Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 4, стр. 596-613
Результаты симметрийной классификации 2-полевых эволюционных систем 3-го порядка с постоянной сепарантой
1 Орловский гос. университет
302026 Орел, ул. Комсомольская, 95, Россия
* E-mail: balakhnev@yandex.ru
Поступила в редакцию 01.09.2022
После доработки 29.11.2022
Принята к публикации 15.12.2022
- EDN: KJYCLB
- DOI: 10.31857/S004446692304004X
Аннотация
Представлены результаты симметрийной классификации нелинейных интегрируемых 2-полевых эволюционных систем 3-го порядка с постоянной сепарантой. Библ. 12.
1. ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена классификации нелинейных интегрируемых эволюционных систем третьего порядка с двумя независимыми переменными и двумя неизвестными функциями вида
(1.1)
${{u}_{t}} = {{u}_{{xxx}}} + F(u,{v},{{u}_{x}},{{{v}}_{x}},{{u}_{{xx}}},{{{v}}_{{xx}}}),\quad {{{v}}_{t}} = a{\kern 1pt} {{{v}}_{{xxx}}} + G(u,{v},{{u}_{x}},{{{v}}_{x}},{{u}_{{xx}}},{{{v}}_{{xx}}}),$Некоторые системы вида (1.1) впервые были представлены в [1]:
(1.2)
${{u}_{t}} = {{u}_{{xxx}}} + {{{v}}_{x}} + u{{u}_{x}},\quad {{{v}}_{t}} = A{\kern 1pt} {{{v}}_{{xxx}}} + B{{u}_{x}}{{u}_{{xx}}} + C{{u}^{2}}{{u}_{x}} + Du{{{v}}_{x}} + E{v}{{u}_{x}}$Спустя более 40 лет после первого упоминания опубликовано сравнительно небольшое количество работ, посвященных изучению различных свойств (1.2) (см., например, [2–4]). Однако на сегодняшний день полный перечнь интегрируемых методом обратной задачи рассеяния систем вида (1.1) отсутствовал. Вместе с тем метод построения интегрируемых уравнений и систем, основанный на исследовании законов сохранения (см. [5]), применялся при решении достаточно большого числа классификационных задач (см. [6–12]). Так, в [10] получены рекуррентные соотношения для канонических сохраняющихся плотностей систем вида (1.1). Мы не будем воспроизводить здесь все выполненные в [10] выкладки, а отметим лишь основные моменты.
По сложившейся практике введем стандартные обозначения ${{u}_{n}} = {{\partial }^{n}}u{\text{/}}\partial {{x}^{n}}$, ${{{v}}_{n}} = {{\partial }^{n}}{v}{\text{/}}\partial {{x}^{n}}$, $n = 0,1, \ldots $, ${{{\mathbf{u}}}_{n}} = ({{u}_{n}},{{{v}}_{n}})$. Число $n$ назовем порядком переменных ${{u}_{n}}$ и ${{{v}}_{n}}$, а порядком функции $f({\mathbf{u}})$ – наибольший из порядков переменных ${{u}_{i}},\;{{{v}}_{j}}$, от которых она зависит. Частные производные функций обозначим нижними индексами, например, ${{F}_{{{{u}_{1}}}}} = \partial F{\text{/}}\partial {{u}_{1}}$, ${{f}_{{1,u{{{v}}_{1}}}}} = {{\partial }^{2}}{{f}_{1}}{\text{/}}(\partial u{\kern 1pt} \partial {{{v}}_{1}})$ и т.д.
2. ДОПУСТИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В процессе классификации выполнялись, когда это было необходимо, некоторые преобразования, не выводящие систему из заданного класса. Например, точечные преобразования $\left\{ {u \to f(x,u),{v} \to g(x,{v})} \right\}$ приведут к уравнениям, зависящим от $x$, тогда как в (1.1) $x$ отсутствует. Точно так же замена $\left\{ {u \to f(u,{v}),{v} \to g(u,{v})} \right\}$ приведет к тому, что в обоих уравнениях (1.1) появятся слагаемые с ${{u}_{3}}$ и ${{{v}}_{3}}$ (см., например, [4]), что неприемлемо в рамках данной классификационной задачи. Отметим точечные преобразования, не изменяющие типа системы (1.1):
– масштабные преобразования
– преобразование Галилея
– точечное преобразование с диагональной матрицей Якоби
– инволюция
Эти преобразования переводят систему (1.1) в систему ${{u}_{t}} = {{u}_{3}} + {{a}^{{ - 1}}}G$, ${{{v}}_{t}} = {{a}^{{ - 1}}}{{{v}}_{3}} + {{a}^{{ - 1}}}F$. Поскольку ${{a}^{{ - 1}}} = ( - 3c - {{7)2}^{{ - 1}}}$, ${{c}^{2}} = 5$, добавив к инволюции преобразование $c \to - c$, получаем из (1.1) систему ${{u}_{t}} = {{u}_{3}} + aG$, ${{{v}}_{t}} = a{{{v}}_{3}} + aF$ с той же сепарантой, что и в системе (1.1).Интегрируемые системы вида (1.1) часто содержат уравнения следующего вида:
(2.5)
${{u}_{t}} = {{u}_{3}} + {{u}_{2}}{{D}_{x}}(f) - \frac{1}{2}{{f}_{{{{u}_{1}}}}}u_{2}^{2} + {{f}_{1}}{v}_{2}^{2} + {{f}_{2}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{3}},$В итоге получаем уравнение
Если, к примеру, в (2.5) $f = \psi (u)\xi ({v})$, то, положив $\ln (\varphi {\kern 1pt} ') = \psi $, получим $\hat {f} = \xi ({v}) + 3$. Разумеется, есть и другие ситуации, когда функцию $f$ можно упростить с помощью преобразования $u \to \varphi (u)$.
Кроме точечных преобразований некоторые системы (1.1) допускают обратимые дифференциальные подстановки. Например, система
Некоторые интегрируемые системы вида (1.1) допускают и необратимые дифференциальные подстановки
В процессе проверки условий интегрируемости для (1.1) очень часто встречались системы вида
3. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ И ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ КЛАССИФИКАЦИИ
Основным объектом в симметрийном подходе к интегрируемости являются канонические законы сохранения:
где ${{\rho }_{n}}$ и ${{\theta }_{n}}$ – функции, от переменных $x,\;{\mathbf{u}},\;{{{\mathbf{u}}}_{1}},\;{{{\mathbf{u}}}_{2}},\; \ldots $ . Функции ${{\rho }_{n}}$ называются плотностями закона сохранения, а ${{\theta }_{n}}$ – соответствующими плотностям токами. Для практических исследований важно, что канонические плотности выражаются рекуррентными формулами в терминах правых частей системы (1.1), которая не является заведомо интегрируемой. Поэтому, исходя из (3.1), мы получаем систему уравнений для $F,\;G$ и их производных – необходимые условия интегрируемости, которые называем ${{\rho }_{n}}$-условиями. Разумеется, можно проверить лишь конечное число условий, но, как показывает опыт известных классификационных работ, системы, обладающие двумя-тремя высшими законами сохранения, оказываются интегрируемыми. Достаточными же условиями интегрируемости являются, например, существование представления Лакса или преобразования Беклунда.Алгоритм вывода рекуррентных формул для канонических плотностей системы (1.1) изложен подробно в [10] и воспроизведен в [11] с использованием следующих формул:
(3.2)
$\begin{gathered} {{\rho }_{{n + 2}}} = \frac{1}{3}{{\theta }_{n}} - \sum\limits_0^{n + 1} \,{{\rho }_{i}}{{\rho }_{j}} - \frac{1}{3}\sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{{\rho }_{j}}{{\rho }_{k}} - \frac{1}{3}({{F}_{{v}}} + {{F}_{{{{{v}}_{1}}}}}{{D}_{x}} + {{F}_{{{{{v}}_{2}}}}}D_{x}^{2}){{a}_{n}} - \frac{1}{3}{\kern 1pt} {{F}_{{{{u}_{2}}}}}\left( {{{D}_{x}}{{\rho }_{n}} + 2{\kern 1pt} {{\rho }_{{n + 1}}} + \sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{{\rho }_{j}}} \right) - \\ \, - \frac{1}{3}{\kern 1pt} {{F}_{u}}{\kern 1pt} {{\delta }_{{n,0}}} - \frac{1}{3}{\kern 1pt} {{F}_{{{{u}_{1}}}}}({{\delta }_{{n, - 1}}} + {{\rho }_{n}}) - \frac{1}{3}{\kern 1pt} {{F}_{{{{{v}}_{1}}}}}\left( {{{a}_{{n + 1}}} + \sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{{a}_{j}}} \right) - {{D}_{x}}\left( {{{\rho }_{{n + 1}}} + \frac{1}{3}{\kern 1pt} {{D}_{x}}{\kern 1pt} {{\rho }_{n}} + \frac{1}{2}\sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{{\rho }_{j}}} \right) - \\ \, - \frac{1}{3}{\kern 1pt} {{F}_{{{{{v}}_{2}}}}}\left( {{{a}_{{n + 2}}} + 2{\kern 1pt} {{D}_{x}}{\kern 1pt} {{a}_{{n + 1}}} + 2\sum\limits_0^{n + 1} \,{{\rho }_{i}}{{a}_{j}} + \sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{{\rho }_{j}}{{a}_{k}} + } \right.\left. {\sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{{D}_{x}}{\kern 1pt} {{a}_{j}} + {{D}_{x}}\sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{{a}_{j}}} \right),\quad n \geqslant - 1; \\ \end{gathered} $(3.3)
$ + \;\left. {{{D}_{x}}\sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{{a}_{j}} + \sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{\kern 1pt} {{D}_{x}}{\kern 1pt} {{a}_{j}}} \right) + {{G}_{{{{{v}}_{2}}}}}\left( {2\sum\limits_0^{n + 1} \,{{\rho }_{i}}{{a}_{j}} + \sum\limits_0^n \,{{\rho }_{i}}{{\rho }_{j}}{{a}_{k}}} \right) + a{\kern 1pt} D_{x}^{3}{{a}_{n}} + 3{\kern 1pt} a{\kern 1pt} D_{x}^{2}{{a}_{{n + 1}}} + $Начальные элементы последовательности плотностей и вспомогательных функций ${{a}_{k}}$ для системы (1.1) имеют следующий вид:
В [10] показано, что интегрируемая система (1.1) должна иметь вид
(3.4)
${{u}_{t}} = {{u}_{3}} + {{u}_{2}}{{D}_{x}}f - \frac{1}{2}u_{2}^{2}{{f}_{{{{u}_{1}}}}} + P(u,{v},{{u}_{1}},{{{v}}_{1}},{{{v}}_{2}}),\quad {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} + {{{v}}_{2}}{{D}_{x}}g - \frac{1}{2}{v}_{2}^{2}{{g}_{{{{{v}}_{1}}}}}} \right) + Q(u,{v},{{u}_{1}},{{{v}}_{1}},{{u}_{2}}),$Из ${{\rho }_{n}}$-условий $1 \leqslant n \leqslant 4$ для системы (3.4) были получены следующие уравнения:
(3.5)
${{f}_{{{{{v}}_{1}}}}}{{g}_{{{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{{{u}_{1}}}}}{{f}_{{{{{v}}_{1}}}}} = {{g}_{{{{u}_{1}}}}}{{g}_{{{{{v}}_{1}}}}},\quad {{f}_{{{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = \frac{1}{6}(c + 1){{f}_{{{{u}_{1}}}}}{{f}_{{{{{v}}_{1}}}}},\quad {{g}_{{{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = \frac{1}{6}(1 - c){{g}_{{{{u}_{1}}}}}{{g}_{{{{{v}}_{1}}}}},$(3.6)
${{P}_{{{{{v}}_{2}}{{{v}}_{2}}}}}{{Q}_{{{{u}_{2}}{{u}_{2}}}}} = \frac{1}{2}(7 - 3c){{f}_{{{{u}_{1}}}}}{{f}_{{{{{v}}_{1}}}}},\quad {{P}_{{{{u}_{1}}{{{v}}_{2}}{{{v}}_{2}}{{{v}}_{2}}}}} = 0,\quad {{Q}_{{{{{v}}_{1}}{{u}_{2}}{{u}_{2}}{{u}_{2}}}}} = 0.$Итак, если ${{f}_{{{{{v}}_{1}}}}} \ne 0$, то из первого уравнения (3.5) следует ${{g}_{{{{u}_{1}}}}} = 0$, а второе уравнение дает ${{f}_{{{{u}_{1}}}}} = 0$. Оставшиеся уравнения выполнены автоматически, и мы получаем $f = f(u,{v},{{{v}}_{1}})$ и $g = g(u,{v},{{{v}}_{1}})$. Пусть наоборот, ${{g}_{{{{u}_{1}}}}} \ne 0$, тогда $f = f(u,{v},{{u}_{1}})$ и $g = g(u,{v},{{u}_{1}})$. Третья возможность ${{f}_{{{{{v}}_{1}}}}} = 0,$ ${{g}_{{{{u}_{1}}}}} = 0$ также приводит к $f = f(u,{v},{{u}_{1}})$ и $g = g(u,{v},{{{v}}_{1}})$. Таким образом, обе части уравнений (3.5) обращаются в нули, поэтому первое из уравнений (3.6) принимает вид ${{P}_{{{{{v}}_{2}}{{{v}}_{2}}}}}{{Q}_{{{{u}_{2}}{{u}_{2}}}}} = 0$.
Таким образом, получаем три случая:
(3.7)
$\begin{gathered} 1)\;\;f = f(u,{v},{{{v}}_{1}}),\quad g = g(u,{v},{{{v}}_{1}}),\quad {{f}_{{{{{v}}_{1}}}}} \ne 0; \\ 2)\;\;f = f(u,{v},{{u}_{1}}),\quad g = g(u,{v},{{u}_{1}}),\quad {{g}_{{{{u}_{1}}}}} \ne 0; \\ 3)\;\;f = f(u,{v},{{u}_{1}}),\quad g = g(u,{v},{{{v}}_{1}}). \\ \end{gathered} $Функции $P$ и $Q$ доставляют больше всего трудностей вычислительного характера, поэтому выделим варианты, к которым приводит уравнение ${{P}_{{{{{v}}_{2}}{{{v}}_{2}}}}}{{Q}_{{{{u}_{2}}{{u}_{2}}}}} = 0$:
Заметим, что в случаях A и B исследуемые системы переходят одна в другую при инволюции (2.4), поэтому достаточно исследовать случаи A и C.
3.1. Cлучай A
A.1. Из уравнений (3.6) определяются частично функции $P = {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{2}}$ и $Q = {{g}_{1}}u_{2}^{2} + {{g}_{2}}{{u}_{2}} + {{g}_{3}},$ ${{g}_{1}} \ne 0$. Это позволяет получить дополнительную информацию из условий интегрируемости. В рассматриваемом подслучае ${{\rho }_{1}}$-условие привело к противоречию: ${{f}_{{{{{v}}_{1}}}}}{{g}_{1}} = 0$.
A.2. С учетом некоторых следствий из ${{\rho }_{1}}$-условия, система (3.4) принимает следующий вид:
(3.8)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{2}{{u}_{2}}{{D}_{x}}(\ln f) + \frac{3}{4}{{(\ln f)}_{{{{u}_{1}}}}}u_{2}^{2} + {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{2}}, \\ {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}{{{v}}_{2}}{{D}_{x}}(\ln g)} \right) + Q(u,{v},{{u}_{1}},{{{v}}_{1}},{{u}_{2}}), \\ \end{gathered} $В подслучае ${{f}_{1}} = 0$ удалось найти вид функции $f = p(u,{v})u_{1}^{2} + q(u,{v}){{u}_{1}} + r(u,{v})$. Функция $Q$ частично определилась, и система приняла вид
(3.9)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{2}{{u}_{2}}{{D}_{x}}(\ln f) + \frac{3}{4}{{(\ln f)}_{{{{u}_{1}}}}}u_{2}^{2} + {{f}_{2}}(u,{v},{{u}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}{{{v}}_{2}}{{D}_{x}}(\ln g)} \right) + {{g}_{1}} + {{g}_{2}}{{u}_{2}} + {{g}_{3}}, \\ \end{gathered} $В случаях 1) и 2) система (3.9) приводится к треугольному виду с независимым уравнением для $u$. В случае 3) в ${{\rho }_{3}}$-условии получено противоречие.
A.3. По условию имеем $P = {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{2}}$, а функция $Q$ определилась из дополнительных ${{\rho }_{n}}$-условий: $Q = {{g}_{1}}u_{2}^{2} + {{g}_{2}}{{u}_{2}} + {{g}_{3}}$. В итоге система (3.4) записывается в виде
(3.10)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{2}{{u}_{2}}{{D}_{x}}(\ln f) + \frac{3}{4}{{(\ln f)}_{{{{u}_{1}}}}}u_{2}^{2} + {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{2}}, \\ {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}{{{v}}_{2}}{{D}_{x}}(\ln g) + \frac{3}{4}{{{(\ln g)}}_{{{{{v}}_{1}}}}}{v}_{2}^{2}} \right) + {{g}_{1}}u_{2}^{2} + {{g}_{2}}{{u}_{2}} + {{g}_{3}}. \\ \end{gathered} $Приведем наиболее простые следствия из ${{\rho }_{n}}$-условий для $n = 0,1,2,3$:
(3.11)
${{g}_{{u{\kern 1pt} {{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{g}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad g{\kern 1pt} {{g}_{{1,{{{v}}_{1}}}}} = {{g}_{1}}{{g}_{{{{{v}}_{1}}}}},$(3.12)
${{f}_{{u{\kern 1pt} {{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{{v}{\kern 1pt} {{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,$(3.13)
$f{{f}_{{{v}{\kern 1pt} {{u}_{1}}}}} = {{f}_{{v}}}{{f}_{{{{u}_{1}}}}},\quad f{{g}_{{1,{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = - {{g}_{{1,{{{v}}_{1}}}}}{{f}_{{{{u}_{1}}}}},\quad {{g}_{{1,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,$Последнее из уравнений (3.11) приводит к решению ${{g}_{1}} = g{\kern 1pt} s(u,{v},{{u}_{1}})$, где $s$ – произвольная функция, а второе из уравнений (3.13) сводится к $s = {{f}^{{ - 1}}}\gamma (u,{v})$, следовательно, ${{g}_{1}} = {{f}^{{ - 1}}}g{\kern 1pt} \gamma (u,{v})$.
Если ${{\alpha }_{1}} \ne 0$, то без ограничения общности ${{\alpha }_{1}} = 1$. Привлекая дополнительные условия, удалось найти $g = {{\varphi }_{1}}({v}){{{v}}_{1}} + {{\varphi }_{2}}(u,{v})$. В итоге (3.10) приняла вид
(3.15)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{2}{{u}_{2}}{{D}_{x}}(\ln f) + \frac{3}{4}{{(\ln f)}_{{{{u}_{1}}}}}u_{2}^{2} + {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{2}}, \\ {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}{{{v}}_{2}}{{D}_{x}}(\ln g) + \frac{3}{4}{{{(\ln g)}}_{{{{{v}}_{1}}}}}{v}_{2}^{2}} \right) + {{f}^{{ - 1}}}g\gamma (u,{v})u_{2}^{2} + {{g}_{2}}{{u}_{2}} + {{g}_{3}}, \\ \end{gathered} $Анализ различных форм функции $f$ основывается на первом из уравнений (3.13), которое приводит к системе
A.3.1. В соответствии с предыдущим анализом $f = u_{1}^{2} + \alpha (u){{u}_{1}} + \beta (u)$. Далее из рассмотренных ранее условий интегрируемости получилось ${{f}_{1}} = 0$ и ${{f}_{2}} = {{f}_{2}}(u,{{u}_{1}})$, т.е. система (3.15) – треугольная.
A.3.2. Поскольку $f = {{\alpha }_{2}}(u,{v})({{u}_{1}} + \gamma (u))$, то из ${{\rho }_{n}}$-условий c $n = 1,2,3$ появились уравнения ${{\alpha }_{2}} = {{\alpha }_{2}}(u)$, ${{f}_{1}} = 0,$ ${{f}_{2}} = {{f}_{3}}(u,{{u}_{1}}) + q(u,{v})$. Вслед за этими формулами появилась еще одна ${{q}_{{v}}} = 0$, следовательно, система (3.15) – треугольная.
A.3.3. Благодаря простоте функции $f = f(u,{v})$, из полученных ранее следствий из условий интегрируемости без труда получаем $f = f(u),$ ${{f}_{1}} = 0,$ ${{f}_{2}} = {{f}_{2}}(u,{{u}_{1}})$. Таким образом, первое из уравнений системы (3.10) не содержит функции ${v}$, следовательно, система (3.15) снова треугольная.
Итак, исследование случая A, начатое в п. 3.1, полностью завершено. Это исследование показало, что в случае A условия интегрируемости приводили либо к противоречиям, либо к треугольным системам, которые мы исключили из рассмотрения.
3.2. Случай C
Согласно нашей классификации, система, подлежащая исследованию, приняла вид
(3.16)
${{u}_{t}} = {{u}_{3}} + {{u}_{2}}{{D}_{x}}f - \frac{1}{2}u_{2}^{2}{{f}_{{{{u}_{1}}}}} + {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{0}},\quad {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} + {{{v}}_{2}}{{D}_{x}}g - \frac{1}{2}{v}_{2}^{2}{{g}_{{{{{v}}_{1}}}}}} \right) + {{g}_{1}}{{u}_{2}} + {{g}_{0}},$C.1. Из ${{\rho }_{1}}$-условия вытекают следующие уравнения:
(3.17)
$\begin{gathered} {{g}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} - 2{\kern 1pt} {{g}_{{{{{v}}_{1}}}}}{{g}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} + \frac{4}{9}g_{{{{{v}}_{1}}}}^{3} = 0,\quad 3{{f}_{{u{{{v}}_{1}}}}} = {{g}_{u}}{{f}_{{{{{v}}_{1}}}}},\quad 3{{f}_{{{v}{{{v}}_{1}}}}} = {{g}_{{v}}}{{f}_{{{{{v}}_{1}}}}}, \\ {{g}_{{u{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} - \frac{2}{3}{{g}_{u}}{{g}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} - \frac{4}{3}{{g}_{{{{{v}}_{1}}}}}{{g}_{{u{{{v}}_{1}}}}} + \frac{4}{9}{{g}_{u}}g_{{{{{v}}_{1}}}}^{2} = 0,\quad {{g}_{{{v}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} - \frac{2}{3}{{g}_{{v}}}{{g}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} - \frac{4}{3}{{g}_{{{{{v}}_{1}}}}}{{g}_{{{v}{{{v}}_{1}}}}} + \frac{4}{9}{{g}_{{v}}}g_{{{{{v}}_{1}}}}^{2} = 0, \\ \end{gathered} $(3.18)
${{g}_{{1,{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{1,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{0,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0.$Проделанные в C.1 вычисления показали, что для упрощения вычислений следует записывать систему в виде
(3.19)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{2}{{u}_{2}}{{D}_{x}}(\ln f) + \frac{3}{4}{{(\ln f)}_{{{{u}_{1}}}}}u_{2}^{2} + {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{0}}, \\ {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}{{{v}}_{2}}{{D}_{x}}(\ln g) + \frac{3}{4}{{{(\ln g)}}_{{{{{v}}_{1}}}}}{v}_{2}^{2}} \right) + {{g}_{1}}{{u}_{2}} + {{g}_{0}}. \\ \end{gathered} $C.2. Из ${{\rho }_{1}}$- и ${{\rho }_{2}}$-условий вытекают следующие уравнения:
(3.20)
${{f}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{u{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{v}}} = 0,\quad {{g}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{g}_{{{v}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{g}_{u}} = 0,$(3.21)
${{f}_{{1,{{u}_{1}}}}} = {{f}_{1}}{{\left( {\ln f - \ln {{f}_{{{{u}_{1}}}}}} \right)}_{{{{u}_{1}}}}},\quad {{g}_{{1,{{u}_{1}}}}} = {{g}_{1}}{{\left( {\ln g - \ln {{g}_{{{{{v}}_{1}}}}}} \right)}_{{{{{v}}_{1}}}}}.$(3.22)
$f = {{c}_{1}}u_{1}^{2} + {{q}_{1}}{{u}_{1}} + {{q}_{2}},\quad g = {{c}_{2}}{v}_{1}^{2} + {{p}_{1}}{{{v}}_{1}} + {{p}_{2}},$Кроме того, из условий интегрируемости получается большое число уравнений с общими множителями ${{c}_{1}}$ и ${{c}_{2}}$. Например, имеются уравнения ${{c}_{1}}{{f}_{1}} = 0,$ ${{c}_{2}}{{g}_{1}} = 0$. Это означает, что возникают развилки
C.2.1. Здесь мы имеем ${{f}_{1}} = {{g}_{1}} = 0$, а также ${{p}_{1}}p_{2}^{'} = 2{\kern 1pt} p_{1}^{'}{{p}_{2}},$ ${{q}_{1}}q_{2}^{'} = 2q_{1}^{'}{{q}_{2}}$. Это означает (a) $f = u_{1}^{2} + 2{{q}_{1}}{{u}_{1}} + {{c}_{3}}{\kern 1pt} q_{1}^{2}$, если ${{q}_{1}} \ne 0$, или (b) $f = u_{1}^{2} + {{q}_{2}}$, если ${{q}_{1}} = 0$. Если выполнить преобразование $u \to \varphi (u)$ и выбрать должным образом $\varphi $, то в любом случае мы получаем $f = u_{1}^{2} + 2{{c}_{2}}{{u}_{1}} + {{c}_{3}}$. Если ${{c}_{2}} \ne 0$, то мы можем нормировать ${{c}_{2}}$ на 1, а ${{c}_{3}}$ будет произвольным параметром. Если ${{c}_{2}} = 0$, а ${{c}_{3}} \ne 0$, то мы можем нормировать ${{c}_{3}}$ на 1 или положить ${{c}_{3}} = 0$.
Преобразованием ${v} \to \psi ({v})$ можно точно упростить функцию $g$, и (3.19) принимает вид
C.2.2. Здесь мы вновь имеем уравнение ${{q}_{1}}q_{2}^{'} = 2q_{1}^{'}{{q}_{2}}$, поэтому, выполнив преобразования $u \to \varphi (u)$ и ${v} \to \psi ({v})$, получаем $f = u_{1}^{2} + 2{{c}_{2}}{{u}_{1}} + {{c}_{3}}$ и $g = {{{v}}_{1}} + {{p}_{1}}({v})$. Затем, также как и в предыдущем случае, ${{f}_{1}} = 0$, и далее из ${{\rho }_{1}}$-условия, следует, что ${{f}_{0}} = {{f}_{2}}(u,{{u}_{1}})$, значит, система треугольная с независимым уравнением для $u$.
C.2.3. В формулах (3.22) ${{q}_{1}}{{p}_{1}} \ne 0$ по условию. Поэтому преобразованиями $u \to \varphi (u)$ и ${v} \to \psi ({v})$ мы нормируем ${{q}_{1}}$ и ${{p}_{1}}$ на 1. Таким образом, в (3.19) имеем $f = {{u}_{1}} + q(u)$ и $g = {{{v}}_{1}} + p({v})$.
Из ${{\rho }_{2}}$-условия возникают уравнения $q{\kern 1pt} ' = 0,$ $p{\kern 1pt} ' = 0,$ $f{{f}_{{1,{{u}_{1}}}}} = {{f}_{1}},$ $g{{g}_{{1,{{{v}}_{1}}}}} = {{g}_{1}}$. Это дает нам
(3.23)
$q = {{c}_{1}},\quad p = {{c}_{2}},\quad f = {{u}_{1}} + {{c}_{1}},\quad g = {{{v}}_{1}} + {{c}_{2}},\quad {{f}_{1}} = f{{f}_{2}}(u,{v},{{{v}}_{1}}),\quad {{g}_{1}} = g{\kern 1pt} {{g}_{2}}(u,{v},{{u}_{1}}).$(3.24)
$2g{{f}_{{2,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = - 3{{f}_{{2,{{{v}}_{1}}}}},\quad {{f}_{{2,{v}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad 2f{{g}_{{2,{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = - 3{\kern 1pt} {{g}_{{2,{{u}_{1}}}}},\quad {{g}_{{2,u{{u}_{1}}}}} = 0,$(3.25)
$f{{f}_{{0,{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = {{f}_{{0,{{{v}}_{1}}}}},\quad 2f{{f}_{{0,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} + 3{{f}_{{0,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad 2{\kern 1pt} g{{f}_{{0,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} + 3{{f}_{{0,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 6{{f}_{{2,{v}}}},$(3.26)
$g{\kern 1pt} {{g}_{{0,{{u}_{1}},{{{v}}_{1}}}}} = {{g}_{{0,{{u}_{1}}}}},\quad 2{\kern 1pt} g{\kern 1pt} {{g}_{{0,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} + 3{\kern 1pt} {{g}_{{0,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad 2f{{g}_{{0,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} + 3{\kern 1pt} {{g}_{{0,{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 6{\kern 1pt} g{\kern 1pt} {{g}_{{2,u}}}.$(3.27)
${{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{{4f}}u_{2}^{2} + {{{v}}_{2}}f{{f}_{2}} + f{{f}_{3}} + {{f}_{4}},\quad {{{v}}_{t}} = a{\kern 1pt} {{{v}}_{3}} - \frac{{3a}}{{4{\kern 1pt} g}}{v}_{2}^{2} + {{u}_{2}}g{\kern 1pt} {{g}_{2}} + g{\kern 1pt} {{g}_{3}} + {{g}_{4}},$Подслучай C.2.3.a. Из двух первых условий интегрируемости получилось, что функции ${{g}_{4}}$ и ${{g}_{3}}$ зависят только от ${v}$ и ${{{v}}_{1}}$, а ${{g}_{2}} = 0$ по условию. Таким образом, приходим к треугольной системе с независимым уравнением для $v$.
Подслучай C.2.3.c. Из (3.25) и (3.26) определяются функции ${{f}_{3}} = {{p}_{1}} + {{p}_{2}}g + {{p}_{3}}{{g}^{{1/2}}},$ ${{g}_{3}} = {{p}_{4}} + {{p}_{5}}f + {{p}_{6}}{{f}^{{1/2}}}$, где ${{p}_{i}} = {{p}_{i}}(u,{v})$. Рассмотрев ${{\rho }_{n}}$-условия при $n = 1,2,3$, мы получили, что все ${{p}_{i}}$ и ${{q}_{i}}$ – постоянные, а система приняла вид
C.3. Здесь имеем $f = f(u,{v},{{u}_{1}}),$ $g = g(u,{v}),$ ${{f}_{{{{u}_{1}}}}} \ne 0$. Из ${{\rho }_{n}}$-условий при $n = 1,2,3,4$ вытекают простые уравнения
(3.28)
${{f}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{u{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{{v}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{g}_{u}}{{f}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,$(3.29)
${{f}_{{{{u}_{1}}}}}{{f}_{{{v}{{u}_{1}}}}} = {{f}_{{v}}}{{f}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}},\quad {{f}_{{u{{u}_{1}}}}}({{u}_{1}}{{f}_{{{{u}_{1}}}}} - 2f) + {{f}_{u}}({{f}_{{{{u}_{1}}}}} - {{u}_{1}}{{f}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}}) = 0,$(3.30)
${{g}_{{1,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}}{{f}_{1}} = \frac{3}{2}(3 - c){{f}_{{{v}{{u}_{1}}}}},\quad f{{f}_{{1,{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = {{f}_{{{{u}_{1}}}}}{{f}_{{1,{{{v}}_{1}}}}}.$Из (3.28) следует $f = {{c}_{1}}u_{1}^{2} + 2{\kern 1pt} {{q}_{1}}{{u}_{1}} + {{q}_{2}}$, где ${{c}_{1}}$ – постоянная, ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}(u,{v})$. Уравнения (3.29) теперь принимают вид
(3.31)
$2{\kern 1pt} {{q}_{1}}{{q}_{{1,{v}}}} = {{c}_{1}}{{q}_{{2,{v}}}},\quad {{q}_{1}}{{q}_{{2,u}}} = 2{\kern 1pt} {{q}_{{1,u}}}{{q}_{2}}.$Пусть теперь ${{c}_{1}} \ne 0$, тогда можем положить ${{c}_{1}} = 1$ без потери общности. Первое из уравнений (3.31) дает ${{q}_{2}} = q_{1}^{2} + \lambda (u)$. Подставив ${{q}_{2}}$ во второе уравнение, получаем ${{q}_{1}}\lambda {\kern 1pt} '(u) = 2{\kern 1pt} \lambda {\kern 1pt} {{q}_{{1,u}}}$. Отсюда получаем несколько случаев:
В каждом из этих вариантов исследование условий интегрируемости приводит к очень большому числу развилок, которые приводили либо к противоречиям, либо к треугольным системам. Изложение в статье всех вычислений лишено смысла, тем не менее, приведем пример:
(3.32)
${{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}{\kern 1pt} (3{\kern 1pt} c - 7){\kern 1pt} {{{v}}_{3}} - \frac{{dF}}{{d{{u}_{1}}}}({{u}_{2}} + {{{v}}_{1}}) + \frac{1}{2}{\kern 1pt} {{f}^{{ - 1/2}}}({{u}_{2}} + {{{v}}_{1}})({{c}_{1}}{\kern 1pt} {v} + {{c}_{4}}{\kern 1pt} u) - \sqrt f {\kern 1pt} ({{c}_{1}}{\kern 1pt} {{u}_{2}}(2{\kern 1pt} c - 7) + $C.4. Поскольку $f = f(u,{v})$ и $g = g(u,{v})$, то исследуемая система принимает вид
(3.33)
${{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{2}{{u}_{2}}{{D}_{x}}(\ln f) + {{f}_{1}}{{{v}}_{2}} + {{f}_{2}},\quad {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}{{{v}}_{2}}{{D}_{x}}(\ln g)} \right) + {{g}_{1}}{{u}_{2}} + {{g}_{2}},$Из ${{\rho }_{1}}$- и ${{\rho }_{3}}$-условий нетрудно получить следующие простые уравнения:
(3.34)
$\begin{gathered} {{f}_{{1,{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{1,{{u}_{1}}{{{v}}_{1}},{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{g}_{{1,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{g}_{{1,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0, \\ 6{{f}_{{2,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} + (c + 3)(3{{f}_{{1,{{u}_{1}}}}}{{g}_{{1,{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} + {{f}_{1}}{{g}_{{1,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}}) = 0, \\ 6{\kern 1pt} {{g}_{{2,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} - (c + 3)(3{\kern 1pt} {{g}_{{1,{{{v}}_{1}}}}}{{f}_{{1,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} + {{g}_{1}}{{f}_{{1,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}}) = 0. \\ \end{gathered} $Из ${{\rho }_{n}}$-условий при $n = 1,2,3$ было получено 66 уравнений, среди которых 20 уравнений с числом членов $ \leqslant {\kern 1pt} 20$. В частности, большое число уравнений содержат только четыре функции: ${{f}_{1}},{\kern 1pt} {{g}_{1}}$ и $f,{\kern 1pt} g$. Из уравнений (3.34) имеем
(3.35)
$\begin{gathered} {{q}_{1}}{{q}_{3}} = 0,\quad {{q}_{2}}{{q}_{3}} = 0,\quad {{q}_{1}}{{q}_{4}} = 0,\quad {{q}_{{1,u}}} = 0,\quad {{q}_{{3,{v}}}} = 0,\quad {{q}_{1}}{{g}_{u}} = 0,\quad {{q}_{3}}{{f}_{{v}}} = 0, \\ {{q}_{1}}{{r}_{{{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{q}_{3}}{{p}_{{{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{p}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}}{{r}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{p}_{{{{{v}}_{1}}}}}{{r}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{p}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}}{{r}_{{{{u}_{1}}}}} = 0, \\ {{r}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}}(2f{{q}_{2}} + 3{{f}_{{v}}}) = 0,\quad {{p}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}}(4{\kern 1pt} g{{q}_{4}} + 3(3{\kern 1pt} c - 7){\kern 1pt} {{g}_{u}}) = 0. \\ \end{gathered} $C.4.1. В силу уравнений (3.35) мы получаем ${{f}_{1}} = p(u,{v}),$ ${{q}_{3}} = {{q}_{3}}(u),$ $f = f(u)$. Точечным преобразованием $u \to \varphi (u)$ нормируем $f$ на 1, что упрощает дальнейшие вычисления. Проверка условий интегрируемости в данном случае достаточно проста, хотя и требует анализа нескольких развилок. Во всех этих развилках получены только треугольные системы.
C.4.3. Функции ${{f}_{1}}$ и ${{g}_{1}}$ теперь имеют вид ${{f}_{1}} = {{q}_{2}}{{u}_{1}} + p,$ ${{g}_{1}} = {{q}_{4}}{{{v}}_{1}} + r$, где ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}(u,{v})$, $p = p(u,{v},{{{v}}_{1}}),$ $r = r(u,{v},{{u}_{1}})$. Благодаря этим упрощениям удалось получить дополнительные простые уравнения из ${{\rho }_{n}}$-условий при $n = 1,2,3,4$:
(3.36)
$\begin{gathered} {{f}_{{2,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{2,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{2,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = {{P}_{1}}(p,r),\quad {{f}_{{2,{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = {{P}_{2}}(p,r), \\ {{g}_{{2,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{g}_{{2,{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{g}_{{2,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = {{Q}_{1}}(p,r),\quad {{g}_{{2,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = {{Q}_{2}}(p,r), \\ {{q}_{2}}{{r}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{f}_{{v}}}{{r}_{{{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0,\quad {{q}_{4}}{{p}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0,\quad {{g}_{u}}{{p}_{{{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}} = 0. \\ \end{gathered} $Из уравнений (3.35) мы вновь получаем три случая:
Подслучай C.4.3.a. В этом случае мы имеем $r = r(u,{v}),$ ${{q}_{4}} = 0$ и $g = g({v})$. Последняя формула означает, что функцию $g$ можно нормировать на 1 точечным преобразованием ${v} \to \varphi ({v})$. Более того, ввиду полученных упрощений все следствия условий интегрируемости существенно упростились. Например, одно из громоздких уравнений приняло вид ${{f}_{{u{v}}}}f = {{f}_{u}}{{f}_{{v}}}$. Это означает, что $f = \alpha ({v})\beta (u)$, а так как $\ln (f) = \ln (\alpha ) + \ln (\beta )$, мы можем нормировать $\beta $ на 1. Это равносильно тому, чтобы принять $f = f({v})$.
Далее условия интегрируемости привели к большому числу развилок, которые в большинстве привели к противоречиям, и в нескольких случаях были получены треугольные системы. Большое число противоречий объясняется тем, что функция $p$ – это многочлен второй степени по ${{{v}}_{1}}$, что приводит к члену ${v}_{1}^{2}{{{v}}_{2}}$ в первом уравнении системы. Указанный член имеет вес 4, тогда как член ${{u}_{3}}$ имеет вес 3. В символическом методе исследования полиномиальных интегрируемых уравнений показано, что все члены интегрируемого уравнения должны иметь одинаковые веса. Так как мы рассматриваем произвольные уравнения, а не только полиномиальные, то анализу подвергаются все случаи, вытекающие из условий интегрируемости.
Подслучай C.4.3.c. Теперь система имеет следующий вид:
(3.37)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{2}{{u}_{2}}{{D}_{x}}(\ln f) + {{{v}}_{2}}({{a}_{1}}{{u}_{1}} + {{a}_{2}}{{{v}}_{1}} + {{a}_{3}}) + {{f}_{2}}, \\ {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}{{{v}}_{2}}{{D}_{x}}(\ln g)} \right) + {{u}_{2}}({{b}_{1}}{{u}_{1}} + {{b}_{2}}{{{v}}_{1}} + {{b}_{3}}) + {{g}_{2}}, \\ \end{gathered} $Для упрощения дальнейшей нумерации случаев переобозначим C.4.3.c. как D.
3.3. Случай D
Рассматриваемая система имеет вид
(3.38)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{2}{{u}_{2}}{{D}_{x}}(\ln f) + {{{v}}_{2}}({{a}_{1}}{{u}_{1}} + {{a}_{2}}{{{v}}_{1}} + {{a}_{3}}) + {{\mu }_{1}}u_{1}^{3} + {{\mu }_{2}}u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} + {{\mu }_{3}}{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \\ \, + {{\mu }_{4}}u_{1}^{2} + {{\mu }_{5}}{{u}_{1}}{{{v}}_{1}} + {{\mu }_{6}}{{u}_{1}} + {{f}_{3}}(u,{v},{{{v}}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = a\left( {{{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}{{{v}}_{2}}{{D}_{x}}(\ln g)} \right) + {{u}_{2}}({{b}_{1}}{{u}_{1}} + {{b}_{2}}{{{v}}_{1}} + {{b}_{3}}) + {{\nu }_{1}}{v}_{1}^{3} + {{\nu }_{2}}{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + {{\nu }_{3}}u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} + {{\nu }_{4}}{v}_{1}^{2} + \\ \, + {{\nu }_{5}}{{u}_{1}}{{{v}}_{1}} + {{\nu }_{6}}{{{v}}_{1}} + {{g}_{3}}(u,{v},{{u}_{1}}), \\ \end{gathered} $Условия интегрируемости для (3.38) очень громоздкие, поэтому мы рассмотрели ${{\rho }_{n}}$-условия только для $0 \leqslant n \leqslant 5$. В результате было получено около 140 уравнений для функций, входящих в систему, простейшие из которых имеют вид
(3.39)
${{a}_{{1,u}}} = \frac{1}{9}(c + 3)\delta ,\quad {{b}_{{2,{v}}}} = - \frac{1}{9}(c + 3)\delta ,\quad \delta = {{a}_{1}}{{b}_{2}} - {{a}_{2}}{{b}_{1}},$(3.40)
${{a}_{1}}{{(f{{b}_{1}})}_{u}} = - \frac{1}{9}(c + 3)\delta f{{b}_{1}},\quad {{b}_{2}}{{(g{{a}_{2}})}_{{v}}} = \frac{1}{9}(c + 3)\delta g{{a}_{2}},$(3.41)
${{f}_{{u{v}}}} = - \frac{1}{{27}}(9c + 23)f{{a}_{1}}{{b}_{2}} + \frac{1}{{27}}(15c + 41)f{{a}_{2}}{{b}_{1}} + \frac{4}{3}f{{\mu }_{2}},$(3.42)
${{g}_{{u{v}}}} = - \frac{2}{{27}}(15c + 34)g{{a}_{1}}{{b}_{2}} + \frac{2}{{27}}(39c + 88)g{{a}_{2}}{{b}_{1}} - \frac{2}{3}(3c + 7)g{{\nu }_{2}},$(3.43)
${{a}_{1}}{{g}_{u}} = - \frac{1}{9}(5c + 11)\delta g,\quad {{b}_{2}}{{f}_{{v}}} = - \frac{1}{9}(c - 1)\delta f,$(3.45)
${{f}_{u}}{{f}_{{v}}} + {{f}^{2}}\left( {\frac{2}{{27}}(2c + 5){{a}_{1}}{{b}_{2}} - \frac{2}{{27}}(5c + 14){{a}_{2}}{{b}_{1}} - \frac{4}{3}{{\mu }_{2}}} \right) = 0,$(3.46)
${{g}_{u}}{{g}_{{v}}} + {{g}^{2}}\left( {\frac{1}{{27}}(11c + 25){{a}_{1}}{{b}_{2}} - \frac{1}{{27}}(59c + 33){{a}_{2}}{{b}_{1}} + \frac{2}{3}(3c + 7){{\nu }_{2}}} \right) = 0,$(3.47)
${{a}_{2}}\frac{{{{\partial }^{4}}{{g}_{3}}}}{{\partial u_{1}^{4}}} = 0,\quad {{b}_{1}}\frac{{{{\partial }^{4}}{{f}_{3}}}}{{\partial {v}_{1}^{4}}} = 0,\quad {{f}_{{v}}}\frac{{{{\partial }^{4}}{{g}_{3}}}}{{\partial u_{1}^{4}}} = 0,\quad {{g}_{u}}\frac{{{{\partial }^{4}}{{f}_{3}}}}{{\partial {v}_{1}^{4}}} = 0.$Уравнения (3.47) приводят к следующим случаям:
D.1. По условию имеем ${{a}_{2}} = {{b}_{1}} = 0$ и $f = f(u),$ $g = g({v})$. Это означает, что существует точечное преобразование $u \to \varphi (u),$ ${v} \to \psi ({v})$, которое нормирует $f$ и $g$ на единицу. Это влечет $\delta = 0$ в силу уравнения (3.44), например. При этом $\delta = {{a}_{1}}{{b}_{2}} = 0$, следовательно, ${{\mu }_{2}} = {{\nu }_{2}} = 0$ в силу уравнений (3.41) и (3.42). Таким образом, мы получаем систему
Дальнейший анализ условий интегрируемости заключался в рассмотрении большого числа развилок, которые всегда приводили к тому, что ${{f}_{3}}$ и ${{g}_{3}}$ должны быть полиномами не выше третьей степени по переменным ${{{v}}_{1}}$ и ${{u}_{1}}$ соответственно, т.е. мы получали противоречие. Данный факт подтверждается тем, что в символическом методе исследования полиномиальных уравнений показано, что все члены интегрируемого уравнения должны иметь одинаковые веса, и, поскольку член ${{u}_{3}}$ имеет вес 3, то тот факт, что ${{f}_{{3,{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}{{{v}}_{1}}}}}{{g}_{{3,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0$, является ожидаемым. Тем не менее при классификации мы рассматривали произвольные уравнения, а не только полиномиальные, поэтому анализировали абсолютно все случаи, вытекающие из условий интегрируемости.
Как и выше, отметим, что случаи D.2. и D.3. симметричны относительно инволюции, поэтому мы исследовали только D.3.
D.3. Учитывая (3.39)–(3.47), система (3.38) приняла вид
Несмотря на то что в первом уравнении системы зависимость от переменных первого порядка полностью определилась, вместо функции ${{f}_{3}}$ во все уравнения, полученные из условий интегрируемости, вошли новые неизвестные ${{\eta }_{i}}$, что привело к значительному росту числа вариантов при дальнейшем анализе. Тем не менее, рассмотрев все возможные случаи, мы приходили либо к треугольной системе с независимым уравнением для $u$, либо к противоречию ${{g}_{{3,{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}{{u}_{1}}}}} = 0$.
D.4. Указанный вариант оказался самым трудоемким. Фактически мы удовлетворили лишь уравнениям (3.47), и исследуемая система приняла вид
Поскольку из (3.40)–(3.46) никаких дополнительных условий не возникло, а число неизвестных функций сильно выросло, то потребовалось колоссальное количество времени на построение и анализ системы уравнений для них. Попытка даже схематично описать проведенные расчеты потерпела фиаско, поскольку выделение подслучаев сводилось к множественному перебору вариантов – равенство/неравенство нулю различного рода множителей. Результат этих громоздких вычислений сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Не приводящиеся к треугольному виду системы (1.1), удовлетворяющие семи условиям интегрируемости (3.1), приводятся подходящими преобразованиями (2.1)–(2.4) к одной из следующих систем:
(3.48)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + u{{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + 3(c - 2){{u}_{1}}{{u}_{2}} + \frac{1}{4}(c - 1)({{u}^{2}} + 2{v}){{u}_{1}} + \frac{1}{2}(c - 3)u{{{v}}_{1}}; \\ \end{gathered} $(3.49)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + u{{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{3}{2}(c - 2){{u}_{1}}{{u}_{2}} + \frac{1}{4}(c - 1)({{u}^{2}} + 2{v}){{u}_{1}} + \frac{1}{2}(c - 3)u{{{v}}_{1}}; \\ \end{gathered} $(3.50)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + (u + {v}){{u}_{1}} - \frac{1}{2}(c - 3)u{{{v}}_{1}} + \frac{1}{2}(5c - 11){v}{{{v}}_{1}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} - ({v} - (c + 2)u){{u}_{1}} + \frac{1}{2}(c - 3)(u + {v}){{{v}}_{1}}; \\ \end{gathered} $(3.51)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + {{{v}}_{2}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}(c - 3)u{{u}_{2}} + \frac{1}{2}(c - 1)u{{{v}}_{1}} - \frac{1}{6}(c - 3){{u}^{3}}; \\ \end{gathered} $(3.52)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + {{{v}}_{2}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}(c - 3)u{{u}_{2}} + \frac{1}{2}(c - 1)u{{{v}}_{1}} - \frac{3}{4}(c - 2)u_{1}^{2} - \frac{1}{6}(c - 3){{u}^{3}}; \\ \end{gathered} $(3.53)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + (3c - 7)u({{u}_{1}} - {{{v}}_{2}}) + \frac{1}{2}(5c - 11){{{v}}_{1}}{{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(5c - 13){{{v}}_{1}}{{u}_{1}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} - \frac{3}{2}(c - 3){{u}_{2}} + \frac{1}{2}(3c - 7)({{{v}}_{1}} - 2u){{{v}}_{1}} + 2(c - 1){{u}^{2}}; \\ \end{gathered} $(3.54)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + \left( {{v}(c - 2) - \frac{1}{2}(c - 1)u} \right){{{v}}_{2}} - \frac{1}{3}u{v}({{{v}}_{1}}(c - 1) + 2{{u}_{1}}) - \\ \, - \frac{1}{6}(c - 1)(3{{{v}}_{1}} + {{{v}}^{2}}){{u}_{1}} - \frac{1}{6}({{{v}}^{2}}(c - 3) + 2{{u}^{2}}){{{v}}_{1}} + (c - 2){v}_{1}^{2}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(u(c + 1) - (c - 1){v}){{u}_{2}} + \frac{1}{2}(c + 1)u_{1}^{2} - \frac{1}{2}(c - 1){{{v}}_{1}}{{u}_{1}} - \\ \, - \frac{1}{3}({{u}_{1}}(c + 1) - 2{{{v}}_{1}})u{v} + \frac{1}{3}{{{v}}^{2}}{{u}_{1}} - \frac{1}{6}(c + 1){{u}^{2}}{{{v}}_{1}} - \frac{1}{6}(c + 3){{u}^{2}}{{u}_{1}}; \\ \end{gathered} $(3.55)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + \frac{1}{2}\left( {(5c - 11)\left( {{{{v}}_{1}} - \frac{1}{6}{{{v}}^{2}}} \right) - (3c - 7)u} \right){{{v}}_{2}} - 2u{{u}_{1}} + \frac{1}{6}(3c - 7)u{v}{{{v}}_{1}} - \\ \, - \left( {{{u}_{1}}(c - 3) + \frac{1}{6}(5c - 11){v}{{{v}}_{1}}} \right)\left( {{{{v}}_{1}} - \frac{1}{6}{{{v}}^{2}}} \right), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + 3{{u}_{2}} + {v}{{u}_{1}} + u{{{v}}_{1}} - \frac{1}{{12}}(3c - 7){{{v}}^{2}}{{{v}}_{1}}; \\ \end{gathered} $(3.56)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + \left( {\frac{1}{6}(3c - 7){{{v}}^{2}} + \frac{1}{2}(5c - 11){{{v}}_{1}} + 2(c - 2)u} \right){{{v}}_{2}} + 2(c - 1)u{{u}_{1}} + \\ \, + \frac{1}{2}(5c - 9){{u}_{1}}{{{v}}_{1}} + \frac{2}{3}(c - 3)u{v}{{{v}}_{1}} + \frac{1}{3}(c - 4){{{v}}^{2}}{{u}_{1}} + \frac{2}{9}(c - 2){{{v}}^{3}}{{{v}}_{1}} + \frac{1}{3}(3c - 7){vv}_{1}^{2}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{3}{2}(c - 3)\left( {{{u}_{2}} - \frac{2}{9}{{{v}}^{2}}{{{v}}_{1}}} \right) - (c - 1)(u{{{v}}_{1}} + {v}{{u}_{1}}); \\ \end{gathered} $(3.57)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} - \frac{3}{2}(c - 3){{{v}}_{2}} - (c - 1)({v}{{u}_{1}} + u{{{v}}_{1}}) - \frac{1}{3}(c + 3){{u}^{2}}{{u}_{1}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{6}((3c + 7){{u}^{2}} + 6(c + 2){{u}_{1}} + 6(c + 1){v}){{u}_{2}} + \frac{1}{2}(3c + 1){{{v}}_{1}}{{u}_{1}} + \\ \, + 2(c - 1){v}{{{v}}_{1}} + \frac{2}{3}(c + 3)u{v}{{u}_{1}} + \frac{1}{3}(c + 4){{u}^{2}}{{{v}}_{1}} + \frac{1}{3}(3c + 7)uu_{1}^{2} + \frac{1}{9}(5c + 11){{u}^{3}}{{u}_{1}}; \\ \end{gathered} $(3.58)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + \frac{3}{2}(c - 3){{{v}}_{2}} + 2(c - 1){{{v}}^{2}} - (c + 3){v}{{u}_{1}} + \frac{1}{2}(c + 3)u_{1}^{2}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + ({{u}_{1}}(c + 2) - (c + 3){v}){{u}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 7){{u}_{1}}{{{v}}_{1}} + (c + 3){v}{{{v}}_{1}}; \\ \end{gathered} $(3.59)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + \frac{3}{2}(3c - 7){{{v}}_{2}} + \frac{1}{2}(c - 3)({v}{{u}_{1}} + u{{{v}}_{1}}) - \frac{1}{{12}}(3c + 7){{u}^{2}}{{u}_{1}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} - \frac{1}{{12}}({{u}^{2}}(5c + 11) - 12{{u}_{1}}(c + 2) + 6(c + 3){v}){{u}_{2}} - (c - 3){v}{{{v}}_{1}} - \\ \, - 2{{{v}}_{1}}{{u}_{1}} + \frac{1}{6}(3c + 7){v}u{{u}_{1}} + \frac{1}{6}(c + 3){{u}^{2}}{{{v}}_{1}} - \frac{1}{6}(5c + 11)uu_{1}^{2} + \frac{1}{{36}}(13c + 29){{u}^{3}}{{u}_{1}}; \\ \end{gathered} $(3.60)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \\ \, + {{c}_{1}}{{\xi }^{2}}({{{v}}_{1}}(c + 1) - 2{{u}_{1}}) + {{c}_{2}}\eta (2{{{v}}_{1}} + (c + 1){{u}_{1}}) + {{c}_{3}}\varphi ({{{v}}_{1}}(c - 3) - 4{{u}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \\ + \;{{c}_{1}}{{\xi }^{2}}(2{{u}_{1}}(c - 2) - (c - 3){{{v}}_{1}}) + {{c}_{2}}\eta (2{{u}_{1}} - (c - 1){{{v}}_{1}}) - 2{{c}_{3}}\varphi ({{{v}}_{1}}(c - 3) - {{u}_{1}}); \\ \end{gathered} $(3.61)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \\ \, + {{c}_{1}}{{\xi }^{2}}({{{v}}_{1}}(c + 1) - 2{{u}_{1}}) + 2{{c}_{2}}{{\zeta }^{2}}(2{{u}_{1}} - {{{v}}_{1}}) + {{c}_{3}}(5c + 11){{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}} + (c + 2){{{v}}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \\ + \;{{c}_{1}}{{\xi }^{2}}(2{{u}_{1}}(c - 2) - (c - 3){{{v}}_{1}}) - {{c}_{2}}(c - 3){{\zeta }^{2}}({{u}_{1}} - 2{{{v}}_{1}}) + 2{{c}_{3}}{{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}} - (c + 2){{{v}}_{1}}); \\ \end{gathered} $(3.62)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \\ + \;{{c}_{1}}{{\xi }^{2}}({{{v}}_{1}}(c + 1) - 2{{u}_{1}}) + {{c}_{2}}(5c + 11){{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}} + (c + 2){{{v}}_{1}}) + {{c}_{3}}\varphi ({{{v}}_{1}}(c - 3) - 4{{u}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \\ + \;{{c}_{1}}{{\xi }^{2}}(2{{u}_{1}}(c - 2) - (c - 3){{{v}}_{1}}) + 2{{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}} - (c + 2){{{v}}_{1}}) - 2{{c}_{3}}\varphi ({{{v}}_{1}}(c - 3) - {{u}_{1}}); \\ \end{gathered} $(3.63)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \\ \, + {{c}_{1}}{{\xi }^{2}}({{{v}}_{1}}(c + 1) - 2{{u}_{1}}) + 2{{c}_{2}}{{\zeta }^{2}}(2{{u}_{1}} - {{{v}}_{1}}) + {{c}_{3}}\eta (2{{{v}}_{1}} + (c + 1){{u}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \\ \, + {{c}_{1}}{{\xi }^{2}}(2{{u}_{1}}(c - 2) - (c - 3){{{v}}_{1}}) - {{c}_{2}}(c - 3){{\zeta }^{2}}({{u}_{1}} - 2{{{v}}_{1}}) + {{c}_{3}}\eta (2{{u}_{1}} - (c - 1){{{v}}_{1}}); \\ \end{gathered} $(3.64)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + c{{c}_{2}}\xi (u_{1}^{2}(c + 3) - 2{v}_{1}^{2}(c + 2) - \\ \, - 2{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}(c + 1) + 2{{{v}}_{2}}) - \frac{2}{3}(3c + 5)c_{2}^{2}{{\xi }^{2}}({{u}_{1}} + 2{{{v}}_{1}}) + {{c}_{1}}\eta (2{{{v}}_{1}} + (c + 1){{u}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + c{{c}_{2}}\xi (u_{1}^{2}(c - 1) + \\ \, + 2c{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}(c + 1) + 2{v}_{1}^{2} + 2{{u}_{2}}) - \frac{2}{3}(3c + 5)c_{2}^{2}{{\xi }^{2}}({{{v}}_{1}} + 2{{u}_{1}}) + {{c}_{1}}\eta (2{{u}_{1}} - (c - 1){{{v}}_{1}}); \\ \end{gathered} $(3.65)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + c{{c}_{2}}\xi (u_{1}^{2}(c + 3) - 2{v}_{1}^{2}(c + 2) - \\ \, - 2{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}(c + 1) + 2{{v}_{2}}) - {{c}_{1}}{{\xi }^{2}}({{{v}}_{1}}(c + 1) - 2{{u}_{1}}) - \frac{2}{3}(3c + 5)c_{2}^{2}{{\xi }^{2}}({{u}_{1}} + 2{{{v}}_{1}}) + \frac{4}{9}c{{c}_{1}}{{c}_{2}}{{\xi }^{3}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + c{{c}_{2}}\xi (u_{1}^{2}(c - 1) + \\ + \;2c{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}(c + 1) + 2{v}_{1}^{2} + 2{{u}_{2}}) + {{c}_{1}}{{\xi }^{2}}(2{{u}_{1}}(c - 2) - (c - 3){{{v}}_{1}}) - \frac{2}{3}(3c + 5)c_{2}^{2}{{\xi }^{2}}({{{v}}_{1}} + 2{{u}_{1}}) + \frac{4}{9}c{{c}_{1}}{{c}_{2}}{{\xi }^{3}}; \\ \end{gathered} $(3.66)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} - {{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 2}}}(2u_{1}^{2} + (3{v}_{1}^{2} + 4{{u}_{1}}{{{v}}_{1}})(c + 3) - \\ \, - 2{{{v}}_{2}}) - \frac{4}{{15}}c_{2}^{2}{{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}}(c + 10) + 2(c + 5){{{v}}_{1}}) + 6(11c - 25)c_{1}^{2}{{\zeta }^{2}}(2{{u}_{1}} - {{{v}}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + {{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 2}}}(2{v}_{1}^{2} - (3u_{1}^{2} + \\ \, + 4{{u}_{1}}{{{v}}_{1}} - {{u}_{2}})(c - 3)) - \frac{4}{{15}}c_{2}^{2}{{\varphi }^{{ - 4}}}(2{{u}_{1}}(c - 5) + (c - 10){{{v}}_{1}}) - 3(11c - 25)c_{1}^{2}(c - 3){{\zeta }^{2}}({{u}_{1}} - 2{{{v}}_{1}}); \\ \end{gathered} $(3.67)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} - {{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 2}}}(2u_{1}^{2} + (3{v}_{1}^{2} + 4{{u}_{1}}{{{v}}_{1}})(c + 3) - \\ \, - 2{{{v}}_{2}}) + \frac{4}{9}c{{c}_{1}}{{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 6}}} - \frac{4}{{15}}c_{2}^{2}{{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}}(c + 10) + 2(c + 5){{{v}}_{1}}) + 2{{c}_{1}}{{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}} + (c + 2){{{v}}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} - {{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 2}}}(2{v}_{1}^{2} - (3u_{1}^{2} + 4{{u}_{1}}{{{v}}_{1}} - \\ \, - {{u}_{2}})(c - 3)) - \frac{2}{9}(3c - 5){{c}_{1}}{{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 6}}} - \frac{4}{{15}}c_{2}^{2}{{\varphi }^{{ - 4}}}(2{{u}_{1}}(c - 5) + (c - 10){{{v}}_{1}}) + {{c}_{1}}{{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}}(5c - 11) + (c - 3){{{v}}_{1}}); \\ \end{gathered} $(3.68)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \frac{3}{2}c{{c}_{2}}\zeta ({v}_{1}^{2}(c + 1) - (u_{1}^{2} + {{u}_{1}}{{{v}}_{1}})(c - 3) + \\ \, + 2{{{v}}_{2}}) + 3{{\zeta }^{2}}c_{2}^{2}(c{{{v}}_{1}} - (2c - 5){{u}_{1}}) - {{c}_{1}}{{c}_{2}}{{\zeta }^{3}} - \frac{3}{5}{{c}_{1}}{{\zeta }^{2}}(2{{u}_{1}} - {{{v}}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \frac{3}{2}c{{c}_{2}}\zeta (2u_{1}^{2}(c - 2) - 2{{u}_{1}}{{{v}}_{1}} - \\ \, - 2{v}_{1}^{2} + (3c - 7){{u}_{2}}) + \frac{3}{2}c_{2}^{2}{{\zeta }^{2}}({{{v}}_{1}}(c - 5) + (7c - 15){{u}_{1}}) + \frac{3}{{10}}{{c}_{1}}(c - 3){{\zeta }^{2}}({{u}_{1}} - 2{{{v}}_{1}}) + \frac{1}{2}{{c}_{1}}{{c}_{2}}(3c - 7){{\zeta }^{3}}; \\ \end{gathered} $(3.69)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \frac{3}{2}c{{c}_{2}}\zeta ({v}_{1}^{2}(c + 1) - \\ \, - (u_{1}^{2} + {{u}_{1}}{{{v}}_{1}})(c - 3) + 2{{{v}}_{2}}) + 3c_{2}^{2}{{\zeta }^{2}}(c{{{v}}_{1}} - (2c - 5){{u}_{1}}) + {{c}_{1}}{{\xi }^{2}}({{{v}}_{1}}(c + 1) - 2{{u}_{1}}), \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} + \frac{3}{2}c{{c}_{2}}\zeta (2u_{1}^{2}(c - 2) - \\ \, - 2{{u}_{1}}{{{v}}_{1}} - 2v_{1}^{2} + (3c - 7){{u}_{2}}) + \frac{3}{2}c_{2}^{2}{{\zeta }^{2}}({{{v}}_{1}}(c - 5) + (7c - 15){{u}_{1}}) + {{c}_{1}}{{\xi }^{2}}(2{{u}_{1}}(c - 2) - (c - 3){{{v}}_{1}}); \\ \end{gathered} $(3.70)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = {{u}_{3}} + 3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{{v}}_{2}} - \frac{1}{2}(c + 3){v}_{1}^{3} + 3u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - \frac{3}{2}(c + 1){{u}_{1}}{v}_{1}^{2} - {{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 2}}}(2u_{1}^{2} + (3{v}_{1}^{2} + 4{{u}_{1}}{{{v}}_{1}})(c + 3) - \\ \, - 2{{{v}}_{2}}) + \frac{4}{{27}}(c + 1)c_{2}^{3}{{\varphi }^{{ - 6}}} - \frac{2}{{15}}c_{2}^{2}{{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}}(c + 15) - (3c - 5){{{v}}_{1}}) + \frac{3}{2}{{c}_{1}}\varphi (4{{u}_{1}} - (c - 3){{{v}}_{1}}) - 2c{{c}_{1}}{{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 1}}}, \\ {{{v}}_{t}} = \frac{1}{2}(3c - 7){{{v}}_{3}} + \frac{1}{2}(c - 3)(3({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{u}_{2}} - u_{1}^{3}) - \frac{3}{2}(c - 1)u_{1}^{2}{{{v}}_{1}} - 3{{u}_{1}}{v}_{1}^{2} - \\ \, - {{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 2}}}(2{v}_{1}^{2} - (3u_{1}^{2} + 4{{u}_{1}}{{{v}}_{1}} - {{u}_{2}})(c - 3)) - \frac{4}{{27}}(c - 1)c_{2}^{3}{{\varphi }^{{ - 6}}} + \frac{2}{{15}}c_{2}^{2}{{\varphi }^{{ - 4}}}({{u}_{1}}(3c + 5) - (c - 15){{{v}}_{1}}) + \\ \, + 3{{c}_{1}}\varphi ({{{v}}_{1}}(c - 3) - {{u}_{1}}) + {{c}_{1}}{{c}_{2}}(3c - 5){{\varphi }^{{ - 1}}}; \\ \end{gathered} $4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Системы (3.48)–(3.50) впервые были представлены в [1]. Если в (3.60)–(3.70) положить ${{c}_{1}} = {{c}_{2}} = {{c}_{3}} = 0$, то получим систему (2.4) из [10], которую можно записать в дивергентном виде:
Дополнительные исследования позволили найти несколько дифференциальных подстановок, связывающих (3.48)–(3.50) с другими системами теоремы. Приведенные ниже формулы вида $\{ u{\kern 1pt} ' = f({{{\mathbf{u}}}_{i}}),{v}{\kern 1pt} ' = g({{{\mathbf{v}}}_{j}});({\text{A}}) \to ({\text{B}})\} $ означают, что решение $(u{\kern 1pt} ',{v}{\kern 1pt} ')$ системы $({\text{A}})$ связано с решением $(u,{v})$ системы $({\text{B}})$:
(3.54)
${v}{\kern 1pt} ' = {{{v}}_{1}} - \frac{1}{6}(c + 2){{u}^{2}} + \frac{1}{6}(c + 1)u{v} - \frac{1}{{12}}(c + 3){{{v}}^{2}};$(3.50) →(3.55)
$u{\kern 1pt} ' = u,\quad {v}{\kern 1pt} ' = {{{v}}_{1}} - \frac{1}{2}(c + 3)u - \frac{1}{6}{{{v}}^{2}};$(3.50) →(3.56)
$u{\kern 1pt} ' = u,\quad {v}{\kern 1pt} ' = {{{v}}_{1}} + u - \frac{1}{6}(c + 1){{{v}}^{2}};$(3.50) →(3.57)
$u{\kern 1pt} ' = {{u}_{1}} + \frac{1}{6}(c + 1){{u}^{2}} + {v},\quad {v}{\kern 1pt} ' = {v};$(3.50) →(3.59)
$u{\kern 1pt} ' = {{u}_{1}} - \frac{1}{{12}}(c + 3){{u}^{2}} + \frac{1}{2}(c - 3){v},\quad {v}{\kern 1pt} ' = {v};$(3.50) →(3.64)
$\begin{gathered} {v}{\kern 1pt} ' = - \frac{3}{4}(c + 1)(2{{{v}}_{2}} + u_{1}^{2} + 2{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}) - \frac{3}{4}(3c + 7){v}_{1}^{2} - \\ \, - 2c{{c}_{2}}\xi (c + 2)({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}) - \frac{2}{3}c_{2}^{2}{{\xi }^{2}}(9c + 20) + {{c}_{1}}(c + 3)\eta ; \\ \end{gathered} $(3.50) →(3.65)
$\begin{gathered} {v}{\kern 1pt} ' = - \frac{3}{4}(c + 1)(2{{{v}}_{2}} + u_{1}^{2} + 2{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}) - \frac{3}{4}(3c + 7){v}_{1}^{2} - \\ \, - 2{{c}_{2}}\xi (2c + 5)({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}) - \left( {{{c}_{1}} + \frac{2}{3}(9c + 20)c_{2}^{2}} \right){{\xi }^{2}}; \\ \end{gathered} $(3.50) →(3.66)
$\begin{gathered} {v}{\kern 1pt} ' = - \frac{3}{4}(c + 1)(2{{{v}}_{2}} + u_{1}^{2} + 2{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}) - \frac{3}{4}(3c + 7){v}_{1}^{2} + \\ \, + {{c}_{2}}(c + 1)({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{\varphi }^{{ - 2}}} - \frac{1}{{15}}c_{2}^{2}(7c + 15){{\varphi }^{{ - 4}}} + \\ \, + 30{{c}_{1}}\zeta {{{v}}_{1}} - 3{{c}_{1}}(3c - 5)(3{{c}_{1}}\zeta + 2{{c}_{2}}{{\varphi }^{{ - 2}}})\zeta ; \\ \end{gathered} $(3.50) →(3.67)
$\begin{gathered} {v}{\kern 1pt} ' = - \frac{3}{4}(c + 1)(2{{v}_{2}} + u_{1}^{2} + 2{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}) - \frac{3}{4}(3c + 7){v}_{1}^{2} + \\ + \;{{c}_{2}}(c + 1)({{u}_{1}} + {{{v}}_{1}}){{\varphi }^{{ - 2}}} - \frac{1}{{15}}c_{2}^{2}(7c + 15){{\varphi }^{{ - 4}}} + {{c}_{1}}(c + 1){{\varphi }^{{ - 4}}}; \\ \end{gathered} $(3.50) →(3.68)
${{c}_{1}} = \frac{1}{2}(c - 5)c_{2}^{2} + \frac{1}{2}(c + 5){{c}_{2}}{{c}_{3}} + (2c + 5)c_{3}^{2}.$(3.50) →Интересен тот факт, что (3.48) и (3.49) допускают подстановку
Автор выражает благодарность А.Г. Мешкову за постановку задачи, предоставление пакета Jet для симметрийного анализа эволюционных уравнений и систем, а также за полезные рекомендации по ходу вычислений.
Список литературы
Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Новые эволюционные уравнения, обладающие $(L,A)$-парой, Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Ин-т математики, 1981. Тр. сем. С.Л. Соболева. Вып. 2. С. 5–9.
Foursov M.V. Towards the complete classification of homogeneous two-component integrable equations // J. Math. Phys. 2003. V. 44. P. 3088–3096.
Wang D.S. Complete integrability and the Miura transformation of a coupled KdV equation // Appl. Math. Lett. 2010. V. 23. P. 665–669.
Wang D.S., Liu J., Zhang Z. Integrability and equivalence relationships of six integrable coupled Korteweg-de Vries equations // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. V. 36. № 12. P. 3516–3530.
Meshkov A.G. Necessary conditions of the integrability // Inverse Problem. 1994. V. 10. № 3. P. 635–653.
Meshkov A.G., Kulemin I.V. To the classification of integrable systems in 1+1. dimensions // Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. Proc. 2nd Int. Conf., Kyiv, Ukraine, July 7–13, 1997. P. 115–121.
Meshkov A.G., Sokolov V.V. Integrable evolution equations on the N-dimensional sphere // Comm. Math. Phys. 2002. V. 232. № 1. P. 1–18.
Балахнев М.Ю. Об одном классе интегрируемых эволюционных векторных уравнений // Теор. и м-атем. физ. 2005. Т. 142. № 1. С. 13–20.
Balakhnev M.Ju., Meshkov A.G. Integrable anisotropic evolution equations on a sphere // SIGMA 1. 2005. 027. 11 pages, nlin.SI/0512032.
Мешков А.Г. К симметрийной классификации эволюционных систем третьего порядка дивергентного вида // Фунд. и прикл. матем. 2006. Т. 12. № 7. С. 141–161.
Meshkov A.G., Balakhnev M.Ju. Two-field integrable evolutionary systems of the third order and their differential substitutions // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2008. V. 4. paper 018. P. 1–29.
Мешков А.Г., Соколов В.В. Интегрируемые эволюционные уравнения с постоянной сепарантой // Уфимск. матем. журн. 2012. Т. 4. № 3. С. 104–154.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики