Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 3, стр. 474-490
Вектор Шепли однородных кооперативных игр
1 Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
630090 Новосибирск, пр-т акад. Коптюга, 4, Россия
* E-mail: vasilev@math.nsc.ru
Поступила в редакцию 20.08.2022
После доработки 09.09.2022
Принята к публикации 17.11.2022
- EDN: EBLFKN
- DOI: 10.31857/S0044466923030122
Аннотация
Для полиномиальных кооперативных игр дается описание интегрального представления вектора Шепли. Это представление осуществляется с помощью так называемого функционала Шепли. Анализируется взаимосвязь предложенного варианта вектора Шепли и полярных форм однородных полиномиальных игр как для конечного, так и для бесконечного числа участников. Особое внимание уделяется некоторым классам однородных кооперативных игр, порожденных произведениями неатомических мер. Отличительной чертой предлагаемого подхода является систематическое использование продолжений полиномиальных функций множества до отвечающих им мер на симметрических степенях исходных измеримых пространств. Библ. 19.
ВВЕДЕНИЕ
К числу главных задач теории кооперативных игр относятся конструирование и анализ различных арбитражных схем, реализующих принципы справедливого распределения гарантированного дохода $v(Q)$ “большой” коалиции $Q$ между участниками игры $\Gamma = \left\langle {Q,\Sigma ,v} \right\rangle $. При этом важнейшим условием является максимальный учет возможностей “малых” коалиций участников, описываемых алгеброй $\Sigma .$ Одна из наиболее популярных арбитражных схем состоит в использовании так называемого вектора Шепли $\Phi (v)$ (см. [1], [2]) (в литературе применяется также синоним значение Шепли, см. [3–5]). Исследованию вектора Шепли неатомических игр, моделирующих условия совершенной конкуренции, посвящена фундаментальная монография [3]. Здесь, как и в ряде работ других авторов (см., например, [6] и имеющуюся там обширную библиографию), анализируются, преимущественно, специальные классы игр, порожденные суперпозициями вида $v = f \circ \mu ,$ где $f$ – вещественная функция ограниченной вариации на отрезке $[0,1]$, непрерывная в его концах и принимающая нулевое значение в точке $0,$ а $\mu $ – неатомическая вероятностная мера на борелевской $\sigma $-алгебре этого отрезка.
В настоящей работе не накладывается никаких специальных ограничений на способ порождения рассматриваемых классов игр. Предлагаемый подход основан на анализе полиномиальных игр в рамках теории $K$-пространств Л.В. Канторовича (см. [7], [8], а также [9]). Используя традиционную теоретико-игровую терминологию (см. [1], [3]), под кооперативной игрой всюду далее понимается упоминавшийся уже объект вида $\Gamma = \left\langle {Q,\Sigma ,v} \right\rangle ,$ где $Q$ – некоторое непустое множество, $\Sigma $ – какая-либо алгебра его подмножеств, а $v$ – функция, заданная на алгебре $\Sigma .$ Элементы множества $Q$ называются игроками, а подмножества $e \subseteq Q$, принадлежащие алгебре $\Sigma $, – коалициями игроков. Значения функции $v$ на элементах алгебры $\Sigma $ трактуются как максимальный гарантированный доход соответствующих коалиций. Говоря нестрого, исследуемый в работе вектор Шепли представляет собой специальный линейный оператор, сопоставляющий некоторым кооперативным играм $\Gamma $ один из разумных вариантов распределения их максимального дохода $v(Q)$, достигнутого совместными усилиями участников “большой” коалиции $Q.$ Что касается формальной стороны, то излагаемые в следующих разделах результаты относятся к интегральным представлениям вектора Шепли (см. [5], [10]), облегчающим его отыскание для широкого класса кооперативных игр. Эти результаты получены как для конечного, так и бесконечного числа игроков. В последнем случае особое внимание уделяется однородным играм, порожденным произведениями неатомических вероятностных мер. Продолжаются исследования взаимосвязи между вектором Шепли и полярными формами однородных игр, начатые в [2], [11], [12]. Главный акцент делается на вычислительных аспектах (для некоторых важных случаев даются новые формулы, определяющие вектор Шепли как достаточно простую функцию параметров, задающих рассматриваемую кооперативную игру). Основные из используемых результатов, полученных в предыдущих работах [2], [5], [13], как правило, снабжены более короткими, упрощенными доказательствами. Кроме того, приводятся усовершенствованные критерии однородности как в общем случае, так и для некоторых специальных классов игр.
Главной отличительной чертой предлагаемого подхода к исследованию вектора Шепли однородных кооперативных игр является систематическое использование продолжений рассматриваемых полиномиальных функций множества до отвечающих им мер на симметрических степенях исходных измеримых пространств.
1. ОДНОРОДНЫЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ИГРЫ
1.1. $KB$-пространство $V$ и его подпространства ${{V}^{n}},{{V}^{{(n)}}}$ и $pV$
Переходя к описанию изучаемых классов игр, введем необходимые понятия и обозначения. Положим $\mathcal{V} = \{ v:\Sigma \to \mathbb{R}\,{\text{|}}\,v(\emptyset ) = 0\} .$ Пусть $e$ – произвольный элемент алгебры $\Sigma $. Обозначим $H(e)$ совокупность всех конечных $\Sigma $-измеримых разбиений множества $e.$ Согласно определению, каждый элемент $\eta \in H(e)$ имеет вид $\eta = \{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}},$ где $A$ – какое-либо непустое конечное множество, все ${{e}_{a}}$ принадлежат алгебре $\Sigma ,$ ${{e}_{a}} \cap {{e}_{{a'}}} = \emptyset $ при $a \ne a{\kern 1pt} '$ и, наконец, выполняется равенство
$\bigcup\nolimits_{a \in A}^{} {{{e}_{a}}} = e.$
Положим $H = \bigcup\nolimits_{e \in \Sigma } \,H(e)$ и для каждого разбиения $\eta = \{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}} \in H$ и функции $v \in \mathcal{V}$ определим ее полиномиальную разность $v(\eta ) = v(\{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}})$ формулой
(1.1)
$v(\eta ): = \sum\limits_{\omega \subseteq A} {{( - 1)}^{{|A\backslash \omega |}}}v\left( {\bigcup\limits_{a \in \omega } {{{e}_{a}}} } \right)$Отметим сразу же два полезных тождества (см. [2]): при $m \geqslant 3$ и $A = \{ 1, \ldots ,m - 1,m,m + 1\} $ для любой полиномиальной разности $v(\{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}})$ выполняется соотношение
(1.2)
$v(\{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{m}},{{e}_{{m + 1}}}\} ) = v(\{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{{m - 1}}},{{e}_{m}} \cup {{e}_{{m + 1}}}\} ) - v(\{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{{m - 1}}},{{e}_{m}}\} ) - v(\{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{{m - 1}}},{{e}_{{m + 1}}}\} ){\kern 1pt} {\kern 1pt} .$Далее $\Omega (\eta )$ обозначает множество индексов разбиения $\eta = \{ {{e}_{a}}{{\} }_{A}} \in H:$
Определение 1 (см. [14]). Величину
Опишем конус вполне положительных функций, наделяющий векторное пространство $V$ с нормой ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$ структурой $KB$-пространства.
Определение 2 (см. [14]). Будем говорить, что функция $v \in \mathcal{V}$ вполне положительна, если ее полиномиальные разности неотрицательны: $v(\eta ) \geqslant 0$ для всех $\eta \in H.$ Выпуклый конус вполне положительных функций $v \in \mathcal{V}$ обозначим ${{V}_{ + }}$.
Ясно, что конус ${{V}_{ + }}$ содержится в $V$ и определяемый им (частичный) порядок
вместе с нормой ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$ и операциями поточечного сложения и умножения функций наделяет пространство $V$ структурой нормированного полуупорядоченного кольца. Более того, пространство $V$ представляет собой $KB$-кольцо (см. [14]). В частности, оно является условно-полным относительно полуупорядоченности ${{ \geqslant }_{0}}$. При этом норма ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$ совместима с частичным порядком: монотонная $(o)$-сходимость ${{v}_{n}} \downarrow 0$ $({{v}_{n}} \uparrow \infty )$ влечет монотонную сходимость ${{\left\| {{{v}_{n}}} \right\|}_{0}} \downarrow 0$ (${{\left\| {{{v}_{n}}} \right\|}_{0}} \uparrow \infty $) в нормированном пространстве ($V,{{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$).Далее основную роль играют так называемые полиномиальные функции множества из $V$, представляющие собой аналоги полиномиальных функционалов на векторных пространствах (см. [15]).
Определение 3 (см. [12]). Функцию $v \in V$ будем называть полиномиальной порядка $n$, если все ее полиномиальные разности порядка $n + 1$ обращаются в нуль:
Отметим сразу же, что ${{V}^{1}}$ – обычное пространство конечно-аддитивных мер ограниченной вариации. При этом норма полиномиальной вариации ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}}$ совпадает на ${{V}^{1}}$ с классической нормой полной вариации $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$:
Определение 4 (см. [13]). Положим $pV = \bigcup\nolimits_{n = 1}^\infty {{{V}^{n}}} $. Элементы семейства $pV$ будем называть полиномиальными функциями множества.
Следуя стандартным обозначениям теории векторных решеток, для каждой функции ${v} \in V$ определим ее положительную, отрицательную и полную вариации
Замечание 1. Из того, что $V$ является $KB$-пространством, на основании общей теории векторных решеток получаем, что справедливо разложение
(1.4)
$v = {{v}^{ + }} - {{v}^{ - }}\quad {\text{для}}\;{\text{каждой}}\;{\text{функции}}\quad v \in V.$Определение 5 (см. [13], [14]). Будем говорить, что функция $v \in {{V}^{n}}$ является однородной порядка n, если она дизъюнктна с пространством ${{V}^{{n - 1}}}$ (т.е. ${\text{|}}{v}{\kern 1pt} {\text{|}}\; \wedge \;{\text{|}}u{\kern 1pt} {\text{|}} = 0$ для всех $u \in {{V}^{{n - 1}}}$). Совокупность всех однородных порядка $n$ полиномиальных функций множества обозначим ${{V}^{{(n)}}}$. (Здесь и далее ${{V}^{0}} = {{V}^{{(0)}}}: = \{ 0\} $.)
Замечание 2. Подчеркнем, что однородность функции множества в смысле определения 5 кардинально отличается от однородности степени 1, рассматривающейся в [3]. Типичным примером функций множества однородных степени 1 являются, например, суперпозиции вида $v = f \circ \mu ,$ где $\mu $ есть неатомическая мера на борелевской $\sigma $-алгебре отрезка $[0,1]$, а $f$ – вещественная функция, дифференцируемая на области $R$ значений меры $\mu $ и однородная степени 1 (т.е. такая, что $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ для всех $\alpha \in [0,1]$ и $x \in R$). В то же время степени ${{\mu }^{k}}$ указанной меры $\mu ,$ будучи однородными для всех $k > 1$ в смысле определения 5, заведомо не являются однородными степени 1 (см. [3, § 26]).
Напомним (см. [7]), что два элемента $x,\;y$ векторной решетки $X$ называются дизъюнктными (обозначение $xdy$), если ${\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}\; \wedge \;{\text{|}}y{\kern 1pt} {\text{|}} = 0.$ Далее, элемент $x$ называется дизъюнктным с множеством $E \subseteq X$ (обозначение $xdE$), если $xdy$ для каждого $y \in E.$ Напомним еще, что всякая архимедова векторная решетка $X$ является дистрибутивной структурой (см., например, [7, теорема III.5.1] или [9, теорема 6.8]). Следовательно, в условно-полной векторной решетке $(V,{{ \geqslant }_{0}})$ выполняется соотношение
(1.5)
$(u \vee v) \wedge w = (u \wedge w) \vee (v \wedge w)\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad u,{v},w \in V.$Предложение 1. Функция ${v} \in {{V}^{n}}$ является однородной порядка $n$ тогда и только тогда, когда выполняются соотношения
(Всюду далее для любого подмножества $W \subseteq V$ полагаем ${{W}_{ + }} = W \cap {{V}_{ + }}$.)
Доказательство. Как уже отмечалось (замечание 1), для любой функции $v \in V$ ее положительная и отрицательная вариации дизъюнктны: ${{v}^{ + }}d{{v}^{ - }}.$ Поэтому (см. [7]) справедливы соотношения ${\text{|}}{v}{\kern 1pt} {\text{|}} = {{v}^{ + }} + {{v}^{ - }} = {{v}^{ + }} \vee {{v}^{ - }}$ для всех $v \in V$. Следовательно, для любых функций $v \in V$ и $u \in {{V}_{ + }}$ выполняются неравенства
С другой стороны, если для функции $v \in {{V}^{n}}$ выполняются соотношения (1.6), в силу закона дистрибутивности (1.5) имеем
В дальнейшем используются следующие свойства пространств ${{V}^{n}}$, ${{V}^{{(n)}}}$ и $pV$.
Предложение 2 (см. [14]). Кольцо $pV$ является нормальной подрешеткой (идеалом) пространства V (т.е. $v \in pV$ и ${\text{|}}{v}{\kern 1pt} {\text{|}}{{ \geqslant }_{0}}{\text{|}}u{\kern 1pt} {\text{|}}$ влечет $u \in pV$).
Предложение 3 (см. [13], [14]). Для всех $n \geqslant 1$ пространства ${{V}^{n}}$ и ${{V}^{{(n)}}}$ являются замкнутыми компонентами (полосами) $V$ (т.е. идеалами, замкнутыми относительно (о)-сходимости). В частности, для каждой функции $v \in V$ и для каждого $m \geqslant 1$ существует проекция ${{v}_{{(m)}}}$ на ${{V}^{{(m)}}}$:
Отметим также, что на основании предложения 3 пространства ${{V}^{n}}$ и ${{V}^{{(n)}}}$ являются подрешетками $V$. Поэтому для всех $n \geqslant 1$ справедливы соотношения
Теорема 1 (см. [2], [13]). Для каждого $n \geqslant 1$ пространство ${{V}^{n}}$ является прямой суммой попарно-дизъюнктных подпространств ${{V}^{{(m)}}}$: для всякой функции $v \in {{V}^{n}}$ существует единственное представление $v = \sum\nolimits_{m = 1}^n \,{{v}_{m}}$, где ${{v}_{m}} \in {{V}^{{(m)}}}$; при этом ${{v}_{m}} = {{v}_{{(m)}}}$ и ${\text{|}}{{v}_{{(l)}}}{\kern 1pt} {\text{|}}\; \wedge \;{\text{|}}{{v}_{{(m)}}}{\kern 1pt} {\text{|}} = 0$ для всех $l \ne m$.
1.2. Аналитический критерий однородности
Помимо определения 5 в работе используется и аналитический критерий однородности, дающий описание функций $v \in {{V}^{{(n)}}}$ в терминах асимптотического поведения их полиномиальных разностей. В формулировке этого критерия, как и всюду далее, предполагается, что семейства $H(e)$ упорядочены стандартным образом: $\eta \leqslant \xi $ тогда и только тогда, когда разбиение $\xi \in H(e)$ является измельчением разбиения $\eta \in H(e)$ (т.е. каждый элемент разбиения $\xi $ содержится в некотором элементе разбиения $\eta $). При этом под пределом ${{\lim }_{{\eta \in H(e)}}}{{a}_{\eta }}$ понимается предел обобщенной последовательности чисел ${{\{ {{a}_{\eta }}\} }_{{\eta \in H(e)}}}$ по направленности $H(e)$. Предлагаемый ниже общий аналитический критерий однородности представляет упрощение критерия $(H)$ из [2], основанное на предложении 1 из п. 1.1.
Предложение 4. Функция $v \in {{V}^{n}}$ является однородной порядка $n$ тогда и только тогда, когда выполняются соотношения
(Как и ранее, через |ω| обозначается число элементов конечного множества ω.)
Доказательство. На основании формулы (1.4) и предложения 1 для доказательства рассматриваемого утверждения достаточно ограничиться исследованием случая $v \in V_{ + }^{n}$ (т.е. при ${{v}^{ + }} = v,{\kern 1pt} $ ${{v}^{ - }} = 0$). Итак, пусть $v \in V_{ + }^{n}$ удовлетворяет условию $({{H}_{ + }}):$ ${{\lim }_{{\eta \in H(Q)}}}\sum\nolimits_{\omega \in \Omega _{\eta }^{{(m)}}} \,v({{\eta }^{\omega }}) = 0$ для всех $m = 1,2, \ldots ,n - 1.$ Допустим, что для некоторой функции $u \in V_{ + }^{{n - 1}}$ выполняется соотношение $w = u \wedge v\not { = }0$. Тогда, в силу предложения 3 имеем: $w \in V_{ + }^{{n - 1}}.$ При этом из $w\not { = }0$ вытекает, что $w(Q) = \varepsilon $ для некоторого положительного числа $\varepsilon .$ Однако в силу условия $({{H}_{ + }})$ существует разбиение $\eta \in H(Q)$ такое, что
Рассмотрим теперь произвольный элемент $v \in V_{ + }^{{(n)}}$ и покажем, что он удовлетворяет условию $({{H}_{ + }}).$ Напомним (см. [13]), что для вполне положительной функции $v$ пределы
(1.7)
${{v}_{m}}(e) = \mathop {\lim }\limits_{\eta \in H(e)} \sum\limits_{\omega \in \Omega _{\eta }^{{(m)}}} {\kern 1pt} v({{\eta }^{\omega }}),\quad m = 1,2, \ldots ,n,$Учитывая определение функций ${{v}_{m}}$ (соотношения (1.7)), формулу (1.3) и равенство нулю всех полиномиальных разностей функции $v$ порядка $m > n$, получаем представление $v = {{v}_{1}} + \cdots + {{v}_{n}}$, где, согласно (1.8), ${{v}_{m}} \in V_{ + }^{m}$ для всех $m = 1,2, \ldots ,n.$ Поэтому функция $w = \sum\nolimits_{m = 1}^{n - 1} \,{{v}_{m}}$ принадлежит $V_{ + }^{{n - 1}}$ и, следовательно, дизъюнктна с $v$. Отсюда, учитывая, что $v = w + {{v}_{n}}{{ \geqslant }_{0}}w$, получаем $v \wedge w = w = 0$. Но, в силу вполне положительности функций ${{v}_{m}}$, последнее соотношение влечет справедливость равенств ${{v}_{1}} = \cdots = {{v}_{{n - 1}}} = 0.$ Эти равенства и означают выполнение условия $({{H}_{ + }})$ для рассматриваемой функции $v$.
Замечание 3. На основании предложения 4 и формул (1.1), (1.3) для всех $v$ из $V_{ + }^{{(n)}}$ выполняются равенства
Замечание 4. Как вытекает из результатов работы [13], функции ${{v}_{m}}$, определенные в соответствии с формулой (1.7), удовлетворяют условию
2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА ШЕПЛИ
2.1. Аксиоматическое описание вектора Шепли
Приступая к аксиоматическому описанию вектора Шепли, напомним (см. [2], [3]), что подпространство $W \subseteq \mathcal{V}$ называется симметричным, если $\theta \circ v \in W$ для всех $\theta \in \mathcal{T}$ и $v \in W$, где $\mathcal{T}$ – группа автоморфизмов измеримого пространства $(Q,\Sigma )$, а функции $\theta \circ v$ определяются по формуле
Отметим, что подпространства ${{V}^{n}},\;{{V}^{{(n)}}},\;pV$ и $fV$ являются симметричными. Здесь, как и в [3], [5], через $fV$ обозначается семейство всех финитных функций множества из $\mathcal{V}$:Определение 6 (см. [2], [16]). Вектором Шепли на симметричном подпространстве $W \subseteq V$ будем называть линейный оператор $\Phi :W \to {{V}^{1}}$, удовлетворяющий условиям
A1. $ \Phi (v) \in V_{ + }^{1}$ для всех $v \in W \cap {{V}_{ + }}$;
A2. $ \Phi (\theta \circ v) = \theta \circ \Phi (v)$ для всех $\theta \in \mathcal{T}$, $v \in W$;
A3. $ \Phi (v)(R) = v(Q)$ для всех $R \in \operatorname{Supp} {v},\;{v} \in W$.
Замечание 5. Предлагаемая аксиоматика рассчитана на пространства, содержащие функции с ненулевой атомической (дискретной) составляющей, в том числе и на финитные игры. Поэтому условие А3, касающееся парето-оптимальности распределения $\Phi (v)$, дано в той же форме, что и для конечных игр (для неатомических, как видно из [3], достаточен вариант $\Phi (v)(Q) = v(Q)$). Учитывая теоремы единственности (см. [1], [3]), установленные для $bv{\kern 1pt} 'NA$ и $fV$, нетрудно проверить, что конструируемый далее оператор $\Phi _{*}^{{}}$ совпадает с классическим значением как на $fV$, так и на подпространстве $p{v}NA = b{v}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} NA \cap pV$. Напомним (см. [3]), что $b{v}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} NA$ – замыкание в норме полной вариации линейного пространства, порожденного всеми играми вида $f \circ \mu $, где f – функция ограниченной вариации на отрезке $I = [0,1]$ такая, что $f(0) = 0$ и непрерывная в точках 0 и 1, а μ – неатомическая вероятностная мера на борелевской σ-алгебре B множества I. Отметим также, что в отличие от работы [3], условие A1 накладывает более слабое требование на положительность оператора $\Phi $: вместо конуса монотонных функций множества в A1 используется более узкий конус вполне положительных функций ${{V}_{ + }}$.
2.2. Функционал Шепли: основные свойства
В дальнейших рассмотрениях ограничимся случаем $W = pV$ (хотя используемая аргументация без существенных изменений проходит и для более широкого класса аналитических функций множества ограниченной полиномиальной вариации, см. [16]). Суть предлагаемого подхода к построению вектора Шепли на $pV$ состоит в использовании подходящего билинейного функционала $Sh:pV \times B \to \mathbb{R}$, порождающего искомый линейный оператор ${{\Phi }_{*}}$ в соответствии с формулой
Здесь, как обычно, ${{\chi }_{e}}$ – индикаторная функция множества $e$ (т.е. ${{\chi }_{e}}(t) = 1$ при $t$ из $e$ и ${{\chi }_{e}}(t) = 0$ при $t$ из $Q{{\backslash }}e$), $B = B(Q,\Sigma )$ – векторная решетка ограниченных $\Sigma $-измеримых вещественных функций на $Q$ с нормой $\left\| f \right\| = \sup \{ {\kern 1pt} {\text{|}}f(t){\kern 1pt} {\text{|}}\,{\text{|}}\,t \in Q\} $ и конусом положительных элементов ${{B}_{ + }} = {{B}_{ + }}(Q,\Sigma ) = \{ f \in B\,{\text{|}}\,f(t) \geqslant 0,\;t \in Q\} $. Как будет показано далее, значение функционала $Sh,$ фигурирующего в формуле (2.1), представляет собой $v$-интеграл некоторого специального усреднения функции $f$. Однако ввиду того, что в ряде случаев более удобна стандартная трактовка, в качестве базисного выберем тот вариант определения $Sh$ (называемого в дальнейшем функционалом Шепли), который наиболее близок к теоретико-вероятностной интерпретации оператора $\Phi $ (см. [1], [3], [4]).Приведем необходимые обозначения. Зафиксируем $v \in \mathcal{V},$ $f \in B,$ $\eta = \{ {{e}_{i}}\} _{1}^{m}$ из $H(Q)$ и множество ${{\tau }_{\eta }} = \{ {{t}_{i}}\} _{1}^{m}$ такое, что ${{t}_{i}} \in {{e}_{i}}$ $\forall i = 1,2, \ldots ,m$. Обозначая через ${{\Pi }_{m}} = \Pi ({{\Omega }_{\eta }})$ совокупность всех перестановок множества $\Omega (\eta ) = \{ 1,2, \ldots ,m\} $, положим
(2.2)
${{S}_{{v}}}(f,\eta ,{{\tau }_{\eta }}) = \frac{1}{{m!}}\sum\limits_{\pi \in {{\Pi }_{m}}} {\kern 1pt} S_{{v}}^{\pi }(f,\eta ,{{\tau }_{\eta }}),$Определение 7 (см. [2]). Функционалом Шепли на произведении пространств $pV$ и $B$ будем называть отображение $Sh:pV \times B \to \mathbb{R}$, определяемое формулой
(2.3)
$Sh(v,f) = \mathop {\lim }\limits_{\eta \in H(Q)} {{S}_{v}}(f,\eta ,{{\tau }_{\eta }}),\quad v \in pV,\quad f \in B.$Определение 8 (см. [2]). Скажем, что функция $\alpha :\;{{Q}^{{[{\mathbf{N}}]}}} \to \mathbb{R}$ является $v$-интегрируемой, если предел обобщенной последовательности ${{\{ S_{v}^{\alpha }(\eta ,\tau )\} }_{{H(Q)}}}$ существует, конечен и не зависит от выбора систем ${{\tau }_{\eta }},{\kern 1pt} \eta \in H(Q).$ Этот предел обозначим $\int \,\alpha {\kern 1pt} dv$ и назовем $v$-интегралом функции $\alpha $.
Замечание 6. В ряде случаев (например, для регулярных игр, см. [14]) $v$-интегрирование редуцируется к вычислению интеграла функции $\alpha $ по “обычной мере”: $\int \,\alpha {\kern 1pt} dv = \int \,\alpha {\kern 1pt} d{{\mu }_{v}}$, где ${{\mu }_{v}}$ – счетно-аддитивная функция множества, восстанавливаемая по регулярной игре $v$ на основании соотношений ${{\mu }_{v}}({{e}^{{[N]}}}) = v(e),{\kern 1pt} $ $e \in \Sigma $ (подробности см. в [5], [10]).
К числу $v$-интегрируемых функций относятся различные композиции измеримых и непрерывных функций, подчиненные некоторым требованиям согласованности. Приведем один из вариантов такой композиции. Пусть функция $f:Q \to \mathbb{R}$ такова, что $\left\| f \right\| = \sup \{ {\kern 1pt} {\text{|}}f(t){\kern 1pt} {\text{|}}\,{\text{|}}\,t \in Q\} < \infty $, а $\phi $ – симметричная вещественнозначная функция, определенная на $n$-мерном кубе ${{\left[ { - \left\| f \right\|,\left\| f \right\|} \right]}^{n}}$. Композицией $f$ и $\phi $ будем называть функцию $f * \phi :{{Q}^{{[{\mathbf{N}}]}}} \to \mathbb{R}$, задаваемую формулой
Лемма 1 (см. [2]). Пусть $f$ – произвольная $\Sigma $-измеримая функция из $B$, а $\phi $ – непрерывная симметричная функция, заданная на $n$-мерном кубе ${{\left[ { - \left\| f \right\|,\left\| f \right\|} \right]}^{n}}$. Тогда их композиция $f * \phi $ является $v$-интегрируемой для любой функции $v \in pV$.
Прежде чем зафиксировать тот факт, что функционал $Sh$ корректно определен, приведем другую формулу для частных сумм ${{S}_{v}}(f,\eta ,{{\tau }_{\eta }})$, задаваемых соотношениями (2.2). Такая формула, отражающая связь между значениями $Sh(v,f)$ и $v$-интегралами усредняющих продолжений $f$ на ${{Q}^{{[{\mathbf{N}}]}}}$ дается следующей леммой (ниже $\tau _{\eta }^{\omega }: = \{ {{t}_{i}} \in {{\tau }_{\eta }}\,{\text{|}}\,i \in \omega \} $).
Лемма 2 (см. [2]). Для всех $v \in V$ и $f \in B$ справедлива формула
(2.4)
${{S}_{v}}(f,\eta ,{{\tau }_{\eta }}) = \sum\limits_{\omega \subseteq \Omega (\eta )} {\kern 1pt} {{f}_{\sigma }}(\tau _{\eta }^{\omega })v({{\eta }^{\omega }}),$Теорема 2 (см. [2]). Функционал Шепли корректно определен для всех $v \in pV$ и $f \in B$. При этом справедлива формула
Как вытекает из формулы (2.4) для частных сумм ${{S}_{{v}}}(f,\eta ,{{\tau }_{\eta }}),$ функционал Шепли линеен по каждому аргументу. Укажем некоторые дополнительные свойства этого функционала, обеспечивающие возможность построения на его основе искомого оператора $\Phi _{*}^{{}}:pV \to {{V}^{1}}$, удовлетворяющего условиям А1–А3.
Теорема 3 (см. [2]). Билинейный функционал $Sh:pV \times B \to \mathbb{R}$, задаваемый формулой $(2.3)$, непрерывен на произведении пространств $(pV,{{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{0}})$ и $(B,\left\| {\, \cdot \,} \right\|)$. Он удовлетворяет следующим условиям:
Sh1. $ Sh(v,f) \geqslant 0,$ $v \in p{{V}_{ + }} = pV \cap {{V}_{ + }},{\kern 1pt} $ $f \in {{B}_{ + }}$;
Sh2. $ Sh(v,{{\chi }_{R}}) = v(Q)$, $v \in pV,$ $R \in \operatorname{Supp} {v}$;
Sh3. $ Sh(\theta \circ v,f) = Sh(v,{{\theta }^{{ - 1}}} \circ f),$ $v \in pV,{\kern 1pt} $ $\theta \in T,$ $f \in B$;
Sh4. $ {\text{|}}Sh(v,f){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \left\| f \right\| \cdot {{\left\| v \right\|}_{0}},$ $v \in pV,{\kern 1pt} $ $f \in B$
(здесь и далее $\theta \circ f(t): = f(\theta (t)),$ $t \in Q$).
2.3. Функционал Шепли и оператор $\Phi _{*}^{{}}$
Рассмотрим теперь отображение $\Phi _{*}^{{}}:pV \to \mathcal{V}$, определяемое формулой
где $S({v})$ – функция множества, представляющая собой сужение линейного функционала $Sh({v}, \cdot )$ на семейство всех индикаторных функций множеств из $\Sigma $. Так как функционал $Sh$ непрерывен и билинеен, то $\Phi _{*}^{{}}$ – линейный оператор на $pV$; при этом для каждого ${v} \in pV$ функция множества $S({v})$ – аддитивная мера ограниченной вариации на измеримом пространстве $(Q,\Sigma )$. Опираясь на теорему 3, можно установить, что линейный оператор ${{\Phi }_{*}}$ удовлетворяет всем требованиям определения 6. Действительно, свойства А1, А2 и соотношения Sh1, Sh2 теоремы 3 идентичны. Что касается А3 (перестановочность $\Phi _{*}^{{}}$ с автоморфизмами $\theta \in T$), то это свойство вытекает из цепочки равенствПодводя итоги и учитывая теоремы единственности для подпространств $fV$ и $p{v}NA = b{v}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} NA \cap pV$, вытекающие из соответствующих результатов [1] и [3], сформулируем вышесказанное в виде следующей теоремы.
Теорема 4 (см. [2], [12]). Оператор $\Phi _{*}^{{}}$, определенный на пространстве $pV$ формулой $(2.6)$, удовлетворяет всем условиям А1–А3. Более того, если $Q = [0,1]$, а $\Sigma = \mathcal{B}$, то каждый линейный оператор $\Phi :pV \to {{V}^{1}}$, для которого выполняются условия А1–А3, совпадает с $\Phi _{*}^{{}}$ на подпространствах $fV$ и $p{v}NA.$
3. ПОЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА ШЕПЛИ
3.1. Полярная форма однородной кооперативой игры
Приведем некоторые понятия, необходимые для построения интересующего нас представления оператора $\Phi _{*}^{{}}$. Прежде всего напомним, что функция $\psi :{{\Sigma }^{n}} \to \mathbb{R}$ называется симметричной полиаддитивной функцией множества, если она аддитивна по каждому аргументу и, кроме того, для любых ${{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{n}} \in \Sigma $ и $\pi \in {{\Pi }_{n}}$ выполняется равенство
где, как и ранее, ${{\Pi }_{n}}$ – совокупность всех перестановок множества $\{ 1,2, \ldots ,n\} $. Выпуклый конус всех неотрицательных симметричных полиаддитивных функций $\psi :{{\Sigma }^{n}} \to {{\mathbb{R}}_{ + }}$ обозначим через $\Psi _{ + }^{n}$, а векторное пространство, состоящее из функций, представимых в виде разности двух элементов из $\Psi _{ + }^{n}$ – через ${{\Psi }^{n}}$. Выделим класс полиаддитивных функций $\psi \in {{\Psi }^{n}}$, аналогичных однородным функциям множества из ${{V}^{{(n)}}}$. С этой целью каждому разбиениюОпределение 9 (см. [2]). Элементы векторного пространства ${{\Psi }^{{(n)}}}$ будем называть однородными полиаддитивными функциями множества.
В приведенных обозначениях одно из главных понятий работы – понятие полярной формы однородной игры ${v}$ – принимает следующий вид.
Определение 10 (см. [2]). Функция ${{\psi }_{{v}}} \in {{\Psi }^{{(n)}}}$ называется полярной формой игры ${v} \in {{V}^{{(n)}}}$, если выполняется соотношение
(3.1)
${v}(e) = {{\psi }_{{v}}}(e, \ldots ,e)\quad {\kern 1pt} {\text{для}}\;{\text{всех}}{\kern 1pt} \quad e \in \Sigma .$Формулируемый ниже результат работы [2] показывает, что для любой однородной игры ${v} \in {{V}^{{(n)}}}$ полярная форма ${{\psi }_{{v}}}$ существует и единственна; кроме того, для каждого $n \geqslant 1$ отображение ${v} \mapsto {{\psi }_{{v}}}$ является линейным изоморфизмом векторных решеток ${{V}^{{(n)}}}$ и ${{\Psi }^{{(n)}}}$, наделенных конусами $V_{ + }^{{(n)}}$ и $\Psi _{ + }^{{(n)}}$ соответственно.
Теорема 5 (см. [2]). Для каждого $n \geqslant 1$ существует единственный линейный изоморфизм ${{L}_{{(n)}}}:{{V}^{{(n)}}} \to {{\Psi }^{{(n)}}}$ такой, что
L1. ${{L}_{{(n)}}}({v})(e, \ldots ,e) = {v}(e)$, $e \in \Sigma $;
L2. ${{L}_{{(n)}}}(\theta \circ {v}) = \theta \circ {{L}_{{(n)}}}({v})$, $\theta \in \mathcal{T}$;
L3. ${{L}_{{(n)}}}(V_{ + }^{{(n)}}) = \Psi _{ + }^{{(n)}}$,
где $\theta \circ \psi ({{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{n}}) = \psi (\theta ({{e}_{1}}), \ldots ,\theta ({{e}_{n}}))$ для всех ${{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{n}} \in \Sigma $ и $\theta \in \mathcal{T}$.
Ясно, что условие L1 есть в точности требование (3.1), предъявляемое к полярной форме ${{\psi }_{{v}}}$ игры ${v} \in {{V}^{{(n)}}}$. В качестве следствия теоремы 5 получаем следующую характеризацию однородных функций из $V$, уточняющую соответствующий результат из [13].
Следствие 1 (см. [2]). Функция ${v}$ принадлежит ${{V}^{{(n)}}}$ тогда и только тогда, когда она является диагонализацией некоторой функции $\psi $ из ${{\Psi }^{{(n)}}}$.
Приведем один из основных результатов работы, устанавливающий связь между полярными формами однородных игр и линейным оператором $\Phi _{*}^{{}}$.
Теорема 6 (см. [2]). Для каждого $n \geqslant 1$ и ${v} \in {{V}^{{(n)}}}$ выполняется соотношение
где ${{\psi }_{v}}$ – полярная форма игры ${v}$.3.2. Вектор Шепли однородных неатомических игр
Рассматриваемые далее игры представляют собой линейные комбинации функций вида ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,\mu _{i}^{{{{\alpha }_{i}}}}$, где ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$ – произвольные конечные неотрицательные неатомические меры, определенные на борелевской $\sigma $-алгебре $\mathcal{B}$ единичного отрезка $[0,1],$ а ${{\alpha }_{i}}$ – произвольные натуральные числа. Используя приводимую ниже формулу для полиномиальных разностей произведения ${{{v}}_{1}} \cdot {{{v}}_{2}}$ функций ${{{v}}_{1}},{{{v}}_{2}} \in V$:
(3.3)
$({{{v}}_{1}} \cdot {{{v}}_{2}})(\eta ) = \sum\limits_{{{\omega }_{1}} \times {{\omega }_{2}}\,{\text{|}}\,{{\omega }_{1}}\, \cup \,{{\omega }_{2}} = \Omega (\eta )} {{{v}}_{1}}({{\eta }^{{{{\omega }_{1}}}}}) \cdot {{{v}}_{2}}({{\eta }^{{{{\omega }_{2}}}}}),\quad \eta \in H,$(3.4)
${{\left\| {{{{v}}_{1}} \cdot {{{v}}_{2}}} \right\|}_{0}} \leqslant {{\left\| {{{{v}}_{1}}} \right\|}_{0}} \cdot {{\left\| {{{{v}}_{2}}} \right\|}_{0}}.$(3.5)
$[{{{v}}_{i}} \in {{V}^{{{{n}_{i}}}}}\;(i = 1,2)] \Rightarrow {{{v}}_{1}} \cdot {{{v}}_{2}} \in {{V}^{{{{n}_{1}} + {{n}_{2}}}}}.$(3.6)
$[{{{v}}_{i}} \in V_{ + }^{{({{n}_{i}})}},\;i = 1,2]\& [\exists {{R}_{i}} \in \operatorname{Supp} {{{v}}_{i}}({{R}_{1}} \cap {{R}_{2}} = \emptyset )] \Rightarrow {{{v}}_{1}} \cdot {{{v}}_{2}} \in V_{ + }^{{({{n}_{1}} + {{n}_{2}})}}.$Оказывается, что для функций вида ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,\mu _{i}^{{{{\alpha }_{i}}}}$ с неатомическими счетно-аддитивными сомножителями ${{\mu }_{i}}$ однородность имеет место без каких-либо дополнительных предположений. Приведем некоторые приложения теоремы 6 о полярном представлении вектора Шепли для однородных полиномиальных игр к вычислению этого вектора для полиномиальных игр, порожденных неатомическими мерами. Обозначим через $cV_{ + }^{1} = cV_{ + }^{1}(\mathcal{B})$ семейство неотрицательных конечных счетно аддитивных функций множества, заданных на борелевской $\sigma $-алгебре $\mathcal{B}$ единичного интервала $[0,1]$. Применяя известную теорему Ляпунова о выпуклости множества значений векторзначной неатомической меры (см. [17]), можно убедиться в справедливости следующей леммы, описывающей широкий класс бесконечных однородных полиномиальных игр.
Лемма 3 (см. [2]). Если вероятностные меры ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}} \in cV_{ + }^{1}(\mathcal{B})$ неатомические, то функция ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ является вполне положительной и однородной порядка $n.$
Доказательство. Полиномиальность порядка $n$ и вполне положительность функции ${v}$ вытекают из неотрицательности и аддитивности функций ${{\mu }_{i}}$ и тождества (3.3). Остается убедиться лишь в том, что для ${v}$ выполняется критерий однородности $({{H}_{ + }})$. С этой целью рассмотрим векторзначную меру $\mu = ({{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}})$. На основании теоремы А.А. Ляпунова из [17] о выпуклости области значений неатомической векторзначной меры имеем: множество $\mu (\Sigma ) = \{ ({{\mu }_{1}}(e), \ldots ,{{\mu }_{n}}(e))\,{\text{|}}\,e \in \Sigma \} $ выпуклое. Поэтому для любого $k \geqslant 1$ найдутся ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{k}} \in \mathcal{B}$ такие, что ${{Q}_{1}} \subseteq {{Q}_{2}} \subseteq \ldots \subseteq {{Q}_{k}} = Q$, и при этом ${{\mu }_{i}}({{Q}_{j}}) = j{\text{/}}k$ для всех $i = 1,2, \ldots ,n$ и $j = 1,2, \ldots ,k.$ Рассмотрим разбиение ${{\xi }_{k}} = \{ {{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{k}}\} \in H(Q),$ определенное соотношениями
(3.7)
${v}(\eta ) = \sum\limits_{\pi \in \Pi _{n}^{m}} {\kern 1pt} \prod\limits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}({{e}_{{\pi (i)}}}),\quad \eta = \{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{m}}\} \in H,\quad m = 1,2, \ldots ,n - 1$(3.8)
${v}[{{\xi }_{k}}] \leqslant \frac{1}{{{{k}^{n}}}}\sum\limits_{m = 1}^{n - 1} \,C_{k}^{m}{\kern 1pt} {\text{|}}\Pi _{n}^{m}{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} .$Использование леммы 3 и теоремы 6 позволяет предложить более конструктивный, по сравнению с [3], способ вычисления вектора Шепли для игр вида $u = f \circ \mu $, где $f$ – полиномиальная функция $n$ вещественных переменных, а $\mu = ({{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}})$ – неатомическая векторзначная мера. Эффективность предлагаемого способа базируется на достаточно простом строении полярных форм указанных игр.
Лемма 4 (см. [2]). Если меры ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$ удовлетворяют условиям леммы $3$, то полярная форма ${{\psi }_{{v}}}$ функции ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ имеет вид
(3.9)
${{\psi }_{{v}}}({{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{n}}) = \frac{1}{{n!}}\sum\limits_{\pi \in {{\Pi }_{n}}} {\kern 1pt} \prod\limits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}({{e}_{{\pi (i)}}}),\quad {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{n}} \in \Sigma ,$Доказательство. Соотношение ${v}(e) = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}(e) = {{\psi }_{v}}(e, \ldots ,e)$, $e \in \Sigma $, как и полиаддитивность и симметричность функции ${{\psi }_{{v}}}$, определенной формулой (3.9), следуют непосредственно из ее построения. Для проверки включения ${{\psi }_{{v}}} \in {{\Psi }^{{(n)}}}$ зафиксируем какое-нибудь разбиение $\eta = \{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{r}}\} \in H(Q)$ ($r \geqslant n$) и, используя формулу (3.7) и симметричность рассматриваемой функции ${{\psi }_{{v}}}$, выразим значения этой функции на цилиндрических множествах ${{e}_{{{{i}_{1}}}}} \times \cdots \times {{e}_{{{{i}_{n}}}}}$ через полиномиальные разности функции ${v}$$.$ Соответствующие выражения имеют вид
Приведем, наконец, несколько простых, но важных для общей теории вектора Шепли (см. [3]) результатов, являющихся прямым следствием лемм 3, 4 и теоремы 6 о представлении оператора $\Phi _{*}^{{}}$.
Предложение 5. Для любого набора неатомических мер ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}} \in cV_{ + }^{1}(\mathcal{B})$ справедлива формула
(3.10)
$\Phi _{*}^{{}}\left( {\prod\limits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}} \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\kern 1pt} \prod\limits_{j\not { = }i} \,{{\mu }_{j}}(Q){{\mu }_{i}}.$Доказательство. На основании леммы 3 функция ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ является однородной порядка $n$. Используя формулу (3.2) из теоремы 6 и формулу (3.9) для полярной формы игры ${v}$, установленную в лемме 4, получаем искомое:
Следствие 2. Пусть ${v} = f \circ \mu $, где $f$ – полиномиальная функция $n$ вещественных переменных такая, что $f(0) = 0$, а $\mu = ({{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}})$ – векторзначная неатомическая мера, заданная на σ-алгеб-ре $\mathcal{B}$. Тогда вектор Шепли игры ${v}$ является линейной комбинацией мер ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$. В частности, если ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$ – вероятностные неатомические меры, а $f({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}) = \sum\nolimits_{1 \leqslant |\alpha | \leqslant m} {\kern 1pt} {{c}_{\alpha }}{{x}^{\alpha }}$ (здесь α = $ = ({{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{n}})$ – мультииндексы, определяющие степени соответствующих мономов xα = $ = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,x_{i}^{{{{\alpha }_{i}}}},$ а ${\text{|}}\alpha {\kern 1pt} {\text{|}}: = \sum\nolimits_{i = 1}^n \,{{\alpha }_{i}}$), то справедлива формула
(3.11)
$\Phi _{*}^{{}}({v}) = \sum\limits_{i = 1}^n \left( {\sum\limits_{1 \leqslant |\alpha | \leqslant m} \frac{{{{\alpha }_{i}}}}{{{\text{|}}\alpha {\kern 1pt} {\text{|}}}}{{c}_{\alpha }}} \right){{\mu }_{i}}.$Следствие 3. Пусть ${v} = \sum\nolimits_{i = 1}^n \,{{c}_{i}}{{\mu }^{i}}$, где $\mu $ – неатомическая вероятностная мера на борелевской $\sigma $-алгебре $\mathcal{B}$. Если $\sum\nolimits_{i = 1}^n \,{{c}_{i}} = 1$, то $\Phi _{*}^{{}}({v}) = \mu $.
3.3. О векторе Шепли конечных однородных игр
Подчеркнем, что условие неатомичности мер ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{n}}$ в лемме 3 имеет принципиальное значение. Справедливость импликаций вида
Нетрудно убедиться, что для пространства конечных игр $V(Q)$ выполняются следующие соотношения:
Замечание 7. Соотношение $pV(Q) = V(Q),$ показывающее, что все конечные игры являются полиномиальными, вытекает из того, что при ${\text{|}}Q{\kern 1pt} {\text{|}} = q$ все полиномиальные разности функции ${v} \in V(Q)$ порядка $m \geqslant q + 1$ равны нулю. Действительно, в рассматриваемой ситуации каждое разбиение $\eta \{ {{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{m}}\} $ порядка $m \geqslant q + 1$ содержит, по крайней мере, одно пустое множество ${{e}_{k}}.$ Но в этом случае, как нетрудно убедиться, из формулы $(1.1)$ вытекает равенство ${v}(\eta ) = 0$.
Что касается формулы вектора Шепли $\Phi ({v})$ конечной игры ${v} \in V(Q)$, то при использовании дивидендов Харшаньи ${{{v}}_{e}}$ она принимает достаточно простой вид
(3.12)
$\Phi {{({v})}_{i}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{e \in {{\sigma }_{i}}} \,{{{v}}_{e}},\quad {v} \in {{V}^{{(m)}}}(Q),\quad i \in Q,\quad m = 1,2, \ldots ,q.$(3.13)
$\Phi {{({v})}_{i}} = \frac{1}{m}[{v}(Q) - {v}(Q{{\backslash }}i)],\quad {v} \in {{V}^{{(m)}}}(Q),\quad i \in Q,\quad m = 1,2, \ldots ,q$Легко проверить, что и описание порядка ${{ \geqslant }_{0}}$ на пространствах конечных однородных игр допускает существенное упрощение:
Замечание 8. Сравнивая выписанные выше соотношения с определениями и результатами, приведенными в разд. 1, 2, легко убедиться, что наиболее важные объекты и утверждения в общем случае имеют значительно более сложное описание, нежели для конечных игр (так обстоит дело, например, с общим определением однородности полиномиальной игры – определение 5). Главной причиной представляется отсутствие подходящего аналога дивидендов Харшаньи для общего случая игр с бесконечным числом участников. В конечном же случае следует отметить полезную роль указанных дивидендов и при анализе несимметричных аналогов вектора Шепли (см., например, [4], [18], [19]).
Используя приведенные описания конуса ${{V}_{ + }}(Q)$ и пространств ${{V}^{m}}(Q)$, ${{V}^{{(m)}}}(Q)$, покажем, что для конечных игр ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$, где ${{\mu }_{i}} = ({{\mu }_{{ik}}}{{)}_{{k \in Q}}}$ – ненулевые аддитивные меры из $V_{ + }^{1}(Q)$, справедливо следующее утверждение.
Предложение 6. Конечная игра ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ является однородной порядка $n$ тогда и только тогда, когда носители мер ${{\mu }_{i}}$ попарно дизъюнктны:
Доказательство. Из формулы (3.3) сразу же вытекает, что игра ${v} = \prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}$ принадлежит пространству ${{V}^{n}}(Q).$ Значит, согласно вышеприведенному описанию пространств ${{V}^{n}}(Q)$, выполняются равенства ${{{v}}_{e}} = 0$ для всех коалиций $e$ c числом игроков, превышающим величину $n$. Для завершения проверки включения $\prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}} \in V_{ + }^{{(n)}}(Q)$ в случае попарной дизъюнктности носителей ${{Q}_{i}}$ остается убедиться, что в указанной ситуации ${{{v}}_{e}} = 0$ для любой коалиции $e$ такой, что ${\text{|}}e{\kern 1pt} {\text{|}} < n.$ Но при ${\text{|}}e{\kern 1pt} {\text{|}} < n$ коалиция $e,$ очевидным образом, не пересекается с одним из $n$ непустых попарно дизъюнктных носителей ${{Q}_{i}}.$ То же самое справедливо и для любой части этой коалиции. Отсюда, в силу определения дивиденда ${{{v}}_{e}}$, получаем искомое: ${{{v}}_{e}} = 0.$ Что касается обратной импликации
В заключение отметим, что формула для вектора Шепли конечной однородной игры $\prod\nolimits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}} \in V_{ + }^{{(n)}}(Q)$ вполне аналогична той, которая найдена для неатомических игр в случае бесконечного числа игроков (см. предложение 5 из п. 3.2). Именно, справедливо соотношение
(3.14)
$\Phi {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n \,{{\mu }_{i}}} \right)}_{k}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{n}\prod\limits_{j \ne i} \,{{\mu }_{j}}(Q){{\mu }_{{ik}}},\quad k \in {{Q}_{i}},\quad i = 1,2, \ldots ,n; \hfill \\ 0,\quad k \in Q{{\backslash }}\bigcup\limits_{i = 1}^n \,{{Q}_{i}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$Список литературы
Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М.: Мир, 1974.
Васильев В.А. Функционал Шепли и полярные формы однородных полиномиальных игр // Матем. тр. 1998. Т. 1. № 2. С. 24–67 (перевод: Vasil’ev V.A. The Shapley functional and the polar form of homogeneous polynomial games // Siberian Adv. Math. 1998. V. 8. N. 4. P. 109–150).
Ауман Р., Шепли Л. Значения для неатомических игр. М.: Мир, 1977.
Dehez P. On Harsanyi dividends and asymmetric values // Intern. Game Theory Rev. 2017. V. 19. № 3. P. 1–36.
Васильев В.А. О ядре и значении Шепли для регулярных полиномиальных игр // Сиб. матем. журнал. 2022. Т. 63. № 1. С. 77–94. (перевод: Vasil’ev V.A. On the core and Shapley value for regular polynomial games // Sib. Math. J. 2022. V. 63. № 1. P. 65–78).
Marinacci M., Montrucchio L. Stable cores of large games // Int. J. Game Theory. 2005. V. 33. № 2. P. 189–213.
Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
Aliprantis C.D., Border K.C. Infinite Dimensional Analysis. Berlin: Springer-Ferlag, 1994.
Васильев В.А. Неаддитивное интегрирование и некоторые решения кооперативных игр // Математическая теория игр и ее приложения. 2021. Т. 13. № 1. С. 5–27. (перевод: Vasil’ev V.A. Nonadditie Integration and Some Solutions of Cooperative Games // Autom. Remote Control. 2022. V. 83. № 4. P. 635–648).
Vasil’ev V.A. Polar forms, p-values, and the core // In: Approximation, Optimization and Mathematical Economics (Lassonde M., ed.). 2001. Physica-Verlag: Heidelberg–New York. P. 357–368.
Vasil’ev V.A. Polar representation of Shapley value: nonatomic polynomial games // Contrib. Game Theory Management. 2013. V. VI. P. 434–446.
Васильев В.А. Общая характеристика полиномиальных функций множества // Оптимизация. 1974. № 14. С. 101–123.
Васильев В.А. Об одном прострaнстве неаддитивных функций множества // Оптимизация. 1975. № 16. С. 99–120.
Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
Васильев В.А. Вектор Шепли для игр ограниченной полиномиальной вариации // Оптимизация. 1975. № 17. С. 5–26.
Ляпунов А.А. Вопросы теории множеств и теории функций. М.: Наука, 1979.
Васильев В.А. Об одном классе дележей в кооперативных играх // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256. № 2. С. 265–268. (перевод: Vasil’ev V.A. On a class of imputations in cooperative games // Soviet Math. Dokl. 1981. V. 23. № 1. P. 53–57).
Vasil’ev V.A. Cores and generalized NM-solutions for some classes of cooperative games// In: Russian Contributions to Game Theory and Equilibrium Theory (T.S.H. Driessen, G. van der Laan, V. Vasil’ev, and E. Yanovskaya, eds.). 2006. Springer-Verlag: Berlin–Heidelberg–New York. P. 91–149.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики