функции $R(x)$ (число целых точек в круге радиуса $\sqrt x $) вычислялись для всех целых значений $x = n$ в интервалах ${{I}^{i}}$, $i = 0,1, \ldots ,13$, где
Вычисление значений функции $R(x)$ осуществлялось по формуле (8) с использованием 64‑разрядной плавающей и целой арифметики, что обеспечивает получение точных значений. Для каждого интервала результат представляет собой массив 64-разрядных целых чисел. Соответствующие значения функции $P(x)$ вычислялись по формуле (1) с использованием 64-разрядной плавающей арифметики. Результат представляет собой массив 64-разрядных плавающих чисел. Погрешность вычислений для используемых значений аргумента ($x \lesssim {{10}^{{12}}}$) заведомо не превышает ${{10}^{{ - 3}}}$, что вполне достаточно для решения всех задач численного эксперимента.
Для каждого интервала $I \in \mathcal{I}$ по значениям $R(n)$ во всех целых точках $n$ интервала, исключая начальную точку, вычислялись величины $r(n)$ (см. (6)). В табл. 1 для каждого интервала приведено значение величины $\bar {r} = {{\max }_{{n \in I}}}\{ r(n)\} $, значение $\tilde {r}$, вычисленное для конечной точки интервала с использованием главного члена асимптотической формулы (7), а также значения величины ${{T}^{{1/4}}}$, играющей роль порога в определении пиков. Сравнение величин $\bar {r}$ и $\tilde {r}$ показывает, что величина $r(n)$ не выходит на асимптотику даже при максимальных используемых значениях $n \sim {{10}^{{12}}}$.
Таблица 1.
I | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 | I8 | I9 | I10 | I11 | I12 | I13 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$\bar {r}$ | 192 | 256 | 288 | 320 | 384 | 384 | 384 | 512 | 640 | 768 | 768 | 1024 | 1024 |
$\tilde {r}$ | 62.1 | 69.3 | 77.3 | 86.1 | 95.9 | 105.7 | 116.0 | 146.5 | 162.4 | 206.3 | 228.7 | 289.8 | 320.7 |
${{T}^{{1/4}}}$ | 56.2 | 66.9 | 79.5 | 94.6 | 112.5 | 149.5 | 177.8 | 265.9 | 316.2 | 472.9 | 562.3 | 840.9 | 1000.0 |
Для каждого из интервалов $I \in \mathcal{I}$ по массиву значений $P(n)$, $n \in I$, строится множество пиков ${{\mathfrak{P}}_{T}}$ функции $P$, точнее, описание пиков этого множества. Каждый пик ${{\mathcal{P}}_{\alpha }} \in {{\mathfrak{P}}_{T}}$, описывается следующими величинами: $x_{\alpha }^{{\text{b}}}$ – начало пика, $x_{\alpha }^{{\text{e}}}$ – конец пика, ${{x}_{\alpha }}$ – координата вершины пика, ${{h}_{\alpha }}$ – высота пика, ${{u}_{\alpha }}$ – ширина пика, ${{w}_{\alpha }}$ – полная ширина пика, ${{s}_{\alpha }}$ – знак пика. Перечисленные величины определены в разд. 2.
Алгоритм построения множества пиков достаточно прямолинеен. Выполняется просмотр последовательности значений $P(n)$, $n \in I$, и выделение таких участков последовательности ${{X}_{\alpha }} = \{ x_{\alpha }^{{\text{b}}},x_{\alpha }^{{\text{b}}} + 1, \ldots ,x_{\alpha }^{{\text{e}}}\} $, что ${\text{|}}P(n){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant {{T}^{{1/4}}}$, $n \in {{X}_{\alpha }}$. Если ${{h}_{\alpha }} \doteq {{\max }_{{n \in {{X}_{\alpha }}}}}\{ {\kern 1pt} {\text{|}}P(n){\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} \} \geqslant 2{{T}^{{1/4}}}$ для данного участка, то такой участок последовательности представляет пик, начало и конец участка – это начало и конец пика, ${{h}_{\alpha }}$ – высота пика. Точка ${{x}_{\alpha }}$, такая что ${\text{|}}P({{x}_{\alpha }}){\kern 1pt} {\text{|}} = {{h}_{\alpha }}$, – координата вершины пика (если таких точек несколько, то координатой вершины считается самая левая из них). Далее выполняется последовательный просмотр значений $P(n)$, $n \in {{X}_{\alpha }}$, вправо и влево, начиная от координаты вершины ${{x}_{\alpha }}$, и находятся крайние точки $x_{\alpha }^{ + }$ и $x_{\alpha }^{ - }$, в которых выполняется неравенство ${\text{|}}P(x_{\alpha }^{ \pm }){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant {{h}_{\alpha }}{\text{/}}2$, после чего полагается
В результате применения описанного алгоритма мы получаем конечную последовательность наборов чисел $\{ x_{\alpha }^{{\text{b}}},x_{\alpha }^{{\text{e}}},{{x}_{\alpha }},{{h}_{\alpha }},{{u}_{\alpha }},{{w}_{\alpha }},{{s}_{\alpha }}\} $, $\alpha \in {{{\text{A}}}_{I}} = \{ 0, \ldots ,{{N}_{I}} - 1\} $, которая представляет (описывает) множество пиков ${{\mathfrak{P}}_{T}}$, при этом каждый набор представляет (описывает) отдельный пик ${{\mathcal{P}}_{\alpha }}$. Количество наборов ${{N}_{I}} \doteq {\text{|}}{{{\text{A}}}_{I}}{\kern 1pt} {\text{|}} \equiv {\text{|}}{{\mathfrak{P}}_{T}}{\kern 1pt} {\text{|}}$ в последовательности есть число пиков в интервале $I$. Наборы нумеруются слева направо, так что $x_{{{{\alpha }_{1}}}}^{{\text{e}}} < x_{{{{\alpha }_{2}}}}^{{\text{b}}}$ при ${{\alpha }_{1}} < {{\alpha }_{2}}$.
Везде далее набор чисел, представляющий пик ${{\mathcal{P}}_{\alpha }}$, и совокупность таких наборов, представляющую множество пиков ${{\mathfrak{P}}_{T}}$, мы также будем называть пиком и множеством пиков и использовать те же обозначения, что не должно вызывать недоразумений. Как и ранее (см. разд. 2), будем использовать обозначение ${{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}} \subseteq {{\mathfrak{P}}_{T}}$, $\eta \geqslant 2$, для множества пиков интервала $I$, таких что ${{h}_{\alpha }} \geqslant \eta {{T}^{{1/4}}}$ (при этом ${{\mathfrak{P}}_{{2,T}}} = {{\mathfrak{P}}_{T}}$).
В табл. 2 представлено число пиков ${{N}_{I}}$, вычисленное для всех интервалов $I \in \mathcal{I}$. Кроме того, в таблице представлены величины ${{N}_{{\eta ,I}}} \doteq {\text{|}}{{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}}{\kern 1pt} {\text{|}}$ – число пиков ${{\mathcal{P}}_{\alpha }} \in {{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}}$ в интервале $I$ – для значений $\eta = 3,4,5,6$.
Таблица 2.
I | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 | I8 | I9 | I10 | I11 | I12 | I13 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
${{N}_{I}}$ | 19 938 | 29 308 | 42 818 | 62 606 | 91 233 | 33 498 | 24 102 | 11 082 | 8108 | 3745 | 2603 | 1171 | 859 |
${{N}_{{3,I}}}$ | 6640 | 9746 | 13 857 | 19 929 | 28 786 | 9593 | 6796 | 3077 | 2134 | 1010 | 696 | 322 | 224 |
${{N}_{{4,I}}}$ | 2390 | 3344 | 4932 | 6961 | 9987 | 2960 | 2019 | 867 | 634 | 273 | 201 | 98 | 60 |
${{N}_{{5,I}}}$ | 724 | 983 | 1482 | 2147 | 3069 | 766 | 540 | 222 | 162 | 63 | 59 | 25 | 17 |
${{N}_{{6,I}}}$ | 179 | 277 | 393 | 569 | 829 | 169 | 132 | 55 | 36 | 16 | 12 | 5 | 1 |
Получим экспериментальную оценку константы $C$ в формуле (16), определив для пиков ${{\mathcal{P}}_{\alpha }}$, $\alpha \in {{{\text{A}}}_{I}}$, интервала $I$ величины $C(\alpha ,T)$ из условия
в котором величина $\rho (\alpha ,T)$ определяется равенством В табл. 3 представлены вычисленные значения величины $\bar {C} = \bar {C}(T) = {{\max }_{{\alpha \in {{{\text{A}}}_{I}}}}}\{ C(\alpha ,T)\} $ для всех интервалов $I \in \mathcal{I}$. Отметим, что полученные значения величины $\bar {C}$ значительно меньше представленной в разд. 2 теоретической верхней оценки.Таблица 3.
I | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 | I8 | I9 | I10 | I11 | I12 | I13 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$\bar {C}$ | 3.031 | 3.185 | 3.473 | 3.331 | 3.493 | 2.647 | 2.626 | 2.381 | 2.508 | 2.369 | 2.470 | 1.992 | 1.830 |
Имея множество пиков ${{\mathfrak{P}}_{T}}$ в интервале $I$, можно вычислить значение показателя $\rho (\eta ,T)$ для подмножества пиков, таких что ${{h}_{\alpha }} \geqslant \eta {{T}^{{1/4}}}$, из условия
гдеТаблица 4.
I | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 | I8 | I9 | I10 | I11 | I12 | I13 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ρ(2, T) | 1.859 | 1.883 | 1.919 | 1.953 | 1.995 | 2.023 | 2.012 | 2.030 | 1.973 | 1.955 | 2.023 | 1.934 | 1.951 |
ρ(3, T) | 1.700 | 1.729 | 1.760 | 1.761 | 1.788 | 1.761 | 1.765 | 1.875 | 1.815 | 1.624 | 1.693 | 1.567 | 1.618 |
ρ(4, T) | 1.581 | 1.578 | 1.605 | 1.643 | 1.672 | 1.688 | 1.648 | 1.641 | 1.502 | 1.501 | 1.410 | 1.375 | 1.259 |
ρ(5, T) | 1.397 | 1.453 | 1.459 | 1.466 | 1.505 | 1.484 | 1.478 | 1.451 | 1.328 | 1.279 | 1.174 | 1.277 | 1.123 |
ρ(6, T) | 1.284 | 1.380 | 1.339 | 1.358 | 1.364 | 1.362 | 1.285 | 1.186 | 1.231 | 1.200 | 1.008 | 0.959 | 0.846 |
ρℎ( T) | 0.856 | 0.923 | 0.875 | 1.007 | 1.085 | 0.895 | 0.848 | 1.186 | 0.758 | 0.782 | 0.966 | 0.950 | 0.846 |
Из неравенства (18) следует, что
(20)
${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant C{{x}^{{1/4}}}{{(\ln x)}^{\lambda }},\quad x \in {{I}^{ \cup }},$Рассмотрим зависимость числа пиков от ширины. Пусть ${{\tilde {N}}_{{\eta ,I}}}(\rho )$ – число пиков ${{P}_{\alpha }} \in {{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}}$ в интервале $I$, таких что ${{u}_{\alpha }} < {{T}^{{1/2}}}{{(\ln T)}^{{ - \rho }}}$, ${{\bar {N}}_{{\eta ,I}}}(\rho )$ – число пиков ${{P}_{\alpha }} \in {{\mathfrak{P}}_{{\eta ,T}}}$ в интервале $I$, таких что ${{u}_{\alpha }} \geqslant {{T}^{{1/2}}}{{(\ln T)}^{{ - \rho }}}$. В табл. 5 приведены значения величин ${{\tilde {N}}_{{\eta ,I}}}(\rho )$, $\eta = 3$, $\rho = 2,3{\text{/}}2,1$, и ${{\bar {N}}_{{\eta ,I}}}(\rho )$, $\eta = 3$, $\rho = 1,3{\text{/}}4,1{\text{/}}2$, вычисленные для каждого из интервалов $I \in \mathcal{I}$.
Таблица 5.
I | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 | I8 | I9 | I10 | I11 | I12 | I13 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
${{\tilde {N}}_{{3,I}}}(2)$ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
${{\tilde {N}}_{{3,I}}}(3{\text{/}}2)$ | 383 | 576 | 846 | 1214 | 1713 | 505 | 326 | 128 | 78 | 28 | 16 | 3 | 3 |
${{\tilde {N}}_{{3,I}}}(1)$ | 5499 | 8117 | 11 489 | 16 372 | 23 607 | 7990 | 5656 | 2494 | 1686 | 783 | 554 | 248 | 170 |
${{\bar {N}}_{{3,I}}}(1)$ | 1141 | 1629 | 2368 | 3557 | 5179 | 1603 | 1140 | 583 | 448 | 227 | 142 | 74 | 54 |
${{\bar {N}}_{{3,I}}}(3{\text{/}}4)$ | 94 | 137 | 218 | 298 | 478 | 125 | 81 | 39 | 32 | 11 | 9 | 8 | 2 |
${{\bar {N}}_{{3,I}}}(1{\text{/}}2)$ | 1 | 0 | 0 | 4 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Данные первой строки табл. 5 означают, что на множестве $x \in {{I}^{ \cup }}$ гипотеза о ширинах максимумов справедлива при $\eta = 3$, $\rho = 2$. Отсюда следует, что
Последняя строка таблицы показывает, что пики шире ${{T}^{{1/2}}}{{(\ln T)}^{{ - 1/2}}}$ встречаются крайне редко, что согласуется с $\Omega $-оценкой (9).Для каждого из интервалов $I \in \mathcal{I}$ были вычислены сумма длин оснований всех пиков ${{S}_{X}}$, суммы длин оснований положительных и отрицательных пиков $S_{X}^{ \pm }$ по отдельности, сумма полных (двусторонних) ширин всех пиков ${{S}_{W}}$ и суммы полных (двусторонних) ширин положительных и отрицательных пиков $S_{W}^{ \pm }$ по отдельности:
Таблица 6.
I | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 | I8 | I9 | I10 | I11 | I12 | I13 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$\frac{{{{S}_{X}}}}{{|{\kern 1pt} I{\kern 1pt} |}}$ | 0.449 | 0.450 | 0.447 | 0.448 | 0.447 | 0.410 | 0.403 | 0.398 | 0.399 | 0.399 | 0.398 | 0.390 | 0.401 |
$\frac{{S_{X}^{ + }}}{{|{\kern 1pt} I{\kern 1pt} |}}$ | 0.236 | 0.236 | 0.233 | 0.234 | 0.232 | 0.211 | 0.207 | 0.203 | 0.204 | 0.203 | 0.201 | 0.200 | 0.205 |
$\frac{{S_{X}^{ - }}}{{|{\kern 1pt} I{\kern 1pt} |}}$ | 0.213 | 0.214 | 0.214 | 0.215 | 0.215 | 0.199 | 0.196 | 0.195 | 0.195 | 0.196 | 0.197 | 0.190 | 0.195 |
$\frac{{{{S}_{W}}}}{{|{\kern 1pt} I{\kern 1pt} |}}$ | 0.230 | 0.226 | 0.224 | 0.222 | 0.221 | 0.209 | 0.207 | 0.203 | 0.203 | 0.203 | 0.198 | 0.194 | 0.193 |
$\frac{{S_{W}^{ + }}}{{|{\kern 1pt} I{\kern 1pt} |}}$ | 0.123 | 0.121 | 0.119 | 0.119 | 0.118 | 0.111 | 0.110 | 0.107 | 0.108 | 0.107 | 0.106 | 0.103 | 0.101 |
$\frac{{S_{W}^{ - }}}{{|{\kern 1pt} I{\kern 1pt} |}}$ | 0.108 | 0.105 | 0.105 | 0.104 | 0.103 | 0.098 | 0.097 | 0.096 | 0.095 | 0.096 | 0.092 | 0.091 | 0.092 |
Значения $S_{W}^{ \pm }{\text{/|}}I{\kern 1pt} {\text{|}}$ суть экспериментальные оценки сверху для констант ${{C}^{ \pm }}$ в (12) при условии, что в (11) ${{C}_{ \pm }} = 2$. Отметим, что представленные отношения слабо зависят от интервала $I$, для которого они вычислены, хотя некоторая тенденция к уменьшению этих величин при увеличении $T$ наблюдается.
Рассмотрим вопрос перемены знаков ${{s}_{\alpha }}$ в последовательности пиков $\{ {{\mathcal{P}}_{\alpha }}\} $, $\alpha \in {{{\text{A}}}_{I}}$, интервала $I$. Выберем из исходной последовательности $\{ {{\mathcal{P}}_{\alpha }}\} $ подпоследовательность пиков с чередующимися знаками $\{ \mathcal{P}_{{{{\alpha }_{k}}}}^{{{\text{alt}}}}\} $, ${{\alpha }_{k}} \in {\text{A}}_{I}^{{{\text{alt}}}} = \{ {{\alpha }_{0}}, \ldots ,{{\alpha }_{{K - 1}}}\} \subseteq {{{\text{A}}}_{I}}$, используя следующую рекуррентную формулу:
Массив расстояний $D$ был построен для каждого из интервалов $I \in \mathcal{I}$. Результаты вычисления величин $\nu $, $\bar {d}$ и ${{d}_{{\max }}}$ приведены в табл. 7.
Таблица 7.
I | I1 | I2 | I3 | I4 | I5 | I6 | I7 | I8 | I9 | I10 | I11 | I12 | I13 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$\nu $ | 0.25 | 0.24 | 0.23 | 0.23 | 0.23 | 0.23 | 0.22 | 0.22 | 0.22 | 0.21 | 0.22 | 0.21 | 0.21 |
$\bar {d}$ | 0.634 | 0.634 | 0.630 | 0.626 | 0.615 | 0.586 | 0.584 | 0.580 | 0.554 | 0.574 | 0.546 | 0.566 | 0.557 |
${{d}_{{\max }}}$ | 2.376 | 2.509 | 2.449 | 2.259 | 2.223 | 1.882 | 1.849 | 1.765 | 1.624 | 1.581 | 1.644 | 1.437 | 1.651 |
Относительная частота перемены знака $\nu $ изменяется в пределах от $0.21$ до $0.25$. Это означает, что в последовательностях пиков должны встречаться длинные ($ \geqslant {\kern 1pt} 4$) серии подряд идущих пиков одного знака. Пример такой серии положительных пиков представлен на фиг. 2, где изображен график функции $P(x)$ на части интервала ${{I}^{{13}}}$ ($T = {{10}^{{12}}}$) длиной $5 \times {{10}^{4}}$. Штриховыми горизонтальными линиями на рисунке проведены пороговые значения, используемые в процессе построения положительных пиков функции $P(x)$.
На фиг. 3 представлена построенная гистограмма распределения значений функции $Q(x) = P(x){{x}^{{ - 1/4}}}$ в целых точках интервала $\bigcup\nolimits_{0 \leqslant i \leqslant 6} \,{{I}^{i}} = [1,3.2 \times {{10}^{8}}]$, которая представляет собой приближение определенной в (13) плотности распределения $f(\xi )$ значений функции $Q(x)$.
Минимальное и максимальное значения $Q$ в интервале равны $ - 9.324$ и $6.283$ соответственно. Гистограмма построена с использованием $2000$ ячеек, размер ячейки равен $0.008$. Максимальное значение гистограммы равно $0.249$ и достигается в ячейке, центр которой имеет координату ${{\xi }_{{\max }}} = 0.341$.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сформулируем основные выводы относительно поведения функции $P(x)$ , $x \in {{I}^{ \cup }}$, в области больших отклонений от нуля, вытекающие из результатов численного эксперимента.
Все достаточно высокие максимумы являются широкими и гипотеза о ширинах максимумов справедлива при $\eta = 3$ (${{h}_{\alpha }} \geqslant 3{{T}^{{1/4}}}$), $\rho = 2$. Очень широкие максимумы (такие, что ${{u}_{\alpha }} \geqslant {{T}^{{1/2}}}{{(\ln T)}^{{ - 1/2}}}$) встречаются редко, что согласуется с $\Omega $-оценкой.
Имеет место оценка
Суммарная длина интервалов ${{X}_{\alpha }} \subset [T,T + \Delta T]$, $T \gg 1$, $1 \ll \Delta T \leqslant T$, в которых имеют место большие отклонения функции $P(x)$ от нуля, именно ${\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant {{T}^{{1/4}}}$, $x \in {{X}_{\alpha }}$, и ${{\sup }_{{x \in {{X}_{\alpha }}}}}{\text{|}}P(x){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant 2{{T}^{{1/4}}}$, составляет 40–45% длины общего интервала $[T,T + \Delta T]$. Соседние большие отклонения в одну сторону (положительные и отрицательные) формируют группы; среднее число отклонений в группе составляет 4–5. Знаки соседних групп чередуются, и среднее расстояние между соседними группами составляет $ \sim {\kern 1pt} 0.6{{T}^{{1/2}}}$.
Анализ приведенных в табл. 4 величин $\rho (\eta ,T)$ при любом фиксированном значении $\eta $ показывает, что эти величины слабо зависят от интервала $I$, для которого они вычислены, и тенденция к увеличению $\rho (\eta ,T)$ при увеличении $T$ не наблюдается. Это можно считать экспериментальным подтверждением гипотезы о ширинах максимумов в целом. Кроме того, данные табл. 4 дают основание полагать, что неравенство (19) выполняется в случае $\rho = 2$ (по крайней мере, при $\eta \geqslant 3$). Таким образом, гипотетически
Авторы благодарят М.А. Королёва за помощь и полезные замечания.
Список литературы
Krätzel E. Lattice Points. Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1988. 320 p.
Huxley M.N. Area, Lattice Points, and Exponential Sups. Oxford: Clarendon Press, 1996. xii+494 P.
Bourgain J., Watt N. Mean Square of Zeta Function, Circle Problem, and Divisor Problem. arXiv: 1709.04340.
Попов Д.А. Проблема круга и спектр оператора Лапласа на замкнутых двумерных многообразиях // Успехи матем. наук. 2019. Т. 74. В. 5. С. 146–162.
Frazer W., Botlieb C.C. A Calculation of Number of Lattice Points in the Circle and Sphere // Math. Comp. 1962. V. 16. P. 282–290.
Keller H.B., Swenson J.R. Experiments on the Lattice Problem of Gauss // Math. Comp. 1963. V. 17. P. 223–230.
Mitchell W.C. The Number of Lattice Points in a k-dimensional Hypersphere // Math. Comp. 1966. V. 20. P. 300–310.
Keller H.B. Numerical Studies of the Gauss Lattice Problem. Technical Report. Pasadena, CA: California Institute of Technology, 1997. 11 P.
Bleher P.M., Cheng Z., Dyson F.J., Lebowitz J.L. Distribution of the Error Term for the Number of Lattice Points Inside a Shifted Circle // Comm. Math. Phys. 1993. V. 154. № 3. P. 433–469.
Попов Д.А. Оценки и поведение величин, на коротких интервалах // Изв. РАН. 2016. Т. 80. № 6. С. 230–246.
Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971. 416 С.
Gangadharan K.S. Two Classical Lattice Point Problems // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1961. V. 57. P. 699–721.
Soundararajan K. Omega Results for Divisor and Circle Problems // IMRN. 2003. N 36. P. 1987–1998.
Heath-Brown D.R., Tsang K. Sign changes of E(T), Δ(x), and P(x) // J. Numb. Theory. 1994. V. 49. P. 73–83.
Heath-Brown D.R. The Distribution and Moments of the Error Term in the Dirichlet Divisor Problem // Acta Arith. 1992. V. 60. N. 4. P. 389–415.
Lan V.-K., Tsang K.-M. Moments of Short Intervals // Arch. Math. 2005. V. 84. N. 3. P. 249–257.
Landau E. Vorlesungen über Zahlentheorie, v. 2. Leipzig: S. Hirzel, 1927. vii+308 S.
Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, часть 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1949. 798 с.
Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983. 240 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики