Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 9, стр. 1491-1521

Трехмерные стационарные сферически симметричные модели звездной динамики, зависящие от локальной энергии

Ю. Батт^1, *, Э. Йорн¹, А. Л. Скубачевский^2, **

¹ Mathematisches Institut der Universität München
80333 München, Theresienstr. 39, Germany

² Российский университет дружбы народов
117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, Россия

^* E-mail: batt@mathematik.uni-muenchen.de
^** E-mail: skublector@gmail.com

Поступила в редакцию 18.02.2022
После доработки 18.02.2022
Принята к публикации 11.05.2022

EDN: EFAIHJ
DOI: 10.31857/S0044466922090083

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается система уравнений Власова–Пуассона, описывающая распределение гравитирующих частиц в трехмерном пространстве. Исследуется существование сферически симметричных решений этой системы, которые состоят из трех функций: функции распределения, зависящей от локальной энергии, локальной плотности и ньютоновского потенциала. Изучены две задачи. В первой задаче по заданной положительной, строго убывающей на некотором открытом интервале функции требуется построить сферически симметричное решение системы Власова–Пуассона, в котором локальная плотность совпадает с заданной функцией. Сведение к уравнению Эддингтона позволило получить достаточные условия, при выполнении которых эта задача разрешима. Приведены примеры, когда решение записывается в явном виде. Во второй задаче по заданной положительной функции на открытом интервале требуется построить сферически симметричное решение системы Власова–Пуассона, в котором функция распределения совпадает с заданной функцией. Эта задача сводится к нелинейному интегральному уравнению, которое решается численно. Библ. 12. Фиг. 10. Табл. 5.

Ключевые слова: трехмерная система Власова–Пуассона, стационарные решения, численное приближение.

1. ВВЕДЕНИЕ

Система уравнений Власова–Пуассона (VPS) в трехмерном случае (модель звездной динамики) имеет следующий вид:

(V)

$\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + {v}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} - \frac{\partial }{{\partial x}}{\kern 1pt} U(t,x)\frac{{\partial f}}{{\partial {v}}} = 0,$

(P₁)

$\Delta U(t,x) = 4\pi \rho (t,x)$

(P₂)

${\text{или}}\quad U(t,x) = - \int \frac{{\rho (t,y)}}{{{\text{|}}x - y{\kern 1pt} {\text{|}}}}{\kern 1pt} dy,$

(D)

$\rho (t,x) = \int \,f(t,x,{v}){\kern 1pt} d{v}.$

Здесь $f = f(t,x,{v})\; \geqslant \;0$ – функция распределения гравитирующего вещества, $U = U(t,x)\;\leqslant \;0$ – ньютонов потенциал и $\rho (t,x)\; \geqslant \;0$ – локальная плотность. Эта статья обобщает предыдущую работу [1] по двумерным галактикам до трехмерного случая. Она также открывает путь в дальнейшем к получению явных решений системы уравнений Власова–Пуассона, выходящих за рамки классических известных примеров, которые содержатся, например, в [2]. Для случая зависящих от времени функций (начальная задача) в работе [3] приводится обзор исследований до 2007 г. Стационарные сферически симметричные функции характеризуются свойством $f(x,{v}) = f({{A}_{1}}x,{{A}_{2}}{v})$ для любых ${{A}_{1}},{{A}_{2}} \in 0(3)$; для краткого описания этого класса решений, имеющих отношение к настоящей работе, см. [1], а также приведенные там ссылки. Стационарные решения краевых задач для системы Власова–Пуассона, в которых функция распределения зависит от локальной энергии, рассматривались в работах [4], [5].

Данная работа посвящена двум задачам. Первая задача известна как “обратная задача”: идентифицировать те функции $p$, определенные на ограниченном интервале $[0,R]$, как локальная плотность стационарной сферически симметричной модели звездной динамики, в которой $f$ зависит от локальной энергии:

$f(r,u) = q( - E - {{E}_{0}}),\quad {\text{где}}\quad {{E}_{0}} > 0\;--{\text{константа}}.$

Этот вопрос возникает, если мы хотим определить три величины $f$, $\rho $, $U$ на основе данных, в качестве которых обычно используется профиль яркости, который может быть превращен в профиль массы. Следующий вопрос заключается в определении потенциала $U$ и функции распределения $f$ (разд. 2–5).

Вторую задачу будем называть прямой задачей. Известно, что функция распределения $f$ стационарной сферически симметричной модели звездной динамики является функцией локальной энергии $E$ и углового момента $F: = {{x}^{2}}{{{v}}^{2}} - {{(x{v})}^{2}}$ (это утверждение называется теоремой Джинса) [6]. Прямая задача ставит обратный вопрос, а именно: какие функции $q$ допускают нахождение функций $\rho (r)$ и $U(r)$ наряду с константой ${{E}_{0}} > 0$ таких, что $f(r,u) = q( - E - {{E}_{0}})$, $\rho $ и $U$ образуют тройку стационарной сферически симметричной модели звездной динамики (разд. 6–8). Далее мы дадим краткий обзор разделов данной работы.

Разд. 2. Введение потенциального оператора $U = Lp$ на $\mathcal{D}(L)$ (определение 2.1) с описанием его свойств в лемме 2.1. Каждая неотрицательная строго убывающая функция $p \in \mathcal{D}(L)$ с носителем ${\text{supp}}{\kern 1pt} p = [0,R]$ удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению $p = FLp$ с соответствующим $F = F[p]$ (лемма 2.2).

Разд. 3. Определение стационарных сферически симметричных решений, зависящих от локальной энергии и доказательство их свойств, лемма об эквивалентности и уравнение Эддингтона (лемма 3.2).

Разд. 4. Обратная задача: формулировка и решение (теорема 4.2).

Разд. 5. Примеры, иллюстрирующие теорему 4.2 и концепцию расширимости.

Разд. 6. Постановка прямой задачи и ее преобразование к эквивалентной задаче решения нелинейного интегрального уравнения вида

$Lp - {{E}_{0}} = {{G}_{0}}(p).$

Разд. 7. Построение аппроксимирующей нелинейной системы (ANS) вида

$\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \,{{A}_{{ik}}}{{x}_{k}}: = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \,{{B}_{{ik}}}{{x}_{k}} - {{C}_{k}}{{x}_{k}} = {{G}_{0}}({{x}_{i}})$

и вычисление матрицы (${{A}_{{ik}}}$).

Разд. 8. Численный анализ (ANS), описание приближений и сходимости, примеры.

Разд. 9. Содержит работу Тонелли по уравнениям Абеля и Эддингтона с полными доказательствами.

Разд. 10. Состоит из описания двух задач для дальнейшего исследования.

Краткое содержание данной статьи было опубликовано в работе [7].

2. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР В СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ

Определим потенциальный оператор

$Lp(x): = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \frac{{p(y)}}{{{\text{|}}x - y{\kern 1pt} {\text{|}}}}dy,\quad x \in {{\mathbb{R}}^{3}},$

для сферически симметричных функций $p$, определенных на ${{\mathbb{R}}^{3}}$. Это значит, что $p(x) = p(r)$, $r: = {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}$. Отсюда следует, что функция $Lp$ также сферически симметрична. Действительно, если $A \in O(3)$, тогда, предполагая, что $y = Az$, имеем

$Lp(Ax) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \frac{{p(y)}}{{{\text{|}}Ax - y{\kern 1pt} {\text{|}}}}{\kern 1pt} dy = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \frac{{p(y)}}{{{\text{|}}A(x - {{A}^{{ - 1}}}y){\kern 1pt} {\text{|}}}}{\kern 1pt} dy = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \frac{{p(Az)}}{{{\text{|}}x - z{\kern 1pt} {\text{|}}}}{\kern 1pt} dz = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \frac{{p(z)}}{{{\text{|}}x - z{\kern 1pt} {\text{|}}}}{\kern 1pt} dz = Lp(x).$

Определение 2.1. Обозначим через $\mathcal{D}(L)$ множество функций $p:{{\mathbb{R}}_{{0 + }}} \to {{\mathbb{R}}_{{0 + }}} \cup \{ \infty \} $ со следующими свойствами:

(а) $p \in C({{\mathbb{R}}_{ + }})$,

(б) для любых $r > 0$ выполняется $\int_0^r {p(s){{s}^{2}}{\kern 1pt} } ds < \infty $, $\int_r^\infty {p(s)s} {\kern 1pt} ds < \infty $,

(в) существует $\delta > 0$ такое, что $p(r) > 0$ для любых $r \in (0,\delta )$, где ${{\mathbb{R}}_{{0 + }}} = \{ r \in \mathbb{R}:r\; \geqslant \;0\} $ и ${{\mathbb{R}}_{ + }} = \{ r \in \mathbb{R}:r > 0\} $.

Лемма 2.1. Для $p \in \mathcal{D}(L)$ имеем

(2.1)

$Lp(r) = 4\pi \left[ {\frac{1}{r}\int\limits_0^r \,p(s){{s}^{2}}{\kern 1pt} ds + \int\limits_r^\infty \,p(s)s{\kern 1pt} ds} \right],\quad r > 0,$

(2.2)

$Lp \in {{C}^{2}}({{\mathbb{R}}_{ + }})\quad и\quad (Lp){\kern 1pt} '(r) = - \frac{{4\pi }}{{{{r}^{2}}}}\int\limits_0^r \,p(s){{s}^{2}}{\kern 1pt} ds,\quad r > 0,$

(2.3)

$(Lp){\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) = - \frac{2}{r}(Lp){\kern 1pt} '(r) - 4\pi p(r),\quad r > 0.$

$3)\;\;Lp > 0\;и\;(Lp){\kern 1pt} ' < 0,\;т.е.\;Lp\;строго\;убывает\;на\;{{\mathbb{R}}_{ + }}.\;Так\;как\;пределы$

$Lp(0): = \mathop {\lim }\limits_{r \to 0} Lp(r),\quad Lp{\kern 1pt} (\infty ) = \mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } Lp(r),$

существуют, то функция $Lp$ имеет строго убывающую обратную

${{(Lp)}^{{ - 1}}}:(Lp(\infty ),Lp(0)) \to (0,\infty ).$

Доказательство. 1) Используя сферические координаты

$x = (r\sin \psi \cos \varphi ,r\sin \psi \sin \varphi ,r\cos \psi ),$

получаем

$Lp(x) = \int\limits_0^\pi {\kern 1pt} \int\limits_0^{2\pi } {\kern 1pt} \int\limits_0^\infty \frac{{p(s)\sin \psi }}{{\sqrt {{{r}^{2}} + {{s}^{2}} - 2rs \cdot \cos \psi } }}{\kern 1pt} {{s}^{2}}{\kern 1pt} ds{\kern 1pt} d\varphi {\kern 1pt} d\psi = 2\pi \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_0^\pi \frac{{\sin \psi }}{{\sqrt {{{r}^{2}} + {{s}^{2}} - 2rs \cdot \cos \psi } }}{\kern 1pt} d\psi {\kern 1pt} p(s){{s}^{2}}{\kern 1pt} ds.$

Сделаем подстановку во внутреннем интеграле: $u: = \sqrt {{{r}^{2}} + {{s}^{2}} - 2rs\cos \psi } $. Тогда

$\int\limits_0^\pi \frac{{\sin \psi }}{{\sqrt {{{r}^{2}} + {{s}^{2}} - 2rs \cdot \cos \psi } }}d\psi = \int\limits_{\sqrt {{{r}^{2}} + {{s}^{2}} - 2rs} }^{\sqrt {{{r}^{2}} + {{s}^{2}} + 2rs} } 1 \cdot du \cdot \frac{1}{{rs}} = \frac{{(r + s)\; - \;{\text{|}}r - s{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{rs}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{2}{r}\quad {\text{для}}\quad s\;\leqslant \;r, \hfill \\ \frac{2}{s}\quad {\text{для}}\quad s\; \geqslant \;r, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

откуда следует (2.1).

2) (2.2) является результатом дифференцирования (2.1), а (2.3) следует из дифференцирования (2.2).

3) Неравенство $Lp > 0$ является следствием из определения 2.1 в), а $(Lp){\kern 1pt} ' < 0$ следует из (2.2). Существование пределов и обратной функции является прямым следствием из этих фактов.

Большинство функций $p \in \mathcal{D}(L)$ будут иметь компактный носитель. Определим

${{\mathcal{D}}_{R}}(L): = \{ p \in \mathcal{D}(L):p > 0$ на $[0,R)$, $p = 0$ на $[R,\infty )$},

$\mathcal{D}_{R}^{ - }(L): = \{ p \in {{\mathcal{D}}_{R}}(L):p$ строго убывает на $[0,R)$}.

Функции $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$ являются решениями нелинейного интегрального уравнения, что будет показано в следующей лемме.

Лемма 2.2. Пусть $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$.

Тогда существует единственная строго возрастающая функция

$F: = F[p]:[Lp(R),Lp(0)) \to p((0,R])$

такая, что

$p(r) = F \circ Lp(r),\quad r \in (0,R].$

Доказательство. В лемме 2.1 3) утверждается, что

$Lp:(0,R] \to [Lp(R),Lp(0))$

строго убывает и имеет строго убывающую обратную

${{(Lp)}^{{ - 1}}}:[Lp(R),Lp(0)) \to (0,R].$

Так как $p$ строго убывает на $(0,R]$, то суперпозиция

$F: = p \circ {{(Lp)}^{{ - 1}}}:[Lp(R),Lp(0)) \to p((0,R])$

существует и строго возрастает (см. фиг. 1). Тогда

$F(h) = p \circ {{(Lp)}^{{ - 1}}}(h),\quad h \in [Lp(R),Lp(0))$

означает, что

$F \circ Lp(r) = p(r),\quad r \in (0,R].$

Если $G$ удовлетворяет уравнению $p = G \circ Lp$, то $G = p \circ {{(Lp)}^{{ - 1}}} = F$. Таким образом, доказана единственность функции $F$.

Фиг. 1.

$F(h) = p \circ {{(Lp)}^{{ - 1}}}(h)$, ${{E}_{0}}: = Lp(R)$.

Следствие 2.1. Пусть $F(h): = 0$ для $h \in (0,Lp(R))$. Тогда при выполнении условий леммы 2.2 мы имеем

$p(r) = F \circ Lp(r)\;\;{\text{на}}\;\;(0,R] \leftrightarrow p(r) = F \circ Lp(r)\;\;{\text{на}}\;\;{{\mathbb{R}}_{ + }}.$

Доказательство. Пусть $p(r) = F \circ Lp(r)$ на $(0,R]$. В этом случае, если $R < r$, тогда $p(r) = 0$ и $Lp(R) > Lp(r)$, что означает $F \circ Lp(r) = 0$, т.е. $p(r) = F \circ Lp(r)$ на ${{\mathbb{R}}_{ + }}$. Обратное утверждение тривиально.

Далее будем использовать аббревиатуру $P: = Lp$.

3. СТАЦИОНАРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЛОКАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ И ИХ СВОЙСТВА

Определение 3.1. Тройку $(f,\rho ,U)$ функций $f = f(r,u)$, $\rho = \rho (r)$, $U = U(r)$ будем называть стационарным сферически симметричным, зависящим от $E$ решением системы (VPS), если $\rho \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$, и существует функция $q = q(s)$ со следующим свойством:

(Q)

$q \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\mathbb{R}),\quad q(s) = 0\quad {\text{для}}\quad s \in ( - \infty ,0],\quad q(s) > 0\quad {\text{для}}\quad s \in (0,P(0) - {{E}_{0}})$

(V)

$\quad f(r,u) = q( - E(r,u) - {{E}_{0}}),$

$E(r,u): = U(r) + \frac{{{{u}^{2}}}}{2},\quad u: = {\text{|}}v{\kern 1pt} {\text{|}}\quad ({\text{мы}}\;{\text{пишем}}\;f = {{f}_{q}}),$

(P)

$U(r) = - L\rho (r),\quad L\rho (R) = :{{E}_{0}},$

(D)

$\rho (r) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,f(r,{\text{|}}v{\kern 1pt} {\text{|}}){\kern 1pt} dv,\quad r \in {{\mathbb{R}}_{ + }}.$

Отметим, что $(Q)$ описывает свойства $q$, $(V)$ отсылает к тому, что $f$ является интегралом уравнения Власова (т.е. является постоянной вдоль характеристик), $(P)$ представляет собой уравнение Пуассона $({{P}_{2}}$) в проинтегрированном виде, $(D)$ является определением локальной плотности.

В качестве подготовки к следующей важной лемме мы докажем ключевое тождество.

Лемма 3.1. Пусть $p \in \mathcal{D}(L)$, ${{E}_{0}} > 0$, и $q$ удовлетворяет $(Q)$. Тогда для ${{E}_{0}}\;\leqslant \;h < Lp(0)$ выполняется следующее равенство:

(3.1)

$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\kern 1pt} q\left( {h - {{E}_{0}} - \frac{{{{v}^{2}}}}{2}} \right)dv = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^{h - {{E}_{0}}} q(s)\sqrt {h - {{E}_{0}} - s} {\kern 1pt} ds.$

Доказательство. Так как $q(s) = 0$ для $s \in ( - \infty ,0]$, имеем

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\kern 1pt} q\left( {h - {{E}_{0}} - \frac{{{{v}^{2}}}}{2}} \right)dv = \int\limits_{|v| < \sqrt {2(h - {{E}_{0}})} } {\kern 1pt} q\left( {h - {{E}_{0}} - \frac{{{{v}^{2}}}}{{2{\kern 1pt} }}} \right)dv = \\ = \int\limits_0^\pi {\kern 1pt} \int\limits_0^{2\pi } {\kern 1pt} \int\limits_0^{\sqrt {2(h - {{E}_{0}})} } q\left( {h - {{E}_{0}} - \frac{{{{u}^{2}}}}{{2{\kern 1pt} }}} \right){{u}^{2}}{\kern 1pt} du{\kern 1pt} d\varphi \sin \psi {\kern 1pt} d\psi = 4\pi \int\limits_0^{\sqrt {2(h - {{E}_{0}})} } q\left( {h - {{E}_{0}} - \frac{{{{u}^{2}}}}{2}} \right){{u}^{2}}{\kern 1pt} du. \\ \end{gathered} $

Переходя к новой переменной $s: = h - {{E}_{0}} - \frac{{{{u}^{2}}}}{{2{\kern 1pt} }}$, будем иметь $u = \sqrt {2(h - {{E}_{0}} - s)} $. Следовательно, получаем (3.1).

Лемма 3.2 (лемма об эквивалентности). (a) Пусть $({{f}_{q}},\rho ,U)$ – стационарное сферически симметричное, зависящее от $E$ решение системы (VPS). Пусть $F: = F[p{\kern 1pt} ]$ (лемма 2.2), где $p = \rho $. Тогда

(3.2)

$F(h) = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^{h - {{E}_{0}}} {\kern 1pt} q(s)\sqrt {h - {{E}_{0}} - s} {\kern 1pt} ds\quad для\quad h \in [{{E}_{0}},P(0)).$

(б) Пусть $q$ удовлетворяет $(Q)$, и пусть

(3.3)

$F(h): = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^{h - {{E}_{0}}} {\kern 1pt} q(s)\sqrt {h - {{E}_{0}} - s} {\kern 1pt} ds\quad для\quad h \in [{{E}_{0}},P(0)).$

Предположим, что интегральное уравнение

(3.4)

$p(r) = F \circ Lp(r)$

имеет решение $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$ на ${{\mathbb{R}}_{ + }}$. Определим $\rho : = p$, $U(r): = - L\rho (r)$, ${{E}_{0}} = Lp(R)$ и ${{f}_{q}}(r,u): = $ $: = q( - E(r,u) - {{E}_{0}})$. Тогда $({{f}_{q}},\rho ,u)$ является стационарным сферически симметричным, зависящим от $E$ решением системы (VPS).

Доказательство. (a) Пусть $({{f}_{q}},\rho ,U)$ – стационарное сферически симметричное, зависящее от $E$ решение. Затем, в силу леммы 2.2, $(D)$, $(V)$ и (3.1), имеем

$\begin{gathered} F \circ L\rho (r) = \rho (r) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{f}_{q}}(r,{\text{|}}{v}{\text{|}}){\kern 1pt} d{v} = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\kern 1pt} q\left( {L\rho (r) - {{E}_{0}} - \frac{{{{{v}}^{2}}}}{2}} \right)d{v} = \\ = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^{L\rho (r) - {{E}_{0}}} {\kern 1pt} q(s)\sqrt {L\rho (r) - {{E}_{0}} - s} {\kern 1pt} ds\quad {\text{для}}\quad r \in (0,R], \\ \end{gathered} $

откуда следует (3.2).

(б) Наши предположения подразумевают, что $(Q)$, $(P)$, $(V)$ удовлетворены. Кроме того, в силу (3.4), (3.3), (3.1), и $(V)$, имеем

$\begin{gathered} \rho (r) = p(r) = F \circ Lp(r) = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^{Lp(r) - {{E}_{0}}} q(s)\sqrt {Lp(r) - {{E}_{0}} - s} {\kern 1pt} ds = \\ = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\kern 1pt} q\left( {Lp(r) - {{E}_{0}} - \frac{{{{v}^{2}}}}{2}} \right)dv = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,f(r,u){\kern 1pt} dv,\quad r \in (0,R]. \\ \end{gathered} $

Следовательно, $(D)$ также удовлетворено.

В дальнейшем мы будем использовать определение

${{F}_{0}}(h): = F(h + {{E}_{0}})\quad {\text{на}}\quad [{\kern 1pt} 0,P(0) - {{E}_{0}}).$

Тогда (3.2) примет вид

(3.5)

${{F}_{0}}(h) = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^h \,q(s)\sqrt {h - s} {\kern 1pt} ds,\quad h \in [0,P(0) - {{E}_{0}}).$

Уравнение вида

$g(x) = \int\limits_0^x \,f(s)\sqrt {x - s} {\kern 1pt} ds$

называется уравнением Эддингтона. Результаты о его разрешимости основаны на теории для уравнения вида

$g(x) = \int\limits_0^x \frac{{f(s)}}{{\sqrt {x - s} }}{\kern 1pt} ds,$

которое называется уравнением Абеля. В работе Тонелли [8] доказано существование решений этих уравнений (обзор его работы приведен в [9]).

Для полноты настоящей работы основные результаты и их доказательства приведены в разд. 9.

4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

Этот раздел будет посвящен следующему вопросу: при каких условиях заданная функция $p$, $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$, является локальной плотностью стационарного сферически симметричного, зависящего от $E$ решения? В этом случае мы будем говорить, что “$p$ расширима” (на $f$ и $U$ до стационарного сферически симметричного, зависящего от $E$ решения).

Следующее предложение дает первый критерий расширимости для $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$.

Теорема 4.1. Пусть $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$. Тогда $p$ расширима тогда и только тогда, когда уравнение Эддингтона (3.5) имеет решение $q$ с $(Q)$ для $F: = F[p]$ из леммы 2.2 и ${{F}_{0}}(h): = F(h + {{E}_{0}})$.

Доказательство. Необходимость. Если $p$ расширима, то существует $q$ с $(Q)$ такая, что

(V)

$f(r,u) = q\left( { - U(r) - {{E}_{0}} + \frac{{{{u}^{2}}}}{2}} \right),$

где

(P)

$U(r) = - Lp(r),\quad {{E}_{0}} = Lp(R),$

(D)

$p(r) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\kern 1pt} f(r,u){\kern 1pt} dv.$

Лемма 3.2, часть (a) показывает, что уравнение Эддингтона (3.5) имеет решение $q$ с $(Q)$.

Достаточность. Если уравнение Эддингтона (3.5) имеет решение $q$ с $(Q)$ для $F: = F[p]$, тогда $f: = {{f}_{q}}$ удовлетворяет $(V)$ с $U(r): = - Lp(r)$ $(P)$ и ${{E}_{0}} = Lp(R)$. Следовательно, в силу $(V)$, (3.1) и (3.3) имеем

$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\kern 1pt} {{f}_{q}}(r,{\text{|}}v{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} ){\kern 1pt} dv = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\kern 1pt} q\left( {Lp(r) - {{E}_{0}} - \frac{{{{v}^{2}}}}{2}} \right)dv = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^{Lp(r) - {{E}_{0}}} {\kern 1pt} q(s)\sqrt {Lp(r) - {{E}_{0}} - s} {\kern 1pt} ds = F \circ Lp(r) = p(r).$

Это совпадает с $(D)$. Тогда $p$ расширима.

Следующая теорема посвящена исследованию разрешимости уравнения Эддингтона вида

${{F}_{0}}(h) = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^h \,q(s)\sqrt {h - s} {\kern 1pt} ds$

для заданного ${{F}_{0}}(h): = F(h + {{E}_{0}})$, $F: = F[p]$ в более подробной форме.

Эта теорема дает различные условия расширимости для функции $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$ в явном виде. Здесь мы используем пространства $L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$ и $AC[0,T)$, которые определены в разд. 9.

Теорема 4.2. Пусть $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$, ${{\left. p \right|}_{{(0,R]}}} \in {{C}^{2}}(0,R]$, $F: = F[p]$, ${{E}_{0}}: = P(R)$, ${{F}_{0}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) = F({\kern 1pt} \cdot \; + \;{{E}_{0}})$. Тогда выполняются следующие утверждения.

1) Уравнение Эддингтона

(4.1)

${{F}_{0}}(h) = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^h \,q(s)\sqrt {h - s} {\kern 1pt} ds,\quad 0\;\leqslant \;h < P(0) - {{E}_{0}},$

имеет единственное вещественнозначное решение $q \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,P(0) - {{E}_{0}})$, заданное по формуле

$q(h) = \frac{1}{{4\pi \sqrt 2 }}{\kern 1pt} \frac{2}{\pi }\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h),\quad 0\;\leqslant \;h < P(0) - {{E}_{0}},$

где

(4.2)

${{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) = \int\limits_0^h \frac{{F_{0}^{'}(s)}}{{\sqrt {h - s} }}{\kern 1pt} ds \in AC[0,P(0) - {{E}_{0}}),\quad {{F}_{0}} \in {{C}^{2}}[0,P(0) - {{E}_{0}}).$

2) $p$ расширима тогда и только тогда, когда $q > 0$ на $(0,P(0) - {{E}_{0}})$, т.е.

(4.3)

$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) = \frac{1}{{\sqrt h }}F_{0}^{'}(0) + \int\limits_0^h \frac{{F_{0}^{{''}}(s)}}{{\sqrt {h - s} }}ds > 0\quad {\text{на}}\quad (0,P(0) - {{E}_{0}})} \\ {\left( {F_{0}^{'}(0) = \frac{{p{\kern 1pt} '(R)}}{{P{\kern 1pt} '(R)}}\; \geqslant \;0} \right).} \end{array}$

3) Достаточные условия расширимости $p$:

(a) $F_{0}^{{''}}(s) > 0$ на $(0,P(0) - {{E}_{0}})$,

(б) $X(r): = p{\kern 1pt} '(r) \cdot P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '(r) > 0$ на $(0,R)$,

(в) $\frac{2}{r}{\kern 1pt} p{\kern 1pt} '(r) + p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) > 0$ на $(0,R)$,

где (a) и (б) эквивалентны и из (в) следует (a) и (б).

Доказательство. Из предположений для $p$ и леммы 2.1 следует, что отображение

$P:(0,R] \to [{{E}_{0}},P(0))$

является строго убывающей биекцией в ${{C}^{2}}(0,R]$ со строго убывающим обратным

${{P}^{{ - 1}}}:[{{E}_{0}},P(0)) \to (0,R]$

в ${{C}^{2}}[{{E}_{0}},P(0))$. Суперпозиция с $p \in {{C}^{2}}(0,R]$:

$F: = p \circ {{P}^{{ - 1}}}:[{{E}_{0}},P(0)) \to [0,p(0))$

строго возрастает и $F \in {{C}^{2}}[{{E}_{0}},P(0))$, ${{F}_{0}} \in {{C}^{2}}[0,P(0) - {{E}_{0}})$, $F_{0}^{'}(\, \cdot \,) = F{\kern 1pt} '({\kern 1pt} \cdot \; + {{E}_{0}})$ и $F_{0}^{{''}}(\, \cdot \,) = F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '({\kern 1pt} \cdot \; + {{E}_{0}})$.

1) Чтобы показать, что (4.1) имеет единственное вещественнозначное решение $q \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,P(0) - {{E}_{0}})$, нужно проверить, что для $g: = \frac{{{{F}_{0}}}}{{4\pi \sqrt 2 }}$ предположения (a), (i) и (ii) леммы A.4 (в приложении) выполняются. Достаточно сделать это для $g: = {{F}_{0}}$.

Очевидно, ${{F}_{0}} \in {{C}^{2}}[0,P(0) - {{E}_{0}}) \subset AC[0,P(0) - {{E}_{0}})$ и ${{F}_{0}}(0) = F({{E}_{0}}) = p{{P}^{{ - 1}}}({{E}_{0}}) = p(R) = 0.$ Для

${{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h): = \int\limits_0^h \frac{{F_{0}^{'}(s)}}{{\sqrt {h - s} }}{\kern 1pt} ds$

(a) (i) означает, что мы должны показать, что ${{H}_{{F_{0}^{'}}}} \in AC[0,P(0) - {{E}_{0}})$. Мы имеем $F_{0}^{'} \in {{C}^{1}}[0,P(0) - {{E}_{0}})$ и

(4.4)

$F_{0}^{'}(0) = F{\kern 1pt} '({{E}_{0}}) = p{\kern 1pt} '({{P}^{{ - 1}}}({{E}_{0}})) \cdot ({{P}^{{ - 1}}}){\kern 1pt} '{\kern 1pt} ({{E}_{0}}) = \frac{{p{\kern 1pt} '(R)}}{{P{\kern 1pt} '(R)}}\; \geqslant \;0.$

Интегрируя по частям, получаем

${{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) = - 2\sqrt {h - s} {\kern 1pt} F_{0}^{'}{\kern 1pt} \left. {(s)} \right|_{0}^{h} + 2\int\limits_0^h \,F_{0}^{{''}}(s)\sqrt {h - s} {\kern 1pt} ds = 2\sqrt h {\kern 1pt} F_{0}^{'}(0) + 2\int\limits_0^h \,F_{0}^{{''}}(s)\sqrt {h - s} {\kern 1pt} ds,$

и, следовательно, ${{H}_{{F_{0}^{'}}}} \in AC[0,P(0) - {{E}_{0}})$, т.е. предположение (i) из леммы A.4 выполняется. Также мы получаем ${{H}_{{F_{0}^{'}}}}(0) = 0$, что и есть (a) (ii). Из леммы A.4 (a) следует, что (4.1) имеет единственное вещественнозначное решение $q$, заданное по формуле

(4.5)

$q(h): = \frac{1}{{4\pi \sqrt 2 }}\frac{2}{\pi }\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) = \frac{1}{{4\pi \sqrt 2 }}{\kern 1pt} \frac{2}{\pi }\left[ {\frac{1}{{\sqrt h }}F_{0}^{'}(0) + \int\limits_0^h \frac{{F_{0}^{{''}}(s)}}{{\sqrt {h - s} }}{\kern 1pt} ds} \right].$

2) Так как ${{H}_{{F_{0}^{'}}}} \in AC[0,P(0) - {{E}_{0}})$, то $q \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,P(0) - {{E}_{0}})$. По теореме 1, оно удовлетворяет $(Q)$ и $p$ является расширимым тогда и только тогда, когда $q > 0$ на $(0,P(0) - {{E}_{0}})$.

3) Доказательство 3) основывается на замене переменных в интеграле

$\int\limits_0^h \frac{{F_{0}^{{''}}(s)}}{{\sqrt {h - s} }}{\kern 1pt} ds.$

Определим ${{C}^{2}}$-диффеоморфизм $\Phi $

$\Phi :[0,P(0) - {{E}_{0}}) \to (0,R]$

как композицию сдвига

$T:[0,P(0) - {{E}_{0}}) \to [{{E}_{0}},P(0)),\quad s \mapsto s + {{E}_{0}},$

и оператора

${{P}^{{ - 1}}}:[{{E}_{0}},P(0)) \to (0,R],\quad s \mapsto {{P}^{{ - 1}}}(s),$

таким образом, что, $\Phi : = {{P}^{{ - 1}}} \circ T$, $s \mapsto r = {{P}^{{ - 1}}}(s + {{E}_{0}})$. Обратное к $\Phi $ отображение обозначим $\Psi : = {{T}^{{ - 1}}} \circ P$:

$\Psi :(0,R] \to [0,P(0) - {{E}_{0}}),\quad r \mapsto s = P(r) - {{E}_{0}}.$

Действие отображений $\Phi $ и $\Psi $ изображено на фиг. 2. Для $0 < s < P(0) - {{E}_{0}}$ имеем ${{E}_{0}} < s + {{E}_{0}} < P(0)$. Поэтому ${{P}^{{ - 1}}}(s + {{E}_{0}}) = \Phi (s) < R$. Для $0 < r < R$ имеем ${{E}_{0}} < P(r) < P(0)$. Следовательно, $0 < P(r) - {{E}_{0}} = \Psi (r) < P(0) - {{E}_{0}}$.

Фиг. 2.

Теперь представим $F_{0}^{'}(s)$, $F_{0}^{{''}}(s)$ как функции от $p{\kern 1pt} '(r)$, $p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)$, $P{\kern 1pt} '(r)$, $P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)$ следующим образом: для $s = \Psi (r)$ имеем

${{F}_{0}}(s) = {{F}_{0}}(\Psi (r)) = F(P(r) - {{E}_{0}} + {{E}_{0}}) = F(P(r)) = p{{P}^{{ - 1}}}(P(r)) = p(r),$

$\frac{d}{{dr}}{\kern 1pt} {{F}_{0}}(\Psi (r)) = F{\kern 1pt} '(P(r)) \cdot P{\kern 1pt} '(r) = p{\kern 1pt} '(r).$

Так как $P{\kern 1pt} '(r) < 0$, для $s = \Psi (r)$ получаем

$F_{0}^{'}(s) = F_{0}^{'}(\Psi (r)) = F{\kern 1pt} '(P(r)) = \frac{{p{\kern 1pt} '(r)}}{{P{\kern 1pt} '(r)}},$

$\begin{gathered} \frac{d}{{dr}}{\kern 1pt} F_{0}^{'}(\Psi (r)) = \frac{d}{{dr}}{\kern 1pt} F{\kern 1pt} '(P(r) - {{E}_{0}} + {{E}_{0}}) = \frac{d}{{dr}}F{\kern 1pt} '(P(r)) = F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(P(r)) \cdot P'(r) = \frac{d}{{dr}}{\kern 1pt} \frac{{p{\kern 1pt} '(r)}}{{P{\kern 1pt} '(r)}} = \\ \, = \frac{{P{\kern 1pt} '(r) \cdot p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) - p{\kern 1pt} '(r) \cdot P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)}}{{P{\kern 1pt} '{{{(r)}}^{2}}}}{\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $

Следовательно, для $s = \Psi (r)$ имеем

$F_{0}^{{''}}(s) = F_{0}^{{''}}(\Psi (r)) = F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(P(r)) = \frac{{p{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '(r)}}{{{\text{|}}P{\kern 1pt} '(r){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}}}{\kern 1pt} .$

Заменяя переменные $s \to r$ в интеграле (4.3) по формуле $\Phi (s): = {{P}^{{ - 1}}} \circ T(s) = {{P}^{{ - 1}}}(s + {{E}_{0}}) = r$, $\Phi (0) = R$, $\Phi (P(0) - {{E}_{0}}) = 0$, $\Phi (h) = {{P}^{{ - 1}}} \circ T(h) = {{P}^{{ - 1}}}(h + {{E}_{0}})$, $ds = P{\kern 1pt} '(r){\kern 1pt} dr$, и, учитывая отрицательный знак $P{\kern 1pt} '(r)$, получаем

(4.6)

$\int\limits_0^h \frac{{F_{0}^{{''}}(s)}}{{\sqrt {h - s} }}{\kern 1pt} ds = \int\limits_{{{P}^{{ - 1}}}(h + {{E}_{0}})}^R \frac{{p{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '(r)}}{{{\text{|}}P{\kern 1pt} '(r){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\sqrt {h - (P(r) - {{E}_{0}})} }}{\text{|}}P{\kern 1pt} '(r){\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} dr.$

Из 3) (a) или 3) (б) следует $q > 0$ с учетом (4.3), (4.4).

Пусть 3) (в) выполняется. Тогда по лемме 2.1 имеем

$p{\kern 1pt} 'P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} P{\kern 1pt} ' = p{\kern 1pt} '\left( { - \frac{2}{r}{\kern 1pt} P{\kern 1pt} '\; - 4\pi p} \right) - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} P{\kern 1pt} ' = 4\pi p( - p{\kern 1pt} ') + ( - P{\kern 1pt} ')\left( {\frac{2}{r}p{\kern 1pt} '\; + p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '} \right) > 0.$

Откуда следует, что 3) (б) выполняется.

Замечание 4.1. Для численных расчетов, используемых позднее, удобно переписать (4.3) в другом виде. Поскольку $\Phi (h) = {{P}^{{ - 1}}}(h + {{E}_{0}})$, то $P(\Phi (h)) = h + {{E}_{0}}$, и поэтому

$h = P(\Phi (h)) - P(R).$

Тогда, подставляя (4.4), (4.6) в (4.3), получаем

(4.7)

$\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) = \frac{1}{{\sqrt {P(\Phi (h)) - P(R)} }}\left( {\frac{{p{\kern 1pt} '(R)}}{{P{\kern 1pt} '(R)}} + \int\limits_{\Phi (h)}^R \frac{{p{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '(r)}}{{{\text{|}}P{\kern 1pt} '(r){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}}}\sqrt {\frac{{P(\Phi (h)) - P(R)}}{{P(\Phi (h)) - P(r)}}} {\kern 1pt} dr} \right).$

Подынтегральное выражение имеет сингулярность в точке $r = \Phi (h)$.

Замечание 4.2. Примеры в следующем разделе покажут, что условия 3) (a), (б) и (в) не являются необходимыми для расширимости.

5. ПРИМЕРЫ

Пример 5.1.

$p(r): = \left\{ \begin{gathered} 1 - {{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^{2}},\quad 0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;R, \hfill \\ 0,\quad r > R,\quad R > 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Этот пример позволяет явно вычислить другие функции: $P$, ${{P}^{{ - 1}}}$, $F$, $q$, ${{G}_{0}} = :F_{0}^{{ - 1}}$ (которая является правой частью аппроксимирующей нелинейной системы (ANS), возникающей в разд. 7).

Для $0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;R$

$p{\kern 1pt} '(r) = - \frac{2}{{{{R}^{2}}}}{\kern 1pt} r,\quad p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) = - \frac{2}{{{{R}^{2}}}}{\kern 1pt} ,$

откуда $\frac{2}{r}{\kern 1pt} p{\kern 1pt} '(r) + p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' = - \frac{6}{{{{R}^{2}}}} < 0$. Поэтому достаточное условие 3) (в) в теореме 4.2 не выполняется.

Подставив функцию $p(r)$ в (2.1), получаем

$\begin{gathered} P(r) = 4\pi \left[ {\frac{1}{r}\int\limits_0^r \left( {1 - \frac{{{{s}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right){{s}^{2}}{\kern 1pt} ds + \int\limits_r^R \left( {1 - \frac{{{{s}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right)s{\kern 1pt} ds} \right] = 4\pi \left[ {\frac{{{{r}^{2}}}}{3} - \frac{1}{5}\frac{{{{r}^{4}}}}{{{{R}^{2}}}} + \frac{1}{2}({{R}^{2}} - {{r}^{2}}) - \frac{1}{4}\frac{1}{{{{R}^{2}}}}({{R}^{4}} - {{r}^{4}})} \right] = \\ = 4\pi {{R}^{2}}\left[ {\frac{1}{{20}}{{{\left( {\frac{r}{R}} \right)}}^{4}} - \frac{1}{6}{{{\left( {\frac{r}{R}} \right)}}^{2}} + \frac{1}{4}} \right] = \pi {{R}^{2}}\left[ {\frac{1}{5}{{{\left( {\frac{r}{R}} \right)}}^{4}} - \frac{2}{3}{{{\left( {\frac{r}{R}} \right)}}^{2}} + 1} \right]: = h, \\ \end{gathered} $

$P{\kern 1pt} '(r) = 4\pi {{R}^{2}}\left[ {\frac{1}{5}\frac{{{{r}^{3}}}}{{{{R}^{4}}}} - \frac{1}{3}\frac{r}{{{{R}^{2}}}}} \right],$

$P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) = 4\pi {{R}^{2}}\left[ {\frac{3}{5}\frac{{{{r}^{2}}}}{{{{R}^{4}}}} - \frac{1}{3}\frac{1}{{{{R}^{2}}}}} \right],$

$P(R) = {{E}_{0}} = \frac{8}{{15}}{\kern 1pt} \pi {{R}^{2}}.$

Следовательно,

$X(r) = p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} P{\kern 1pt} ' = - \frac{2}{{{{R}^{2}}}}{\kern 1pt} r \cdot 4\pi {{R}^{2}}\left[ {\frac{3}{5}\frac{{{{r}^{2}}}}{{{{R}^{4}}}} - \frac{1}{3}\frac{1}{{{{R}^{2}}}}} \right] + \frac{2}{{{{R}^{2}}}} \cdot 4\pi {{R}^{2}}\left[ {\frac{1}{5}\frac{{{{r}^{3}}}}{{{{R}^{4}}}} - \frac{1}{3}\frac{r}{{{{R}^{2}}}}} \right] = - \frac{{16\pi }}{5}\frac{{{{r}^{3}}}}{{{{R}^{4}}}} < 0.$

Таким образом, достаточное условие 3) (б) в теореме 4.2 не выполняется.

Так как $P(r) = h$ и $P:[0,R] \to [{{E}_{0}},P(0)] = \left[ {\frac{8}{{15}}{\kern 1pt} \pi {{R}^{2}},\pi {{R}^{2}}} \right]$ является биквадратичной формой по $\frac{r}{R}$, мы можем вычислить ${{P}^{{ - 1}}}$ следующим образом:

${{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^{2}} = \frac{5}{3} - \sqrt {\frac{{25}}{9} - 5 + \frac{5}{{\pi {{R}^{2}}}}h} ,$

$r = {{P}^{{ - 1}}}(h) = R\sqrt {\frac{5}{3} - \sqrt {\frac{5}{{\pi {{R}^{2}}}}h - \frac{{20}}{9}} } {\kern 1pt} .$

Следовательно,

$\begin{gathered} F(h) = p({{P}^{{ - 1}}}(h)) = 1 - {{\left( {\frac{{{{P}^{{ - 1}}}(h)}}{R}} \right)}^{2}} = 1 - \left( {\frac{5}{3} - \sqrt {\frac{5}{{\pi {{R}^{2}}}}h - \frac{{20}}{9}} {\kern 1pt} } \right) = \\ = \sqrt {\frac{5}{{\pi {{R}^{2}}}}h - \frac{{20}}{3}} - \frac{2}{3}{\kern 1pt} ,\quad h \in [{{E}_{0}},P(0)], \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{F}_{0}}(h) = F(h + {{E}_{0}}) = \sqrt {\frac{5}{{\pi {{R}^{2}}}}\left( {h + \frac{8}{{15}}\pi {{R}^{2}}} \right) - \frac{{20}}{9}} - \frac{2}{3} = \sqrt {ah + \frac{4}{9}} - \frac{2}{3} \\ {\text{при}}\quad a: = \frac{5}{{\pi {{R}^{2}}}},\quad h \in [0,P(0) - {{E}_{0}}]. \\ \end{gathered} $

То есть

${{F}_{0}}(0) = 0,$

${{F}_{0}}(P(0) - {{E}_{0}}) = {{F}_{0}}\left( {\frac{7}{{15}}{\kern 1pt} \pi {{R}^{2}}} \right) = \sqrt {\frac{7}{3} + \frac{4}{9}} - \frac{2}{3} = 1,$

$F_{0}^{'}(h) = \frac{a}{2}\frac{1}{{\sqrt {ah + \frac{4}{9}} }},$

$F_{0}^{'}(0) = \frac{3}{4}{\kern 1pt} a,$

$F_{0}^{'}(P(0) - {{E}_{0}}) = \frac{{3a}}{{10}},$

$F_{0}^{{''}}(h) = - \frac{{{{a}^{2}}}}{4}\frac{1}{{{{{\left( {\sqrt {ah + \frac{4}{9}} } \right)}}^{3}}}}.$

Из [10] следует, что

${{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) = \int\limits_0^h \frac{{F_{0}^{'}(s)}}{{\sqrt {h - s} }}ds = \frac{a}{2}\int\limits_0^h \frac{{ds}}{{\sqrt {as + \frac{4}{9}} {\kern 1pt} \sqrt {h - s} }} = \left. {\frac{a}{2}\frac{2}{{\sqrt a }}arctg\sqrt {\frac{{(as + 4{\text{/}}9)}}{{a(h - s)}}} } \right|_{{s = 0}}^{{s = h}} = \sqrt a \left( {\frac{\pi }{2} - \operatorname{arctg} \left( {\frac{2}{3}\frac{1}{{\sqrt a }}\frac{1}{{\sqrt h }}} \right)} \right).$

Дифференцируя последнее выражение, получаем

$\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) = - \frac{{\sqrt a }}{{1 + \frac{4}{9}\frac{1}{a}\frac{1}{h}}}\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt a }}\left( { - \frac{1}{2}} \right)\frac{1}{{{{h}^{{3/2}}}}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{h + \frac{4}{9}\frac{1}{a}}} \cdot \frac{1}{{\sqrt h }} > 0,\quad h \in (0,P(0) - {{E}_{0}}).$

Таким образом, ${{H}_{{F_{0}^{'}}}}$ принадлежит $AC[0,P(0))$, ${{H}_{{F_{0}^{'}}}}(0) = 0$ и $\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) > 0$ на $(0,P(0) - {{E}_{0}})$. Следовательно, в силу пунктов теоремы 4.2 1) и 4.2 2), функция $p$ расширима и

$q(h): = \frac{1}{{4\pi \sqrt 2 }}\frac{2}{\pi }\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) = \frac{{\sqrt 2 }}{{4{{\pi }^{2}}}}\frac{1}{3}\frac{1}{{h + \frac{4}{9}\frac{1}{a}}} \cdot \frac{1}{{\sqrt h }} > 0$

является единственным решением уравнения Эддингтона (4.1).

Этот пример иллюстрирует как обратную задачу (с известным $p$), так и прямую (с известным $q$ – в разд. 6). Он будет раскрыт подробнее в разд. 8.

Пример 5.2.

$p(r): = \left\{ \begin{gathered} {{\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)}^{2}},\quad 0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;R, \hfill \\ 0,\quad R < r,\quad R > 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Это пример позволяет легко решить вопрос о расширимости с помощью теоремы 4.2 3) (б). Для $0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;R$

$p{\kern 1pt} '(r) = - \frac{2}{R} + 2{\kern 1pt} \frac{r}{{{{R}^{2}}}},\quad p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) = \frac{2}{{{{R}^{2}}}}{\kern 1pt} .$

Функция $\frac{2}{r}{\kern 1pt} p{\kern 1pt} '(r) + p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) = \frac{6}{{{{R}^{2}}}} - \frac{4}{{rR}}$ меняет свой знак в точке $\frac{{2R}}{3} \in (0,R)$. Поэтому теорема 4.2 3) (в) не применима. Из (2.1) получаем

$\begin{gathered} P(r) = 4\pi \left[ {\frac{1}{r}\int\limits_0^r \left( {{{s}^{2}} - \frac{{2{{s}^{3}}}}{R} + \frac{{{{s}^{4}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right)ds + \int\limits_r^R \left( {s - \frac{{2{{s}^{2}}}}{R} + \frac{{{{s}^{3}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right)ds} \right] = \\ = 4\pi \left[ {\frac{1}{3}{{r}^{2}} - \frac{1}{2}\frac{{{{r}^{3}}}}{R} + \frac{1}{5}\frac{{{{r}^{4}}}}{{{{R}^{2}}}} + \frac{1}{2}({{R}^{2}} - {{r}^{2}}) - \frac{2}{3}\frac{1}{R}({{R}^{3}} - {{r}^{3}}) + \frac{1}{4}\frac{1}{{{{R}^{2}}}}({{R}^{4}} - {{r}^{4}})} \right] = \\ = 4\pi \left[ { - \frac{1}{6}{\kern 1pt} {{r}^{2}} + \frac{1}{6}\frac{{{{r}^{3}}}}{R} - \frac{1}{{20}}\frac{{{{r}^{4}}}}{{{{R}^{2}}}} + \frac{1}{{12}}{{R}^{2}}} \right], \\ \end{gathered} $

$P{\kern 1pt} '(r) = 4\pi \left[ { - \frac{1}{3}r + \frac{1}{2}\frac{{{{r}^{2}}}}{R} - \frac{1}{5}\frac{{{{r}^{3}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right],$

$P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) = 4\pi \left[ { - \frac{1}{3} + \frac{r}{R} - \frac{3}{5}\frac{{{{r}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right]б$

$\begin{gathered} X(r) = (p{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '(r)) = 4\pi \left[ {\left( { - \frac{2}{R} + 2\frac{r}{{{{R}^{2}}}}} \right)\left( { - \frac{1}{3} + \frac{r}{R} - \frac{3}{5}{\kern 1pt} \frac{{{{r}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right) - \frac{2}{{{{R}^{2}}}}\left( { - \frac{1}{3}r + \frac{1}{2}\frac{{{{r}^{2}}}}{R} - \frac{1}{5}\frac{{{{r}^{3}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right)} \right] = \\ = \frac{{4\pi }}{R}\left( {\frac{2}{3} - 2\alpha + \frac{{11}}{5}{{\alpha }^{2}} - \frac{4}{5}{{\alpha }^{3}}} \right) = :\frac{{4\pi }}{R}f(\alpha )\quad {\text{при}}\quad \alpha : = \frac{r}{R}\;\leqslant \;1. \\ \end{gathered} $

На $[0,1]$ имеем $f{\kern 1pt} '(\alpha ) = - 2 + \frac{{22}}{5}\alpha - \frac{{12}}{5}{{\alpha }^{2}}$. Легко видеть, что $f$ убывает на $\left[ {0,\frac{5}{6}} \right]$, возрастает на $\left[ {\frac{5}{6},1} \right]$ и $f(5{\text{/}}6) = \frac{7}{{108}}$. Следовательно, $f(\alpha ) > 0$ на $[0,1]$ и $X(r) > 0$ на $(0,R)$. Тогда в силу теоремы 4.2 3) (б) $p$ расширима.

В этом случае невозможно вычислить ${{P}^{{ - 1}}}$ явно (как в примере 5.1), так как $P(r)$ является монотонным неспециальным многочленом степени 4.

Пример 5.3.

$p(r): = \left\{ \begin{gathered} {{e}^{{ - r}}} - {{e}^{{ - R}}},\quad 0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;R, \hfill \\ 0,\quad R < r,\quad R > 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Для $0 < r\;\leqslant \;R$ имеем

$p{\kern 1pt} '(r) = - {{e}^{{ - r}}},\quad p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) = {{e}^{{ - r}}},$

$\begin{gathered} P(r): = 4\pi \left[ {\frac{1}{r}\int\limits_0^r \,({{e}^{{ - s}}} - {{e}^{{ - R}}}){{s}^{2}}{\kern 1pt} ds + \int\limits_r^R \,({{e}^{{ - s}}} - {{e}^{{ - R}}})s{\kern 1pt} ds} \right] = \\ = 4\pi \left[ {\left. {\frac{1}{r}\left( {{{e}^{{ - s}}}( - {{s}^{2}} - 2s - 2) - {{e}^{{ - R}}}\frac{{{{s}^{3}}}}{3}} \right)} \right|_{0}^{r} + \left. {\left( {{{e}^{{ - s}}}( - s - 1) - {{e}^{{ - R}}}\frac{{{{s}^{2}}}}{2}} \right)} \right|_{r}^{R}{\kern 1pt} } \right] = \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} = 4\pi \left[ { - {{e}^{{ - r}}}\left( {r + 2 + \frac{2}{r}} \right) + \frac{2}{r} - \frac{1}{3}{{r}^{2}}{{e}^{{ - R}}} - {{e}^{{ - R}}}\left( {R + 1 + \frac{{{{R}^{2}}}}{2}} \right) + {{e}^{{ - r}}}(r + 1) + {{e}^{{ - R}}}{\kern 1pt} \frac{{{{r}^{2}}}}{2}} \right] = \\ = 4\pi \left[ { - {{e}^{{ - r}}}\left( {1 + \frac{2}{r}} \right) + \frac{2}{r} - {{e}^{{ - R}}}\left( {1 + R + \frac{{{{R}^{2}}}}{2} - \frac{{{{r}^{2}}}}{6}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $

$P{\kern 1pt} '(r) = 4\pi \left[ {{{e}^{{ - r}}}\left( {1 + \frac{2}{r} + \frac{2}{{{{r}^{2}}}}} \right) - \frac{2}{{{{r}^{2}}}} + \frac{1}{3}{{e}^{{ - R}}}r} \right],$

$P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) = 4\pi \left[ { - {{e}^{{ - r}}}\left( {1 + \frac{2}{r} + \frac{4}{{{{r}^{2}}}} + \frac{4}{{{{r}^{3}}}}} \right) + \frac{4}{{{{r}^{3}}}} + \frac{1}{3}{{e}^{{ - R}}}} \right].$

Вычислим $X(r,R)$ в треугольнике $\{ (r,R):0 < R,\;r \in (0,R]\} $:

$X(r,R) = p{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '(r) = - {{e}^{{ - r}}}(P{\kern 1pt} '(r) + P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)) = $

$ = - 4\pi {{e}^{{ - r}}}\left[ {{{e}^{{ - r}}}\left( {1 + \frac{2}{r} + \frac{2}{{{{r}^{2}}}}} \right) - \frac{2}{{{{r}^{2}}}} + \frac{1}{3}{{e}^{{ - R}}}r - {{e}^{{ - r}}}\left( {1 + \frac{2}{r} + \frac{4}{{{{r}^{2}}}} + \frac{4}{{{{r}^{3}}}}} \right) + } \right.\left. {\frac{4}{{{{r}^{3}}}} + \frac{1}{3}{{e}^{{ - R}}}} \right] = $

$ = 4\pi {{e}^{{ - r}}}\left[ {\left\{ {{{e}^{{ - r}}}\left( {\frac{2}{{{{r}^{2}}}} + \frac{4}{{{{r}^{3}}}}} \right) + \frac{2}{{{{r}^{2}}}}} \right\} - \left\{ {\frac{4}{{{{r}^{3}}}} + \frac{{{{e}^{{ - R}}}}}{3}(r + 1)} \right\}} \right] = 4\pi \frac{{{{e}^{{ - r}}}}}{{{{r}^{3}}}}\left[ {\{ {{e}^{{ - r}}}(2r + 4) + 2r\} - \left\{ {4 + \frac{1}{3}{{e}^{{ - R}}}({{r}^{4}} + {{r}^{3}})} \right\}} \right].$

Поскольку

(5.1)

$\frac{{\partial X(r,R)}}{{\partial R}} = \frac{{4\pi }}{3}\frac{{r + 1}}{{{{e}^{{r + R}}}}} > 0\quad {\text{для}}\quad 0 < R,\quad r \in (0,R],$

то $X$ строго возрастает в направлении роста значений $R > 0$ для каждого фиксированного $r \in (0,R]$.

На первый взгляд кажется, что $X$, $P$, $P{\kern 1pt} '$, $P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ имеют сингулярности в точке $r = 0$. Но они могут быть устранены, как показано для $X$ в формулах (5.2) и (5.3). Для $P$, $P{\kern 1pt} '$, $P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ это можно сделать аналогично. Последняя формула для $X(r,R)$ бесполезна при вычислении значений $X(r,R)$ с $r$ вблизи нуля, поскольку $X$ является разностью двух больших положительных членов, имеющих почти одинаковые значения. Поэтому мы сделаем следующее преобразование:

Если $\tilde {X}(r,R): = {{e}^{{2r}}}{{r}^{3}}{{(4\pi )}^{{ - 1}}} \cdot X\left( {r,R} \right)$, то

$\begin{gathered} \tilde {X}\left( {r,R} \right) = \left[ {(2r + 4) - \frac{{{{e}^{{r - R}}}}}{3}{{r}^{3}}(1 + r) + (2r - 4){{e}^{r}}} \right] = \\ = \left[ { - \frac{{{{e}^{{r - R}}}}}{3}{{r}^{3}}(1 + r) + (2r + 4) + (2r - 4)\left( {1 + r + \frac{{{{r}^{2}}}}{{2!}} + \frac{{{{r}^{3}}}}{{3!}} + \frac{{{{r}^{4}}}}{{4!}} + \sum\limits_{k = 5}^\infty \frac{{{{r}^{k}}}}{{k!}}} \right)} \right] = \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} = \left[ { - \frac{{{{e}^{{r - R}}}}}{3}{{r}^{3}}(1 + r) + (2r + 4) + \left( {2r + 2{{r}^{2}} + \frac{{2{{r}^{3}}}}{{2!}} + \frac{{2{{r}^{4}}}}{{3!}} + \frac{{2{{r}^{5}}}}{{4!}}} \right) + } \right. \\ \left. { + \;\left( { - 4 - 4r - \frac{{4{{r}^{2}}}}{{2!}} - \frac{{4{{r}^{3}}}}{{3!}} - \frac{{4{{r}^{4}}}}{{4!}}} \right) + (2r - 4){\kern 1pt} \sum\limits_{k = 5}^\infty \frac{{{{r}^{k}}}}{{k!}}} \right] = \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} = \left[ { - \frac{{{{e}^{{r - R}}}}}{3}{{r}^{3}}(1 + r) + {{r}^{3}}\left( {1 - \frac{4}{6}} \right) + {{r}^{4}}\left( {\frac{2}{6} - \frac{1}{6}} \right) + {{r}^{5}}\frac{2}{{4!}} + (2r - 4){\kern 1pt} \sum\limits_{k = 5}^\infty \frac{{{{r}^{k}}}}{{k!}}} \right] = \\ = {{r}^{3}}\left[ { - \frac{{{{e}^{{r - R}}}}}{3}(1 + r) + \frac{1}{3} + \frac{r}{6} + \frac{{{{r}^{2}}}}{{12}} + (2r - 4){{r}^{2}}\,\sum\limits_{k = 5}^\infty \frac{{{{r}^{{k - 5}}}}}{{k!}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Разделив $\tilde {X}$ на ${{e}^{{2r}}}{{r}^{3}}{{(4\pi )}^{{ - 1}}}$, получаем

(5.2)

$X(r,R) = \frac{{4\pi }}{{{{e}^{{2r}}}}}\left[ { - \frac{{{{e}^{{r - R}}}}}{3}(1 + r) + \frac{1}{3} + \frac{r}{6} + \frac{{{{r}^{2}}}}{{12}} + (2r - 4){{r}^{2}}\,\sum\limits_{k = 5}^\infty \frac{{{{r}^{{k - 5}}}}}{{k!}}} \right].$

Отсюда следует, что

(5.3)

$\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} X(r,R) = 4\pi \left[ { - \frac{1}{{3{{e}^{R}}}} + \frac{1}{3}} \right] \in \left( {0,\frac{{4\pi }}{3}} \right]\quad {\text{для}}\quad R > 0.$

Вначале вычислим $X(r,r):$

(5.4)

$X(r,r) = \frac{{4\pi }}{{{{e}^{{2r}}}}}\left[ { - \frac{{{{e}^{{r - r}}}}}{3}(1 + r) + \frac{1}{3} + \frac{r}{6} + \frac{{{{r}^{2}}}}{{12}} + (2r - 4){{r}^{2}}\,\sum\limits_{k = 5}^\infty \frac{{{{r}^{{k - 5}}}}}{{k!}}} \right] = \frac{{4\pi }}{{{{e}^{{2r}}}}}r\left[ {\frac{r}{{12}} - \frac{1}{6} + (2r - 4){\kern 1pt} \sum\limits_{k = 5}^\infty \frac{{{{r}^{{k - 4}}}}}{{k!}}} \right].$

Из (5.4) заключаем, что $X(r,r) = 0$ для $r = 2$, $X(r,r) > 0$ для $r > 2$ и $X(r,r) < 0$ для $r < 2$.

Применение теоремы 4.2 3) (б) требует определения знака $X(r,R)$ для $0 < r < R$. Мы будем различать два случая

$(1)\;\;R\; \geqslant \;2\quad {\text{и}}\quad (2)\;\;R < 2.$

В случае (1) для $0 < r < 2$ из (5.1) и табл. 1 (фиг. 3), следует, что

$X(r,R) > X(r,2) > 0,$

а для $2\;\leqslant \;r < R$ из (5.1) и (5.4) заключаем, что

$X(r,R) > X(r,r)\; \geqslant \;0.$

Таблица 1.

$X(r,2)$ для $0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;2$

$r$	0	10^–5	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2
$X(r,2)$	3.6220	3.6218	2.33	1.47	0.910	0.541	0.302	0.151	0.056	0

Фиг. 3.

Диапазоны положительных и отрицательных значений $X(r,R)$.

В случае (1) с $R\; \geqslant \;2$ отсюда следует, что $X(r,R) > 0$ и $p$ расширима по теореме 4.2 3) (б).

В случае (2) с $0 < R < 2$ в силу (5.4) мы имеем $X(r,r) < 0$. С другой стороны, $X(r,2) > 0$ для $r \in [0,2)$. Согласно (5.1) существует единственный нуль функции $X(r,R)$ между $R = r$ и $R = 2$ для каждого фиксированного $r \in (0,2)$. Нули лежат на монотонной кривой, порожденной функцией $X(r,R) = 0$ в некоторой окрестности выше диагонали (см. фиг. 3):

$R(r) = - \ln \left( {6\frac{{(r + 2){{e}^{{ - r}}} + r - 2}}{{(r + 1){{r}^{3}}}}} \right)\quad {\text{для}}\quad 0 < r\;\leqslant \;R < 2.$

Поэтому расширимость $p$ может быть получена из теоремы 4.2 2) или формулы (4.7) в замечании 4.1. Интеграл нельзя вычислить в явном виде и подынтегральная функция сингулярная на левом конце интервала интегрирования. Но интеграл можно аппроксимировать по формуле Ньютона–Котса, избегая граничных точек (например, по правилу средних точек). Ошибка, возникающая при использовании аппроксимационных формул, должна быть аккуратно оценена относительно предшествующего члена $p{\kern 1pt} '(R){\text{/}}P{\kern 1pt} '(R)$, чтобы утверждать расширимость $p$ по теореме 4.2 2). Такой случай будет рассмотрен в примере 5.6. Детали мы оставляем читателю.

Пример 5.4.

$p(r): = \left\{ \begin{gathered} {{r}^{{ - b}}} - {{R}^{{ - b}}},\quad 0 < r\;\leqslant \;R, \hfill \\ 0,\quad r > R,\quad R > 0,\quad 0 < b < 3. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Отметим сначала, что если $b < 3$, то $p(r) \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$.

Для $0 < r\;\leqslant \;R$

$p{\kern 1pt} '(r) = - b{{r}^{{ - b - 1}}},\quad \quad p{\kern 1pt} ''(r) = b(b + 1){{r}^{{ - b - 2}}}.$

Для $1 < b < 3$ получаем

$\frac{2}{r}{\kern 1pt} p{\kern 1pt} '(r) + p{\kern 1pt} ''(r) = - 2b{{r}^{{ - b - 2}}} + b(b + 1){{r}^{{ - b - 2}}} = b(b - 1){{r}^{{ - b - 2}}} > 0,$

и, следовательно, из теоремы 4.2 3) (в) следует, что $p$ расширима.

Для $0 < b < 3$, $b \ne 2$ и $0 < r < R$ имеем

$\begin{gathered} P(r) = 4\pi \left[ {\frac{1}{r}\int\limits_0^r \,({{s}^{{ - b + 2}}} - {{R}^{{ - b}}}{{s}^{2}}){\kern 1pt} ds + \int\limits_r^R \,({{s}^{{ - b + 1}}} - {{R}^{{ - b}}}s){\kern 1pt} ds} \right] = \\ = 4\pi \left[ {\frac{1}{{ - b + 3}}{{r}^{{ - b + 2}}} - \frac{1}{3}{{R}^{{ - b}}}{{r}^{2}} + \left. {\left( {\frac{1}{{ - b + 2}}{\kern 1pt} {{s}^{{ - b + 2}}} - {{R}^{{ - b}}}\frac{{{{s}^{2}}}}{2}} \right)} \right|_{r}^{R}} \right] = \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} = 4\pi \left[ {\frac{{{{r}^{{ - b + 2}}}}}{{ - b + 3}} - {{R}^{{ - b}}}\frac{{{{r}^{2}}}}{3} + \frac{{{{R}^{{ - b + 2}}}}}{{ - b + 2}} - \frac{{{{r}^{{ - b + 2}}}}}{{ - b + 2}} - \frac{{{{R}^{{ - b + 2}}}}}{2} + \frac{{{{R}^{{ - b}}}{{r}^{2}}}}{2}} \right] = \\ = 4\pi \left[ {\frac{{ - {{r}^{{ - b + 2}}}}}{{( - b + 3)( - b + 2)}} + \frac{1}{6}{{R}^{{ - b}}}{{r}^{2}} + \frac{b}{{2( - b + 2)}}{{R}^{{ - b + 2}}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Для $0 < r < R$

$\begin{gathered} \frac{{X(r)}}{{4\pi }} = ( - b){{r}^{{ - b - 1}}}\left( {\frac{{b - 1}}{{ - b + 3}}{\kern 1pt} {{r}^{{ - b}}} + \frac{1}{3}{{R}^{{ - b}}}} \right) - b(b + 1){{r}^{{ - b - 2}}}\left( {\frac{{ - {{r}^{{ - b + 1}}}}}{{ - b + 3}} + \frac{1}{3}{\kern 1pt} {{R}^{{ - b}}}r} \right) = \\ = \frac{{2b}}{{ - b + 3}}{{r}^{{ - 2b - 1}}} - \frac{1}{3}({{b}^{2}} + 2b){{R}^{{ - b}}}{{r}^{{ - b - 1}}} = \frac{{{{R}^{{ - b}}}{{r}^{{ - b - 1}}}}}{{ - b + 3}}\left( {2b{{{\left( {\frac{R}{r}} \right)}}^{b}} - \frac{{{{b}^{2}}}}{3}(3 - b) - \frac{{2b}}{3}(3 - b)} \right) = \\ = \frac{{{{R}^{{ - b}}}{{r}^{{ - b - 1}}}}}{{ - b + 3}} \cdot b \cdot \left( {2\left( {{{{\left( {\frac{R}{r}} \right)}}^{b}} - 1} \right) + \frac{1}{3}({{b}^{2}} - b)} \right). \\ \end{gathered} $

Для $1\;\leqslant \;b < 3$, $b \ne 2$, мы получаем $X(r) > 0$, и из теоремы 4.2 3) (б) следует, что $p$ расширима. Для $0 < b < 1$ $X$ имеет ноль в точке ${{r}_{0}}$ на $(0,R)$, являющийся решением уравнения

${{\left( {\frac{R}{r}} \right)}^{b}} - 1 - \frac{1}{6}{\kern 1pt} (b - {{b}^{2}}) = 0.$

Следовательно,

$\frac{{{{r}_{0}}}}{R} = {{\left( {\frac{6}{{6 + (b - {{b}^{2}})}}} \right)}^{{1/b}}}.$

Таким образом, $\frac{{{{r}_{0}}}}{R} = 0.9216$ для $b = \frac{1}{2}$, $\frac{{{{r}_{0}}}}{R} = 1$ для $b = 1$, и $\mathop {\lim }\limits_{b \to 0} \frac{{{{r}_{0}}}}{R}(b) = {{e}^{{ - 1/6}}} \approx 0.8465$. Доказательство существования нуля функции $X$ требует применения теоремы 4.2 2). Детали мы опускаем.

Пример 5.5. Данный пример иллюстрирует прямую задачу с заданным $q$ и $p$ вычисленным приближенно в разд. 8.

Пусть $q(s): = c\sqrt s $, где $c > 0$. Тогда, осуществив замену переменных $s = h{{\sin }^{2}}t$, получаем

${{F}_{0}}(h): = 4\pi \sqrt 2 \cdot c{\kern 1pt} \int\limits_0^h \,\sqrt s \sqrt {h - s} {\kern 1pt} ds = 4\pi \sqrt 2 \cdot c\frac{{{{h}^{2}}}}{4}\int\limits_0^{\pi /2} (1 - \cos 4t){\kern 1pt} dt = 4\pi \sqrt 2 \cdot c\frac{{{{h}^{2}}}}{8} \cdot \pi = \frac{{{{\pi }^{2}}c}}{{\sqrt 2 }}{{h}^{2}}.$

Пример 5.6. Нерасширимая функция $p$.

Цель этого примера – показать численно, что не все $p$, удовлетворяющие условиям теоремы 4.2, автоматически являются расширимыми. Другими словами, мы построим функцию $p$, которая в важных деталях отличается от примеров расширимых функций, приведенных выше: между тем как во всех наших примерах $p$ либо выпуклы, либо вогнуты на $[0,R]$, в этом примере $p$ будет вогнута на подынтервале $[0,w]$ и выпукла на $[w,R]$ для некоторого $0 < w < R$ ($p{\kern 1pt} ''(w) = 0$). Важную роль будут играть неравенство (4.3) и формула (4.7).

Построим функцию

$p(r) = \left\{ \begin{gathered} {{a}_{0}} + {{a}_{1}}r + {{a}_{2}}{{r}^{2}} + {{a}_{3}}{{r}^{3}} + {{a}_{4}}{{r}^{4}},\quad r \in [0,R], \hfill \\ 0,\quad r > R, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

такую, что $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$ и $\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) < 0$ для некоторого $h \in (0,P(0) - {{E}_{0}})$. Тогда в силу теоремы 4.2 2) $p$ будет нерасширимой.

Из условия $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$ следует, что

(5.5)

$p(0) > 0,$

(5.6)

$p(R) = 0.$

Пусть $p$ удовлетворяет следующим условиям:

(5.7)

$p{\kern 1pt} '(0) = 0,$

(5.8)

$p{\kern 1pt} '(R) = 0,$

(5.9)

$p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(w) = 0\quad {\text{для некоторого}}\;\;\;w \in (0,R).$

Из равенств (5.8) и (4.4) вытекает, что ${{F'}_{0}}(0) = 0$. Это упрощает формулу (4.7). Очевидно, условия (5.5)–(5.9) выполняются тогда и только тогда, когда ${{a}_{0}} > 0$, ${{a}_{1}} = 0$ и

(5.10)

${{a}_{2}}{{R}^{2}} + {{a}_{3}}{{R}^{3}} + {{a}_{4}}{{R}^{4}} = - {{a}_{0}},$

(5.11)

$2{{a}_{2}}R + 3{{a}_{3}}{{R}^{2}} + 4{{a}_{4}}{{R}^{3}} = 0,$

(5.12)

$2{{a}_{2}} + 6{{a}_{3}}w + 12{{a}_{4}}{{w}^{2}} = 0.$

Далее будем предполагать, что

(5.13)

$R = 2,\quad w = \frac{{13}}{{10}},\quad {{a}_{0}} = 2{\kern 1pt} .$

Этот выбор $R$, $w$, ${{a}_{0}}$ не может быть произвольным. Проверка различных значений $R$ показывает, что для $w\;\leqslant \;R{\text{/}}4$ или $3R{\text{/}}4\;\leqslant \;w$ $p$ никогда не будет строго монотонно убывающей, каким бы не было ${{a}_{0}} > 0$. Для $R{\text{/}}4 < w\;\leqslant \;R{\text{/}}2$ функция $p$ строго убывает, но $X$ нигде на интервале $(0,R)$ не обращается в нуль. Для $R{\text{/}}2 < w < 3R{\text{/}}4$ функция $p$ строго убывает и $X$ имеет нуль на $(0,R)$.

Определитель системы (5.10)–(5.12) относительно ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$, ${{a}_{4}}$ не равен нулю. Поэтому существует единственное решение системы (5.10)–(5.12)

${{a}_{2}} = - \frac{{39}}{{146}},\quad {{a}_{3}} = - \frac{{107}}{{146}},\quad {{a}_{4}} = \frac{{45}}{{146}}.$

Тогда

(5.14)

$p(r) = 2 + \frac{1}{{146}}\left( { - 39{{r}^{2}} - 107{{r}^{3}} + 45{{r}^{4}}} \right),$

(5.15)

$p{\kern 1pt} '(r) = \frac{1}{{146}}\left( { - 78r - 321{{r}^{2}} + 180{{r}^{3}}} \right),$

(5.16)

$p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) = \frac{1}{{146}}\left( { - 78 - 642r + 540{{r}^{2}}} \right)$

(см. фиг. 4).

Фиг. 4.

$p,\;p{\kern 1pt} '$и $p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$.

Из (5.15) следует, что $p{\kern 1pt} '(r) < 0$ для $r \in (0,2)$. Таким образом, $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$. Для вычисления $P(r)$ заметим, что

(5.17)

$L({{r}^{l}}) = 4\pi \left( { - \frac{{{{r}^{{l + 2}}}}}{{(l + 2)(l + 3)}} + \frac{{{{R}^{{l + 2}}}}}{{l + 2}}} \right),\quad l = 0,1,2, \ldots .$

Отсюда для $l = 0,2,3,4$ непосредственно получим члены в круглых скобках следующей формулы:

$\begin{gathered} P(r) = Lp(r) = 4\pi \left[ {{{a}_{0}}\left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{6} + \frac{{{{R}^{2}}}}{2}} \right) + {{a}_{2}}\left( { - \frac{{{{r}^{4}}}}{{20}} + \frac{{{{R}^{4}}}}{4}} \right) + {{a}_{3}}\left( { - \frac{{{{r}^{5}}}}{{30}} + \frac{{{{R}^{5}}}}{5}} \right) + {{a}_{4}}\left( { - \frac{{{{r}^{6}}}}{{42}} + \frac{{{{R}^{6}}}}{6}} \right)} \right] = \\ = 4\pi \left[ { - \frac{1}{3}{{r}^{2}} + \frac{{39}}{{2920}}{{r}^{4}} + \frac{{107}}{{4380}}{{r}^{5}} - \frac{{15}}{{2044}}{{r}^{6}} + \frac{{558}}{{365}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Вычисляя $P{\kern 1pt} '(r)$ и $P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)$ и подставляя эти производные в равенство $X(r) = p{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r) - p{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(r)P{\kern 1pt} '(r)$, имеем

$X(r) = \frac{{4\pi }}{{746\,060}}\left[ { - 1\,093\,540{{r}^{2}} + 1\,183\,812{{r}^{3}} - 233\,688{{r}^{4}} - 330\,515{{r}^{5}} + 329\,025{{r}^{6}} - 81\,000{{r}^{7}}} \right].$

Легко видеть, что функция $X = X(r)$ имеет нуль в точке ${{r}_{0}} = 0$ и $X(1) < 0$, $X(2) > 0$. Поэтому существует нуль $X(r)$ в точке ${{r}_{1}}$, $1 < {{r}_{1}} < 2$, с приближенным значением ${{r}_{1}} \approx w + 0.0575585$ (см. фиг. 5). (Иногда мы работаем с эквивалентными дробями, чтобы избежать ошибок в округлении десятичных представлений.)

Фиг. 5.

$X,\;P,\;P{\kern 1pt} '$и $P{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$.

Наша цель – доказать существование точки $h \in (0,P(0) - {{E}_{0}})$ такой, что $\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h) < 0$. В силу теоремы 4.2 2) это означает, что $p$ нерасширима. Поскольку $p{\kern 1pt} '(r) = 0$, согласно формуле (4.7) знак $\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h)$ равен знаку интеграла в правой части (4.7). Поэтому мы должны исследовать подынтегральную функцию

$J(r,h): = \frac{{X(r)}}{{{{{\left| {P{\kern 1pt} '(r)} \right|}}^{2}}}}\sqrt {\frac{{P(\Phi (h)) - P(R)}}{{P(\Phi (h)) - P(r)}}} .$

Как было доказано в доказательстве теоремы 4.2,

$\Phi :[0,P(0) - {{E}_{0}}) \to (0,R],\quad h \mapsto \Phi (h) = {{P}^{{ - 1}}}(h + {{E}_{0}})$

является ${{C}^{2}}$-диффеоморфизмом. Если $r \in (\Phi (h),R)$, то $P(\Phi (h)) > P(r) > P(R)$. Следовательно, $P(\Phi (h)) - P(r) < P(\Phi (h)) - P(R)$, т.е.

$\frac{{P(\Phi (h)) - P(R)}}{{P(\Phi (h)) - P(r)}} > 1\quad {\text{и}}\quad \mathop {\lim }\limits_{r \to \Phi (h)} \frac{{P(\Phi (h)) - P(R)}}{{P(\Phi (h)) - P(r)}} = \infty ,$

а поскольку $J(r,h)$ и $X(r)$ всегда имеют одинаковые знаки, то $J(r,h) < 0$ для $\Phi (h) < r < {{r}_{1}}$ и $J(r,h) > 0$ для ${{r}_{1}} < r < R$. Так как $\Phi $ является биекцией $[0,P(0) - {{E}_{0}})$ на $(0,R]$, для заданного $\tilde {r}: = 0,01 \in (0,R)$, существует единственное $\tilde {h} \in [0,P(0) - {{E}_{0}})$ такое, что $\Phi (\tilde {h}) = \tilde {r} = 0.01$.

По лемме 2.2 $P(r) \in {{C}^{2}}({{\mathbb{R}}_{ + }})$. Поэтому, используя формулу Тейлора, мы имеем $P(\Phi (\tilde {h})) - P(r) = P{\kern 1pt} '(r + \theta (\Phi (\tilde {h}) - r))(\Phi (\tilde {h}) - r)$, где $0 < \theta < 1$. Пусть

${{c}_{0}}: = \mathop {\min }\limits_{r \in [\tilde {r},R]} {\text{|}}P{\kern 1pt} '(r){\kern 1pt} {\text{|}},\quad {{c}_{1}}: = \left| {P(\Phi (\tilde {h})) - P(R)} \right|,\quad {{c}_{2}}: = \mathop {\max }\limits_{r \in [\tilde {r},R]} {\text{|}}X(r){\kern 1pt} {\text{|}}.$

Очевидно, $0 < {{c}_{i}} < \infty $ $(i = 0,1,2)$. Тогда

$J(r,\tilde {h})\;\leqslant \;\frac{{\sqrt {{{c}_{1}}} {{c}_{2}}}}{{c_{0}^{2}}}\frac{1}{{\sqrt {\Phi (\tilde {h}) - r} }}.$

Поэтому функция $J(r,\tilde {h})$ интегрируема по $r$ на интервале $(\Phi (\tilde {h}),R)$.

Покажем, что ${{\left. {\frac{d}{{dh}}{{H}_{{F_{0}^{'}}}}(h)} \right|}_{{h = \tilde {h}}}} < 0$, доказав следующее неравенство:

(5.18)

$\int\limits_{\Phi (\tilde {h})}^R {\kern 1pt} J(r,\tilde {h}){\kern 1pt} dr < 0.$

С этой целью введем два прямоугольных треугольника:

${{T}_{1}}: = \{ (0.01;0),(0.01; - 4),(0.31;0)\} \quad {\text{и}}\quad {{T}_{2}}: = \{ (1.3;0),(2;1.21),(2;0)\} $

с гипотенузами

${{g}_{1}}(r) = \frac{4}{{0.3}}(r - 0.31)\;\;\;{\text{при}}\;\;\;r \in [0.01,0.31]\quad {\text{и}}\quad {{g}_{2}}(r) = \frac{{1.21}}{{0.7}}(r - 1.3)\;\;\;{\text{при}}\;\;\;r \in [1.3,2]$

(см. фиг. 6). Численные расчеты показывают, см. табл. 2 и табл. 3, что

$0 > {{g}_{1}}(r) > J(r,\tilde {h})\;\;\;{\text{при}}\;\;\;r \in [0.01,0.31]\quad {\text{и}}\quad 0 < J(r,\tilde {h}) < {{g}_{2}}(r)\;\;\;{\text{при}}\;\;\;r \in [1.3,2].$

Площадь треугольника ${{T}_{1}}$ равна $0.6$, а площадь ${{T}_{2}}$ равна $0.4235$. Поэтому, подставляя значения $\Phi (\tilde {h}) = 0,01$ и $R = 2$, имеем

$\begin{gathered} \int\limits_{\Phi (\tilde {h})}^R {\kern 1pt} J(r,\tilde {h}){\kern 1pt} dr = \int\limits_{0,01}^{0,31} {\kern 1pt} J(r,\tilde {h}){\kern 1pt} dr + \int\limits_{0,31}^w {\kern 1pt} J(r,\tilde {h}){\kern 1pt} dr + \int\limits_w^2 \,J(r,\tilde {h}){\kern 1pt} dr\;\leqslant \;\int\limits_{0,01}^{0.31} {\kern 1pt} {{g}_{1}}(r){\kern 1pt} dr + 0 + \int\limits_w^2 \,{{g}_{2}}(r){\kern 1pt} dr = \\ = - 0.60 + 0.4235 = - 0.1765 < 0. \\ \end{gathered} $

Это завершает доказательство того, что функция $p$ нерасширима.

Фиг. 6.

Подынтегральная функция $J$, гипотенузы ${{g}_{1}},\;{{g}_{2}}$ и треугольники ${{T}_{1}},\;{{T}_{2}}$.

Таблица 2.

$r$	0.01	0.1	0.15	0.175	0.2	0.31
${{g}_{1}}(r) - J(r,\tilde {h})$	$\infty $	0.832	0.182	0.129	0.173	0.937

Таблица 3.

$r$	1.3	1.5	1.7	1.9	2
${{g}_{2}}(r) - J(r,\tilde {h})$	0.027	0.256	0.369	0.225	0.004

Интересно сравнить при $R = 2$ функции ${{F}_{0}}$, $F_{0}^{'}$, $F_{0}^{{''}}$ в примере 5.1 ($p$ расширима) для $h \in [0,28{\text{/}}15\pi ]$ и в примере 5.6 ($p$ нерасширима) для $h \in [0, \approx 10]$. Поскольку в примере 5.1 $F_{0}^{'} > 0$ и $F_{0}^{{''}} < 0$, то ${{F}_{0}} > 0$ строго возрастает и $F_{0}^{'}$ строго убывает. Функция $F_{0}^{{''}}$, как показывает ее формула, строго убывает.

В примере 5.6 невозможно вычислить функцию ${{P}^{{ - 1}}}$ в явном виде (как в примере 5.1), поскольку $P(r)$ монотонный неэлементарный полином четвертой степени. В этом случае, однако, существует следующая возможность: множество $\{ (P({{r}_{k}}),{{r}_{k}}):0\;\leqslant \;{{r}_{k}}\;\leqslant \;R$; $k = 1, \ldots ,l$; $l > 0\} $ содержится в графике функции ${{P}^{{ - 1}}}$. Поэтому можно аппроксимировать ${{P}^{{ - 1}}}$ полиномом степени $m$ $(l > 2m + 1)$ по методу наименьших квадратов. С помощью такой аппроксимации мы можем вычислить приближенно $F$, ${{F}_{0}}$, $F_{0}^{'}$, $F_{0}^{{''}}$ (здесь мы опускаем вычисления).

Фигура 7 показывает графики функций ${{F}_{0}}$ и $F_{0}^{'}$, $F_{0}^{{''}}$, умноженных на 5, поскольку области значений ${{F}_{0}}$ и $F_{0}^{'}$, $F_{0}^{{''}}$ очень отличаются. Мы видим, что ${{F}_{0}}\; \geqslant \;0$ строго монотонна, $F_{0}^{'}\; \geqslant \;0$ не является монотонной, а $F_{0}^{{''}}$ не является монотонной и меняет знак.

Фиг. 7.

${{F}_{0}},\;{{F}_{{0{\kern 1pt} '}}},\;{{F}_{{0{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '}}}$.

Фиг. 8.

Фиг. 9.

Многоугольник ${{p}_{{128}}}$ в табл. 4.

Фиг. 10.

Многоугольник ${{p}_{{128}}}$ в табл. 5.

6. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА И ЕЕ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА

Во введении мы уже упоминали (в связи с теоремой Джинса), что мы понимаем под прямой задачей: при каких условиях существуют функции $({{f}_{q}},\rho ,u)$, которые задают сферически симметричное, зависящее от $E$ решение системы (VPS), если задана функция $q \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$, $q > 0$ на $[0,T)$ для достаточно большого интервала $[0,T)$?

Первый ответ дается в лемме 3.2 б): эти функции существуют, если для функции

$F(h): = 4\pi \sqrt 2 \int\limits_0^{h - {{E}_{0}}} {\kern 1pt} q(s)\sqrt {h - {{E}_{0}} - s} {\kern 1pt} ds,\quad h \in [{{E}_{0}},P(0)),$

$F = 0\quad {\text{на}}\quad ( - \infty ,{{E}_{0}}),$

интегральное уравнение

(6.1)

$p(r) = F \circ Lp(r)\quad {\text{на}}\;\;{{\mathbb{R}}_{ + }}$

имеет решение $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$. В следующей лемме приведены свойства задействованных функций ${{F}_{0}}$, $F$ и $p$.

Лемма 6.1. Будем предполагать $T > P(0) - {{E}_{0}}$ и определим

(6.2)

${{F}_{0}}(h): = F(h + {{E}_{0}}) = 4\pi \sqrt 2 {\kern 1pt} \int\limits_0^h \,q(s)\sqrt {h - s} {\kern 1pt} ds,\quad 0\;\leqslant \;h < P(0) - {{E}_{0}}.$

Тогда ${{F}_{0}}$ строго возрастает на $[0,P(0) - {{E}_{0}})$, и так же $F$ на $[{{E}_{0}},P(0))$. Решение $p \in \mathcal{D}(L)$ уравнения (6.1) такое, что $Lp(R) = {{E}_{0}}$ содержится в $\mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$.

Доказательство. Из леммы A.5 (б) следует, что ${{F}_{0}} \in AC[0,P(0) - {{E}_{0}})$ и ${{F}_{0}}$ строго возрастает, так как

$F_{0}^{'}(h) = \frac{{4\pi }}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^h \frac{{q(s)}}{{\sqrt {h - s} }}ds > 0\quad {\text{п}}{\text{.в}}{\text{.}}\;{\text{на}}\;\;[0,P(0) - {{E}_{0}}).$

Покажем, что $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$. Если $0 < {{r}_{1}} < {{r}_{2}} < R$, тогда $Lp({{r}_{1}}) > Lp({{r}_{2}})$ (лемма 2.1 3)) и $p({{r}_{1}}) = F \circ Lp({{r}_{1}}) > F \circ Lp({{r}_{2}}) = p({{r}_{2}})$, так, что $p$ строго убывает на $(0,R)$. Используя соотношения $F(h) = 0$ для $h \in ( - \infty ,{{E}_{0}})$, $Lp(R) = {{E}_{0}}$ и $Lp(r) < Lp(R)$ для $r > R$, имеем $p(r) = F \circ Lp(r) = 0$ $(r > R)$.

Решение прямой задачи тесно связано с решением нелинейного интегрального уравнения

$p(r) = F \circ Lp(r)\quad {\text{на}}\;\;{{\mathbb{R}}_{ + }},$

или – что то же самое согласно следствию 2.1 – на $(0,R]$. Чтобы сделать это уравнение более доступным для численных исследований, преобразуем его в несколько иную форму. Так как функция

${{F}_{0}}:[0,P(0) - {{E}_{0}}) \to [0,p(0))$

является строго возрастающей биекцией (лемма 6.1), она имеет строго возрастающую обратную функцию

${{G}_{0}}:[0,p(0)) \to [0,P(0) - {{E}_{0}}),$

а функция

$F:[{{E}_{0}},P(0)) \to [0,p(0))$

имеет обратную

$G:[0,p(0)) \to [{{E}_{0}},P(0)),$

которая имеет вид $G(h) = {{G}_{0}}(h) + {{E}_{0}}$. Тогда получаем два эквивалентных утверждения в следующей лемме.

Лемма 6.2. Пусть $p \in \mathcal{D}_{R}^{ - }(L)$ и $Lp(R) = {{E}_{0}}$. Тогда

$p = F \circ Lp \Leftrightarrow Lp - {{E}_{0}} = {{G}_{0}}p\quad на\;\;[0,R].$

Доказательство. $ \Rightarrow :$ Так как $Lp(R) = {{E}_{0}}$, из неравенства $r\;\leqslant \;R$ следует, что $Lp(r)\; \geqslant \;{{E}_{0}}$. Применим $G$ к обеим частям уравнения $p = F \circ Lp$. Тогда $Gp = Lp$ или $Lp = {{G}_{0}}p + {{E}_{0}}$.

$ \Leftarrow :$ Если $Lp - {{E}_{0}} = {{G}_{0}}p$, тогда $Lp = {{G}_{0}}p + {{E}_{0}} = G(p)$, и применение $F$ дает $F \circ Lp = F \circ Gp = p$.

Теперь пусть функции $q$ и $F$ будут такими же, как в начале этого раздела. Наша цель – решить интегральное уравнение (6.1) или

(6.3)

$Lp(r) - Lp(R) = {{G}_{0}}p(r)\quad {\text{на}}\;\;[0,R],$

что эквивалентно в соответствии с леммой 6.2. Первая цель состоит в том, чтобы рассмотреть (6.3) в равноудаленных точках $r = {{R}_{k}}$

$0 = {{R}_{0}} < {{R}_{1}} < {{R}_{2}} < \ldots < \ldots < {{R}_{n}}: = R,\quad {{R}_{k}}: = k\frac{R}{n},\quad k = 0, \ldots ,n\;\;\;{\text{в}}\;\;R.$

Для этого введем пространство кусочно-линейных функций

$p_{{{{R}_{0}}{{R}_{1}} \ldots {{R}_{{n - 1}}}{{R}_{n}}}}^{{{{x}_{0}}{{x}_{1}} \ldots {{x}_{{n - 1}}}{{x}_{n}}}}(r): = - \frac{{r - {{R}_{k}}}}{{{{R}_{k}} - {{R}_{{k - 1}}}}}{{x}_{{k - 1}}} + \frac{{r - {{R}_{{k - 1}}}}}{{{{R}_{k}} - {{R}_{{k - 1}}}}}{{x}_{k}}\quad {\text{на}}\;\;[{{R}_{{k - 1}}},{{R}_{k}}],$

$k = 1, \ldots ,n$, со свойством

$p_{{{{R}_{0}}{{R}_{1}} \ldots {{R}_{{n - 1}}}{{R}_{n}}}}^{{{{x}_{0}}{{x}_{1}} \ldots {{x}_{{n - 1}}}{{x}_{n}}}}({{R}_{k}}) = {{x}_{k}},\quad k = 0, \ldots ,n.$

Базисом в этом пространстве является множество

$\left\{ {p_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}},\,\,\,k = 0,1, \ldots ,n - 1} \right\},$

где для единообразия обозначений определим

${{\left. {p_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}} \right|}_{{k = 0}}}: = p_{{{{R}_{0}}{{R}_{1}}}}^{{10}}$

(${{R}_{{ - 1}}}$ не определено). Любая кусочно-линейная функция $p$ с $0 = p(R) = p({{R}_{n}}) = {{x}_{n}}$ может быть представлена в виде

(6.4)

$p(r) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \,{{x}_{k}}p_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}},$

и ее образ под действием $L$ имеет вид

$Lp(r) = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \,{{x}_{k}}Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}(r).$

Если $({{x}_{0}},{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}})$ является решением системы

(ANS)

$\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \left( {Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}({{R}_{i}}) - Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}(R)} \right){{x}_{k}} = {{G}_{0}}({{x}_{i}}),$

$i = 0,1, \ldots ,n - 1$, $p$ определено по формуле (6.4) и $Lp(R) = :{{E}_{0}}$, то

$Lp(r) - {{E}_{0}} = {{G}_{0}}(p(r))\quad {\text{для}}\quad r = {{R}_{0}},{{R}_{1}}, \ldots ,{{R}_{{n - 1}}}.$

Система также справедлива при $r = R$, так как $Lp(R) = {{E}_{0}}$ и ${{G}_{0}}(p(R)) = 0$. Будем называть (ANS) аппроксимирующей нелинейной системой. Это будет темой следующего раздела.

7. АППРОКСИМИРУЮЩАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА (ANS)

Аппроксимирующая нелинейная система (ANS) имеет вид

$Ax = {{G}_{0}}(x),$

где для вектора $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ мы определим ${{G}_{0}}(x): = ({{G}_{0}}({{x}_{i}}))_{{i = 0}}^{{n - 1}}$, $A$ является $n \times n$ матрицей с коэффициентами ${{A}_{{ik}}}$,

(7.1)

${{A}_{{ik}}}: = Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}({{R}_{i}}) - Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}(R) = :{{B}_{{ik}}} - {{C}_{k}},\quad i,k = 0,1, \ldots ,n - 1.$

Выражения $Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}({{R}_{i}})$ состоят из элементов вида

(i) ${{L}_{{\text{I}}}}p_{{QS}}^{{01}}(r): = Lp_{{QS}}^{{01}}(r)$, $0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;Q < S$,

(ii) ${{L}_{{\text{I}}}}p_{{ST}}^{{10}}(r): = Lp_{{ST}}^{{10}}(r)$, $0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;S < T$,

(iii) ${{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{QS}}^{{01}}(r): = Lp_{{QS}}^{{01}}(r)$, $0\;\leqslant \;Q < S\;\leqslant \;r$,

(iv) ${{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{ST}}^{{10}}(r): = Lp_{{ST}}^{{10}}(r)$, $0\;\leqslant \;S < T\;\leqslant \;r$,

где $p_{{QS}}^{{01}}(s) = \frac{{s - Q}}{{S - Q}}{{\chi }_{{[Q,S]}}}(s)$, $p_{{ST}}^{{10}}(s) = \frac{{s - T}}{{S - T}}{{\chi }_{{[S,T]}}}(s)$. Если $p \in {{L}^{\infty }}({{R}_{ + }})$ и $sp(s) \in {{L}^{1}}({{R}_{ + }})$, то

$Lp(0): = \mathop {\lim }\limits_{r \downarrow 0} Lp(r) = 4\pi \cdot \mathop {\lim }\limits_{r \downarrow 0} \left[ {\frac{1}{r}\int\limits_0^r \,p(s){{s}^{2}}{\kern 1pt} ds + \int\limits_r^\infty \,p(s)s{\kern 1pt} ds} \right]4\pi \int\limits_0^\infty \,p(s)s{\kern 1pt} ds.$

Для $a,b \in \mathbb{R}$ и $n\; \geqslant \;2$ применим формулу

(7.2)

${{a}^{n}} - {{b}^{n}} = (a - b)({{a}^{{n - 1}}} + {{a}^{{n - 2}}}b + \ldots a{{b}^{{n - 2}}} + {{b}^{{n - 1}}}).$

Для вычисления выражений (i)–(iv) требуется следующая лемма.

Лемма 7.1. (i) Пусть $0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;R < S$. Тогда в силу (7.2)

$\begin{gathered} {{L}_{{\text{I}}}}p_{{QS}}^{{01}}(r) = \frac{{4\pi }}{{S - Q}}\int\limits_Q^S \,(s - Q)s{\kern 1pt} ds = \frac{{4\pi }}{{S - Q}}\left( {\frac{{{{s}^{3}}}}{3} - \left. {Q\frac{{{{s}^{2}}}}{2}} \right|_{Q}^{S}} \right) = \frac{{4\pi }}{{S - Q}}\left[ {\frac{1}{3}({{S}^{3}} - {{Q}^{3}}) - \frac{Q}{2}({{S}^{2}} - {{Q}^{2}})} \right] = \\ = 4\pi \left[ {\frac{1}{3}({{S}^{2}} + SQ + {{Q}^{2}}) - \frac{Q}{2}(S + Q)} \right] = 4\pi \left[ {\frac{1}{3}{{S}^{2}} - \frac{1}{6}SQ - \frac{1}{6}{{Q}^{2}}} \right] = \frac{{4\pi }}{3}\left[ {{{S}^{2}} - \frac{1}{2}Q(S + Q)} \right]. \\ \end{gathered} $

(ii) Пусть $0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;S < T$. Тогда

$\begin{gathered} {{L}_{{\text{I}}}}p_{{ST}}^{{10}}(r) = 4\pi \cdot \frac{{( - 1)}}{{T - S}}\int\limits_S^T \,(s - T)s{\kern 1pt} ds = - \frac{{4\pi }}{{T - S}}\left. {\left( {\frac{{{{s}^{3}}}}{3} - T\frac{{{{s}^{2}}}}{2}} \right)} \right|_{S}^{T} = - \frac{{4\pi }}{{T - S}}\left[ {\frac{1}{3}({{T}^{3}} - {{S}^{3}}) - \frac{1}{2}T({{T}^{2}} - {{S}^{2}})} \right] = \\ = - 4\pi \left[ {\frac{1}{3}({{T}^{2}} + TS + {{S}^{2}}) - \frac{1}{2}T(T + S)} \right] = \frac{{4\pi }}{3}\left[ {\frac{1}{2}T(T + S) - {{S}^{2}}} \right]. \\ \end{gathered} $

(iii) Пусть $0\;\leqslant \;Q < S\;\leqslant \;r$. Тогда

$\begin{gathered} {{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{QS}}^{{01}}(r) = \frac{{4\pi }}{r}\frac{1}{{S - Q}}\int\limits_Q^S \,(s - Q){{s}^{2}}{\kern 1pt} ds = \frac{{4\pi }}{r}\frac{1}{{S - Q}}\left. {\left( {\frac{{{{s}^{4}}}}{4} - Q\frac{{{{s}^{3}}}}{3}} \right)} \right|_{Q}^{S} = \frac{{4\pi }}{r}\frac{1}{{S - Q}}\left[ {\frac{1}{4}({{S}^{4}} - {{Q}^{4}}) - \frac{Q}{3}({{S}^{3}} - {{Q}^{3}})} \right] = \\ = \frac{{4\pi }}{r}\left[ {\frac{1}{4}({{S}^{3}} + {{S}^{2}}Q + S{{Q}^{2}} + {{Q}^{3}}) - \frac{Q}{3}({{S}^{2}} + QS + {{Q}^{2}})} \right] = \frac{\pi }{r}\left[ {{{S}^{3}} - \frac{1}{3}({{S}^{2}}Q + S{{Q}^{2}} + {{Q}^{3}})} \right]. \\ \end{gathered} $

(iv) Пусть $0\;\leqslant \;S < T\;\leqslant \;r$. Тогда

$\begin{gathered} {{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{ST}}^{{10}}(r) = \frac{{ - 4\pi }}{r}\frac{1}{{T - S}}\int\limits_S^T \,(s - T){{s}^{2}}{\kern 1pt} ds = - \frac{{4\pi }}{r}\frac{1}{{T - S}}\left( {\left. {\frac{{{{s}^{4}}}}{4} - \frac{{T{{s}^{3}}}}{3}} \right|_{S}^{T}} \right)\,\, = \\ = - \frac{{4\pi }}{r}{\kern 1pt} \frac{1}{{T - S}}\left[ {\frac{1}{4}({{T}^{4}} - {{S}^{4}}) - \frac{T}{3}({{T}^{3}} - {{S}^{3}})} \right] = \\ = - \frac{{4\pi }}{r}\left[ {\frac{1}{4}({{T}^{3}} + S{{T}^{2}} + {{S}^{2}}T + {{S}^{3}}) - \frac{T}{3}({{T}^{2}} + ST + {{S}^{2}})} \right] = \frac{\pi }{r}\left[ {\frac{1}{3}({{T}^{3}} + {{T}^{2}}S + T{{S}^{2}}) - {{S}^{3}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Чтобы вычислить ${{B}_{{ik}}}$ и ${{C}_{k}}$, разделим квадрат $\{ (i,k):i,k = 0,1,2, \ldots ,n - 1\} $ на части ${{J}_{0}}, \ldots ,{{J}_{5}}$:

${{J}_{0}}: = \{ (0,0)\} ,$

${{J}_{1}}: = \{ (i,0):i = 1, \ldots ,n - 1\} ,$

${{J}_{2}}: = \{ (0,k):k = 1, \ldots ,n - 1\} ,$

${{J}_{3}}: = \{ (i,k):2\;\leqslant \;i\;\leqslant \;n - 1,\;1\;\leqslant \;k\;\leqslant \;i - 1\} ,$

${{J}_{4}}: = \{ (i,k):i = k = 1, \ldots ,n - 1\} ,$

${{J}_{5}}: = \{ (i,k):1\;\leqslant \;i\;\leqslant \;k - 1,\;2\;\leqslant \;k\;\leqslant \;n - 1\} .$

Лемма 7.2. Вычисление ${{B}_{{ik}}} = Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}({{R}_{i}})$.

${{J}_{0}} = \{ 0,0\} $. Согласно лемме 7.1 (ii)

${{B}_{{00}}} = {{L}_{{\text{I}}}}p_{{{\kern 1pt} 0{{R}_{1}}}}^{{10}}(0) = \frac{{4\pi }}{3}\frac{1}{2}R_{1}^{2} = \frac{{2\pi }}{3}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}.$

${{J}_{1}} = \{ (i,0):i = 1, \ldots ,n - 1\} $. Согласно лемме 7.1 (iv)

${{B}_{{i0}}} = {{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{{\kern 1pt} 0{{R}_{1}}}}^{{10}}({{R}_{i}}) = \frac{\pi }{{i\frac{R}{n}}}\frac{1}{3}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{3}} = \frac{\pi }{3}\frac{1}{i}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}.$

${{J}_{2}} = \{ (0,k):k = 1, \ldots ,n - 1\} $. Согласно лемме 7.1 (i), (ii)

$\begin{gathered} {{B}_{{0k}}} = Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}(0) = {{L}_{{\text{I}}}}p_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}}}^{{01}}(0) + {{L}_{{\text{I}}}}p_{{{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{10}}(0) = \\ = \frac{{4\pi }}{3}\left[ {R_{k}^{2} - \frac{1}{2}{{R}_{{k - 1}}}({{R}_{k}} + {{R}_{{k - 1}}})} \right] + \frac{{4\pi }}{3}\left[ {\frac{1}{2}{{R}_{{k + 1}}}({{R}_{{k + 1}}} + {{R}_{k}}) - R_{k}^{2}} \right] = \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} = \frac{{4\pi }}{3}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ {{{k}^{2}} - \frac{1}{2}(k - 1)(2k - 1) + \frac{1}{2}{\kern 1pt} (k + 1)(2k + 1) - {{k}^{2}}} \right] = \\ = \frac{{2\pi }}{3}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ { - (2{{k}^{2}} - k - 2k + 1) + (2{{k}^{2}} + k + 2k + 1)} \right] = 4\pi k{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}. \\ \end{gathered} $

${{J}_{3}} = \{ (i,k):2\;\leqslant \;i\;\leqslant \;n - 1,\;1\;\leqslant \;k\;\leqslant \;i - 1\} $. В силу леммы 7.1 (iii), (iv)

$\begin{gathered} {{B}_{{ik}}} = Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}({{R}_{i}}) = {{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}}}^{{01}}({{R}_{i}}) + {{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{10}}({{R}_{i}}) = \\ = \frac{\pi }{{{{R}_{i}}}}[R_{k}^{3} - \frac{1}{3}\left( {R_{k}^{2}{{R}_{{k - 1}}} + {{R}_{k}}R_{{k - 1}}^{2} + R_{{k - 1}}^{3}} \right) + \frac{1}{3}\left( {R_{{k + 1}}^{3} + R_{{k + 1}}^{2}{{R}_{k}} + {{R}_{{k + 1}}}R_{k}^{2}} \right) - R_{k}^{3}] = \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} = \frac{\pi }{i}\frac{1}{3}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ { - \left( {{{k}^{2}}(k - 1) + k{{{(k - 1)}}^{2}} + {{{(k - 1)}}^{3}}} \right) + {{{(k + 1)}}^{3}} + {{{(k + 1)}}^{2}}k + (k + 1){{k}^{2}}} \right] = \\ = \frac{\pi }{i}\frac{1}{3}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ {12{{k}^{2}} + 2} \right] = 4\pi {{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\frac{1}{i}\left( {{{k}^{2}} + \frac{1}{6}} \right). \\ \end{gathered} $

${{J}_{4}} = \{ (i,k):i = k = 1, \ldots ,n - 1\} $. В силу леммы 7.1 (iii), (ii)

$\begin{gathered} {{B}_{{kk}}} = Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}({{R}_{k}}) = {{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}}}^{{01}}({{R}_{k}}) + {{L}_{{\text{I}}}}p_{{{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{10}}({{R}_{k}}) = \\ = \frac{\pi }{{{{R}_{k}}}}\left[ {R_{k}^{3} - \frac{1}{3}\left( {R_{k}^{2}{{R}_{{k - 1}}} + {{R}_{k}}R_{{k - 1}}^{2} + R_{{k - 1}}^{3}} \right)} \right] + \frac{{4\pi }}{3}\left[ {\frac{1}{2}{\kern 1pt} {{R}_{{k + 1}}}({{R}_{{k + 1}}} + {{R}_{k}}) - R_{k}^{2}} \right] = \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} = \frac{\pi }{k}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ {{{k}^{3}} - \frac{1}{3}\left( {{{k}^{2}}(k - 1) + k{{{(k - 1)}}^{2}} + {{{(k - 1)}}^{3}}} \right)} \right] + \frac{{4\pi }}{3}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ {\frac{1}{2}(k + 1)\left( {(k + 1) + k} \right) - {{k}^{2}}} \right] = \\ = \frac{\pi }{k}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ {2{{k}^{2}} - \frac{4}{3}{\kern 1pt} k + \frac{1}{3}} \right] + 4\pi {{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\frac{1}{3}\left[ {\frac{3}{2}{\kern 1pt} k + \frac{1}{2}} \right] = 4\pi {{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ {k - \frac{1}{6} + \frac{1}{{12k}}} \right]. \\ \end{gathered} $

${{J}_{5}} = \{ (i,k):1\;\leqslant \;i\;\leqslant \;k - 1,\;2\;\leqslant \;k\;\leqslant \;n - 1\} $. В силу леммы 7.1 (i), (ii)

$\begin{gathered} {{B}_{{ik}}} = Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}({{R}_{i}}) = {{L}_{{\text{I}}}}p_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}}}^{{01}}({{R}_{i}}) + {{L}_{{\text{I}}}}p_{{{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{10}}({{R}_{i}}) = \\ = \frac{{4\pi }}{3}\left[ {R_{k}^{2} - \frac{1}{2}{{R}_{{k - 1}}}({{R}_{k}} + {{R}_{{k - 1}}})} \right] + \frac{{4\pi }}{3}\left[ {\frac{1}{2}({{R}_{{k + 1}}}({{R}_{{k + 1}}} + {{R}_{k}}) - R_{k}^{2}} \right] = \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} = \frac{{4\pi }}{3}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ {{{k}^{2}} - \frac{1}{2}(k - 1)(2k - 1) + \frac{1}{2}({{k}^{2}} + 2k + 1 + {{k}^{2}} + k) - {{k}^{2}}} \right] = \\ = \frac{{4\pi }}{3}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ {{{k}^{2}} - \frac{1}{2}(2{{k}^{2}} - k - 2k + 1) + \frac{1}{2}(2{{k}^{2}} + 3k + 1) - {{k}^{2}}} \right] = 4\pi {{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}k. \\ \end{gathered} $

Лемма 7.3. Вычисление ${{C}_{k}}: = Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}(R)$. Из леммы 7.1 (iv) следует, что

${{C}_{0}} = {{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{{{R}_{0}}{{R}_{1}}}}^{{10}}(R) = \frac{\pi }{{3R}}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{3}}.$

В силу леммы 7 (iii), (iv)

$\begin{gathered} {{C}_{k}} = Lp_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{010}}(R) = {{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{{{R}_{{k - 1}}}{{R}_{k}}}}^{{01}}(R) + {{L}_{{{\text{II}}}}}p_{{{{R}_{k}}{{R}_{{k + 1}}}}}^{{10}}(R) = \\ = \frac{\pi }{R}\left[ {R_{k}^{3} - \frac{1}{3}\left( {R_{k}^{2}{{R}_{{k - 1}}} + R_{{k - 1}}^{2}{{R}_{k}} + R_{{k - 1}}^{3}} \right) + \frac{1}{3}\left( {R_{{k + 1}}^{3} + R_{{k + 1}}^{2}{{R}_{k}} + {{R}_{{k + 1}}}R_{k}^{2}} \right) - R_{k}^{3}} \right] = \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} = \frac{\pi }{R}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{3}}\left[ { - \frac{1}{3}\left( {{{k}^{2}}(k - 1) + k{{{(k - 1)}}^{2}} + {{{(k - 1)}}^{3}}} \right)} \right. + \\ + \;\left. {\frac{1}{3}\left( {{{{(k + 1)}}^{3}} + {{{(k + 1)}}^{2}}k + (k + 1){{k}^{2}}} \right)} \right] = \frac{{4\pi }}{n}{{\left( {\frac{R}{n}} \right)}^{2}}\left[ {{{k}^{2}} + \frac{1}{6}} \right]. \\ \end{gathered} $

Следствие 7.1.

${{A}_{{ik}}}([0,R]) = {{R}^{2}}{{A}_{{ik}}}([0,1]),\quad {\text{где}}\quad {{A}_{{ik}}} = {{B}_{{ik}}} - {{C}_{k}}.$

8. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ (ANS)

Цель этого раздела – показать применение некоторых численных методов для решения системы

(ANS)

$Ax = {{G}_{0}}(x)$

с матрицей $A = ({{A}_{{ik}}})_{{i,k = 0}}^{{n - 1}}$, ${{A}_{{ik}}}: = {{B}_{{ik}}} - {{C}_{k}}$, $i,k = 0, \ldots ,n - 1$, где ${{G}_{0}}(x): = ({{G}_{0}}({{x}_{i}}))_{{i = 0}}^{{n - 1}}$, $x \in {{({{\mathbb{R}}_{ + }})}^{n}}$ для скалярной функции ${{G}_{0}}:[0,p(0)) \to [0,P(0) - {{E}_{0}})$. Матрица $A$ зависит от $n$ $(A = A(n))$ и может быть вычислена по формулам из разд. 7. Решение $x = ({{x}_{0}},{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}}{{)}^{{\text{т}}}}$ представляет значения ${{x}_{0}},{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}}$ многоугольника аппроксимации $p_{{{{R}_{0}}{{R}_{1}} \ldots {{R}_{{n - 1}}}}}^{{{{x}_{0}}{{x}_{1}} \ldots {{x}_{{n - 1}}}}}$ для ${{R}_{0}} < {{R}_{1}} < \ldots < {{R}_{{n - 1}}}$ с $p_{{{{R}_{0}}{{R}_{1}} \ldots {{R}_{{n - 1}}}}}^{{{{x}_{0}}{{x}_{1}} \ldots {{x}_{{n - 1}}}}}(R) = 0$ и ${{x}_{0}},{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}}$, ${{x}_{n}} = 0$, ${{R}_{k}}: = \frac{k}{n}{\kern 1pt} R$, $k = 0,1, \ldots ,n - 1$.

Для нахождения решения $x$ системы (ANS) используем метод Ньютона для уравнения $Ax - {{G}_{0}}(x) = 0$. Для сходимости метода Ньютона решающее значение имеет подходящий выбор начальной точки ${{x}^{{(0)}}}$. В последовательности разбиений

${{\pi }_{{{{2}^{i}}}}}: = \left\{ {\frac{k}{{{{2}^{i}}}}R,\;k = 0, \ldots {{{,2}}^{i}}} \right\},\quad i = 0,1,2, \ldots ,$

используем решение ${{p}_{{{{\pi }_{{{{2}^{i}}}}}}}}$ в качестве начальной точки для следующего разбиения ${{\pi }_{{{{2}^{{i + 1}}}}}}$ при $n = 2,4,8,16,32,64,128$. Тогда критерий Канторовича [11] (который во многом зависит от ${{x}^{{(0)}}}$ и $\left\| {{{x}^{{(0)}}} - {{x}^{{(1)}}}} \right\|$) дает сходимость последовательностей в следующих двух примерах. Для $n{{ = 2}^{0}} = 1$ $Ax - {{G}_{0}}(x) = 0$ представляет собой одномерное нелинейное уравнение. Чтобы найти решение этого уравнения, можно применить метод вложенных интервалов путем деления пополам (бисекции). Мы использовали Maple [12] для приближенных вычислений и проверки формул.

Пример 5.1 (продолжение). В этом примере вычислим оператор ${{G}_{0}}$ явно. Действительно, в примере 5.1 было показано, что

$F:[{{E}_{0}},P(0)] = \left[ {\frac{8}{{15}}{\kern 1pt} \pi {{R}^{2}},\pi {{R}^{2}}} \right] \to [0,1],\quad {\text{где}}\quad F(h) = \sqrt {ah - \frac{{20}}{9}} - \frac{2}{3}{\kern 1pt} ,\quad a: = \frac{5}{{\pi {{R}^{2}}}}{\kern 1pt} .$

Также было доказано, что

${{F}_{0}}:\left[ {0,P(0) - {{E}_{0}}} \right] = \left[ {0,\frac{7}{{15}}\pi {{R}^{2}}} \right] \to [0,1],\quad {\text{где}}\quad {{F}_{0}}(h) = \sqrt {ah + \frac{4}{9}} - \frac{2}{3}{\kern 1pt} .$

Поэтому

${{G}_{0}}: = F_{0}^{{ - 1}}:[0,1] \to \left[ {0,\frac{7}{{15}}{\kern 1pt} \pi {{R}^{2}}} \right],\quad {\text{где}}\quad {{G}_{0}}(t) = \frac{{\pi {{R}^{2}}}}{5}\left( {{{t}^{2}} + \frac{4}{3}{\kern 1pt} t} \right).$

При описанном выборе начальных точек ${{x}^{{(0)}}}$ метод Ньютона сходится для $n = 2$, 4; для $n = 8$, 16, 32, 64, 128 критерий Канторовича гарантирует сходимость. Для каждого $n$ мы выполняли итерации до тех пор, пока норма поправки Ньютона не покажет относительную ошибку по отношению к последней итерации величины ${{10}^{{ - 9}}}$ – это было достигнуто менее чем за 5 итераций.

Таблица 4 иллюстрирует сходимость многоугольников ${{p}_{n}}$ как решений (ANS) на отрезке $[0,R]$ для $R = 8$ к точному решению $p$ уравнения $p(r) = FLp(r)$ или $Lp - {{E}_{0}} = {{G}_{0}}(p)$, которое в данном случае известно как $p(r) = 1 - {{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^{2}}$.

Таблица 4.

Аппроксимации ${{p}_{n}}(r)$ функции $p(r) = 1 - {{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^{2}}$ для $R = 8$ и $n = 2$, 4, 8, 16, 32, 64, 128

$r{\text{/}}n$	2	4	8	16	32	64	128	$p(r) - {{p}_{{128}}}(r)$
0.0	0.83	0.95	0.989	0.99712	0.99928	0.99982	0.99995	4.5 × 10^–5
0.5	–	–	–	0.99322	0.99537	0.99591	0.99605	4.5 × 10^–5
1.0	–	–	0.973	0.98152	0.98366	0.98420	0.98433	4.5 × 10^–5
1.5	–	–	–	0.96203	0.06414	0.96467	0.96480	4.4 × 10^–5
2.0	–	0.89	0.926	0.93474	0.93681	0.93733	0.93746	4.3 × 10^–5
2.5	–	–	–	0.89965	0.90167	0.90217	0.90230	4.2 × 10^–5
3.0	–	–	0.849	0.85676	0.85872	0.85921	0.85933	4.1 × 10^–5
3.5	–	–	–	0.80608	0.80796	0.80844	0.80855	3.9 × 10^–5
4.0	0.62	0.71	0.740	0.74761	0.74949	0.74985	0.74996	3.7 × 10^–5
4.5	–	–	–	0.68135	0.68303	0.68345	0.68356	3.5 × 10^–5
5.0	–	–	0.601	0.60730	0.60886	0.60925	0.60934	3.2 × 10^–5
5.5	–	–	–	0.52547	0.52688	0.52723	0.52731	2.9 × 10^–5
6.0	–	0.41	0.431	0.43587	0.43709	0.43740	0.43747	2.6 × 10^–5
6.5	–	–	–	0.33850	0.33951	0.33976	0.33982	2.1 × 10^–5
7.0	–	–	0.230	0.23338	0.23413	0.23431	0.23436	1.6 × 10^–5
7.5	–	–	–	0.12053	0.12095	0.12106	0.12108	0.9 × 10^–5
8.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0
$\left\\| {p - {{p}_{n}}} \right\\|$	0.45	0.13	0.032	0.00815	0.00204	0.00051	0.00012
${{E}_{{0n}}}$	79.1	98.9	105.1	106.680	107.094	107.198	107.224	E₀ = 107.233
Ошибка, %	26.2	7.73	2.034	0.052	0.013	0.003	0.001

В центре таблицы перечислены значения ${{p}_{n}}({{r}_{k}})$ $({{r}_{k}} = 0,0.5,1, \ldots ,7.5,8)$ многоугольников аппроксимации для $n = 2,4, \ldots ,128$. Последний столбец содержит разности $p({{r}_{k}}) - {{p}_{{128}}}({{r}_{k}})$, которые меньше, чем $5 \times {{10}^{{ - 5}}}$, и показывает поточечную сходимость ${{p}_{n}}({{r}_{k}}) \to p({{r}_{k}})$.

Третья с конца строка дает ${{L}_{2}}$-нормы разностей $p - {{p}_{n}}$, показывая их сходимость к $0$ и, в частности, выявляет тот факт, что удвоение $n$ приводит к делению ${{L}_{2}}$-норм на 4.

В последних двух строках перечислены значения ${{E}_{{0n}}}$ и относительной ошибки ${\text{|}}{{E}_{0}} - {{E}_{{0n}}}{\kern 1pt} {\text{|/|}}{{E}_{0}}{\kern 1pt} |$ в процентах. Удвоение $n$ также приводит к коэффициенту сходимости $\frac{1}{4}$.

Пример 5.5 (продолжение). Сначала мы должны вычислить ${{G}_{0}}(t) = F_{0}^{{ - 1}}(h)$. Равенство ${{F}_{0}}(h) = \frac{{{{\pi }^{2}}c}}{{\sqrt 2 }}{\kern 1pt} {{h}^{2}}$ подразумевает, что ${{G}_{0}}(t) = \frac{{\sqrt[4]{2}}}{{\pi \sqrt c }}{\kern 1pt} \sqrt t $. Для получения сопоставимых и четко представимых значений $x$ решений в табл. 5 выбираем $c = \sqrt 2 {\text{/}}{{(4}^{2}}{{\pi }^{4}}1000)$.

Таблица 5.

Аппроксимации $p(r)$ для ${{G}_{0}}(t) = 4\pi \sqrt {1000} {\kern 1pt} \sqrt t $ при $R = 8$ и $n = 2$, 4, 8, 16, 32, 64, 128

$r{\text{/}}n$	2	4	8	16	32	64	128	${\left\| {{{p}_{{64}}} - {{p}_{{128}}}} \right\|{\text{/}}{{p}_{{128}}}}$, %
0.0	55.55	71.64	82.615	86.30120	87.30561	87.56242	87.62698	0.074
0.5	–	–	–	84.22649	85.18691	85.43273	85.49454	0.072
1.0	–	–	75.227	78.31755	79.16157	79.37742	79.43169	0.068
1.5	–	–	–	69.44784	70.12831	70.30214	70.34583	0.062
2.0	–	51.37	56.948	58.80793	59.31085	59.43914	59.47138	0.054
2.5	–	–	–	47.62660	47.96641	48.05298	48.07473	0.045
3.0	–	–	36.160	36.93813	37.14661	37.19968	37.21300	0.036
3.5	–	–	–	27.45442	27.56851	27.59761	27.60492	0.026
4.0	18.69	18.73	19.345	19.54416	19.59812	19.61189	19.61535	0.018
4.5	–	–	–	13.29178	13.31145	13.31652	13.31780	0.010
5.0	–	–	8.578	8.58510	8.58808	8.58891	8.58912	0.02
5.5	–	–	–	5.20257	5.20247	5.20170	5.20152	0.004
6.0	–	3.01	2.917	2.89867	2.89447	2.89345	2.89319	0.009
6.5	–	–	–	1.41754	1.41453	1.41379	1.41361	0.013
7.0	–	–	0.555	0.54872	0.54725	0.54689	0.54680	0.016
7.5	–	–	–	0.11996	0.11958	0.11949	0.11947	0.019
8.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.000
$\left\\| {{{p}_{n}}} \right\\|$ 80.19 102.73 117.8 122.826 124.204 124.557 124.646
Норма–ошибка, % 21.943 12.77 4.117 1.11 0.283 0.071
${{E}_{{0n}}}$ 2657 2155 2081 2065.5 2061.21 2060.90 2060.75
${{E}_{0}}$–Ошибка, % 23.300 3.562 0.752 0.208 0.015 0.007

В этом примере мы вычисляем решения ${{p}_{n}}$, как и в первом примере, с помощью метода Ньютона. Критерий Канторовича гарантирует его сходимость для $n = 4,6, \ldots ,128$. Результаты показаны в табл. 5, которая отличается от табл. 4 следующим.

1. В последнем столбце показана относительная ошибка (в процентах) ${\text{|}}{{p}_{{128}}}({{r}_{k}}) - {{p}_{{64}}}({{r}_{k}}){\kern 1pt} {\text{|/}}{{p}_{{128}}}({{r}_{k}}) \times 100$.

2. Третья с конца строка дает ошибку нормы в процентах $ = 100 \times \left| {{{{\left\| {{{p}_{n}}} \right\|}}_{2}} - {{{\left\| {{{p}_{{2n}}}} \right\|}}_{2}}} \right|{\text{/}}{{\left\| {{{p}_{{2n}}}} \right\|}_{2}}$.

3. В последней строке ${{E}_{0}}$ – ошибка в процентах $ = 100\; \times \;{\text{|}}{{E}_{{0,n}}} - {{E}_{{0,2n}}}{\kern 1pt} {\text{|/}}{{E}_{{0,2n}}}$.

9. УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ И ЭДДИНГТОНА

Цель этого раздела – доказательство существования решения уравнения Эддингтона. Оно основано на доказательстве существования решения уравнения Абеля, которое мы рассматриваем вначале.

Будем использовать следующие обозначения. Для интервала $[0,T)$ положим

$L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T): = \left\{ {p:[0,T) \to \mathbb{R};\;{{{\left. p \right|}}_{{[0,a]}}} \in {{L}^{1}}[0,a]\;{\text{для всех}}\;a \in [0,T)} \right\},$

$AC[0,T): = \{ p:[0,T) \to \mathbb{R};\;{{\left. p \right|}_{{[0,a]}}}\;{\text{абсолютно непрерывна на}}\;[0,a]\;{\text{для всех}}\;a \in [0,T)\} .$

Начнем с двух лемм, а затем вернемся к уравнению Абеля.

Лемма A.1. Пусть $f \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$. Тогда функция

$g(x): = \int\limits_0^x \frac{{f(s)ds}}{{\sqrt {x - s} }}{\kern 1pt} ds,\quad x \in [0,T),$

принадлежит $L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$.

Доказательство. Предположим, что $f\; \geqslant \;0$. Используя равенство

$\int\limits_a^b \frac{{d\sigma }}{{\sqrt {b - \sigma } {\kern 1pt} \sqrt {\sigma - a} }} = \pi ,\quad 0\;\leqslant \;a < b,$

и теорему Фубини, получаем

$\infty > \int\limits_0^x \,f(s){\kern 1pt} ds = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^x \,f(s)\int\limits_s^x \frac{1}{{\sqrt {x - \sigma } {\kern 1pt} \sqrt {\sigma - s} }}d\sigma {\kern 1pt} ds = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^x \left( {\int\limits_0^\sigma \frac{{f(s)}}{{\sqrt {\sigma - s} }}ds} \right)\frac{1}{{\sqrt {x - \sigma } }}d\sigma = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^x \,g(\sigma )\frac{1}{{\sqrt {x - \sigma } }}d\sigma .$

Следовательно, $\left( {\sigma \to g(\sigma )\frac{1}{{\sqrt {x - \sigma } }}} \right) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$ и $g \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$.

Лемма A.2. Для любых $f,g \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$ равенство

(A.1)

$\int\limits_0^x \frac{{f(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds = g(x)\quad п.в.{\text{ }}на\;\;(0,T)$

справедливо тогда и только тогда, когда

(A.2)

$\int\limits_0^x \,f(s){\kern 1pt} {\kern 1pt} ds = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^x \frac{{g(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds\quad на\;\;(0,T).$

Доказательство. Пусть выполняется (A.1). Тогда

$\int\limits_0^x \frac{{g(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds = \int\limits_0^x \left( {\int\limits_0^s \frac{{f(\sigma )}}{{\sqrt {s - \sigma } }}d\sigma } \right)\frac{1}{{\sqrt {x - s} }}ds = \int\limits_0^x \,f(\sigma )\left( {\int\limits_\sigma ^x \frac{1}{{\sqrt {x - s} {\kern 1pt} \sqrt {s - \sigma } }}ds} \right)d\sigma = \pi \int\limits_0^x \,f(\sigma )d\sigma ,$

т.е. (A.2) выполняется.

Предположим теперь, что (A.2) выполняется.

Пусть $h(x): = \int_0^x {\frac{{f(s)}}{{\sqrt {x - s} }}{\kern 1pt} ds - g(x)} $. Нам нужно показать, что $h = 0$. Из леммы A.1 следует, что $h \in L_{{{\text{l}}oc}}^{1}[0,T)$. Аналогично первой части доказательства, используя (A.2), получаем

$\begin{gathered} \int\limits_0^x \frac{{h(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds = \int\limits_0^x \frac{1}{{\sqrt {x - s} }}\int\limits_0^s \frac{{f(\sigma )}}{{\sqrt {s - \sigma } }}d\sigma {\kern 1pt} ds - \int\limits_0^x \frac{{g(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds = \\ = \int\limits_0^x \left( {\int\limits_\sigma ^x \frac{{ds}}{{\sqrt {x - \sigma } {\kern 1pt} \sqrt {\sigma - s} }}} \right)f(\sigma ){\kern 1pt} d\sigma - \int\limits_0^x \frac{{g(x)}}{{\sqrt {x - s} }}ds = \pi \int\limits_0^x \,f(\sigma ){\kern 1pt} d\sigma - \int\limits_0^x \frac{{g(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds = 0. \\ \end{gathered} $

Следовательно,

$\pi \int\limits_0^x \,h(s){\kern 1pt} {\kern 1pt} ds = \int\limits_0^x \,h(s)\int\limits_s^x \frac{1}{{\sqrt {x - \sigma } {\kern 1pt} \sqrt {\sigma - s} }}d\sigma {\kern 1pt} ds = \int\limits_0^x \frac{1}{{\sqrt {x - \sigma } }}\left( {\int\limits_0^\sigma \frac{{h(s)}}{{\sqrt {\sigma - s} }}ds} \right)d\sigma = 0,\quad x \in [0,T),$

откуда $h = 0$.

Теперь рассмотрим разрешимость уравнения Абеля.

Лемма A.3. Cуществование и единственность решения уравнения Абеля.

(a) Пусть $g \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$ и предположим, что

(i) $G \in AC[0,T),$ где $G(x): = \int_0^x {\frac{{g(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds} $,

(ii) $G(0) = 0$.

Тогда $f$, определенная как

$f(x): = \frac{1}{\pi }{\kern 1pt} G{\kern 1pt} '(x),$

является единственным решением уравнения Абеля

(A.3)

$g(x) = \int\limits_0^x \frac{{f(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds,\quad x \in [0,T).$

(б) Наоборот, если $f \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$ и $g$ удовлетворяет (A.3), тогда $g \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$, (i), (ii) выполняются и

$f(x) = \frac{1}{\pi }G{\kern 1pt} '(x),\quad x \in [0,T).$

Доказательство. (a) По предположению $f \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$, и мы имеем

$\int\limits_0^x \,f(s){\kern 1pt} ds = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^x \,G{\kern 1pt} '(s){\kern 1pt} ds = \frac{1}{\pi }(G(x) - 0) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^x \frac{{g(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds,\quad x \in (0,T).$

Тогда из леммы A.2 вытекает, что $f$ является решением (A.3). Единственность следует из (б).

(б) Из леммы A.1 следует, что $g \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$. Пусть

$G(x): = \int\limits_0^x \frac{{g(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds.$

Так как $f$ удовлетворяет (A.3), из леммы A.2 следует, что

$\int\limits_0^x \,f(s){\kern 1pt} ds = \frac{1}{\pi }G(x),\quad x \in [0,T).$

т.е., $G \in AC[0,T)$, $G(0) = 0$, и $f(x) = \frac{1}{\pi }{\kern 1pt} G{\kern 1pt} '(x)$, $x \in (0,T)$, что доказывает единственность в (a).

Замечание A.1. Пример $g(s) = \frac{1}{{\sqrt s }}$, $G(x) = \int_0^x {\frac{{ds}}{{\sqrt s {\kern 1pt} \sqrt {x - s} }} = \pi } $ показывает, что (ii) не обязательно следует из (i).

Теперь мы рассмотрим разрешимость уравнения Эддингтона.

Лемма A.4 (существование и единственность решения уравнения Эддингтона).

(a) Пусть $g \in AC[0,T)$, $g(0) = 0$, и предположим, что

(i) ${{H}_{{g{\kern 1pt} '}}} \in AC[0,T)$, где ${{H}_{{g{\kern 1pt} '}}}(x): = \int\limits_0^x \frac{{g{\kern 1pt} '(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds$,

(ii) ${{H}_{{g{\kern 1pt} '}}}(0) = 0$.

Тогда $f$, определенная как

(A.4)

$f(x): = \frac{2}{\pi }{\kern 1pt} H_{{g'}}^{'}(x),$

является единственным решением уравнения Эддингтона

(A.5)

$g(x) = \int\limits_0^x \,f(s)\sqrt {x - s} {\kern 1pt} ds.$

(б) Наоборот, если $f \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$, и $g$ удовлетворяет (A.5), тогда $g \in AC[0,T)$, $g(0) = 0$, (i), (ii) выполняются, и $f$ имеет вид (A.4). Кроме того, $g{\kern 1pt} '(x) = \frac{1}{2}\int_0^x {\frac{{f(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds} $.

Доказательство. (a) Уравнение (А.4), интегрирование по частям, (i), (ii) и теорема Фубини дадут нам следующие равенства:

$\begin{gathered} \int\limits_0^x \,f(s)\sqrt {x - s} {\kern 1pt} ds = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^x \,H_{{g{\kern 1pt} '}}^{'}(s)\sqrt {x - s} {\kern 1pt} ds = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^x \frac{{{{H}_{{g'}}}(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds = \\ = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^x \frac{1}{{\sqrt {x - s} }}\left( {\int\limits_0^s \frac{{g{\kern 1pt} '(\sigma )}}{{\sqrt {s - \sigma } }}{\kern 1pt} d\sigma } \right)ds = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^x \left( {\int\limits_\sigma ^x \frac{{ds}}{{\sqrt {x - s} {\kern 1pt} \sqrt {s - \sigma } }}} \right)g{\kern 1pt} '(\sigma )d\sigma = g(x), \\ \end{gathered} $

что совпадает с (A.5). Единственность следует из (б).

(б) Пусть $f \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$ и $g$ удовлетворяет (A.5). Покажем, что $g \in AC[0,T)$ и $g(0) = 0$. Определим формально

$h(x): = \int\limits_0^x \frac{{f(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds.$

По лемме A.1 $h$ существует п.в. на $[0,T)$ и $h \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}[0,T)$. Из равенства (A.5) и теоремы Фубини следует, что

$2g(x) = 2\int\limits_0^x \,f(\sigma )\sqrt {x - \sigma } {\kern 1pt} d\sigma = \int\limits_0^x \,f(\sigma )\left( {\int\limits_\sigma ^x \frac{{ds}}{{\sqrt {s - \sigma } }}} \right)d\sigma = \int\limits_0^x \left( {\int\limits_0^s \frac{{f(\sigma )}}{{\sqrt {s - \sigma } }}d\sigma } \right)ds = \int\limits_0^x \,h(s){\kern 1pt} ds.$

т.е., $g \in AC[0,T)$ и $g(0) = 0$. Кроме того,

$2g{\kern 1pt} '(x) = h(x) = \int\limits_0^x \frac{{f(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds,$

и из леммы A.2 следует, что

$\int\limits_0^x \,f(s){\kern 1pt} ds = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^x \frac{{g{\kern 1pt} '(s)}}{{\sqrt {x - s} }}ds = \frac{2}{\pi }{\kern 1pt} {{H}_{{g{\kern 1pt} '}}}(x).$

Следовательно, ${{H}_{{g{\kern 1pt} '}}} \in AC[0,T)$ и ${{H}_{{g{\kern 1pt} '}}}(0) = 0$. Дифференцируя последнее равенство, получаем (A.4), что доказывает единственность в (a).

10. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕЙ РАБОТЫ

В примере 5.6 была построена функция $p$, удовлетворяющая условиям теоремы 4.2 такая, что в соответствии с численными расчетами функция $q$ может иметь отрицательные значения, т.е. $p$ нерасширима. Было бы интересно дать строгое доказательство этого результата. Еще один вопрос заключается в распространении настоящей работы на случай цилиндрической симметрии.

Авторы благодарны В.В. Козлову за полезные обсуждения работы

Список литературы

Batt J., Jörn E., Li Y. Stationary solutions of the flat Vlasov–Poisson System // Arch. Rational Mech. Anal. 2019. V. 231. P. 189–232.
Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics // Princeton University Press Princeton, 1987.
Rein G. Collisionless kinetic equations from astrophysics – the Vlasov–Poisson system// Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations. eds. Dafermos C.M. and Feireisl E., Elsiver, Amsterdam, 3 (2007), 383–476.
Веденяпин В.В. Граничные задачи для стационарного уравнения Власова // Докл. АН СССР. 1986. Т. 290. № 4. С. 777–780.
Архипов Ю.Ю., Веденяпин В.В. О классификации и устойчивости стационарных решений уравнения Власова на торе и граничной задаче // Тр. МИАН. 1994. Т. 203. С. 13–20.
Batt J., Faltenbacher W., Horst E. Stationary spherically symmetric models in stellar dynamics // Arch. Rational Mech. Anal. 1986. V. 93. P. 159–183.
Батт Ю., Йорн Э., Скубачевский А.Л. Стационарные сферически симметричные решения системы Власова–Пуассона в трехмерном случае // Докл. АН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 493. № 1. С. 5–8.
Tonelli L. Su un problema di Abel // Mathematische Annalen. 1928. V. 99. P. 183–199.
Geigant E. Inversionsmethoden zur Konstruktion von stationären Lösungen der selbst-konsistenten Problems des Stellardynamik. Diplomarbeit Ludwig-Maximilians-Universität Munich. 1991.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов: Учебное пособие. СПб: “Лань”, 2010.
Stoer J. Einführung in die Numerische Mathematik I. Springer-Verlag, 1972.
Kofler M., Bitsch G., Komma M. Maple. Einführung, Anwendung, Referenz. Addison–Wesley, 2001.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 9, стр. 1491-1521

Трехмерные стационарные сферически симметричные модели звездной динамики, зависящие от локальной энергии

1. ВВЕДЕНИЕ

(V)

(P1)

(P2)

(D)

2. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР В СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Фиг. 1.

3. СТАЦИОНАРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ЛОКАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ И ИХ СВОЙСТВА

(Q)

(V)

(P)

(D)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

(V)

(P)

(D)

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

Фиг. 2.

(4.6)

(4.7)

5. ПРИМЕРЫ

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

Таблица 1.

$X(r,2)$ для $0\;\leqslant \;r\;\leqslant \;2$

Фиг. 3.

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)

Фиг. 4.

(5.17)

Фиг. 5.

(5.18)

Фиг. 6.

Таблица 2.

Таблица 3.

Фиг. 7.

Фиг. 8.

Фиг. 9.

Фиг. 10.

6. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА И ЕЕ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА

(6.1)

(6.2)

(6.3)

(6.4)

(ANS)

7. АППРОКСИМИРУЮЩАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА (ANS)

(7.1)

(7.2)

8. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ (ANS)

(ANS)

Таблица 4.

Аппроксимации ${{p}_{n}}(r)$ функции $p(r) = 1 - {{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^{2}}$ для $R = 8$ и $n = 2$, 4, 8, 16, 32, 64, 128

Таблица 5.

Аппроксимации $p(r)$ для ${{G}_{0}}(t) = 4\pi \sqrt {1000} {\kern 1pt} \sqrt t $ при $R = 8$ и $n = 2$, 4, 8, 16, 32, 64, 128

(P₁)

(P₂)