Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 10, стр. 1617-1636

Динамика цепочек из большого числа осцилляторов с односторонней и двусторонней запаздывающими связями

С. А. Кащенко^1, *

¹ Региональный научно-образовательный математический центр при Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова
150003 Ярославль, ул. Советская, 14, Россия

^* E-mail: kasch@uniyar.ac.ru

Поступила в редакцию 22.04.2023
После доработки 18.05.2023
Принята к публикации 29.05.2023

EDN: MMEENN
DOI: 10.31857/S0044466923090107

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматриваются цепочки уравнений Ван дер Поля с большим запаздыванием в связях. Предполагается, что количество элементов цепочек тоже является достаточно большим. Естественным образом удается перейти к уравнению Ван дер Поля с интегральным по пространственной переменной слагаемым и периодическими краевыми условиями. Основное внимание уделено изучению локальной динамике цепочек с односторонними и с двусторонними типами связей. Условие достаточно больших значений параметра запаздывания позволило в явном виде определить параметры для реализации критических в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия случаев. Показано, что в рассматриваемых задачах имеет место бесконечномерный критический случай. Хорошо известные методы инвариантных интегральных многообразий и методы нормальных форм в этих задачах оказываются неприменимыми. На основе предложенного автором метода бесконечной нормализации – метода квазинормальных форм – показано, что главные члены асимптотики исходной системы определяются с помощью решений (нелокальных) квазинормальных форм – специальных нелинейных краевых задач параболического типа. В качестве основных результатов для рассматриваемых цепочек построены соответствующие квазинормальные формы. Библ. 44.

Ключевые слова: цепочки с односторонними и двусторонними связями, бифуркации, устойчивость, квазинормальные формы, запаздывание, динамика.

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим цепочку связанных между собой осцилляторов. В качестве базовой модели осцилляторов используем уравнение второго порядка

(1)

$\ddot {u} + a\dot {u} + u + f(u,\dot {u}) = 0,$

где $f(u,\dot {u})$ – кубическая нелинейность

(2)

$f(u,\dot {u}) = {{b}_{1}}{{u}^{3}} + {{b}_{2}}{{u}^{2}}\dot {u} + {{b}_{3}}u{{\dot {u}}^{2}} + {{b}_{4}}{{\dot {u}}^{3}}.$

Пусть цепочку из $N$ связанных одинаковых осцилляторов вида (1) описывает система уравнений

(3)

${{\ddot {u}}_{j}} + a{{\dot {u}}_{j}} + u = \sum\limits_{k = 1}^N \,{{a}_{{kj}}}{{u}_{k}}(t - T)\quad (j = 1, \ldots ,N),$

где ${{a}_{{kj}}}$ – коэффициенты связей, $T > 0$ – время запаздывания. Будем предполагать, что коэффициенты связей каждого элемента одинаковы для всех $j$, т.е. ${{a}_{{kj}}} = {{a}_{{k - j}}}$ и цепочка является кольцевой: элемент с номером $j \pm N$ отождествляется с элементом с номером $j$. Систему (3) удобно интерпретировать как цепочку осцилляторов, расположенных на некоторой окружности в точках с угловыми координатами ${{x}_{k}}{\kern 1pt} (k = 1, \ldots ,N;{{x}_{{N + 1}}} = {{x}_{1}};{{x}_{0}} = {{x}_{N}};{{x}_{k}} = 2\pi {{N}^{{ - 1}}}k)$ и ${{u}_{k}}(t) = u(t,{{x}_{k}})$.

Цепочки вида (3) являются важными объектами для исследований. Им уделяется особое внимание. Такие цепочки возникают при моделировании многих прикладных задач в радиофизике [1–8], лазерной физике [9–13], математической экологии [14, 15], теории нейронных сетей [16–21], оптике [3, 8, 22, 23], биофизике [24] и др. Релаксационные колебания в связанных цепочках с финитной нелинейностью и запаздыванием для небольшого количества элементов изучались в [25, 26].

Аналитическими методами изучались, в основном, динамические свойства цепочек с небольшим количеством элементов. Здесь будем предполагать, что значение $N$ достаточно велико. Отсюда следует, что параметр $\varepsilon = 2\pi {{N}^{{ - 1}}}$ является достаточно малым

(4)

$0 < \varepsilon \ll 1.$

Тогда представляется естественным от дискретной зависимости от ${{x}_{k}}$ перейти к изучению $u(t,x)$ с непрерывным аргументом $x \in ( - \infty ,\infty )$ и условием $2\pi $-периодичности по $x$.

В этом случае система (3) трансформируется в краевую задачу вида

(5)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} + a\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + u + f\left( {u,\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right) = d\int\limits_0^{2\pi } {\kern 1pt} {\kern 1pt} \Phi (s)u(t - T,x + s)ds,$

(6)

$u(t,x + 2\pi ) \equiv u(t,x){\kern 1pt} {\kern 1pt} .$

Функция $\Phi (s)$ описывает связи между элементами. Сведение цепочки с большим количеством элементов в краевой задаче вида (5), (6) использовалось в [17, 27].

Подробно остановимся на описании основных объектов настоящей работы – цепочках с односторонними и двусторонними связями. В дискретной форме записи они имеют соответственно представления

(7)

${{\ddot {u}}_{n}}(t) + a{{\dot {u}}_{n}}(t) + {{u}_{n}}(t) + f({{u}_{n}}(t),{{\dot {u}}_{n}}(t)) = \alpha {{u}_{{n + 1}}}(t - T)$

(8)

${{\ddot {u}}_{n}}(t) + a{{\dot {u}}_{n}}(t) + {{u}_{n}}(t) + f({{u}_{n}}(t),{{\dot {u}}_{n}}(t)) = \frac{1}{2}\alpha ({{u}_{{n + 1}}}(t - T) + {{u}_{{n - 1}}}(t - T)).$

Рассмотрим задачи с непрерывной по $x$ переменной $u(t,x)$, обобщающие уравнения (7), (8). Остановимся на определении функции $\Phi (s)$ для каждого из двух видов цепочек.

Введем в рассмотрение гауссовы функции ${{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon ):$

(9)

${{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon ) = \frac{1}{{\varepsilon \sigma \sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - \frac{{{{{(s \mp \varepsilon )}}^{2}}}}{{2{{\varepsilon }^{2}}{{\sigma }^{2}}}}} \right)\quad (\sigma > 0).$

Отметим, что

$\int\limits_{ - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon )ds = 1.$

Значения ${{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon )$ сосредоточены в окрестностях точек $ \mp \varepsilon $ соответственно.

Интегральное выражение в правой части (5) удобно в каждой из рассматриваемых двух задач представить в виде:

(10)

$\int\limits_0^{2\pi } {\kern 1pt} \Phi (s)u(t - T,x + s)ds = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{F}_{ + }}(s,\varepsilon )u(t - T,x + s)ds,$

(11)

$\int\limits_0^{2\pi } {\kern 1pt} \Phi (s)u(t - T,x + s)ds = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\kern 1pt} ({{F}_{ + }}(s,\varepsilon ) + {{F}_{ - }}(s,\varepsilon ))u(t - T,x + s)ds.$

Такого типа функции ${{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon )$ использовались в [28]. Похожие, но несколько менее удобные в техническом плане выражения для ${{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon )$, в которых ${{F}_{ \pm }}(s) = {\text{const}} \times \exp ( - {{\sigma }^{2}}{\text{|}}s{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} ),$ приведены в работе [29].

Формы записей (10) и (11) предпочтительнее по трем причинам. Во-первых, для каждой фиксированной непрерывной и $2\pi $-периодической функции $u(x)$ имеют место предельные равенства

(12)

$\mathop {\lim }\limits_{\sigma \to 0} \int\limits_{ - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon )u(x + s)ds = u(x \pm \varepsilon ),$

(13)

$\mathop {\lim }\limits_{\sigma \to 0} \int\limits_{ - \infty }^\infty \frac{1}{2}({{F}_{ + }}(s,\varepsilon ) + {{F}_{ - }}(s,\varepsilon ))u(x + s)ds = \frac{1}{2}(u(x + \varepsilon ) + u(x - \varepsilon )),$

которые оправдывают названия “односторонняя” и “двусторонняя” связи.

Во-вторых, параметр $\sigma $ в формулах для ${{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon )$ имеет четкий смысл. Он определяет множество элементов цепочки, которые существенным образом влияют на каждый конкретный элемент. Это влияние тем слабее, чем дальше элементы находятся друг от друга.

В-третьих, формы записи (10) и (11) удобны с чисто технической точки зрения, поскольку имеет место равенство

$\int\limits_{ - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon )\exp (iks)ds = \exp ( \pm ik\varepsilon )\exp \left( { - \frac{{{{\sigma }^{2}}{{\varepsilon }^{2}}{{k}^{2}}}}{2}} \right),$

которое ниже будет часто использоваться.

Еще одно важное предположение касается параметра запаздывания $T$. Будем предполагать, что этот параметр является достаточно большим: для некоторого $c > 0$ выполнено условие

(14)

$T = c{{\varepsilon }^{{ - 1}}}.$

Это открывает путь к использованию специальных асимптотических методов [13–15, 30, 31].

В (5) удобно произвести нормировку времени $t \to Tt$. В результате приходим к сингулярно возмущенному уравнению

(15)

${{\varepsilon }^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \varepsilon a\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + u + f\left( {u,\varepsilon \frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right) = d\int\limits_0^{2\pi } {\kern 1pt} \Phi (s)u(t - c,x + s)ds$

с периодическими краевыми условиями

(16)

$u(t,x + 2\pi ) \equiv u(t,x).$

Отметим, что получающееся при $\varepsilon = 0$ уравнение не дает информации о поведении решений краевой задачи (15), (16).

При изучении решений из малой окрестности нулевого состояния равновесия важную роль играет линеаризованное уравнение

(17)

${{\varepsilon }^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \varepsilon a\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + u = d\int\limits_0^{2\pi } {\kern 1pt} \Phi (s)u(t - c,x + s)ds.$

Его характеристическое уравнение получаем путем подстановки в (17) решений Эйлера $\exp (ikx + \lambda t)$:

(18)

${{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }^{2}} + \varepsilon a\lambda + 1 = dg(z)\exp \left( { - \frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{z}^{2}} - c\lambda } \right),\quad z = \varepsilon k,\quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots ,$

а для функции $g(z)$ имеем равенства:

(19)

$g(z) = \exp (iz),\quad {\text{в}}\;{\text{случае}}\;{\text{(10)}},$

(20)

$g(z) = \cos z,\quad {\text{в}}\;{\text{случае}}\;{\text{(11)}}.$

В том случае, когда все корни (18) имеют отрицательные вещественные части и отделены от мнимой оси при $\varepsilon \to 0$, нулевое решение (17), (16), а значит, и в (15), (16) асимптотически устойчиво и все решения с достаточно малыми (не зависимо от $\varepsilon $) начальными условиями стремятся к нулю при $t \to \infty $. Если же найдется корень в (18) с положительной и отделенной от нуля при $\varepsilon \to 0$ вещественной частью, то нулевое решение в (17), (16) и в (15), (16) неустойчиво и задача о динамике становится нелокальной. Здесь будем рассматривать критические случаи для каждой из функций (10), (11), когда у (18) нет корней с положительной и отделенной от нуля вещественной частью, но есть корни, которые стремятся к мнимой оси при $\varepsilon \to 0$. Будет показано, что во всех рассмотренных ниже ситуациях критические случаи имеют бесконечную размерность, т.е. бесконечно много корней (18) стремится к мнимой оси при $\varepsilon \to 0$. Известные методы исследования локальной динамики в критических случаях, основанные на использовании инвариантных интегральных многообразий и нормальных форм [32–34], здесь оказываются неприменимы. Будут использованы специальные методы, разработанные в [14, 30, 31, 35–38]. В качестве основных результатов будут построены нелинейные краевые задачи – аналоги нормальных форм – квазинормальные формы (КНФ). Их нелокальная динамика описывает поведение всех решений из окрестности состояния равновесия исходной краевой задачи (15), (16). Будут выявлены сходства и отличия динамических свойств для каждого типа связей.

В следующих разделах будут последовательно изучены задачи с обоими типами функции $\Phi (s)$ (10), (11). Особо выделим роль параметра $\sigma $, фигурирующего в (9). При достаточно малых его значениях существенно усложняются критические случаи и КНФ, а значит, и динамика исходной задачи. В силу равенств (12) и (13) этот стучай имеет особое значение.

Отметим, что в цепочках без запаздывания подобного типа задачи исследовались в [39]. Присутствие большого запаздывания, с одной стороны, позволяет в явном виде получить явные выражения для критических случаев [21, 27, 40–42] и выявить тенденции изменения динамических свойств при увеличении $T$. С другой стороны, возрастает размерность критических случаев и еще более усложняются соответствующие КНФ.

Центральное место при исследовании краевой задачи (15), (16) для каждой из приведенных функций $g(z)$ занимает линейный анализ. Этому посвящен следующий раздел.

1. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ

Рассмотрим вопрос о корнях характеристического уравнения (18) с функциями $g(z)$ (19) и (20). Напомним, что критические случаи в задачах об устойчивости в (17), (16) реализуются, когда в уравнении (18) при некотором $k$ есть корень с нулевой или достаточно близкой к нулю вещественной частью. В связи с этим для некоторого вещественного значения $\omega $ положим в (18) $\lambda = i\omega {{\varepsilon }^{{ - 1}}}$. В результате получим уравнение

(21)

$1 - {{\omega }^{2}} + ia\omega = dg(z)\exp \left( { - \frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{z}^{2}} - i\omega {{\varepsilon }^{{ - 1}}}} \right),\quad z = \varepsilon k,\quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

Через $p(\omega )$ обозначим модуль левой части (21)

$p(\omega ) = [(1 - {{\omega }^{2}}{{)}^{2}} + {{a}^{2}}{{\omega }^{2}}{{]}^{{1/2}}}$

и пусть

${{p}_{0}} = \mathop {\min }\limits_{ - \infty < \omega < \infty } p(\omega ) = p({{\omega }_{0}}).$

Здесь

${{\omega }_{0}} = \left( \begin{gathered} 0,\quad {\text{если}}\quad {{a}^{2}}\; \geqslant \;{\text{2}}, \hfill \\ {{\left( {1 - \frac{{{{a}^{2}}}}{2}} \right)}^{{1/2}}},\quad {\text{если}}\quad {{a}^{2}} < 2, \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad {{p}_{0}} = \left( \begin{gathered} 1,\quad {\text{если}}\quad {{a}^{2}}\; \geqslant \;2, \hfill \\ \frac{{{{a}^{2}}}}{2}{{(4 - {{a}^{2}})}^{{1/2}}},\quad {\text{если}}\quad {{a}^{2}} < 2. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Отметим, что ${{p}_{0}} = 0$ при $a = 0$. Положим $P(\omega ) = 1 - {{\omega }^{2}} + ia\omega $ и пусть $P(\omega ) = p(\omega )\exp (i\Omega (\omega )).$ При $\omega = 0$ имеем $\Omega (0) = 0,$ $\Omega {\kern 1pt} '(0) = a,$ $p{\kern 1pt} '(0) = 0$.

Существенную роль при исследовании корней (18) играет параметр $\sigma $. Отдельно рассмотрим два принципиально различных случая. Первый из них реализуется, когда

(22)

$\sigma > 0$

и $\sigma $ не зависит от малых параметров.

Второй случай существенно сложнее. Он выделяется условием достаточной малости этого параметра, т.е. предполагаем, что для некоторого фиксированного ${{\sigma }_{1}} > 0$ выполнено условие

(23)

$\sigma = \varepsilon {{\sigma }_{1}}.$

Еще раз отметим, что в силу предельных равенств (12) и (13) этот случай особо интересен.

1.1. Результаты линейного анализа в случае фиксированного значения $\sigma $

Пусть выполнено условие (22). При фиксированном $z$ и при условии

$\left| {dg(z)\exp \left( { - \frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{z}^{2}}} \right)} \right| < {{p}_{0}}$

уравнение (21) вещественных корней не имеет. Положим

$\gamma (z) = \left| {g(z)\exp \left( { - \frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{z}^{2}}} \right)} \right|$

и пусть

(24)

${{\gamma }_{0}} = \mathop {\max }\limits_{ - \infty < z < \infty } \gamma (z) = \gamma ({{z}_{0}}).$

Из условия (22) вытекает, что ${{z}_{0}} = 0$ и ${{\gamma }_{0}} = 1$. При условии ${\text{|}}d{\kern 1pt} {\text{|}}{{\gamma }_{0}} < {{p}_{0}}$ и при достаточно малых $\varepsilon $ все корни уравнения (18) имеют отрицательные и отделенные от нуля при $\varepsilon \to 0$ вещественные части. При ${\text{|}}d{\kern 1pt} {\text{|}}{{\gamma }_{0}} > {{p}_{0}}$ найдется такое ${{z}_{0}}$, что уравнение (18) имеет корень с положительной и отделенной от нуля при $\varepsilon \to 0$ вещественной частью.

Значение параметра ${{d}_{0}}$, который выделяет критический в задаче об устойчивости (17), (16) случай, определяется равенством

${{d}_{0}} = {{p}_{0}}\quad {\text{при}}\quad {{d}_{0}} > 0\quad {\text{и}}\quad {{d}_{0}} = - {{p}_{0}}\quad {\text{при}}\quad {{d}_{0}} < 0.$

В связи с этим ниже предполагаем, что для произвольного фиксированного значения ${{d}_{1}}$ параметр $d$ определяем равенством

(25)

$d = {{d}_{0}} + {{\varepsilon }^{2}}{{d}_{1}}.$

При этом условии рассмотрим вопрос об асимптотике всех тех корней характеристического уравнения (18), вещественные части которых стремятся к нулю при $\varepsilon \to 0$. Сразу отметим, что таких корней оказывается бесконечно много, поэтому критический случай имеет бесконечную размерность.

Введем обозначения. Через ${{\theta }_{\omega }} = {{\theta }_{\omega }}(\varepsilon ) \in [0,2\pi )$ будем обозначать такое выражение, которое дополняет до целого кратного $2\pi {{c}^{{ - 1}}}$ величину ${{\omega }_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$. При ${{\omega }_{0}} = 0$ считаем, что ${{\theta }_{\omega }} = 0$. Через ${{\theta }_{z}} = {{\theta }_{z}}(\varepsilon ) \in [0,1)$ подобным образом ниже будем обозначать такое выражение, которое дополняет до целого значение ${{z}_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$. При ${{z}_{0}} = 0$ считаем, что ${{\theta }_{z}} = 0$.

Сформулируем утверждения об асимптотике корней (18) в случаях (19), (20).

Лемма 1.1. Пусть

(26)

${{a}^{2}} > 2,\quad {{d}_{0}} = {{p}_{0}}.$

Тогда ${{\omega }_{0}} = 0$ и для корней ${{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon ){\kern 1pt} (k,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )$ уравнения (18), вещественные части которых стремятся к нулю при $\varepsilon \to 0$ выполнены асимптотические равенства

(27)

${{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon ) = 2\pi i{{c}^{{ - 1}}}n + \varepsilon {{\lambda }_{{1kn}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }_{{2kn}}} + \ldots ,$

где в случае (19)

${{\lambda }_{{1kn}}} = {{c}^{{ - 1}}}i(k - a{{c}^{{ - 1}}}2\pi n),$

${{\lambda }_{{2kn}}} = {{c}^{{ - 3}}}\left( {1 - \frac{1}{2}{{a}^{2}}} \right){{(2\pi n)}^{2}} + i{{c}^{{ - 2}}}a(k - {{c}^{{ - 1}}}a2\pi n) + {{c}^{{ - 1}}}{{d}_{1}} - {{c}^{{ - 1}}}{{\sigma }^{2}}{{k}^{2}},$

а в случае (20)

${{\lambda }_{{1kn}}} = {{c}^{{ - 2}}}ia2\pi n,$

${{\lambda }_{{2kn}}} = {{c}^{{ - 3}}}\left( {1 - \frac{1}{2}{{a}^{2}}} \right){{(2\pi n)}^{2}} + i{{c}^{{ - 3}}}a2\pi n + {{c}^{{ - 1}}}{{d}_{1}} - {{c}^{{ - 1}}}\left( {\frac{1}{2} + {{\sigma }^{2}}} \right){{k}^{2}}.$

В случае, когда ${{a}^{2}} > 2$ и ${{d}_{0}} = - {{p}_{0}} = - 1$ в предыдущих формулах выражение $2\pi in$ меняется на $i\pi (2n + 1)$. В этом случае удобно все предыдущие формулы переписать, акцентируя внимание на то, что, в отличие от приведенных в лемме 1.1 равенств, присутствует уже нечетно кратная $\pi $ величина $\pi (2n + 1)$:

${{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon ) = \pi i{{c}^{{ - 1}}}(2n + 1) + \varepsilon {{\lambda }_{{1kn}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }_{{2kn}}} + \ldots ,$

где в случае (19)

${{\lambda }_{{1kn}}} = {{c}^{{ - 1}}}i(k - a{{c}^{{ - 1}}}\pi (2n + 1)),$

${{\lambda }_{{2kn}}} = {{c}^{{ - 3}}}\left( {1 - \frac{1}{2}{{a}^{2}}} \right){{(\pi (2n + 1))}^{2}} + i{{c}^{{ - 2}}}a(k - {{c}^{{ - 1}}}a\pi (2n + 1)) + {{c}^{{ - 1}}}{{d}_{1}} - {{c}^{{ - 1}}}{{\sigma }^{2}}{{k}^{2}},$

а в случае (20)

${{\lambda }_{{1kn}}} = {{c}^{{ - 2}}}ia\pi (2n + 1),$

${{\lambda }_{{2kn}}} = {{c}^{{ - 3}}}\left( {1 - \frac{1}{2}{{a}^{2}}} \right){{(\pi (2n + 1))}^{2}} + i{{c}^{{ - 3}}}a\pi (2n + 1) + {{c}^{{ - 1}}}{{d}_{1}} - {{c}^{{ - 1}}}\left( {\frac{1}{2} + {{\sigma }^{2}}} \right){{k}^{2}}.$

Лемма 1.2. Пусть

(28)

$0 < {{a}^{2}} < 2.$

Тогда ${{\omega }_{0}} > 0$ и для корней ${{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon ){\kern 1pt} (k,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )$ уравнения (18), вещественные части которых стремятся к нулю при $\varepsilon \to 0$, выполнены асимптотические равенства

(29)

${{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon ) = i\frac{{{{\omega }_{0}}}}{\varepsilon } + {{\lambda }_{{0n}}} + \varepsilon {{\lambda }_{{1kn}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }_{{2kn}}} + \ldots ,$

где

${{\lambda }_{{0n}}} = i{{c}^{{ - 1}}}[2\pi n + {{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}}],\quad \varkappa = {{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}),$

в случае (19)

(30)

$\begin{gathered} {{\lambda }_{{1kn}}} = {{c}^{{ - 1}}}(k + {{\varkappa }^{{ - 1}}}(2{{\omega }_{0}} - ia)){{\lambda }_{{0n}}}, \\ {{\lambda }_{{2kn}}} = {{c}^{{ - 1}}}\left[ {\left( {{{\varkappa }^{{ - 1}}} - \frac{1}{2}{{{( - 2{{\omega }_{0}} + ia)}}^{2}}{{\varkappa }^{{ - 2}}}} \right)\lambda _{{0n}}^{2}} \right. + {{d}_{1}}p_{0}^{{ - 1}} - {{\sigma }^{2}}{{k}^{2}} - \\ \, - {{(c\varkappa )}^{{ - 1}}}2i{{\omega }_{0}}(ik + {{\varkappa }^{{ - 1}}}(2{{\omega }_{0}} - ia){{\lambda }_{{0n}}}) - \left. {\mathop {i{{\varkappa }^{{ - 1}}}a{{\lambda }_{{0n}}}}\limits_{_{{_{{}}}}} } \right]. \\ \end{gathered} $

В случае (20)

(31)

$\begin{gathered} {{\lambda }_{{1kn}}} = i{{c}^{{ - 1}}}{{\varkappa }^{{ - 1}}}(2{{\omega }_{0}} - ia){{\lambda }_{{0n}}}, \\ {{\lambda }_{{2kn}}} = {{c}^{{ - 1}}}\left[ {\left( {{{\varkappa }^{{ - 1}}} - \frac{1}{2}{{{( - 2{{\omega }_{0}} + ia)}}^{2}}{{\varkappa }^{{ - 2}}}} \right)\lambda _{{0n}}^{2}} \right. + {{d}_{1}}p_{0}^{{ - 1}} - \\ \, - {{\sigma }^{2}} + \frac{1}{2}{{k}^{2}} - {{(c\varkappa )}^{{ - 1}}}2i{{\omega }_{0}}{{\varkappa }^{{ - 1}}}(2{{\omega }_{0}} - ia){{\lambda }_{{0n}}} - \left. {\mathop {i{{\varkappa }^{{ - 1}}}a{{\lambda }_{{0n}}}}\limits_{_{{}}} } \right]. \\ \end{gathered} $

Отметим, что выполняются условия

(32)

${\text{Re}}\left( {{{\varkappa }^{{ - 1}}} - \frac{1}{2}{{{( - 2{{\omega }_{0}} + ia)}}^{2}}{{\varkappa }^{{ - 2}}}} \right) < 0,\quad \operatorname{Re} {{\lambda }_{{1kn}}} = 0.$

Выполнение первого из условий (32) очевидно. Подробнее остановимся на обосновании второго равенства в (32). Достаточно доказать, что чисто мнимым является выражение

$(2{{\omega }_{0}} - ia){{\varkappa }^{{ - 1}}}.$

В этом случае $P(\omega ) = p(\omega )\exp (i\Omega (\omega ))$ и $P{\kern 1pt} '(\omega ) = (p{\kern 1pt} '(\omega ) + i\Omega {\kern 1pt} '(\omega )p(\omega ))\exp (i\Omega (\omega ))$, а значит,

$P{\kern 1pt} {\text{'}}{\kern 1pt} (\omega ) = i\Omega {\kern 1pt} '({{\omega }_{0}}){{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}) = - 2{{\omega }_{0}} + ia.$

Отсюда заключаем, что $( - 2{{\omega }_{0}} + ia){{\varkappa }^{{ - 1}}} = i\Omega {\kern 1pt} '({{\omega }_{0}}) = 2i{{a}^{{ - 1}}}$.

Корни ${{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon )$ характеристического уравнения (18) позволяют определить решения линейной краевой задачи (17), (16)

${{u}_{{kn}}}(t,x,\varepsilon ) = \exp (ikx + {{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon )t),$

а значит, и формальную совокупность решений

(33)

$u(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} ({{\xi }_{{kn}}}{{u}_{{kn}}}(t,x,\varepsilon ) + {{\bar {\xi }}_{{kn}}}{{\bar {u}}_{{kn}}}(t,x,\varepsilon )),$

где ${{\xi }_{{kn}}}$ – произвольные комплексные постоянные. В каждом из рассмотренных ниже случаев соответствующие выражения вида (33) будут преобразованы так, чтобы в удобной форме можно было исследовать асимптотику решений нелинейной краевой задачи (15), (16).

1.2. Случай малых значений $\sigma $

Ниже будут рассмотрены важные вопросы о динамических свойствах краевой задачи (15), (16) при малых значениях $\sigma $. Будем предполагать, что для некоторого фиксированного значения ${{\sigma }_{1}}$ выполнено равенство

$\sigma = \varepsilon {{\sigma }_{1}}.$

Интерес к этому случаю обусловлен тем, что, во-первых, как было показано выше при малых $\sigma $ соответствующие интегральные выражения в краевой задаче (15), (16) близки к записи в виде конечной разности по пространственной переменной.

Во-вторых, из (18) следует, что величина $\exp ( - {{\sigma }^{2}}{{z}^{2}}{\text{/}}2)$ в правой части (18) является малой, а значит, критические случаи определяются периодической функцией $g(z)$. Тем самым критические значения ${{z}_{0}}$ в (24) находятся заведомо не единственным образом. Таких значений, очевидно, бесконечно много. Это говорит о том, что квазинормальная форма становится существенно сложнее, а динамические свойства интереснее и разнообразнее.

2. ЦЕПОЧКИ С ОДНОСТОРОННЕЙ СВЯЗЬЮ

Отдельно рассмотрим случаи, когда ${{a}^{2}} > 2$, ${{a}^{2}} < 2$, ${{d}_{0}} > 0$ и ${{d}_{0}} < 0$.

2.1. Случай ${{a}^{2}} > 2$ и ${{d}_{0}} > 0$

Рассмотрим краевую задачу (15), (16) в предположении, что выполнено условие (22) и равенство

(34)

$g(z) = \exp (iz).$

Пусть сначала верны неравенства ${{a}^{2}} > 2$ и ${{d}_{0}} > 0$. Тогда получаем, что для фигурирующих в (26), (27) величин выполнены равенства

(35)

$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\gamma }_{0}} = {{p}_{0}} = {{d}_{0}} = 1,\quad d = 1 + {{\varepsilon }^{2}}{{d}_{1}},\quad {{z}_{0}} = 0\quad ({{\theta }_{z}} = 0).} \end{array}$

Рассмотрим формальное выражение (33), которое имеет вид

$u(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{\xi }_{{kn}}}\exp [ikx + i(2\pi n{{c}^{{ - 1}}} + \varepsilon k - \varepsilon a)t + ({{\lambda }_{{2kn}}} + O(\varepsilon )){{\varepsilon }^{2}}t].$

Положим в нем

${{x}_{1}} = (1 - \varepsilon {{c}^{{ - 3}}}a)t,\quad {{x}_{2}} = x + \varepsilon {{c}^{{ - 2}}}t,\quad \tau = {{\varepsilon }^{2}}t$

и ${{\xi }_{{kn}}}(\tau ) = {{\xi }_{{kn}}}\exp [({{\lambda }_{{2kn}}} + O(\varepsilon ))\tau ]$. В результате получаем, что

$u(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{\xi }_{{kn}}}(\tau )\exp (ik{{x}_{2}} + 2\pi i{{c}^{{ - 1}}}n{{x}_{1}}) \equiv \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}),$

т.е. ${{\xi }_{{kn}}}(\tau )$ – коэффициенты Фурье $c$-периодической по ${{x}_{1}}$ и $2\pi $-периодической по ${{x}_{2}}$ функции $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$.

Решение нелинейной краевой задачи (15), (16) ищем в виде формального ряда

(36)

$u(t,x) = \varepsilon \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + \ldots ,$

где $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – неизвестные функции, зависимость от ${{x}_{1}}$ – $c$-периодическая, а от ${{x}_{2}}$ – $2\pi $-периодическая. Подставим (36) в (15) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon $. При первой степени $\varepsilon $ получаем верное равенство, а собирая коэффициенты при ${{\varepsilon }^{3}}$, приходим к уравнению

(37)

$\frac{{\partial \xi }}{{\partial \tau }} = \frac{1}{2}{{c}^{{ - 1}}}({{a}^{2}} - 2)\frac{{{{\partial }^{2}}\xi }}{{\partial x_{1}^{2}}} + {{\sigma }^{2}}{{c}^{{ - 1}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\xi }}{{\partial x_{2}^{2}}} - {{a}^{2}}{{c}^{{ - 2}}}\frac{{\partial \xi }}{{\partial {{x}_{1}}}} - a{{c}^{{ - 2}}}\frac{{\partial \xi }}{{\partial {{x}_{2}}}} + {{c}^{{ - 1}}}{{d}_{1}} - {{c}^{{ - 1}}}{{b}_{1}}{{\xi }^{3}},$

для которого выполнены краевые условия

(38)

$\xi (\tau ,{{x}_{1}} + c,{{x}_{2}}) \equiv \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}} + 2\pi ).$

Сформулируем итоговый результат.

Теорема 2.1. Пусть выполнены равенства (34), ${{d}_{0}} = 1$, неравенства (22) и ${{a}^{2}} > 2$. Пусть $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – ограниченное при $\tau \to \infty ,$ ${{x}_{1}} \in [0,c],$ ${{x}_{2}} \in [0,2\pi ]$ решение краевой задачи (37), (38). Тогда функция $u(t,x) = \varepsilon \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ удовлетворяет краевой задаче (15), (16) c точностью до $o({{\varepsilon }^{3}})$.

2.2. Случай ${{a}^{2}} > 2$ и ${{d}_{0}} < 0$

В данном разделе ${{d}_{0}} = - 1$, а все остальные величины те же, что и в предыдущем разделе. Повторяя приведенные выше построения, получаем формулу для тех решений линейной краевой задачи (17), (16), которые базируются на “критических” решениях Эйлера:

$u(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{\xi }_{{kn}}}(\tau )\exp [ikx + i(\pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}} + \varepsilon k - \varepsilon a\pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}})t] \equiv \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}),$

где ${{\xi }_{{kn}}}(\tau )$ – коэффициенты Фурье $c$-антипериодической по ${{x}_{1}}$ и $2\pi $-периодической по ${{x}_{2}}$ функции $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$.

Решения нелинейной краевой задачи (15), (16) опять ищем в виде (36). В итоге для $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ получаем уравнение

(39)

с краевыми условиями

(40)

$\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}} + 2\pi ) \equiv \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv - \xi (\tau ,{{x}_{1}} + c,{{x}_{2}}).$

Сформулируем результат.

Теорема 2.2. Пусть выполнены равенства (34), ${{d}_{0}} = - 1$ и неравенства (22) и ${{a}^{2}} > 2$. Пусть $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – ограниченное при $\tau \to \infty ,$ ${{x}_{1}} \in [0,c],$ ${{x}_{2}} \in [0,2\pi ]$ решение краевой задачи (39), (40). Тогда функция $u(t,x) = \varepsilon \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ удовлетворяет краевой задаче (15), (16) c точностью до $o({{\varepsilon }^{3}})$.

Таким образом, показано, что при сформулированных в теоремах 1 и 2 условиях краевые задачи (37), (38) и (39), (40) являются квазинормальными формами для краевой задачи (15), (16). Их нелокальные решения определяют поведение решений (15), (16) в малой окрестности состояния равновесия. Отметим, что динамика краевой задачи (37), (38) тривиальна: все ее решения при $t \to \infty $ стремятся к одному из трех стационаров – либо к нулю, либо к значениям $ \pm {{( - {{d}_{1}}b_{1}^{{ - 1}})}^{{1/2}}}.$ Решения краевой задачи (39), (40) менее тривиальны. В ней могут быть, например, устойчивые неоднородные состояния равновесия.

2.3. Асимптотика быстро осциллирующих решений

При условии $0 < {{a}^{2}} < 2$ динамические свойства сложнее. Главная часть корней характеристического уравнения (18) близка к $i{{\omega }_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}}$, т.е. является достаточно большой. В связи с этим колебания с такими частотами естественно назвать быстро осциллирующими.

Из результатов разд. 1 получаем соотношения:

${{\omega }_{0}} = {{\left( {1 - \frac{{{{a}^{2}}}}{2}} \right)}^{{1/2}}},\quad {{p}_{0}} = \frac{{{{a}^{2}}}}{2}{{(4 - {{a}^{2}})}^{{1/2}}},\quad {{z}_{0}} = 0,\quad {{\theta }_{z}} = 0,\quad {{\gamma }_{0}} = 1.$

Достаточно ограничиться случаем, когда коэффициент $d$ положителен. Поэтому ${{d}_{0}} = {{p}_{0}}$.

Согласно лемме 2 в рассматриваемом случае (35) для корней ${{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon )$ выполнены равенства (29). Корням ${{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon )$ отвечают решения Эйлера линейной задачи (17), (16)

${{u}_{{kn}}}(t,x,\varepsilon ) = \exp (ikx + {{\lambda }_{{kn}}}(\varepsilon )t).$

Учитывая равенства (29), функцию ${{u}_{{kn}}}(t,x,\varepsilon )$ можно записать в виде

${{u}_{{kn}}}(t,x,\varepsilon ) = E({{t}_{1}})\exp (2\pi in{{c}^{{ - 1}}}{{x}_{1}} + ik{{x}_{2}})\exp (({{\lambda }_{{2kn}}} + O(\varepsilon )\tau ),$

где $E({{t}_{1}}) = \exp (i{{t}_{1}}),$

(41)

${{t}_{1}} = [{{\omega }_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}}{{c}^{{ - 1}}} - {{R}_{0}}{{c}^{{ - 1}}}({{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}}{{c}^{{ - 1}}})(2i{{\omega }_{0}} + a)]t,$

(42)

${{x}_{1}} = (1 - \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}})t,\quad {{x}_{2}} = x + \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}t,\quad \tau = {{\varepsilon }^{2}}t,$

(43)

${{R}_{0}} = p_{0}^{{ - 1}}\exp (i{{\Omega }_{0}})(2i{{\omega }_{0}} + a).$

Выше было показано, что значение ${{R}_{0}}$ вещественно ($\mathop {{\text{Im}}}\nolimits_ {{R}_{0}} = 0).$ Отсюда получаем, что

$\sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{\xi }_{{kn}}}{{u}_{{kn}}}(t,x,\varepsilon ) = E({{t}_{1}})\sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{\xi }_{{kn}}}(\tau )\exp (2\pi in{{c}^{{ - 1}}}{{x}_{1}} + ik{{x}_{2}}) = E({{t}_{1}})\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}).$

Здесь ${{\xi }_{{kn}}}$ – произвольные комплексные постоянные, а ${{\xi }_{{kn}}}(\tau ) = {{\xi }_{{kn}}}\exp (({{\lambda }_{{2kn}}} + O(\varepsilon )\tau ).$ Функции ${{\xi }_{{kn}}}(\tau )$ являются коэффициентами Фурье $c$-периодической по ${{x}_{1}}$ и $2\pi $-периодической по ${{x}_{2}}$ функции $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$. Решения нелинейной краевой задачи (15), (16) ищем в виде формального ряда

(44)

$u(t,x) = \varepsilon (\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})E({{t}_{1}}) + \bar {c}c) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}({{t}_{1}},\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + \ldots ,$

в котором зависимости от ${{t}_{1}}$, ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ – периодические. Здесь и ниже через $\bar {c}c$ обозначаем величину, комплексно сопряженную к предыдущему слагаемому.

Введем обозначения. Положим

${{L}_{0}}(\xi ) \equiv A\frac{{{{\partial }^{2}}\xi }}{{\partial x_{1}^{2}}} + B\frac{{\partial \xi }}{{\partial {{x}_{1}}}} + C\frac{{\partial \xi }}{{\partial {{x}_{2}}}} + D\xi + {{\sigma }^{2}}{{c}^{{ - 1}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\xi }}{{\partial x_{2}^{2}}},$

где

$A = {{c}^{{ - 1}}}\left[ {\frac{1}{2}{{{( - 2{{\omega }_{0}} + ia)}}^{2}}{{\varkappa }^{{ - 2}}} - {{\varkappa }^{{ - 1}}}} \right],$

$B = - [2{{c}^{{ - 1}}}A({{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}}) + {{(c\varkappa )}^{{ - 1}}}2i{{\omega }_{0}}{{\varkappa }^{{ - 1}}}(2{{\omega }_{0}} - ia) + i{{\varkappa }^{{ - 1}}}a],$

$C = - 2i{{(c\varkappa )}^{{ - 1}}}{{\omega }_{0}},$

$D = - A{{c}^{{ - 2}}}{{({{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}})}^{2}} + {{d}_{1}}{{(c{{p}_{0}})}^{{ - 1}}} - i{{\varkappa }^{{ - 1}}}(2{{c}^{{ - 1}}}{{\omega }_{0}} + a),$

${{L}_{1}}(u) \equiv \omega _{0}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial t_{1}^{2}}} + {{a}_{0}}\omega \frac{{\partial u}}{{\partial {{t}_{1}}}} + u - {{p}_{0}}u({{t}_{1}} - c({{\omega }_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}}{{c}^{{ - 1}}}),\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}),$

${{\beta }_{1}} = {{b}_{1}} + i{{\omega }_{0}}{{b}_{2}} - \omega _{0}^{2}{{b}_{3}} - i\omega _{0}^{3}{{b}_{4}},$

${{\beta }_{2}} = {{b}_{1}} + 3i{{\omega }_{0}}{{b}_{2}} - 9\omega _{0}^{2}{{b}_{3}} - 27i\omega _{0}^{3}{{b}_{4}}.$

Просто проверяется, что ${\text{Re}}A > 0.$ Подставим (44) в (15). Совершая затем стандартные действия, получаем соотношение

(45)

${{L}_{1}}({{u}_{3}}) = E({{t}_{1}})\left[ { - \frac{{\partial \xi }}{{\partial \tau }} + {{L}_{0}}(\xi ) + 3{{c}^{{ - 1}}}{{\beta }_{1}}\xi {\kern 1pt} {\text{|}}\xi {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}} \right] + \bar {c}c + {{c}^{{ - 1}}}{{\beta }_{2}}{{E}^{3}}({{t}_{1}}){{\xi }^{3}} + \bar {c}c.$

Для разрешимости (45) в указанном классе функций необходимо, чтобы первое (и второе – сопряженное к нему) слагаемое обратилось в нуль, т.е. чтобы выполнялось равенство

(46)

$\frac{{\partial \xi }}{{\partial \tau }} = {{L}_{0}}(\xi ) + 3{{c}^{{ - 1}}}{{\beta }_{1}}\xi {\kern 1pt} {\text{|}}\xi {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}.$

Напомним, что функция $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ удовлетворяет краевым условиям

(47)

$\xi (\tau ,{{x}_{1}} + c,{{x}_{2}}) \equiv \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}} + 2\pi ).$

При выполнении равенства (46) получаем, что ${{u}_{3}} = {{u}_{{30}}}$ и

${{u}_{{30}}} = {{\beta }_{2}}{{[ - 3\omega _{0}^{2} + i{{\omega }_{0}}a + 1 - {{p}_{0}}\exp ( - 3i{{\Omega }_{0}})]}^{{ - 1}}}{{E}^{3}}({{t}_{1}}) + \bar {c}c.$

Введем еще одно обозначение. Через ${{\varepsilon }_{n}}({{\theta }_{0}})$ будем обозначать такую последовательность ${{\varepsilon }_{n}} = {{\varepsilon }_{n}}({{\theta }_{0}})$, для которой выполнены условия

${{\varepsilon }_{n}}({{\theta }_{0}}) \to 0\quad (n \to \infty )\quad {\text{и}}\quad \theta ({{\varepsilon }_{n}}({{\theta }_{0}})) = {{\theta }_{0}}.$

Сформулируем итоговый результат.

Теорема 2.3. Пусть $0 < {{a}^{2}} < 2$ и ${{d}_{0}} = {{p}_{0}}$. Фиксируем произвольно ${{\theta }_{0}} \in [0,2\pi )$ и пусть $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – ограниченное при $\tau \to \infty ,$ ${{x}_{1}} \in [0,c],$ ${{x}_{2}} \in [0,2\pi ]$ решение краевой задачи (46), (47). Тогда при $\varepsilon = {{\varepsilon }_{n}}({{\theta }_{0}})$ функция

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon (\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})E({{t}_{1}}) + \bar {c}c) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{{30}}}({{t}_{1}},\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$

удовлетворяет при условиях (41)–(43) и при $\theta = {{\theta }_{0}}$ краевой задаче (15), (16) c точностью до $o({{\varepsilon }^{3}})$.

На основании этой теоремы заключаем, что при сформулированных условиях краевая задача (46), (47) играет роль квазинормальной формы для исходной краевой задачи (15), (16). Отметим, что динамические свойства этой краевой задачи с комплексными коэффициентами существенно сложнее (см., например, [43]) чем у краевых задач (37), (38) и (39), (40) с вещественными коэффициентами. В частности, в (46), (47) могут наблюдаться такие структуры, как ведущие центры, спиральные волны и др.

2.4. Построение квазинормальной формы при малых значениях параметра $\sigma $

Здесь предполагаем, что для параметра $\sigma $ выполнено условие (23). Функция $\gamma (z)$ с точностью до $O({{\varepsilon }^{2}})$ имеет вид $\gamma (z) = \left| {\exp (iz)} \right| \equiv 1$, поэтому ${{\gamma }_{0}} = 1$, а значение ${{z}_{0}}$ – произвольно. В этом состоит основное отличие от условий разделов 2.2 и 2.3.

Ограничимся рассмотрением наиболее важного случая, когда $0 < {{a}^{2}} < 2$. Для величин ${{\omega }_{0}}$ и ${{p}_{0}}$ верны формулы из разд. 1.

Сформулируем результат об асимптотике корней характеристического уравнения (18) в случае (23), (28) и (35).

Фиксируем произвольно значение $z$ и рассмотрим все те целые $K$, для которых $K = \{ z{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{z}} + k,k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \} $. Просто проверяется то, что для каждого $z$ характеристическое уравнение (18) имеет корни ${{\lambda }_{{zkn}}}(\varepsilon ){\kern 1pt} (k,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )$ с асимптотикой

(48)

${{\lambda }_{{zkn}}}(\varepsilon ) = i{{\omega }_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + i{{c}^{{ - 1}}}{{R}_{{zn}}} + \varepsilon {{\lambda }_{{1zkn}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }_{{2zkn}}} + \ldots ,$

где

${{R}_{{zn}}} = z + 2\pi n + {{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}},$

(49)

$\begin{gathered} {{\lambda }_{{1zkn}}} = (i({{\theta }_{z}} + k) + i{{R}_{0}}{{R}_{{zn}}}){{c}^{{ - 1}}}, \\ {{R}_{0}} = (2{{\omega }_{0}} - ia)({{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}{{))}^{{ - 1}}} = - 2{{a}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $

${{\lambda }_{{2zkn}}} = \frac{1}{2}{{(c{{\lambda }_{{1zkn}}} - i({{\theta }_{z}} + k))}^{2}} + {{d}_{1}}{{c}^{{ - 1}}}p_{0}^{{ - 1}} + {{c}^{{ - 1}}}( - {{c}^{{ - 2}}}R_{{zn}}^{2} + (2i{{\omega }_{0}} + a){{\lambda }_{{1zkn}}})({{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}{{))}^{{ - 1}}}.$

Обратим внимание, что в формулах (48), (49) значение $z$ – любое вещественное. Фиксируем произвольно $\Delta > 0$ и ${{z}^{0}}$. Рассмотрим множество чисел

${{z}_{m}} = \left\{ {{{z}^{0}} + \frac{{2\pi }}{\Delta }m;\;m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots } \right\}.$

В предыдущих разделах со значением ${{z}_{0}}$ была связана совокупность целых чисел ${{K}_{{{{z}_{0}}}}} = \{ {{z}_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{z}} + k,k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \} $. Здесь аналогично определим совокупности целых чисел ${{K}_{{zm}}}$, которые связаны со значениями ${{z}_{m}}$ следующими соотношениями:

${{K}_{{zm}}} = \{ {{z}^{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{{{{z}^{0}}}}} + {{z}_{m}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{{zm}}} + k;\;k,m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \} .$

Заметим, что использование для разных ${{z}_{m}}$ различных значений ${{\theta }_{{zm}}}$ неудобно. Поэтому введем такое значение ${{\theta }_{\Delta }} = {{\theta }_{\Delta }}(\varepsilon ) \in [0,1)$, которое дополняет до целого величину $2\pi (\Delta {{\varepsilon }^{{ - 1}}})$. Тогда в качестве ${{\theta }_{{zm}}}$ можно взять $m{{\theta }_{\Delta }}$. Здесь уже не требуем, чтобы эта величина лежала в полуинтервале $[0,1)$.

В (48), (49) предполагаем, что значения $z$ пробегают всю совокупность значений для всех $m$ множества ${{K}_{{zm}}}.$

Подставим соответствующие значения $z$ в (48), (49). Тогда получим асимптотическое представление для некоторой совокупности ${{\lambda }_{{mkn}}}(\varepsilon )$ корней уравнения (18), зависящих от произвольного параметра $\Delta $

(50)

${{\lambda }_{{mkn}}}(\varepsilon ) = i{{\omega }_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + i{{c}^{{ - 1}}}{{R}_{{mn}}} + \varepsilon {{\lambda }_{{1mkn}}} + {{\varepsilon }^{2}}{{\lambda }_{{2mkn}}} + \ldots ,$

где

${{R}_{{mn}}} = {{z}^{0}} + 2\pi {{\Delta }^{{ - 1}}}m + 2\pi n + {{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}},$

$c{{\lambda }_{{1mkn}}} = i({{\theta }_{{{{z}^{0}}}}} + m{{\theta }_{\Delta }} + k) + i{{R}_{0}}{{R}_{{mn}}},$

$c{{\lambda }_{{2mkn}}} = \frac{1}{2}{{(c{{\lambda }_{{1mkn}}} - i({{\theta }_{{{{z}^{0}}}}} + m{{\theta }_{\Delta }} + k))}^{2}} + {{d}_{1}}p_{0}^{{ - 1}} + ((2i{{\omega }_{0}} + a){{\lambda }_{{1mkn}}} - {{c}^{{ - 2}}}R_{{mn}}^{2})({{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}{{))}^{{ - 1}}}.$

Каждому корню (50) отвечает решение Эйлера краевой задачи (17), (16)

${{u}_{{mnk}}}(t,x,\varepsilon ) = \exp [i({{z}^{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{{{{z}^{0}}}}} + 2\pi m{{(\Delta \varepsilon )}^{{ - 1}}} + m{{\theta }_{\Delta }} + k)x + {{\lambda }_{{mkn}}}(\varepsilon )t].$

Формальное выражение для произвольной линейной комбинации таких решений

$u(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{m,k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{\xi }_{{mkn}}}\exp [i({{z}^{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{{{{z}^{0}}}}} + 2\pi m{{(\Delta \varepsilon )}^{{ - 1}}} + m{{\theta }_{\Delta }} + k)x + {{\lambda }_{{mkn}}}(\varepsilon )t]$

можно записать в виде

$u(t,x) = E(t,x)\sum\limits_{m,k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} {{\xi }_{{mkn}}}(\tau )\exp [i2\pi n{{x}_{1}} + ik{{x}_{2}} + im{{x}_{3}}],$

где

$\tau = {{\varepsilon }^{2}}t,\quad {{x}_{1}} = (1 + \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}})t,\quad {{x}_{2}} = x + \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}t,$

${{x}_{3}} = (2\pi {{(\Delta \varepsilon )}^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\Delta }})(x + \varepsilon (1 + \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}})2\pi {{\Delta }^{{ - 1}}}t),$

${{\xi }_{{mkn}}}(\tau ) = \exp (({{\lambda }_{{2mkn}}} + O(\varepsilon ))\tau ),$

$E(t,x) = \exp [i({{\omega }_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + ({{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}}{{c}^{{ - 1}}} + {{\theta }_{{{{z}^{0}}}}})(1 + \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}}))t + i({{z}^{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{{{{z}^{0}}}}})x].$

Отсюда получаем, что

$u(t,x) = E(t,x)\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}),$

а ${{\xi }_{{mkn}}}(\tau )$ – коэффициенты Фурье функции $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$.

Решения нелинейной краевой задачи (15), (16) ищем тогда в виде

(51)

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon (\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})E(t,x) + \bar {c}c) + {{\varepsilon }^{3}}({{E}^{3}}(t,x){{u}_{{31}}}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}) + \bar {c}c) + \ldots ,$

где $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$ – неизвестные амплитуды, зависимость от $t,\;{{x}_{1}},\;{{x}_{2}}$ и ${{x}_{3}}$ в (51) – периодическая. Подставим (51) в (15). Совершая стандартные действия, находим выражение для ${{u}_{{31}}}$ и уравнение относительно $\xi (\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}}),\;{{\tilde {x}}_{2}} = {{x}_{2}} - {{R}_{0}}\tau $:

${{u}_{{31}}} = [1 - 9\omega _{0}^{2} + 3ia{{\omega }_{0}} - {{p}_{0}}\exp ( - 3i({{\Omega }_{0}} + {{\theta }_{{{{z}^{0}}}}}{{))]}^{{ - 1}}}[ - {{b}_{1}} - 3i{{\omega }_{0}} + 9\omega _{0}^{2} + 27\omega _{0}^{3}]{{\xi }^{3}},$

(52)

$\begin{gathered} \frac{{\partial{ \tilde {\xi }}}}{{\partial \tau }} = ({{A}_{0}}(a) + i{{A}_{1}}(a))\frac{{{{\partial }^{2}}\tilde {\xi }}}{{\partial x_{1}^{2}}} + ({{A}_{0}}(a) + i{{A}_{1}}(a) + {{\sigma }^{2}})\frac{{{{\partial }^{2}}\tilde {\xi }}}{{\partial x_{3}^{2}}} + 2({{A}_{0}}(a) + i{{A}_{1}}(a))\frac{{{{\partial }^{2}}\tilde {\xi }}}{{\partial {{x}_{1}}\partial {{x}_{3}}}} + \\ + \;2i\left( {{{A}_{0}}(a) + i{{A}_{1}}(a) + \frac{1}{2}{{R}_{0}}} \right)\frac{{\partial{ \tilde {\xi }}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + [2i({{A}_{0}}(a) + i{{A}_{1}}(a)) - {{\sigma }^{2}}{{z}^{0}} - \Delta {{R}_{0}}{{\theta }_{\Delta }}{{\pi }^{{ - 1}}} + {{R}_{0}}]\frac{{\partial{ \tilde {\xi }}}}{{\partial {{x}_{3}}}} + \\ \end{gathered} $

$ + \;[ - ({{A}_{0}}(a) + i{{A}_{1}}(a))({{z}^{0}} + {{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}}{{)}^{2}} - {{\sigma }^{2}}z_{0}^{2} + i{{R}_{0}}({{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}} + {{z}^{0}}) - i{{R}_{0}}{{\theta }_{{{{z}^{0}}}}}]\tilde {\xi } + {{b}_{0}}\tilde {\xi }{\kern 1pt} {\text{|}}\tilde {\xi }{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}.$

Здесь

${{A}_{0}}(a) = {{\left( {2\left( {1 - \frac{{{{a}^{2}}}}{4}} \right)} \right)}^{{ - 1}}}\left[ {{{{\left( {{{a}^{2}}\left( {1 - \frac{{{{a}^{2}}}}{4}} \right)} \right)}}^{{ - 1}}} - 1} \right],$

${{A}_{1}}(a) = {{\left( {a\left( {1 - \frac{{{{a}^{2}}}}{4}} \right)} \right)}^{{ - 1}}}{{\left( {1 - \frac{{{{a}^{2}}}}{2}} \right)}^{{1/2}}},$

а через $\tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}})$ обозначена функция

$\tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}}) = \xi (\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}})\exp ( - i{{R}_{0}}{{c}^{{ - 1}}}{{\theta }_{{{{z}^{0}}}}}\tau ){\kern 1pt} ,$

${{b}_{0}} = 3{{b}_{1}} - i{{b}_{2}}{{\omega }_{0}} - {{b}_{3}}\omega _{0}^{2} + 3i\omega _{0}^{3}{{b}_{4}}.$

Относительно аргументов ${{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}}$ и ${{x}_{3}}$ выполнены условия периодичности $(\tilde {x} = x - {{R}_{0}}\tau )$

(53)

$\tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}} + c,{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}}) \equiv \tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}}),$

(54)

$\tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}} + 2\pi ,{{x}_{3}}) \equiv \tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}}),$

(55)

$\tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}} + \Delta ) \equiv \tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}}).$

Отметим, что переход от аргумента ${{x}_{2}}$ к аргументу ${{\tilde {x}}_{2}}$ и от функции $\xi $ к функции $\tilde {\xi }$ позволил исключить из (52) выражения $ - {{R}_{0}}\partial \xi {\text{/}}\partial {{x}_{2}}$ и $i{{R}_{0}}{{\theta }_{{{{z}^{0}}}}}\xi $ соответственно.

Для того, чтобы сформулировать итоговый результат, введем обозначения. Фиксируем произвольно ${{\theta }_{0}} \in [0,2\pi {{c}^{{ - 1}}})$ и пусть последовательность ${{\varepsilon }_{s}} = {{\varepsilon }_{s}}({{\theta }_{0}})$ определяется из условия ${{\varepsilon }_{s}}({{\theta }_{0}}) = {{\theta }_{0}},\;s = 1,2, \ldots $. Обозначим через $\Gamma ({{\theta }_{0}})$ все предельные точки из промежутка $[0,1]$ последовательности ${{\theta }_{\Delta }}({{\varepsilon }_{s}}({{\theta }_{0}}))$. Через $\theta _{\Delta }^{0}$ обозначим произвольный элемент из $\Gamma ({{\theta }_{0}})$ и пусть последовательность ${{\varepsilon }_{{{{s}_{\Gamma }}}}}$ такова, что

$\mathop {\lim }\limits_{\Gamma \to \infty } {{\theta }_{\Delta }}({{s}_{\Gamma }}) = \theta _{\Delta }^{0}.$

Заметим, что возможна ситуация, когда множество $\Gamma $ совпадает с отрезком $[0,1]$, а возможен случай, когда это множество состоит из одного элемента.

Теорема 2.4. Пусть выполнены условия (23), (28), (34). Фиксируем произвольно значение $\Delta $ и ${{\theta }_{0}} \in [0,2\pi ]$, и $\theta _{\Delta }^{0} \in \Gamma $. Пусть $\tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}})$ – ограниченное при $\tau \to \infty ,\;{{x}_{1}} \in [0,2\pi ],\;{{\tilde {x}}_{2}} \in [0,c],\;{{x}_{3}} \in [0,\Delta ]$ решение краевой задачи (52), (53)–(55). Тогда функция

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon (\tilde {\xi }(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}})\exp ( - i{{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}}{{\theta }_{{{{z}^{0}}}}}\tau )E(t,x) + \bar {c}c) + {{\varepsilon }^{3}}({{u}_{{31}}}(\tau ,{{x}_{1}},{{\tilde {x}}_{2}},{{x}_{3}}){{E}^{3}}(t,x) + \bar {c}c)$

при $\tau = {{\varepsilon }^{2}}t,$ ${{x}_{1}} = (1 + \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}})t,$ ${{\tilde {x}}_{2}} = x + \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}t,$ ${{x}_{3}} = (2\pi {{(\Delta \varepsilon )}^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\Delta }})(x + \varepsilon (1 + \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}})2\pi {{\Delta }^{{ - 1}}}t),$ удовлетворяет на последовательности $\varepsilon = {{\varepsilon }_{{{{s}_{\Gamma }}}}}$ краевой задаче (15), (16) c точностью до $o(\varepsilon _{{{{s}_{\Gamma }}}}^{3})$.

Таким образом, краевая задача (52), (53)–(55) является квазинормальной формой для исходной краевой задачи (15), (16). Отметим, что в явном виде зависимость от аргумента ${{\tilde {x}}_{2}}$ в (52) не присутствует. Относительно аргументов ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{3}}$ выполнены условия параболичности, поскольку ${{A}_{0}}(a) > 0$ при $0 < {{a}^{2}} < 2\quad ({{A}_{0}}(\sqrt 2 )) = 0$. Решения краевой задачи в двумерной пространственной области могут быть существенно сложнее. Поэтому приходим к выводу о том, что уменьшение параметра $\sigma $ в (9) влечет за собой усложнение динамики. Кроме этого, присутствие в (52) двух параметров ${{\theta }_{\omega }}(\varepsilon )$ и ${{\theta }_{\Delta }}(\varepsilon )$ говорит о повышенной чувствительности динамических свойств даже при малых изменениях параметра $\varepsilon $ (см., например, [44]).

И еще одно важное наблюдение. В краевой задаче параметр $\Delta $, определяющий период по аргументу ${{x}_{3}}$, является произвольным. При всех его значениях квазинормальная форма (52), (53)–(55) определяет главные асимптотики решений исходной задачи (15), (16). Поэтому можно говорить о мультистабильности в рассматриваемой ситуации.

3. ЦЕПОЧКИ С ДВУСТОРОННЕЙ СВЯЗЬЮ

В этом разделе предполагаем, что основной вклад во взаимодействие элементов цепочки определяется, согласно (8), связью с ближайшими соседними элементами слева и справа. В терминах функции $F(s,\varepsilon )$ тогда имеем

$F(s,\varepsilon ) = \frac{1}{2}({{F}_{ + }}(s,\varepsilon ) + {{F}_{ - }}(s,\varepsilon )).$

В характеристическом уравнении (18) имеем равенство

(56)

$g(z) = \cos z.$

Рассмотрим отдельно случай, когда параметр $\sigma $ в (18) фиксирован и выполнено условие (22). Случай, когда параметр $\sigma $ является асимптотически малым, исследуется в п. 3.3.

3.1. Случай ${{a}^{2}} > 2$

Пусть выполнено неравенство ${{a}^{2}} > 2$. В этой ситуации имеем ${{z}_{0}} = 0$ и $\gamma ({{z}_{0}}) = {{\gamma }_{0}} = 1.$ Критический в задаче об устойчивости случай определяется соотношениями

${{d}_{0}} = {{p}_{0}}\quad {\text{при}}\quad {{d}_{0}} > 0\quad {\text{и}}\quad {{d}_{0}} = - {{p}_{0}}\quad {\text{при}}\quad {{d}_{0}} < 0.$

Достаточно ограничиться рассмотрением одного из этих случаев. Ниже считаем, что ${{d}_{0}} > 0$, а значит,

${{d}_{0}} = {{p}_{0}} = 1.$

Пусть, как и ранее, для параметра $d$ в (18) выполнено равенство (25). Асимптотика корней (18) приведена в лемме 1.1.

Совокупность решений, отвечающих $\lambda _{{kn}}^{ + }(\varepsilon )$ и $\lambda _{{kn}}^{ - }(\varepsilon )$, можно представить в виде

$u(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} \xi _{{kn}}^{ + }\exp (2\pi {{c}^{{ - 1}}}ni{{x}_{1}} + ik{{x}_{2}} + (\lambda _{{2kn}}^{ + } + O(\varepsilon ))\tau ) = {{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}),$

$u(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} \xi _{{kn}}^{ - }\exp (\pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}}i{{x}_{1}} + ik{{x}_{2}} + (\lambda _{{2kn}}^{ - } + O(\varepsilon ))\tau ) = {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}).$

Здесь $\tau = {{\varepsilon }^{2}}t,$ ${{x}_{1}} = (1 - \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}a)t,{\kern 1pt} $ ${{x}_{2}} = x$. Тогда решения нелинейной краевой задачи (15), (16) ищем в виде

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon {{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + \ldots $

или соответственно

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + \ldots .$

Подставляя это выражение в (15) и собирая коэффициенты при ${{\varepsilon }^{3}},$ приходим к уравнению относительно ${{\xi }^{ + }}$ или ${{\xi }^{ - }}$:

(57)

$c\frac{{\partial {{\xi }^{ + }}}}{{\partial \tau }} = \left( {\frac{{{{a}^{2}}}}{2} - 1} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ + }}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \left( {\frac{1}{2} + {{\sigma }^{2}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ + }}}}{{\partial x_{2}^{2}}} - {{c}^{{ - 2}}}{{a}^{2}}\frac{{\partial {{\xi }^{ + }}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + {{d}_{1}}\xi - {{b}_{1}}{{({{\xi }^{ + }})}^{3}},$

(58)

$c\frac{{\partial {{\xi }^{ - }}}}{{\partial \tau }} = \left( {\frac{{{{a}^{2}}}}{2} - 1} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ - }}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \left( {\frac{1}{2} + {{\sigma }^{2}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ - }}}}{{\partial x_{2}^{2}}} - {{c}^{{ - 2}}}{{a}^{2}}\frac{{\partial {{\xi }^{ - }}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + {{d}_{1}}\xi - {{b}_{1}}{{({{\xi }^{ - }})}^{3}}$

с краевыми условиями

(59)

${{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}} + c,{{x}_{2}}) \equiv {{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv {{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}} + 2\pi ),$

(60)

$ - {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}} + c,{{x}_{2}}) \equiv {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}} + 2\pi ).$

В итоге получаем следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть ${{a}^{2}} > 2$ и выполнено условие (22). Пусть ${{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ (${{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$) – ограниченные при $\tau \to \infty ,\;{{x}_{1}} \in [0,c],\;{{x}_{2}} \in [0,2\pi ]$ решения краевой задачи (57), (59) ((58), (60)). Тогда функция

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon ({{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}))$

удовлетворяет краевой задаче (15), (16) c точностью до $o({{\varepsilon }^{3}})$.

Таким образом, при условиях (22) и ${{a}^{2}} > 2$ краевая задача (57)–(60) является квазинормальной формой для (15), (16).

3.2. Квазинормальная форма в случае $0 < {{a}^{2}} < 2$

Пусть

(61)

$0 < {{a}^{2}} < 2.$

Сначала отметим, что из условия (22) следует

${{z}_{0}} = 0.$

Напомним, что

${{\omega }_{0}} = {{\left( {1 - \frac{{{{a}^{2}}}}{2}} \right)}^{{1/2}}},\quad {{p}_{0}} = \frac{{{{a}^{2}}}}{2}{{\left( {4 - \frac{{{{a}^{2}}}}{2}} \right)}^{{1/2}}}\quad {\text{и}}\quad {{d}_{0}} = {{p}_{0}}.$

Важную роль в процессе применения алгоритма построения квазинормальной формы играет асимптотическое поведение корней характеристического уравнения (18), которое приведено в лемме 2.

Лемма 3.1. Пусть выполнены условия (22), (56), (61) и ${{d}_{0}} = {{p}_{0}}{\kern 1pt} ({{d}_{0}} = - {{p}_{0}})$. Тогда для тех корней $\lambda _{{kn}}^{ + }(\varepsilon )$ и $\bar {\lambda }_{{kn}}^{ + }(\varepsilon )$ ($\lambda _{{kn}}^{ - }(\varepsilon )$, $\bar {\lambda }_{{kn}}^{ - }(\varepsilon )$) ${\kern 1pt} k,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $, уравнения (18), вещественные части которых стремятся к нулю при $\varepsilon \to 0$, выполнены асимптотические равенства

$\lambda _{{kn}}^{ + }(\varepsilon ) = i\frac{{{{\omega }_{0}}}}{\varepsilon } + {{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}} + 2\pi n{{c}^{{ - 1}}} + \varepsilon \lambda _{{1kn}}^{ + } + {{\varepsilon }^{2}}\lambda _{{2kn}}^{ + } + \ldots ,$

$\lambda _{{kn}}^{ - }(\varepsilon ) = i\frac{{{{\omega }_{0}}}}{\varepsilon } + {{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}} + \pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}} + \varepsilon \lambda _{{1kn}}^{ - } + {{\varepsilon }^{2}}\lambda _{{2kn}}^{ - } + \ldots ,$

где

$\lambda _{{1kn}}^{ + } = - i{{R}_{0}}{{c}^{{ - 1}}}(2\pi n{{c}^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}}),\quad \lambda _{{1kn}}^{ - } = - i{{R}_{0}}{{c}^{{ - 1}}}(\pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}}),$

${{R}_{0}} = ({{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}{{))}^{{ - 1}}}(2i{{\omega }_{0}} + a) = \frac{2}{a},$

$\lambda _{{2kn}}^{ + } = - \Delta {{(2\pi n{{c}^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})}^{2}} - i{{c}^{{ - 2}}}{{\left( {\frac{2}{a}} \right)}^{2}}(2\pi n{{c}^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}}) - \left( {\frac{1}{2} + {{\sigma }^{2}}} \right){{c}^{{ - 1}}}{{k}^{2}} + {{c}^{{ - 1}}}\frac{{{{d}_{1}}}}{{{{p}_{0}}}},$

$\begin{gathered} \lambda _{{2kn}}^{ - } = - \Delta {{(\pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})}^{2}} - \\ - \;i{{c}^{{ - 2}}}{{\left( {\frac{2}{a}} \right)}^{2}}(\pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}}) - \left( {\frac{1}{2} + {{\sigma }^{2}}} \right){{c}^{{ - 1}}}{{k}^{2}} + {{c}^{{ - 1}}}\frac{{{{d}_{1}}}}{{{{p}_{0}}}}, \\ \end{gathered} $

$\Delta = 4[{{a}^{2}}(4 - {{a}^{2}}{{)]}^{{ - 1}}}(2 - {{a}^{2}}) + 4i{{[a(4 - {{a}^{2}})]}^{{ - 1}}}{{\left( {1 - \frac{{{{a}^{2}}}}{2}} \right)}^{{1/2}}}.$

Совокупность решений линейной краевой задачи (17), (16) в рассматриваемом случае, отвечающих корням $\lambda _{{kn}}^{ + }(\varepsilon )$ ($\lambda _{{kn}}^{ - }(\varepsilon )$), можно представить в виде

$u(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} \xi _{{kn}}^{ + }\exp (ikx + \lambda _{{kn}}^{ + }(\varepsilon )t) = E(t)\sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} \xi _{{kn}}^{ + }(\tau )\exp (ikx + 2\pi ni{{c}^{{ - 1}}}{{x}_{1}}) = E(t)\xi _{{kn}}^{ + }(\tau ,{{x}_{1}},x),$

$\begin{gathered} (u(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} \xi _{{kn}}^{ - }\exp (ikx + \lambda _{{kn}}^{ - }(\varepsilon )t) = \\ = E(t)\sum\limits_{k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} \xi _{{kn}}^{ - }(\tau )\exp (ikx + \pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}}i{{x}_{1}}) = E(t)\xi _{{kn}}^{ - }(\tau ,{{x}_{1}},x)), \\ \end{gathered} $

где

$E(t) = \exp \left[ {i\left( {\frac{{{{\omega }_{0}}}}{\varepsilon } + ({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})(1 - \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}})} \right)t} \right],\quad {{x}_{1}} = (1 - \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}})t,$

$\xi _{{kn}}^{ \pm }(\tau ) = \xi _{{kn}}^{ \pm }\exp ((\lambda _{{kn}}^{ \pm } + O(\varepsilon ))\tau ),\quad \tau = {{\varepsilon }^{2}}t.$

Тогда решения нелинейной краевой задачи (15), (16) ищем соответственно в виде

(62)

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon [E(t){{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},x) + \bar {c}c] + {{\varepsilon }^{3}}[E(t)u_{{31}}^{ + }(\tau ,{{x}_{1}},x) + \bar {c}c + {{E}^{3}}(t)u_{{32}}^{ + }(\tau ,{{x}_{1}},x) + \bar {c}c] + \ldots ,$

(63)

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon [E(t){{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},x) + \bar {c}c] + {{\varepsilon }^{3}}[E(t)u_{{31}}^{ - }(\tau ,{{x}_{1}},x) + \bar {c}c + {{E}^{3}}(t)u_{{32}}^{ - }(\tau ,{{x}_{1}},x) + \bar {c}c] + \ldots .$

Здесь вещественные комплексные функции ${{\xi }^{ \pm }}(\tau ,{{x}_{1}},x)$ являются $2\pi $-периодическими по $x$, а по ${{x}_{1}}$ функция ${{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},x)$ c-периодическая, а функция ${{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},x)$ c-антипериодическая:

${{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}} + c,x) \equiv {{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},x) \equiv {{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},x + 2\pi ),$

$ - {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}} + c,x) \equiv {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},x) \equiv {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},x + 2\pi ).$

Подставляя (62) в (15) и совершая стандартные действия, получаем уравнения для $u_{{31}}^{ \pm }$ и $u_{{32}}^{ \pm }$. Функции $u_{{32}}^{ \pm }$ просто определяются:

$u_{{32}}^{ \pm } = - {{(1 - 9\omega _{0}^{2} + 3i{{\omega }_{0}}a)}^{{ - 1}}}({{b}_{1}} + 3i{{\omega }_{0}}{{b}_{2}} - 9\omega _{0}^{2}{{b}_{3}} - 27i\omega _{0}^{3}{{b}_{4}})({{\xi }^{ \pm }}{{)}^{3}}.$

Условие разрешимости уравнения относительно $u_{{31}}^{ \pm }$ заключается в выполнении равенства

(64)

$\begin{gathered} c{{p}_{0}}\frac{{\partial {{\xi }^{ \pm }}}}{{\partial \tau }} = \Delta \frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ \pm }}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + i\left[ {2({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}}) + i{{c}^{{ - 2}}}{{{\left( {\frac{2}{a}} \right)}}^{2}}} \right]\frac{{\partial {{\xi }^{ \pm }}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \left( {\frac{1}{2} + {{\sigma }^{2}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ \pm }}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \\ + \left[ {\frac{{{{d}_{1}}}}{{{{p}_{0}}}} - {{{({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})}}^{2}} - i{{{\left( {\frac{2}{a}} \right)}}^{2}}({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})} \right]{{\xi }^{ \pm }} + 3{{\beta }_{1}}{{\xi }^{ \pm }}{{\left| {{{\xi }^{ \pm }}} \right|}^{2}}, \\ {{\beta }_{1}} = ({{b}_{1}} + i{{\omega }_{0}}{{b}_{2}} - \omega _{0}^{2}{{b}_{3}} - i\omega _{0}^{3}{{b}_{4}}) \\ \end{gathered} $

и выполнено соответственно условие

(65)

$\begin{array}{*{20}{l}} {{{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}} + c,x) \equiv {{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},x) \equiv {{\xi }^{ + }}(\tau ,{{x}_{1}},x + 2\pi ),} \\ { - {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}} + c,x) \equiv {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},x) \equiv {{\xi }^{ - }}(\tau ,{{x}_{1}},x + 2\pi ).} \end{array}$

Сформулируем итоговый результат.

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (22), (56) и (61). Пусть $\theta _{\omega }^{0} \in [0,2\pi )$ – произвольно фиксировано и ${{\varepsilon }_{n}}(\theta _{\omega }^{0})$ такая последовательность, что ${{\varepsilon }_{n}}(\theta _{\omega }^{0}) \to 0$ при $n \to \infty $ и ${{\theta }_{\omega }}({{\varepsilon }_{n}}(\theta _{\omega }^{0})) = \theta _{\omega }^{0}$. Пусть $\xi (\tau ,{{x}_{1}},x)$ – ограниченное при $\tau \to \infty ,\;{{x}_{1}} \in [0,c],\;x \in [0,2\pi ]$ решение краевой задачи (64), (65) при ${{\theta }_{\omega }} = \theta _{\omega }^{0}$. Тогда при $\varepsilon = {{\varepsilon }_{n}}(\theta _{\omega }^{0}),$ ${\kern 1pt} \tau = {{\varepsilon }^{2}}t,{\kern 1pt} $ ${{x}_{1}} = (1 - \varepsilon {{c}^{{ - 1}}}{{R}_{0}})t$ функция

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon (\xi (\tau ,{{x}_{1}},x)E(t) + \bar {c}c) + {{\varepsilon }^{3}}({{u}_{{32}}}(\tau ,{{x}_{1}},x){{E}^{3}}(t) + \bar {c}c)$

удовлетворяет краевой задаче (15), (16) c точностью до $o({{\varepsilon }^{3}})$.

3.3. Квазинормальная форма для малых значений параметра $\sigma $

Предположим, что параметр $\sigma $ является достаточно малым, т.е. выполнено равенство (23)

$\sigma = \varepsilon {{\sigma }_{1}}.$

Для функции $g(z)$ в этом случае имеем равенство

$g(z) = \cos z\exp ( - {{\varepsilon }^{2}}\sigma _{1}^{2}{{z}^{2}}).$

Наибольшее значение $\left| {g(z)} \right|$ равно $1$, а все величины ${{z}_{m}}$, на которых это значение достигается с точностью до $O({{\varepsilon }^{2}})$, определяются неоднозначно:

${{z}_{m}} = \pi m,\quad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

Через ${{\theta }_{\pi }}(\varepsilon ) \in [0,1)$ обозначим такое выражение, которое дополняет до целого величину $\pi {{\varepsilon }^{{ - 1}}}.$

Рассмотрим решения Эйлера ${{u}_{{mkn}}}(t,x,\varepsilon )$ линейной краевой задачи (17), (16), у которых моды принимают значения $(\pi {{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\pi }})m + k;{\kern 1pt} $ $m,k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $:

${{u}_{{mkn}}}(t,x,\varepsilon ) = \exp [i((\pi {{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\pi }})m + k)x + {{\lambda }_{{mkn}}}(\varepsilon )t].$

Здесь ${{\lambda }_{{mkn}}}(\varepsilon )$ – все те корни характеристического уравнения (18), вещественные части которых стремятся к нулю при $\varepsilon \to 0$. Сформулируем результат об асимптотике корней ${{\lambda }_{{mkn}}}(\varepsilon )$ при $\varepsilon \to 0$. Ограничимся рассмотрением наиболее интересного случая, когда ${{d}_{0}} > 0$ и выполнены неравенства $0 < {{a}^{2}} < 2$. Напомним, что в этой ситуации

${{d}_{0}} = {{p}_{0}},\quad {{p}_{0}} = \frac{{{{a}^{2}}}}{2}{{(4 - {{a}^{2}})}^{{1/2}}},\quad {{\omega }_{0}} = {{\left( {1 - \frac{{{{a}^{2}}}}{2}} \right)}^{{1/2}}}.$

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (23), (56) и (61) и ${{d}_{0}} = {{p}_{0}}$. Тогда уравнение (18) имеет совокупность корней $\lambda _{{mkn}}^{ \pm }(\varepsilon )$, $\bar {\lambda }_{{mkn}}^{ \pm }(\varepsilon )$, вещественные части которых стремятся к нулю при $\varepsilon \to 0$ и выполнены асимптотические равенства

$\lambda _{{mkn}}^{ \pm }(\varepsilon ) = i[{{\omega }_{0}}{{\varepsilon }^{{ - 1}}} + {{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}} + 2\pi n{{c}^{{ - 1}}}] + \varepsilon \lambda _{{1mkn}}^{ \pm } + {{\varepsilon }^{2}}\lambda _{{2mkn}}^{ \pm } + \ldots ,$

где

$\lambda _{{1mkn}}^{ \pm } = - \frac{{2i}}{a}{{c}^{{ - 1}}}K,\quad K = {{\theta }_{\omega }} - {{\Omega }_{0}}{{c}^{{ - 1}}} + 2\pi n{{c}^{{ - 1}}},$

$\begin{gathered} \lambda _{{2mkn}}^{ + } = \frac{1}{2}{{(\lambda _{{1mkn}}^{ + })}^{2}} - {{c}^{{ - 1}}}(2i{{\omega }_{0}} + a)({{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}{{))}^{{ - 1}}}\lambda _{{1mkn}}^{ + } + {{({{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}))}^{{ - 1}}}{{c}^{{ - 1}}}{{K}^{2}} + \\ \, + {{d}_{1}}p_{0}^{{ - 1}}{{c}^{{ - 1}}} - \sigma _{1}^{2}{{(2\pi m)}^{2}}{{c}^{{ - 1}}} - \frac{1}{2}{{(2\pi m{{\theta }_{\pi }} + k)}^{2}}{{c}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \lambda _{{2mkn}}^{ - } = \frac{1}{2}{{(\lambda _{{1mkn}}^{ - })}^{2}} - {{c}^{{ - 1}}}(2i{{\omega }_{0}} + a)({{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}{{))}^{{ - 1}}}\lambda _{{1mkn}}^{ - } + {{({{p}_{0}}\exp (i{{\Omega }_{0}}))}^{{ - 1}}}{{c}^{{ - 1}}}{{K}^{2}} + \\ \, + {{d}_{1}}p_{0}^{{ - 1}}{{c}^{{ - 1}}} - \sigma _{1}^{2}{{(\pi (2m - 1))}^{2}}{{c}^{{ - 1}}} - \frac{1}{2}{{(\pi (2m - 1){{\theta }_{\pi }} + k)}^{2}}{{c}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $

Совокупность решений ${{u}_{{mkn}}}(\varepsilon )$ линейной краевой задачи (17), (16), отвечающих корням $\lambda _{{mkn}}^{ \pm }(\varepsilon )$, можно записать в виде

$\begin{gathered} {{u}_{{mkn}}}(t,x,\varepsilon ) = \sum\limits_{m,k,n = - \infty }^\infty \left( {\xi _{{mkn}}^{ + }\exp \left( {i\left[ {2\left( {\frac{\pi }{\varepsilon } + {{\theta }_{\pi }}} \right)m + k} \right]x} \right.} \right. + \left[ {i\left( {\frac{{{{\omega }_{0}}}}{\varepsilon }} \right.} \right. + {{\theta }_{{{{\omega }_{0}}}}} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}} + 4\pi n{{c}^{{ - 1}}} - \\ - \;\frac{{2\varepsilon }}{a}({{\theta }_{{{{\omega }_{0}}}}} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}} + 4\pi n{{c}^{{ - 1}}}) + \left. {\left. {\left. {\mathop {{{\varepsilon }^{2}}(\lambda _{{2mkn}}^{ + } + O(\varepsilon ))}\limits_{_{{}}} } \right)t} \right]} \right) + \xi _{{mkn}}^{ - }\exp \left( {i\left[ {\left( {\frac{\pi }{\varepsilon } + {{\theta }_{\pi }}} \right)(2m - 1) + k} \right]x} \right. + \\ \, + \left[ {i\left( {\frac{{{{\omega }_{0}}}}{\varepsilon }} \right.} \right. + {{\theta }_{{{{\omega }_{0}}}}} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}} + \pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}} - \frac{{2\varepsilon }}{a}({{\theta }_{{{{\omega }_{0}}}}} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}} + \pi (2n + 1){{c}^{{ - 1}}}) + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, + {{\varepsilon }^{2}}\left. {\left. {\left. {\mathop {(\lambda _{{2mkn}}^{ - } + O(\varepsilon ))}\limits_{_{{}}} } \right)t} \right]} \right) = E(t,\varepsilon )\sum\limits_{m,k,n = - \infty }^\infty {\kern 1pt} (\xi _{{mkn}}^{ + }(\tau )\exp (ikx + 2in{{c}^{{ - 1}}}{{x}_{1}} + 2im{{x}_{2}}) + \\ + \;\xi _{{mkn}}^{ - }(\tau )\exp (ikx + i(2n + 1){{c}^{{ - 1}}}{{x}_{1}} + \left. {\mathop {i(2m - 1){{x}_{2}})}\limits_{}^{} } \right) = E(t,\varepsilon )({{\xi }^{ + }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\xi }^{ - }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}})). \\ \end{gathered} $

Здесь

$E(t,\varepsilon ) = \exp \left( {i\left[ {\frac{{{{\omega }_{0}}}}{\varepsilon } + ({{\theta }_{{{{\omega }_{0}}}}} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})\left( {1 - \frac{\varepsilon }{{2ac}}} \right)} \right]t} \right),\quad \tau = {{\varepsilon }^{2}}t,$

${{x}_{1}} = \left( {1 - \frac{{2\varepsilon }}{{ac}}} \right)t,\quad {{x}_{2}} = \left( {\frac{\pi }{\varepsilon } + {{\theta }_{\pi }}} \right)x - \frac{{2\varepsilon }}{{ac}}t,$

$\xi _{{mkn}}^{ \pm }(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \xi _{{mkn}}^{ \pm }\exp (\lambda _{{2mkn}}^{ \pm } + O(\varepsilon ))\tau .$

Обратим внимание, что для функций ${{\xi }^{ \pm }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ выполнены условия

(66)

${{\xi }^{ \pm }}(\tau ,x + 2\pi ,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{\xi }^{ \pm }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}}),$

(67)

${{\xi }^{ + }}(\tau ,x,{{x}_{1}} + 2\pi ,{{x}_{2}}) \equiv {{\xi }^{ + }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv {{\xi }^{ + }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}} + 2\pi ),$

(68)

$ - {{\xi }^{ - }}(\tau ,x,{{x}_{1}} + \pi ,{{x}_{2}}) \equiv {{\xi }^{ - }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv - {{\xi }^{ - }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}} + \pi ).$

Решение нелинейной краевой задачи в рассматриваемом случае ищем в виде

(69)

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon (E(t,\varepsilon )({{\xi }^{ + }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\xi }^{ - }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}})) + \bar {c}\bar {c}) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}}(t,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}},\tau ) + \ldots ,$

где зависимость от $t,\;x,\;{{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$ – периодическая. Подставляя (8) в (15) и производя стандартные действия, получаем уравнение для определения ${{u}_{3}}$. Условие разрешимости этого уравнения в указанном классе функций состоит в выполнении равенств

(70)

$\begin{gathered} c{{p}_{0}}\frac{{\partial {{\xi }^{ + }}}}{{\partial \tau }} = \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ + }}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{\Delta }{{4{{\pi }^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ + }}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \left[ {\frac{\Delta }{{4{{\pi }^{2}}}} + \sigma _{1}^{2} + \theta _{\pi }^{2}} \right]\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ + }}}}{{\partial x_{2}^{2}}} + \\ \, + 2\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ + }}}}{{\partial x\partial {{x}_{2}}}} + \frac{\Delta }{{2{{\pi }^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ + }}}}{{\partial {{x}_{1}}\partial {{x}_{2}}}} + i\left[ {2({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}}) + i{{{\left( {\frac{2}{{ac}}} \right)}}^{2}}} \right]\frac{{\partial {{\xi }^{ + }}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \\ + \;\left[ {\frac{{{{d}_{0}}}}{{{{p}_{0}}}} - {{{({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})}}^{2}} - i{{{\left( {\frac{2}{{ac}}} \right)}}^{2}}({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})} \right]{{\xi }^{ + }} + 3{{\beta }_{1}}\left[ {{{{({{\xi }^{ + }})}}^{2}}{{{\bar {\xi }}}^{ + }} + 2{{\xi }^{ + }}{{{\left| {{{\xi }^{ - }}} \right|}}^{2}} + {{{\bar {\xi }}}^{ + }}{{{({{\xi }^{ - }})}}^{2}}} \right], \\ \end{gathered} $

(71)

$\begin{gathered} c{{p}_{0}}\frac{{\partial {{\xi }^{ - }}}}{{\partial \tau }} = \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ - }}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{\Delta }{{4{{\pi }^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ - }}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \left[ {\frac{\Delta }{{4{{\pi }^{2}}}} + \sigma _{1}^{2} + \theta _{\pi }^{2}} \right]\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ - }}}}{{\partial x_{2}^{2}}} + 2\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ - }}}}{{\partial x\partial {{x}_{2}}}} + \frac{\Delta }{{2{{\pi }^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{ - }}}}{{\partial {{x}_{1}}\partial {{x}_{2}}}} + \\ + \;i\left[ {2({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}}) + i{{{\left( {\frac{2}{{ac}}} \right)}}^{2}}} \right]\frac{{\partial {{\xi }^{ - }}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \left[ {\frac{{{{d}_{0}}}}{{{{p}_{0}}}} - {{{({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})}}^{2}} - i{{{\left( {\frac{2}{{ac}}} \right)}}^{2}}({{\theta }_{\omega }} - {{c}^{{ - 1}}}{{\Omega }_{0}})} \right]{{\xi }^{ - }} + \\ \, + 3{{\beta }_{1}}\left[ {{{{\bar {\xi }}}^{ - }}{{{({{\xi }^{ - }})}}^{2}} + 2{{\xi }^{ - }}{{{\left| {{{\xi }^{ + }}} \right|}}^{2}} + {{{\bar {\xi }}}^{ - }}{{{({{\xi }^{ + }})}}^{2}}} \right]. \\ \end{gathered} $

При выполнении соотношений (66)–(71) функция ${{u}_{3}}$ просто находится в явном виде. Из-за громоздкости соответствующую формулу не приводим. Сформулируем итоговое утверждение.

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия (23), (56), (61) и ${{d}_{0}} = {{p}_{0}}$. Фиксируем произвольно значения $\theta _{\omega }^{0}$ и $\theta _{\pi }^{0}$. Пусть последовательность ${{\varepsilon }_{r}} \to 0$ такова, что ${{\theta }_{\omega }}({{\varepsilon }_{r}}) \to \theta _{\omega }^{0}$ и ${{\theta }_{\pi }}({{\varepsilon }_{r}}) \to \theta _{\pi }^{0}$. Пусть ${{\xi }^{ \pm }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – ограниченные при $\tau \to \infty ,\;x \in [0,2\pi ],\;{{x}_{1}} \in [0,2\pi ],\;{{x}_{2}} \in [0,2\pi ]$ решения краевой задачи (66)–(71) для ${{\theta }_{\omega }} = \theta _{\omega }^{0},\;{{\theta }_{\pi }} = \theta _{\pi }^{0}$. Тогда при $\varepsilon = {{\varepsilon }_{r}}$ функция

$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon (({{\xi }^{ + }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\xi }^{ - }}(\tau ,x,{{x}_{1}},{{x}_{2}}))E(t,\varepsilon ) + \bar {c}c) + {{\varepsilon }^{3}}{{u}_{3}},$

$\tau = {{\varepsilon }^{2}}t,\quad {{x}_{1}} = \left( {1 - \frac{{2\varepsilon }}{{ac}}} \right)t,\quad {{x}_{2}} = \left( {\frac{\pi }{\varepsilon } + \theta _{\pi }^{0}} \right)x - \frac{{2\varepsilon }}{{ac}}t,$

удовлетворяет краевой задаче (15), (16) c точностью до $o({{\varepsilon }^{3}})$.

Это утверждение говорит о том, что краевая задача (66)–(71) является квазинормальной формой для исходной краевой задачи в рассматриваемом случае.

Отметим, что эта квазинормальная форма является системой параболического типа.

ВЫВОДЫ

Рассмотрен вопрос о локальной динамике интегродифференциального уравнения Ван дер Поля, возникающего в задаче о поведении решений цепочек с односторонними и двусторонними запаздывающими связями. Большое запаздывание позволило эффективно находить параметры для реализации критических случаев и исследовать эти случаи. Показано, что исходная задача при этом сводится к квазинормальной форме – нелинейной краевой задаче Гинзбурга–Ландау параболического типа. Более того, установлено, что квазинормальная форма содержит не одну, а две независимые пространственные переменные [43]. Это говорит о богатой динамике изучаемых процессов. Кроме этого показано, что полученные квазинормальные формы в наиболее интересной области параметров обладают большой чувствительностью к изменениям малого параметра задачи – к величине, обратной большому запаздыванию. Это следует из того, что в квазинормальной форме присутствуют быстро меняющиеся функции типа $\theta (\varepsilon )$. При $\varepsilon \to 0$ может происходить процесс прямых и обратных бифуркаций [44].

Важную роль играет параметр $\sigma $, фигурирующий в функциях ${{F}_{ \pm }}(s,\varepsilon )$. При уменьшении этого параметра может наблюдаться существенное усложнение динамики, поскольку соответствующие квазинормальные формы содержат уже не две, а три пространственные переменные. В случае ${{a}^{2}} > 2$ структура решений проще по сравнению со случаем $0 < {{a}^{2}} < 2$. В последнем случае квазинормальные формы являются комплексными, а колебания их решений – быстро осциллирующими по пространственной и временной переменным.

Важно подчеркнуть, что по решениям (нелокальным) квазинормальные формы определяются главные члены асимптотики решений исходного уравнения.

Отличия квазинормальных форм для односторонних и двусторонних связей существенные. Различается не только формульная часть, но и динамические свойства решений. Особенно ярко это проявляется в случае $\sigma \ll 1$. При односторонних связях квазинормальные формы представляют собой однопараметрическое семейство параболических краевых задач с двумя пространственными переменными. В случае двусторонних связей показано, что квазинормальной формой являются система $1$ или $2$ параболических уравнений с тремя пространственными переменными. Во многих случаях решения содержат быстро осциллирующие не только по времени, но и по пространственной переменной составляющие.

Выбор уравнения с кубической нелинейностью в качестве базового не принципиален. Отсутствие квадратичных нелинейных слагаемых удобно, поскольку немного упрощается формульная часть. Отметим, что отношение двух больших параметров $N$ и $T$ определяется величиной $c$: $N{\text{/}}T = 2\pi {\text{/}}c$. Параметр $c$ входит во все квазинормальные формы, поэтому во многом определяет их динамику.

Список литературы

Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Turukina L.V. About Landau–Hopf scenario in a system of coupled self-oscillators // Physics Letters A. 2013. V. 377. № 45–48. P. 3291–3295.
Osipov G.V., Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical R$\ddot {o}$ssler oscillators // Physical Review E. 1997. V. 55. № 3. P. 2353–22361.
Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, 2001. P. 411. (Cambridge Nonlinear Science Series; 12).
Dodla R., Sen A., Johnston G.L. Phase-locked patterns and amplitude death in a ring of delay-coupled limit cycle oscillators // Physical Review E. 2004/07/13. American Physical Society, 2004. V. 69. № 5. P. 12.
Williams C.R.S., Sorrentino F., Murphy T.E., Roy R. Synchronization states and multistability in a ring of periodic oscillators: Experimentally variable coupling delays // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2013. V. 23. № 4. P. 43117.
Rao R., Lin Z., Ai X., Wu J. Synchronization of Epidemic Systems with Neumann Boundary Value under Delayed Impulse // Mathematics, 2022. V. 10. P. 2064.https://doi.org/10.3390/math10122064
Van Der Sande G. et al. Dynamics, correlation scaling, and synchronization behavior in rings of delay-coupled oscillators // Physical Review E. 2008/07/23. APS, 2008. V. 77. № 5. P. 55202.
Клиньшов В.В., Некоркин В.И. Синхронизация автоколебательных сетей с запаздывающими связями // Успехи физических наук. 2013. Т. 183. № 12. С. 1323–1336.
Heinrich G., Ludwig M., Qian J., Kubala B., Marquardt F. Collective dynamics in optomechanical arrays // Phys. Rev. Lett., 2011. V. 107. № 4, 043603, 4 pp.
Zhang M., Wiederhecker G.S., Manipatruni S., Barnard A., McEuen P., Lipson M. Synchronization of micromechanical oscillators using light // Phys. Rev. Lett., 2012. V. 109. № 23, 233906, 5 pp.
Lee T.E., Sadeghpour H.R. Quantum synchronization of quantum van der Pol oscillators with trapped ions // Phys. Rev. Lett., 2013. V. 111. № 23, 234101, 5 pp.
Yanchuk S., Wolfrum M. Instabilities of stationary states in lasers with longdelay optical feedback // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2012. V. 9. № 2. P. 519–535.
Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A. Complexity near equilibrium in model of lasers with delayed optoelectronic feedback // Proceedings : 1998 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA’98, Crans-Montana, Switzerland, Sept. 14–17, 1998). NOLTA Society. 1998. P. 495–498.
Kashchenko S.A. Quasinormal Forms for Chains of Coupled Logistic Equations with Delay // Mathematics. 2022. V. 10. № 15. P. 2648.
Кащенко С.А. Динамика цепочки логистических уравнений c запаздыванием и с антидиффузионной связью // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 502. № 1. С. 23–27.
Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. 2nd ed. Wiley, 2002. P. 464.
Kashchenko S.A. Dynamics of advectively coupled Van der Pol equations chain // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2021. V. 31. № 3. P. 033147.
Kanter I., Zigzag M., Englert A., Geissler F., Kinzel W. Synchronization of unidirectional time delay chaotic networks and the greatest common divisor // Europhysics Letters. 2011. V. 93. № 6. P. 60003.
Rosin D.P., Rontani D., Gauthier D.J., Sch$\ddot {o}$ll E. Control of synchronization patterns in neural-like Boolean networks // Physical Review Letters. American Physical Society, 2013. V. 110. № 10. P. 104102.
Yanchuk S., Perlikowski P., Popovych O.V., Tass P.A. Variability of spatiotemporal patterns in non-homogeneous rings of spiking neurons // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2011. V. 21. № P. 47511.
Klinshov V., Nekorkin V. Synchronization in networks of pulse oscillators with time-delay coupling // Cybernetics and Physics. 2012. V. 1. № 2. P. 106–112.
Stankovski T., Pereira T., McClintock P.V.E., Stefanovska A. Coupling functions: Universal insights into dynamical interaction mechanisms // Rev. Mod. Phys. 2017. V. 89. № P. 045001.
Klinshov V., Shchapin D., Yanchuk S. et al. Embedding the dynamics of a single delay system into a feed-forward ring // Physical Review E. 2017. V. 96. № P. 042217.
Караваев А.С., Ишбулатов Ю.М., Киселев А.Р., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Миронов С.А., Шварц В.А., Гриднев В.И., Безручко Б.П. Модель сердечно-сосудистой системы человека с автономным контуром регуляции среднего артериального давления // Физиология человека. 2017. Т. 43. № 1. С. 70–80.
Kashchenko A.A. Dependence of the dynamics of a model of coupled oscillators on the number of oscillators // Doklady Mathematics. Moscow : Pleiades Publishing, 2021. V. 104. № 3. P. 355–359.
Kashchenko A.A. Relaxation modes of a system of diffusion coupled oscillators with delay // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2021. V. 93. P. 105488.
Kashchenko S.A. Corporate Dynamics in Chains of Coupled Logistic Equations with Delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2021. V. 61. № 7. P. 1063–1074.
Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Dynamics of the Kuramoto equation with spatially distributed control // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. May. V. 34. P. 123–129.
Kuramoto Y., Battogtokh D. Coexistence of Coherence and Incoherence in Nonlocally Coupled Phase Oscillators // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2002. V. 5. № P. 380–385.
Kashchenko S.A. Application of the normalization method to the study of the dynamics of a differential-difference equation with a small factor multiplying the derivative // Differentsialnye Uravneniya. 1989. V. 25. № 8. P. 1448–1451.
Kashchenko S.A. Van der Pol Equation with a Large Feedback Delay // Mathematics. 2023. V. 11. № 6. P. 1301.
Hale J.K. Theory of Functional Differential Equations, 2nd ed.; New York: Springer, 1977.
Hartman P. Ordinary Differential Equations; Wiley: New York, NY, USA, 1965.
Marsden J.E., McCracken M.F. The Hopf Bifurcation and Its Applications. New York : Springer, 1976. 421 p. (Applied Mathematical Sciences; 19).
Kashchenko S.A. On quasinormal forms for parabolic equations with small diffusion // Soviet Mathematics. Doklady. 1988. V. 37. № 2. P. 510–513.
Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1996. V. 6. № 6. P. 1093–1109.
Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. V. 38. № 3. P. 443–451.
Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022. Т. 30. № 2. С. 189–207.
Kashchenko S.A. Infinite Turing Bifurcations in Chains of Van der Pol Systems // Mathematics. 2022. V. 10. № 20. P. 3769.
Kashchenko S.A. Bifurcations in spatially distributed chains of twodimensional systems of equations // Russian Mathematical Surveys. 2020. V. 76. № 6. P. 1153–1155.
Kashchenko S.A. Comparative dynamics of chains of coupled van der Pol equations and coupled systems of van der Pol equations // Theoretical and Mathematical Physics. 2021. V. 207. № 2. P. 640–654.
Клиньшов В.В. Коллективная динамика сетей активных элементов с импульсными связями: Обзор // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2020. Т. 28. № 5. С. 465–490.
Akhromeeva T.S., Kurdyumov S.P., Malinetskii G.G., Samarskii A.A. Nonstationary structures and diffusion ch-aos. Moscow : Nauka, 1992. 544 p.
Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Infinite Process of Forward and Backward Bifurcations in the Logistic Equation with Two Delays // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2019. V. 22. № P. 407–412.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал