1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 12, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 12, стр. 2096-2129

Исследование дефектов и построение гармонических сеток в областях с углами и выемками

С. И. Безродных 1, *, В. И. Власов 1, **

1 ФИЦ ИУ РАН
119333 Москва, ул. Вавилова, 44, корп. 2, Россия

* E-mail: sbezrodnykh@mail.ru
** E-mail: vlasovvi46@gmail.com

Поступила в редакцию 10.03.2023
После доработки 08.04.2023
Принята к публикации 14.05.2023

Аннотация

Представлен обзор ряда работ, посвященных трудностям построения гармонических сеток в плоских областях с углами и выемками, а также приведены некоторые новые результаты. Известно, что гармоническая сетка, построенная с помощью общепринятых методов в областях с выемками или входящими (т.е. бóльшими π) углами, может содержать такие дефекты, как ее самопересечение или выход за пределы области. Установлено, что вблизи вершины входящего угла эти дефекты вытекают из построенной в работе асимптотики используемого гармонического отображения, согласно которой изолиния, исходящая из этой вершины, касается в ней одной из сторон угла (т.е. возникает эффект “прилипания”), за исключением особого случая. Для трех типов областей $\mathcal{Z}$ с углами или выемками ($L$-образной, подковообразной и области с прямоугольным вырезом), применение к которым общепринятых методов построения гармонической сетки наталкивается на известные трудности, дан обзор известных результатов. Применение к этим областям метода мультиполей позволило получить их гармоническое отображение с высокой точностью: апостериорная оценка погрешности отображения в норме составила 10–7 при использовании 120 аппроксимативных функций. Библ. 53. Фиг. 19.

Ключевые слова: гармонические отображения, области g с углами и выемками, асимптотика отображения вблизи вершин углов, аналитико-численный метод построения гармонического отображения, апостериорная оценка погрешности в норме $C(\bar {g})$, метод мультиполей.

Список литературы

  1. Radó T. Aufgabe 41 // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereiningung. 1926. V. 35. P. 49.

  2. Kneser H. Lösung der Aufgabe 41 // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereiningung. 1926. V. 35. P. 123–124.

  3. Choquet G. Sur un type de transformation analitiques généralisant la représentation conforme et définie au moyen de fonctions harmoniques // Bull. Sci. Math. 1945. V. 69. № 2. P. 156–165.

  4. Duren P. Harmonic mappings in the plane, “Cambrige Tracts in Mathematics”. V. 156. Cambrige: Cambrige Univer. Press, 2004.

  5. Кудрявцев Л.Д. О свойствах гармонических отображений плоских областей // Матем. сб. 1955. Т. 36 (4.12). № 2. С. 201–208.

  6. Hamilton R. Harmonic maps of manifolds with boundary. In: “Lecture Notes in Computer Science”. Vl. 471. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1975.

  7. Clunie J., Sheil-Small T. Harmonic univalent functions // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser A. I. Math. 1984. V. 9. P. 3–25.

  8. Jost J. Lectures on harmonic maps. “Lecture Notes in Mathematics”. V. 1161, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1985.

  9. Winslow A.M. Numerical solution of the quazilinear Poisson equations in a nonuniform triangle mesh // J. Comp. Phys. 1966. V. 1. № 2. P. 149–172.

  10. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. № 2. P. 429–440.

  11. Thompson J.F., Thames C.W., Mastin C.W. Automatic numerical generation of body fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies // J. Comput. Phys. 1974. V. 15. P. 299–319.

  12. Яненко Н.Н., Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения сеток // Численные методы в механике сплошной среды. Новосибирск. 1977. Т. 8. № 4. С. 157–163.

  13. Brackbill J.U., Saltzman J.S. Adaptive zoning for singular problems in two dimensions // J. Comput. Phys. 1982. V. 46. № 3. P. 342–368.

  14. Castillo J.E., Steinberg S., Roache P.J. Mathematical aspects of variational grid generation II // J. Comp. and Appl. Math. 1987. V. 20. P. 127–135.

  15. Иваненко С.А. Построение невырожденных сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 10. С. 1498–1506.

  16. Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 4. С. 503–514.

  17. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Прокопов Г.П., Крайко А.М. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

  18. Лисейкин В.Д., Шокин Ю.И., Васева И.А., Лиханова Ю.В. Технология построения разностных сеток. Новосибирск: Наука, 2009.

  19. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical grid generation. Foundations and Applications N.-Y.: North-Holland, 1985.

  20. Sengupta S., Hauser J., Eiseman P.R., Thompson J.F. (Eds.) Numerical Grid Generation in Computational Fluid Mechanics’88. N.-Y.: Pineridge Press Ltd, 1988.

  21. Castillo J.E. (Ed.) Mathematical Aspects of Numerical Grid Generation. Philadelphia: SIAM, 1991.

  22. Knupp P., Steinberg S. Fundamentals of Grid Generation. Florida: CRC Press. Boca Raton, 1992.

  23. Иваненко С.А. Адаптивно-гармонические сетки. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1997.

  24. Ivanenko S.A. Harmonic Mappings. In: Thompson J.E., Soni B.K., Weatherill N.P. (Eds.) Handbook of Grid Generation. Boca Raton, London, N.Y., Washington, D.C.: RCR Press LLC, 1999.

  25. Marcum D.L. Unstructured Grid Generation Using Automatic Point Insertion and Local Reconnection. In: Thompson J.E., Soni B.K., Weatherill N.P. (Eds.) Handbook of Grid Generation. Boca Raton, London, N.Y., Washington, D.C.: RCR Press LLC, 1999.

  26. Liseikin V.D. Grid generation methods. N.-Y.: Springer-Verlag, 2017.

  27. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Boundary-fitted coordinate systems for numerical solutions of partial differential equations // J. Comput. Phys. 1982. V. 47. № 2. P. 1–109.

  28. Лисейкин В.Д. Технология конструирования трехмерных сеток для задач аэрогидродинамиеки (обзор) // Вопр. атомной науки и техн. Матем. моделирование физ. процессов. 1991. Вып. 3. С. 31–45.

  29. Софронов И.Д., Рассказова В.В., Нестеренко Л.В. Нерегулярные сетки в методах расчета нестационарных задач газовой динамики // Вопр. матем. моделирования, вычисл. матем. и информатики. М.: Арзамас-16, Мин. РФ Атомной энергии, 1994. С. 131–183.

  30. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурированных адаптивных сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 1. С. 3–41.

  31. Иваненко С.А., Прокопов Г.П. Методы построения адаптивно-гармонических сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 6. С. 643–662.

  32. Прокопов Г.П. Методология вариационного подхода к построению квазиортогональных сеток // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Матем. моделир. физ. процессов. 1998. № 1. С. 37–46.

  33. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сетки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 11. С. 1662–1684.

  34. Безродных С.И., Власов В.И. Об одной проблеме конструктивной теории гармонических отображений // Современная математика. Фундаментальные направления. 2012. Т. 46. С. 5–30.

  35. Roache P.J., Steinberg S., Moeny W.M. Interactive electric field calculations for lasers // AIAA Paper No. 84-1655, Proc. AIAA 17-th Fluid Dynamics, Plasma Dynamics, and Lasers Conference, Snomass. Colorado, June, 1984.

  36. Roache P.J., Steinberg S. A new approach to grid genaration using a variational formulation // AIAA Paper No. 85-1527-CP, Proc. AIAA 7-th Computational Fluid Dynamics Conference, Cincinnati OH, July, 1985. P. 360–370.

  37. Castillo J.E., Steinberg S., Roache P.J. On the folding of numerically generated grids: use of a reference grid // Comm. Appl. Numer. Method. 1988. V. 4. P. 471–481.

  38. Knupp P., Luczak R. Truncation error in grid generation: a case study // Numer. Meth. Part. Differ. Equats. 1995. V. 11. P. 561–571.

  39. Азаренок Б.Н. О построении структурированных сеток в двумерных невыпуклых областях с помощью отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 5. С. 826–839.

  40. Азаренок Б.Н., Чарахчьян А.А. О построении структурированных сеток в двумерных невыпуклых областях с помощью отображений // Матем. моделирование. 2014. Т. 26. № 12. С. 48–64.

  41. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

  42. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

  43. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-разностные методы. М.: Наука, 1981.

  44. Безродных С.И., Власов В.И. О поведении гармонического отображения в углах // Матем. заметки. 2017. Т. 101. № 3. С. 474–480.

  45. Bezrodnykh S.I., Vlasov V.I. Singular behavior of harmonic maps near corners // Complex Variables and Elliptic Equations. 2019. V. 64. № 5. P. 838–851.

  46. Власов В.И. Об одном методе решения некоторых смешанных задач для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР. 1977. Т. 237. № 5. С. 1012–1015.

  47. Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. Дисс. … докт. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1990.

  48. Vlasov V.I. Multipole method for solving some boundary value problems in complex–shaped domains // Zeitschr. Angew. Math. Mech. 1996. V. 76. Suppl. 1. P. 279–282.

  49. Безродных С.И., Власов В.И. Об одной вычислительной проблеме двумерных гармонических отображений // Научные ведомости БелГУ. 2009. № 13 (4.2). Вып. 17/2. С. 30–44.

  50. Bezrodnykh S.I., Vlasov V.I. The method of harmonic mapping of regions with a notch // Math. Notes. 2022. V. 112. № 6. P. 831–844.

  51. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методв теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

  52. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987.

  53. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.А. Лекции по математическому анализу. М.: Изд. Московского университета, 2004.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал