Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 11, стр. 1763-1798

1.1. Гипергеометрические интегралы типа Эйлера и функция Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$

Работа посвящена построению эффективного алгоритма для вычисления гипергеометрических контурных интегралов следующего вида:

где $({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{M}}) \in {{\mathbb{C}}^{M}}$ и $({{w}_{1}}, \ldots ,{{w}_{M}}) \in {{\mathbb{C}}^{M}}$ – векторы, составленные из комплексных чисел, а путь интегрирования $\mathcal{L}$ является кривой, соединяющей некоторые две точки комплексной плоскости $t$, например, точки ${{w}_{j}}$ и ${{w}_{k}}$, $j \ne k$, либо представляет собой контур Похгаммера, замкнутый на римановой поверхности подынтегральной функции (см. [1–3]). Интегралы (1.1) возникают во многих современных приложениях (см., например, [4–7]), а изучение их аналитических свойств привлекает внимание специалистов (см. [8–12]). Следуя [11, 13], будем называть (1.1) гипергеометрическими интегралами типа Эйлера. В настоящей работе эти интегралы рассматриваются в связи с вопросом об эффективном решении проблемы вычисления параметров интеграла Кристоффеля–Шварца и построения на этой основе конформного отображения многоугольных областей сложной формы (о проблеме параметров см. [14–17], а также п. 1.4 и разд. 6 ниже).

Интегралы типа Эйлера тесно связаны с функцией Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}({\mathbf{a}};b,c;{\mathbf{z}})$, представляющей собой гипергеометрическую функцию $N$ комплексных переменных ${\mathbf{z}}: = ({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}) \in {{\mathbb{C}}^{N}}$ и зависящую от набора комплексных параметров ${\mathbf{a}}: = ({{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{N}}) \in {{\mathbb{C}}^{N}}$ и $b,c, \in \mathbb{C}$ (об этой функции см. [18] и [2, 19, 20]). Функция $F_{D}^{{(N)}}$ в области

представима в виде следующего интеграла [2], который обобщает известную формулу Эйлера для функции Гаусса: где $\Gamma (s)$ – гамма-функция (см. [3]); в (1.3) предполагается, что $\operatorname{Re} c > \operatorname{Re} b > 0$. Правая часть (1.3) является однозначной аналитической функцией переменных ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}$ в области (1.2). Нетрудно увидеть, что интеграл (1.1) с помощью линейной замены переменных может быть приведен (с точностью до мультипликативной константы) к виду (1.3) или соответствующей модификации, которая возникает при использовании в качестве $\mathcal{L}$ петлеобразного контура Похгаммера.

В единичном поликруге

функция $F_{D}^{{(N)}}$ представима в виде следующего $N$-кратного гипергеометрического ряда (см. [2, 18, 19]):

В формуле (1.5) суммирование ведется по мультииндексу ${\mathbf{k}}: = ({{k}_{1}}, \ldots ,{{k}_{N}})$ с неотрицательными целыми компонентами ${{k}_{j}} \geqslant 0$, $j = \overline {1,N} $, причем $|{\kern 1pt} {\mathbf{k}}{\kern 1pt} |\;: = \sum\nolimits_{j = 1}^N {{k}_{j}}$, а для сокращенной записи произведений использованы традиционные обозначения:

Фигурирующий в (1.6) символ Похгаммера ${{(a)}_{k}}$ определяется через гамма-функцию $\Gamma (s)$ по формуле (см. [2, 3])

так что справедливы соотношения

Параметр $c$ в формуле (1.5) не принимает целых неположительных значений, т.е. $c \notin {{\mathbb{Z}}^{ - }}$.

Отметим, что указанное выше ограничение на параметры $\operatorname{Re} c > \operatorname{Re} b > 0$, требуемое для сходимости интеграла (1.2), может быть снято, если в (1.2) использовать интегрирование по петлеобразным контурам Похгаммера (см. [2]); при этом меняется множитель перед интегралом.

1.2. Вычисление интегралов типа Эйлера и аналитическое продолжение функции $F_{D}^{{(N)}}$

Высокоточное вычисление интеграла (1.3) при заданном наборе переменных ${\mathbf{z}}$ и параметров $b$, $c$, вообще говоря, является трудной задачей. Ряд (1.5) может быть применен для такого вычисления, только если ${\mathbf{z}}$ лежит в поликруге ${{\mathbb{U}}_{\rho }}: = \{ {\kern 1pt} {\text{|}}{{z}_{j}}{\text{|}} < \rho ,j = \overline {1,N} \} $ достаточно малого радиуса $\rho $. Если же ${\mathbf{z}} \notin {{\bar {\mathbb{U}}}_{\rho }}$ при $\rho = 1$, то ряд расходится и заведомо не может быть использован для вычисления (1.3). В связи со сказанным естественным образом возникает задача о получении для интеграла (1.3) набора представлений в виде обобщенных гипергеометрических рядов, экспоненциально сходящихся в таких подобластях ${{\mathbb{C}}^{N}}$, объединение которых покрывает все множество ${{\mathbb{C}}^{N}}{{\backslash }}\mathbb{U}_{\rho }^{N}$ с некоторым $\rho < 1$.

Решение этой задачи дают формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, построенные в [20, 21], а также в разд. 3 настоящей работы. Каждая из таких формул имеет следующий вид:

где набор функций $\{ {{u}_{j}}({\mathbf{a}};b,c;{\mathbf{z}})\} _{{j = 0}}^{N}$, представимых в терминах гипергеометрических рядов Горна, зависящих от $N$ переменных, образует в области $\Omega $ базис для пространства решений системы уравнений с частными производными, которой удовлетворяет функция Лауричеллы (об этой системе уравнений см. [2, 18, 19], а необходимые сведения о ней приведены ниже в п. 1.3). В формуле (1.9) коэффициенты ${{\lambda }_{j}} \in \mathbb{C}$ зависят от параметров ${{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{N}}$, $b$, $c$. Область $\Omega $, где ряды ${{u}_{j}}$ одновременно сходятся, имеет непустое пересечение с дополнением к единичному поликругу ${{\mathbb{U}}^{N}}$, т.е. справедливо соотношение $\Omega \cap ({{\mathbb{C}}^{N}}{{\backslash }}{{\mathbb{U}}^{N}}) \ne \emptyset $.

Отметим, что представления вида (1.9) являются обобщением классических формул аналитического продолжения функции Гаусса одного переменного на случай $N$ переменных, а фигурирующие в (1.9) функции ${{u}_{j}}({\mathbf{z}})$ играют для приведенной ниже системы (1.10) ту же роль, что и канонические решения Куммера (см. [1–3]) для гипергеометрического уравнения, которому удовлетворяет функция Гаусса. Построенные формулы аналитического продолжения вида (1.9) являются вкладом в решение общей проблемы аналитического продолжения рядов Горна (о гипергеометрических функциях Горна см. [22]). Общий подход к нахождению формул продолжения таких рядов предложен в [23]. Отметим, что изучению функций Горна посвящены многие современные работы (см., например, [24–28]).

1.3. Система уравнений Лауричеллы и результаты об аналитическом продолжении

Интеграл типа Эйлера (1.3) и гипергеометрический ряд Лауричеллы (1.5), рассматриваемые как функции переменных ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}$, удовлетворяют следующей системе из $N$ линейных уравнений второго порядка с частными производными (см. [2, 18, 19]):

где ${{\theta }_{s}}: = {{z}_{s}}\partial {\text{/}}\partial {{z}_{s}}$, а величины ${{a}_{j}}$, $b$ и $c$ – параметры функции Лауричеллы. Голоморфный ранг системы (1.10) равен $N + 1$ и, таким образом, ее общее решение зависит от $(N + 1)$-й произвольной комплексной постоянной (см. [2, 18]). Особым множеством $\mathcal{M}$ системы (1.10) является объединение гиперплоскостей где $\tau \in \mathcal{S}: = \{ 0,1,\infty \} $, и гиперплоскостей здесь индексы $j$, $l = \overline {1,N} $, $j \ne l$. В частности, множеству $\mathcal{M}$ принадлежат такие точки ${\mathbf{z}}$, у которых для всех компонент ${{z}_{j}}$ выполняется включение ${{z}_{j}} \in \mathcal{S}$, $j = \overline {1,N} $, например, точки $(1, \ldots ,1)$ и $(\infty , \ldots ,\infty )$, у которых все $N$ компонент равны соответственно единице или бесконечности, а также точки $(1, \ldots ,1,\infty , \ldots ,\infty )$, у которых первые k компонент равны единице, а остальные –бесконечности. Систему уравнений (1.12) для краткости будем обозначать $E_{D}^{{(N)}}$.

В [20] при произвольном $N$ представлен набор формул аналитического продолжения (1.9) функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, области сходимости которых в совокупности покрывают ${{\mathbb{C}}^{N}}$ за исключением гиперплоскостей ${{\mathcal{M}}_{{j,l}}}$, определенных равенством (1.12). Граница области сходимости каждой из таких формул содержит часть одной или нескольких гиперплоскостей ${{\mathcal{M}}_{{j,l}}}$, поэтому указанный набор формул адекватно представляет функцию $F_{D}^{{(N)}}$ и позволяет ее вычислять, когда аргумент ${\mathbf{z}}$ лежит достаточно далеко от ${{\mathcal{M}}_{{j,l}}}$. В [21] при произвольном $N$ предложен способ построения формул аналитического продолжения нового типа, позволяющий для любого пересечения S гиперплоскостей ${{\mathcal{M}}_{{j,l}}}$ указать представление вида (1.9), область сходимости которого имеет непустое пересечение с S.

В настоящей работе, продолжающей исследования [20, 21], для построения формул аналитического продолжения функции Лауричеллы мы воспользовались следующим тождестовм (см. [2]):

а затем применили к его правой части результаты об аналитическом продолжении, полученные в [20, 21]. При произвольном числе переменных функции Лауричеллы формулы аналитического продолжения, выведенные таким способом, представлены в разд. 2, 3 (см. теоремы 2 и 4). В разд. 3–5 даны примеры применения теорем 2 и 4 для случая $N = 3$ и 6 переменных. Найденные в разд. 2–5 формулы удобны для вычисления интегралов (1.1), (1.3) и ориентированы на решение проблемы параметров интеграла Кристоффеля–Шварца.

Построенные формулы аналитического продолжения позволяют адекватно и удобно с вычислительной точки зрения представить функцию $F_{D}^{{(N)}}$, в том числе в тех случаях, когда ее переменные ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}$ делятся на группы близких величин. Такую ситуацию будем называть кроудингом (от английского слова “to crowd” – толпиться, сбиваться в кучу), заимствуя этот термин из работ, посвященных практике построения конформного отображения прямолинейных многоугольников на основе интеграла Кристоффеля–Шварца (см. [16, 17, 29, 30]). В этих работах кроудинг означает резко неравномерное распределение значений параметров интеграла, являющихся прообразами вершин многоугольника.

В следующем п. 1.4 обсуждается связь функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ и задачи о вычислении параметров интеграла Кристоффеля–Шварца. В разд. 6 рассматривается вопрос о вычислении этой функции и представлены примеры численного решения проблемы параметров интеграла Кристоффеля–Шварца для двух многоугольников сложного вида.

1.4. Проблема параметров интеграла Кристоффеля–Шварца

Обозначим через ${{w}_{0}}, \ldots ,{{w}_{{N + 2}}}$ вершины многоугольника $\mathcal{B}$, а через $\pi {{\beta }_{0}}, \ldots ,\pi {{\beta }_{{N + 2}}}$ – измеряемые по области углы в этих вершинах (см. фиг. 1). Величины ${{\beta }_{j}}$ называют показателями углов. Предположим, что бесконечно удаленная точка не является внутренней для области $\mathcal{B}$. Будем рассматривать отображение $w = \mu (\zeta )$ верхней полуплоскости ${{\mathbb{H}}^{ + }}: = \{ \zeta :\operatorname{Im} \zeta > 0\} $ на многоугольник $\mathcal{B}$, подчиненное следующим условиям нормировки, которые его однозначно определяют:

Согласно [14–17] отображение $w = \mu (\zeta )$ может быть записано в виде интеграла Кристоффеля–Шварца, имеющего следующий вид:

где ${{\mathcal{K}}_{0}}$, $\tilde {w}: = \mu (\widetilde \zeta )$ – некоторые постоянные, а вещественные параметры ${{\zeta }_{j}}: = {{\mu }^{{ - 1}}}({{w}_{j}})$, фигурирующие в подынтегральном выражении, являются прообразами вершин ${{w}_{j}}$ многоугольника. Величины ${{\zeta }_{j}}$, $j = \overline {1,N} $ и ${{\mathcal{K}}_{0}}$ однозначно определяются геометрией области $\mathcal{B}$, но заранее неизвестны. Задачу об их нахождении называют проблемой параметров интеграла Кристоффеля–Шварца.

Методы вычисления неизвестных параметров интеграла Кристоффеля–Шварца предложены в работах [16, 31–40]. Особенно сложной проблема их нахождения становится в ситуации кроудинга (см. [16, 17, 29, 30]), [39], под которым, как отмечено выше в п. 1.3, понимается резко неравномерное расположения величин ${{\zeta }_{j}}$. Различные подходы к решению проблемы кроудинга были предложены в работах [16, 34, 36, 39–42], однако она по-прежнему остается далекой от решения. Существенного прогресса в решении проблемы кроудинга, как продемонстрировано в [20, 38], можно ожидать с помощью подхода, основанного на применении формул (1.9) аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$. Отметим, что связь функции Лауричеллы и проблемы параметров интеграла Кристоффеля–Шварца указана в [35].

Далее будем рассматривать случай, когда все вершины ${{w}_{j}}$, $j = \overline {0,N + 1} $, конечны, т.е. соответствующие показатели углов удовлетворяют соотношениям $1 \ne {{\beta }_{j}} \in (0,2]$, $j = \overline {0,N + 1} $. Для нахождения параметров ${{\zeta }_{j}}$ интеграла Кристоффеля–Шварца (1.15) прежде всего сформируем систему из $N + 1$ нелинейных уравнений, следуя известному способу [14–17]. Вычисляя модуль разности ${\text{|}}\mu ({{\zeta }_{{s + 1}}}) - \mu ({{\zeta }_{s}}){\text{|}}$ с помощью формулы (1.15) и приравнивая полученную величину длине стороны ${{L}_{s}}: = {\text{|}}{{w}_{{s + 1}}} - {{w}_{s}}{\text{|}}$, приходим к следующему уравнению:

где ${\mathbf{x}} = ({{\zeta }_{1}}, \ldots ,{{\zeta }_{N}})$ – вектор, составленный из неизвестных прообразов, а ${{I}_{s}}({\mathbf{x}})$ – модуль интеграла из формулы (1.15), взятого между точками ${{\zeta }_{s}}$ и ${{\zeta }_{{s + 1}}}$:

Если все вершины ${{w}_{s}}$, кроме, быть может, ${{w}_{{N + 2}}}$, конечны, то равенства (1.17) при $s = \overline {0,N} $ образуют требуемую систему из $N + 1$ уравнений для определения вектора прообразов ${\mathbf{x}}$ и коэффициента ${{\mathcal{K}}_{0}}$ (см. [14–17]).

Для дальнейших рассуждений удобно ввести вектор ${\mathbf{a}}$ и числа $b$, $c$, связанные с показателями ${{\beta }_{j}}$ углов многоугольника по формулам

так что $1 - {{\beta }_{{N + 1}}} = 1 + b - c$, $1 - {{\beta }_{0}} = c - \sum\nolimits_{j = 1}^N {\kern 1pt} {{a}_{j}}$, а кроме того, определить функцию зависящую от $N$ комплексных переменных $({{\zeta }_{1}}, \ldots ,{{\zeta }_{N}}) = {\mathbf{x}}$.

Далее, приведем формулы [20, 38], дающие представления для интегралов (1.17), фигурирующих в левой части (1.16), через функцию Лауричеллы. Такие формулы получаются после преобразования точек ${{\zeta }_{s}}$ и ${{\zeta }_{{s + 1}}}$ с помощью линейной замены переменных в концы единичного отрезка и применения представление типа Эйлера (1.3); интегралы (1.17) при этом выражаются в виде

где коэффициенты ${{C}_{k}}$ задаются равенствами а величины ${{\mathcal{I}}_{k}}({\mathbf{x}}) = {{\mathcal{I}}_{k}}({\mathbf{a}};b,c;{\mathbf{x}})$, $k = \overline {0,N} $, определяются через функцию Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ по формулам здесь параметры ${{{\mathbf{a}}}_{k}}$, ${{b}_{k}}$ и ${{c}_{k}}$ записываются через величины (1.18): векторы ${{{\mathbf{x}}}_{k}}$ выражаются через прообразы ${{\zeta }_{j}}$, $j = \overline {1,N} $, по следующим формулам: а $\mathcal{Y}({\mathbf{x}})$ определяется из (1.19).

Мы не рассматриваем случай, когда одна или несколько вершин ${{w}_{j}}$, $j = \overline {0,N + 1} $, являются бесконечно удаленными. Отметим только, что в такой ситуации система уравнений для параметров интеграла (1.15) также может быть записана в терминах функции Лауричеллы (см. [20, 38]).

Примеры решения системы (1.16), (1.20)–(1.28) и вычисления отображающей функции $\mu (\zeta )$ для конкретных областей $\mathcal{B}$ приведены в разд. 6.

2.1. Аналитическое продолжение функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ в окрестность точки $(1, \ldots ,1)$

Прежде всего сформулируем теорему об аналитическом продолжении функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ по всем переменным ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}$ в окрестность точки $(1, \ldots ,1)$ (см. [20]). Формулы аналитического продолжения, которые дает эта теорема, соответствуют случаю, когда аргумент функции Лауричеллы лежит достаточно далеко от гиперплоскостей вида ${{\mathcal{M}}_{{k,m}}}: = \{ {{z}_{k}} = {{z}_{m}}\} $.

Выпишем следующий гипергеометрический ряд (в несколько иных обозначениях, приведенный в [2]):

где выражение $|{\kern 1pt} {{{\mathbf{k}}}_{j}}{\kern 1pt} |$ для мультииндекса ${\mathbf{k}} = ({{k}_{1}}, \ldots ,{{k}_{N}})$ означает ${\text{|}}{{{\mathbf{k}}}_{j}}{\text{|}}: = \sum\nolimits_{s = j}^N {\kern 1pt} {{k}_{s}} - \sum\nolimits_{s = 1}^{j - 1} {\kern 1pt} {{k}_{s}}$, а параметр j может принимать значения $1$, $ \ldots ,N + 1$. Напомним, что символ Похгаммера ${{(a)}_{k}}$ для отрицательных целых значений $k$ определяется из (1.8). Областью сходимости ряда (2.1) при всех $j = \overline {1,N + 1} $ является единичный поликруг ${{\mathbb{U}}^{N}}$.

Справедливо следующее утверждение (см. теорему 2 в [20]).

Теорема 1. Если ни одно из чисел $(c - \sum\nolimits_{s = 1}^j {{a}_{s}} - b)$, $j = \overline {1,N} $, не является целым, то аналитическое продолжение функции Лауричеллы (1.5) в область

дается формулой где функции $\mathcal{U}_{0}^{{(1)}}$, $\mathcal{U}_{j}^{{(1)}}$ определяются равенствами в (2.4), (2.5) под $F_{D}^{{(N)}}$ и ${{G}^{{(N,j)}}}$ понимаются ряды (1.5) и (2.1), а коэффициенты ${{A}_{j}}$ в (2.3) имеют вид

Функции (2.4), (2.5) образуют базис в пространстве решений системы уравнений с частными производными (1.10) в области ${{\mathbb{K}}^{N}}$.

Пусть ${{S}_{N}}$ – группа перестановок множества из $N$ элементов, а $\sigma ({\mathbf{z}})$ – результат действия некоторого элемента $\sigma \in {{S}_{N}}$ на вектор ${\mathbf{z}}$, т.е. вектор, получаемый перестановкой компонент ${\mathbf{z}}$. Введем области, совпадающие с ${{\mathbb{K}}^{N}}$ с точностью до симметрий:

Отметим, что функция Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ удовлетворяет следующим соотношениям симметрии, вытекающим непосредственно из представлений в виде интеграла (1.3) или ряда (1.5):

Из теоремы 1 с помощью несложных рассуждений могут быть найдены формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы в области $\mathbb{K}_{\sigma }^{N}$ для всех $\sigma \in {{S}_{N}}$. Действительно, учитывая, что включение ${\mathbf{z}} \in \mathbb{K}_{\sigma }^{N}$ влечет $\sigma ({\mathbf{z}}) \in {{\mathbb{K}}^{N}}$, и применяя теорему 1 к правой части (2.8), получаем, что аналитическое продолжения функции $F_{D}^{{(N)}}$ в область $\mathbb{K}_{\sigma }^{N}$ осуществляется формулой (2.3) с заменой в ее правой части, т.е. в коэффициентах ${{A}_{j}} = {{A}_{j}}({\mathbf{a}};b,c;{\mathbf{z}})$ и функциях $\mathcal{U}_{j}^{{(1)}}({\mathbf{a}};b,c;{\mathbf{z}})$, определяемых из (2.4), (2.5), параметра ${\mathbf{a}}$ на $\sigma ({\mathbf{a}})$ и аргумента ${\mathbf{z}}$ на $\sigma ({\mathbf{z}})$. Точнее, справедливо следующее утверждение.

Следствие 1. Предположим, что для параметров $({{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{N}})$, $b$, $c$ выполнены соотношения $\left( {c - \sum\nolimits_{s = 1}^j {{{\tilde {a}}}_{s}} - b} \right) \notin \mathbb{Z}$, $j = \overline {1,N} $, где $\sigma $ – элемент группы перестановок ${{S}^{N}}$, и ${{\tilde {a}}_{s}}$ – элемент с номером $s$ вектора $\sigma ({\mathbf{a}})$. Тогда

i) аналитическое продолжение ряда (1.5) в область $\mathbb{K}_{\sigma }^{N}$, заданную равенством (2.7), дается формулой

где функции $\mathcal{U}_{{j,\sigma }}^{{(1)}}({\mathbf{a}};b,c;{\mathbf{z}}): = \mathcal{U}_{j}^{{(1)}}(\sigma ({\mathbf{a}});b,c;\sigma ({\mathbf{z}}))$ определяются по формулам (2.4), (2.5) с заменой в них векторов ${\mathbf{a}}$ на $\sigma ({\mathbf{a}})$ и ${\mathbf{z}}$ на $\sigma ({\mathbf{z}})$, а коэффициенты ${{A}_{{j,\sigma }}}: = {{A}_{j}}(\sigma ({\mathbf{a}});b,c)$ даются равенствами (2.6) с заменой в них ${\mathbf{a}}$ на $\sigma ({\mathbf{a}})$;

ii) набор функций

является базисом в пространстве решений системы (1.10) в области $\mathbb{K}_{\sigma }^{N}$, определенной по фор-муле (2.7).

2.2. Аналитическое продолжение функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ в окрестность точки $(1, \ldots ,1,\infty , \ldots ,\infty )$

Построим формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ для случая, когда первые $\nu - 1$ переменных ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{{\nu - 1}}}$ близки к единице, а остальные $N - \nu + 1$ переменных ${{z}_{\nu }}, \ldots ,{{z}_{N}}$ принимают большие по модулю значения. Будем предолагать при этом, что справедливы неравенства

Используя соотношение симметрии (2.8), переставим в правой части тождества (1.13) переменное ${{z}_{N}}{\text{/}}({{z}_{N}} - 1)$ и соответствующий ему параметр $c - \sum\nolimits_{s = 1}^N {\kern 1pt} {{a}_{s}}$ функции Лауричеллы так, чтобы они имели номер $\nu $ в списке переменных и параметров соответственно, т.е. перепишем (1.13) в виде

где через $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}({\mathbf{a}},c)$ и ${\mathbf{u}} = {\mathbf{u}}({\mathbf{z}})$ обозначены векторы параметров и переменных после указанной перестановки:

Нетрудно увидеть, что компоненты ${{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{N}}$ вектора (2.13) определяются по формулам

Вычисляя с помощью (2.14) величины $1 - {{u}_{k}}$, $k = \overline {1,N} $, находим

Таким образом, если переменные ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}$ удовлетворяют соотношениям (2.10), то, принимая во внимание (2.15), нетрудно заметить, что новые переменные ${{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{N}}$ функции

фигурирующей в правой части тождества (2.11), подчинены неравенствам

Учитывая эти неравенства, запишем формулы аналитического продолжения, которые устанавливает теорема 1, применительно к функции (2.16); затем, подставляя результат в правую часть тождества (2.11) и возвращаясь к исходным переменным ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}$, приходим к следующему утверждению.

Теорема 2. Предположим, что параметры функции Лауричеллы (1.5) таковы, что справедливы соотношения

Тогда аналитическое продолжение ряда (1.5) в область

дается формулойгде функция $\mathcal{U}_{0}^{{(1,\infty )}}$ имеет видфункции $\mathcal{U}_{j}^{{(1,\infty )}}$, $j = \overline {1,\nu - 1} $, определяются равенствамифункция $\mathcal{U}_{\nu }^{{(1,\infty )}}$ – равенствома функции $\mathcal{U}_{j}^{{(1,\infty )}}$, $j = \overline {\nu + 1,N} $, – равенствами

В формулах (2.19)–(2.22) под $F_{D}^{{(N)}}$ и ${{G}^{{(N,j)}}}$ понимаются ряды (1.5) и (2.1). В (2.18) коэффициенты ${{B}_{j}}$ имеют вид

Функции (2.19)–(2.22) образуют базис в пространстве решений системы уравнений с частными производными (1.10) в области ${{\mathbb{S}}^{{N,\nu }}}$.

Из теоремы 2 с помощью несложных рассуждений могут быть найдены формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы в области $\mathbb{S}_{\sigma }^{{N,\nu }}$ для всех $\sigma \in {{S}^{N}}$. Учитывая, что включение ${\mathbf{z}} \in \mathbb{S}_{\sigma }^{{N,\nu }}$ влечет $\sigma ({\mathbf{z}}) \in {{\mathbb{S}}^{{N,\nu }}}$, и применяя теорему 2 к правой части (2.8), получаем следующее утверждение.

Следствие 2. Предположим, что для параметров $({{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{N}})$, $b$, $c$ выполнены соотношения

где $\sigma $ – элемент группы перестановок ${{S}^{N}}$, а числа ${{\tilde {a}}_{s}},s = \overline {1,N} $, – элементы вектора $\sigma ({\mathbf{a}})$. Тогда

i) аналитическое продолжение ряда (1.5) в область $\mathbb{S}_{\sigma }^{{N,\nu }}:\{ {\kern 1pt} {\mathbf{z}} \in {{\mathbb{C}}^{N}}:\sigma ({\mathbf{z}}) \in {{\mathbb{S}}^{{N,\nu }}}\} $ дается формулой

где функции $\mathcal{U}_{{j,\sigma }}^{{(1,\infty )}}({\mathbf{a}};b,c;{\mathbf{z}}): = \mathcal{U}_{j}^{{(1,\infty )}}(\sigma ({\mathbf{a}});b,c;\sigma ({\mathbf{z}}))$ определяются по формулам (2.19)–(2.22) с заменой в них векторов ${\mathbf{a}}$ на $\sigma ({\mathbf{a}})$ и ${\mathbf{z}}$ на $\sigma ({\mathbf{z}})$, а коэффициенты ${{B}_{{j,\sigma }}}: = {{B}_{j}}(\sigma ({\mathbf{a}});b,c)$ даются равенствами (2.23)–(2.25) с заменой в них ${\mathbf{a}}$ на $\sigma ({\mathbf{a}})$;

ii) набор функций

является базисом пространства решений системы (1.10) в области $\mathbb{S}_{\sigma }^{{N,\nu }}$.

3.1. Формулы аналитического продолжения в окрестность точeк вида $(1, \ldots ,1,0, \ldots ,0)$, соответствующие пересечению гиперплоскостей $\{ {{z}_{m}} = {{z}_{k}}\} $

Представленные далее в п. 3.1.2 формулы аналитического продолжения (см. [21, 38]) соответствуют случаю, когда ${\text{|}}1 - {{z}_{j}}{\text{|}} < 1$, $j = \overline {1,\nu } $, а для остальных переменных справедливы соотношения ${\text{|}}{{z}_{j}}{\text{|}} < 1$, $j = \overline {\nu + 1,N} $. При этом предполагается, что некоторые из переменных с номерами $j = \overline {1,\nu } $ образуют один или несколько наборов, так что внутри каждого набора расстояния между переменными малы по сравнению с расстояниями от них до единицы. Такую ситуацию, как отмечалось выше, называем кроудингом переменных. При изучении аналитического продолжения в ситуации кроудинга нам будет удобно модифицировать обозначения для переменных и параметров функции Лауричеллы.

3.1.1. Используемые обозначения. Представим векторный аргумент ${\mathbf{z}} = ({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}})$ функции $F_{D}^{{(N)}}$ в виде объединения $q + 1 \leqslant N$ наборов ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$, $s = \overline {1,q + 1} $:

где набор ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$ с номером $s$ состоит из ${{p}_{s}}$ элементов, так что $\sum\nolimits_{s = 1}^{q + 1} {\kern 1pt} {{p}_{s}} = N$. Несложно установить связь обозначений (3.1) с прежними, использованными в формуле (1.5): так что, например, ${{{\mathbf{z}}}^{{(1)}}} = ({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{{{{p}_{1}}}}})$, ${{{\mathbf{z}}}^{{(2)}}} = ({{z}_{{{{p}_{1}} + 1}}}, \ldots ,{{z}_{{{{p}_{1}} + {{p}_{2}}}}})$ и ${{{\mathbf{z}}}^{{(q + 1)}}} = ({{z}_{{\nu + 1}}}, \ldots ,{{z}_{N}})$.

Будем считать, что компоненты вектора ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$, т.е. переменные $z_{j}^{{(s)}}$ с одинаковым верхним индексом, являются “достаточно близкими” в смысле, который будет уточнен ниже в теореме 0 об аналитическом продолжении. Далее для определенности будем предполагать, что векторы ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$ с номерами $s = \overline {1,q} $ содержат переменные, близкие к единице, а переменные, образующие ${{{\mathbf{z}}}^{{(q + 1)}}}$, по модулю меньше единицы, т.е. ${{{\mathbf{z}}}^{{(q + 1)}}} \in \{ {\kern 1pt} {\text{|}}z_{l}^{{(q + 1)}}{\kern 1pt} {\text{|}} < 1,l = \overline {1,{{p}_{{q + 1}}}} \} $.

Компоненты векторного параметра ${\mathbf{a}}$ функции Лауричеллы и компоненты мультииндекса ${\mathbf{k}}$ в формуле (1.5) переобозначим соответствующим образом:

так что

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения для частичных сумм векторов ${\mathbf{a}} = ({{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{N}})$, ${\mathbf{k}} = ({{k}_{1}}, \ldots ,{{k}_{N}})$:

Отсюда и из (3.3), (3.4) вытекают, например, соотношения

а также соотношения которые потребуются в дальнейшем; в формулах (3.6), (3.7) величины $a_{l}^{{(s)}}$, $k_{l}^{{(s)}}$ – компоненты векторного параметра ${\mathbf{a}}$ и мультииндекса ${\mathbf{k}}$ (см. (3.3), (3.4)).

3.1.2. Формулы аналитического продолжения. Здесь приведены формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ в окрестность гиперплоскостей, определяемых по формуле (1.12), а также их пересечений, точнее, в новых обозначениях (3.1), (3.2), формулы, справедливые вблизи множества

при этом рассматриваем окрестности точек $(1, \ldots ,1,0, \ldots ,0)$.

Введем область ${{\mathbb{P}}^{N}} = {{\mathbb{P}}^{N}}({{p}_{1}}, \ldots ,{{p}_{{q + 1}}})$ как пересечение

где области $\mathbb{P}_{j}^{N} = \mathbb{P}_{j}^{N}({{p}_{1}}, \ldots ,{{p}_{{q + 1}}})$, $j = \overline {0,q} $, определяются по следующим формулам:

Имеет место следующее утверждение (см. теорему 2 из [38], а также теорему 2 из [21]), устанавливающее формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, справедливые вблизи пересечения $\bigcap\nolimits_{s = 1}^q {{\mathcal{M}}_{s}}$ гиперплоскостей (3.8) и соответствующие случаю, когда все переменные $z_{l}^{{(s)}}$, $l = \overline {1,{{p}_{s}}} $, $s = \overline {1,q} $, близки к единице, а остальные переменные $z_{l}^{{(q + 1)}}$, $l = \overline {1,{{p}_{{q + 1}}}} $, по модулю меньше единицы.

Теорема 3. Если ни одно из чисел $\left( {c - \sum\nolimits_{s = 1}^j \,{\text{|}}{\mathbf{a}}_{{1,{{p}_{s}}}}^{{(s)}}{\text{|}} - b} \right)$, $j = \overline {1,q} $, не является целым, то аналитическое продолжение ряда (1.5) в область (3.9)–(3.11) дается формулой

где функции ${{\mathcal{U}}_{j}}$, $j = \overline {0,q} $, определяются равенствами

Здесь коэффициенты ${{\Lambda }_{j}}$ имеют вид

В формулах (3.13), (3.14) использовано обозначение ${\mathbf{Z}}_{j}^{{\mathbf{k}}} = \prod\nolimits_{s = 1}^{q + 1} {\kern 1pt} \prod\nolimits_{l = 1}^{{{p}_{s}}} {\kern 1pt} {{(Z_{{j,l}}^{{(s)}})}^{{k_{l}^{{(s)}}}}}$, где числа $Z_{j}^{{(s,l)}}$ – элементы векторов $Z_{j}^{{(s)}} = \{ Z_{{j,1}}^{{(s)}}, \ldots ,Z_{{j,{{p}_{s}}}}^{{(s)}}\} $, $j = \overline {0,q} $, $s = \overline {1,q + 1} $, определяемых следущим способом:

если $j = 0$, то для $s = \overline {1,q + 1} $ имеют место равенства

если $j = \overline {1,q} $, то для $s = \overline {1,q + 1} $ справедливы равенства

Коэффициенты ${{A}_{j}}$, $j = \overline {0,q} $, в формуле (3.12) имеют вид

Функции (3.13), (3.14) образуют базис в пространстве решений системы (1.10) в области (3.9)–(3.11).

Отметим, что если какой-либо из наборов переменных ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$ не содержит ни одного элемента, то соответствующая ему сумма в формулах (3.13)–(3.16), (3.19) считается равной нулю, а произведение – единице. Например, если набор с номером $s = q + 1$ не содержит элементов, то $\prod\nolimits_{l = 1}^{{{p}_{{q + 1}}}} {\kern 1pt} ( \ldots ) = 1$, $\sum\nolimits_{l = 1}^{{{p}_{{q + 1}}}} {\kern 1pt} ( \ldots ) = 0$, ${\text{|}}{\mathbf{k}}_{{1,{{p}_{{q + 1}}}}}^{{(q + 1)}}{\text{|}} = 0$.

3.2. Формулы аналитического продолжения в окрестность точeк вида $(1, \ldots ,1,0, \ldots ,0,\infty , \ldots ,\infty )$, соответствующее пересечению гиперплоскостей $\{ {{z}_{m}} = {{z}_{k}}\} $

3.2.1. Используемые обозначения. Здесь в п. 3.2 мы также выводим формулы аналитического продолжения функции $F_{D}^{{(N)}}({\mathbf{a}};b,c;{\mathbf{z}})$ для случая, когда компоненты вектора переменных ${\mathbf{z}} = ({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}})$ образуют группы близких величин, однако в отличие от предыдущего п. 3.1 часть переменных по модулю может быть больше единицы. Нетрудно увидеть, что при этом компоненты вектора ${\mathbf{u}} = ({{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{N}})$, определенного в (2.13), (2.14), соответствующим образом делятся на группы.

Будем предполагать (вместо (2.10)), что для некоторых $\nu ,\mu $ справедливы неравенства

(здесь считаем, что $1 \leqslant \nu \leqslant N,0 \leqslant \mu \leqslant N - \nu $). Таким образом, аргумент ${\mathbf{z}}$ функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ принадлежит окрестности точки

Далее, считая выполненными условия (3.20)–(3.21), вычислим набор переменных (2.14), преобразуем функцию Лауричеллы с помощью тождества (2.11)–(2.13), а затем применим к правой части (2.11) теорему 3 для вывода формул аналитического продолжения.

Для того чтобы воспользоваться теоремой 3, введем обозначения, аналогичные обозначениям из п. 3.1.1. Прежде всего, определим вектор

и представим его в виде объединения $q + 1 \leqslant N$ наборов где ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}} = (z_{1}^{{(s)}}, \ldots ,z_{{{{p}_{s}}}}^{{(s)}})$, за исключением содержащего ${{z}_{N}}$, составлены из “достаточно близких” величин. Номер, который имеет набор $({{z}_{N}},{{z}_{\nu }}, \ldots ,{{z}_{{\mu - 1}}})$, обозначаем через $\varkappa $; здесь, в частности, $z_{1}^{{(\varkappa )}} = {{z}_{N}}$, $z_{2}^{{(\varkappa )}} = {{z}_{\nu }}$ и т.д. Длины векторов ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$, как и в п. 3.1.1, обозначаем через ${{p}_{s}}$. Набору ${{{\mathbf{z}}}^{{(q + 1)}}}$ принадлежат такие переменные ${{z}_{j}}$, $j = \overline {\rho ,N - 1} $, которые “достаточно близки” к ${{z}_{N}}$, точнее говоря, выполняются условия

Если таких переменных нет, т.е. ${\text{|}}{{z}_{{N - 1}}} - {{z}_{N}}{\text{|}} > {\text{|}}1 - {{z}_{N}}{\text{|}}$, то считаем набор ${{{\mathbf{z}}}^{{(q + 1)}}}$ пустым.

Для примера выпишем следующие наборы ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$:

а также набор с номером $\varkappa $: если $\mu = 0$, то ${{{\mathbf{z}}}^{{(\varkappa )}}}$ состоит из одного нулевого элемента. В соответствии с (3.20)–(3.21) имеют место неравенства где ${{p}_{\varkappa }} = \rho - \mu + 1$, причем

Векторный аргумент ${\mathbf{u}}$ функции $F_{D}^{{(N)}}$ в правой части (2.11) представим в виде объединения наборов ${{{\mathbf{u}}}^{{(s)}}}$, $s = \overline {1,q + 1} $:

элементы которых выражаются через элементы ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$ по формулам

Соответствующие компоненты векторного параметра ${\mathbf{a}}$ функции Лауричеллы и компоненты мультииндекса ${\mathbf{k}}$ в формуле (1.5) обозначаем

Согласно (3.26), (2.10) справедливо равенство

Приведем еще соотношения, которые нам понадобятся в дальнейшем:

а кроме того,

Напомним обозначения (3.4)–(3.7).

Нетрудно увидеть, что если компоненты вектора ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$ являются “достаточно близкими”, то согласно (3.25), (3.26) и компоненты вектора ${{{\mathbf{u}}}^{{(s)}}}$, т.е. переменные $u_{j}^{{(s)}}$ с одинаковым верхним индексом, также являются “достаточно близкими”. Кроме того, согласно (3.20)–(3.21), (3.29) векторы ${{{\mathbf{u}}}^{{(s)}}}$ с номерами $s = \overline {1,q} $ содержат компоненты, достаточно близкие к единице, причем

Согласно (3.22), (3.25) набор ${{{\mathbf{u}}}^{{(q + 1)}}}$ состоит из переменных, которые по модулю меньше единицы, т.е.

3.2.2. Формулы аналитического продолжения. Здесь построены формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, справедливые вблизи множества

при этом будем предполагать, что справедливы неравенства

Выполняя аналитическое продолжение функции Лауричеллы в правой части (2.11) с помощью формул, представленных в теореме 3 с заменой соответственно ${\mathbf{a}}$ и ${\mathbf{z}}$ на $\mathfrak{a}$ и ${\mathbf{u}}$, определенных в (2.12), (2.13), а также c учетом равенств (3.29), (3.30), приходим к следующему утверждению, устанавливающему формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, справедливые вблизи пересечения $\bigcap\nolimits_{s = 1}^q {{\mathcal{M}}_{s}}$ гиперплоскостей (3.8) и соответствующие случаю, когда переменные удовлетворяют неравенствам (3.9), а остальные переменные $z_{l}^{{(q + 1)}}$, $l = \overline {1,{{p}_{{q + 1}}}} $, по модулю меньше единицы.

Теорема 4. Предположим, что параметры функции Лауричеллы удовлетворяют соотношениям

Тогда аналитическое продолжение ряда (1.5) дается формулой

где функции ${{\mathcal{V}}_{j}}$, $j = \overline {0,q} $, определяются следующим образом:

если $j = 0$, то

если $j = \overline {1,\varkappa - 1} $, то

если $j = \varkappa $, то

а если $j = \overline {\varkappa + 1,q} $, то

В формулах (3.32)–(3.35) коэффициенты ${{\Lambda }_{j}}$, $j = \overline {0,q} $, определяются следующим образом:

${{\Lambda }_{0}}$ имеет вид

коэффициенты ${{\Lambda }_{j}}$, $j = \overline {1,\varkappa - 1} $, даются равенствамикоэффициент ${{\Lambda }_{\varkappa }}$ – равенствома коэффициенты ${{\Lambda }_{j}}$, $j = \overline {\varkappa + 1,q} $, имеют вид

В формулах (3.32)–(3.35) использовано обозначение

где числа $Z_{j}^{{(s,l)}}$ – это элементы векторов $Z_{j}^{{(s)}} = \{ Z_{{j,1}}^{{(s)}}, \ldots ,Z_{{j,{{p}_{s}}}}^{{(s)}}\} $, $j = \overline {0,q} $, $s = \overline {1,q + 1} $, определяемых следующим способом:

если $j = 0$, то для $s = \overline {1,q + 1} $ векторы $Z_{0}^{{(s)}}$ определяются по формулам

Если $j = \overline {1,q} $, то для $s = \overline {1,q + 1} $ векторы $Z_{j}^{{(s)}}$ имеют вид

если $j = \varkappa $, то векторы $Z_{j}^{{(s)}}$ для $s = \overline {1,q + 1} $ определяются соотношениями

Коэффициенты ${{B}_{j}}$, $j = \overline {0,q} $, в формуле (3.31) имеют вид

Функции (3.32)–(3.35) образуют базис в пространстве решений системы (1.10).

Справедиво замечание, аналогичное сформулированному после теоремы 2, т.е. суммы и произведения, соответствующие какому-либо набору ${{{\mathbf{z}}}^{{(s)}}}$, не содержащему ни одного элемента, полагаются равными соответственно нулю и единице.

Представления функции Лауричеллы в виде экспоненциально сходящихся рядов, которые устанавливают теоремы 1–4, позволяют исследовать аналитически и эффективно вычислять интегралы типа Эйлера (1.10) во всем пространстве ${{\mathbb{C}}^{N}}$, в том числе в сложных случаях кроудинга переменных, т.е. вблизи произвольных пересечений гиперплоскостей (3.8). Область сходимости представления (3.31) вытекает из теоремы 3. Мы не приводим вид этой области при произвольном $N$, а укажем его на конкретных примерах. Примеры применения теорем 2 и 4 для случаев трех и шести переменных приведены в следующих разд. 4, 5.

4.1. Используемые обозначения

В данном разделе продемонстрировано применение теоремы 2 к функции $F_{D}^{{(3)}}$, определяемой в поликруге ${{\mathbb{U}}^{3}} = \{ ({{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}) \in {{\mathbb{C}}^{3}}:{\text{|}}{{z}_{j}}{\text{|}} < 1,j = 1,2,3\} $ с помощью гипергеометрического ряда

и представимой в области $\{ ({{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}) \in {{\mathbb{C}}^{3}}:{\text{|arg}}(1 - {{z}_{j}}){\text{|}} < \pi ,j = 1,2,3\} $ в виде интеграла типа Эйлера (см. [2]):

Выпишем еще необходимые ряды ${{G}^{{(3,2)}}}$ и ${{G}^{{(3,3)}}}$, вид которых вытекает из (2.1):

ряды (4.3), (4.4) сходятся в поликруге ${{\mathbb{U}}^{3}}$.

4.2. Формулы аналитического продолжения функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность точки $(\infty ,\infty ,\infty )$

Далее, полагая $\nu = 1$, $N = 3$ в теореме 0, получаем следующее утверждение, позволяющее аналитически продолжить функцию Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность пересечения гиперплоскостей , $j = 1,2,3$.

Теорема 5. Если параметры функции (4.1) таковы, числа ${{a}_{3}} - b$, ${{a}_{2}} + {{a}_{3}} - b$, ${{a}_{1}} + {{a}_{2}} + {{a}_{3}} - b$ не являются целыми, то в области

функция Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ представима в следующем виде: где в правых частях равенств (4.7)–(4.10) под $F_{D}^{{(3)}}$, ${{G}^{{(3,2)}}}$, ${{G}^{{(3,3)}}}$ понимаются ряды (4.1), (4.3), (4.4). Коэффициенты ${{A}_{j}}$, $j = \overline {0,3} $, фигурирующие в (4.6), определяются следующими равенствами:

Функции (4.7)–(4.10) образуют базис в пространстве решений системы $E_{D}^{{(3)}}$ в области (4.5).

Построим формулы аналитического продолжения функции $F_{D}^{{(3)}}({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}};b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}})$ в окрестность точки $(\infty ,\infty ,\infty )$, соответствующие случаю, при котором расстояния между переменными ${\text{|}}{{z}_{1}} - {{z}_{3}}{\text{|}}$ и ${\text{|}}{{z}_{2}} - {{z}_{3}}{\text{|}}$ малы по сравнению с модулем ${\text{|}}1 - {{z}_{3}}{\text{|}}$.

Используемые в теореме 4 числа $q$, $\varkappa $, ${{p}_{s}}$, а также параметры и переменные функции Лауричеллы (4.1), (4.2) определяются равенствами

Применяя теорему 4, построим теперь формулу продолжения функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность точки $(\infty ,\infty ,\infty )$, адекватно представляющую эту функцию вблизи гиперплоскости

Подставляя (4.11) в (3.36)–(3.39), находим выражения для коэффициентов рядов (3.32)–(3.35), а затем по формулам (3.47) находим величины ${{B}_{j}}$. По формулам (3.41)–(3.47) получаем

т.е. векторы $Z_{0}^{{(1)}} = Z_{1}^{{(1)}}$ состоят из одного элемента. Отсюда согласно (3.40) получаем

Подставляя найденные коэффициенты ${{\Lambda }_{j}}$, величины ${{B}_{j}}$, а также выражения (4.13) в (3.31)–(3.35), приходим к следующему утверждению, позволяющему аналитически продолжить функцию Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность особой гиперплоскости (4.12), т.е. в ситуации кроудинга переменных ${{z}_{1}},\;{{z}_{2}},\;{{z}_{3}}$, для случая, когда они велики по модулю.

Теорема 6. Если параметры функции Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ таковы, что $b - {{a}_{1}} - {{a}_{2}} - {{a}_{3}} \notin \mathbb{Z}$, то аналитическое продолжение ряда (4.1) в область

дается формулой где величины ${{B}_{0}}$ и ${{B}_{1}}$ определяются равенствами

Построим с помощью теоремы 4 формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}};b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}})$ в окрестность точки $(\infty ,\infty ,\infty )$, соответствующие случаю, при котором расстояния между переменными ${\text{|}}{{z}_{1}} - {{z}_{2}}{\text{|}}$ малы по сравнению с модулем ${\text{|1}} - {{z}_{1}}{\kern 1pt} {\text{|}}$ и модулем ${\text{|1}} - {{z}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}$, а ${\text{|1}} - {{z}_{1}}{\kern 1pt} {\text{|/|1}} - {{z}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}$ мала по сравнению с единицей. В теореме 4 числа $q$, $\varkappa $, ${{p}_{s}}$, а также параметры и переменные функции Лауричеллы (4.1), (4.2) для указанного случая определяются равенствами

Применяя теорему 4, построим формулу продолжения функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность точки $(\infty ,\infty ,\infty )$, адекватно представляющую эту функцию вблизи гиперплоскости

Подставляя (4.15) в (3.36)–(3.39), находим выражения для коэффициентов рядов (3.32)–(3.35), а затем по формулам (3.47) находим величины ${{B}_{j}}$. По формулам (3.41)–(3.45) получаем

здесь векторы $Z_{0}^{{(1)}}$, $Z_{1}^{{(1)}}$, $Z_{2}^{{(1)}}$ состоят из одного элемента. Отсюда согласно (3.40) после перестановки индексов суммирования ${{k}_{1}}$ и ${{k}_{3}}$ получаем

Подставляя найденные коэффициенты ${{\Lambda }_{j}}$, величины ${{B}_{j}}$, а также выражения (4.17) в (3.31)–(3.35), приходим к следующему утверждению, позволяющему аналитически продолжить функцию Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность особой гиперплоскости (4.16), т.е. в ситуации кроудинга переменных ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$, для случая, когда все переменные ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{z}_{3}}$ велики по модулю.

Теорема 7. Если параметры функции Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ таковы, что $b - {{a}_{3}} \notin \mathbb{Z}$ и $b - {{a}_{1}} - {{a}_{2}} - {{a}_{3}} \notin \mathbb{Z}$, то аналитическое продолжение ряда (4.1) в область

дается формулой где величины ${{B}_{0}}$, ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ определяются равенствами

Используя формулы симметрии (2.8), на основе теорем 5–7 несложно получить полный набор формул для представления функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестности точки $(\infty ,\infty ,\infty )$.

4.3. Формулы аналитического продолжения функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность точки $(1,\infty ,\infty )$

Далее, полагая $\nu = 2$, $N = 3$ в теореме 2, получаем следующее утверждение, позволяющее аналитически продолжить функцию Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность пересечения гиперплоскостей , , $j = 2,3$.

Теорема 8. Если параметры функции (4.1) таковы, что числа ${{a}_{3}} - b$, ${{a}_{2}} + {{a}_{3}} - b$, ${{a}_{1}} + {{a}_{2}} + {{a}_{3}} - b$ не являются целыми, то в области

функция Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ представима в следующем виде: где функции ${{\mathcal{U}}_{j}}$, $j = \overline {0,3} $, определяются по формулам в правых частях равенств (4.21)–(4.24) под $F_{D}^{{(3)}}$, ${{G}^{{(3,2)}}}$, ${{G}^{{(3,3)}}}$ понимаются ряды (4.1), (4.3), (4.4). Коэффициенты ${{A}_{j}}$, $j = \overline {0,3} $, фигурирующие в (4.20), определяются следующими равенствами:

Функции (4.21)–(4.24) образуют базис в пространстве решений системы $E_{D}^{{(3)}}$ в области (4.19).

Построим с помощью теоремы 4 формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}};b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}})$ в окрестность точки $(1,\infty ,\infty )$, соответствующие случаю, при котором расстояния между переменными ${\text{|}}{{z}_{2}} - {{z}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}$ малы по сравнению с модулем ${\text{|1}} - {{z}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}$, а переменное ${{z}_{1}}$ – в окрестности единицы. В теореме 4 соответствующие такому случаю числа $q$, $\varkappa $, ${{p}_{s}}$, а также параметры и переменные функции Лауричеллы (4.1), (4.2) определяются равенствами

Применяя теорему 4, построим формулу продолжения функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность точки $(1,\infty ,\infty )$, адекватно представляющую эту функцию вблизи гиперплоскости

Подставляя (4.25) в (3.36)–(3.39), находим выражения для коэффициентов рядов (3.32)–(3.35), а затем по формулам (3.47) находим величины ${{B}_{j}}$. Согласно (3.40)–(3.45) получаем

Подставляя найденные выражения для ${{\Lambda }_{j}}$, ${{B}_{j}}$, а также (4.27) в (3.31), приходим к следующему утверждению, позволяющему аналитически продолжить функцию Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность особой гиперплоскости (4.26), т.е. в ситуации кроудинга переменных ${{z}_{2}},{{z}_{3}}$, для случая, когда они велики по модулю, а ${{z}_{1}}$ близко к единице.

Теорема 9. Если параметры функции Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ таковы, что $(b - {{a}_{2}} - {{a}_{3}}) \notin \mathbb{Z}$ и $(c - {{a}_{1}} - b) \notin \mathbb{Z}$, то аналитическое продолжение ряда (4.1) в область

дается формулой где величины ${{B}_{0}}$, ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ определяются равенствами

Используя формулы симметрии (2.8), на основе теорем 8, 9 несложно получить весь набор формул для представления функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестности точки $(1,\infty ,\infty )$.

4.4. Формулы аналитического продолжения функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность точки $(1,1,\infty )$

Далее, полагая $\nu = 3$, $N = 3$ в теореме 2, получаем следующее утверждение, позволяющее аналитически продолжить функцию Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность пересечения гиперплоскостей , $j = 1,2$, .

Теорема 10. Если параметры функции (4.1) таковы, что числа ${{a}_{3}} - b$, ${{a}_{1}} + b - c$, ${{a}_{1}} + {{a}_{2}} + b - c$ не являются целыми, то в области

функция Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ представима в следующем виде: где функции ${{\mathcal{U}}_{j}}$, $j = \overline {0,3} $, определяются по формулам в правых частях равенств (4.31)–(4.34) под $F_{D}^{{(3)}}$, ${{G}^{{(3,2)}}}$, ${{G}^{{(3,3)}}}$ понимаются ряды (4.1), (4.3), (4.4). Коэффициенты ${{A}_{j}}$, $j = \overline {0,3} $, фигурирующие в (4.30), определяются следующими равенствами:

Функции (4.31)–(4.34) образуют базис в пространстве решений системы $E_{D}^{{(3)}}$ в области (4.29).

Построим с помощью теоремы 4 формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}};b,c;{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}})$ в окрестность точки $(1,1,\infty )$, соответствующие случаю, при котором расстояния между переменными ${\text{|}}{{z}_{1}} - {{z}_{2}}{\text{|}}$ – достаточно малая величина, а переменное ${{z}_{3}}$ принимает большие по модулю значения. В теореме 4 соответствующие такому случаю числа $q$, $\varkappa $, ${{p}_{s}}$, а также параметры и переменные функции Лауричеллы (4.1), (4.2) определяются равенствами. В теореме 4 соответствующие такому случаю числа $q$, $\varkappa $, ${{p}_{s}}$, а также параметры и переменные функции Лауричеллы (4.1), (4.2) определяются равенствами

Применяя теорему 4, построим формулу продолжения функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность точки $(1,1,\infty )$, адекватно представляющую эту функцию вблизи гиперплоскости

Подставляя (4.35) в (3.36)–(3.39), находим выражения для коэффициентов рядов (3.32)–(3.35), а затем по формулам (3.47) находим величины ${{B}_{j}}$. Записывая (3.40)–(3.45) с учетом (4.35), находим

Подставляя найденные выражения для коэффициентов ${{\Lambda }_{j}}$, чисел ${{B}_{j}}$ и произведений (4.37) в (3.31)–(3.35), приходим к следующему утверждению, позволяющему аналитически продолжить функцию Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестность особой гиперплоскости (4.36), т.е. в ситуации кроудинга переменных ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$, для случая, когда они близки к единице, а ${{z}_{3}}$ принимает большие по модулю значения.

Теорема 11. Если параметры функции Лауричеллы $F_{D}^{{(3)}}$ таковы, что $(b - {{a}_{3}}) \notin \mathbb{Z}$ и $(c - {{a}_{1}} - {{a}_{2}} - b) \notin \mathbb{Z}$, то аналитическое продолжение ряда (4.1) в область

дается формулой где ${\text{|}}{\mathbf{k}}{\text{|}} = {{k}_{1}} + {{k}_{2}} + {{k}_{3}}$, а величины ${{B}_{0}}$, ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$ определяются равенствами

Используя формулы симметрии (2.8), на основе теорем 10, 11 несложно получить весь набор формул для представления функции $F_{D}^{{(3)}}$ в окрестности точки $(1,1,\infty )$.

6.1. Численное решение системы уравнений для параметров и вычисление отображающей функции $\mu (\zeta )$

Для решения указанной в п. 1.4 системы нелинейных трансцендентных уравнений (1.16), (1.17), которой удовлетворяют параметры интеграла Кристоффеля–Шварца (1.15), мы применяем численные методы типа итерационной процедуры Ньютона (см., например, [16, 17, 31]). Основные трудности, возникающие при реализации этих численных алгоритмов, связаны, во-первых, с высокоточным вычислением возникающих в ней интегралов и, во-вторых, с выбором хорошего начального приближения для неизвестных параметров.

В п. 1.4 приведен вид системы уравнений (1.16), (1.20)–(1.28), где гипергеометрические интегралы типа Эйлера (1.17) записаны через функцию Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$. Таким образом, задача о вычислении интегралов, фигурирующих в системе трансцендентных уравнений для параметров, сведена к вопросу об эффективном вычислении функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$.

Если векторные аргументы ${{{\mathbf{x}}}_{0}}$ и $\mathcal{Y}({\mathbf{1}} - {{{\mathbf{x}}}_{k}})$ функций Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$, фигурирующих в (1.22)–(1.24), принадлежат поликругу $\mathbb{U}_{\rho }^{N}: = \{ ({{w}_{1}}, \ldots ,{{w}_{N}})$ ∈ ${{\mathbb{C}}^{N}}:{\text{|}}{{w}_{j}}{\text{|}} < \rho ,j = \overline {1,N} \} $ с достаточно малым $\rho > 0$, то для их вычислений можно использовать $N$-кратный ряд (1.5). Вместе с тем, при реализации метода Ньютона аргументы одной или нескольких из функций (1.22)–(1.24) не удовлетворяют такому условию. В этом несложно убедиться, непосредственно анализируя эти формулы с учетом того, что величины ${{\zeta }_{j}}$ располагаются на единичном отрезке неравномерно, а в случае выраженного кроудинга образуют группы весьма близких величин. Типичной является ситуация, когда часть переменных ${{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{\nu }}$ функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ принимают очень большие по модулю (отрицательные) значения, а остальные переменные ${{z}_{{\nu + 1}}}, \ldots ,{{z}_{N}}$ чрезвычайно близки к единице (но ${{z}_{j}} < 1$, $j = \overline {\nu + 1,N} $).

В ряде случаев, когда непосредственное суммирование ряда (1.5) является неэффективным (или невозможным), для вычисления функции Лауричеллы полезными оказываются приведенные ниже два тождества, способ получения которых указан в [38]. Для того чтобы сформулировать первое из них, введем следующий ряд, относящийся к классу гипергеометрических рядов Горна:

здесь ${\mathbf{a}}: = ({{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{N}})$, ${{b}_{1}}$, ${{b}_{2}}$, $c$ – комплексные параметры, ${\mathbf{w}}: = ({{w}_{1}}, \ldots ,{{w}_{N}})$ – векторное переменное, выражение $(\alpha ,k)$ означает символ Похгаммера (1.7), $\nu = \overline {0,N} $ – целочисленный параметр. Ряд $\mathcal{H}_{\nu }^{{(N)}}$ сходится в поликруге ${{\mathbb{U}}^{N}} = {\text{\{ |}}{{w}_{j}}{\text{|}} < 1$, $j = \overline {1,N} \} $, в чем нетрудно убедиться, используя результаты [2]. Упоминавшееся выше первое тождество для функции Лауричеллы имеет следующий вид (см. формулу (2.12) в [38]): где $\mathcal{H}_{\nu }^{{(N)}}$ определяется из (6.1) с соответствующей подстановкой параметров и переменных и справедливо в области в которой сходится ряд в правой части (6.2). Отметим, что при $\nu = N$ равенство (6.2) переходит в известную формулу (см. [2])

Второе из тождеств для $F_{D}^{{(N)}}$, о которых сказано выше, имеет вид (см. формулу (2.13) в [38]):

и представляет функцию Лауричеллы в области

Еще один спобособ вычисления интеграла (1.3), когда суммирование ряда (1.5) неприменимо, заключается в следующем. Разобьем точками ${{\varepsilon }_{1}}, \ldots ,{{\varepsilon }_{M}}$ интервал $(0,1)$ на $M + 1$ частей ${{I}_{m}}: = ({{\varepsilon }_{m}},{{\varepsilon }_{{m + 1}}})$ и представим (1.3) в виде суммы интегралов ${{\mathcal{F}}_{m}}$, взятых по ${{I}_{m}}$, а затем каждый из них с помощью формулы типа Эйлера выразим через функцию Лауричеллы с соответствующими параметрами и переменными. Далее к величинам ${{\mathcal{F}}_{m}}$, $m = \overline {1,M - 1} $, применим тождество (6.2), а к ${{\mathcal{F}}_{0}}$ применим формулу (6.3). В результате получим следующее представление для интеграла (1.3):

где величины ${{\mathcal{F}}_{m}}$ имеют вид в (6.7) использовано обозначение ${{\Delta }_{m}}: = {{\varepsilon }_{{m + 1}}} - {{\varepsilon }_{m}}$. В правых частях формул (6.6)–(6.8) символы $F_{D}^{{(N)}}$ и $\mathcal{H}_{\nu }^{{(N)}}$ означают гипергеометрические ряды (1.5) и (6.1) соответственно. Ориентируясь на решение системы (1.16), (1.20)–(1.28), мы полагаем где $[\lambda ]$ – целая часть $\lambda $, число $Q > 1$ (в реальных вычислениях можно принять $Q = 2$), а ${{\log }_{Q}}$ – логарифм по основанию $Q$, и определяем точки ${{\varepsilon }_{m}}$, фигурирующие в (6.5)–(6.8), по формулам

Подход, основанный на таком способе разбиения интервала интегрирования [0, 1], нами заимствован из [16], где этот прием был использован при выводе квадратурных формул для вычисления интегралов гипергеометрического типа.

Необходимо подчеркнуть, что если величины ${{\zeta }_{k}}$, $k = \overline {1,N} $, располагаются “резко неравномерно” на отрезке $[0,1]$, т.е. имеет место сильный кроудинг, то для разработки алгоритма вычисления функции Лауричеллы и решения проблемы параметров интеграла Кристоффеля–Шварца набора тождеств (6.2)–(6.4) и (6.5)–(6.10) недостаточно и требуется применять формулы аналитического продолжения вида (1.9). Совокупность таких формул построена в [20, 21, 38], а также в разд. 3 настоящей работы. При использовании формул аналитического продолжения эффект кроудинга является благоприятствующим фактором.

Вопрос о построении начального приближения в настоящей статье решается методом продолжения по параметру. При этом в качестве начального приближения для искомых величин ${{\zeta }_{k}}$ принимаются точки, равномерно разбивающие единичный интервал (0, 1). Отметим, что в [34, 35, 43] для построения приближений было предложено использовать асимптотики для параметров, которые в ряде случаев удается эффективно (с явно выписанными коэффициентами) построить с помощью теории вариации отображающей функции при деформировании области (см. [43, 44]).

После того, как параметры конформного отображения (1.15) определены, следующей задачей является вычисление самой отображающей функции $w = \mu (\zeta )$. Предположим, что некоторая вершина ${{w}_{m}}$ конечна. Тогда, полагая $\widetilde \zeta = {{\zeta }_{m}}$ и $\tilde {w} = {{w}_{m}}$ в интеграле (1.15) и выполняя в нем замену переменного $t = {{\zeta }_{m}} + (\zeta - {{\zeta }_{m}})\xi $, $\xi \in (0,1)$, с учетом формулы типа Эйлера (1.3) приходим к следующему представлению:

где параметры ${{a}_{j}}$, $b$ и $c$ определены в формуле (1.18), функция $\mathcal{Y}$ имеет вид (1.19), а постоянные величины ${{\mathcal{Q}}_{m}}$, ${{\theta }_{m}}$ и вектор ${{{\mathbf{X}}}_{m}}(\zeta )$ даются равенствами здесь $m = \overline {1,N} $, а если $m = 0$ и $m = N + 1$, то равенства (6.11)–(6.14) требуют модификации и выводятся аналогичным путем. Для вычисления конформного отображения по формуле (6.11) в зависимости от диапазона изменения $\zeta $ могут быть использованы представления (6.2)–(6.4), (6.5)‒(6.10) и формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы (см. разд. 2, 3).

Описанный выше метод решения проблемы параметров интеграла Кристоффеля – Шварца и вычисления конформного отображения многоугольников (с числом вершин $N \geqslant 4$), основанный на формулах аналитического продолжения функции Лауричеллы $F_{D}^{{(N)}}$ и тождествах (6.2)–(6.4) и (6.5)–(6.10), был реализован в виде алгоритма на языке C++. В cледующем п. 6.2 продемонстрированы результаты вычисления с помощью этого алгоритма на примере двух областей сложного вида.

6.2. Численная реализация

Пример 1. Продемонстрируем результаты предыдущих разделов работы на примере вычисления конформного отображения полуплоскости ${{\mathbb{H}}^{ + }}$ на 21-угольную область $\mathfrak{F}$, представленную на фиг. 2а. Координаты вершин ${{w}_{j}} = {{u}_{j}} + i{{v}_{j}}$, $j = \overline {0,20} $, этой области на комплексной плоскости $w$ следующие:

Показатели углов ${{\beta }_{j}}$ для такой области вычисляются по несложным соотношениям через координаты вершин (6.15). Нормировка отображения $\mu :{{\mathbb{H}}^{ + }}:{\kern 1pt} {\kern 1pt} \xrightarrow{{{\text{conf}}}}\mathfrak{F}$ следующая (см. фиг. 2а, 2б):

Параметрами интеграла (1.15), требующими вычислений, являются величины ${{\mathcal{K}}_{0}}$ и восемнадцать прообразов ${{\zeta }_{j}}$, $j = \overline {1,18} $. Вычисленные с помощью представленного алгоритма значения разностей искомых величин ${{\zeta }_{{j + 1}}} - {{\zeta }_{j}}$ следующие:

После решения системы предынтегральный множитель вычисляем по формуле ${{\mathcal{K}}_{0}} = {{L}_{0}}{\text{/}}{{I}_{0}}({\mathbf{x}})$, где ${\mathbf{x}} = ({{\zeta }_{1}}, \ldots ,{{\zeta }_{{18}}})$, и находим значение ${{\mathcal{K}}_{0}} = 0.86207417118788$.

Для иллюстрации отображения $\mu :{{\mathbb{H}}^{ + }}\xrightarrow{{{\text{conf}}}}\mathfrak{F}$ удобно воспользоваться вспомогательным конформным отображением $\varphi :\Pi \xrightarrow{{{\text{conf}}}}{{\mathbb{H}}^{ + }}$ прямоугольника $\Pi $ на полуплоскость ${{\mathbb{H}}^{ + }}$ (см. фиг. 2б, 2в) и вначале отобразить естественную для $\Pi $ декартову сетку в ${{\mathbb{H}}^{ + }}$, а затем с помощью функции $z = \mu (\zeta )$ перевести ее в область $\mathfrak{F}$. Таким образом, мы изобразим в области $\mathfrak{F}$ образ прямоугольной декартовой сетки (изначально построенной в прямоугольнике $\Pi $) при отображении $\Phi :\Pi \xrightarrow{{{\text{conf}}}}\mathfrak{F}$. Подчиняя отображение $\varphi $ условиям

(т.е. точки ${{\eta }_{2}}$, ${{\eta }_{5}}$, ${{\eta }_{{11}}}$, ${{\eta }_{{16}}}$ границы $\partial \Pi $ переходят в точки ${{\zeta }_{2}}$, ${{\zeta }_{5}}$, ${{\zeta }_{{11}}}$, ${{\zeta }_{{16}}}$ на $\partial {{\mathbb{H}}^{ + }}$), находим его в виде здесь $\operatorname{sn} (k,\eta )$ – эллиптическая функция Якоби (см. [14, 45]) с модулем $k$, вычисляемым через найденные параметры (6.17) конформного отображения (1.15) согласно второму равенству (6.19). При этом заранее неизвестные в (6.18) длина $d$ и высота $h$ прямоугольника $\Pi $ находятся через эллиптические интегралы по формулам $d = K(k)$ и $h = K{\kern 1pt} '(k)$, где $k$ определяется из (6.19); вычисленные значения следующие: $K = 3.6298490712230$, $K{\kern 1pt} ' = 1.5753115752655$. На фиг. 2а в области $\mathfrak{F}$ изображена сетка, в которую переходит построенная в прямоугольнике $\Pi $ декартова сетка $35 \times 18$ при отображении $\Phi (\eta ) = \mu \circ \varphi (\eta )$, где $z = \mu (\zeta )$ – интеграл Кристоффеля–Шварца (1.15), соответствующий области $\mathfrak{F}$, а $\zeta = \varphi (\eta )$ – вспомогательное отображение (6.19) прямоугольника на полуплоскость.

Пример 2. Еще одной иллюстрацией результатов предыдущих разделов работы является вычисление конформного отображения полуплоскости ${{\mathbb{H}}^{ + }}$ на 21-угольную область $\Re $, представленную на фиг. 3а; граница области изображает “ключ в прямоугольнике”. Координаты вершин ${{w}_{j}} = {{u}_{j}} + i{{v}_{j}}$, $j = \overline {0,20} $, этой области на комплексной плоскости $w$ следующие:

Нормировка отображения $\mu :{{\mathbb{H}}^{ + }}:\xrightarrow{{{\text{conf}}}}\Re $ следующая (см. фиг. 3а, 3б): $\mu (0) = {{w}_{0}}$, $\mu (1) = {{w}_{{19}}}$, $\mu (\infty ) = {{w}_{{20}}}$. Неизвестными параметрами интеграла (1.15), требующими вычислений, являются множитель ${{\mathcal{K}}_{0}}$ и прообразы ${{\zeta }_{j}}$, $j = \overline {1,18} $. Вычисленные с помощью разработанного алгоритма значения разностей искомых прообразов ${{\zeta }_{j}}$ следующие:

а значение предынтегрального множителя ${{\mathcal{K}}_{0}} = 0.90197443407226$. Необходимо отметить, что точки ${{\zeta }_{j}}$, $j = \overline {1,18} $, как показали вычисления (6.21), расположены внутри интервала (0, 1) крайне неравномерно, т.е. имеет место эффект кроудинга. Например, все прообразы ${{\zeta }_{j}}$, $j = \overline {10,18} $, образуют набор весьма близких величин на интервале длиной порядка ${{10}^{{ - 5}}}$.

Для иллюстрации отображения $\mu :{{\mathbb{H}}^{ + }}\xrightarrow{{{\text{conf}}}}\Re $ вначале отобразим естественную для прямоугольника $\Pi $ декартову сетку в полуплоскость ${{\mathbb{H}}^{ + }}$, а затем с помощью функции $z = \mu (\zeta )$ переведем ее в область $\Re $. Таким образом, мы представим в области $\Re $ образ прямоугольной декартовой сетки при отображении $\Phi :\Pi \xrightarrow{{{\text{conf}}}}\Re $. Вспомогательное отображение $\varphi $ подчиним следующим условиям:

(т.е. точки ${{\eta }_{1}}$, ${{\eta }_{2}}$, ${{\eta }_{{15}}}$, ${{\eta }_{{17}}}$ границы $\partial \Pi $ переходят в точки ${{\zeta }_{1}}$, ${{\zeta }_{2}}$, ${{\zeta }_{{15}}}$, ${{\zeta }_{{17}}}$ на $\partial {{\mathbb{H}}^{ + }}$), находим его в виде

Величины $d$ и $h$ в (6.22) даются равенствами $d = K(k)$ и $h = K{\kern 1pt} '(k)$, где $k$ определяется с помощью второго соотношения (6.23); результаты вычислений следующие: $K = 14.2316808808993$, $K{\kern 1pt} ' = 1.57079632679763$. На фиг. 3а в области $\Re $ представлена сетка, которая является образом декартовой сетки $91 \times 11$, построенной в прямоугольнике $\Pi $, после отображения $\Phi (\eta ) = \mu \circ \varphi (\eta )$, где $z = \mu (\zeta )$ – это интеграл Кристоффеля–Шварца (1.15), соответствующий области $\Re $, а $\zeta = \varphi (\eta )$ – вспомогательное отображение (6.23) прямоугольника на полуплоскость.

В завершение отметим, что ключевым моментом при выполнении вычислений было применение к функции $F_{D}^{{(18)}}$ формул, которые в работе представлены для функции Лауричеллы с произвольным числом переменных. Такие формулы обеспечили эффективное (практически с машинной точностью) вычисление $F_{D}^{{(18)}}$ на каждом шаге итерационного алгоритма Ньютона. Значения параметров (6.17), (6.21) были найдены путем численного решения систем уравне-ний (1.16), (1.20)–(1.24), соответствующих областям $\mathfrak{F}$ и $\Re $, с точностью 14 значащих цифр. Все расчеты проводились с использованием стандартной мантиссы в 16 значащих цифр.