Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 5, стр. 760-762

О рангах матриц над некоммутативными областями. Ниже под областью всюду понимается кольцо, не обязательно коммутативное, не содержащее нетривиальных делителей нуля; везде далее $R$ обозначает некоторую область.

Определение 1. Пусть A – матрица над R. Строки ${{u}_{1}},{{u}_{2}}, \ldots ,{{u}_{r}}$ матрицы A линейно зависимы над R, если существуют такие не равные одновременно нулю ${{f}_{1}},{{f}_{2}}, \ldots ,{{f}_{r}} \in R$, что ${{f}_{1}}{{u}_{1}} + {{f}_{2}}{{u}_{2}} + \ldots + {{f}_{r}}{{u}_{r}} = 0$, в противном случае эти строки линейно независимы над $R$. Столбцы ${{{v}}_{1}},{{{v}}_{2}}, \ldots ,{{{v}}_{s}}$ матрицы $A$ линейно зависимы над $R$, если существуют такие не равные одновременно нулю ${{g}_{1}},{{g}_{2}}, \ldots ,{{g}_{s}} \in R$, что ${{{v}}_{1}}{{g}_{1}} + {{{v}}_{2}}{{g}_{2}} + \ldots + {{{v}}_{s}}{{g}_{s}} = 0$, в противном случае эти столбцы линейно независимы над $R$.

Наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы $A$ называется рангом по строкам или левым рангом (рангом по столбцам или правым рангом) матрицы $A$.

Определение ранга матрицы над некоторым полем как наибольшего числа ее линейно независимых строк и доказательство того, что это число равно ее наибольшему числу линейно независимых столбцов – это одно из начал классической линейной алгебры. Мы даем пример некоммутативной области, когда эти два ранга не совпадают, и естественно возникает вопрос о характеристике тех областей, над которыми совпадение имеет место. Мы показываем, что интересующие нас области суть те, которые удовлетворяют условиям Оре, т.е. области, в которых для любых ненулевых элементов существуют ненулевые левое и правое общие кратные.

В литературе можно найти различные подходы к определению ранга матрицы над областью. Выбор определения иногда диктуется удобством доказательства некоторой теоремы, что может вести к несовпадению с результатами, полученными при использовании других неэквивалентных определений. И даже для эквивалентных определений доказательство этой эквивалентности может оказаться довольно сложным. Например, в [1] ранг матрицы над кольцом полиномов Оре (см. [2] или [3]) определен как наибольшее число линейно независимых строк. Авторы статьи [1] отмечают, что их определение отличается от данного в [4], разд. 0.6, где ранг матрицы $A$ над $R$ определен как ранг левого модуля $M$, порожденного строками $A$ над $R$. Теорема A.2 в [1] устанавливает, что для матриц над кольцом полиномов Оре одной переменной эти два числа совпадают, но доказательство этой теоремы выглядит очень непростым.

В книге Я.Б. Лопатинского [5] подчеркивается важность концепции ранга для исследования интегральных многообразий систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными, и в этой книге дается доказательство равенства левого и правого рангов именно для дифференциальных операторов, при этом ранг понимается так же, как в определении 1.

В [1] дается доказательство равенства рангов для матриц над кольцом (некоммутативных) полиномов Оре, оснащенном автоморфизмом $\sigma $ и отображением на себя $\delta $, являющимся дифференцированием по отношению к $\sigma $ (см., например, [2] или [3]). Абстракция таких полиномов одной переменной не покрывает, например, дифференциальных операторов с частными производными. Рассмотренные в [1] кольца таких полиномов одной переменной над коммутативными полями коэффициентов являются евклидовыми и соответствуют очень специальному случаю.

В нашем доказательстве мы исходим из более общего предположения – считаем, что область $R$ удовлетворяет условиям Оре. Эти условия выполняются для полиномов Оре многих переменных (в частности, для дифференциальных операторов с частными производными), что доказано в [6].

Не очевидно, что предложенная в [7] теория левых и правых определителей позволяет получить короткое доказательство левого и правого рангов матрицы $A$ над $R$ в смысле определения 1, хотя и позволяет установить, что строки $A$ линейно зависимы если и только если линейно зависимы ее столбцы.

Представляется, что в доступной литературе отсутствует полное доказательство равенства рангов (в смысле определения 1) по строкам и столбцам для матриц над удовлетворяющей условиям Оре областью $R$.

В нашей статье доказано, что рассмотрение вместе с областью $R$ ее тела (т.е. поля, возможно, некоммутативного) частных, скажем, тела $F$ “дробей” вида ${{p}^{{ - 1}}}q$, $p,q \in R$, $p \ne 0$, дает совпадение левого и правого рангов над $F$ с левым и правым рангами над $R$. Естественно, что вычисление ранга над полем, пусть и некоммутативным, удобнее, чем над областью. Мы показываем, что если имеется алгоритм вычисления ненулевого левого общего кратного произвольных ненулевых элементов области, то с помощью гауссовых исключений возможно вычисление ранга заданной матрицы. Вычисление над телом $F$ мы проводим без дробей. В компьютерно-алгебраической среде Maple выполнена реализация этого подхода, она ориентирована на матрицы с элементами, являющимися линейными дифференциальными, разностными и $q$-разностными операторами с частными производными, сдвигами или $q$-сдвигами. Предлагается команда

OreAlgebraGaussianElimination,

доступная в

http://www.ccas.ru/ca/orealgebragaussianelimination.

Даются иллюстративные примеры.

Предварительная версия статьи опубликована в докладах конференции ISSAC’22 [8], где вместо условий Оре рассмотрены другие условия: для любого положительного целого $n$ как строки произвольной матрицы из ${{R}^{{(n + 1) \times n}}}$, так и столбцы произвольной матрицы из ${{R}^{{(n + 1) \times n}}}$ линейно зависимы над $R$. В полной статье этот результат усилен: достаточно рассмотреть единственное значение $n = 1$.

Авторы признательны А.Э. Гутерману, А.И. Зобнину, Дж. Лабану, В. Левандовскому, А.А. Ми-халеву, А.В. Михалеву, Ф. Шизаку за полезные советы.