Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 11, стр. 1817-1828

1. ВВЕДЕНИЕ

Тёплицевой называется комплексная $n \times n$-матрица $T$, имеющая вид

а ганкелевой называется комплексная $n \times n$-матрица $H$ вида

Переставив столбцы тёплицевой матрицы в обратном порядке, получим ганкелеву матрицу. Напротив, всякая ганкелева матрица $H$ может быть получена указанным способом из соответствующей тёплицевой матрицы $T$. Эту связь между $H$ и $T$ можно описать матричным соотношением

где ${{\mathcal{P}}_{n}}$ есть так называемая перъединичная матрица:

Тёплицева матрица (1) называется циркулянтом, если

косым циркулянтом при $\varphi $-циркулянтом, когда где $\varphi \in {\mathbf{C}}$.

Матрицы $K$ и $M$ $\sigma $-коммутируют (или квази-коммутируют), если найдется такое число $\sigma $, что $KM = \sigma MK$ (см. [1]). В этой же работе [1] отмечается, что квази-коммутативность является важным соотношением в квантовой физике (см. [2, 3]), а также в теории представлений аффинных алгебр Гекке (Hecke) (см. [4]).

Задача о $\sigma $-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц заключается в описании пар ненулевых матриц $(T,H)$ таких, что $T$ – тёплицева, $H$ – ганкелева и выполняется соотношение

Необходимо сказать несколько слов о параметре $\sigma $. Произвольный выбор $\sigma $ возможен лишь в случае, когда хотя бы одна из матриц $Т$ или $Н$ вырождена. Если же обе матрицы не вырождены, то $\sigma $ является одним из корней $n$-й степени из единицы. В настоящей работе от параметра $\sigma $ мы требуем, чтобы $\sigma \ne 0, \pm 1$.

Заметим, так как след произведения двух матриц не меняется при перестановке сомножителей и $\sigma \ne 1$, то матрицы $TH$ и $HT$ имеют нулевой след.

В работе [5] сформулирована и доказана следующая

Теорема 1. Ненулевые тёплицева матрица $T$ и ганкелева матрица $H$ $\sigma $-коммутируют $(\sigma \ne 0, \pm 1)$, если $T$ и $H$ входят хотя бы в один из описываемых ниже классов:

Класс 1. Матрица $T$ является циркулянтом

а $H$ – ганкелевым циркулянтом

Здесь ${{F}_{n}}$ – (нормированная) матрица дискретного преобразования Фурье

$\epsilon = \exp (2\pi i{\text{/}}n)$ – первообразный корень $n$-й степени из единицы; ${{D}_{1}}$ = $\operatorname{diag} \left( {d_{1}^{{(1)}},d_{2}^{{(1)}}, \ldots ,d_{n}^{{(1)}}} \right)$ и ${{D}_{2}}$ = = $\operatorname{diag} \left( {d_{1}^{{(2)}},d_{2}^{{(2)}}, \ldots ,d_{n}^{{(2)}}} \right)$ – диагональные матрицы; при этом

Класс 2. Матрица $T$ является косым циркулянтом

а $H$ – ганкелевым косым циркулянтомгде $\psi = {{e}^{{i\pi /n}}}$ есть корень $n$-й степени из $( - 1)$. Диагональные матрицы ${{D}_{1}}$ = $\operatorname{diag} \left( {d_{1}^{{(1)}},d_{2}^{{(1)}}, \ldots ,d_{n}^{{(1)}}} \right)$ и ${{D}_{2}}$ = = $\operatorname{diag} \left( {d_{1}^{{(2)}},d_{2}^{{(2)}}, \ldots ,d_{n}^{{(2)}}} \right)$ должны удовлетворять соотношениям

Класс 3. Пусть $n = 2r$, матрицы $T$ и $H$ имеют вид

Класс 4. Пусть $n = 2r$, матрицы $T$ и $H$ имеют вид

Приведенные классы найдены из разных соображений, а именно, благодаря искусственно придуманным ограничениям на форму тёплицевой и ганкелевой матриц. Они соответствуют наиболее простым множествам решений.

Целью настоящей работы является описание единого подхода к получению полного решения. Сущность предлагаемого метода состоит в сужении множества всех пар матриц $(T,H)$ до множеств, объединению которых принадлежат все решения рассматриваемой задачи, после чего задача о $\sigma $-коммутировании исследуется на каждой конкретной более узкой комбинации наборов $(T,H)$. Хотя теорема 2, называемая в работе главным результатом, описывает множество, являющееся частным случаем объединения классов 3 и 4 теоремы 1, указываемая в теореме 2 совокупность пар тёплицевой и ганкелевой матриц как раз и представляет собой решение рассматриваемой задачи на предварительно ограниченной части наборов $(T,H)$. Описываемый класс является результатом применения разработанного подхода.

Структура статьи следующая. В разд. 2 кратко изложен прием сужения множества всех пар матриц $(T,H)$ до множеств, объединению которых принадлежат все решения рассматриваемой задачи; далее в разд. 3 формулируется теорема, являющаяся главным результатом статьи и содержащая описание частного класса пар $\sigma $-коммутирующих матриц $(T,H)$. Доказательство теоремы проводится в разд. 4.

Прежде напомним важные факты.

Лемма 1 (см. [6]). Две нескалярные тёплицевы матрицы ${{\widetilde T}_{1}}$ и ${{\widetilde T}_{2}}$ коммутируют тогда и только тогда, когда ${{\widetilde T}_{1}}$ и ${{\widetilde T}_{2}}$ принадлежат хотя бы одному из следующих классов:

Класс 1′. Обе матрицы ${{\widetilde T}_{1}}$ и ${{\widetilde T}_{2}}$ верхнетреугольные или же обе нижнетреугольные.

Класс 2′. Матрицы ${{\widetilde T}_{1}}$ и ${{\widetilde T}_{2}}$ суть $\varphi $-циркулянты для одного и того же числа $\varphi \ne 0$.

Класс 3′. Одна из матриц ${{\widetilde T}_{1}}$ или ${{\widetilde T}_{2}}$ является линейной функцией от другой.

Лемма 2 (см. [7]). Матрица $T$ является $\varphi $-циркулянтом тогда и только тогда, когда она перестановочна с матрицей ${{Q}_{\varphi }}$:

где

Обозначим через ${{0}_{{k,k}}}$ нулевую $k \times k$-матрицу.

2. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАР МАТРИЦ $(T,H)$

Прежде чем формулировать главный результат, опишем сужение наборов пар матриц $(T,H)$ до множеств, объединению которых принадлежат все решения рассматриваемой задачи. Поможет в этом следующее утверждение.

Лемма 3. Всякую пару $(T,H)$, решающую задачу о $\sigma $-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц, можно представить в виде

где $A$ и $B$ – нескалярные тёплицевы матрицы, удовлетворяющие условиям$\alpha $, $\beta $ – некоторые числа.

Доказательство. От пары $(T,H)$ перейдем к паре $\left( {{{T}_{1}},{{T}_{2}}} \right)$, где ${{T}_{1}} = T$, а ${{T}_{2}}$ – тёплицева матрица, соответствующая ганкелевой матрице $H$, т.е. $H = {{T}_{2}}{{\mathcal{P}}_{n}}$. Нижний индекс этих тёплицевых матриц показывает, какой из матриц исходной пары они соответствуют. Из формулировки задачи следует, что матрицы ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ определены с точностью до скалярного множителя. Условие $\sigma $-коммутирования приобретает вид

После умножения справа на ${{\mathcal{P}}_{n}}$ получаем

Матрица ${{T}_{1}}$, будучи персимметричной, удовлетворяет соотношению

Используя его, находим

Полное описание решений уравнения (6) содержит все требуемые пары $\sigma $-коммутирующих тёплицевой и ганкелевой матриц.

В случае скалярной матрицы ${{T}_{1}}$ имеем соотношение

из которого в силу условия $\sigma \ne 1$ получаем, что матрица ${{T}_{2}} = 0$.

Если скалярна матрица ${{T}_{2}}$, то ${{T}_{1}}$ должна подчиняться условию

транспонирование которого дает равенство

Из последних двух соотношений имеем

или

Так как $\sigma \ne \pm 1$, то ${{T}_{1}} = 0$.

Пусть теперь ни одна из матриц ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ не является диагональной. Протранспонируем уравнение (6), умножим его слева и справа на ${{\mathcal{P}}_{n}}$ и используем соотношение ${{\mathcal{P}}_{n}}{{T}_{j}}{{\mathcal{P}}_{n}} = T_{j}^{ \top }$:

Разность (6) и последнего условия дает соотношение

Введем две дополнительные тёплицевы матрицы

Из формулы

и ее транспонированного варианта выводим или

Так как матрицы ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ определены с точностью до скалярных множителей, то без ограничения общности можно считать, что

Подставляя выражения для ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ в последнее уравнение этой системы, получаем

или

Введем дополнительный параметр

который в силу условия $\sigma \ne \pm 1$ удовлетворяет ограничению $\mu \ne \pm 2$. Последнее уравнение перепишется в виде

Таким образом, решения задачи о $\sigma $-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц можно искать в виде

при условиях

При этом матрицы $A$ и $B$ не являются скалярными в силу нескалярности ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$. Лемма 3 доказана.

На основании доказанной леммы можно считать, что основным уравнением является соотношение

Обозначим элементы первой строки матрицы $A$ через ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$, $ \ldots $, ${{a}_{{n - 1}}}$, а элементы ее первого столбца – через ${{a}_{0}}$, ${{a}_{{ - 1}}}$, $ \ldots $, ${{a}_{{ - (n - 1)}}}$. Аналогично элементы первой строки матрицы $B$ обозначим через ${{b}_{0}}$, ${{b}_{1}}$, $ \ldots $, ${{b}_{{n - 1}}}$, а элементы первого столбца – через ${{b}_{0}}$, ${{b}_{{ - 1}}}$, $ \ldots $, ${{b}_{{ - (n - 1)}}}$.

Согласно лемме 1, для коммутирующих тёплицевых матриц $A$ и $B$ возможны лишь следующие четыре случая: 1) обе матрицы $A$ и $B$ являются верхними треугольными; 2) обе матрицы $A$ и $B$ – нижние треугольные; 3) обе матрицы $A$ и $B$ суть $\varphi $-циркулянты для одного и того же числа $\varphi \ne 0$; 4) $B = \theta A + \xi {{I}_{n}}$.

В настоящей работе мы уделим особое внимание третьему случаю. Если $\varphi = 1$, то получаем класс 1 теоремы 1, а при $\varphi = - 1$ – класс 2 этой же теоремы. Поэтому далее считаем, что $\varphi \ne \pm 1$. Кроме того, мы ограничимся случаем $\mu = 0$.

3. ГЛАВНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ

Теорема 2. Ненулевые тёплицева матрица $T$ и ганкелева матрица $H$ $\sigma $-коммутируют при $\sigma = i\kappa $, $\kappa = \pm 1$, если эти матрицы имеют четный порядок $n = 2r$ и следующий вид:

где $\nu = \pm 1$, а $\alpha $ и $\beta $ – некоторые числа.

4. ОБОСНОВАНИЕ ГЛАВНОГО РЕЗУЛЬТАТА

Рассмотрим уравнение (8) в случае, когда $A$ и $B$ – $\varphi $-циркулянты для одного и того же числа $\varphi \ne 0, \pm 1$. Матрица в правой части является тёплицевой, значит, и матрица в левой части должна быть тёплицевой.

Лемма 4. Пусть $A$ и $B$ – $\varphi $-циркулянты для одного и того же числа $\varphi \ne 0, \pm 1$. Матрица ${{A}^{ \top }}B + B{{A}^{ \top }}$ является тёплицевой тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ представимы в виде

где $U$ и ${{U}^{c}}$ – строго верхние треугольные тёплицевы матрицы с элементами первых строк 0, ${{u}_{1}}$, ${{u}_{2}}$, $ \ldots $, ${{u}_{{n - 1}}}$ и 0, ${{u}_{{n - 1}}}$, ${{u}_{{n - 2}}}$, $ \ldots $, ${{u}_{1}}$ соответственно, а $\gamma $ и $\delta $ – произвольные числа.

Доказательство. Запишем условие тёплицевости матрицы ${{A}^{ \top }}B + B{{A}^{ \top }}$ в виде

подробная запись которого в силу тёплицевости $A$ и $B$ эквивалентна условию

Заменим индекс суммирования $l$ на $p$, полагая $p = l$ в первой и второй суммах и $p = l - 1$ в третьей и четвертой:

Выполняя элементарные преобразования, приходим к равенству

Поскольку $A$, $B$ – $\varphi $-циркулянты, то

или

Так как $\varphi \ne \pm 1$, имеем

или, заменяя $m$ на $n - m$,

Будем использовать вспомогательную $(n - 1) \times 2$-матрицу

Так как матрицы $A$ и $B$ не являются скалярными, то у матрицы $\mathcal{F}$ нет нулевых столбцов, поэтому $\operatorname{rank} \mathcal{F} \geqslant 1$. В силу (10) все миноры второго порядка у матрицы $\mathcal{F}$ равны нулю, значит, $\operatorname{rank} \mathcal{F} = 1$. По условию задачи, матрицы $A$ и $B$ могут быть определены с точностью до скалярного кратного, поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что матрица $\mathcal{F}$ имеет одинаковые столбцы.

Если определить $U$ и ${{U}^{c}}$ как строго верхние треугольные тёплицевы матрицы с элементами первых строк 0, ${{u}_{1}}$, ${{u}_{2}}$, $ \ldots $, ${{u}_{{n - 1}}}$ и 0, ${{u}_{{n - 1}}}$, ${{u}_{{n - 2}}}$, $ \ldots $, ${{u}_{1}}$ соответственно, то получим формулы (9). Лемма 4 доказана.

Матрица в правой части соотношения (8) является $\varphi $-циркулянтом как произведение $\varphi $-циркулянтов, поэтому и в его левой части должен стоять $\varphi $-циркулянт.

Лемма 5. Пусть $A$ и $B$ – $\varphi $-циркулянты для одного и того же числа $\varphi \ne 0, \pm 1$. Матрица ${{A}^{ \top }}B + B{{A}^{ \top }}$ является $\varphi $-циркулянтом тогда и только тогда, когда $B$ – скалярное кратное инволютивного $\varphi $-циркулянта.

Доказательство. Условие, что матрица ${{A}^{ \top }}B + B{{A}^{ \top }}$ является $\varphi $-циркулянтом, в силу леммы 2 можно записать как

или

Используя соотношение ${{Q}_{\varphi }} = {{Q}_{{1/\varphi }}} + \left( {1{\text{/}}\varphi - \varphi } \right){{e}_{1}}e_{1}^{ \top }{{\mathcal{P}}_{n}}$, получаем

или, с учетом того, что ${{A}^{ \top }}$ – $1{\text{/}}\varphi $-циркулянт и $\varphi \ne \pm 1$,

Умножим данное соотношение справа на ${{\mathcal{P}}_{n}}$:

или

Так как матрицы $A$ и $B$ могут быть определены с точностью до скалярного кратного, то, учитывая (9) для $\gamma = \delta = 1$, можем записать, что ${{A}^{ \top }}{{e}_{1}} = {{a}_{0}}{{e}_{1}} + x$, $B{{e}_{1}} = {{b}_{0}}{{e}_{1}} + \varphi x$, где $x = (0,{{u}_{{n - 1}}},{{u}_{{n - 2}}}, \ldots ,{{u}_{1}}{{)}^{ \top }}$. Последнее равенство приобретает вид

или

После раскрытия скобок имеем

или или

Полученное равенство можно записать как

что эквивалентно векторному соотношению

Введем $\varphi $-циркулянт $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{B} $ с нулевой главной диагональю формулой $B = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{B} + {{b}_{0}}{{I}_{n}}$. Поскольку $x = \frac{1}{\varphi }\left( {B{{e}_{1}} - {{b}_{0}}{{e}_{1}}} \right)$ = $\frac{1}{\varphi }\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{B} {{e}_{1}}$, приходим к матричному соотношению

из которого выводим

Полагая $\varphi \vartheta + b_{0}^{2} = {{\chi }^{2}}$, получаем

Поскольку $B \ne 0$, то $\chi \ne 0$. Определяя матрицу $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{B} $ формулой $B = \chi \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{B} $, имеем ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{B} }^{2}} = {{I}_{n}}$, т.е. $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{B} $ – инволютивный $\varphi $-циркулянт. Лемма 5 доказана.

Так как матрица $B$ может быть определена с точностью до скалярного кратного, то, не ограничивая общности, будем считать, что $B$ – инволютивный $\varphi $-циркулянт.

Учитывая коммутирование матриц $A$ и $B$, перепишем решаемое уравнение в виде

или, в силу инволютивности $B$,

При преобразовании подобия след матрицы не меняется, поэтому матрица ${{A}^{ \top }} - \frac{\mu }{2}A$ имеет нулевой след, а из ее тёплицевости следует, что $\left( {1 - \frac{\mu }{2}} \right){{a}_{0}} = 0$ и, так как $\mu \ne 2$, то ${{a}_{0}} = 0$. Теперь можем записать выражения для матриц $A$ и $B$ в виде

Рассмотрим случай $\mu = 0$, что означает равенство $\sigma = i\kappa $, $\kappa = \pm 1$. Требуется решить уравнение

относительно ${{b}_{0}}$ и матрицы $U$. Напомним, что $U$ и ${{U}^{c}}$ – строго верхние треугольные тёплицевы матрицы с элементами первых строк 0, ${{u}_{1}}$, ${{u}_{2}}$, $ \ldots $, ${{u}_{{n - 1}}}$ и 0, ${{u}_{{n - 1}}}$, ${{u}_{{n - 2}}}$, $ \ldots $, ${{u}_{1}}$ соответственно.

Введем циркулянт ${{C}_{0}}$ и косой циркулянт ${{S}_{0}}$ с одинаковой первой строкой

Используя эти матрицы, можем записать

откуда

Теперь имеем

Определим циркулянт $C$ и косой циркулянт $S$ формулами

тогда

Подставляя выражения для $A$ и $B$ в решаемое уравнение, имеем

что приводится к виду

Матрица, стоящая в левой части, является циркулянтом, а матрица в правой части – косым циркулянтом, поэтому последнее равенство возможно лишь в виде системы

Введем еще циркулянт ${{C}_{1}}$ и косой циркулянт ${{S}_{1}}$:

Матрицы ${{C}_{1}}$ и ${{S}_{1}}$ удовлетворяют системе

Из формул (13)–(15) имеем

Поставляя выражения для ${{C}_{1}}$ и ${{S}_{1}}$ в систему (16), получаем

Сложим уравнения этой системы:

Так как $U$ – тёплицева строго верхняя треугольная матрица, то последнее соотношение эквивалентно системе

Перепишем второе уравнение в виде

Предположим сначала, что ${{b}_{0}} \ne 0$, тогда матрица $\frac{{2{{b}_{0}}}}{{(1 + \varphi )(1 - \varphi )}}{{I}_{n}} + U$ не вырождена и, значит, $U = 0$, что влечет за собой равенства $A = 0$ и $T = 0$, противоречащие условию задачи. Следовательно, ${{b}_{0}} = 0$ и система (17) принимает вид

Для исследования этих условий будем различать случаи четного и нечетного порядка $n$.

Если $n = 2r + 1$, то условие ${{U}^{2}} = 0$ влечет за собой равенства ${{\{ U\} }_{{1,2}}} = {{\{ U\} }_{{1,3}}}$ = … = ${{\{ U\} }_{{1,r + 1}}} = 0$, или ${{u}_{1}} = {{u}_{2}} = \cdots = {{u}_{r}} = 0$, а из условия ${{({{U}^{c}})}^{2}} = 0$ следуют соотношения ${{\{ {{U}^{c}}\} }_{{1,2}}} = {{\{ {{U}^{c}}\} }_{{1,3}}}$ = … = = ${{\{ {{U}^{c}}\} }_{{1,r + 1}}} = 0$, или ${{u}_{{n - 1}}} = {{u}_{{n - 2}}}$ = … = ${{u}_{{r + 1}}} = 0$, что в совокупности означает $U = 0$.

При $n = 2r$ условия (18) позволяют указать следующий вид матрицы $U$:

В этом случае $U = {{U}^{c}}$, матрицы $A$ и $B$ совпадают и являются скалярными кратными матрицы

Так как матрицы $A$ и $B$ в уравнении (12) определены с точностью до скалярных множителей, то это уравнение можно записать в виде

или или

Отсюда получаем, что $\varphi = i\nu $, где $\nu = \pm 1$.

Теперь имеем

Этим обоснование главного результата завершено. Произведения полученных матриц $T$ и $H$ имеют вид

Тем самым $T$ и $H$ $\sigma $-коммутируют при $\sigma = i\kappa $. След обоих произведений равен нулю.