Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 11, стр. 1877-1893

ВВЕДЕНИЕ

Уравнение колебаний балки с учетом эффектов деформации в поперечном направлении [1], § 4.2.2 обобщается нелинейным уравнением соболевского типа, неразрешенным относительно временной производной второго порядка [2]:

где α – заданный положительный числовой параметр, штрих в уравнении обозначает дифференцирование по ${{u}_{x}} = {{\partial }_{x}}u = \partial u{\text{/}}\partial x$, нелинейность ${{\sigma }}( \cdot )$ – заданная функция, не равная тождественно нулю.

Предполагаем, что стержень является бесконечным. Такая идеализация допустима [3, § 6.3], если параметры граничного закрепления таковы, что падающие на него возмущения не отражаются.

Уравнение (0.1) будем рассматривать в банаховом [4, гл. VIII, § 1] пространстве $C[{{R}^{1}}]$ (с нормой ${\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}} = {\text{su}}{{{\text{p}}}_{{x \in {{R}^{1}}}}}\left| {g\left( x \right)} \right|$) непрерывных функций $g = g\left( x \right)$, для которых существуют пределы при $x \to \pm \infty $, предполагая, что искомое классическое решение $u = u(t,x)$, $(t,x) \in \bar {R}_{ + }^{1} \times {{R}^{1}}$, $\bar {R}_{ + }^{1} = \left[ {0, + \infty } \right[$, и его частные производные, входящие в уравнение (0.1), для всех значений временной переменной $t$ по переменной x принадлежат пространству $C[{{R}^{1}}]$. Через C^(k)[R¹] = $\{ g(x) \in $ $ \in C[{{R}^{1}}]:g'(x), \ldots ,{{g}^{{(k)}}}(x) \in C[{{R}^{1}}]\} $, $k = 1,2, \ldots $, будем обозначать подмножества дифференцируемых функций в пространстве $C[{{R}^{1}}]$.

Для уравнения (0.1) рассмотрим задачу Коши:

в которой заданные начальные функции ${{\varphi }}\left( x \right)$, ${{\psi }}\left( x \right) \in C[{{R}^{1}}]$.

Полагаем, что нелинейность уравнения (0.1): ${{\sigma }}\left( r \right)$, $r \in {{R}^{1}}$, – дважды непрерывно дифференцируемая функция, модуль которой $\left| {{{\sigma }}\left( r \right)} \right|$ при $r \geqslant 0$ является непрерывной неубывающей функцией, причем справедливы оценки

Исследование задачи Коши (0.1), (0.2) проведем по следующему плану: прежде всего убедимся, что постановка задачи Коши (0.1), (0.2) корректна и локальное по времени классическое решение ее существует. С этой целью 1) для соответствующего (0.1) линейного однородного уравнения: ${{u}_{{tt}}} - \alpha {{u}_{{ttx}}} - {{u}_{{ttxx}}} + {{u}_{{xxxx}}} = 0$, найдем решение задачи Коши, используя методы теории сильно непрерывных полугрупп операторов и косинус оператор-функций и отмечая используемые в дальнейшем оценки норм вспомогательных операторнозначных функций. Далее, 2) введем в рассмотрение вспомогательную задачу Коши

Для задачи Коши (0.4), (0.5) найдем временной отрезок $\left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$ существования и единственности классического решения и оценим норму в пространстве $C[{{R}^{1}}]$ этого локального решения. Затем, 3) установим связь между решениями уравнений (0.1) и (0.4). Начиная с этого пункта усиливаются требования к решению уравнения, полагая, что на временном отрезке $\left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$ решение $u = u\left( {t,x} \right)$ по переменной $x$ принадлежит пересечению подмножества ${{C}^{{\left( 4 \right)}}}[{{R}^{1}}] \subset C[{{R}^{1}}]$ с пространством Соболева $W_{2}^{4}({{R}^{1}})$:

В пункте 4) найдем условия разрушения на конечном временном отрезке решения задачи Коши для исходного уравнения (0.1). В заключительной части статьи 5) исследовано разрушение решения уравнения (0.1) в частном случае ${{\sigma }}\left( s \right) = {{\beta }}{{s}^{3}}$.

1. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Напомним, что в пространстве $C[{{R}^{1}}]$ [4, гл. VIII, § 1], [5, § 1.3] дифференциальные операторы ${{\partial }_{x}}$, с областью определения $D\left( {{{\partial }_{x}}} \right) = {{C}^{{\left( 1 \right)}}}[{{R}^{1}}]$, и $\partial _{x}^{2}$, $D(\partial _{x}^{2}) = {{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}]$, являются соответственно производящими операторами сильно непрерывных сжимающих группы: $U\left( {t;{{\partial }_{x}}} \right)g\left( x \right) = g\left( {x + t} \right)$, $t \in {{R}^{1}}$, и полугруппы: $U(t;\partial _{x}^{2})g\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {\pi t} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{e}^{{ - {{\xi }^{2}}/\left( {4t} \right)}}}g\left( {x + \xi } \right)d\xi } $, $t \in \bar {R}_{ + }^{1}$, класса C₀. Полуось ${{\lambda }} > 0$ принадлежит резольвентным множествам операторов ${{\partial }_{x}}$ и $\partial _{x}^{2}$ и для соответствующих резольвент справедливы оценки норм: ${\text{||}}{{\left( {\lambda I - {{\partial }_{x}}} \right)}^{{ - 1}}}{\text{||}}$, ${\text{||}}{{(\lambda I - \partial _{x}^{2})}^{{ - 1}}}{\text{||}} \leqslant {{\lambda }^{{ - 1}}}$, где I – тождественный оператор.

Используя неравенство [5, § 7.1]: ${\text{||}}g{\kern 1pt} '{\text{||}}_{C}^{2} \leqslant 4{\text{||}}g{\kern 1pt} ''{\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}{\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}$, в котором $g = g\left( x \right) \in {{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}]$, нетрудно проверить, что оператор $\alpha {{\partial }_{x}}$ подчинен оператору $\partial _{x}^{2}$ с границей, не превышающей $1$, но тогда [5, § 8.1] возмущенный оператор $A = \partial _{x}^{2} + \alpha {{\partial }_{x}}$, $D\left( A \right) = {{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}]$, является производящим оператором сжимающей сильно непрерывной полугруппы класса C₀: ${\text{||}}U\left( {t;A} \right){\text{||}} \leqslant 1$, причем полуось λ > 0 принадлежит резольвентному множеству оператора A.

Для любой функции g(x) из $C[{{R}^{1}}]$ справедливы представления полугруппы, порождаемой оператором A: $U(t;A)g(x)\, = \,U(t;\alpha {{\partial }_{x}})U(t;\partial _{x}^{2})g(x)$ = $U(t;\partial _{x}^{2})U\left( {t;\alpha {{\partial }_{x}}} \right)g\left( x \right){\text{\;}}$ = $\frac{1}{{2\sqrt {\pi t} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{e}^{{ - {{{(\eta - x - \alpha t)}}^{2}}/(4t)}}}g(\eta )d\eta ,} $ и его резольвенты ${{(\lambda I - A)}^{{ - 1}}}g(x)\, = \,\int_0^{ + \infty } {{{e}^{{ - \lambda s}}}U(s;A)g(x)ds} $ = $\frac{1}{{2\sqrt {\lambda + {{\alpha }^{2}}{\text{/}}4} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{e}^{{\alpha \left( {\eta - x} \right)/2 - \sqrt {\lambda + {{\alpha }^{2}}/4} \left| {\eta - x} \right|}}}g\left( \eta \right)d\eta .} $

Из оценки нормы ${\text{||}}{{\partial }_{x}}U(t;\partial _{x}^{2})g\left( x \right){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}$ = $\frac{1}{{4t\sqrt {\pi t} }}{{\left\| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {{{\eta }} - x} \right){{e}^{{ - {{{\left( {{{\eta }} - x} \right)}}^{2}}/\left( {4t} \right)}}}g\left( {{\eta }} \right)d{{\eta }}} } \right\|}_{C}} \leqslant {\text{||}}g\left( x \right){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}{\text{/}}\sqrt {\pi t} $, используя полученную мажоранту, выводим ${\text{||}}\alpha {{\partial }_{x}}{{(I\, - \,\partial _{x}^{2})}^{{ - 1}}}g(x){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}$ ≤ $\alpha \int_0^{ + \infty } {{{e}^{{ - s}}}{\text{||}}{{\partial }_{x}}U(s;\partial _{x}^{2})g(x){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}ds\, \leqslant \,\alpha {\text{||}}g(x){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}.} $ Откуда следует, что при α < 1, для оператора $B = {{\alpha }}{{\partial }_{x}}{{(I - \partial _{x}^{2})}^{{ - 1}}} = {{\alpha }}[{{\left( {I - {{\partial }_{x}}} \right)}^{{ - 1}}} - {{(I - \partial _{x}^{2})}^{{ - 1}}}]$ справедлива оценка нормы $\left\| B \right\| \leqslant \alpha < 1$ и поэтому оператор $I - B$ обратим и для его обратного имеет место оценка нормы ${\text{||}}{{\left( {I - B} \right)}^{{ - 1}}}{\text{||}} = \left\| {\sum\nolimits_{n = 0}^{ + \infty } {{{B}^{n}}} } \right\| \leqslant 1{\text{/}}\left( {1 - {{\alpha }}} \right) = {{{{\alpha }}}_{0}}$.

Итак, при выполнении условия α < 1, для резольвенты ${{\left( {I - A} \right)}^{{ - 1}}}$ справедливы представления ${{(I\, - \,A)}^{{ - 1}}}\, = \,{{(I\, - \,{{\alpha }}{{\partial }_{x}}\, - \,\partial _{x}^{2})}^{{ - 1}}}\, = \,{{(I\, - \,\partial _{x}^{2})}^{{ - 1}}}{{(I\, - \,B)}^{{ - 1}}}\, = \,{{(I\, - \,B)}^{{ - 1}}}{{(I\, - \,\partial _{x}^{2})}^{{ - 1}}}$ и оценка нормы ${\text{||}}{{(I - A)}^{{ - 1}}}{\text{||}}$ ≤ ≤ ${\text{||}}{{(I - B)}^{{ - 1}}}{\text{||}}\, \leqslant \,{{{{\alpha }}}_{0}}$.

Соответствующее (0.1) линейное уравнение запишем в виде

Пусть $u = u\left( {t,x} \right)$ – решение задачи Коши (1.1), (0.2), для которого частные производные ${{u}_{{xx}}}$, ${{u}_{{txx}}}$ непрерывны при $t \geqslant 0$. Введем новую неизвестную функцию

Используя замену (1.2), принадлежность полуоси ${{\lambda }} > 0$ резольвентному множеству оператора A и полагая, что начальные функции ${{\varphi }}\left( x \right)$, $\psi \left( x \right) \in {{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}]$, можно единственным образом определить начальные значения функции ${v} = {v}\left( {t,x} \right)$: ${{{v}}_{0}}\left( x \right) = {{\left. {{v}\left( {t,x} \right)} \right|}_{{t = 0}}} = {{\varphi }}\left( x \right) - {{\alpha \varphi '}}\left( x \right) - {{\varphi ''}}\left( x \right)$, ${{{v}}_{1}}\left( x \right) = {{\left. {{{{v}}_{t}}\left( {t,x} \right)} \right|}_{{t = 0}}} = \psi \left( x \right) - {{\alpha }}\psi {\text{'}}\left( x \right) - \psi {\text{''}}\left( x \right)$, и выразить решение $u\left( {t,x} \right)$ задачи Коши (1.1), (0.2) через новую неизвестную функцию ${v}\left( {t,x} \right)$:

После замены (1.2) уравнение (1.1) можно переписать в пространстве $C[{{R}^{1}}]$ в виде абстрактного обыкновенного дифференциального уравнения

где $V\, = \,V(t):t \to {v}(t,x)$ – искомая вектор-функция, определенная для $t \in \bar {R}_{ + }^{1}$ и со значениями в пространстве $C[{{R}^{1}}]$. Операторный коэффициент в уравнении (1.4) – линейный неограниченный оператор $\mathcal{A} = - {{(I - A)}^{{ - 1}}}\partial _{x}^{4} = - {{(I - B)}^{{ - 1}}}{{(I - \partial _{x}^{2})}^{{ - 1}}}\partial _{x}^{4}$ = ${{(I - B)}^{{ - 1}}}\partial _{x}^{2} + {{(I - B)}^{{ - 1}}} - {{(I - A)}^{{ - 1}}}$, $D(\mathcal{A})\, = \,{{C}^{{(2)}}}[{{R}^{1}}]$.

В пространстве $~C[{{R}^{1}}]$ оператор $\partial _{x}^{2}$ является производящим оператором сжимающей сильно непрерывной косинус оператор-функции класса C₀ (${{C}_{0}}$–КОФ) $C(t;\partial _{x}^{2})$, $t \in {{R}^{1}}$, которая представляется [5, § 1.5] формулой $C(t;\partial _{x}^{2})g\left( x \right)$ = ${{2}^{{ - 1}}}\left[ {U\left( {t;{{\partial }_{x}}} \right) + U\left( { - t;{{\partial }_{x}}} \right)} \right]g\left( x \right) = {{2}^{{ - 1}}}\left[ {g\left( {x + t} \right) + g\left( {x - t} \right)} \right]$ и для которой справедлива оценка нормы ${\text{||}}C(t;\partial _{x}^{2}){\text{||}} \leqslant 1$. Соответствующая синус оператор-функция (C₀–СОФ) $S(t;\partial _{x}^{2})$, $t \in {{R}^{1}}$, имеет вид $S(t;\partial _{x}^{2})g\left( x \right) = \int_0^t {C(\tau ;\partial _{x}^{2})g\left( x \right)d\tau = \frac{1}{2}\int_{x - t}^{x + t} {g\left( \xi \right)d\xi } } $ и для нее справедлива оценка нормы ${\text{||}}S(t;\partial _{x}^{2}){\text{||}} \leqslant t$.

Неограниченный компонент оператора $\mathcal{A}$: ${{\mathcal{A}}_{0}} = {{\left( {I - B} \right)}^{{ - 1}}}\partial _{x}^{2}~$, $D\left( {{{\mathcal{A}}_{0}}} \right) = {{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}]$, является мультипликативным возмущением производящего оператора $\partial _{x}^{2}$ C₀–КОФ $C(t;\partial _{x}^{2})$ оператором ${{\left( {I - B} \right)}^{{ - 1}}}$. В силу цепочки соотношений ${\text{||}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} [{{\left( {I - B} \right)}^{{ - 1}}} - I]S(t;\partial _{x}^{2})\partial _{x}^{2}g\left( x \right){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}$ = = ${\text{||}}{{\left( {I - B} \right)}^{{ - 1}}}\alpha {{\partial }_{x}}{{(I - \partial _{x}^{2})}^{{ - 1}}}\partial _{x}^{2}S(t;\partial _{x}^{2})g\left( x \right){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}$ = $2\alpha {{\alpha }_{0}}{{\left\| {{{\partial }_{x}}\int_{x - t}^{x + t} {g\left( \xi \right)d\xi } } \right\|}_{C}} \leqslant 4\alpha {{\alpha }_{0}}{\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}} \leqslant 4\alpha {{\alpha }_{0}}$, на функциях $g\left( x \right) \in {{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}]$ и ${\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}} \leqslant 1$, оператор ${{\left( {I - B} \right)}^{{ - 1}}}$принадлежит [6, § 12.1] классу $M2(\partial _{x}^{2})$ мультипликативных возмущений производящего оператора $\partial _{x}^{2}$ ${{C}_{0}}$–КОФ $C(t;\partial _{x}^{2})$, причем характеристика этого класса – функция ${{\tilde {\delta }}_{B}}\left( t \right) = {{\delta }_{{{{{\left( {I - B} \right)}}^{{ - 1}}} - I}}}\left( t \right)$, выписывается в явном виде: ${{\tilde {\delta }}_{B}}\left( t \right) = 4\alpha {{\alpha }_{0}}t$, $t > 0$. Поэтому [6] оператор ${{\mathcal{A}}_{0}}$ является производящим оператором C₀–КОФ $C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{0}}} \right)$, для которой справедлива оценка нормы

и предельное соотношение $\left\| {C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{0}}} \right) - C(t;\partial _{x}^{2})} \right\| = O({{\tilde {\delta }}_{B}}\left( t \right)) \to 0$, при $t \to + 0$, где M₁ = = ${\text{sup}}\left\{ {{\text{||}}C(t;{{\mathcal{A}}_{0}}){\text{||}},~0 \leqslant t \leqslant {{\tau }_{0}}} \right\}$ и ${{\omega }_{1}} = {\text{ln}}\left( {{{M}_{1}}} \right){\text{/}}{{\tau }_{0}}$, здесь положительное число ${{\tau }_{0}}$ определяется из неравенства ${{\tilde {\delta }}_{B}}\left( {{{\tau }_{0}}} \right) < 1$, т.е. ${{\tau }_{0}} < 1{\text{/}}\left( {4\alpha {{\alpha }_{0}}} \right)$.

Ограниченный компонент оператора $\mathcal{A}$: ${{\mathcal{A}}_{1}} = {{\left( {I - B} \right)}^{{ - 1}}} - {{\left( {I - A} \right)}^{{ - 1}}}~$, $D\left( {{{\mathcal{A}}_{1}}} \right) = C[{{R}^{1}}]$, ${\text{||}}{{\mathcal{A}}_{1}}{\text{||}} \leqslant 2{{\alpha }_{0}} = \alpha _{1}^{2}$, является аддитивным возмущением производящего оператора ${{\mathcal{A}}_{0}}$ C₀–КОФ $C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{0}}} \right)$, но возмущение ограниченным оператором сохраняет [5, § 8.2] способность оператора ${{\mathcal{A}}_{0}}$ порождать C₀–КОФ, поэтому оператор $\mathcal{A} = {{\mathcal{A}}_{0}} + {{\mathcal{A}}_{1}}$ является производящим оператором C₀–КОФ.

Для уравнения (1.4) рассмотрим абстрактную задачу Коши, записав начальные условия в виде

где ${{V}_{0}} = {{{v}}_{0}}\left( x \right)$, ${{V}_{1}} = {{{v}}_{1}}\left( x \right)$ – элементы пространства $C[{{R}^{1}}]$.

Задача Коши (1.4), (1.6) равномерно корректна [5, § 1.4] только тогда, когда оператор $\mathcal{A}$ является производящим оператором C₀–КОФ.

Решение задачи Коши (1.4), (1.6) для любых начальных данных ${{V}_{0}} \in D\left( \mathcal{A} \right)$ и ${{V}_{1}} \in {{C}_{1}}[{{R}^{1}}]$ дается формулой $V\left( t \right) = C\left( {t;\mathcal{A}} \right){{V}_{0}} + S\left( {t;\mathcal{A}} \right){{V}_{1}}$, $t \in {{R}^{1}}$, где $S\left( {t;\mathcal{A}} \right)$ – C₀–СОФ ассоциированная с $C\left( {t;\mathcal{A}} \right)$: $S\left( {t;\mathcal{A}} \right)g = \int_0^t {C\left( {\tau ;\mathcal{A}} \right)gd\tau } $, $t \in {{R}^{1}}$, $g \in C[{{R}^{1}}]$, а ${{C}_{1}}[{{R}^{1}}]$ – линейное многообразие: C₁[R¹] = = $\{ g \in C[{{R}^{1}}]:C\left( {t;\mathcal{A}} \right)g \in {{C}^{{\left( 1 \right)}}}({{R}^{1}},C[{{R}^{1}}])\} $. Очевидно, что $D\left( \mathcal{A} \right) = {{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}] \subset {{C}_{1}}[{{R}^{1}}]$.

Для того чтобы вывести оценку нормы решения уравнения (1.4) – абстрактной функции V(t), найдем оценки норм C₀–КОФ $C\left( {t;\mathcal{A}} \right)$ и C₀–СОФ $S\left( {t;\mathcal{A}} \right)$, для чего получим представление операторнозначной функции $C\left( {t;\mathcal{A}} \right)$ через C₀–КОФ $C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{0}}} \right)$ и $C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{1}}} \right)$.

Ограниченный оператор ${{\mathcal{A}}_{1}}$ порождает C₀–КОФ $C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{1}}} \right)$, для которой на произвольном элементе $g\left( x \right) \in C[{{R}^{1}}]$ справедливо представление [5, § 1.4, § 4.2] $C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{1}}} \right)g\left( x \right) = \sum\nolimits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{t}^{{2n}}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\mathcal{A}_{1}^{n}g\left( x \right)} $, $t \in {{R}^{1}}$, причем ряд сходится равномерно по t на каждом конечном отрезке из R¹. Отметим, что операторнозначная функция $C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{1}}} \right)$ непрерывна в равномерной операторной топологии и для нее справедлива оценка нормы ${\text{||}}C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{1}}} \right){\text{||}} \leqslant \sum\nolimits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{t}^{{2n}}}}}{{\left( {2n} \right)!}}{\text{||}}{{\mathcal{A}}_{1}}{\text{|}}{{{\text{|}}}^{n}} \leqslant {\text{ch}}\left( {{{\alpha }_{1}}t} \right)} $, $~~t \in \bar {R}_{ + }^{1}$.

Рассматривая производящий оператор $\mathcal{A}$ C₀–КОФ C(t; $\mathcal{A}$) как результат возмущения производящего оператора ${{\mathcal{A}}_{0}}$ C₀–КОФ $C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{0}}} \right)$ оператором ${{\mathcal{A}}_{1}}$, который в свою очередь порождает C₀–КОФ $C\left( {t;{{\mathcal{A}}_{1}}} \right)$, для $g\left( x \right) \in D\left( {{{\mathcal{A}}_{0}}} \right) \cap D\left( {{{\mathcal{A}}_{1}}} \right) = {{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}]$ и $t \in {{R}^{1}}$ имеем [5, § 8.2] представление

где ${{j}_{1}}\left( {t,{{\mathcal{A}}_{0}}} \right)g\left( x \right) = \frac{4}{\pi }\int_0^1 {\sqrt {1 - {{r}^{2}}} C\left( {tr;{{\mathcal{A}}_{0}}} \right)g\left( x \right)dr} $.

Используя неравенство (1.5), для $t\, \in \,R_{ + }^{1}$ получим оценки норм: ${\text{||}}{{j}_{1}}\left( {t,{{\mathcal{A}}_{0}}} \right){\text{||}} \leqslant \frac{{4{{M}_{1}}}}{\pi }{{e}^{{{{\omega }_{1}}t}}}\int_0^1 {\sqrt {1 - {{r}^{2}}} dr \leqslant } $ $ \leqslant {{M}_{1}}{{e}^{{{{\omega }_{1}}t}}}$ и

Теперь, производя обратную замену (1.3) и используя перестановочность резольвенты ${{\left( {I - A} \right)}^{{ - 1}}}$ c косинус оператор-функцией, порождаемой оператором $\mathcal{A}$, находим решение задачи Коши для уравнения (1.1):

Таким образом, имеет место

Теорема 1. Пусть в уравнении (0.1) параметр $\alpha < 1$ и пусть начальные функции ${{\varphi }}\left( x \right)$ и ${{\psi }}\left( x \right)$ принадлежат подмножеству ${{C}^{{\left( 4 \right)}}}[{{R}^{1}}]$ пространства $C[{{R}^{1}}]$, тогда задача Коши для линейного однородного уравнения (1.1) равномерно корректна, классическое решение дается формулой (1.9) и для него справедлива оценка

Замечание 1. Классическое решение V(t) абстрактной задачи Коши (1.4), (1.6) принадлежит ${{C}^{{\left( 2 \right)}}}(\bar {R}_{ + }^{1},C[{{R}^{1}}])$ и для него $\mathcal{A}V\left( t \right) \in C(\bar {R}_{ + }^{1},C[{{R}^{1}}])$, следовательно ${v}\left( {t,x} \right) = \left( {I - A} \right)u\left( {t,x} \right) \in {{C}^{{2,2}}}(\bar {R}_{ + }^{1},{{R}^{1}})$. В силу формулы (1.9), найденное решение задачи Коши (1.1), (0.2) $u\left( {t,x} \right) \in {{C}^{{2,4}}}(\bar {R}_{ + }^{1},{{R}^{1}})$.

2. ЛОКАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим задачу Коши (0.4), (0.5) для уравнения получающееся из (0.1) дифференцированием обеих частей по переменной x и последующей подстановкой ${{u}_{x}} = {v}$ (отметим, что при этом соответствующие линейные однородные уравнения для уравнений (0.1), (0.4) совпадают).

Применим к обеим частям уравнения (0.4) линейный ограниченный оператор ${{\left( {I - A} \right)}^{{ - 1}}}$, тогда получим эквивалентное (0.4) уравнение, которое в пространстве $C[{{R}^{1}}]$ можно записать в виде абстрактного полулинейного уравнения

где $V = V\left( t \right):t \to {v}\left( {t,x} \right)$ – искомая вектор-функция, оператор $\mathcal{A}$ такой же, как и в уравнении (1.4), а $F\left( \cdot \right)$ – заданный нелинейный оператор: F(g) = $[{{(I - A)}^{{ - 1}}} - {{(I - B)}^{{ - 1}}}]{{\sigma }}(g)$, ${\text{||}}F\left( g \right){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}} \leqslant 2{{{{\alpha }}}_{0}}\left| {\sigma \left( {{\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}} \right)} \right|$, здесь ${{\sigma }}\left( g \right)$ – оператор суперпозиции: ${{\sigma }}\left( g \right) = \sigma \left( {g\left( x \right)} \right)$.

Для уравнения (2.1) рассмотрим абстрактную задачу Коши, записав начальные условия в виде

где $V_{0}^{'} = \left( {{{{v}}_{0}}\left( x \right)} \right)'$, $V_{1}^{'} = \left( {{{{v}}_{1}}\left( x \right)} \right)'$ – элементы пространства $C[{{R}^{1}}]$.

Из ограниченности операторов ${{\left( {I - A} \right)}^{{ - 1}}}$ и ${{\left( {I - B} \right)}^{{ - 1}}}$ и непрерывной дифференцируемости оператора суперпозиции ${{\sigma }}\left( \cdot \right)$ в пространстве непрерывных функций следует непрерывная дифференцируемость по Фреше оператора $F\left( \cdot \right)$ в пространстве $C[{{R}^{1}}]$ и, значит, $F\left( \cdot \right)$ удовлетворяет локальному условию Липшица. Поэтому существует промежуток $\left[ {0,{{t}_{0}}} \right[$, в котором абстрактная задача Коши (2.1), (2.2) для любых $V_{0}^{'} \in D\left( \mathcal{A} \right)$ и $V_{1}^{'} \in {{C}_{1}}[{{R}^{1}}]$ имеет [7, § 3] единственное обобщенное решение $V = V\left( t \right)$, $t \in \bar {R}_{ + }^{1}$, т.е. единственное непрерывно дифференцируемое решение абстрактного интегрального уравнения

Из абстрактного интегрального уравнения (2.3), используя оценки (1.7), (1.8), получаем интегральное неравенство ${\text{||}}V(t){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}}\, \leqslant \,{{h}_{3}}(t)\, + \,2{{\alpha }_{0}}{{h}_{2}}(t)\int_0^t {\left| {\sigma ({\text{||}}V(\tau ){\text{|}}{{{\text{|}}}_{C}})} \right|} d\tau ,$ где h₃(t) = ${{h}_{1}}(t)[\mathop {\sup }\limits_{x \in {{R}^{1}}} \left| {\varphi '(x)} \right|$ + + $\mathop {\sup }\limits_{x \in {{R}^{1}}} \left| {\psi '(x)} \right|{\text{/}}({{\alpha }_{1}} + {{\omega }_{1}})]$, или

здесь ${{r}_{1}} = {\text{ma}}{{{\text{x}}}_{{t \in \left[ {0,{{t}_{0}}} \right]}}}{{h}_{3}}\left( t \right)$ и ${{r}_{2}} = 2{{\alpha }_{0}}{\text{ma}}{{{\text{x}}}_{{t \in \left[ {0,{{t}_{0}}} \right]}}}{{h}_{2}}\left( t \right)$.

Из интегрального неравенства (2.4) выводим [8, § 1.4] оценку нормы обобщенного решения

где ${{\Omega }}\left( \xi \right) = \int_\eta ^\xi {\frac{{ds}}{{\left| {\sigma \left( s \right)} \right|}}} $, η > 0, ξ > 0, функция ${{{{\Omega }}}^{{ - 1}}}\left( \cdot \right)$ – обратная к ${{\Omega }}\left( \cdot \right)$, а отрезок $\left[ {0,{{t}_{1}}} \right] \subseteq \left[ {0,{{t}_{0}}} \right[$, определяется теми значениями $t$, при которых значения ${{\Omega }}\left( {{{r}_{1}}} \right) + {{r}_{2}}t$ принадлежат области определения функции ${{{{\Omega }}}^{{ - 1}}}\left( \cdot \right)$.

Решение интегрального уравнения (2.3): V(t), $t \in \left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$, будет классическим решением абстрактной задачи Коши (2.1), (2.2), если оно дважды непрерывно дифференцируемо, что вытекает [7] из непрерывной дифференцируемости по Фреше нелинейного оператора $F\left( \cdot \right)$, при условии принадлежности начальных данных $V_{0}^{'}$ и $V_{1}^{'}$ соответственно множествам $D\left( \mathcal{A} \right)$ и ${{C}_{1}}[{{R}^{1}}]$.

Таким образом, имеет место

Теорема 2. Пусть в уравнении (0.1) параметр α < 1 и пусть начальные функции ${{\varphi }}\left( x \right)$ и ${{\psi }}\left( x \right)$ принадлежат пространству $C[{{R}^{1}}]$ вместе со своими производными до пятого порядка включительно, тогда на временном отрезке $\left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$ существует единственное классическое решение ${v} = {v}\left( {t,x} \right)$ задачи Коши (0.4), (0.5) в пространстве $C[{{R}^{1}}]$, для которого справедлива оценка (2.5).

3. СВЯЗЬ МЕЖДУ РЕШЕНИЯМИ УРАВНЕНИЙ (0.1) И (0.4)

В дальнейших рассмотрениях предполагается, что решение уравнения (0.1) принадлежит пересечению пространства $C[{{R}^{1}}]$ с пространством ${{L}_{2}}({{R}^{1}})$ функций с интегрируемым квадратом.

Напомним, что скалярное произведение и норма в ${{L}_{2}}({{R}^{1}})$ определяются соответственно формулами $\left( {{{\varphi }},\psi } \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\varphi }} \left( x \right){{\psi }}\left( x \right)dx$ и и что для функций g(x), принадлежащих пересечению пространства непрерывных ограниченных функций $C({{R}^{1}})$ с пространством Соболева $W_{2}^{1}({{R}^{1}})$, справедлива оценка

причем, если $g\left( x \right) \in {{C}^{{\left( 2 \right)}}}({{R}^{1}})$, то [9] предел функций g(x), $g'\left( x \right)$ при $x \to \pm \infty $ равен нулю.

Лемма. Из существования локального классического решения уравнения (0.4): ${v} = {v}\left( {t,x} \right)$, $t \in \left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$, следует существование соответствующего решения

уравнения (0.1) на том же временном отрезке $\left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$, при выполнении условий (0.6):

Доказательство. Прежде всего отметим, что из условий (0.6) следуют предельные равенства

Пусть ${v} = {v}\left( {t,x} \right)$ классическое решение уравнения (0.4) на временном отрезке $\left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$, тогда, используя соотношения (3.3), выводим равенства

Далее, в силу непрерывности функции ${{\sigma '}}\left( \cdot \right)$, имеем

Теперь, используя полученные представления и подставляя функцию (3.2) в уравнение (0.1), получаем тождественное равенство на отрезке $\left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$:

откуда следует, что функция (3.2) является решением уравнения (0.1).

Замечание 2. Из требований (0.6) к решению $u = u\left( {t,x} \right)$ задачи Коши (0.1), (0.2) с необходимостью следуют условия, которым должны удовлетворять начальные функции

4. РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ (0.1), (0.2)

Рассмотрим так называемый интеграл энергии для уравнения (0.1) на временном отрезке $[0,{{t}_{1}}]$:

Найдем условия разрушения решения $u = u\left( {t,x} \right)$ задачи Коши (0.1), (0.2) на некотором временном отрезке $\left[ {0,{{t}_{2}}} \right] \subseteq \left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$, т.е. найдем достаточные условия возникновения разрыва второго рода для интеграла энергии (4.1) на отрезке $\left[ {0,{{t}_{2}}} \right]$, который выбираем так, чтобы на нем выполнялось неравенство $y\left( t \right) > 0$, вытекающее из начального условия .

Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы и теоремы 2 и пусть начальные функции $~{{\varphi }}\left( x \right)$, ${{\psi }}\left( x \right)$ и нелинейность ${{\sigma }}\left( \cdot \right)$ обеспечивают, в дополнение к условиям (0.3), (3.4) выполнение требований

тогда время ${{T}_{\infty }}$ существования решения задачи Коши (0.1), (0.2) не может быть сколь угодно большим, а именно имеет место оценка сверху:причем для функционала y(t) справедлива оценка снизуи предельное равенство $\mathop {\lim }\limits_{t \uparrow {{T}_{\infty }}} {\text{sup\;}}y\left( t \right) = + \infty $.

Замечание 3. Фигурирующие в формулировке теоремы постоянные ${{\lambda }_{0}}$, ${{r}_{j}}$ определяются в ходе доказательства теоремы и зависят от параметра α, начальных функций ${{\varphi }}\left( x \right)$, ${{\psi }}\left( x \right)$ и нелинейности ${{\sigma }}\left( \cdot \right)$.

Доказательство. Применяя к квадрату производной интеграла энергии: y'(t) = = $2\left[ {(u,{{u}_{t}}) + ({{u}_{x}},{{u}_{{tx}}})} \right]$, неравенство Коши–Буняковского: $\left| {\left( {{{\varphi }},{{\psi }}} \right)} \right| \leqslant {{{{\varphi }}}_{2}}{{{{\psi }}}_{2}}$, выводим вспомогательную оценку

где z(t), $t \in \left[ {0,{{t}_{2}}} \right]$, – второй интеграл энергии для уравнения (0.1), определяемый формулой

Вычислим производную второго порядка функционала (4.1) и выразим еe значение через второй интеграл энергии (4.3):

Умножим обе части уравнения (0.1) на функцию $u = u\left( {t,x} \right)$ и проинтегрируем полученное равенство по переменной x от $ - \infty $ до $ + \infty $, тогда, применяя формулу интегрирования по частям и учитывая равенство нулю внеинтегральных слагаемых при $x \to \pm \infty $, получим

Аналогично, умножая обе части уравнения (0.1) на ${{u}_{t}} = {{u}_{t}}\left( {t,x} \right)$ и обозначая через ${{\Phi }}\left( \cdot \right)$ – потенциал, определяемый нелинейностью ${{\sigma }}\left( \cdot \right)$ формулой ${{\Phi }}\left( s \right) = \int_0^s {\sigma \left( r \right)dr} $, имеем

Введем в рассмотрение функционал энергии, связанный с уравнением (0.1)

Из равенства (4.6) следует, что производная функционала энергии равна нулю: $dE\left( t \right){\text{/}}dt = 0$, следовательно, энергия E(t) не зависит от времени и поэтому для решения уравнения (0.1) имеет место закон сохранения:

в котором начальная энергия E₀ определяется формулой

Используя представление уравнения (0.1) в виде

выведем оценку квадрата нормы частной производной u_tt. Оценивая нормы обеих частей уравнения (4.8), рассмотрим цепочку неравенств: (учитывая неравенства (0.3) и (2.5), имеем где ${{h}_{5}}\left( t \right) = \left| {{{\sigma '}}\left( {{{h}_{4}}\left( t \right)} \right)} \right|$ – непрерывная функция на отрезке $\left[ {0,{{t}_{1}}} \right]$) (применяя неравенство ${\text{||}}u{\text{||}}_{2}^{2} \leqslant y\left( t \right)$)

Таким образом, получаем оценку

где ${{r}_{3}} = 8{{\alpha }}_{0}^{2}$, ${{r}_{4}} = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,{{t}_{2}}} \right]} {{h}_{5}}\left( t \right)$ и ${{r}_{5}} = 2{{\alpha }}_{0}^{2}{{\left( {1 + {{r}_{4}}} \right)}^{2}}$.

Предположим, что выполняется условие

где λ – пока неопределенное достаточно большое положительное число.

Сравнивая равенства (4.5) и (4.7) и применяя условие (4.10), получим неравенство

Учитывая, что ${\text{||}}{{u}_{x}}{\text{||}}_{2}^{2} \leqslant y\left( t \right)$, ${\text{||}}{{u}_{{\tau x}}}{\text{||}}_{2}^{2} \leqslant z\left( \tau \right)$ и применяя неравенство (4.9) и оценки

1) $2\left( {{{u}_{x}},{{u}_{{tt}}}} \right) \leqslant {\text{||}}{{u}_{x}}{\text{||}}_{2}^{2} + \,{\text{||}}{{u}_{{tt}}}{\text{||}}_{2}^{2} \leqslant \left( {1 + {{r}_{3}}} \right)y\left( t \right) + {{r}_{5}}{\text{||}}{{u}_{{xx}}}{\text{||}}_{2}^{2}$,

2) $2\left( {u,{{u}_{{tt}}}} \right) \leqslant {\text{||}}u{\text{||}}_{2}^{2} + \,{\text{||}}{{u}_{{tt}}}{\text{||}}_{2}^{2} \leqslant \left( {1 + {{r}_{3}}} \right)y\left( t \right) + {{r}_{5}}{\text{||}}{{u}_{{xx}}}{\text{||}}_{2}^{2}$,

3) $2\left( {{{u}_{{xx}}},{{u}_{{tt}}}} \right) \leqslant {\text{||}}{{u}_{{xx}}}{\text{||}}_{2}^{2} + \,{\text{||}}{{u}_{{tt}}}{\text{||}}_{2}^{2} \leqslant {{r}_{3}}y\left( t \right) + \left( {1 + {\text{\;}}{{r}_{5}}} \right){\text{||}}{{u}_{{xx}}}{\text{||}}_{2}^{2}$,

увеличим правую часть неравенства (4.11):

Полагая ${{\lambda }_{1}} = \lambda - 3 - \left( {\alpha + 2} \right){{r}_{5}} > 0$, т.е.

обозначая где ${{r}_{6}} = \alpha \left( {1 + {{r}_{3}}} \right) + 1 + 2{{r}_{3}}$, и учитывая, что r₅ > 1, перепишем (4.12) в виде интегрального неравенства

Требуя выполнение неравенства ${{E}_{1}} \geqslant 0$, для чего достаточно, чтобы начальная энергия E₀ была неотрицательной: , и применяя к неравенству (4.13) лемму Гронуолла, на отрезке $t \in \left[ {0,{{t}_{2}}} \right]$ получим оценку

Из непрерывной дифференцируемости интеграла энергии $y\left( t \right)$ следует, что при выполнении начального условия $y'\left( 0 \right) = 2\left[ {\left( {{{\varphi }},{{\psi }}} \right) + \left( {{{\varphi '}},{{\psi '}}} \right)} \right] > 0$ найдется такой отрезок времени $\left[ {0,{{t}_{3}}} \right] \subseteq \left[ {0,{{t}_{2}}} \right]$, на котором производная интеграла энергии будет неотрицательна: $y'\left( t \right) \geqslant 0$, но тогда справедлива цепочка соотношений

Интегрируя по частям и применяя неравенство (4.15), оценим интеграл из правой части (4.14)

Используя полученную оценку, увеличим правую часть неравенства (4.14)

где ${{r}_{7}} = 1 + \alpha {{\lambda }_{0}}{{t}_{1}}{{r}_{5}}{{e}^{{\alpha {{\lambda }_{0}}{{t}_{1}}{{r}_{5}}/{{\lambda }_{1}}}}}{\text{/}}{{\lambda }_{1}}$, ${{r}_{8}} = {{\lambda }_{0}}{{r}_{7}}{{E}_{0}}{\text{/}}{{\lambda }_{1}}$, ${{r}_{9}} = \left( {{{r}_{6}} + \alpha {{\lambda }_{0}}{{t}_{1}}{{r}_{3}}} \right){{r}_{7}}{\text{/}}{{\lambda }_{1}}$.

Таким образом, на временном отрезке $\left[ {0,{{t}_{3}}} \right]$ справедливы неравенства

Подставляя значение левой части равенства (4.5) в формулу (4.4), получим

Сравнивая равенство (4.17) с равенством, вытекающим из закона сохранения (4.7) и учитывая неравенство (4.10), в котором λ = λ₀, получим

Используя неравенство Коши–Буняковского и оценки (4.9), (4.15), (4.16), имеем

1) $2\left( {{{u}_{x}},{{u}_{{tt}}}} \right) \leqslant \left( {1 + {{r}_{3}}} \right)y\left( t \right) + {{r}_{5}}{\text{||}}{{u}_{{xx}}}{\text{||}}_{2}^{2} \leqslant {{r}_{5}}{{r}_{8}} + \left( {1 + {{r}_{3}} + {{r}_{5}}{{r}_{9}}} \right)y\left( t \right)$,

Учитывая эти оценки и то, что ${{\lambda }_{0}} > 2$, уменьшим левую и увеличим правую части неравенства (4.18), в результате получим

где ${{r}_{{10}}} = {{\lambda }_{0}}{{E}_{0}} + \alpha \left[ {{{r}_{5}} + {{\lambda }_{0}}{{t}_{1}}\left( {1 + {{r}_{5}}} \right)} \right]{{r}_{8}}$ и ${{r}_{{11}}} = \alpha \left[ {\left( {1 + {{r}_{3}} + {{r}_{5}}{{r}_{9}}} \right) + {{t}_{1}}{{\lambda }_{0}}\left( {{{r}_{3}} + \left( {1 + {{r}_{5}}} \right){{r}_{9}}} \right)} \right]$.

Теперь, используя оценку (4.2), уменьшим правую часть неравенства (4.19), в итоге имеем

Сравнивая неравенство (4.20) с одним из основных обыкновенных дифференциальных неравенств для интеграла энергии [10, Приложение A , § 5], заключаем, что если выполнены начальные условия

тогда время t₃ существования решения задачи Коши (0.1), (0.2) не может быть сколь угодно большим, а именно имеет место оценка сверху где причем для функционала y(t) справедлива оценка снизу и, значит, не существует глобального по времени решения задачи Коши (0.1), (0.2).

5. РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ (0.1), (0.2) В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ

Выясним, какой вид примут условия теоремы 3 для конкретной нелинейности ${{\sigma }}\left( s \right) = {{\beta }}{{s}^{3}}$, β > 0, т.е. рассмотрим уравнение

и найдем условие, связывающее параметры α и β при разрушении решения $u = u\left( {t,x} \right)$ задачи Коши (5.1), (0.2) на временном отрезке $\left[ {0,{{t}_{3}}} \right]$. (Напомним, что на отрезке $\left[ {0,{{t}_{3}}} \right]$ для интеграла энергии $y\left( t \right) = {\text{||}}u{\text{||}}_{{W_{2}^{1}}}^{2}$ выполняются неравенства $y\left( t \right) > 0$ и $y'\left( t \right) \geqslant 0$, вытекающие из начальных условий и $\left( {{{\varphi }},{{\psi }}} \right) + \left( {{{\varphi '}},{{\psi '}}} \right) > 0$.)

В рассматриваемом случае основные энергетические равенства примут вид:

1) результат умножения (5.1) на $u = u\left( {t,x} \right)$ и последующего интегрирования по R¹

2) результат умножения уравнения (5.1) на ${{u}_{t}} = {{u}_{t}}\left( {t,x} \right)$ и последующего интегрирования по R¹

где – начальная энергия;

3) результат умножения уравнения (5.1) на ${{u}_{x}} = {{u}_{x}}\left( {t,x} \right)$ и последующего интегрирования по R¹

4) результат умножения уравнения (5.1) на ${{u}_{{tt}}} = {{u}_{{tt}}}\left( {t,x} \right)$ и последующего интегрирования по R¹

5) результат умножения уравнения (5.1) на ${{u}_{{xx}}} = {{u}_{{xx}}}\left( {t,x} \right)$ и последующего интегрирования по R¹

Представление уравнения (0.1) в форме (4.8) в рассматриваемом случае принимает вид

Оценивая нормы обеих частей этого уравнения, получаем цепочку соотношений

(используя неравенства ${{\left( {a + b + c} \right)}^{2}} \leqslant 3({{a}^{2}} + {{b}^{2}} + {{c}^{2}})$, ${\text{||}}u_{2}^{2}{\text{||}} \leqslant y\left( t \right)$ и (3.1))

Таким образом, на временном отрезке $\left[ {0,{{t}_{3}}} \right]$, имеем оценку

где обозначено $q = {\text{||}}{{u}_{{xx}}}{\text{||}}_{2}^{2}$.

Рассмотрим функционал, определяемый уравнением (5.1):

Используя соотношения (5.4)–(5.6), (5.2) и затем применяя неравенство Коши–Буняковского, оценим правую часть равенства (5.8)

Используя оценки

продолжим оценку функционала (5.8) где ${{r}_{{13}}} = {{\alpha }^{3}} + {{\left( {\alpha + 1} \right)}^{2}}$, ${{r}_{{14}}} = {{\alpha }^{2}} + 1$. Отсюда следует неравенство

Потребуем, чтобы выполнялось неравенство $3{{\beta }} + {{r}_{{13}}} - 2 > 0$ или в подробной записи

Обозначая ${{r}_{{15}}} = 3{{\alpha }}_{0}^{2}\left( {3{{\beta }} + {{r}_{{13}}} - 2} \right)$ и применяя в левой части (5.9) оценку (5.7), получим неравенство

где ${{r}_{{16}}} = 3{{r}_{{15}}}\beta + 1$, ${{r}_{{17}}} = {{r}_{{13}}} + 4{{r}_{{15}}}$, ${{r}_{{18}}} = {{r}_{{15}}} + 2{{r}_{{14}}}$, которое, с учетом (5.10), справедливо для всех значений интеграла энергии y(t), но тогда дискриминант квадратного трехчлена из левой части неравенства (5.11) должен быть неположительный:

Потребуем, чтобы коэффициент при первой степени квадратного трехчлена в (5.12) был отрицательным: ${{r}_{{17}}} - 2{{r}_{{18}}} < 0$, а коэффициент при второй степени положительным: $r_{{14}}^{2}\beta + 3{{r}_{{16}}}({{r}_{{17}}} - {{r}_{{18}}})$ > 0, тогда, подставляя значения ${{r}_{{13}}}$ – ${{r}_{{18}}}$ и ${{\alpha }_{0}}$, соответственно имеем

и где ${{\gamma }_{1}} = {{r}_{{13}}} - 2{{r}_{{14}}}$, ${{\gamma }_{2}} = {{r}_{{13}}} - 2$.

Потребуем еще, чтобы дискриминант квадратного трехчлена в (5.12) был положительным: ${{d}_{2}} = 4{{\beta }}[r_{{14}}^{2}{{\beta }}{{\left( {{{r}_{{17}}} - 2{{r}_{{18}}}} \right)}^{2}} - r_{{17}}^{2}(r_{{14}}^{2}{{\beta }} + 3{{r}_{{16}}}\left( {{{r}_{{17}}} - {{r}_{{18}}}} \right))] > 0$, тогда получаем еще одно условие, связывающее параметры $\alpha $ и $\beta $ уравнения (5.1)

где ${{\gamma }_{3}} = 18\alpha _{0}^{2}{{\gamma }_{2}} + {{\gamma }_{1}}$, ${{\gamma }_{4}} = 12\alpha _{0}^{2}{{\gamma }_{2}} + {{r}_{{13}}}$, ${{\gamma }_{5}} = 9\alpha _{0}^{2}{{\gamma }_{2}} + {{\gamma }_{1}}$, ${{\gamma }_{6}} = 6\alpha _{0}^{2}{{\gamma }_{2}} + {{\gamma }_{1}}$.

При выполнении условий (5.10) и (5.13)–(5.15) квадратный трехчлен (5.12) имеет положительные корни ${{K}_{{1,2}}} = \frac{{4{{r}_{{14}}}\beta \left( {2{{r}_{{18}}} - {{r}_{{17}}}} \right) \pm \sqrt {{{d}_{2}}} }}{{4\beta (r_{{14}}^{2}\beta + 3{{r}_{{16}}}\left( {{{r}_{{17}}} - {{r}_{{18}}}} \right))}}~$, причем неравенство (5.12) будет выполняться при ${{K}_{1}} \leqslant q \leqslant {{K}_{2}}$, откуда следует оценка

Теперь неравенство (5.7) можно переписать в виде

где ${{r}_{{19}}} = 27\alpha _{0}^{2}{{\beta }^{2}}{{K}_{2}}$, ${{r}_{{20}}} = 6\alpha _{0}^{2}(2 + 9{{\beta }^{2}}K_{2}^{2})$, ${{r}_{{21}}} = 3\alpha _{0}^{2}(1 + 9{{\beta }^{2}}K_{2}^{2}){{K}_{2}}$.

Исключая из равенств (5.2) и (5.3) слагаемые, содержащие параметр ${{\beta }}$, получим

Оценивая абсолютную величину правой части последнего неравенства, имеем

Используя оценки (5.17), (4.15) и

из (5.18) выводим интегральное неравенство где ${{\Psi }}\left( t \right) = {{r}_{{19}}}{{r}_{{22}}}{{y}^{2}}\left( t \right) + {{r}_{{23}}}y\left( t \right) + {{r}_{{24}}}$, здесь ${{r}_{{22}}} = 3{\text{/}}4 + \alpha {{t}_{1}}$, ${{r}_{{23}}} = 1{\text{/}}4 + {{r}_{{20}}}{{r}_{{22}}}$, ${{r}_{{24}}} = {{\tilde {E}}_{0}} + {{r}_{{21}}}{{r}_{{22}}}$.

Так как в рассматриваемом случае начальная энергия ${{\tilde {E}}_{0}}$ – неотрицательная величина, то применяя к (5.19) лемму Гронуолла, получим

где ${{r}_{{25}}} = 1 + \alpha {{t}_{1}}{{e}^{{\alpha {{t}_{1}}}}}$, ${{r}_{{26}}} = {{r}_{{19}}}{{r}_{{22}}}{{r}_{{25}}}$, ${{r}_{{27}}} = {{r}_{{23}}}{{r}_{{25}}}$, ${{r}_{{28}}} = {{r}_{{24}}}{{r}_{{25}}}$.

Вычисляя производную второго порядка интеграла энергии (4.1), используя уравнение (5.1) и интегрируя по частям, выводим энергетическое равенство:

Из равенств (5.21) и (5.3) следует, что, например, удвоенная правая часть равенства (5.3) в любой точке t отрезка $\left[ {0,{{t}_{3}}} \right]$ будет больше левой части (5.21):

или

Учитывая неравенства

(применяя оценки (5.19) и (5.17)) увеличим левую часть неравенства (5.22) и уменьшим правую где ${{r}_{{29}}} = 8{{\tilde {E}}_{0}} + \alpha \left( {{{r}_{{21}}} + 8\left( {{{r}_{{21}}} + {{r}_{{28}}}} \right){{t}_{1}}} \right)$, ${{r}_{{30}}} = \alpha \left( {1 + {{r}_{{20}}} + 8\left( {{{r}_{{20}}} + {{r}_{{27}}}} \right){{t}_{1}}} \right)$, ${{r}_{{31}}} = \alpha \left( {{{r}_{{19}}} + 8\left( {{{r}_{{19}}} + {{r}_{{26}}}} \right){{t}_{1}}} \right)$.

Используя неравенство (4.2), из неравенства (5.23) выводим

Сравнивая неравенство (5.24) с неравенством для интеграла энергии [10, Приложение A , § 5], заключаем, что все условия разрушения решения выполнены и что имеет место

Теорема 4. Пусть выполнены условия леммы и теоремы 2 и пусть начальные функции φ(x), ψ(x) и параметры α, β уравнения (5.1) обеспечивают, в дополнение к условиям (0.3), (3.4), (5.10), (5.13)–(5.15), выполнение требований

тогда время ${{t}_{3}}$ существования решения задачи Коши (5.1), (0.2) не может быть сколь угодно большим, а именно имеет место оценка сверху:гдепричем для функционала y(t) справедлива оценка снизуи предельное равенство $\mathop {\lim }\limits_{t \uparrow {{T}_{\infty }}} {\text{sup\;}}y\left( t \right) = + \infty $.

Замечание 4. Из всех требований теоремы 4 наиболее трудно проверяемыми являются усло-вия (5.10), (5.13)–(5.15) на параметры α, β уравнения (5.1). Однако графический калькулятор Desmos: https://www.desmos.com/ позволяет наглядно изобразить не только области, в которых справедливо каждое из этих неравенств, но и изобразить область на плоскости переменных $x = \alpha $, $y = {{\beta }}$, определяющую решение системы неравенств (5.10), (5.13)–(5.15) с заданной точностью.