Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 11, стр. 1859-1876

2.1. Функциональные пространства

Нам понадобятся гильбертовы пространства V и H (см. [13, разд. III.1.4]) соленоидальных функций. Символом $C_{0}^{\infty }{{(\Omega )}^{N}}$ обозначается множество бесконечно дифференцируемых отображений Ω в ${{R}^{N}}$, $N = 2,3$, с компактным носителем в $\Omega $. Пусть $\mathcal{V} = \{ v:v \in C_{0}^{\infty }{{(\Omega )}^{N}},\;{\text{div}}{\kern 1pt} v = 0\} $. Обозначим через H и V замыкание $\mathcal{V}$ в нормах пространств ${{L}_{2}}{{(\Omega )}^{N}}$ и $W_{2}^{1}{{(\Omega )}^{N}}$ соответственно. Через V^–1 обозначим пространство, сопряженное к V.

Обозначим через $\langle f,v\rangle $ действие функционала f из пространства V^–1 на функцию $v$ из V. Отождествление гильбертова пространства H с его сопряженным V^–1 и теорема Рисса приводят к непрерывным вложениям $V \subset H = {{H}^{{ - 1}}} \subset {{V}^{{ - 1}}}$. При этом для $u \in V$ и $w \in {{V}^{{ - 1}}}$ справедливо соотношение $\langle u,w\rangle = (u,w)$ со скалярным произведением в H.

Через $W_{2}^{k}(\partial \Omega )$ обозначаются пространства Соболева на границе $\partial \Omega $ (см. [14, стр. 82]). Нормы в пространствах H и ${{L}_{2}}{{(\Omega )}^{N}}$ будем обозначать ${{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{0}}$, в V как ${{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{1}}$. Нормы в пространствах V^–1, $W_{2}^{{ - 1}}{{(\Omega )}^{N}}$ и $W_{2}^{{ - 1}}{{(\Omega )}^{{N \times N}}}$ будем обозначать ${{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{{ - 1}}}$. Нормы в ${{L}_{2}}(0,T;H)$ и ${{L}_{2}}(0,T;{{L}_{2}}{{(\Omega )}^{N}})$, обозначаются ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$, нормы в ${{L}_{2}}(0,T;V)$ и ${{L}_{2}}(0,T;W_{2}^{1}{{(\Omega )}^{N}})$ как ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{0,1}}}$, а норма в пространстве ${{L}_{2}}(0,T;{{V}^{{ - 1}}})$ как ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{0, - 1}}}$.

Через $( \cdot , \cdot )$ обозначается скалярное произведение в гильбертовых пространствах ${{L}_{2}}(\Omega )$, H, ${{L}_{2}}{{(\Omega )}^{N}}$, ${{L}_{2}}{{(\Omega )}^{{N \times N}}}$, в каких именно – ясно из контекста.

2.2. Граничная функция

Нам будет удобно считать, что область Ω содержится в ограниченной области ${{\Omega }_{0}}$ с гладкой границей $\partial {{\Omega }_{0}}$, так что ${{\Omega }_{0}} \supset \overline \Omega $. Будем предполагать, что граница Ω задается уравнением $\Phi (x) = 0$, где гладкая функция $\Phi (x):{{\Omega }_{0}} \to {{R}^{1}}$ такова, что $\Phi (x) < 0$ при $x \in \Omega $ и $\Phi (x) > 0$ при $x \in {{\Omega }_{0}}{{\backslash }}\overline \Omega $.

Вследствие уравнения неразрывности (1.2) функция φ должна удовлетворять условию

Здесь $n(x) = ({{n}_{1}}(x), \cdots ,{{n}_{N}}(x))$ – вектор внешней нормали к $\partial \Omega $ в точке $x \in \partial \Omega $.

Так как поведение решений задачи Коши (1.4) в окрестности $\partial \Omega $ тесно связано с граничной функцией φ(x), с целью упростить технические моменты доказательств, мы наложим на φ(x) некоторые дополнительные условия:

б) граничная функция φ(x) является следом на $\partial \Omega $ непрерывно дифференцируемой на ${{\Omega }_{0}}$ соленоидальной функции a(x), равной нулю на $\partial {{\Omega }_{0}}$. Таких функций a(x) существует бесконечно много (см. [10]).

в) в точках ${{\Gamma }_{0}} = \{ x:x \in \partial \Omega ,\varphi (x) \cdot n(x) = 0\} $ траектории ${{z}_{a}}(s;t,x)$ поля скоростей a(x) (решения задачи Коши ${{z}_{a}}(s;t,x) = x + \int_t^s {a({{z}_{a}}(s;t,x)){\kern 1pt} ds} $, $s,t \in [0,T],x \in {{\Omega }_{0}}$), начинающиеся в точках $x \in {{\Gamma }_{0}}$, при $s > t$, близких к $t$, не принадлежат $\Omega $.

Если определяемое функцией φ(x) множество ${{\Gamma }_{0}}$ устроено достаточно просто, то такую функцию a(x) можно построить, используя соображения [10, 13], c. 366. Например, если $\Omega $ выпукла и ${{\Gamma }_{ - }} = \{ x:x \in \partial \Omega ,\varphi (x) \cdot n(x) < 0\} $ и ${{\Gamma }_{ + }} = \{ x:x \in \partial \Omega ,\varphi (x) \cdot n(x) > 0\} $ разделены множеством ${{\Gamma }_{0}}$, которое состоит из конечного множества непересекающихся гладких линий ${{\gamma }_{k}} \in \partial \Omega $ при N = 3, или ${{\Gamma }_{0}}$ является конечным набором точек при N = 2.

Заметим, что двигаясь в ${{\Omega }_{0}}{{\backslash }}\overline \Omega $ по траектории поля скоростей a(x), в точках множества ${{\Gamma }_{0}}$ частицы жидкости касаются границы $\partial \Omega $, не входят в $\Omega $, в то время как в точках множества ${{\Gamma }_{ - }}$ входят в $\Omega $, т.е. жидкость втекает в $\Omega $, а в точках множества ${{\Gamma }_{ + }}$ выходят из $\Omega $, т.е. жидкость вытекает из $\Omega $.

Заметим, что можно было бы с самого начала предполагать гладкость φ(x) и считать, что ${{\Gamma }_{0}}$ разделяет ${{\Gamma }_{ - }}$ и ${{\Gamma }_{ + }}$ и состоит из конечного множества непересекающихся гладких линий ${{\gamma }_{k}} \in \partial \Omega $ при N = 3, или ${{\Gamma }_{0}}$ является конечным набором точек при N = 2, а затем строить продолжение $a(x)$ в $\Omega $ и ${{\Omega }_{0}} \supset \overline \Omega $ гладким образом, что в контексте статьи не является принципиальным.

2.3. Задача Коши

В случае $u \in {{L}_{2}}(0,T:{{W}^{1}}{{(\Omega )}^{N}})$, вообще говоря, не существует классического решения задачи Коши (1.4), и ее разрешимость будем понимать в следующем смысле. Положим u(t, x) = = $v(t,x) + a(x)$, $x \in \Omega ,$ $t \in [0,T]$. Очевидно, что $v \in {{L}_{2}}(0,T;V)$. Продолжив функцию $v$ нулем из Ω в Ω₀ и обозначив продолжение через $v{\kern 1pt} *$, имеем $u{\kern 1pt} * = v{\kern 1pt} *\; + a$. Тогда очевидно, что $u{\kern 1pt} * = u$ в $\Omega $, $u = a$ в ${{\Omega }_{0}}{{\backslash }}\Omega $ и $u{\kern 1pt} * \in {{L}_{2}}(0,T;\mathop W\limits^ \circ {\kern 1pt} _{1}^{2}{{({{\Omega }_{0}})}^{N}})$. Наряду с задачей (1.4) рассмотрим задачу Коши

Так как ${v}{\kern 1pt} *\; + a \in {{L}_{2}}(0,T;\mathop W\limits^ \circ {\kern 1pt} _{1}^{2}{{({{\Omega }_{0}})}^{N}})$, то существует единственный РЛП, порожденный функцией $u{\kern 1pt} * = v{\kern 1pt} *\; + a$ (см. [15, 16] и разд. 6 данной статьи). В частности, это означает, что задача Коши (2.1) имеет абсолютно непрерывное по $\tau $ решение $z(\tau ;t,x)$ при п.в. $x \in {{\Omega }_{0}}$. Обозначим через Z оператор, ставящий в соответствие функции ${v}$ порожденный функцией $u{\kern 1pt} * = v{\kern 1pt} *\; + a$ РЛП, так что $Z(v) = z$. Ниже, говоря о решении $z(\tau ;t,x)$ задачи Коши (1.4), мы будем иметь в виду z(τ; $t,x) = Z(v)(\tau ;t,x)$ при п.в. $x \in \Omega $ (сужение $Z(v)$ на Ω).

При $x \in \Omega $ точка $z(\tau ;t,x) \in \overline \Omega $ только если $\tau \in [{{\tau }_{u}}(t,x),t]$. При этом функция $z(\tau ;t,x)$ удовлетворяет уравнению (1.4) при $\tau \in [{{\tau }_{u}}(t,x),t]$.

4.1. Построение галеркинских приближений

Обозначим через A действующий в H оператор с областью определения D(A) = = $W_{2}^{2}{{(\Omega )}^{N}} \cap \mathop W\limits^ \circ {\kern 1pt} _{1}^{2}{{(\Omega )}^{N}} \cap H$, определенный дифференциальным выражением $Av = - \mathcal{P}{\text{Div}}{\kern 1pt} \mathcal{E}(v)$. Здесь $\mathcal{P}$ – оператор ортогонального проектирования в ${{L}_{2}}(\Omega )$ на подпространство H. Оператор A является положительно определенным самосопряженным оператором (см. [11], разд. 2.4). Ортонормированная система собственных векторов ${{e}_{i}} = ({{e}_{{i1}}},{{e}_{{i2}}}, \ldots {{e}_{{iN}}})$, $i = 1,2, \ldots $ образует базис в H.

Зафиксируем натуральное число n. Обозначим через ${{\mathcal{P}}_{n}}$ оператор ортогонального проектирования в H на подпространство H_n, порожденное элементами ${{e}_{1}},{{e}_{2}}, \ldots ,{{e}_{n}}$. Пользуясь плотностью множества гладких функций в ${{L}_{2}}(0,T;{{V}^{{ - 1}}})$, аппроксимируем f(t, x) последовательностью гладких по t и x функций ${{f}^{n}}(t,x)$, так что $\mathop {\lim }\nolimits_{n \to + \infty } {\text{||}}f(t,x) - {{f}^{n}}(t,x){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{0, - 1}}} = 0$.

Будем искать галеркинские приближения ${{v}^{n}}$ в виде

как решение тождества при любой $\phi \in {{H}_{n}}$ и п.в. $t \in [0,T]$, ${{v}^{n}}(0,x) = \sum\nolimits_{k = 1}^n v_{k}^{0}{{e}_{k}}(x)$, $v_{k}^{0} = \sum\nolimits_{k = 1}^n ({{v}^{0}}(x),{{e}_{k}}(x))$.

Здесь zⁿ – решение задачи Коши

а ${{\tau }^{n}}(t,x) = \inf \{ \tau :{{z}^{n}}(s;t,x) \in \Omega ,s \in [\tau ,t]\} .$ При этом мы считаем, что функции ${{e}_{k}}(x)$ продолжены нулем из $\Omega $ в ${{\Omega }_{0}}$, так что и функции ${{v}^{n}}(t,x)$ считаем равными нулю в ${{\Omega }_{0}}{{\backslash }}\Omega $.

Сведем задачу нахождения функции ${{v}^{n}}(t,x)$ к задаче нахождения функций ${{g}_{i}}(t)$.

Полагая в (4.2) $\varphi = {{e}_{i}}$ и опуская непринципиальный в вычислениях множитель $\exp ((s - t){\text{/}}\lambda )$, получим соответствующую интегродифференциальную систему

где

Здесь $f_{i}^{n}(t) = ({{f}^{n}},{{e}_{i}})$, $\sum\nolimits_{k,r = 1}^n {{d}_{{kri}}}{{g}_{k}}(t){{g}_{r}}(t) \equiv {{D}_{i}}(g)$, ${{d}_{{kri}}} = - \sum\nolimits_{j = 1}^N ({{e}_{{kj}}}{{e}_{r}},\partial {{e}_{i}}{\text{/}}\partial {{x}_{j}})$, ${{d}_{{ki}}}$ и ${{k}_{i}}$ – некоторые числа.

Выясним свойства решений систем (4.4) и (4.5).

Рассмотрим сначала задачу Коши (4.5). Если бы мы рассматривали задачу Коши (4.5) при $(t,x) \in {{Q}_{T}} = [0,T] \times \Omega $, то из-за ненулевого условия для поля скоростей ${{v}^{n}} + a$ на границе Ω решения задачи (4.5) могли бы быть определены не на всем промежутке [0, T], а лишь на промежутке существования полного решения задачи Коши (см. [17]).

Рассматривая задачу Коши при $(t,x) \in Q = [0,T] \times {{\Omega }_{0}}$, мы продолжим нулем функции ${{e}_{k}}(x)$ на ${{\Omega }_{0}}$, сохраняя для продолжения прежнее обозначение. Пусть ${{Q}_{0}} = {{Q}_{ + }} \cup {{Q}_{ - }}$, где ${{Q}_{ + }} = [0,T] \times \Omega $, ${{Q}_{ - }} = [0,T] \times ({{\Omega }_{0}}{{\backslash }}\Omega )$. Из (4.1) следует, что поле скоростей ${{v}^{n}} + a$ непрерывно на $Q = [0,T] \times {{\Omega }_{0}}$ и непрерывно дифференцируемо на ${{\overline Q }_{ + }}$ и ${{\overline Q }_{ - }}$. Ясно, что поле скоростей ${{v}^{n}} + a$ удовлетворяет условию Липшица на Q и равно нулю на границе $\partial {{\Omega }_{0}}$ (но не на границе $\partial \Omega $). Тогда решения ${{z}^{n}}(\tau ;t,x)$ задачи Коши (4.5) существуют и определены для всех $\tau \in [0,T]$, непрерывно дифференцируемы по $\tau \in [0,T]$ и по начальным данным $(t,x) \in {{Q}_{ + }}$ и $(t,x) \in {{Q}_{ - }}$.

Пусть $g(t) = ({{g}_{1}}(t),{{g}_{2}}(t), \ldots ,{{g}_{n}}(t))$. Введем оператор Z, ставящий в соответствие функции $g(t)$ решение $z(\tau ;t,x)$ задачи Коши (4.5), так что $Z(g) = $$z(\tau ;t,x)$.

Здесь и ниже мы опускаем верхний индекс n у функций ${{z}^{n}}$, ${{g}^{n}}$, ${{v}^{n}}$, ${{\tau }^{n}}$ для удобства.

Пусть ${{G}_{0}} = [0,T] \times [0,T] \times {{\Omega }_{0}}$, ${{G}_{ + }} = [0,T] \times [0,T] \times \Omega $, ${{G}_{ - }} = [0,T] \times [0,T] \times ({{\Omega }_{0}}{{\backslash }}\Omega )$. Справедлива

Лемма 4.1. Оператор $Z:C{{[0,T]}^{n}} \to C{{({{G}_{0}})}^{N}}$ непрерывен. Кроме того, $Z:C{{[0,T]}^{n}} \to {{C}^{1}}{{({{\overline G }_{ + }})}^{N}}$, $Z:C{{[0,T]}^{n}} \to {{C}^{1}}{{({{\overline G }_{ - }})}^{N}}$ ограничен.

Доказательство. Пусть $S(R) = \{ g(t):{\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{(0,T)}}^{n}}}}} \leqslant R\} $. Пусть ${{g}^{1}},\;{{g}^{2}} \in S(R)$, а ${{z}^{1}}(\tau ;t,x),$ ${{z}^{2}}(\tau ;t,x)$ – решения соответствующих задачи Коши (4.5). Пользуясь (4.5) и гладкостью e_k и a, стандартным образом устанавливается, что для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что при любых ${{g}^{1}},\;{{g}^{2}} \in S(R)$, таких, что ${\text{||}}{{g}^{1}} - {{g}^{2}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{(0,T)}}^{n}}}}} \leqslant \delta $ справедливо неравенство ${\text{||}}{{z}^{1}}(\tau ;t,x) - {{z}^{2}}(\tau ;t,x){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{({{G}_{0}})}}^{N}}}}} \leqslant \varepsilon $.

Второе утверждение леммы следует из непрерывной зависимости и дифференцируемости решения $z(\tau ;t,x)$ задачи Коши (4.5) по начальным данным t, x и гладкости ${{e}_{k}}$ и a и стандартным образом устанавливаемого неравенства ${\text{||}}Z(g){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{({{G}_{0}})}}^{N}}}}} \leqslant M(R)$ для всех $g \in S(R)$.

Лемма 4.1 доказана.

Лемма 4.2. Оператор $Z:C{{[0,T]}^{n}} \to C{{({{G}_{0}})}^{N}}$ равномерно непрерывен на S(R).

Доказательство. Пусть ${{g}^{i}}(t) = (g_{1}^{i}(t),g_{2}^{i}(t), \ldots ,g_{n}^{i}(t)) \in S(R)$, i = 1, 2, и пусть ${{z}^{i}}(\tau ;t,x)$ являются решениями задач Коши

Пусть r > 0 и $\bar {y}(t) = \exp (rt)y(t)$ для произвольной y(t). Из (4.6) следует, что

Из (4.7) и гладкости ${{e}_{k}}(x)$ и a(x) вытекает, что

Из (4.8) следует, что

Выбирая $r > 0$ достаточно большим, получаем отсюда неравенство

Из ограниченности $\exp (kt)$ на $[0,T]$ сверху и снизу следует, что

Неравенство

легко получается с помощью леммы Гронуолла.

Из неравенств (4.9)–(4.10) вытекает, что

Отсюда следует утверждение леммы 4.2.

Лемма 4.2 доказана.

Пусть $z(\tau ;t,x)$ является решением задачи Коши (4.5). Рассмотрим на Q_T функцию τ(t, x) = = $\inf \{ s:z(\tau ;t,x) \in \Omega ,0 \leqslant s \leqslant \tau \leqslant t\} .$ Имеет место

Лемма 4.3. Справедливо соотношение $\tau (t,x) \in C({{Q}_{T}})$.

Доказательство. Зафиксируем $(t,x) \in {{Q}_{T}}$. Пусть $\tau (t,x) = 0$ и $z(0;t,x) \in \Omega $. Тогда непрерывность $\tau (t,x)$ в точке (t, x) является следствием непрерывности по начальным данным решения задачи Коши (4.5).

Пусть $\tau (t,x) > 0$. Тогда $z(\tau (t,x);t,x) \in \partial \Omega $. Обозначим ${{\tau }_{*}} = \tau (t,x)$, ${{z}_{*}} = z({{\tau }_{*}};t,x)$. Тогда ${{z}_{*}} \in \partial \Omega $, $\Phi ({{z}_{*}}) = 0$, $\Phi (z(\tau ;t,x)) < 0$ при $\tau \in ({{\tau }_{*}},t]$. Из условия б) раздела 2.2 вытекает, что , так как в противном случае траектория $z(\tau ;t,x)$ при $\tau \geqslant {{\tau }_{*}}$ должна входить в Ω из ${{\Omega }_{0}}{{\backslash }}\Omega $ и в то же время должна при ${{\tau }_{*}}$ по касательной уходить в ${{\Omega }_{0}}{{\backslash }}\overline \Omega $, что невозможно в силу единственности решения задачи Коши. Таким образом, ${{z}_{*}} \in {{Z}_{ - }}$.

Из непрерывности функции $z(\tau ;t,x)$ и условия б) следует, что для произвольного ε > 0 существует такое ${{\tau }_{1}} \in ({{\tau }_{*}} - \varepsilon ,{{\tau }_{*}})$, что $\Phi (z({{t}_{1}};t,x) > 0$ при $\tau \in [{{\tau }_{1}},{{\tau }_{*}}]$. Из непрерывности же функции $z(\tau ;t,x)$ следует, что для произвольного ε > 0 существует такое δ > 0, что при всех, S_δ = = $\{ (t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '):{\text{|}}t - t{\kern 1pt} '{\text{|}} \leqslant \delta ,\;{\text{|}}x - x{\kern 1pt} '{\text{|}} \leqslant \delta \} $ выполнялось неравенство $\Phi (z({{t}_{1}};t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ')) > 0$ и ${\text{|}}z({{\tau }_{1}};t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ') - z({{\tau }_{1}};t,x){\text{|}}$ < < d/2, где $d = {\text{dist}}(z({{\tau }_{1}};t,x),\partial \Omega )$.

В случае $\tau (t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ') \in [{{\tau }_{1}},{{\tau }_{*}}]$ имеем $\tau (t,x) - \tau (t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ') \leqslant \varepsilon $. Покажем, что если $\tau (t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ') > {{\tau }_{*}}$, то $\tau (t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ') - \tau (t,x) \leqslant \varepsilon $ при достаточно малом δ > 0. Допустим, что это не так. Тогда найдется последовательность $({{t}^{n}},{{x}^{n}})$, сходящаяся к (t, x) при $n \to + \infty $, такая что $\tau ({{t}^{n}},{{x}^{n}})\, \geqslant \,{{\tau }_{*}}\, + \,\varepsilon $ и $\Phi (z(\tau ({{t}^{n}},{{x}^{n}});{{t}^{n}},{{x}^{n}}))$ = 0. Выберем из последовательности $({{t}^{n}},{{x}^{n}})$ подпоследовательность, сходящуюся к некоторому $\bar {\tau } \geqslant {{\tau }_{*}} + \varepsilon $ (пусть это будет сама последовательность $({{t}^{n}},{{x}^{n}})$).

Пользуясь непрерывностью функций $\Phi $ и z и переходя к пределу в соотношении $\Phi (z(\tau ({{t}^{n}},{{x}^{n}});{{t}^{n}},{{x}^{n}})) = 0$, получаем $\Phi (z(\bar {\tau };t,x)) = 0$. Но это означает, что $z(\bar {\tau };t,x) \in \partial \Omega $ при $\bar {\tau } > {{\tau }_{*}}$, чего быть не может.

Таким образом, если $\tau (t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ') > {{\tau }_{*}}$, то $\tau (t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ') - \tau (t,x) \leqslant \varepsilon $ при достаточно малом δ > 0.

Следовательно, для произвольного ε > 0 существует такое δ > 0, что при всех $(t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ') \in {{S}_{\delta }}$ выполняется неравенство ${\text{|}}\tau (t{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} ') - \tau (t,x){\text{|}} < \varepsilon $.

Случай $\tau (t,x) = 0$ и $z(\tau (t,x);t,x) \in \partial \Omega $ рассматривается аналогично предыдущему случаю с некоторыми упрощениями. Непрерывность функции $\tau (t,x)$ установлена.

Лемма 4.3 доказана.

Поставим в соответствие функции g(t), определяющей задачу Коши (4.5), функцию ${{\tau }_{g}}(t,x)$, тем самым определяя оператор $\mathcal{T}(g) = {{\tau }_{g}}(t,x)$.

Пусть ${{S}_{g}}(R) = \{ g:{\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{(0,T)}}^{n}}}}} \leqslant R\} $, R > 0 – произвольное число.

Лемма 4.4. Оператор $\mathcal{T}:C{{[0,T]}^{n}} \to C({{Q}_{T}})$ непрерывен на ${{S}_{g}}(R)$.

Доказательство. Рассмотрим фиксированную $g{\kern 1pt} *(t) \in {{S}_{g}}(R)$ и соответствующие ей $z{\kern 1pt} *(\tau ;t,x)$ и $\tau {\kern 1pt} *(t,x)$. Пусть последовательность ${{g}^{k}}(t) \in {{S}_{g}}(R)$ такова, что $\mathop {\lim }\nolimits_{ \to + \infty } {\text{||}}{{g}^{k}} - {{g}^{n}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{(0,T)}}^{n}}}}} = 0$. Пусть ${{g}^{n}}(t)$ соответствуют функции ${{z}^{k}}(\tau ;t,x)$ и ${{\tau }^{k}}(t,x)$. Покажем, что $\mathop {\lim }\nolimits_{k \to + \infty } {\text{||}}{{\tau }^{k}}(t,x) - \tau {\kern 1pt} *(t,x){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C({{Q}_{T}})}}} = 0$. Предположим, что это не так. Тогда при некотором ${{\varepsilon }_{0}} > 0$ существует подпоследовательность (сохраним за ней прежнее обозначение), для которой выполняется ${\text{||}}{{\tau }^{k}}(t,x) - \tau {\kern 1pt} *(t,x){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C({{Q}_{T}})}}} \geqslant \varepsilon $. Отсюда следует, что существует подпоследовательность (сохраним за ней прежнее обозначение) такая, что при некотором $(t,x) \in {{Q}_{T}}$ выполняется ${\text{|}}{{\tau }^{k}}(t,x) - \tau {\kern 1pt} *(t,x){\text{|}} \geqslant \varepsilon $.

Рассмотрим сначала случай $\tau {\kern 1pt} {\text{*}}(t,x) > 0$. Заметим, что тогда $z{\kern 1pt} {\text{*}}(\tau {\kern 1pt} *;t,x) \in \partial \Omega $ и $\Phi (z{\kern 1pt} *(\tau {\kern 1pt} *;t,x)) = 0$. Предположим, что на некоторой подпоследовательности имеем ${{\tau }^{k}}(t,x) - \tau {\kern 1pt} *(t,x) \geqslant 0$ (случай ${{\tau }^{k}}(t,x)\, - \,\tau {\kern 1pt} {\text{*}}(t,x)\, \leqslant \,0$ рассматривается аналогично). Тогда можно считать, что ${{\tau }^{k}}(t,x) \to \bar {\tau }(t,x) \geqslant $ ≥ τ*(t, x) + ε₀. Так как ${{z}^{k}}({{\tau }^{k}}(t,x);t,x) \in \partial \Omega $ и $\Phi ({{z}^{k}}({{\tau }^{k}};t,x)) = 0$. Из последнего соотношения в силу непрерывности $\Phi (t,x)) = 0$ и сходимостей ${{z}^{k}}(\tau ;t,x) \to z{\kern 1pt} *(\tau ;t,x)$ и ${{\tau }^{k}}(t,x) \to \bar {\tau }(t,x)$ вытекает, что $\Phi (z{\kern 1pt} *(\bar {\tau };t,x) = 0$ при $\bar {\tau }(t,x) > \tau {\kern 1pt} *(t,x)$, что невозможно.

Случай $\tau {\kern 1pt} {\text{*}}(t,x) = 0$ рассматривается аналогично.

Непрерывность оператора $\mathcal{T}$ установлена.

Лемма 4.4 доказана.

Рассмотрим теперь соответствующую первому уравнению системы (4.4) задачу

Здесь $g = ({{g}_{1}}, \cdots ,{{g}_{n}})$, $w = ({{w}_{1}}, \cdots ,{{w}_{n}})$.

Лемма 4.5. Пусть $w(t) \in C{{(0,T)}^{n}}$. Тогда система (4.12) однозначно разрешима и справедлива оценка

Доказательство. Однозначная разрешимость системы (4.12) вытекает из общих свойств решения задачи Коши для систем ОДУ с гладкими данными (см., например, [17]). В [13, разд. III.3.2], для соответствующей решению системы (4.12) функции ${{v}^{n}}(t,x) = \sum\nolimits_{k = 1}^n {{g}_{k}}(t){{e}_{k}}(x)$ установлена оценка

где $\tilde {w}(t,x) = \sum\nolimits_{k = 1}^n {{w}_{k}}(t){{e}_{k}}(x)$. Так как ${\text{||}}\tilde {w}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{0, - 1}}} \leqslant {\text{||}}w(t){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{2}}{{{(0,T)}}^{n}}}}} \leqslant {\text{||}}w(t){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{(0,T)}}^{n}}}}}$, а ${\text{|}}{{v}^{n}}(t){\text{|}}_{0}^{2} = {\text{||}}g(t){\text{||}}_{{{{L}_{2}}{{{(0,T)}}^{n}}}}^{2}$, то из (4.14) вытекает неравенство (4.13).

Лемма 4.5 доказана.

Введем оператор G, ставящий в соответствие функции w(t) решение h(t) системы (4.12), так что $G(w) = g(t)$.

Пусть ${{S}_{w}}(R) = \{ w:{\text{||}}w{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{(0,T)}}^{n}}}}} \leqslant R\} $. Справедлива

Лемма 4.6. Оператор $G:C{{[0,T]}^{n}} \to C{{[0,T]}^{n}}$ непрерывен на S_w(R).

Утверждение леммы вытекает из общих свойств решения задачи Коши для систем ОДУ с гладкими данными (см., например, [17]).

Введем множество $\mathcal{B}(R) = \{ g:g = G(w),\;w \in {{S}_{w}}(R)\} $.

Лемма 4.7. Множество $\mathcal{B}(R)$ компактно в $C{{(0,T)}^{n}}$.

Доказательство. Равномерная ограниченность $\mathcal{B}(R)$ в $C{{(0,T)}^{n}}$ следует из леммы 4.6.

Из (4.12) и леммы 4.6 вытекает неравенство ${\text{||}}g{\kern 1pt} '(t){\text{||}}_{{C(0,T)}}^{n} \leqslant M(R)$ с некоторой константой M(R) для всех $g \in \mathcal{B}(R)$. Отсюда следует равностепенная непрерывность $\mathcal{B}(R)$.

Применение критерия Арцела (см., например, [14], c. 32) дает утверждение леммы.

Лемма 4.7 доказана.

4.2. Операторное уравнение

Обозначим правую часть (4.4), зависящую от $g(t) = ({{g}_{1}}, \cdots ,{{g}_{n}})$, ${{z}^{n}}({{\tau }^{1}};t,x)$, и $\tau (t,x)$ как ${{\mathcal{G}}_{i}}(g,z,\tau )$, и пусть $\mathcal{G}(g,z,\tau ) = ({{\mathcal{G}}_{1}}(g,z,\tau ), \cdots ,{{\mathcal{G}}_{n}}(g,z,\tau ))$. Тем самым определяется оператор $\mathcal{G}:C{{[0,T]}^{n}}$ × × $C{{({{Q}_{0}})}^{n}} \times C[0,T] \to C{{[0,T]}^{n}}$. Пусть произвольная функция $w \in C{{[0,T]}^{n}}$. Поставим в соответствие w функцию $g = G(w)$, затем поставим в соответствие g функцию $z = Z(g) = Z(G(w))$, затем поставим в соответствие z функцию $\tau = \mathcal{T}(z) = \mathcal{T}(Z(G(w)))$. Обозначим $\mathcal{Z}(w) = Z(G(w)))$ и $\Upsilon (w) = \mathcal{T}(Z(G(w)))$. Таким образом, мы поставили в соответствие $w$ функцию $z(s;t,x) = \mathcal{Z}(w)$, где $\mathcal{Z}(w) = Z(G(w)))$ и функцию $\tau (t,x) = \Upsilon (w)$, где $\Upsilon (w) = \mathcal{T}(Z(G(w)))$. Тогда из (4.4) имеем

Обозначая правую часть (4.15) через ${{K}_{i}}(w)$, $K(w) = (K{{(w)}_{1}}, \cdots ,K{{(w)}_{n}})$, получаем из (4.4) операторное уравнение

Нетрудно видеть, что из непрерывности операторов G, $\mathcal{Z}$, $\Upsilon $ следует, что оператор $\mathcal{K}$ переводит $C{{(0,T)}^{n}}$ в $C{{(0,T)}^{n}}$.

Введем на $C{{(0,T)}^{n}}$ норму ${\text{||}}w{\text{|}}{{{\text{|}}}_{l}} = {\text{||}}w(t)\exp ( - lt){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{(0,T)}}^{n}}}}}$, где l > 0. Пусть ${{S}_{l}}(R) = \{ w:{\text{||}}w{\text{|}}{{{\text{|}}}_{l}} \leqslant R\} $. Справедлива

Лемма 4.8. Пусть R достаточно велико. Тогда $\mathcal{K}({{S}_{l}}(R)) \subset {{S}_{l}}(R)$.

Доказательство. Пусть $w \in {{S}_{l}}(R)$. Пользуясь леммами 4.1, 4.5, 4.6 и равенством (4.15), имеем

Выбирая l так, чтобы ${{M}_{1}}{{l}^{{ - 1}}}R < 1{\text{/}}2$, получаем ${\text{||}}K(w){\text{|}}{{{\text{|}}}_{l}} \leqslant {{M}_{3}}({\text{||}}f(t){\text{|}}{{{\text{|}}}_{l}} + \max {\text{|}}{{k}_{i}}{\text{|}})$. Выбирая теперь $R$ достаточно большим и пользуясь (4.17), получаем ${\text{||}}\mathcal{K}(w){\text{|}}{{{\text{|}}}_{l}} \leqslant R$.

Лемма 4.8 доказана.

Лемма 4.9. Оператор $\mathcal{K}$ является непрерывным и компактным на ${{S}_{l}}(R)$.

Доказательство. Непрерывные по норме ${\text{||}}\, \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C{{{(0,T)}}^{n}}}}}$ операторы являются непрерывными и по норме ${\text{||}}\, \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{l}}$ в силу эквивалентности этих норм, и оператор $K = \mathcal{G}(\mathcal{T}(w),\mathcal{Z}(w),\Upsilon (w))$ является непрерывным как суперпозиция непрерывных операторов.

Оператор G переводит ${{S}_{l}}(R)$ в компактное множество $\mathcal{B}(R)$. Следовательно, непрерывные операторы $\Upsilon (w) = \mathcal{T}(Z(G(w)))$, $\mathcal{Z}(w) = Z(G(w)))$ и $\mathcal{K} = \mathcal{G}(\mathcal{T}(w),\mathcal{Z}(w),\Upsilon (w)))$ переводят ${{S}_{l}}(R)$ в компактное множество.

Лемма 4.9 доказана.

Из лемм 4.8, 4.9 в силу принципа Шаудера вытекает

Лемма 4.10. Оператор $\mathcal{K}$ имеет на ${{S}_{l}}(R)$ неподвижную точку.

4.3. Разрешимость системы (4.4)–(4.5)

Теорема 4.1. Система (4.4)–(4.5) имеет решение.

Доказательство. Из леммы 10 вытекает существование неподвижной точки w оператора $\mathcal{K}$. Ясно, что $g = G(w)$ является решением системы (4.4)–(4.5), где ${{z}^{n}}(s;t,x) = \mathcal{Z}(w)$, ${{\tau }^{n}}(t,x) = \Upsilon (w)$.

Теорема 4.1 доказана.

4.4. Разрешимость интегрального тождества (4.2)

Пусть ${{v}^{n}}(t,x) = \sum\nolimits_{k = 1}^n {{g}_{k}}(t){{e}_{k}}(x)$, где g(t), ${{z}^{n}}(s;t,x)$, ${{\tau }^{n}}(t,x)$ – решение системы (4.4)–(4.5).

Теорема 4.2. Функция ${{v}^{n}}(t,x)$ удовлетворяет интегральному тождеству (4.2) и соотношениям (4.5), (4.3) и справедлива равномерная по $n$ оценка

Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из теоремы 4.1.

Докажем оценку (4.18). Стандартными соображениями, как и в случае системы Навье–Стокса (см. [13, разд. II.1.4, стр. 141]), и опуская индексы $n$, получим

Оценим слагаемые I_i.

Рассмотрим сначала I₁. Нетрудно видеть, что при произвольном $\varepsilon > 0$ справедливо неравенство

В силу гладкости $a(t,x)$ получаем

Рассмотрим слагаемое I₂. Очевидно, что

Легко видеть, что в силу гладкости $a(t,x)$

Здесь ${{v}_{x}}$ и a_x – матрицы Якоби вектор-функций $v$ и a, ${\text{|}}{{v}_{x}}{\text{|}}$ и ${\text{|}}{{a}_{x}}{\text{|}}$ – нормы матриц. Считая $v$ продолженной нулем из $\Omega $ в ${{\Omega }_{0}}$, рассмотрим задачу Коши

Задача (4.24) нелокально разрешима, при этом якобиан J(t, x) отображения y = z(t; s, $x):{{\Omega }_{0}} \to {{\Omega }_{0}}$ равен единице в силу соленоидальности поля скоростей.

Используя вышеприведенные рассуждения и меняя порядок интегрирования, получаем

Делаем в последнем интеграле по ${{\Omega }_{0}}$ замену переменной $x = z(t;s,y)$ и учитывая $J(t,x) = 1$, имеем

Из (4.23)–(4.26) вытекает

Из неравенств (4.22) и (4.27) вытекает, что

Так как ${\text{|}}\mathcal{E}u)(x){{{\text{|}}}_{0}} > m{\text{|}}(u(x){{{\text{|}}}_{1}}$, $m > 0$, для $\forall u \in V$, то интегрируя (4.19) по t, пользуясь оценками (4.20), (4.21) и (4.28), выбирая $\varepsilon > 0$ достаточно малым, получаем

Отсюда получаем интегральное неравенство типа Гронуолла для $q(t) = \int_0^t {{\text{|}}{v}(\tau ,x){\text{|}}_{1}^{2}{\kern 1pt} d\tau \; + \;{\text{|}}{v}(t,x){\text{|}}_{0}^{2}} $, дающее оценку q(t). Из (4.29) и оценки q(t) следует утверждение теоремы 4.2.

Теорема 4.2 доказана.

Замечание. Так как $v(t,x) = 0$ при $x \in {{\Omega }_{0}}{{\backslash }}\Omega $, то ${\text{||}}v(t,x){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{2}}{{{({{\Omega }_{0}})}}^{N}}}}} = {\text{|}}v(t,x){{{\text{|}}}_{0}}$, ${\text{||}}v(t,x){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{2}}(0;W_{1}^{2}{{{({{\Omega }_{0}})}}^{N}})}}}$ = = ${\text{|}}v(t,x){{{\text{|}}}_{1}}$. Отсюда и из оценки (4.18) вытекает равномерная по n оценка

4.5. Свойства галеркинских приближений

Пусть ${{v}^{n}}(t,x) = \sum\nolimits_{k = 1}^n {{g}_{k}}(t){{e}_{k}}(x)$, где $g(t)$, ${{z}^{n}}(s;t,x)$, ${{\tau }^{n}}(t,x)$ являются решениями системы (4.4), (4.5). Из того, что ${{v}^{n}}$ равна нулю вне $\Omega $ и из оценки (4.30) следует слабая в ${{L}_{2}}(0,T;\mathop W\limits^ \circ {\kern 1pt} _{1}^{2}{{({{\Omega }_{0}})}^{N}})$ и сильная в ${{L}_{2}}(0,T;{{L}_{2}}{{({{\Omega }_{0}})}^{N}})$ сходимость ${{v}^{n}}(t,x)$ к некоторой ${{v}^{n}}(t,x) \in {{L}_{2}}(0,T;\mathop W\limits^ \circ {\kern 1pt} _{1}^{2}{{({{\Omega }_{0}})}^{N}})$ (с точностью до подпоследовательности) при $n \to + \infty $.

Из теоремы 6.2 следует, что последовательность ${{z}^{n}}(s;t,x)$ сходится по $\tau ,\;x$ мере к РЛП $z(s;t,x)$, порожденному $v(t,x) \in {{L}_{2}}(0,T;\mathop W\limits^ \circ {\kern 1pt} _{1}^{2}{{({{\Omega }_{0}})}^{N}})$ равномерно по $t$. Тогда последовательность ${{z}^{n}}(s;t,x)$ ( с точностью до подпоследовательности) сходится к $z(s;t,x)$ при п.в. $(s,x) \in {{Q}_{T}}$.

Рассмотрим последовательность ${{\tau }^{n}}(t,x)$.

Теорема 4.3. Последовательность ${{\tau }^{n}}(t,x)$ сходится к $\tau (t,x)$ при $n \to + \infty $ при п.в. $(t,x) \in {{Q}_{T}}$.

Доказательство теоремы 4.3. Пусть последовательность ${{z}^{n}}(s;t,x)$ сходится к $z(s;t,x)$ при $(t,x) \in {{Q}_{T}}$. Покажем, что тогда ${{\tau }^{n}}(t,x)$ сходится к $\tau (t,x)$ (с точностью до подпоследовательности). Рассмотрим сначала случай $\tau (t,x) > 0$. Предположим противное, т.е. ${{\tau }^{n}}(t,x)$ не сходится к $\tau {\kern 1pt} *(t,x)$. Тогда найдется подпоследовательность (индексы те же), при которой либо ${{\tau }^{n}}(t,x) \geqslant \tau (t,x) + \delta $, либо ${{\tau }^{n}}(t,x) \leqslant \tau (t,x) - \delta $ для некоторого $\delta > 0$. Пусть сначала ${{\tau }^{n}}(t,x) \geqslant \tau (t,x) + \delta $. Тогда можно считать, ${{\tau }^{n}}(t,x) \to {{\tau }_{1}} > \tau (t,x) + \delta $. В этом случае $\Phi ({{z}^{n}}({{\tau }^{n}}(t,x);t,x)) = 0$, $\Phi ({{z}^{n}}({{\tau }_{1}};t,x)) > 0$. Из сходимости ${{z}^{n}}(s;t,x)$ к $z(s;t,x)$ и непрерывности $\Phi (t,x)$ следует, что $\Phi (z({{\tau }_{1}};t,x)) \geqslant 0$. Следовательно, либо при ${{\tau }_{1}} > \tau (t,x)$, либо $z({{\tau }_{1}};t,x) \in \partial \Omega $ при ${{\tau }_{1}} > \tau (t,x)$, что противоречит определению $\tau (t,x)$.

Аналогично рассматривается случай ${{\tau }^{n}}(t,x) \leqslant \tau (t,x) - \delta $.

В случае $\tau (t,x) > 0$ теорема 4.3 доказана. Случай $\tau (t,x) = 0$ доказывается проще.

Теорема 4.3 доказана.