1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 62, № 9, 2022

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 9, стр. 1522-1531

Метод континуальных теорем сложения и интегральные соотношения между функциями Кулона и функцией Аппеля F1

И. А. Шилин 1, 2, *, Дж. Чой 3

1 НИУ Московский энергетический институт
111250 Москва, ул. Красноказарменная, 14, Россия

2 Московский педагогический государственный университет
119991 Москва, ул. Малая Пироговская, 1, Россия

3 Department of Mathematics, Dongguk University
Gyeongju, Republic of Korea

* E-mail: ilyashilin@li.ru

Поступила в редакцию 15.06.2021
После доработки 13.02.2022
Принята к публикации 11.05.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается введенная авторами функция $A$, зависящая от одного комплексного, двух действительных переменных и еще одного аргумента, задающего тривиальную или собственную подгруппу трехмерной собственной лоренцевой группы и, таким образом, являющегося действительным числом или парой действительных чисел. Первые три аргумента при этом определяют пространства представления и базисные функции в этих пространствах. Показано, что ее частные значения можно выразить через волновые кулоновские функции или гипергеометрическую функцию Аппеля ${{F}_{1}}$. Полученная формула преобразования функции $A$ используется для вывода континуальной теоремы сложения для этой функции и вычисления значения одномерного интегрального преобразования типа Фурье–Меллина произведения двух кулоновских функций – его результат выражается через функцию ${{F}_{1}}$. Библ. 31.

Ключевые слова: волновые кулоновские функции, функция Аппеля ${{F}_{1}}$, трехмерная собственная лоренцева группа, представление группы, ядро интегрального оператора, интегральное преобразование типа Фурье–Меллина.

1. ВВЕДЕНИЕ

Вычисление матричных элементов неприводимых представлений групп и алгебр Ли (инфинитезимальных операторов) является важной задачей в прикладной теории представлений групп [1]. Помимо применений результатов этой задачи в физике элементарных частиц, атомной физике и квантовой теории поля, важность этой задачи усиливается приложениями полученных результатов в теории специальных функций, возникающих в математической физике.

В настоящей работе рассматривается функция $A$, зависящая от одного комплексного и двух вещественных аргументов, описывающих соответственно пространства представления трехмерной группы Лоренца $G$ и базисы в этих пространствах, а также еще одного аргумента, являющегося элементом тривиальной или собственной подгруппы в $G$ и, таким образом, зависящей от одного или двух вещественных параметров. В частных случаях значения этой функции удается выразить через хорошо известные гипергеометрические функции: волновые кулоновские функции или функцию Аппеля ${{F}_{1}}$, зависящую от двух переменных. С другой стороны, через функцию $A$ удается выразить ядра интегральных операторов представления в обычном смысле или в смысле “смешанного” [2] базиса. Таким образом, функции Кулона и Аппеля приобретают теоретико-групповую трактовку. При этом связь между ядрами приводит к интегральным формулам для указанных специальных функций.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ $A$

Пусть $\sigma $ – фиксированное комплексное число и $G$ – собственная трехмерная лоренцева группа, т.е.

$G = \{ g \in SL(3,\mathbb{R})\,{\text{|}}\,{{g}^{{ - 1}}}{\kern 1pt} {\text{diag}}(1, - 1, - 1) = {\text{diag}}(1, - 1, - 1){\kern 1pt} {{g}^{{\text{T}}}}\} .$
Обозначим через $\mathcal{D}$ линейное пространство, состоящее из функций, которые заданы на конусе $C:{\kern 1pt} x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2} = 0$, ${{x}_{1}} > 0$, бесконечно дифференцируемы на области определения и при любых $x \in C$ и $\alpha \in \mathbb{C}$ удовлетворяют равенству $f(\alpha x) = {\text{|}}\alpha {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{\sigma }}{\kern 1pt} f(x)$. Система функций
(2.1)
${{B}_{1}} = \{ {{f}_{{{{p}_{1}}}}}(x) = ({{x}_{1}} + {{x}_{2}}{{)}^{\sigma }}{{{\text{e}}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{1}}{{x}_{3}}/({{x}_{1}} + {{x}_{2}})}}}\,{\text{|}}\,{{p}_{1}} \in \mathbb{R}\} $
является базисом пространства $\mathcal{D}$. Используя обобщенные функции [3]
$(s)_{ \pm }^{\lambda } = \left\{ \begin{gathered} {\text{|}}s{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{\lambda }}\quad {\text{при}}\quad \pm {\kern 1pt} s > 0, \hfill \\ 0\quad {\text{при}}\quad \mp {\kern 1pt} s\; \geqslant \;0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
другой базис в $\mathcal{D}$ можно описать формулой
(2.2)
${{B}_{2}} = \{ {{f}_{{p_{2}^{ \pm }}}}(x) = ({{x}_{2}})_{ \pm }^{{\sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}{\kern 1pt} {{({{x}_{1}} + {{x}_{3}})}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}\,{\text{|}}\,{{p}_{2}} \in \mathbb{R}\} .$
Каждый из базисов ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ состоит из собственных функций инфинитезимального оператора (оператора Казимира) для соответствующей однопараметрической подгруппы в $G$, а их построение подробно описано в [4]. При переходе от $\sigma $ к другому комплексному числу $\hat {\sigma }$ получается аналогичное линейное пространство $\hat {\mathcal{D}}$, базисы которого, построенные по формулам (2.1) и (2.2), обозначим соответственно ${{\hat {B}}_{1}}$ и ${{\hat {B}}_{2}}$. Далее в работе используется обозначение $\hat {\sigma } = - \sigma - 1$.

Пусть $\gamma $ – многообразие на конусе $C$, по одному разу пересекающее все (быть может, за исключением нескольких) его образующие, а $H$ – подгруппа группы $G$, для которой $\gamma $ является однородным пространством (например, для окружности ${{\gamma }_{r}}:{\kern 1pt} x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = {{r}^{2}}$ подгруппа ${{H}_{{{{\gamma }_{r}}}}}$ состоит из поворотов в плоскости ${{x}_{1}} = r$).

Теорема 1 (см. [5]). При $\hat {\sigma } = - \sigma - 1$ билинейные интегральные функционалы

${{{\text{F}}}_{\gamma }}:\mathcal{D} \times \hat {\mathcal{D}} \to \mathbb{C},\quad (u,v) \mapsto \int\limits_\gamma \,u(x){\kern 1pt} v(x){\kern 1pt} {\text{d}}\gamma ,$
где ${\text{d}}\gamma $ – мера на $\gamma $, инвариантная относительно подгруппы $H$, совпадают.

Гомоморфизм $T:G \to GL(\mathcal{D})$ в группу невырожденных линейных операторов пространства $\mathcal{D}$, при котором оператор $T(g)$ функции $f$ ставит в соответствие композицию $f{\kern 1pt} {{g}^{{ - 1}}}$ левого “сдвига” конуса $C$ элементом ${{g}^{{ - 1}}}$ и функции $f$, является $G$-представлением в пространстве $\mathcal{D}$. Группу $G$ можно записать [6] в виде $G = {{H}_{{{{\gamma }_{r}}}}}\tilde {H}{{H}_{{{{\gamma }_{r}}}}}$, где $\tilde {H}$ – подгруппа гиперболических вращений в плоскости $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}$. Опираясь на это разложение, можно доказать следующее утверждение.

Теорема 2 (см. [7]). При $\hat {\sigma } = - \sigma - 1$ билинейные интегральные функционалы ${{{\text{F}}}_{\gamma }}$ инвариантны относительно пары операторов представления $(T(g),\hat {T}(g))$, т.е. ${{{\text{F}}}_{\gamma }}(T(g)f,\hat {T}(g)\hat {f}) = {{{\text{F}}}_{\gamma }}(f,\hat {f})$.

Для дальнейшего изложения определим функцию

$A:\mathbb{C} \times {{\mathbb{R}}^{2}} \times G \to \mathbb{C},$
ставящую набору $(\sigma ,p,\hat {p},g)$ в соответствие число ${{{\text{F}}}_{\gamma }}(T(g){{f}_{p}},{{\hat {f}}_{{\hat {p}}}})$. Корректность этого определения следует из теоремы 1. В последующих теоремах четвертый аргумент этой функции будет принадлежать либо тривиальной подгруппе, либо подгруппе $H^\circ $, состоящей из поворотов
$h^\circ (\xi ) = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&0&0 \\ 0&{\cos \xi }&{ - \sin \xi } \\ 0&{\sin \xi }&{\cos \xi } \end{array}} \right)$
в плоскости $O{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, но в общем случаем (поскольку $\dim G = 3$) принадлежит одно- или двухпараметрической подгруппе. Хотя параметр $\xi $, задающий подгруппу $H^\circ $, принимает все значения из отрезка $[ - \pi ;\pi ]$, ограничимся случаем $0 < \xi < \frac{\pi }{2}$. Так как алгебра Ли группы $G$ порождается кососимметрической матрицей $a = {{e}_{{23}}} - {{e}_{{32}}}$ и двумя симметрическими $b = {{e}_{{12}}} + {{e}_{{21}}}$ и $c = {{e}_{{13}}} + {{e}_{{31}}}$ (где ${{e}_{{ij}}}$ – матрицы канонического базиса пространства матриц размера $3 \times 3$), для формы $B(x,y) = \operatorname{tr} \left( {(\operatorname{ad} x)(\operatorname{ad} y)} \right)$ Картана–Киллинга выполняются равенства $B(b,b) = B(c,c) = - B(a,a) = 2$ и $H^\circ = \exp {\text{Span}}(a)$, то $H^\circ $ является максимальной компактной подгруппой в $G$.

Теорема 3. Выполняется формула преобразования

$A(\sigma ,p,\hat {p},g) = A(\hat {\sigma },\hat {p},p,{{g}^{{ - 1}}}).$

Доказательство. Так как $T$ является гомоморфизмом групп, то в силу теоремы 2 имеем

$\begin{gathered} A(\sigma ,p,\hat {p},g) = {{{\text{F}}}_{\gamma }}(T(g)f,\hat {f}) = {{{\text{F}}}_{\gamma }}(T({{g}^{{ - 1}}})T(g)f,\hat {T}({{g}^{{ - 1}}})\hat {f}) = \hfill \\ = {{{\text{F}}}_{\gamma }}(T({\text{id}})f,\hat {T}({{g}^{{ - 1}}})\hat {f}) = {{{\text{F}}}_{\gamma }}(\hat {T}({{g}^{{ - 1}}})\hat {f},f) = A(\hat {\sigma },\hat {p},p,{{g}^{{ - 1}}}). \hfill \\ \end{gathered} $

3. ВЫРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ $A( - \sigma - 1,p_{2}^{ \pm },{{p}_{1}},{\text{id}})$ ЧЕРЕЗ ВОЛНОВЫЕ КУЛОНОВСКИЕ ФУНКЦИИ

При решении линейного дифференциального уравнения $\mathfrak{d}f(p) = 0$, в котором дифференциальный оператор определен формулой

$\mathfrak{d} = \frac{{{{{\text{d}}}^{2}}}}{{{\text{d}}{{p}^{2}}}} + 1 - \frac{{2\hat {p}}}{p} - \frac{{\sigma (\sigma + 1)}}{{{{p}^{2}}}},$
важную роль играют кулоновские функции
${{F}_{\sigma }}(\hat {p};p) = {{C}_{\sigma }}(\hat {p}){\kern 1pt} {{p}^{{\sigma + 1}}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{{\mathbf{i}}p}}}{{{\kern 1pt} }_{1}}{{F}_{1}}(1 + \sigma + {\mathbf{i}}\hat {p};2\sigma + 2; - 2{\mathbf{i}}p)$
и
$\begin{gathered} H_{\sigma }^{ \pm }(\hat {p};p) = D_{\sigma }^{ \pm }(\hat {p}){\kern 1pt} {{p}^{{\sigma + 1}}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{ \pm {\mathbf{i}}p}}} \times \\ \, \times \left[ {\frac{{\Gamma ( - 2\sigma - 1)}}{{\Gamma ( - \sigma \pm {\mathbf{i}}p)}}{{{\kern 1pt} }_{1}}{{F}_{1}}(1 + \sigma \pm {\mathbf{i}}\hat {p};2\sigma + 2; \mp 2{\mathbf{i}}p)} \right. + \left. {\frac{{\Gamma (2\sigma + 1)}}{{{{{( \mp 2{\mathbf{i}}\hat {p})}}^{{2\sigma + 1}}}{\kern 1pt} \Gamma (1 + \sigma \pm {\mathbf{i}}\hat {p})}}{{{\kern 1pt} }_{1}}{{F}_{1}}( - \sigma \pm {\mathbf{i}}\hat {p}; - 2\sigma ; \mp 2{\mathbf{i}}p)} \right], \\ \end{gathered} $
которые определены при комплексных значениях параметров $\sigma $ (угловой момент) и $\hat {p} \ne 0$ (параметр Зоммерфельда) и переменной $p$, и в которых

${{C}_{\sigma }}(\hat {p}) = \frac{{{{2}^{\sigma }}{\kern 1pt} \sqrt {\Gamma (1 + \sigma + {\mathbf{i}}\hat {p})} \Gamma (1 + \sigma - {\mathbf{i}}\hat {p})}}{{{{{\text{e}}}^{{\hat {p}\pi /2}}}{\kern 1pt} \Gamma (2\sigma + 2)}},$
$D_{\sigma }^{ \pm }(\hat {p}) = \frac{{{{{( \mp 2{\mathbf{i}})}}^{{2\sigma + 1}}}{\kern 1pt} \Gamma (1 + \sigma \pm {\mathbf{i}}\hat {p})}}{{{{C}_{\sigma }}(\hat {p}){\kern 1pt} \Gamma (2\sigma + 2)}}.$

Эти функции составляют базисы (см. [8]) ${{E}_{1}} = \{ H_{\sigma }^{ + }(\hat {p};p),H_{\sigma }^{ - }(\hat {p};p)\} $ и ${{E}_{2}} = \left\{ {{{F}_{\sigma }}(\hat {p};p),\frac{1}{2}(H_{\sigma }^{ + }(\hat {p};p) + H_{\sigma }^{ - }(\hat {p};p))} \right\}$ ${{E}_{2}} = \left\{ {{{F}_{\sigma }}(\hat {p};p),\frac{1}{2}(H_{\sigma }^{ + }(\hat {p};p) + H_{\sigma }^{ - }(\hat {p};p))} \right\}$ пространства решений $\operatorname{Ker} \mathfrak{d}$.

В работе [9] дано “рекуррентное” определение волновых кулоновских функций, а соответствующие инфинитезимальные операторы изменения индекса рассматриваются как генераторы алгебры Ли. Интерпретация волновых кулоновских функций как матричных элементов перехода между двумя базисами пространства представления дана авторами настоящей статьи в [10]. Покажем, что в частных случаях $(p,\hat {p},g) = (p_{2}^{ \pm },{{p}_{1}},{\text{id}})$ значения функции $A$ выражаются через волновые кулоновские функции.

Теорема 4. При $\Re (\sigma ) > - 1$ и ${{p}_{1}} \ne 0$ имеем

$A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + },{{p}_{1}},{\text{id}}) = 2{\kern 1pt} p_{1}^{{ - \sigma - 1}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{{{p}_{2}}\pi /2}}}{\kern 1pt} \sqrt {\Gamma (1 + \sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}})\Gamma (1 + \sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}})} {{F}_{\sigma }}({{p}_{2}};{{p}_{1}}).$

Доказательство. Так как при гомоморфизме групп ${\text{id}} \in G$ отображается в тождественный оператор, то, учитывая теорему 1, в качестве многообразия, по которому производится интегрирование, можно выбрать параболу $\omega = \left\{ {\frac{1}{2}(1 + {{\alpha }_{2}},1 - {{\alpha }^{2}},2\alpha )\,{\text{|}}\,\alpha \in \mathbb{R}} \right\}$. Поскольку

${{H}_{\omega }} = \left\{ {{{h}_{\omega }}(\tau ) = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{r}} {2 + {{\tau }^{2}}}&{{{\tau }^{2}}}&{2\tau } \\ { - {{\tau }^{2}}}&{2 - {{\tau }^{2}}}&{ - 2\tau } \\ {2\tau }&{2\tau }&2 \end{array}} \right)\,{\text{|}}\,\tau \in \mathbb{R}} \right\},$
для $x(\alpha ) \in \omega $ выполняется включение ${{h}_{\omega }}(\tau )x(\alpha ) = x(\alpha + \tau )$ и, следовательно, ${\text{d}}\omega = {\text{d}}\alpha $, имеем
$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + },{{p}_{1}},{\text{id}}{{) = 2}^{{ - \sigma }}}\int\limits_\mathbb{R} \,(1 - {{\alpha }^{2}})_{ + }^{{\sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}{\kern 1pt} {{(1 + \alpha )}^{{ - 2{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{1}}\alpha }}}{\kern 1pt} {\text{d}}\alpha {{ = 2}^{{ - \sigma }}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{ - {\mathbf{i}}{{p}_{1}}}}}{\kern 1pt} \int\limits_0^2 \,{{t}^{{\sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{{(2 - t)}^{{\sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{1}}t}}}{\kern 1pt} {\text{d}}t = \\ \,{{ = 2}^{{\sigma + 1}}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{ - {\mathbf{i}}{{p}_{1}}}}}{\kern 1pt} {\text{B}}(1 + \sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}},1 + \sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}){{{\kern 1pt} }_{1}}{{F}_{1}}(1 + \sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}};2\sigma + 2;2{\mathbf{i}}{{p}_{1}}), \\ \end{gathered} $
где для вычисления последнего интеграла использована формула (см. [11, 2.3.6(1)]). Применяя преобразование Куммера ${{{\text{e}}}^{{ - z}}}{{{\kern 1pt} }_{1}}{{F}_{1}}(a;b;z) = {}_{1}{{F}_{1}}(b - a;b; - z)$ и определение функции ${{F}_{\sigma }}(p,\hat {p})$, завершаем доказательство.

Отметим, что поскольку алгебра Ли группы $G$ является прямой суммой подалгебры ${\text{Span}}(a)$ и линейного подпространства ${\text{Span}}(b,c)$, ${\text{Span}}(b)$ – максимальная коммутативная подалгебра в ${\text{Span}}(b,c)$ и спектр оператора $\operatorname{ad} b$ имеет вид $\{ 0,1, - 1\} $, то максимальная нильпотентная подалгебра алгебры Ли группы $G$ порождается неподвижной точкой $a + b$ оператора $\operatorname{ad} b$. Но $\exp (\tau (a + b)) = {{H}_{\omega }}$, поэтому подгруппа ${{H}_{\omega }}$, транзитивно действующая на параболе $\omega $, является максимальной нильпотентной подгруппой в $G$. В наших работах [7], [12] показано, что при сужении представления $T$ на эту подгруппу появляются функции Бесселя–Клиффорда, а в классической (четырехмерной) лоренцевой группе – их мультииндексные аналоги (гиперфункции).

Теорема 5. При $ - 1 < \Re (\sigma ) < 0$ и ${{p}_{1}} \ne 0$

$A( - \sigma - 1,p_{2}^{ - },{{p}_{1}},{\text{id}}) = \frac{{{\mathbf{i}}{\kern 1pt} \Gamma (2\sigma + 2){\kern 1pt} {{C}_{\sigma }}({{p}_{2}})}}{{{{2}^{{2\sigma }}}{\kern 1pt} p_{1}^{{\sigma + 1}}}}({{{\text{e}}}^{{ - {\mathbf{i}}\pi \sigma }}}{\kern 1pt} H_{\sigma }^{ + }({{p}_{2}};{{p}_{1}}) - {{{\text{e}}}^{{{\mathbf{i}}\pi \sigma }}}{\kern 1pt} H_{\sigma }^{ - }({{p}_{2}};{{p}_{1}})).$

Доказательство. Интегрируя по параболе $\omega $, имеем

$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ - },{{p}_{1}},{\text{id}}{{) = 2}^{{ - \sigma }}}\int\limits_\mathbb{R} \,(1 - {{\alpha }^{2}})_{ - }^{{\sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}{\kern 1pt} {{(1 + \alpha )}^{{ - 2{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{1}}\alpha }}}{\kern 1pt} {\text{d}}\alpha = \\ \,{{ = 2}^{{ - \sigma }}}{\kern 1pt} \sum\limits_{k = 0}^1 \,{{{\text{e}}}^{{{{{( - 1)}}^{k}}{\mathbf{i}}{{p}_{1}}}}}{\kern 1pt} \int\limits_0^{ + \infty } \,{{t}^{{\sigma + {{{( - 1)}}^{k}}{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{{(t + 2)}^{{\sigma - {{{( - 1)}}^{k}}{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{{{{( - 1)}}^{k}}{\mathbf{i}}{{p}_{1}}t}}}{\kern 1pt} {\text{d}}t. \\ \end{gathered} $
Применяя формулу [11], 2.3.2(3), получаем
$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ - },{{p}_{1}},{\text{id}}{{) = 2}^{{ - \sigma }}}{\kern 1pt} \sum\limits_{k = 0}^1 \,{{{\text{e}}}^{{{{{( - 1)}}^{k}}{\mathbf{i}}{{p}_{1}}}}} \times \\ \times \;{\kern 1pt} \left[ {{{2}^{{2\sigma + 1}}}{\kern 1pt} {\text{B}}(1 + \sigma + {{{( - 1)}}^{k}}{\mathbf{i}}{{p}_{2}}, - 2\sigma - 1){{{\kern 1pt} }_{1}}{{F}_{1}}(1 + \sigma + {{{( - 1)}}^{{k + 1}}}{\mathbf{i}}{{p}_{2}};\;2\sigma + 2;\;{{{( - 1)}}^{k}}{\mathbf{i}}{{p}_{1}}) + } \right. \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} + \;\left. {{{{(( - {{{1)}}^{{k + 1}}}{\mathbf{i}}{{p}_{1}})}}^{{ - 2\sigma - 1}}}{\kern 1pt} \Gamma (2\sigma + 1){{{\kern 1pt} }_{1}}{{F}_{1}}( - \sigma + {{{( - 1)}}^{k}}{\mathbf{i}}{{p}_{2}}; - \sigma ;2( - {{{1)}}^{{k + 1}}}{\mathbf{i}}{{p}_{1}})} \right] = \\ = 2p_{1}^{{ - \sigma - 1}}\left( {\frac{{\Gamma (1 + \sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}){\kern 1pt} H_{\sigma }^{ + }({{p}_{2}};{{p}_{1}})}}{{D_{\sigma }^{ + }({{p}_{2}})}} + \frac{{\Gamma (1 + \sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}){\kern 1pt} H_{\sigma }^{ - }({{p}_{2}};{{p}_{1}})}}{{D_{\sigma }^{ - }({{p}_{2}})}}} \right), \\ \end{gathered} $
откуда и следует утверждение теоремы.

4. ВЫРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ $A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + }, - {{p}_{1}},h(\xi ))$ ЧЕРЕЗ ВОЛНОВЫЕ КУЛОНОВСКИЕ ФУНКЦИИ

В этой части статьи докажем утверждение, обобщающее теорему 4 (аналогичное обобщение теоремы 5 опускаем).

Теорема 6. При $ - 1 < \Re (\sigma ) < 0$ имеем

$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + }, - {{p}_{1}},h(\xi )) = {\text{B}}(1 + \sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}},1 + \sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}) \times \\ \times \;\frac{{2{\kern 1pt} {{{(\sin \xi + \cos \xi + 1)}}^{{\sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{(\sin \xi - \cos \xi - 1)}}^{{\sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}}}{{{{{\cos }}^{{2\sigma + 2}}}\xi {\kern 1pt} {{{[{{p}_{1}}{\kern 1pt} \tan \xi ]}}^{{\sigma + 1}}}{\kern 1pt} {{{(1 + \cos \xi )}}^{\sigma }}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{1}}\tan \xi }}}{\kern 1pt} {{C}_{\sigma }}( - {{p}_{2}})}}{\kern 1pt} {{F}_{\sigma }}( - {{p}_{2}};{{p}_{1}}{\kern 1pt} \tan \xi ). \\ \end{gathered} $

Доказательство. Интегрируя вдоль параболы $\omega $, имеем

$A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + }, - {{p}_{1}},h(\xi )) = \frac{2}{{{{{(1 - \cos \xi )}}^{{\sigma + 1}}}}}\int\limits_\mathbb{R} (1 - \alpha )_{ + }^{{\sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}{\kern 1pt} {{(1 + \alpha )}^{{2{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{\left( {\alpha + \frac{{1 + \cos \xi }}{{\sin \xi }}} \right)}^{{ - 2\sigma - 2}}} \times $
$\, \times \exp \frac{{{\mathbf{i}}{{p}_{1}}\sin \xi \left( {\alpha + \frac{{\cos \xi - 1}}{{\sin \xi }}} \right)}}{{(\cos \xi - 1)\left( {\alpha + \frac{{\cos \xi + 1}}{{\sin \xi }}} \right)}}{\kern 1pt} {\text{d}}\alpha = \frac{{2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{1}}\sin \xi /(\cos \xi - 1)}}}}}{{{{{(1 - \cos \xi )}}^{{\sigma + 1}}}}} \times $
$ \times \;\int\limits_{ - 1}^1 {{(1 - \alpha )}^{{\sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{(1 + \alpha )}^{{\sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{\left( {\alpha + \frac{{1 + \cos \xi }}{{\sin \xi }}} \right)}^{{ - 2\sigma - 2}}}{\kern 1pt} \exp \frac{{2{\mathbf{i}}{{p}_{1}}\sin \xi }}{{(1 - \cos \xi )\left( {\alpha + \frac{{\cos \xi + 1}}{{\sin \xi }}} \right)}}{\kern 1pt} {\text{d}}\alpha .$
Используя далее подстановку
$t = \frac{{\sin \xi }}{{1 + \cos \xi - \sin \xi }} - \frac{{\sin \xi }}{{1 + \cos \xi + \alpha \sin \xi }},$
применяем, как и в ходе доказательства теоремы 2, формулу [11, 2.3.6.1], а после выражаем функцию Куммера через функцию Кулона.

5. ВЫРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ $A( - \sigma - 1,p_{2}^{ \pm },p_{2}^{ \pm },h(\xi ))$ И $A( - \sigma - 1,p_{2}^{ \pm },p_{2}^{ \mp },h(\xi ))$ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИЮ АППЕЛЯ ${{F}_{1}}$

Функция Аппеля ${{F}_{1}}$ является частным случаем (при $n = 2$) функции Лауричеллы ${{F}_{D}}$, которая при ${\text{|}}{{z}_{1}}{\kern 1pt} {\text{|}}, \ldots {\text{|}}{{z}_{n}}{\kern 1pt} {\text{|}} < 1$ определяется рядом

${{F}_{D}}\left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {a;{{b}_{1}}, \ldots ,{{b}_{n}}} \\ c \end{array}} \right|{{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{n}}} \right) = \sum\limits_{{{m}_{1}}, \ldots ,{{m}_{n}} = 0}^\infty \frac{{{{{(a)}}_{{{{m}_{1}} + \ldots + {{m}_{n}}}}}{\kern 1pt} {{{({{b}_{1}})}}_{{{{m}_{1}}}}} \ldots {{{({{b}_{n}})}}_{{{{m}_{n}}}}}}}{{{{{(c)}}_{{{{m}_{1}} + \ldots + {{m}_{n}}}}}}}\frac{{z_{1}^{{{{m}_{1}}}} \ldots z_{n}^{{{{m}_{n}}}}}}{{{{m}_{1}}! \ldots {{m}_{n}}!}},$
а вне указанной области является его аналитическим продолжением [13], [14]. Другим частным случаем (при $n = 1$) является гипергеометрическая функция Гаусса. С теоретико-групповой точки зрения функция ${{F}_{D}}$ изучена У. Миллером в работе [15] (а также в [2]), рассмотревшим неприводимые представления алгебры $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n + 3,\mathbb{C})$, а ее частный случай ${{F}_{1}}$ – в работе [16]. Работам Миллера предшествовала статья Н.Я. Виленкина [17], в которой другие гипергеометрические функции двух переменных, ${{F}_{A}}$ и ${{F}_{B}}$, были изучены в виде матричных элементов максимально вырожденных представлений группы $SL(n,\mathbb{R})$ (см. также [18]). В работе [19] с помощью теории алгебр Ли для каждой из 34 гипергеометрических функций двух переменных (включая ${{F}_{1}}$) найдена каноническая система, в которой соответствующая функция возникает в результате разделения переменных. Свойства функции ${{F}_{1}}$ часто раскрываются в работах, относящихся к квантовой физике (теория рассеивания, теория Редже, фейнмановские интегралы) [20]–[22]. Отметим также связь между ${{F}_{1}}$ и нормальными (неполными) эллиптическими интегралами [23], [24].

Покажем, что значения функции $A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + },p_{2}^{{' + }},g)$ в частных случаях выражаются через функцию Аппеля ${{F}_{1}}$ или линейную комбинацию двух функций ${{F}_{1}}$.

Теорема 7. При $ - 1 < \Re (\sigma ) < 0$ имеем

(5.1)
$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + },p_{2}^{{' + }},h((\xi )) = \frac{{{{{(1 + \sin \xi )}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{B}}({\mathbf{i}}{{p}_{2}} - \sigma ,1 + \sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'})}}{{{{2}^{{\sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{\cos }}^{{\sigma + {\mathbf{i}}({{p}_{2}} - p_{2}^{'}) - 1}}}{{{(1 + \cos \xi - \sin \xi )}}^{{ - \sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'}}}}}} \times \\ \times \;{{F}_{1}}\left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{i}}{{p}_{2}} - \sigma ;1 + \sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}, - \sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'}} \\ {1 + {\mathbf{i}}({{p}_{2}} - p_{2}^{'})} \end{array}} \right|\frac{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}{2},\frac{{1 - \cos \xi - \sin \xi }}{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}} \right). \\ \end{gathered} $

Доказательство. Выбирая в качестве многообразия, по которому происходит интегрирование, параболу $\omega $, получаем

$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + },p_{2}^{{' + }},h((\xi )) = \frac{{2(1 + \sin \xi {{)}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}}}{{{{{\cos }}^{{\sigma + 1 + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}\xi }} \times \\ \times \;{\kern 1pt} \int\limits_\mathbb{R} {{\left( {\alpha + \frac{{\cos \xi }}{{1 + \sin \xi }}} \right)}^{{2{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{(1 + \alpha )}^{{2{\mathbf{i}}p_{2}^{'}}}}{\kern 1pt} (1 - {{\alpha }^{2}})_{ + }^{\sigma }{\kern 1pt} (1 + 2\alpha \operatorname{tg} \xi - {{\alpha }^{2}})_{ + }^{{ - \sigma - 1}}{\kern 1pt} {\text{d}}\alpha . \\ \end{gathered} $
Так как для корней ${{\alpha }_{ \pm }} = \frac{{\sin \xi \pm 1}}{{\cos \xi }}$ многочлена ${{\alpha }^{2}} - 2\alpha \tan \xi - 1$ справедливо неравенство $ - 1 < {{\alpha }_{ - }} < 1 < {{\alpha }_{ + }}$, то
$A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + },p_{2}^{{' + }},h((\xi )) = \frac{{2(1 + \sin \xi {{)}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}}}{{{{{\cos }}^{{\sigma + 1 + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}\xi }}\int\limits_{{{\alpha }_{ - }}}^1 \frac{{{{{(1 - \alpha )}}^{{\sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'}}}}{\kern 1pt} {{{(1 + \alpha )}}^{{\sigma + {\mathbf{i}}p_{2}^{'}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{d}}\alpha }}{{{{{\left( {\frac{{\sin \xi + 1}}{{\cos \xi }} - \alpha } \right)}}^{{\sigma + 1 + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{\left( {\alpha - \frac{{\sin \xi - 1}}{{\cos \xi }}} \right)}}^{{\sigma + 1 - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}}}.$
Переходя к новой переменной $t = \frac{{1 + \alpha \cos \xi - \sin \xi }}{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}$, получаем равенство
$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,{{p}_{2}},p_{2}^{'},h((\xi )) = \frac{{{{{(1 + \sin \xi )}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{(1 + \cos \xi - \sin \xi )}}^{{\sigma + {\mathbf{i}}p_{2}^{'}}}}}}{{{{2}^{{\sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{\cos }}^{{\sigma + {\mathbf{i}}({{p}_{2}} - p_{2}^{'}) - 1}}}\xi }} \times \\ \times \;\int\limits_0^1 \frac{{{{t}^{{ - \sigma - 1 + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{{(1 - t)}}^{{\sigma - {\mathbf{i}}{{{p'}}_{2}}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{d}}t}}{{{{{\left( {1 - \frac{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}{2}t} \right)}}^{{\sigma + 1 + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{{\left( {1 - \frac{{1 - \cos \xi - \sin \xi }}{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}t} \right)}}^{{ - \sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'}}}}}}. \\ \end{gathered} $
Так как при рассматриваемых значениях параметра $\xi $ выполняются неравенства $1 + \cos \xi - \sin \xi > 0$ и $\left| {\frac{{1 - \cos \xi - \sin \xi }}{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}} \right| < 1$, то, используя формулу [25, 2.2.8.5], завершаем доказательство.

С учетом связи [26, 7.2.4.63]

${{F}_{1}}\left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {a,b,c} \\ {b + c} \end{array}} \right|z;w} \right) = (1 - w{{)}^{{ - a}}}{\kern 1pt} {{{\kern 1pt} }_{2}}{{F}_{1}}\left( {a,b;b + c;\frac{{z - w}}{{1 - w}}} \right)$
между гипергеометрическими функциями Аппеля и Гаусса, формулу (5.1) можно переписать c использованием функции Гаусса.

Поскольку

$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ \pm },p_{2}^{{' \mp }},h(\xi )) = \frac{{2(1 + \sin \xi {{)}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}}}{{\mathop {\cos }\nolimits^{\sigma + 1 + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}} \xi }} \times \\ \times \;\int\limits_{ \pm 1}^{{{\alpha }_{ \pm }}} {{\left( {\alpha + \frac{{\cos \xi }}{{1 + \sin \xi }}} \right)}^{{2{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}{\kern 1pt} {{(1 + \alpha )}^{{2{\mathbf{i}}p_{2}^{'}}}}{\kern 1pt} {{( \pm {{\alpha }^{2}} \mp 1)}^{\sigma }}{\kern 1pt} {{( \pm 1 \pm 2\alpha {\kern 1pt} \tan \xi \mp {{\alpha }^{2}})}^{{ - \sigma - 1}}}{\kern 1pt} {\text{d}}\alpha , \\ \end{gathered} $
то в случае $(\hat {p},p) = (p_{2}^{ \pm },p_{2}^{{' \mp }})$ значения функции $A( - \sigma - 1,\hat {p},p,h(\xi ))$ тоже выражаются через функции Аппеля ${{F}_{1}}$, а соответствующие теоремы мы опускаем. В случае $(\hat {p},p) = (p_{2}^{ - },p_{2}^{{' - }})$ значение функции $A( - \sigma - 1,\hat {p},p,h(\xi ))$ можно представить в виде линейной комбинации двух функций Аппеля, а именно имеет место следующая теорема.

Теорема 8. При $ - 1 < \Re (\sigma ) < 0$ имеем

$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ - },p_{2}^{{' - }},h((\xi )) = \frac{{{{{(1 + \sin \xi )}}^{{{\mathbf{i}}{{{\hat {p}}}_{2}}}}}}}{{{{{\cos }}^{{\sigma + {\mathbf{i}}\hat {p}}}}\xi (\sin \xi + \cos \xi + 1)}} \times \\ \times \;\left[ {{\text{B}}(1, - \sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'}){\kern 1pt} {{F}_{1}}\left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {1,{\mathbf{i}}{{p}_{2}},1 + \sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'}} \\ {1 - \sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'}} \end{array}} \right|\frac{{2\cos \xi }}{{1 + \cos \xi + \sin \xi }},\frac{{1 + \cos \xi + \sin \xi }}{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}} \right)} \right. - \\ \left. { - \;{\text{B}}(1,1 + \sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}){\kern 1pt} {{F}_{1}}\left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {1,1 + \sigma + {\mathbf{i}}p_{2}^{'},1 + \sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'}} \\ { - \sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}} \end{array}} \right|\frac{{\cos \xi - \sin \xi - 1}}{{2\cos \xi }},\frac{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}{{2\cos \xi }}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Доказательство. Так как

$\begin{gathered} A( - \sigma - 1,\sigma ,p_{2}^{ - },p_{2}^{{' - }},h((\xi )) = \frac{{2(1 + \sin \xi {{)}^{{{\mathbf{i}}\hat {p}}}}}}{{{{{\cos }}^{{\sigma + 1 + {\mathbf{i}}\hat {p}}}}\xi }}\int\limits_\mathbb{R} {{\left( {\alpha + \frac{{\cos \xi }}{{1 + \sin \xi }}} \right)}^{{2{\mathbf{i}}\hat {p}}}} \times \\ \times \;{{(1 + \alpha )}^{{2{\mathbf{i}}p}}}{\kern 1pt} (1 - {{\alpha }^{2}})_{ - }^{\sigma }{\kern 1pt} (1 + 2\alpha \tan \xi - {{\alpha }^{2}})_{ - }^{{ - \sigma - 1}}{\kern 1pt} {\text{d}}\alpha = \frac{{2(1 + \sin \xi {{)}^{{{\mathbf{i}}\hat {p}}}}}}{{{{{\cos }}^{{\sigma + 1 + {\mathbf{i}}\hat {p}}}}\xi }}({{I}_{ + }} - {{I}_{ - }}), \\ \end{gathered} $
где
${{I}_{ \pm }} = \int\limits_{ \pm \infty }^{{{\beta }_{ \pm }}} \frac{{{{{(\alpha - 1)}}^{{\sigma - {\mathbf{i}}p}}}{\kern 1pt} {{{(\alpha + 1)}}^{{\sigma + {\mathbf{i}}p}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{d}}\alpha }}{{{{{\left( {\alpha - \frac{{\sin \xi + 1}}{{\cos \xi }}} \right)}}^{{\sigma + 1 + {\mathbf{i}}\hat {p}}}}{\kern 1pt} {{{\left( {\alpha - \frac{{\sin \xi - 1}}{{\cos \xi }}} \right)}}^{{\sigma + 1 - {\mathbf{i}}\hat {p}}}}}},$
${{\beta }_{ + }} = {{\alpha }_{ + }}$ и ${{\beta }_{ - }} = - 1$, то, применяя в интеграле ${{I}_{ \pm }}$ подстановку $t = 1 \pm \alpha $, вычисляем его по формуле [11, 2.2.8.11].

6. КОНТИНУАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ $A$ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ТИПА ФУРЬЕ–МЕЛЛИНА ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ КУЛОНОВСКИХ ФУНКЦИЙ

Теорема 9. При $ - 1 < \Re (\sigma ) < 0$ имеем

$\begin{gathered} \int\limits_\mathbb{R} \,p_{1}^{{ - 2\sigma - 2}}{\kern 1pt} {{{\text{e}}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{1}}{\kern 1pt} \tan \xi }}}{\kern 1pt} {{F}_{\sigma }}({{p}_{2}};{{p}_{1}}){\kern 1pt} {{F}_{\sigma }}(p_{2}^{'}; - {{p}_{1}}\tan \xi ){\kern 1pt} {\text{d}}{{p}_{1}} = \\ = \kappa {\kern 1pt} {{F}_{1}}\left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{i}}{{p}_{2}} - \sigma ,1 + \sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}},{\mathbf{i}}p_{2}^{'} - \sigma } \\ {1 + {\mathbf{i}}({{p}_{2}} + p_{2}^{{' + }})} \end{array}} \right|\frac{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}{2},\frac{{1 - \cos \xi - \sin \xi }}{{1 + \cos \xi - \sin \xi }}} \right), \\ \end{gathered} $
где

$\begin{gathered} \kappa = \frac{{{{2}^{{ - \sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}} - 1}}}{\kern 1pt} \pi {{{\cos }}^{{3 + \sigma + {\mathbf{i}}(p_{2}^{'} - {{p}_{2}})}}}\xi {\kern 1pt} {{{(1 + \cos \xi )}}^{\sigma }}{\kern 1pt} {{{(1 + \sin \xi )}}^{{{\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}}}{{{{{(1 + \cos \xi - \sin \xi )}}^{{2{\mathbf{i}}p_{2}^{'}}}}{\kern 1pt} {{{(1 - \sin \xi - \cos \xi )}}^{{\sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}}}}}}} \times \\ \times \;\frac{{\sqrt {\Gamma (1 + \sigma + {\mathbf{i}}{{p}_{2}}){\kern 1pt} \Gamma (1 + \sigma - {\mathbf{i}}{{p}_{2}})} {\kern 1pt} {\text{B}}({\mathbf{i}}{{p}_{2}} - \sigma ,1 + \sigma + {\mathbf{i}}p_{2}^{'}){\kern 1pt} {{C}_{\sigma }}(p_{2}^{'})}}{{{\text{B}}(1 + \sigma + {\mathbf{i}}p_{2}^{'},1 + \sigma - {\mathbf{i}}p_{2}^{'})}}. \\ \end{gathered} $

Доказательство. Представим функцию $\hat {T}(g){{\hat {f}}_{{p_{2}^{ + }}}}$ в виде суммы двух интегральных операторов

(6.1)
$\hat {T}(g){{\hat {f}}_{{p_{2}^{ + }}}} = \int\limits_\mathbb{R} \,{{k}_{ + }}({{p}_{2}},p_{2}^{'}){\kern 1pt} {{\hat {f}}_{{p_{2}^{{' + }}}}}{\kern 1pt} {\text{d}}{{p}_{2}} + \int\limits_\mathbb{R} \,{{k}_{ - }}({{p}_{2}},p_{2}^{'}){\kern 1pt} {{\hat {f}}_{{p_{2}^{{' - }}}}}{\kern 1pt} {\text{d}}p_{2}^{'},$
ядра ${{k}_{ \pm }}({{p}_{2}},p_{2}^{'})$ которых являются аналогами матричных элементов оператора. Домножив обе части равенства (6.1) на функцию ${{f}_{{p_{2}^{{'' + }}}}} \in {{B}_{2}}$ и проинтегрировав по гиперболе $\rho = \{ (\cosh \alpha , \pm 1,\sinh \alpha )\,{\text{|}}\,\alpha \in \mathbb{R}\} $, получаем, что
${{F}_{\rho }}(\hat {T}(g){{\hat {f}}_{{p_{2}^{ + }}}},{{f}_{{p_{2}^{{'' + }}}}}) = \int\limits_\mathbb{R} \,{{k}_{ + }}({{p}_{2}},p_{2}^{'}){\kern 1pt} \delta (p_{2}^{'} + p_{2}^{{''}}){\kern 1pt} {\text{d}}{{p}_{2}}$
(где $\delta $ – дельта-функция), откуда
(6.2)
${{k}_{ + }}({{p}_{2}},p_{2}^{'}) = (2\pi {{)}^{{ - 1}}}{\kern 1pt} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + }, - p_{2}^{{' + }},g).$
Таким образом, ядро ${{k}_{ + }}({{p}_{2}},p_{2}^{'})$ уже фактически вычислено в теореме 5.

Запишем теперь функции ${{\hat {f}}_{{p_{2}^{ \pm }}}}$ в виде интегрального оператора

(6.3)
${{\hat {f}}_{{p_{2}^{ \pm }}}} = \int\limits_\mathbb{R} \,{{\lambda }_{ \pm }}({{p}_{2}},{{p}_{1}}){\kern 1pt} {{\hat {f}}_{{{{p}_{1}}}}}{\kern 1pt} {\text{d}}{{p}_{1}},$
где ядра ${{\lambda }_{ \pm }}({{p}_{2}},{{p}_{1}})$ является аналогом матричного элемента матрицы перехода между базисами. Домножим обе части равенства (6.3) и проинтегрируем по окружности ${{\gamma }_{r}}$. Так как
${{H}_{{{{\gamma }_{r}}}}} \simeq H^\circ = \left\{ {h^\circ (\tau ) = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} 1&0&0 \\ 0&{\cos \tau }&{ - \sin \tau } \\ 0&{\sin \tau }&{\cos \tau } \end{array}} \right)\,{\text{|}}\,\tau \in \mathbb{R}} \right\},$
${{\gamma }_{r}} = \{ x(\alpha ) = (r,r\cos \alpha ,r\sin \alpha )\,{\text{|}}\,\alpha \in \mathbb{R}\} $, $h^\circ (\tau )x(\alpha ) = x(\alpha + \tau )$ для $x \in {{\gamma }_{r}}$, ${\text{d}}{{\gamma }_{r}} = {\text{d}}\alpha $, то получаем формулу, аналогичную (6.2):
${{\lambda }_{ \pm }}({{p}_{2}},{{p}_{1}}) = (2\pi {{)}^{{ - 1}}}{\kern 1pt} A( - \sigma - 1,p_{2}^{ \pm }, - {{p}_{1}},{\text{id}}),$
а значит, ядра ${{\lambda }_{ \pm }}({{p}_{2}},{{p}_{1}})$ уже вычислены в теоремах 4 и 5.

Переписав (6.2) согласно определению функции $A$ в виде

${{k}_{ + }}({{p}_{2}},p_{2}^{'}) = (2\pi {{)}^{{ - 1}}}{\kern 1pt} {{F}_{\gamma }}(\hat {T}(h(\xi ){{\hat {f}}_{{{{p}_{2}}}}},{{f}_{{ - p_{2}^{'}}}}),$
получим с учетом формулы (6.3), что
${{k}_{ + }}({{p}_{2}},p_{2}^{'}) = (2\pi {{)}^{{ - 1}}}{\kern 1pt} \int\limits_\mathbb{R} \,\lambda ({{p}_{2}},{{p}_{1}}){\kern 1pt} A( - \sigma - 1,{{p}_{1}}, - p_{2}^{{' + }},h(\xi )){\kern 1pt} {\text{d}}{{p}_{1}},$
где $A$ по теореме 4 выражается через функцию Кулона. Так как ${{h}^{{ - 1}}}(\xi ) = h( - \xi )$, то в силу теоремы 2
${{k}_{ + }}({{p}_{2}},p_{2}^{'}) = (2\pi {{)}^{{ - 1}}}{\kern 1pt} \int\limits_\mathbb{R} \,{{\lambda }_{ + }}({{p}_{2}},{{p}_{1}}){\kern 1pt} A(\sigma , - p_{2}^{{' + }},{{p}_{1}},h( - \xi )){\kern 1pt} {\text{d}}{{p}_{1}},$
т.е.
(6.4)
$A( - \sigma - 1,p_{2}^{ + }, - p_{2}^{{' + }},h(\xi )) = (2\pi {{)}^{{ - 1}}}{\kern 1pt} \int\limits_\mathbb{R} \,A( - \sigma - 1,p_{2}^{ \pm }, - {{p}_{1}},{\text{id}}){\kern 1pt} A(\sigma , - p_{2}^{{' + }},{{p}_{1}},h( - \xi )){\kern 1pt} {\text{d}}{{p}_{1}}.$
Равенство (6.4) является континуальной теоремой сложения для функции $A$.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кулоновские волновые функции первоначально были определены как решение волнового уравнения Кулона, возникающего после разделения переменных для радиальной функции в задаче о движении электрона в кулоновском поле. В описании состояния электрона часто встречаются произведения двух кулоновских функций [27] или интегралы от таких произведений [28]. Интеграл, вычисленный в теореме 9, можно рассматривать как обобщение интегралов типа Меллина, рассматриваемых в [29]–[31]. Схожие с ним интегралы мы получаем в [10, разд. 8], используя подпредставление трехмерной лоренцевой группы на прямое произведение двух однопараметрических подгрупп.

Теорема сложения (6.4) остается справедливой и для других возможных пар $(\hat {p},p)$, что приводит к новым интегральным формулам. Например, с помощью теорем 5 и $8$ интегралы типа Фурье–Меллина от произведения функций $H_{\sigma }^{ + }(\hat {p};p)$ удается выразить через линейные комбинации двух функций ${{F}_{1}}$.

Учитывая, что функции, принадлежащие базису ${{\hat {B}}_{1}}$, являются собственными функциями оператора $\hat {T}({{h}_{\omega }}(\tau ))$, можно получить континуальную теорему сложения вида

${{{\text{e}}}^{{ - {\mathbf{i}}{{p}_{1}}}}}{\kern 1pt} A( \ldots , - {{p}_{1}},{\text{id}}) = \int \,A( \ldots , - {{p}_{2}},{{h}_{\omega }}(\tau )){\kern 1pt} A( \ldots ,{{p}_{2}}, - {{p}_{1}},{\text{id}}){\kern 1pt} {\text{d}}{{p}_{2}},$
которая приводит к представлениям волновых кулоновских функций в виде интеграла от произведения волновой кулоновской функции и функции Аппеля ${{F}_{1}}$.

Авторы благодарят рецензента за полезные замечания, способствовавшие улучшению статьи.

Список литературы

  1. Климык А.У., Качурик И.И. Вычислительные методы в теории представлений групп. Киев: Вища школа, 1986.

  2. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981.

  3. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматлит, 1959.

  4. Шилин И.А., Чой Дж. Алгебры Ли и специальные функции, связанные с изотропным конусом. Итоги науки и техники. Серия “Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры”. (В печати).

  5. Шилин И.А. Двойные SO(2,1)-инвариантные интегралы и формулы для функций Уиттекера. Известия вузов. Матем. 2011. № 5. С. 56–66.

  6. Вердиев Й.А. Инварианты представлений групп Лоренца и их применения в дуальной модели физики частиц. Баку, АН Азербайджана, 1978.

  7. Shilin I.A., Choi J. Certain relations between Bessel and Whittaker functions related to some diagonal and block-diagonal $3 \times 3$-matrices. J. Nonlinear Sci. Appl. 2017. V. 10. P. 560–574.

  8. Gaspard D. Connection formulas between Coulomb wave functions. J. Math. Phys. 2018. V. 59. 112104.

  9. Chattarji D. The Coulomb wave function from the viewpoint of the Lie algebra. Il Nuova cimento. 1967. V. 48 (2). P. 524–530.

  10. Shilin I.A., Choi J., Lee J.W. Some integrals involving Coulomb functions associated with the three-dimensional proper Lorentz group. AIMS Mathematics. 2020. V. 5 (6). P. 5664–5682.

  11. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

  12. Шилин И.А., Чой Дж. Некоторые формулы для обычных функций и гиперфункций Бесселя–Клиффорда, связанные с собственной группой Лоренца. Фунд. и прикл. математика. 2019. Т. 22. № 5. С. 195–208.

  13. Bezrodnykh S.I. Analytic continuation of the Lauricella’s functions $F_{A}^{{(N)}}$, $F_{B}^{{(N)}}$ and $F_{D}^{{(N)}}$. Int. Transforms. Spec. Func. 2020. V. 31 (11). P. 921–940.

  14. Bezrodnykh S.I. Analytic continuation of the Lauricella function $F_{D}^{{(N)}}$ with arbitrary number of variables. Int. Transforms. Spec. Func. 2018. V. 29 (1). P. 21–42.

  15. Miller W. Lie theory and the Lauricella functions ${{F}_{D}}$. J. Math. Phys. 1972. V. 13. P. 1393–1399.

  16. Miller W. Lie theory and the Appell functions ${{F}_{1}}$. SIAM J. Math. Anal. 1973. V. 4 (4). P. 638–655.

  17. Виленкин Н.Я. Гипергеометрические функции от нескольких переменных и вырожденные представления группы $SL(n,\mathbb{R})$. Изв. вузов. Матем. 1970. № 4. С. 50–55.

  18. Vilenkin N.Ja., Klimyk A.U. Representations of Lie groups and special functions. Volume 3. Classical and quantum groups and special functions. Dordrecht, Kluwer, 1992.

  19. Kalnins E.G., Manocha H.L., Miller W. The Lie theory of two-variable hypergeometric functions. Studies in Appl. Math. 1980. V. 62 (2). P. 143–173.

  20. Kniehl B.A., Tarasov O.V. Finding new relationships between hypergeometric functions by evaluating Feynman integrals. Nucl. Phys. B. 2012. V. 854. P. 841–852.

  21. Lee J.-C., Yang Y. The Appell function ${{F}_{1}}$ and Regge string scattering amplitudes. Phys. Letters. B. 2014. V. 739. P. 370–374.

  22. Shpot M.A. A massive Feynman integral and some reduction relarions for Appell functions. J. Math. Phys. 2007. V. 48 (12). 123512.

  23. Carlson B.C. Some series and bounds for incomplete elliptic integrals. J. Math. and. Phys. 1961. V. 40. P. 125–134.

  24. Scarpello G.M., Ritelli D. $\pi $ and the hypergeometric functions of complex argument. Journal of Number Theory. 2011. V. 131. P. 1887–1900.

  25. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. М.: Наука, 1963.

  26. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986.

  27. Чибисов М.И., Ермолаев А.М., Шеркани М., Бруйар Ф. Суммы произведений кулоновских волновых функций по вырожденным состояниям. ЖЭТФ. 2020. Т. 117 (2). С. 313–316.

  28. Ancarani L.U., Hervieux P.A. Analytical formulas for Coulomb integrals involved in scattering problems. Phys. Rev. A. 1998. V. 58 (1). 336.

  29. Arnoldus A.G., George T.F. Analytical evaluation of elastic Coulomb integrals. J. Math. Phys. 1992. V. 33 (2). P. 578–583.

  30. Nesbet R.K. Analytical evaluation of integrals over Coulomb wave functions. Comp. Phys. Comm. 1988. V. 52 (1). P. 29–33.

  31. Sil N.C., Crees M.A., Seaton M.J. Integrals involving products of Coulomb functions and inverse powers of the radial coordinate. J. Phys. B: Atomic and Molecular Physics. 1984. V. 17 (1). P. 1–21.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал