Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 11, стр. 1850-1858

Точные решения нелинейного уравнения, описывающего взрывную неустойчивость в автоколебательных системах

А. И. Аристов^1, 2, *

¹ МГУ
119992 Москва, Ленинские горы, Россия

² ФИЦ ИУ РАН
119333 ул. Вавилова, 40, Москва, Россия

^* E-mail: ai_aristov@mail.ru

Поступила в редакцию 13.03.2023
После доработки 28.03.2023
Принята к публикации 30.04.2023

EDN: CIMCNK
DOI: 10.31857/S0044466923110042

Полный текст (PDF)

Аннотация

Работа посвящена изучению одного неклассического уравнения в частных производных четвертого порядка, описывающего взрывную неустойчивость в автоколебательных системах. Построено несколько классов точных решений этого уравнения. Показано, что среди этих решений есть обращающиеся в бесконечность за конечное время, ограниченные глобально по времени и ограниченные на любом конечном промежутке времени, но не глобально. Библ. 11.

Ключевые слова: нелинейные уравнения в частных производных, разрушение решений, точные решения.

Работа посвящена изучению точных решений следующего уравнения:

(1)

$\frac{{{{\partial }^{4}}u}}{{\partial {{t}^{2}}\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} = \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} + u\frac{{\partial u}}{{\partial t}}.$

Здесь $u$ – действительнозначная функция, зависящая от пространственной переменной $x \in [0;l]$ ($l > 0$) и времени $t > 0$.

В [1] и [2] обсуждались уравнения

(2)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} - u} \right) + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial t\partial x}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)}}^{2}}} \right) + \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} = 0$

(3)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} - u} \right) + \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {u - {{u}^{2}}} \right) + \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} = 0,$

которые могут описывать взрывную неустойчивость в автоколебательных системах, в частности, в распределенной системе на основе туннельного диода. В [3, с. 296 и 316–322] изучались начально-краевые задачи для уравнений (2) и (3). Было показано, что если задачи однозначно разрешимы в пространстве ${{X}_{T}} = {{C}^{2}}[0;T;S)$, где $T \in (0;\infty ]$, $S$ – некоторое соболевское пространство, причем начальные данные удовлетворяют некоторым неравенствам, то происходит разрушение решения путем опрокидывания, т.е. задача разрешима в некотором классе ${{X}_{T}}(T < \infty )$, но не в ${{X}_{\infty }}$, причем

(4)

$\mathop {\lim }\limits_{t \to T - } {{\left\| {u(x,t)} \right\|}_{S}} = \infty .$

Для понимания процессов, моделируемых нелинейными уравнениями, полезно не только изучать качественные свойства их решений, но и строить точные решения. Качественным свойствам решений уравнений, содержащих смешанные производные по времени и по пространственным переменным третьего и более высоких порядков, посвящены обширные исследования (например, [3–5]), тогда как в известной автору литературе о точных решениях (например, [6, гл. 5], [7, разд. 9.3, 9.4, 10.2, 10.3]) такие уравнения встречаются редко.

Несколько классов точных решений уравнения (2) было найдено в статьях [8]–[10]; было проанализировано их качественное поведение. Уравнение (3) можно привести к виду (1) с помощью линейной замены, а именно, если принять $(2u - 1)$ за новую зависимую переменную. Точным решениям уравнения (1) и посвящена данная работа.

Теорема 1. Существуют решения уравнения (1), имеющие следующие варианты качественного поведения:

• обращающиеся в бесконечность на конечных промежутках времени,

• ограниченные глобально по времени,

• ограниченные на любом конечном промежутке времени, но не глобально.

Справедливость этого утверждения будет следовать из дальнейших рассуждений, где будут построены соответствующие примеры. А именно, решения с качественным поведением первых двух типов будут построены в п. 2.2, а с качественным поведением третьего типа – в разд. 3 (случай $g(x) = 0$).

Будем считать, что $c,{{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}, \ldots $ – вообще говоря, произвольные действительные постоянные, ${{P}_{n}}( \cdot )$ – многочлен степени $n$ от одной переменной.

1. ТРИВИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

Несложно убедиться, что решения уравнения (1), зависящие только от $x$, имеют вид

$u(x,t) = {{c}_{1}}x + {{c}_{2}}.$

Пусть решение зависит только от $t$. После интегрирования по времени уравнение примет следующий вид:

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + \frac{{{{u}^{2}}}}{2} = \frac{c}{2}.$

Рассмотрим отдельно три множества, в которых может находиться $c$.

1. Пусть $c > 0$. Полагая ${{c}_{1}} = \sqrt c $, получим следующее семейство решений:

$u(x,t) = {{c}_{1}}\frac{{{{c}_{2}}{{e}^{{{{c}_{1}}{\kern 1pt} t}}} + 1}}{{{{c}_{2}}{{e}^{{{{c}_{1}}{\kern 1pt} t}}} - 1}},\,\,\,\,{{c}_{1}} > 0.$

2. При $c < 0$ получим

$u(x,t) = 2{{c}_{1}}{\text{tg}}({{c}_{2}} - {{c}_{1}}t),\,\,\,\,{{c}_{1}} = {{\sqrt {\left| c \right|} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {\left| c \right|} } {2 > 0}}} \right. \kern-0em} {2 > 0}}.$

3. Если $c = 0$, то

$u(x,t) = \frac{2}{{t - {{c}_{1}}}}.$

2. МЕТОД БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

Будем искать решения в виде $u(x,t) = f(\xi )$, $\xi = x - \alpha t$, $\alpha = {\text{const}} \ne 0$. Подставив это выражение в уравнение, после упрощений получим:

${{f}^{{{\text{IV}}}}}(\xi ) - \frac{{{{\alpha }^{2}} - 1}}{{{{\alpha }^{2}}}}f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\xi ) + \frac{1}{\alpha }f(\xi )f{\kern 1pt} '(\xi ) = 0.$

Проинтегрируем это уравнение, получим

(5)

$f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\xi ) - \beta f{\kern 1pt} {\kern 1pt} '(\xi ) + \gamma {{f}^{2}}(\xi ) = \delta ,$

где

$\beta = \frac{{{{\alpha }^{2}} - 1}}{{{{\alpha }^{2}}}},\,\,\,\,\gamma = \frac{1}{{2\alpha }},$

$\delta $ – пока произвольная постоянная.

2.1. Анализ Пенлеве

Тест Пенлеве, применяемый к обыкновенному дифференциальному уравнению порядка $N$ относительно функции $f(\xi )$, представляет собой исследование того, представимо ли его общее решение в виде ряда Лорана

$f(\xi ) = {{(\xi - {{\xi }_{0}})}^{{ - p}}}\sum\limits_{m = 0}^\infty {{A}_{m}}{{(\xi - {{\xi }_{0}})}^{m}},$

где $p$ – некоторое постоянное натуральное число, а ${{\xi }_{0}}$ и какие-то $(N - 1)$ из коэффициентов ${{A}_{m}}$ произвольны (см. [6, гл. 10] и [11]). Тест состоит из следующих этапов.

1. Найти начальный член разложения ${{A}_{0}}{{(\xi - {{\xi }_{0}})}^{{ - p}}}$. Должны получиться ненулевая постоянная A₀ и натуральная постоянная p, иначе – тест не пройден.

2. Найти индексы Фукса ${{m}_{1}},...,{{m}_{{N - 1}}}$, т.е. номера членов ряда, в которых могут быть произвольные коэффициенты. Для этого строится алгебраическое уравнение относительно m степени N, которое должно иметь корень $m = - 1$ и (N – 1) различных целых неотрицательных корней (иначе тест не пройден).

3. Проверить, что коэффициенты с номерами $m = {{m}_{1}},...,m = {{m}_{{N - 1}}}$ действительно произвольны.

Если все этапы пройдены корректно, то уравнение прошло тест и имеет общее решение требуемого вида, иначе – нет.

Утверждение 1. Уравнение (5) не проходит тест Пенлеве ни при каких значениях параметров.

Попробуем применить тест. Сначала подставим в уравнение “нулевое приближение” – только начальный член разложения $f = {{A}_{0}}{{(\xi - {{\xi }_{0}})}^{{ - p}}}$:

где подчеркнуты ведущие члены, т.е. члены, соответствующие наибольшим по модулю отрицательным степеням $(\xi - {{\xi }_{0}})$. На первых двух этапах существенную роль играют только они. “Укороченное уравнение”, содержащее только эти члены, должно выполняться тождественно:

$ - p(p + 1)(p + 2){{A}_{0}}{{(\xi - {{\xi }_{0}})}^{{ - p - 3}}} + \gamma {\rm A}_{0}^{2}{{(\xi - {{\xi }_{0}})}^{{ - 2p}}} \equiv 0,$

следовательно, A₀ = 60/γ, p = 3.

Перейдем ко второму этапу. Подставим в “укороченное уравнение” двучлен $f = {{A}_{0}}{{(\xi - {{\xi }_{0}})}^{{ - p}}} + {{A}_{m}}{{(\xi - {{\xi }_{0}})}^{{m - p}}}$ и упростим. Здесь существенную роль играют только члены, пропорциональные первой степени A_m, поэтому, пренебрегая членами с большими степенями A_m, получим

${{A}_{m}}{{(\xi - {{\xi }_{0}})}^{{m - 6}}}[(m - 3)(m - 4)(m - 5) + 120] \equiv 0.$

Несложно убедиться, что это уравнение имеет корень m = –1, тогда как два других корня не являются действительными числами. Это свидетельствует о том, что уравнение не проходит тест Пенлеве, что требовалось доказать.

Понизим порядок уравнения (5), положив $g = f{\kern 1pt} {\kern 1pt} '$. После упрощений получим

(6)

$g{{\left( {\frac{{dg}}{{df}}} \right)}^{2}} + {{g}^{2}}\frac{{{{d}^{2}}g}}{{d{{f}^{2}}}} - \beta g + \gamma {{f}^{2}} = \delta .$

Утверждение 2. Уравнение (6) тоже не проходит тест Пенлеве ни при каких значениях параметров.

Действительно, попытка применить тест приводит к некорректному результату первого этапа. А именно, или A₀ = 0, или p не является натуральным числом.

Теперь будем строить семейства частных решений уравнения (5).

2.2. Решение – обобщенный многочлен 1-го типа

Построим решения (5) вида

(7)

$f(\xi ) = {{P}_{n}}({{\xi }^{{ - 1}}}),$

где $n$ – пока произвольное натуральное число. Подставим это выражение в (5), заметив, что дифференцирование по $\xi $ многочлена от ${{\xi }^{{ - 1}}}$ увеличивает степень многочлена на $1$:

${{P}_{{n + 3}}}({{\xi }^{{ - 1}}}) - \beta {{P}_{{n + 1}}}({{\xi }^{{ - 1}}}) + \gamma {{P}_{{2n}}}({{\xi }^{{ - 1}}}) = \delta .$

Очевидно, $n + 1 < n + 3$. Пусть $n + 3 = 2n$: в противном случае старший коэффициент в (7) будет равен нулю, т.е. степень этого многочлена будет меньше $n$. Значит, $n = 3$, и решение имеет вид

$f(\xi ) = a{{\xi }^{{ - 3}}} + b{{\xi }^{{ - 2}}} + c{{\xi }^{{ - 1}}} + d,\,\,\,\,a \ne 0.$

Подставим это выражение в (5), раскроем скобки и сгруппируем члены с одинаковыми степенями $\xi $. Для тождественного выполнения равенства потребуем равенства нулю коэффициента при каждой степени $\xi $. Таким образом, придем к системе:

$\begin{gathered} - \gamma a + 60 = 0, \\ 2b( - \gamma a + 12) = 0, \\ - 2\gamma ac - \gamma {{b}^{2}} - 3\beta a + 6c = 0, \\ \beta b + \gamma bc + \gamma ad = 0, \\ \beta c + \gamma {{c}^{2}} + 2\gamma bd = 0, \\ \gamma cd = 0, \\ \gamma {{d}^{2}} = 0. \\ \end{gathered} $

Выразим $\gamma a$ из первого уравнения и подставим во второе. Тогда легко получим, что $b = 0$. А так как $\gamma \ne 0$, то из последнего уравнения получим, что и $d = 0$. Если $b = d = 0$, то четвертое и шестое уравнения выполняются тождественно. Поэтому систему можно переписать в виде

$\begin{gathered} a = {{60} \mathord{\left/ {\vphantom {{60} \gamma }} \right. \kern-0em} \gamma }, \\ b = d = 0, \\ - 19c - {{30\beta } \mathord{\left/ {\vphantom {{30\beta } \gamma }} \right. \kern-0em} \gamma } = 0, \\ c(\beta + \gamma c) = 0. \\ \end{gathered} $

Легко убедиться, что если $\beta = 0$, то и $c = 0$, иначе система несовместна. Условие $\beta = 0$ равносильно условию $\left| \alpha \right| = 1$. Значит, при названном условии непротиворечивости решение (5) имеет вид $f(\xi ) = 120\alpha {{\xi }^{{ - 3}}}$. Заметим, что исходное уравнение не меняется при сдвиге времени. Поэтому, возвращаясь к первоначальным обозначениям, внесем произвольный параметр $c$:

$u(x,t) = \pm 120{{(x \mp t + c)}^{{ - 3}}}.$

Рассмотрим одну “ветвь” этого решения: $u = 120{{\left( {x + c - t} \right)}^{{ - 3}}}$. В тех точках x, где $x + c > 0$, решение будет обращаться в бесконечность при $t = x + c$. А при $x + c < 0$ решение будет ограничено глобально по времени: $\left| u \right|\leqslant \,\,120{{\left| {x + c} \right|}^{{ - 3}}}$. Заметим, что если рассматривать $x \in [0;l]$, то условие c > 0 будет достаточным для обращения решения в бесконечность во всех точках в соответствующие моменты времени, а условие c + l < 0 будет достаточным для ограниченности решения глобально по времени равномерно по x: $\left| u \right|\,\,\leqslant \,\,120{{\left| {l + c} \right|}^{{ - 3}}}$. Аналогично можно рассмотреть “ветвь” решения с другой комбинацией знаков. Таким образом, построены примеры решений, соответствующие первому и второму типам качественного поведения решений, указанным в теореме 1.

2.3. Решение – обобщенный многочлен 2-го типа

Идею предыдущего раздела можно обобщить следующим образом. Будем строить решения вида

(8)

$f(\xi ) = {{P}_{m}}(T(\xi )),$

где $T( \cdot )$ задается с помощью автономного дифференциального уравнения:

(9)

$\frac{{dT}}{{d\xi }} = {{P}_{n}}(T)$

(показатели $m$ и $n$ надо определить).

Заметим, что

$\frac{{df}}{{d\xi }} = \frac{{df}}{{dT}}\frac{{dT}}{{d\xi }} = {{P}_{{m - 1}}}(T){{P}_{n}}(T) = {{P}_{{m + n - 1}}}(T).$

Аналогично можно показать, что $f{\kern 1pt} {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\xi ) = {{P}_{{m + 2n - 2}}}(T)$, $f{\kern 1pt} {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\xi ) = {{P}_{{m + 3n - 3}}}(T)$, ${{f}^{2}}(\xi ) = {{P}_{{2m}}}(T)$. Значит, можно переписать уравнение (5) в следующем виде:

${{P}_{{m + 3n - 3}}}(T) - \beta {{P}_{{m + n - 1}}}(T) + \gamma {{P}_{{2m}}}(T) = \delta .$

Потребуем, чтобы два из показателей $m + 3n - 3$, $m + n - 1$ и $2m$ были равны, а третий – не больше двух других (в противном случае степень многочлена в (8) или (9) можно понизить). Пусть $m + 3n - 3 = 2m\,\, \geqslant \,\,m + n - 1$, откуда $m = 3(n - 1)$, $n\; \geqslant \;2$ (в двух других возможных случаях получим только неположительные $m$).

Рассмотрим комбинацию $m = 3$, $n = 2$:

$f(\xi ) = \sum\limits_{k = 0}^3 {{a}_{k}}{{T}^{k}},\,\,\,\,\frac{{dT}}{{d\xi }} = \sum\limits_{k = 0}^2 {{b}_{k}}{{T}^{k}}.$

Эти выражения упростятся, если взять $\sqrt[3]{{{{a}_{3}}}}\left( {T + {{{{b}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{b}_{1}}} {(2{{b}_{2}})}}} \right. \kern-0em} {(2{{b}_{2}})}}} \right)$ за новую переменную, зависящую от $\xi $, и переобозначить коэффициенты. Следовательно, не нарушая общности, можно искать решения вида

$f(\xi ) = {{T}^{3}} + a{{T}^{2}} + bT + c,\,\,\,\,\frac{{dT}}{{d\xi }} = \mu {{T}^{2}} + d.$

С помощью этих выражений представим $f{\kern 1pt} {\kern 1pt} '(\xi )$, $f{\kern 1pt} {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\xi )$ и ${{f}^{2}}(\xi )$ в виде многочленов от $T$. Подставим эти выражения в (5), раскроем скобки и сгруппируем члены с одинаковыми степенями $T$:

$\begin{gathered} (60{{\mu }^{3}} + \gamma ){{T}^{6}} + (24a{{\mu }^{3}} + 2a\gamma ){{T}^{5}} + (2b\gamma + {{a}^{2}}\gamma - 3\beta \mu + 114d{{\mu }^{2}} + 6b{{\mu }^{3}}){{T}^{4}} + \\ + \,\,(2c\gamma + 2ab\gamma - 2a\beta \mu + 40ad{{\mu }^{2}}){{T}^{3}} + (2ac\gamma + {{b}^{2}}\gamma - b\beta \mu - 3d\beta + 60{{d}^{2}}\mu + 8bd{{\mu }^{2}}){{T}^{2}} + \\ + \,\,(16a{{d}^{2}}\mu - 2ad\beta + 2bc\gamma )T + (2b{{d}^{2}}\mu - bd\beta + {{c}^{2}}\gamma + 6{{d}^{3}}) = \delta . \\ \end{gathered} $

Для тождественного выполнения этого соотношения потребуем равенства нулю коэффициента при каждой степени $T$ (аналогичных условий на свободный член можно не налагать в силу произвольности $\delta $). Придем к системе:

$\begin{gathered} 60{{\mu }^{3}} + \gamma = 0, \\ 2a(12{{\mu }^{3}} + \gamma ) = 0, \\ 2b\gamma + {{a}^{2}}\gamma - 3\beta \mu + 114d{{\mu }^{2}} + 6b{{\mu }^{3}} = 0, \\ 2c\gamma + 2ab\gamma - 2a\beta \mu + 40ad{{\mu }^{2}} = 0, \\ 2ac\gamma + {{b}^{2}}\gamma - b\beta \mu - 3d\beta + 60{{d}^{2}}\mu + 8bd{{\mu }^{2}} = 0, \\ 16a{{d}^{2}}\mu - 2ad\beta + 2bc\gamma = 0. \\ \end{gathered} $

Из первого уравнения найдем, что $\mu = - \sqrt[3]{{{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma {60}}} \right. \kern-0em} {60}}}}$. Кроме того, с учетом этого уравнения получим из второго, что $a = 0$. Тогда четвертое уравнение примет вид $2c\gamma = 0$, т.е. $c = 0$. Если $a = c = 0$, то шестое уравнение станет тождеством. Для определения других параметров остаются третье и пятое уравнения. Для их преобразования удобно выразить $\gamma $ через $\mu $ из первого. После упрощений они примут следующий вид:

(10)

$\begin{gathered} 38\mu d - 38{{\mu }^{2}}b = \beta , \\ - 60{{\mu }^{3}}{{b}^{2}} - b\beta \mu - 3d\beta + 60{{d}^{2}}\mu + 8bd{{\mu }^{2}} = 0. \\ \end{gathered} $

Подставим выражение для $\beta $ из первого уравнения во второе. После упрощений получим

(11)

$11{{b}^{2}}{{\mu }^{2}} - 42bd\mu + 27{{d}^{2}} = 0.$

Случай $d = 0$ можно исключить из рассмотрения. Действительно, если $d = 0$, то из системы следует, что и $\beta = b = 0$, откуда можно получить результат предыдущего раздела: $f$ пропорционально ${{\xi }^{{ - 3}}}$. Значит, (11) можно переписать в следующем виде:

$11{{\eta }^{2}} - 42\eta + 27 = 0,\,\,\,\,\eta = \frac{{b\mu }}{d}.$

Таким образом, $\eta = 3$ или $\eta = {9 \mathord{\left/ {\vphantom {9 {11}}} \right. \kern-0em} {11}}$. С помощью первого уравнения (9) получим отсюда выражения для $b$, а затем – для $d$.

Следовательно, $f( \cdot )$ зависит от ненулевых параметров $\mu $, $b$, $d$, которые определяются следующим образом:

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mu = - \sqrt[3]{{\frac{\gamma }{{60}}}},\,\,\,b = - \frac{{3\beta }}{{76{{\mu }^{2}}}},\,\,\,d = - \frac{\beta }{{76\mu }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mu = - \sqrt[3]{{\frac{\gamma }{{60}}}},\,\,\,\,b = \frac{{9\beta }}{{76{{\mu }^{2}}}},\,\,\,\,d = \frac{{11\beta }}{{76\mu }}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)$

Рассмотрим по отдельности эти комбинации параметров.

• Для комбинации (*) $T$ определяется уравнением

$\frac{{dT}}{{{{T}^{2}} - \frac{\beta }{{76{{\mu }^{2}}}}}} = \mu d\xi .$

Интегрируя это уравнение и разрешая относительно $T$, придем к следующим выражениям.

– Если $\beta > 0$, то

$T(\xi ) = \sqrt {\frac{\beta }{{76{{\mu }^{2}}}}} \frac{{1 + c{{e}^{{2\mu \sqrt {\frac{\beta }{{76{{\mu }^{2}}}}} \xi }}}}}{{1 - c{{e}^{{2\mu \sqrt {\frac{\beta }{{76{{\mu }^{2}}}}} \xi }}}}}.$

И при положительных, и при отрицательных $\mu $ можно упростить это выражение следующим образом:

$T(\xi ) = \frac{1}{{2\mu }}\sqrt {\frac{\beta }{{19}}} \frac{{1 + c{{e}^{{\sqrt {\frac{\beta }{{19}}} \xi }}}}}{{1 - c{{e}^{{\sqrt {\frac{\beta }{{19}}} \xi }}}}}.$

Кроме того,

$f(\xi ) = {{T}^{3}} - \frac{{3\beta }}{{76{{\mu }^{2}}}}T.$

Возвращаясь к первоначальным обозначениям, получим

$f(\xi ) = - \frac{{15}}{{{{\alpha }^{2}}}}{{\left( {\frac{{{{\alpha }^{2}} - 1}}{{19}}} \right)}^{{3/2}}}({{E}^{3}} - 3E),\,\,\,\,E = \frac{{1 + c{{e}^{{\sqrt {({{\alpha }^{2}} - 1)/(19{{\alpha }^{2}})} \xi }}}}}{{1 - c{{e}^{{\sqrt {({{\alpha }^{2}} - 1)/(19{{\alpha }^{2}})} \xi }}}}}.$

– Если $\beta < 0$, то, рассуждая аналогично, получим, что

$f(\xi ) = - 120\alpha {{\left( {\frac{{1 - {{\alpha }^{2}}}}{{76{{\alpha }^{2}}}}} \right)}^{{3/2}}}({{\tau }^{3}} + 3\tau ),\,\,\,\,\tau = {\text{tg}}\left( {\sqrt {\frac{{1 - {{\alpha }^{2}}}}{{76{{\alpha }^{2}}}}} \xi + c} \right).$

– Если $\beta = 0$, то получим повторение результата предыдущего раздела.

• Для комбинации (**) $T$ определяется уравнением

$\frac{{dT}}{{{{T}^{2}} + \frac{{11\beta }}{{76{{\mu }^{2}}}}}} = \mu d\xi .$

Аналогичным образом получим следующие семейства решений.

– Если $\beta > 0$, то

$f(\xi ) = - 120\sqrt {11} \alpha {{\left( {\frac{{{{\alpha }^{2}} - 1}}{{76{{\alpha }^{2}}}}} \right)}^{{3/2}}}(11{{\tau }^{3}} + 9\tau ),\,\,\,\,\tau = {\text{tg}}\left( {\sqrt {\frac{{11({{\alpha }^{2}} - 1)}}{{76{{\alpha }^{2}}}}} \xi + c} \right).$

– Если $\beta < 0$, то

$f(\xi ) = - \frac{{120\sqrt {11} \alpha }}{{{{{76}}^{{3/2}}}}}{{\left( {\frac{{1 - {{\alpha }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}}}} \right)}^{{3/2}}}(11{{E}^{3}} - 9E),\,\,\,\,E = \frac{{1 + c{{e}^{{\sqrt {{{11(1 - {{\alpha }^{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{11(1 - {{\alpha }^{2}})} {(19{{\alpha }^{2}})}}} \right. \kern-0em} {(19{{\alpha }^{2}})}}} \xi }}}}}{{1 - c{{e}^{{\sqrt {{{11(1 - {{\alpha }^{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{11(1 - {{\alpha }^{2}})} {(19{{\alpha }^{2}})}}} \right. \kern-0em} {(19{{\alpha }^{2}})}}} \xi }}}}}.$

– Если $\beta = 0$, то получим повторение результата предыдущего раздела.

3. РЕШЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Будем искать решения в виде

$u(x,t) = tf(x) + {{t}^{{ - 1}}}g(x) + h(x),$

где $f( \cdot )$, $g( \cdot )$ и $h( \cdot )$ – гладкие функции, подлежащие определению. Подставим это выражение в уравнение и раскроем скобки:

$\begin{gathered} 2{{t}^{{ - 3}}}g{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) + tf{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) + {{t}^{{ - 1}}}g{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) + h{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = 2{{t}^{{ - 3}}}g(x) + t{{f}^{2}}(x) - {{t}^{{ - 3}}}{{g}^{2}}(x) + \\ + \,\,h(x)f(x) - {{t}^{{ - 2}}}h(x)f(x). \\ \end{gathered} $

Для того чтобы обеспечить тождественное выполнение этого равенства, сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $t$ и приравняем к нулю соответствующие коэффициенты. Придем к системе:

$\begin{gathered} {{t}^{{ - 3}}}:\,\,2g{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = 2g(x) - {{g}^{2}}(x), \hfill \\ t:\,\,\,\,\,f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = {{f}^{2}}(x), \hfill \\ {{t}^{{ - 1}}}:\,\,g{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = 0, \hfill \\ 1:\,\,\,\,\,\,h{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = f(x)h(x), \hfill \\ {{t}^{{ - 2}}}:\,\,0 = - h(x)g(x). \hfill \\ \end{gathered} $

Из последнего уравнения видно, что хотя бы один из коэффициентов $g$ и $h$ равен нулю. Рассмотрим эти случаи отдельно.

• Пусть $g(x) = 0$. Тогда для $f$ и $h$ получим систему:

$\begin{gathered} f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = {{f}^{2}}(x), \\ h{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = f(x)h(x). \\ \end{gathered} $

Умножим первое уравнение на $f{\kern 1pt} {\kern 1pt} '$, заметив, что $f \ne {\text{const}}$, и проинтегрируем:

${{f'}^{2}} = \frac{{2{{f}^{3}}}}{3} + c.$

Вообще говоря, это уравнение можно проинтегрировать с помощью специальных функций. Ограничимся рассмотрением случая $c = 0$. Несложно убедиться, что в этом случае

$f(x) = \frac{6}{{{{{(x - {{c}_{1}})}}^{2}}}}.$

Тогда для $h$ получим уравнение Эйлера, из которого найдем:

$h(x) = {{c}_{2}}{{(x - {{c}_{1}})}^{3}} + {{c}_{3}}{{(x - {{c}_{1}})}^{{ - 2}}}.$

Таким образом,

$u(x,t) = \frac{{6t + {{c}_{2}}{{{(x - {{c}_{1}})}}^{5}} + {{c}_{3}}}}{{{{{(x - {{c}_{1}})}}^{2}}}}.$

Очевидно, эти решения ограничены на любых конечных промежутках времени (при фиксированных x), но являются бесконечно большими при неограниченном возрастании времени. Таким образом, построен пример решения, имеющего третий тип качественного поведения, указанный в теореме 1.

• Пусть $h(x) = 0$. Тогда для $f$ и $g$ получим систему:

$\begin{gathered} 2g{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = 2g(x) - {{g}^{2}}(x), \\ f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = {{f}^{2}}(x), \\ g{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x) = 0. \\ \end{gathered} $

Этой системе удовлетворяет только одна нетривиальная функция $g$, а именно, $g = 2$. Уравнение для $f$ рассматривалось в предыдущем пункте. Заметим, что исходное уравнение не меняется при сдвиге по $t$, а значит, в решении можно заменить $t$ на $t - {{c}_{1}}$. Таким образом, получим следующее семейство решений:

$u(x,t) = (t - {{c}_{1}})f(x) + \frac{2}{{t - {{c}_{1}}}},$

где $f(x)$ определяется квадратурой:

${{f'}^{2}} = \frac{{2{{f}^{3}}}}{3} + {{c}_{2}}.$

Это семейство имеет подмножество, выражающееся через элементарные функции:

$u(x,t) = \frac{{6(t - {{c}_{1}})}}{{{{{(x - c)}}^{2}}}} + \frac{2}{{t - {{c}_{1}}}}.$

4. ВЫВОДЫ

Построены следующие семейства решений уравнения (1).

• Тривиальные решения:

1) $u(x,t) = {{c}_{1}}x + {{c}_{2}}$;

2) $u(x,t) = {{c}_{1}}\frac{{{{c}_{2}}{{e}^{{{{c}_{1}}{\kern 1pt} t}}} + 1}}{{{{c}_{2}}{{e}^{{{{c}_{1}}{\kern 1pt} t}}} - 1}}$, ${{c}_{1}} > 0$;

3) $u(x,t) = 2{{c}_{1}}{\text{tg}}({{c}_{2}} - {{c}_{1}}t),$ ${{c}_{1}} > 0$;

4) $u(x,t) = \frac{2}{{t - {{c}_{1}}}}$.

• Решения типа бегущей волны ($u(x,t) = f(\xi )$, $\xi = x - \alpha t$):

1) $u(x,t) = \pm 120{{(x \mp t + c)}^{{ - 3}}}$;

2) $f(\xi ) = - \frac{{15}}{{{{\alpha }^{2}}}}{{\left( {\frac{{{{\alpha }^{2}} - 1}}{{19}}} \right)}^{{3/2}}}({{E}^{3}} - 3E)$, $E = \frac{{1 + c{{e}^{{\sqrt {({{\alpha }^{2}} - 1)/(19{{\alpha }^{2}})} \xi }}}}}{{1 - c{{e}^{{\sqrt {({{\alpha }^{2}} - 1)/(19{{\alpha }^{2}})} \xi }}}}}$;

3) $f(\xi ) = - 120\alpha {{\left( {\frac{{1 - {{\alpha }^{2}}}}{{76{{\alpha }^{2}}}}} \right)}^{{3/2}}}({{\tau }^{3}} + 3\tau )$, $\tau = {\text{tg}}\left( {\sqrt {\frac{{1 - {{\alpha }^{2}}}}{{76{{\alpha }^{2}}}}} \xi + c} \right)$;

4) $f(\xi ) = - 120\sqrt {11} \alpha {{\left( {\frac{{{{\alpha }^{2}} - 1}}{{76{{\alpha }^{2}}}}} \right)}^{{3/2}}}(11{{\tau }^{3}} + 9\tau )$, $\tau = {\text{tg}}\left( {\sqrt {\frac{{11({{\alpha }^{2}} - 1)}}{{76{{\alpha }^{2}}}}} \xi + c} \right)$;

5) $f(\xi ) = - \frac{{120\sqrt {11} \alpha }}{{{{{76}}^{{3/2}}}}}{{\left( {\frac{{1 - {{\alpha }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}}}} \right)}^{{3/2}}}(11{{E}^{3}} - 9E)$, $E = \frac{{1 + c{{e}^{{\sqrt {11(1 - {{\alpha }^{2}})/(19{{\alpha }^{2}})} \xi }}}}}{{1 - c{{e}^{{\sqrt {11(1 - {{\alpha }^{2}})/(19{{\alpha }^{2}})} \xi }}}}}$.

• Решения специального вида:

1) $u(x,t) = \frac{{6t + {{c}_{2}}{{{(x - {{c}_{1}})}}^{5}} + {{c}_{3}}}}{{{{{(x - {{c}_{1}})}}^{2}}}}$;

2) $u(x,t) = (t - {{c}_{1}})f(x) + \frac{2}{{t - {{c}_{1}}}}$, где $f(x)$ определяется квадратурой: $f{\kern 1pt} {{'}^{2}} = \frac{{2{{f}^{3}}}}{3} + {{c}_{2}}$. Это семейство имеет подмножество, выражающееся через элементарные функции: $u(x,t) = \frac{{6(t - {{c}_{1}})}}{{{{{(x - c)}}^{2}}}} + \frac{2}{{t - {{c}_{1}}}}$.

(Здесь c, c_1,2,3 – произвольные постоянные, α – произвольная постоянная, обеспечивающая корректность выражений, в которых она фигурирует.) Показано, что в этом списке есть решения, имеющие любой из трех типов качественного поведения, указанных в теореме 1. Кроме того, показано, что обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее решения типа бегущей волны, не проходит тест Пенлеве.

Список литературы

Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
Рабинович М.И. Автоколебания распределенных систем. Известия вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17. № 4. С. 477–510.
Корпусов М.О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях. М.: URSS, 2010.
Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.
Hayashi N., Kaikina E., Naumkin P., Shishmarev I. Asymptotics for Dissipative Nonlinear Equations. Springer-Verlag. 2006. 564 c.
Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2002.
Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического уравнения в частных производных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 11. С. 1870–1875.
Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического нелинейного уравнения четвертого порядка // Матем. заметки. 2019. Т. 105. Вып. 4. С. 506–517.
Aristov I. Exact Solutions of Three Nonclassical Equations, and Their Construction with Maple System // Lobachevskii J. Mathematics. 2019. V. 40. № 7. P. 851–860.
Aristov I., Kholomeeva A.A., Moiseev E.I. Application of the Painleve Test to a Nonlinear Partial Differential Equation // Lobachevskii J. Mathematics. 2022. V. 43. № 7. P. 1791–1794.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал