Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 6, стр. 987-999
Об отсутствии слабых решений нелинейных неотрицательных параболических неравенств высокого порядка с нелокальным источником
1 РУДН
117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, Россия
* E-mail: mihretesme@gmail.com
Поступила в редакцию 15.11.2021
После доработки 19.02.2023
Принята к публикации 02.03.2023
- EDN: TQSKVV
- DOI: 10.31857/S0044466923060029
Аннотация
Доказывается отсутствие решений полулинейных параболических неравенств и систем высокого порядка с сингулярным потенциалом и нелокальными источниками. Доказательства основаны на методе пробных функций, разработанном Э. Митидиери и С.И. Похожаевым. Библ. 13.
Ключевые слова: сингулярный потенциал, нелокальный источник, метод пробных функций.
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия большое внимание уделялось проблеме нахождения необходимых условий разрешимости уравнений и неравенств различных типов в частных производных. Многие авторы исследовали проблему условий локальной и глобальной разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений, неравенcтв и их систем. Сейчас исследователи интересуются оценкой условий существования и поведения решений для различных классов уравнений и неравенств в частных производных в соответствующих функциональных пространствах. Например, большое значение придается проблеме существования и разрушения решений параболических уравнений и неравенств в частных производных с сингулярными коэффициентами или начальными данными в соответствующих функциональных классах.
Получено много пионерских результатов об отсутствии локальных и глобальных решений задач Коши для дифференциальных уравнений или неравенств параболического типа без потенциального члена (см. [1–6] (эллиптические или параболические уравнения без сингулярных переменных коэффициентов) и ссылки там). Исследования локальной разрешимости квазилинейных параболических уравнений и неравенств с потенциальными членами можно найти в [7–10]. Что касается нелокальных задач, в [11] рассмотрены некоторые вырожденные параболические неравенства с локальными и нелокальными нелинейностями, причем было доказано отсутствие глобальных нетривиальных решений методом пробных функций. Позднее в [12] было доказано отсутствие глобального слабого решения для однородных квазилинейных параболических неравенств при наличии сингулярного потенциала и нелокального источника. Однако условия отсутствия решений при наличии потенциала и весового источника не рассматривались для полулинейных параболических неравенств и систем высокого порядка.
В настоящей работе мы обобщаем результаты [12] на параболические неравенства и системы высокого порядка, модифицируя условия на источник, и получаем условия отсутствия решений при наличии сингулярного потенциала и нелокального весового источника. Мы используем метод пробных функций (см. [1], [2], [4], [13]), чтобы определить влияние сингулярного потенциала, весовой функции и нелокального источника на отсутствие неотрицательного нетривиального глобального слабого решения.
В разд. 2 мы доказываем отсутствие решений для рассматриваемого неравенства, а в разд. 3 – для системы таких неравенств.
2. СИНГУЛЯРНОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО
Рассмотрим неравенство вида
(2.1)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\partial u{\text{/}}\partial t \geqslant {{\Delta }^{k}}u - V(x){{u}^{q}} + {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r},\quad {\kern 1pt} x \in {{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty ),} \\ {u(x,t) \geqslant 0,\quad {\kern 1pt} x \in {{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty ),{\kern 1pt} } \\ {u(x,0) = {{u}_{0}}(x),\quad {\kern 1pt} x \in {{\mathbb{R}}^{N}},{\kern 1pt} } \end{array}$(2.2)
$k \in \mathbb{N},\quad \min \{ q,s,r,\alpha \} > 0,\quad {\kern 1pt} q(s + r) > q + r{\kern 1pt} s > q,$Определение 1. Неотрицательная функция $u(x,t)$ называется слабым решением нелинейного неравенства (2.1), если $u(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty ))$ такова, что $V(x){{u}^{q}},{{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r} \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty ))$, и соотношение
(2.3)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant - \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} \left( {u\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} + u{{\Delta }^{k}}\varphi } \right){\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} V(x){{u}^{q}}\varphi {\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt$Теорема 1. Пусть выполняются условия $(2.2)$. Если $\alpha > lr{\text{/}}q$ и предположим, что
то задача (2.1) не имеет нетривиального глобального слабого решения.Доказательство. Пусть $u(x,t)$ – слабое решение неравенства (2.1), а $\varphi $ – неотрицательная пробная функция. Тогда по определению слабого решения имеем
(2.5)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0){\kern 1pt} dx \leqslant \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} V(x){{u}^{q}}\varphi {\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt.$Теперь оценим правую часть неравенства (2.5). Применяя неравенство Гёльдера к первому слагаемому в правой части (2.5), получим
(2.6)
$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|dx \leqslant {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta (x){{u}^{q}}\varphi dx} \right)}^{{r/(q{{\lambda }_{1}})}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{2}}}}}.$Вновь применяя неравенства Гёльдера и Юнга, имеем
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} u\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt \leqslant \int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} \beta (x){{u}^{q}}\varphi dx} \right)}^{{r/(q{{\lambda }_{1}})}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{2}}}}}dt \leqslant $
(2.7)
$ \leqslant {{\left( {\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_0^\infty {{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt} \right)}^{{1/\lambda _{1}^{'}}}} \leqslant $
$ \leqslant \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt + {{C}_{1}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt,$
где
${{\lambda }_{1}} = s + r > 1,\quad {{\lambda }_{2}} = \frac{{q(s + r)}}{{q(s + r) - (q + r)}} > 1,\quad \frac{1}{{\lambda _{1}^{'}}} = 1 - \frac{1}{{{{\lambda }_{1}}}}.$
Используя рассуждения, аналогичные рассмотрению первого члена в (2.5), ко второму и третьему членам, получим
(2.8)
$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u{\text{|}}{{\Delta }^{k}}\varphi {\text{|}}dx \leqslant {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta (x){{u}^{q}}\varphi dx} \right)}^{{r/(q{{\lambda }_{1}})}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{2}}}}}.$Вновь применяя неравенства Гёльдера и Юнга, имеем
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} u\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|dx{\kern 1pt} dt \leqslant \int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta (x){{u}^{q}}\varphi dx} \right)}^{{r/q{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{2}}}}}dt \leqslant $
(2.9)
$ \leqslant {{\left( {\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_0^\infty {{{\left( {{\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt} \right)}^{{1/\lambda _{1}^{'}}}} \leqslant $
$ \leqslant \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt + {{C}_{2}}\int\limits_0^\infty {{\left( {{\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt,$
где
${{\lambda }_{1}} = s + r > 1,\quad {{\lambda }_{2}} = \frac{{q(s + r)}}{{q(s + r) - (q + r)}} > 1,\quad \frac{1}{{\lambda _{1}^{'}}} = 1 - \frac{1}{{{{\lambda }_{1}}}}.$
Аналогично третий член в правой части (2.5) становится
(2.10)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} V(x){{u}^{q}}\varphi dx \leqslant \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + {{C}_{3}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{4}}}}{{q{{\lambda }_{3}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - \sigma - \frac{\alpha }{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}dt,$
${{\lambda }_{3}} = \frac{{s + r}}{q} > 1,\quad {{\lambda }_{4}} = \frac{{s + r}}{{s - q}} > 1,\quad \frac{1}{{\lambda _{3}^{'}}} = 1 - \frac{1}{{{{\lambda }_{3}}}}.$
Тогда из (2.5)–(2.10) следует
(2.11)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\Re }^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant 4{{C}_{1}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt + \\ + \;4{{C}_{2}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt + 4{{C}_{3}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{4}}}}{{q{{\lambda }_{3}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - \sigma - \frac{\alpha }{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}dt. \\ \end{gathered} $Теперь положим $R > 0$ и введем пробные функции видa $\varphi (x,t) = {{\varphi }_{R}}(x,t) = {{\varphi }_{0}}\left( {t{\text{/}}{{R}^{\theta }}} \right){{\varphi }_{0}}\left( {{{{\left| x \right|}}^{2}}{\text{/}}{{R}^{2}}} \right)$ с $\theta \geqslant 1$ . Здесь ${{\varphi }_{0}}$ – функция класса $C_{0}^{\infty }(\mathbb{R};{{\mathbb{R}}_{ + }})$ такая, что
(2.12)
${{\varphi }_{0}}(s) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,\quad 0 \leqslant s \leqslant 1,} \\ {0,\quad s \geqslant 2.} \end{array}} \right.$Далее оценим правую часть (2.11). Рассмотрим замену переменных вида $x = R\xi ,t = {{R}^{\theta }}\tau $, тогда
(2.13)
$\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt = {{R}^{{{{\gamma }_{1}}}}}\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \tau }}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau ,$(2.14)
$\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt = {{R}^{{{{\gamma }_{2}}}}}\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau ,$(2.15)
$\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{4}}}}{{q{{\lambda }_{3}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - \sigma - \frac{\alpha }{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}dt = {{R}^{{{{\gamma }_{3}}}}}\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\left( { - \sigma - \frac{\alpha }{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}} + \frac{{rl{{\lambda }_{4}}}}{{q{{\lambda }_{3}}}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}d\tau ,$Тогда из (2.11)–(2.15) получим
(2.16)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant 4{{C}_{1}}{{R}^{{{{\gamma }_{1}}}}}\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \tau }}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau + \\ + \;4{{C}_{2}}{{R}^{{{{\gamma }_{2}}}}}\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau + 4{{C}_{3}}{{R}^{{{{\gamma }_{3}}}}}\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\left( { - \sigma - \frac{\alpha }{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}} + \frac{{rl{{\lambda }_{4}}}}{{q{{\lambda }_{3}}}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}d\tau . \\ \end{gathered} $Теперь выберем ${{\varphi }_{0}}$ так, что
$\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \tau }}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau < \infty ,$
$\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau < \infty ,$
$\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\left( { - \sigma - \frac{\alpha }{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}} + \frac{{rl{{\lambda }_{4}}}}{{q{{\lambda }_{3}}}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}d\tau < \infty .$
Тогда из неравенства (2.16) следует, что
(2.17)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant \sum\limits_{i = 1}^3 \,C_{i}^{ \star }{{R}^{{{{\gamma }_{i}}}}}$Затем мы выбираем $\theta $ так, что
(2.18)
$\begin{gathered} \theta + \left( {N - \theta {{\lambda }_{2}} + \frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}} \right)\frac{{\lambda _{1}^{'}}}{{{{\lambda }_{2}}}} = \theta + \left( {N - 2k{{\lambda }_{2}} + \frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}} \right)\frac{{\lambda _{1}^{'}}}{{{{\lambda }_{2}}}} = \\ = \theta + \left[ {N - \left( {\sigma + \frac{\alpha }{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}} + \frac{{rl{{\lambda }_{4}}}}{{q{{\lambda }_{3}}}}} \right]\frac{{\lambda _{3}^{'}}}{{{{\lambda }_{4}}}}. \\ \end{gathered} $(2.19)
$\gamma = \frac{1}{{s + r - q}}\left[ {\left( {\frac{{r(q - 1) + q(s - q)}}{q}} \right)N + \left( {\frac{{rl}}{q} - \alpha } \right) - \sigma } \right].$Случай 1: $\gamma < 0$.
Очевидно, что правая часть (2.17) стремится к нулю, если $R \to \infty $. Таким образом, утверждение теоремы 1 доказано для $\gamma < 0$.
Случай 2: $\gamma = 0$.
В этом случае из (2.13)–(2.15) имеем
(2.20)
$\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt = {{c}_{1}},$(2.21)
$\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt = {{c}_{2}},$(2.22)
$\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{4}}}}{{q{{\lambda }_{3}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - \sigma - \frac{\alpha }{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}dt = {{c}_{3}},$
${{c}_{1}} = \left\{ \begin{gathered} \int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \tau }}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau ,\quad {\text{если}}\quad \gamma = {{\gamma }_{1}} = 0, \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad {{\gamma }_{1}} < 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
${{c}_{2}} = \left\{ \begin{gathered} \int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{rl{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{\alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau ,\quad {\text{если}}\quad \gamma = {{\gamma }_{2}} = 0, \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad {{\gamma }_{2}} < 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
${{c}_{3}} = \left\{ \begin{gathered} \int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\left( { - \sigma - \frac{\alpha }{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}} + \frac{{rl{{\lambda }_{4}}}}{{q{{\lambda }_{3}}}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}d\tau ,\quad {\text{если}}\quad \gamma = {{\gamma }_{3}} = 0, \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad {{\gamma }_{3}} < 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Тогда соотношение (2.17) принимает вид
(2.23)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant c.$(2.24)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt \leqslant c.$Теперь вернемся к неравенству (2.5). Применяя неравенство Гёльдера, из соотношения (2.5) получим
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {{{\Delta }^{k}}\varphi } \right|dx{\kern 1pt} dt + $
(2.25)
$ + \;\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} V(x){{u}^{q}}\varphi {\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt \leqslant c_{1}^{{1/\lambda _{1}^{'}}}{{\left( {\int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} {\kern 1pt} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}} + $
$ + \;c_{2}^{{1/\lambda _{1}^{'}}}{{\left( {\int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} {\kern 1pt} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}} + c_{3}^{{1/\lambda _{3}^{'}}}{{\left( {\int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} {\kern 1pt} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{{\left| x \right|}}^{\alpha }}{{u}^{s}}\varphi \left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt} \right)}^{{1/{{\lambda }_{3}}}}}.$
Однако в силу (2.24) и абсолютной сходимости интеграла имеем
(2.26)
$\int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} {\kern 1pt} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt \to 0$
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{\alpha }}{{u}^{s}}\left\| {{{\beta }^{{1/q}}}(x)u} \right\|_{q}^{r}dxdt = 0.$
Таким образом, $u = 0$ п.в. и в этом случае. Это завершает доказательство теоремы 1.
3. СИСТЕМЫ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Рассмотрим систему параболических неравенств вида
(3.1)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\partial u{\text{/}}\partial t \geqslant {{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}u - {{V}_{1}}(x){{v}^{{{{q}_{1}}}}} + {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}},\quad x \in {{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty ){\kern 1pt} ,} \\ {\partial v{\text{/}}\partial t \geqslant {{\Delta }^{{{{k}_{2}}}}}v - {{V}_{2}}(x){{u}^{{{{q}_{2}}}}} + {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{v}^{{{{s}_{2}}}}}\left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x)v} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}},\quad x \in {{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty ),} \\ {u(x,t) \geqslant 0,\quad v(x,t) \geqslant 0,\quad x \in {{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty ),} \\ {u(x,0) = {{u}_{0}}(x),\quad v(x,0) = {{v}_{0}}(x),\quad x \in {{\mathbb{R}}^{N}},} \end{array}$(3.2)
$\begin{gathered} {{k}_{1}},{{k}_{2}} \in \mathbb{N},\quad \min \{ {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{s}_{1}},{{s}_{2}}{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{r}_{1}},{{r}_{2}}\} > 0,\quad {{q}_{2}}({{r}_{1}} + {{s}_{1}}) > ({{q}_{2}} + {{r}_{1}}), \\ {{s}_{2}} > {{q}_{1}},\quad {{q}_{1}}({{r}_{2}} + {{s}_{2}}) > ({{q}_{1}} + {{r}_{2}}),\quad {{s}_{1}} > {{q}_{2}},\quad {{\beta }_{1}}(x) \geqslant c{{\left| x \right|}^{{ - {{l}_{1}}}}},\quad {{\beta }_{2}}(x) \geqslant c{{\left| x \right|}^{{ - {{l}_{2}}}}}, \\ x \in {{\mathbb{R}}^{N}}{{\backslash }}\{ 0\} ,{\kern 1pt} \quad {{V}_{1}}(x) \sim {{\left| x \right|}^{{ - {{\sigma }_{1}}}}},\quad {{V}_{2}}(x) \sim {{\left| x \right|}^{{ - {{\sigma }_{2}}}}} \\ \end{gathered} $Определение 2. Пара неотрицательных функций $\left( {u(x,t),{v}(x,t)} \right)$ называется слабым решением системы нелинейных неравенств (3.1), если $u(x,t),$ $v(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty ))$ таковы, что ${{V}_{1}}(x){{{v}}^{{{{q}_{1}}}}},$ ${{V}_{2}}(x){{u}^{{{{q}_{2}}}}},$ ${{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}},$ ${{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}} \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty ))$ и соотношения
(3.3)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant \\ \leqslant - \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} \left( {u\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} + u{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right)dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{V}_{1}}(x){{v}^{{{{q}_{1}}}}}\varphi dxdt, \\ \end{gathered} $(3.4)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{v}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}dxdt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{v}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant \\ \leqslant - \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} \left( {v\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} + v{{\Delta }^{{{{k}_{2}}}}}\varphi } \right)dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{V}_{2}}(x){{u}^{{{{q}_{2}}}}}\varphi dxdt \\ \end{gathered} $Теорема 2. Пусть условия (3.2), ${{\alpha }_{1}} > {{l}_{1}}{{r}_{1}}{\text{/}}{{q}_{2}}$ и ${{\alpha }_{2}} > {{l}_{2}}{{r}_{2}}{\text{/}}{{q}_{1}}$ выполняются. Предположим, что $\gamma \;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;\mathop {\max }\limits_{i = 1, \ldots ,6} {{\gamma }_{i}} \leqslant 0$, где
$\begin{gathered} {{\gamma }_{1}} = \frac{{\left[ {{{q}_{2}}({{r}_{1}} + {{s}_{1}}) - ({{q}_{2}} + {{r}_{1}})} \right]N - {{q}_{2}}\theta + {{l}_{1}}{{r}_{1}} - {{\alpha }_{1}}{{q}_{2}}}}{{{{q}_{2}}({{r}_{1}} + {{s}_{1}} - 1)}}, \\ {{\gamma }_{2}} = \frac{{(N + \theta - 2{{k}_{1}}){{q}_{2}}{{s}_{1}} + (N + \theta - 2{{k}_{1}}){{q}_{2}}{{r}_{1}} + ({{l}_{1}} - N){{r}_{1}} - ({{\alpha }_{1}} + N){{q}_{2}} - \theta }}{{{{q}_{2}}({{r}_{1}} + {{s}_{1}} - 1)}}, \\ \end{gathered} $
(3.5)
$\begin{gathered} {{\gamma }_{3}} = \frac{{(N + \theta - {{\sigma }_{2}}){{s}_{1}} + (\theta + {{l}_{1}} - {{\sigma }_{2}}){{r}_{1}} - (\theta - {{\alpha }_{1}}){{q}_{2}}}}{{{{r}_{1}} + {{s}_{1}} - {{q}_{2}}}}, \\ {{\gamma }_{4}} = \frac{{\left[ {{{q}_{1}}({{r}_{2}} + {{s}_{2}}) - ({{q}_{1}} + {{r}_{2}})} \right]N - {{q}_{1}}\theta + {{l}_{2}}{{r}_{2}} - {{\alpha }_{2}}{{q}_{1}}}}{{{{q}_{1}}({{r}_{2}} + {{s}_{2}} - 1)}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\gamma }_{5}} = \frac{{(N + \theta - 2{{k}_{2}}){{q}_{1}}{{s}_{2}} + (N + \theta - 2{{k}_{2}}){{q}_{1}}{{r}_{2}} + ({{l}_{2}} - N){{r}_{2}} - ({{\alpha }_{2}} + N){{q}_{1}} - \theta }}{{{{q}_{1}}({{r}_{2}} + {{s}_{2}} - 1)}}, \\ {{\gamma }_{6}} = \frac{{(N + \theta - {{\sigma }_{1}}){{s}_{2}} + (\theta + {{l}_{2}} - {{\sigma }_{1}}){{r}_{2}} - (\theta - {{\alpha }_{2}}){{q}_{1}}}}{{{{r}_{2}} + {{s}_{2}} - {{q}_{1}}}} \\ \end{gathered} $
с некоторым параметром $\theta \geqslant 1$. Тогда задача (3.1) не имеет нетривиального глобального слабого р-ешения.
Доказательство. Пусть пара функций $(u,v)$ – слабое решение системы неравенств (3.1), а $\varphi $ ‒ неотрицательная гладкая пробная функция, тогда по определению слабого решения известно, что
(3.6)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant \\ \leqslant \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right|dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{V}_{1}}(x){{{v}}^{{{{q}_{1}}}}}\varphi dxdt, \\ \end{gathered} $(3.7)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi {\text{||}}\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}{\text{||}}_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant \\ \leqslant \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {v}\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {v}\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{2}}}}}\varphi } \right|dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{V}_{2}}(x){{u}^{{{{q}_{2}}}}}\varphi {\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt. \\ \end{gathered} $Теперь оценим правую часть неравенства (3.6). Применяя неравенство Гёльдера к первому слагаемому в правой части (3.6), получим
(3.8)
$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|dx \leqslant {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }_{1}}(x){{u}^{{{{q}_{2}}}}}dx} \right)}^{{{{r}_{1}}/({{q}_{2}}{{\lambda }_{1}})}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{2}}}}}.$
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} u\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt \leqslant \int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }_{1}}(x){{u}^{{{{q}_{2}}}}}dx} \right)}^{{{{r}_{1}}/({{q}_{2}}{{\lambda }_{1}})}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{2}}}}}dt \leqslant $
(3.9)
$ \leqslant {{\left( {\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_0^\infty {{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt} \right)}^{{1/\lambda _{1}^{'}}}} \leqslant $
$ \leqslant \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + {{C}_{1}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - r{{\lambda }_{2}}}}{{q{{\lambda }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt,$
где
${{\lambda }_{1}} = {{s}_{1}} + {{r}_{1}} > 1,\quad {{\lambda }_{2}} = \frac{{{{q}_{2}}({{s}_{1}} + {{r}_{1}})}}{{{{q}_{2}}({{s}_{1}} + {{r}_{1}}) - ({{q}_{2}} + {{r}_{1}})}} > 1,\quad \frac{1}{{\lambda _{1}^{'}}} = 1 - \frac{1}{{{{\lambda }_{1}}}}.$
Применяя аналогичные рассуждения ко второму и третьему слагаемым (3.6), получим
(3.10)
$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left\| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right\|dx \leqslant {{\left( {{\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}}{{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }_{1}}(x){{u}^{{{{q}_{2}}}}}dx} \right)}^{{{{r}_{1}}/({{q}_{2}}{{\lambda }_{1}})}}}{{\left( {{\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{1/{{\lambda }_{2}}}}}.$Снова применяя неравенства Гёльдера и Юнга в (3.10), придем к
(3.11)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right|dxdt \leqslant \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + {{C}_{2}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt$(3.12)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{V}_{1}}(x){{{v}}^{{{{q}_{1}}}}}\varphi dxdt \leqslant \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{v}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}dxdt + {{C}_{3}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{\beta }^{{\frac{{ - {{r}_{2}}{{\mu }_{2}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{1}}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - {{\sigma }_{1}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{\mu }_{1}}}}} \right){{\mu }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\mu }_{2}}}}{{\mu _{1}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\mu _{1}^{'}/{{\mu }_{2}}}}}dt,$
${{\mu }_{1}} = \frac{{{{s}_{2}} + {{r}_{2}}}}{{{{q}_{1}}}} > 1,\quad {{\mu }_{2}} = \frac{{{{r}_{2}} + {{s}_{2}}}}{{{{s}_{2}} - {{q}_{1}}}} > 1,\quad \frac{1}{{\mu _{1}^{'}}} = 1 - \frac{1}{{{{\mu }_{1}}}}.$
Комбинируя соотношения (3.6) и (3.9)–(3.12), получим
$\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx - \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{v}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x)v} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt \leqslant $
(3.13)
$ \leqslant {{C}_{1}}{\kern 1pt} \int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt + {{C}_{2}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt + $
$ + \;{{C}_{3}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} \beta _{2}^{{\frac{{ - {{r}_{2}}{{\mu }_{2}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - {{\sigma }_{1}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{\mu }_{1}}}}} \right){{\mu }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\mu }_{2}}}}{{\mu _{1}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\mu _{1}^{'}/{{\mu }_{2}}}}}dt.$
Аналогично, применяя такие же рассуждения, как в (3.6), получим следующие три оценки слагаемых правой части соотношения (3.7):
(3.14)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {v}\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt \leqslant \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}dxdt + {{C}_{4}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{2}^{{\frac{{ - {{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}dx} \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}dt,$
${{\mu }_{3}} = {{s}_{2}} + {{r}_{2}} > 1,\quad {{\mu }_{4}} = \frac{{{{q}_{1}}({{s}_{2}} + {{r}_{2}})}}{{{{q}_{1}}({{s}_{2}} + {{r}_{2}}) - ({{q}_{1}} + {{r}_{2}})}} > 1,\quad \frac{1}{{\mu _{3}^{'}}} = 1 - \frac{1}{{{{\mu }_{3}}}},$
(3.15)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} v{\text{|}}{{\Delta }^{{{{k}_{2}}}}}\varphi {\text{|}}dxdt \leqslant \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{v}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x)v} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}dxdt + {{C}_{5}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{2}^{{\frac{{ - {{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{2}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}dx} \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}dt,$(3.16)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{V}_{2}}(x){{u}^{{{{q}_{2}}}}}\varphi dxdt \leqslant \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + {{C}_{6}}\int\limits_0^\infty {{\left( {{\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{4}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{3}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - {{\sigma }_{2}} - \frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}dt,$
${{\lambda }_{3}} = \frac{{{{s}_{1}} + {{r}_{1}}}}{{{{q}_{2}}}} > 1,\quad {{\lambda }_{4}} = \frac{{{{r}_{1}} + {{s}_{1}}}}{{{{s}_{1}} - {{q}_{2}}}} > 1,\quad \frac{1}{{\lambda _{3}^{'}}} = 1 - \frac{1}{{{{\lambda }_{3}}}}.$
Комбинируя соотношения (3.7) и (3.14)–(3.16), получим
$\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{v}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x)v} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{v}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx - \frac{1}{4}\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt \leqslant $
(3.17)
$ \leqslant {{C}_{4}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{2}^{{\frac{{ - {{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}dx} \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}dt + {{C}_{5}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{2}^{{\frac{{ - {{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{2}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}dx} \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}dt + $
$ + \;{{C}_{6}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{4}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{3}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - {{\sigma }_{2}} - \frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}dt.$
Складывая (3.13) с (3.17) и упрощая, будем иметь
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx + \\ \, + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant 4{{C}_{1}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - \alpha {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt + \\ \end{gathered} $
(3.18)
$ + \;4{{C}_{2}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}dt + 4{{C}_{3}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} \beta _{1}^{{\frac{{ - {{r}_{1}}{{\lambda }_{4}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{3}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - {{\sigma }_{2}} - \frac{{ - {{\alpha }_{1}}}}{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}dt + $
$\begin{gathered} \, + 4{{C}_{4}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{2}^{{\frac{{ - {{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{{{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}dx} \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}dt + \\ + \;4{{C}_{5}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{2}^{{\frac{{ - {{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\frac{{ - {{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{2}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}dx} \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}dt + 4{{C}_{6}}\int\limits_0^\infty {{\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} \beta _{2}^{{\frac{{ - {{r}_{2}}{{\mu }_{2}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{1}}}}}}(x){{{\left| x \right|}}^{{\left( { - {{\sigma }_{1}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{\mu }_{1}}}}} \right){{\mu }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\mu }_{2}}}}{{\mu _{1}^{'}}}}}}dx} \right)}^{{\mu _{1}^{'}/{{\mu }_{2}}}}}dt. \\ \end{gathered} $
Затем, в силу (2.12) и замены переменных $x = R\xi ,t = {{R}^{\theta }}\tau $ на (3.18), имеем
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{v}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x)v} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}dxdt + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{v}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx + \\ \, + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{v}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant 4{{C}_{1}}{{R}^{{{{\gamma }_{1}}}}}\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{1}}{{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \tau }}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau + \\ \end{gathered} $
(3.19)
$ + \;4{{C}_{2}}{{R}^{{{{\gamma }_{2}}}}}\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{1}}{{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau + 4{{C}_{3}}{{R}^{{{{\gamma }_{3}}}}}\mathop \smallint \limits_1^2 {{\left( {\mathop \smallint \limits_{1 \leqslant \left| \xi \right| \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{1}}{{r}_{1}}{{\lambda }_{4}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{3}}}} - \left( {{{\sigma }_{2}} + \frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}d\tau + $
$ + \;4{{C}_{4}}{{R}^{{{{\gamma }_{4}}}}}\mathop \smallint \limits_1^2 {{\left( {\mathop \smallint \limits_{1 \leqslant \left| \xi \right| \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{2}}{{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \tau }}} \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{u}_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}d\tau + 4{{C}_{5}}{{R}^{{{{\gamma }_{5}}}}}\mathop \smallint \limits_1^2 {{\left( {\mathop \smallint \limits_{1 \leqslant \left| \xi \right| \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{2}}{{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {{{{{\Delta }}}^{{{{k}_{2}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}d\tau + $$ + \;4{{C}_{6}}{{R}^{{{{\gamma }_{6}}}}}\mathop \smallint \limits_1^2 {{\left( {\mathop \smallint \limits_{1 \leqslant \left| \xi \right| \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{2}}{{r}_{2}}{{\mu }_{2}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{1}}}} + \left( { - {{\sigma }_{1}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{\mu }_{1}}}}} \right){{\mu }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\mu }_{2}}}}{{\mu _{1}^{'}}}}}}d\xi } \right)}^{{\mu _{1}^{'}/{{\mu }_{2}}}}}d\tau .$
Выберем $\varphi $ так, что
$\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{1}}{{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \tau }}} \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau < \infty ,$
$\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{1}}{{r}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\lambda }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{1}^{'}/{{\lambda }_{2}}}}}d\tau < \infty ,$
$\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{1}}{{r}_{1}}{{\lambda }_{4}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{3}}}} - \left( {{{\sigma }_{2}} + \frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\lambda }_{4}}}}{{\lambda _{3}^{'}}}}}}d\xi } \right)}^{{\lambda _{3}^{'}/{{\lambda }_{4}}}}}d\tau < \infty ,$
$\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{2}}{{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \tau }}} \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}d\tau < \infty ,$
$\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{2}}{{r}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}{{{\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{2}}}}}\varphi } \right|}}^{{{{\mu }_{4}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{ - {{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}}}}d\xi } \right)}^{{\mu _{3}^{'}/{{\mu }_{4}}}}}d\tau < \infty ,$
$\int\limits_1^2 {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant |\xi | \leqslant \sqrt 2 } {{{\left| \xi \right|}}^{{\frac{{{{l}_{2}}{{r}_{2}}{{\mu }_{2}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{1}}}} + \left( { - {{\sigma }_{1}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{\mu }_{1}}}}} \right){{\mu }_{2}}}}}{{\varphi }^{{\frac{{{{\mu }_{2}}}}{{\mu _{1}^{'}}}}}}d\xi } \right)}^{{\mu _{1}^{'}/{{\mu }_{2}}}}}d\tau < \infty .$
Тогда из неравенства (3.19) следует, что
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}dxdt + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx + $
(3.20)
$\begin{gathered} \, + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant C_{1}^{ \star }{{R}^{{\theta + \left( {N - \theta {{\lambda }_{2}} + \frac{{{{r}_{1}}{{l}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}} \right)\frac{{\lambda _{1}^{'}}}{{{{\lambda }_{2}}}}}}} + C_{2}^{ \star }{{R}^{{\theta + \left( {N - 2{{k}_{1}}{{\lambda }_{2}} + \frac{{{{r}_{1}}{{l}_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{1}}}} - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}}}} \right)\frac{{\lambda _{1}^{'}}}{{{{\lambda }_{2}}}}}}} + \\ + \;C_{3}^{ \star }{{R}^{{\theta + \left( {N - \left( {{{\sigma }_{2}} + \frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{{{\lambda }_{3}}}}} \right){{\lambda }_{4}} + \frac{{{{r}_{1}}{{l}_{1}}{{\lambda }_{4}}}}{{{{q}_{2}}{{\lambda }_{3}}}}} \right)\frac{{\lambda _{3}^{'}}}{{{{\lambda }_{4}}}}}}} + C_{4}^{ \star }{{R}^{{\theta + \left( {N - \theta {{\mu }_{4}} + \frac{{{{r}_{2}}{{l}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}} \right)\frac{{\mu _{3}^{'}}}{{{{\mu }_{4}}}}}}} + C_{5}^{ \star }{{R}^{{\theta + \left( {N - 2{{k}_{2}}{{\mu }_{4}} + \frac{{{{r}_{2}}{{l}_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{3}}}} - \frac{{{{\alpha }_{2}}{{\mu }_{4}}}}{{{{\mu }_{3}}}}} \right)\frac{{\mu _{3}^{'}}}{{{{\mu }_{4}}}}}}} + \\ \end{gathered} $
$ + \;C_{6}^{ \star }{{R}^{{\theta + \left( {N - \left( {{{\sigma }_{1}} + \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{\mu }_{1}}}}} \right){{\mu }_{2}} + \frac{{{{r}_{2}}{{l}_{2}}{{\mu }_{2}}}}{{{{q}_{1}}{{\mu }_{1}}}}} \right)\frac{{\mu _{1}^{'}}}{{{{\mu }_{2}}}}}}} \leqslant \sum\limits_{i = 1}^6 \,C_{i}^{ \star }{{R}^{{{{\gamma }_{i}}}}}$
с некоторыми $C_{i}^{ \star } > 0,$ $i = 1,...,6$. Если выполнено любое из неравенств (3.3), т.е. если $\gamma = \mathop {\max }\limits_{i = 1, \ldots ,6} {{\gamma }_{i}} \leqslant 0$, имеем два случая.
Случай 1: $\gamma < 0$.
Переходя к пределу при $R \to \infty $ в (3.20), получим
(3.21)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt \to 0.$Случай 2: $\gamma = 0$.
Тогда соотношение (3.20) принимает вид
(3.22)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{v}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}dxdt + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx + \\ \, + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx + 4\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant c. \\ \end{gathered} $(3.23)
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt \leqslant c.$(3.24)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{u}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} u\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{1}}}}}\varphi } \right|dxdt + \\ + \;\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{V}_{1}}(x){{{v}}^{{{{q}_{1}}}}}\varphi dxdt \leqslant \left( {c_{1}^{{1/\lambda _{1}^{'}}} + c_{2}^{{1/\lambda _{1}^{'}}}} \right){{\left( {\int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} {\kern 1pt} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt} \right)}^{{1/{{\lambda }_{1}}}}} + \\ \, + c_{6}^{{1/\mu _{1}^{'}}}{{\left( {\int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} {\kern 1pt} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt} \right)}^{{1/{{\mu }_{1}}}}}, \\ \end{gathered} $(3.25)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{{v}}_{0}}(x)\varphi (x,0)dx \leqslant \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {v}\left| {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}}} \right|{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {v}\left| {{{\Delta }^{{{{k}_{2}}}}}\varphi } \right|dxdt + \\ + \;\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {\kern 1pt} {{V}_{2}}(x){{u}^{{{{q}_{2}}}}}\varphi {\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt \leqslant \left( {c_{4}^{{1/\mu _{3}^{'}}} + c_{5}^{{1/\mu _{3}^{'}}}} \right){{\left( {\int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} {\kern 1pt} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\varphi \left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt} \right)}^{{1/{{\mu }_{3}}}}} + \\ \, + c_{3}^{{1/\lambda _{3}^{'}}}{{\left( {\int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{{\left| x \right|}}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\varphi \left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt} \right)}^{{1/{{\lambda }_{3}}}}}. \\ \end{gathered} $
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt = c$
имеем
(3.26)
$\int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} {\kern 1pt} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + \int\limits_{{{R}^{\theta }}}^{2{{R}^{\theta }}} {\kern 1pt} \int\limits_{{{R}^{2}} \leqslant |x{{|}^{2}} \leqslant 2{{R}^{2}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{{v}}^{{{{s}_{2}}}}}\left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x){v}} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}dxdt = 0$Переходя к пределу при $R \to \infty $ в (3.24) и (3.25), получим
$\int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{1}}}}}{{u}^{{{{s}_{1}}}}}\left\| {\beta _{1}^{{1/{{q}_{2}}}}(x)u} \right\|_{{{{q}_{2}}}}^{{{{r}_{1}}}}dxdt + \int\limits_0^\infty {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{N}}} {{\left| x \right|}^{{{{\alpha }_{2}}}}}{{v}^{{{{s}_{2}}}}}\left\| {\beta _{2}^{{1/{{q}_{1}}}}(x)v} \right\|_{{{{q}_{1}}}}^{{{{r}_{2}}}}{\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt = 0.$
Таким образом, $u = 0$ и ${v} = 0$ п.в. в ${{\mathbb{R}}^{N}} \times (0,\infty )$ и в этом случае. Это завершает доказательство те-оремы 2.
Замечание. Можно также выбрать $\theta $, как показано выше в доказательстве теоремы 1, и получить достаточное условие теоремы 2.
В заключение автор выражает благодарность Евгению Галахову за постановку задачи, руководство и полезное обсуждение результатов работы в ходе подготовки этой статьи.
Список литературы
Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в ${{\mathbb{R}}^{N}}$ // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1999. Т. 227. С. 186–216.
Mitidieri E., Pohozaev S.I. Nonexistence of weak solutions for some degenerate elliptic and parabolic problems on $\;{{R}^{n}}$ // J. Evolut. Equat. 2001. V. 1. № 2. P. 189–220.
Kartsatos A.G., Kurta V.V. On the critical Fujita exponents for solutions of quasilinear parabolic inequalities // J. Math. Anal. Appl. 2002. V. 269. № 1. P. 73–86.
Jiang Z.X., Zheng, S.N. A Liouville-type theorem for a doubly degenerate parabolic inequality // Acta Math. Scientia. 2010. V. 30. № 3. P. 639–643.
Admasu W.E., Galakhov E.I., Salieva O.A. Nonexistence of nontrivial weak solutions of some nonlinear inequalities with gradient nonlinearity // Contemporary Math. Fundament. Direct. 2021. V. 67. № 1. P. 1–13.
Галахов Е.И. Об отсутствии локальных решений некоторых эволюционных задач // Матем. заметки. 2009. Т. 86. № 3. С. 337–349.
Yang C., Zhao L., Zheng S. The critical Fujita exponent for the fast diffusion equation with potential // J. Math. Anal. Appl. 2013. V. 398. № 2. P. 879–885.
Liu C. The critical Fujita exponent for a diffusion equation with a potential term // Lithuanian Math. J. 2014. V. 54. № 2. P. 182–191.
Ishige K. On the Fujita exponent for a semilinear heat equation with a potential term // J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 344. № 1. P. 231–237.
Pinsky R. The Fujita exponent for semilinear heat equations with quadratically decaying potential or in an exterior domain // J. Diff. Eq. 2009. V. 246. № 6. P. 2561–2576.
Chen C.S., Huang J.C. Some nonexistence results for degenerate parabolic inequalities with local and nonlocal nonlinear terms // J. Nanjing Univ. Math. Biq. 2004. V. 21. № 1. P. 12–20.
Xiao S., Fang Z.B. Nonexistence of solutions for the quasilinear parabolic differential inequalities with singular potential term and nonlocal source // J. Ineq. Appl. 2020. V. 2020. № 1. P. 1–9.
Галахов Е.И. Об эллиптических и параболических неравенствах высокого порядка с особенностями на границе // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2010. Т. 269. № 1. С. 76–84.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики
Пн.-пт.: 10.00-19.00