Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 6, стр. 938-948

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений следующего вида:

Здесь $Q = T \times \Omega $, $\Sigma = T \times \partial \Omega $, $\Omega $ – ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ с липшицевой границей $\partial \Omega $, $n \geqslant 1$, $b({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ – фиксированная функция, свойства которой будут уточнены ниже, $T = [0,\vartheta ],$ $\vartheta > 0$, – конечный момент времени, $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ – входное воздействие, ${{D}_{1}}$ и ${{D}_{2}}$ – положительные постоянные, а ${{k}_{1}},\;{{k}_{2}},\;{{k}_{3}},\;{{\gamma }_{1}}$ и ${{\gamma }_{2}}$ – неотрицательные постоянные. Символ ${{\partial }_{\nu }}$ означает производную по внешней нормали к $\partial \Omega $.

В дальнейшем считаем начальное состояние $\{ {{x}_{0}},{{y}_{0}}\} $ системы (1.1), где ${{x}_{0}} = {{x}_{0}}(\eta ) \in C(\tilde {\Omega })$, ${{y}_{0}} = {{y}_{0}}(\eta ) \in C(\tilde {\Omega })$, $\eta \in \Omega $ – неотрицательные функции, известным.

Здесь и всюду ниже $\tilde {\Omega }$ означает замыкание множества $\Omega $.

Введем пространство

с нормой Здесь ${{H}^{1}}(\Omega )$ – пространства Соболева, $({{H}^{1}}(\Omega )){\kern 1pt} *$ – сопряженное к ${{H}^{1}}(\Omega )$ пространство, производная ${{x}_{t}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ понимается в смысле пространства распределений, ${{L}_{2}}(T;{{H}^{1}}(\Omega ))$ – пространство эквивалентных классов абстрактных функций $x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ):T \to {{H}^{1}}(\Omega )$, $\int_0^\vartheta {{\text{|}}x(t){\kern 1pt} {\text{|}}_{{{{H}^{1}}(\Omega )}}^{2}{\kern 1pt} dt} < \infty $ с нормой Можно дать другое (эквивалентное [1, с. 23]) определение пространства $W(T)$. Это есть пространство абсолютно непрерывных функций $x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ):T \to {{H}^{1}}(\Omega )$, которые почти всюду на $T$ дифференцируемые и таковы, что $t \to dx(t){\text{/}}dt \in {{L}_{2}}(T;{{H}^{1}}(\Omega ))$. Заметим, что пространство $W(T)$ непрерывно вложено в пространство $C(T;{{L}_{2}}(\Omega ))$ – пространство непрерывных функций, действующих из $T$ в пространство ${{L}_{2}}(\Omega )$. Поэтому существует постоянная $c{\kern 1pt} * > 0$ такая, что для всех $x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in W(T)$ выполняется неравенство

В дальнейшем считаем выполненными следующие два условия из работы [2].

Условие 1. Нелинейная функция $b(s,t,x):\Sigma \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ является непрерывной по совокупности переменных и монотонно неубывающей по $x$ при всех $(s,t) \in \Sigma $. Кроме того, функция $b$ дважды непрерывно дифференцируема по $x$, причем функция ${{\partial }^{2}}b(s,t,x){\text{/}}\partial {{x}^{2}}$ является локально липшицевой, т.е. для любого $\rho > 0$ можно указать $L = L(\rho ) > 0$ такое, что для любых ${{x}_{1}},{{x}_{2}} \in \mathbb{R}$, ${\text{|}}{{x}_{j}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \rho $, $j = 1,2$, и любых $(s,t) \in \Sigma $, выполняется неравенство

Здесь и всюду ниже символ $\left| {\, \cdot \,} \right|$ означает модуль числа.

Условие 2. Справедливо неравенство $b(s,t,0) \leqslant u(s,t)$ при почти всех $(s,t) \in \Sigma $. Кроме того,

Следуя [2], [3], пару функций $\{ x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\} :x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) = x( \cdot ;0,\{ {{x}_{0}},{{y}_{0}}\} ,u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ))$, $y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) = y( \cdot ,0,\{ {{x}_{0}},{{y}_{0}}\} ,u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )) \in $ $ \in {{(W(T) \cap {{L}_{\infty }}(Q))}^{2}}$, назовем решением (слабым) уравнения (1.1), если выполняются равенства

и при всех $\varphi ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}}(T;{{H}^{1}}(\Omega ))$. Здесь и всюду ниже ${{\langle \cdot , \cdot \rangle }_{{{{H}^{1}}(\Omega )}}}$ означает двойственность между соболевскими пространствами ${{H}^{1}}(\Omega )$ и $({{H}^{1}}(\Omega )){\kern 1pt} *$, символ $\nabla $ означает градиент соответствующей функции, а символ $ds$ – меру Лебега на внешней границе $\partial \Omega $. В дальнейшем для всякой функции $\phi (\eta ) \in {{H}^{1}}(\Omega )$ под $\phi (s)$ понимаем след функции $\phi $ на границе области $\Omega $.

Прямым следствием теоремы 2.2. из [2] является теорема 1.

Теорема 1. Пусть ${{x}_{0}}(\eta )$ и ${{y}_{0}}(\eta )$ – неотрицательные функции. Тогда, каково бы ни было входное воздействие $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(\Sigma )$, если функция $b({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ удовлетворяет условиям $1$ и $2$, то существует единственное решение системы $(1)$ $\{ x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\} \in {{(W(T) \cap C(\tilde {Q}))}^{2}}$.

Обсуждаемая в настоящей работе задача формулируется следующим образом. Имеется система (1.1) с некоторым входным воздействием $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$. Заранее как это воздействие, так и отвечающее ему решение $\{ x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\} $ системы не заданы. В каждый момент времени $t \in T$ измеряется решение системы (1.1), т.е. измеряются величины $x(t)$ и $y(t)$. Эти измерения неточны: вместо функций $x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ и $y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ вычисляются функции ${{\xi }^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{L}_{\infty }}(\Omega ))$, ${{\psi }^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{L}_{\infty }}(\Omega ))$ и $\xi _{1}^{h}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{L}_{\infty }}(\partial \Omega ))$ со свойствами

Здесь число $h \in (0,1)$ характеризует “ошибку” измерений. Задача заключается в том, чтобы построить алгоритм приближенного восстановления неизвестного входного воздействия $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$.

Сформулированная задача относится к классу обратных задач (см. [4–8]). Описываемая ниже методика ее решения развивает подход к решению проблемы динамического восстановления входа, получивший развитие в ряде работ (по поводу этих работ см. монографии [9–12] и обзорную статью [13]). Этот подход основывается на комбинации известного в теории гарантированного управления принципе позиционного управления с моделью (см. [14]), а также одном из основополагающих методов теории некорректных задач – методе сглаживающего функционала (см. [4], [5]). Заметим, что в [9], [10] задачи динамической реконструкции входов изучались для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Вопросы реконструкции граничных входных воздействий для параболических и гиперболических уравнений обсуждались в [15–19]. В настоящей работе, продолжающей цикл цитированных выше работ, мы указываем алгоритм решения задачи реконструкции граничного входного воздействия для системы распределенных уравнений реакции–диффузии.

В соответствии с подходом из цитированных выше работ задача восстановления неизвестного входного воздействия по результатам измерения величин $\{ {{\xi }^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),{{\psi }^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\} $ заменяется некоторой другой задачей, а именно, задачей позиционного управления вспомогательной системой $M$ (моделью). Таким образом, задача восстановления $u( \cdot )$ сводится к следующим двум задачам:

1) задаче выбора вспомогательной системы $M$ (функционирующей “синхронно” с реальной системой);

2) задаче управления этой системой по принципу обратной связи.

2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

В гл. I из [11] было отмечено, что для достаточно широкого класса параболических систем в качестве моделей удобно брать “копии” реальных систем. Там же приведены примеры таких систем. Оказывается, что и для рассматриваемой в настоящей работе системы в качестве модели $M$ можно брать ее “копию”. Эта “копия” имеет следующий вид:

Таким образом, модель состоит из двух независимых подсистем. Первая подсистема представляет собой нелинейное параболическое уравнение c управлением ${{u}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$:

Вторая подсистема также описывается параболическим уравнением. Но уже линейным, к тому же не содержащим управления Заметим, что вторая подсистема на выбор управления ${{u}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ не влияет. Поэтому при решении задачи ее можно опустить, взяв в качестве модели вместо системы (2.1) подсистему (2.2). Подсистема (2.3) потребуется при доказательстве приведенной ниже теоремы 1. Существование и единственность решений ${{z}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in W(T) \cap C(\tilde {Q})$ и ${{w}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in W(T) \cap C(\tilde {Q})$ приведенных выше подсистем следует, например, из [3, теорема 5.5, с. 268].

Управление ${{u}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ в модели (2.1) (подсистеме (2.2)) зададим по формуле

где $\alpha \in (0,1)$ – вспомогательный параметр.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть $q \in (0,1)$ – некоторая постоянная. Пусть управление ${{u}^{h}}( \cdot )$ находится по формуле $(7)$. Тогда справедливы неравенства

Здесь ${{\mu }^{h}}(t) = {{z}^{h}}(t) - x(t)$, ${{\nu }^{h}}(t) = {{w}^{h}}(t) - y(t)$, $\{ x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\} $ и $\{ {{z}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),{{w}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\} $ – решения систем $(1)$ и $(4)$ соответственно, ${{d}^{{(1)}}}$ и ${{d}^{{(2)}}}$ – положительные постоянные, не зависящие от $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),$ ${{u}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),$ $x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),$ $y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),$ ${{z}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),$ ${{w}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$.

Доказательство. Учитывая правило определения функций ${{\mu }^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ и ${{\nu }^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$, заключаем, что справедливы равенства

и Равенства (2.7) и (2.8) справедливы при любых $\phi ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}}(T;{{H}^{1}}(\Omega ))$. Положив в (2.7) а в (2.8) и сложив полученные выражения, будем иметь где Учитывая монотонность функции $b({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ (см. условие 1), заключаем, что справедливо неравенство В свою очередь, в силу неравенств (1.2) можно указать такие числа ${{C}_{1}} > 0$ и ${{C}_{2}} > 0$, не зависящие от $h \in (0,1)$, что при п.в. $t \in T$ справедливы оценки Из (2.11) получаем в силу неравенства Гёльдера Кроме того, в виду (1.3) имеем где В силу (2.4) справедливо неравенство Из (2.9), учитывая (2.10), (2.12)–(2.14), получаем Обозначим Тогда из (2.15) получим при п.в. $t \in T$. Далее, имеем Поэтому, каково бы ни было $q \in (0,2)$, ввиду (1.3), при п.в. $t \in T$ имеет место неравенство Из (2.16), учитывая (2.17), получаем Воспользовавшись неравенством Гронуолла, отсюда получаем Из (2.19) следует неравенство (2.5). Установим справедливость неравенства (2.6). Если $q \in (0,1),$ $h \in (0,1)$, то из (2.18), учитывая (2.19), получаем Следовательно, Отсюда следует утверждение теоремы. Теорема 2 доказана.

Из предыдущей теоремы вытекает

Следствие. Если $\alpha = {{h}^{\rho }}$, $q = 1 - \rho $, $\rho = {\text{const}} \in (0,1{\text{/}}2)$, то справедливы неравенства

Теорема 3. Пусть $\alpha (h) \to 0,$ ${{h}^{{2 - q}}}{{\alpha }^{{ - 3}}}(h) \to 0$ при $h \to 0$, где $q = {\text{const}} \in (0,1)$. Тогда имеет место сходимость

Доказательство. Покажем, что, каковы бы ни были последовательности чисел ${{h}_{j}} \to 0 + $ при $j \to \infty $, а также последовательности функций ${{\xi }^{{{{h}_{j}}}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),{{\psi }^{{{{h}_{j}}}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{L}_{\infty }}(\Omega )),$ $\xi _{1}^{{{{h}_{j}}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{L}_{\infty }}(\partial \Omega ))$ со свойствами (1.2), (1.3) (в (1.2) и (1.3) мы полагаем $h = {{h}_{j}}$), имеет место сходимость

Здесь и ниже управления ${{u}^{{{{h}_{j}}}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ определяются согласно (2.4), где полагается $h = {{h}_{j}}$. Предполагая противное, заключаем, что найдется подпоследовательность последовательности ${{u}^{{{{h}_{j}}}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ (для простоты обозначаем ее тем же символом, т.е. ${{u}^{{{{h}_{j}}}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$) такая, что Пусть ${{q}^{{{{h}_{j}}}}}(t) = {{z}^{{{{h}_{j}}}}}(t) - {{z}^{0}}(t)$, ${{p}^{{{{h}_{j}}}}}(t) = {{w}^{{{{h}_{j}}}}}(t) - {{w}^{0}}(t)$, где $\{ {{z}^{{{{h}_{j}}}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),{{w}^{{{{h}_{j}}}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\} $ – решение системы (2.1) при $h = {{h}_{j}}$, а $\{ {{z}^{0}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),{{w}^{0}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\} $ – решение системы В (2.23) $\{ x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ),y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )\} $ означает решение системы (1.1). Аналогично (2.9), устанавливаем неравенство где Учитывая монотонность функции $b({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ (см. условие 1), заключаем, что верно неравенство В свою очередь, в силу неравенств (1.2) можно указать такие числа $C_{1}^{*} > 0$ и $C_{2}^{*} > 0$, не зависящие от $h \in (0,1)$, что при п.в. $t \in T$ справедливы оценки Из (2.26) получаем, воспользовавшись неравенством Гёльдера, Рассмотрим $\tilde {I}_{3}^{{{{h}_{j}}}}(t)$. Имеем Тогда Этот факт вытекает из теоремы 2 и слабой сходимости последовательности функций ${{u}^{{{{h}_{j}}}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ к ${{u}_{0}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ (см. (2.21)). В таком случае из (2.24)–(2.28) получаем Учитывая (2.29), а также теорему 2, устанавливаем справедливость равенств Значит, Поэтому Последнее противоречит (2.21), (2.22). Следовательно, Ввиду известного свойства слабого предела, из (2.30) вытекает неравенство Кроме того, в силу (2.6) имеет место оценка В таком случае Значит (см. (2.31), (2.32)), Отсюда следует сходимость Учитывая (2.30) и (2.33), в силу теоремы Ефимова–Стечкина заключаем Теорема 3 доказана.

3. ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМА

При некоторых дополнительных условиях можно указать оценку скорости сходимости алгоритма (см. ниже теорему 4).

В дальнейшем нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1 (см. [11], с. 47). Пусть $V({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}({{T}_{*}};V{\kern 1pt} *)$ и $\tilde {v}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in W({{T}_{*}};V)$, ${{T}_{*}} = [a,b]$, $ - \infty < a < b < + \infty $,

Тогда для всех $t \in {{T}_{*}}$ справедливо неравенствоЗдесь $V$ банахово пространство с нормой ${\text{|}}\, \cdot \,{{|}_{V}}$, $\langle \cdot , \cdot \rangle $ – двойственость между $V$ и $V{\kern 1pt} *$. Символ ${\text{var}}({{T}_{*}};{v}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ))$ означает вариацию функции ${v}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ на отрезке ${{T}_{*}}$, а символ $W({{T}_{*}};V)$ – множество функций $y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ):{{T}_{*}} \to {{H}_{1}}$ ограниченной вариации.

Теорема 4 Пусть функция $z \to b(s,t,z$) липшицева и выполнены условия теоремы $3$. Пусть также $u(s,t) = {{u}_{*}}(s,t)$ при п.в. $(s,t) \in \Sigma $, где ${{u}_{*}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in W(T;{{H}^{1}}(\Omega ))$. Тогда имеет место следующая оценка скорости сходимости алгоритма:

где ${{c}^{{(0)}}}$ – некоторая постоянная, не зависящая от $h \in (0,1)$.

Доказательство. Введем оператор $B:{{L}_{2}}(\partial \Omega ) \to ({{H}^{1}}(\Omega )){\kern 1pt} *$ по формуле

Пусть где $\phi \in {{H}^{1}}(\Omega )$. Вычтем (2.2) из соответствующих соотношений в (1.1) и умножим полученную разность на ${{\phi }_{t}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}}(T;{{H}^{1}}(\Omega ))$. После интегрирования получим Здесь Далее, имеем Учитывая липшицевость функции $b( \cdot )$, получаем Кроме того, В свою очередь, в силу (1.2) Далее, имеем Объединив (3.2)–(3.6), получим из (3.1) Из (3.7) в силу теоремы 2 (см. неравенство (2.5)) вытекает оценка Отсюда, учитывая правило определения оператора $B$, а также лемму 2, получаем Далее, воспользовавшись (2.6), (3.8), устанавливаем неравенство Теорема 4 доказана.