Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 3, стр. 391-402
О гладком решении второй начально-краевой задачи для модельной параболической системы в полуограниченной негладкой области на плоскости
Е. А. Бадерко 1, *, А. А. Стасенко 1, **
1 МГУ им. М.В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной
и прикладной математики
119991 Москва, Ленинские горы, 1, Россия
* E-mail: baderko.ea@yandex.ru
** E-mail: stasenko.aa@yandex.ru
Поступила в редакцию 02.06.2021
После доработки 02.06.2021
Принята к публикации 17.11.2021
- EDN: SJLJYF
- DOI: 10.31857/S0044466922030036
Аннотация
Рассмотрена вторая начально-краевая задача для параболической по Петровскому системы второго порядка с постоянными коэффициентами в полуограниченной плоской области с негладкой боковой границей. Доказана единственность решения этой задачи в классе ${{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$. Исследовано минимальное условие на граничную функцию, при котором решение задачи принадлежит классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$. Методом граничных интегральных уравнений получен конструктивный вид решения. Библ. 24.
ВВЕДЕНИЕ
В статье рассматривается вторая начально-краевая задача с нулевым начальным условием для однородной параболической системы второго порядка с постоянными коэффициентами, с одной пространственной переменной, в полуограниченной области с негладкой боковой границей из класса ${{H}^{{(1 + \alpha )/2}}}[0,T]$, допускающей, в частности, наличие “клювов”. Методом граничных интегральных уравнений строится решение поставленной задачи из класса ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$. Это решение имеет вид специального параболического потенциала.
Из [1], [2, с. 706–707] следует, что если боковая граница области достаточно гладкая, а именно, из класса ${{H}^{{1 + \alpha /2}}}[0,T],0 < \alpha < 1$, то для любой правой части $\psi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{(1 + \alpha )/2}}}[0,T]$ граничного условия II рода существует единственное решение такой задачи в классе ${{\mathop H\limits_0 }^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega })$.
В [3] для случая одного многомерного по пространственным переменным параболического уравнения с переменными коэффициентами доказано, что любое решение второй начально-краевой задачи принадлежит пространству ${{\mathop H\limits_0 }^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega })$ при существенно более слабом условии на боковую границу, а именно, если эта граница является нецилиндрической из класса ${{H}^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$.
В [4], [5] этот результат обобщен на одномерные по пространственной переменной параболические системы второго порядка: построено решение из класса ${{\mathop H\limits_0 }^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega })$. Единственность решения в этих работах не исследовалась.
В [6], [7] построено решение в виде потенциала простого слоя второй начально-краевой задачи для параболических систем в полуограниченных плоских областях с негладкими боковыми границами, при непрерывной правой части $\psi $ граничного условия. Кроме того, в [7] установлено, что полученное решение принадлежит пространству ${{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$, если $\psi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{\alpha /2}}}[0,T],\;0 < \alpha < 1.$ Позднее данные результаты были обобщены в [8], [9] для случая пространств Дини–Гёльдера. Единственность решения в данных работах также не исследовалась.
Заметим, что в [10] доказано, что для параболических систем, вообще говоря, не имеет места принцип максимума.
В настоящей работе доказывается, что любое решение поставленной задачи принадлежит классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega }),$ если граничная функция принадлежит пространству ${{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$, т.е. имеет непрерывную дробную производную порядка $1{\text{/}}2$, обращающуюся в нуль при $t = 0$. При этом предварительно устанавливается теорема единственности для решения в классе ${{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$. Кроме того, в работе показывается, что условие $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ на граничную функцию является минимальным для принадлежности решения классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$.
В качестве приложения полученный результат может использоваться для исследования процессов тепло- и массопереноса в сплавах (см., например, [12]). Конструктивное представление решения в виде потенциала и сведение решения поставленной задачи к решению системы граничных интегральных уравнений Вольтеррa I рода могут представлять теоретическую основу для получения численного решения задачи методом граничных элементов (см., например [12], [13]).
Статья состоит из пяти разделов. В разд. 1 вводятся используемые в работе обозначения и функциональные пространства, приводится постановка задачи и формулируются основные теоремы. В разд. 2 приводится доказательство теоремы единственности. В разд. 3 исследуется гладкость специального параболического потенциала. В разд. 4 доказывается основная теорема. В разд. 5 показывается минимальность условия $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ для принадлежности решения классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$.
1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ И ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТОВ
В полосе $D = \{ (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{2}}:0 < t < T\} ,$ $0 < T < + \infty $, рассматривается параболический по И.Г. Петровскому (см. [14]) матричный оператор 2-го порядка с постоянными коэффициентами $Lu = {{\partial }_{t}}u - A\partial _{x}^{2}u,$ $u = ({{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{m}}),$ $m \geqslant 1,$ где ${{\partial }_{t}} = \partial {\text{/}}\partial t,$ $\partial _{x}^{2} = {{\partial }^{2}}{\text{/}}\partial {{x}^{2}},$ $A = \left\| {{{a}_{{ij}}}} \right\|_{{i,j = 1}}^{m}$ – матрица размерности $m \times m$. Предполагается, что собственные числа ${{\mu }_{k}}$ матрицы $A$ удовлетворяют условию
Условие (1) (см. [15, с. 297–305], [16, с. 64–116]) обеспечивает существование фундаментальной матрицы решений $Z(x - \xi ,t - \tau )$ системы $Lu = 0$, которая имеет вид
Здесь и далее для любой матрицы $B$ (или вектора $b$) под $\left| B \right|$ (соответственно $\left| b \right|$) понимаем максимум из модулей элементов $B$ (компонент $b$).
В $D$ выделяется полуограниченная область $\Omega = \{ (x,t) \in D:x > g(t)\} $ с “боковой” границей $\Sigma = \{ (x,t) \in \bar {\Omega }:x = g(t)\} $, где функция $g$ удовлетворяет условию
(2)
$\left| {g(t + \Delta t) - g(t)} \right| \leqslant K{{\left| {\Delta t} \right|}^{{(1 + \alpha )/2}}},\quad K > 0,\quad 0 < \alpha < 1,\quad t,t + \Delta t \in [0,T].$Для любого сегмента $[d,T - d],$ $0 \leqslant d < T{\text{/}}2,$ через $C[d,T - d]$ обозначаем пространство непрерывных (вектор)-функций $\psi :[d,T - d] \to {{\mathbb{R}}^{m}}$; при этом
Полагаем
Пусть
Через ${{H}^{\beta }}[0,T],$ $0 < \beta < 1,$ обозначаем пространство (вектор)-функций $\psi :[0,T] \to {{\mathbb{R}}^{m}},$ для которых конечна величина
Полагаем ${{\mathop H\limits_0 }^{\beta }}[0,T] = \{ \psi \in {{H}^{\beta }}[0,T]:\psi (0) = 0\} $.
Через $\mathop C\limits_0 (\bar {\Omega })$ обозначаем пространство непрерывных и ограниченных (вектор)-функций $u:\bar {\Omega } \to {{\mathbb{R}}^{m}}$, для которых $u(x,0) = 0$, при этом
${{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega }) = \{ u:u,{{\partial }_{x}}u \in \mathop C\limits_0 (\bar {\Omega })\} ,$ при этомЧерез ${{H}^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega }),$ $0 < \alpha < 1,$ обозначаем пространство Гёльдера (вектор)-функций, имеющих в $\bar {\Omega }$ непрерывную производную ${{\partial }_{x}}u$, для которых конечна величина
Через ${{H}^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega }),$ $0 < \alpha < 1,$ обозначаем пространство Гёльдера (вектор)-функций, имеющих в $\bar {\Omega }$ непрерывные производные ${{\partial }_{x}}u,\;\partial _{x}^{2}u,\;{{\partial }_{t}}u$, для которых конечна величина
Наконец,
Рассмотрим задачу: найти функцию $u \in {{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$, являющуюся решением второй начально-краевой задачи
(3)
$Lu = 0\quad {\text{в}}\quad \Omega ,\quad u(x,0) = 0,\quad x \geqslant g(0),\quad {{\partial }_{x}}u(g(t),t) = \psi (t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$Cуществование решения $u$ задачи (3) для $\psi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$ следует из [7]. В [7] также доказано, что $u \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$, если $\psi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{\alpha /2}}}[0,T]$.
Основными результатами настоящей работы являются следующие три теоремы.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (1), (2) и функция $u \in {{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ – решение задачи $(3)$ при условии $\psi \equiv 0$. Тогда $u \equiv 0$.
Замечание. В случае одного уравнения ($m = 1$) утверждение теоремы 1 следует из [19].
Теорема 2. Пусть выполнены условия (1), (2), и $u \in {{C}^{{2,1}}}(\Omega ) \cap {{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ – решение задачи $(3)$. Тогда для любой $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ это решение принадлежит пространству ${{\mathop {\widehat C}\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$, и верна оценка
Здесь и далее через $C$ и $c$ обозначаем положительные постоянные, зависящие от $T,K,A,m$, конкретный вид которых нас не интересует.На примере задачи в полуполосе мы показываем, что условие принадлежности граничной функции $\psi $ классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ в теореме 2 является точным. А именно, в полуполосе ${{D}_{ + }} = \{ (x,t) \in D:x > 0\} $ рассматриваем вторую начально-краевую задачу
(4)
$Lu = 0\quad {\text{в}}\quad {{D}_{ + }},\quad u(x,0) = 0,\quad x \geqslant 0,\quad {{\partial }_{x}}u(0,t) = \psi (t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$Теорема 3. Решение $u \in {{C}^{{2,1}}}({{D}_{ + }}) \cap {{C}^{{1,0}}}(\overline {{{D}_{ + }}} )$ задачи $(4)$ принадлежит классу ${{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}(\overline {{{D}_{ + }}} )$ тогда и только тогда, когда $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T].$
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Предварительно заметим, что при выполнении условия (2) функцию $u \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$ можно продолжить до функции $\hat {u} \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {D})$, причем
В самом деле, положим $y \equiv x - g(t),$ $u(y + g(t),t) \equiv u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (y,t),\;(y,t) \in \overline {{{D}_{ + }}} .$ Пусть $y \geqslant 0$. Из неравенства
Для доказательства теоремы 1 используем метод из [20], [21]. Пусть функция $u$ удовлетворяет условиям из теоремы 1. Предположим вначале, что $u \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$ для некоторого $\alpha $ из интервала $(0,1)$. Тогда $u$ является решением первой начально-краевой задачи
(5)
$Lv = 0\quad {\text{в}}\quad \Omega ,\quad v(x,0) = 0,\quad x \geqslant g(0),\quad v(g(t),t) = {{\psi }_{0}}(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$Продолжая функцию $u$ с области $\bar {\Omega }$ на полосу $\bar {D}$ с сохранением класса, можно показать, что ${{\psi }_{0}} \in {{\mathop H\limits_0 }^{{(1 + \alpha )/2}}}[0,T]$. Поэтому в силу результатов из [17], [18], [22]–[24] об однозначной разрешимости первой начально-краевой задачи в классе ${{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {\Omega })$ для систем вида (5) следует, что $u$ имеет вид (векторного) потенциала простого слоя
Пользуясь формулой “скачка” для пространственной производной потенциала простого слоя (см. [6]), получим, что $\varphi $ одновременно является решением системы Вольтеррa II рода
Предполагаем теперь, что $u \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$. Для любой ограниченной функции $v:\bar {D} \to \mathbb{R}$ и любого множества $\mathcal{B} \subset \bar {D}$ обозначаем
Продолжаем $u$ на всю полосу $\bar {D}$ с сохранением класса так, что $\bar {u}(x,0) = {{\partial }_{x}}\bar {u}(x,0) = 0$. В результате получаем функцию $\bar {u} \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {D})$, причем $\bar {u}(x,t) = u(x,t),\;(x,t) \in \bar {\Omega }$. Далее, для функции $\bar {u}$ полагаем $\tilde {u}(x,t) = \bar {u}(x,t),$ $0 \leqslant t \leqslant T,$ $\tilde {u}(x,t) = \bar {u}(x,T),$ $t \geqslant T,$ $\tilde {u}(x,t) = 0,$ $t \leqslant 0$.
Фиксируем произвольно точку $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in \Omega $ и докажем, что $\tilde {u}({{x}_{0}},{{t}_{0}}) = 0$.
Рассмотрим “сглаженные” функции
Фиксируем произвольно $\varepsilon > 0$. Из непрерывности функции $\tilde {u}$ следует, что существует ${{s}_{0}} \in \mathbb{N}$ такое, что
(6)
$\left| {{{{\tilde {u}}}_{s}}({{x}_{0}},{{t}_{0}})} \right| \leqslant C\varepsilon \quad {\text{для любого}}\quad s > {{s}_{1}}.$Рассмотрим область ${{\Omega }_{d}} = \{ (x,t) \in \Omega :x > g(t) + d,\;d < t < T - d\} $, где $0 < d < \min \left\{ {1,T{\text{/}}2} \right\}$ такое, что $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\Omega }_{d}}$. Для любого $s > 1{\text{/}}d$ функция ${{\tilde {u}}_{s}}$ является решением второй начально-краевой задачи
Заметим, что ${{\tilde {u}}_{s}} \in {{\mathop H\limits_0 }^{{1 + \alpha ,(1 + \alpha )/2}}}(\bar {D})$, откуда в силу только что доказанной единственности решения в данном классе следует (см. [7]), что ${{\tilde {u}}_{s}}$ имеет вид суммы двух параболических потенциалов
(7)
$\begin{gathered} {{u}_{s}}(x,t) = \mathop {\int }\limits_\mathbb{R} Z(x - \xi ,t - d){{h}_{{s,d}}}(\xi )d\xi + \mathop {\mathop {\int }\limits_d }\limits^t Z(x - g(\tau ) - d,t - \tau ){{\varphi }_{{s,d}}}(\tau )d\tau \equiv {{P}_{{s,d}}}(x,t) + {{U}_{{s,d}}}(x,t), \\ (x,t) \in {{{\bar {\Omega }}}_{d}}, \\ \end{gathered} $(8)
$ - \frac{1}{2}{{A}^{{ - 1}}}{{\varphi }_{{s,d}}}(t) + \mathop {\mathop {\int }\limits_d }\limits^t {{\partial }_{x}}Z(g(t) - g(\tau ) - d,t - \tau ){{\varphi }_{{s,d}}}(\tau )d\tau = {{\Psi }_{{s,d}}}(t),\quad d \leqslant t \leqslant T - d,$Оценим $\partial _{x}^{k}{{P}_{{s,d}}},\;k = 0,1.$ Пусть ${{\mathbb{B}}_{R}}({{x}_{0}}) = \{ x \in \mathbb{R}:x - {{x}_{0}} \leqslant R\} $, где $R > 0$ достаточно большое, так что $R > {{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$, и цилиндр ${{\mathbb{B}}_{R}}({{x}_{0}}) \times [0,T]$ содержит “внутри” кривую $\Sigma $. Имеем
Рассмотрим $P_{{s,d}}^{{1,k}},\;k = 0,1.$ Так как ${{\left\| {\partial _{\xi }^{k}{{h}_{{s,d}}};\mathbb{R}} \right\|}^{0}} \leqslant {{\left\| {{{{\tilde {u}}}_{s}};D} \right\|}^{{1,0}}} \leqslant C{{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}}$ , то
Для оценки $P_{{s,d}}^{{2,k}},\;k = 0,1,$ заметим, что
В итоге при $d < {{d}_{1}},$ $s > 1{\text{/}}d$ имеем
(9)
$\left| {\partial _{x}^{k}{{P}_{{s,d}}}(x,t)} \right| \leqslant C\varepsilon ,\quad (x,t) \in {{\mathbb{B}}_{R}}({{x}_{0}}) \times [0,T],\quad k = 0,1.$Оценим потенциал простого слоя ${{U}_{{s,d}}},d < {{d}_{2}}$, где ${{d}_{2}} = {{d}_{2}}(R) < {{d}_{1}}$ такое, что цилиндр ${{\mathbb{B}}_{R}}({{x}_{0}}) \times [0,T]$ содержит “боковую” границу области ${{\Omega }_{d}}$ для любых $d < {{d}_{2}}.$ Так как ${{\Psi }_{{s,d}}} \in \mathop C\limits_0 [d,T - d]$, то (см. [6]) система (8) имеет единственное в $C[d,T - d]$ решение ${{\varphi }_{{s,d}}} \in \mathop C\limits_0 [d,T - d]$, причем справедлива оценка
Оценим ${{\left\| {{{\Psi }_{{s,d}}};[d,T - d]} \right\|}^{0}}$. Заметим, что
Поэтому существует ${{d}_{3}} = {{d}_{3}}(R)$ такое, что ${{d}_{3}} < {{d}_{2}}$, и при всех $d < {{d}_{3}},$ $s > 1{\text{/}}d$
Из оценки (9) при $k = 1$ получаем, что ${{\left\| {{{\Psi }_{{s,d}}};[0,T]} \right\|}^{0}} \leqslant C\varepsilon $ и, следовательно, ${{\left\| {{{\varphi }_{{s,d}}};[d,T - d]} \right\|}^{0}} \leqslant C\varepsilon $ при всех $d < {{d}_{3}},$ $s > 1{\text{/}}d.$
Таким образом, при всех $d < {{d}_{3}},$ $s > 1{\text{/}}d$
В итоге, из представления (7) и оценок (9), (10) следует (6) для ${{s}_{1}} = [1{\text{/}}{{d}_{3}}]$.
3. СПЕЦИАЛЬНЫЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
Следуя [5], определим для (вектор)-плотности $\varphi \in C[0,T]$ специальный параболический потенциал $S\varphi $ формулой
(11)
$S\varphi (x,t) = \mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t Y(x - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in \bar {D},$Столбцы матрицы $Y$ удовлетворяет уравнению
(12)
$\left| {\partial _{x}^{k}Y(x,t)} \right| \leqslant {{C}_{k}}{{t}^{{ - k/2}}},\quad k \geqslant 0,\quad (x,t) \in \mathbb{R}_{ + }^{2}.$Для любой $\varphi \in C[0,T]$ имеем
(13)
${{\partial }_{t}}S\varphi (x,t) - A\partial _{x}^{2}S\varphi (x,t) = 0,\quad (x,t) \in \Omega .$Лемма 1. Пусть выполнены условия (1), (2). Тогда для любой $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$ имеют место оценки
(14)
$\left| {\partial _{x}^{k}S\varphi (x,t)} \right| \leqslant C{{\left\| {\varphi ;[0,T]} \right\|}^{0}}{{t}^{{1 - k/2}}},\quad k = 0,1,\quad (x,t) \in \bar {D},$(15)
$\left| {\partial _{x}^{2}S\varphi (x,t)} \right| \leqslant C{{\omega }_{\varphi }}(t),\quad (x,t) \in \Omega ,$(16)
$\left| {{{\Delta }_{t}}{{\partial }_{x}}S\varphi (x,t){\kern 1pt} } \right| \leqslant C{{\left\| {\varphi ;[0,T]} \right\|}^{0}}{{\left| {\Delta t} \right|}^{{1/2}}},\quad (x,t),(x,t + \Delta t) \in \bar {D},$(17)
$\partial _{x}^{2}S\varphi (g(t),t) = \frac{1}{2}{{A}^{{ - 1}}}\varphi (t) + \mathop {\mathop {\int }\limits^t }\limits_0 \partial _{x}^{2}Y(g(t) - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in \Omega ,\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$Доказательство. Неравенство (14) сразу следует из (12). Докажем (15). Имеем
(18)
$\partial _{x}^{2}S\varphi (x,t) = - \mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t {{\partial }_{x}}Z(x - g(\tau ),t - \tau )\varphi (\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in \Omega .$Докажем (16). Без ограничения общности будем считаем $\Delta t > 0.$ При $0 < t{\text{/}}2 \leqslant \Delta t$ неравенство (16) сразу следует из (14) при $k = 1$. Пусть $\Delta t < t{\text{/}}2.$ Положим
${{W}_{1}}$ и ${{W}_{2}}$ оцениваются аналогичным образом. Оценим ${{W}_{2}}$, используя (12):
Формула (17) следует из равенства (18) и формулы “скачка” для пространственной производной потенциала простого слоя, доказанной в [6].
Замечание. Утверждение леммы 2 следует из [4], [5], если повысить требование на гладкость $\varphi $, а именно, если $\varphi \in {{\mathop H\limits_0 }^{{\alpha /2}}}[0,T],\;0 < \alpha < 1.$
Из леммы 1 следует
Теорема 4. Пусть $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$, и выполнены условия (1), (2). Тогда $S\varphi \in {{\mathop {\widehat C}\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega }),$ и справедлива оценка
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2
В силу теоремы 1 и результата из [7] существует единственное решение $u$ задачи (3) в классе ${{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$, если $\psi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$. Пусть $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$. Докажем, что в этом случае $u \in {{\mathop {\widehat C}\limits_0 }^{{2,1}}}(\bar {\Omega })$. Для этого решение задачи (3) ищем в виде потенциала $S\varphi $ из (11), где (вектор)-плотность $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$ подлежит определению. В силу равенства (13) и леммы 1 потенциал $S\varphi $ удовлетворяет уравнению и начальному условию из (3). Подставляя $S\varphi $ в граничное условие из (3), для определения плотности $\varphi $ получаем систему граничных интегральных уравнений Вольтеррa I рода:
Из [18] следует, что для любой $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ эта система имеет единственное в $C[0,T]$ решение $\varphi \in \mathop C\limits_0 [0,T]$, и справедлива оценка
откуда в силу теоремы 4 получаем требуемый результат.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3
Достаточность следует из теоремы 2. Для доказательства необходимости предварительно заметим, что для любой функции $\psi \in {{C}^{1}}[0,T]$ справедливо равенство
(19)
${{\partial }^{{1/2}}}{{\partial }^{{1/2}}}\psi (t) = \psi {\kern 1pt} '(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T.$Переходя в последнем равенстве к пределу при $t \to {{0}_{ + }}$, получаем (19) и при $t = 0$.
Пусть $u \in {{\mathop C\limits_0 }^{{2,1}}}({{\bar {D}}_{ + }})$ – решение задачи (4). Из теоремы 1 и результата из [7] следует, что $u$ имеет вид потенциала простого слоя
Для $(x,t) \in {{D}_{ + }}$ рассмотрим дробную производную порядка $1{\text{/}}2{\text{:}}$
Так как $x > 0,$ второе слагаемое в последнем выражении обращается в нуль, откуда получаем
Пользуясь равенством (см. [18])
(20)
$\partial _{t}^{{1/2}}u(x,t) = 2\mathop {\mathop {\int }\limits_0 }\limits^t {{\partial }_{x}}Z(x,t - \tau ){{M}^{{ - 1}}}A\psi (\tau )d\tau \equiv v(x,t),\quad (x,t) \in {{D}_{ + }}.$(21)
${{\partial }_{t}}u(x,t) = {{\pi }^{{ - 1/2}}}\frac{d}{{dt}}\mathop {\mathop {\int \,}\limits_0 }\limits^t {{(t - \tau )}^{{ - 1/2}}}v(x,\tau )d\tau \equiv {{\partial }_{t}}F(x,t),\quad x > 0,\quad t \geqslant 0.$Из равенства
Список литературы
Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 83. С. 3–163.
Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
Baderko E.A. Schauder estimates for oblique derivative problems // Comptes Rendus de l’Acadé mie des Sciences. Sé rie I. Mathé matique. Paris. 1998. T. 326. № 12. P. 1377–1380.
Семаан Х. О решении второй краевой задачи для параболических систем в областях на плоскости с негладкой боковой границей. М., 1999, Деп. ВИНИТИ РАН 26.02.99. № 567–В99.
Семаан Х. О решении второй краевой задачи для параболических систем на плоскости. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, механ.-матем. факультет, 1999.
Тверитинов В.А. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка. М., 1988. Деп. в ВИНИТИ 30.09.88. № 6850–В88.
Тверитинов В.А. Решение второй краевой задачи для параболических систем с одной пространственной переменной методом граничных элементов. М., 1989. Деп. в ВИНИТИ 15.11.89. № 6906–В89.
Зейнеддин М. О потенциале простого слоя для параболической системы в классах Дини. Дис. ... канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, мех.-мат. факультет, 1992.
Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка в классах Дини. М., 1992. Деп в ВИНИТИ РАН 16.04.92. № 1294–В92.
Мазья В.Г., Кресин Г.И. О принципе максимума для сильно эллиптических и параболических систем второго порядка с постоянными коэффициентами// Матем. сб. 1984. Т. 125(167). № 4(12). С. 458–480.
Ворошнин Л.Г., Хусид Б.М. Диффузионный массоперенос в многокомпонентных системах. Минск: Наука и техн., 1971.
Hackbusch W. Integral Equations. Berlin: Birkhauser, 1995.
Chen G., Zhou J. Boundary Element Methods. London: Acad. Press, 1992.
Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюлл. МГУ. 1938. Секция А. Т. 1. Вып. 7. С. 1–72.
Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.
Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях с негладкими боковыми границами // Докл. АН. 2014. Т. 458. № 4. С. 379–381.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической системы на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2016. Т. 52. № 2. С. 197–208.
Камынин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. матем. ж. 1974. Т. 15. № 4. С. 806–834.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решения задачи Коши для параболических систем // Дифференц. ур-ния. 2019. Т. 55. № 6. С. 822–830.
Baderko E.A., Cherepova M.F. Uniqueness theorem for parabolic Cauchy problem // Applicable Analys. 2016. T. 95. № 7. P. 1570–1580.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решения первой начально-краевой задачи для параболических систем на плоскости в модельном случае // Докл. АН. 2018. Т. 483. № 3. С. 247–249.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решения первой начально-краевой задачи для параболических систем с постоянными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости // Дифференц. ур-ния. 2019. Т. 55. № 5. С. 673–682.
Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Задача Дирихле для параболических систем с Дини-непрерывными коэффициентами на плоскости // Докл. АН. 2017. Т. 476. № 1. С. 7–10.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики